Příklady k přednášce 1. Úvod

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklady k přednášce 1. Úvod"

Jan Bílek
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Příklady k řednáše. Úvod Mihael Šebek Automatiké řízení 05 Evroský soiální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budounosti 6--5

2 Kyvadlo řízené momentem Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Pohybová rovnie (. Newtonův zákon ro rotai) Jϕ = M J = ml = M Flsinϕ Nelineární stavový model s = g = sin + u l ml y = g = M mgl sinϕ Nelineární IO model s y = ϕ u = M ml ϕ+ mgl sinϕ = M ml y + mgl sin y = u, Fg = ϕ = y, = ϕ = yu, = M = m mg Mihael Šebek ARI-Pr-0-05

= sin + u l ml y = g = M mgl sinϕ Nelineární IO model s y = ϕ u = M ml ϕ+ mgl sinϕ

3 Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Jen ro zajímavost: Eistuje řesné řešení? ϕ+ mgl sinϕ = 0 Při hledání řešení (Mathieuovy) rovnie rvní integrál ohybu (výočtem ryhlosti z kinetiké energie) dϕ g = ( osϕ osϕ0 ) dt Dále byhom ostuovali metodou searae roměnnýh dϕ dϕ = dt = t + C g g ( osϕ osϕ0) ( osϕ osϕ0) Vede na elitiký integrál, který atří mezi tzv. ne-elementární (je dokázáno, že ho nelze sestavit z elementárníh funkí) Přesné řešení rovnie (v uzavřeném tvaru) tedy neeistuje! ml Mihael Šebek ARI-Pr

osϕ0 ) dt Dále byhom ostuovali metodou searae roměnnýh dϕ dϕ = dt = t + C g g ( osϕ osϕ0) ( osϕ osϕ0) Vede na elitiký integrál,

4 Fázový ortrét Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Řešení nelineárníh stavovýh rovni ve fázovém rostoru - ro. řád je D = = sin = ϕ = ϕ Složité křivky, nelze je osat elementárními funkemi SW: htt:// Mihael Šebek ARI-Pr

řád je D = = sin = ϕ = ϕ Složité křivky, nelze je osat elementárními

5 Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo - lineární aroimae v dolní oloze V dolní oloze ϕ = 0, ϕ = 0, M = 0 ϕ = 0 IO model ml ϕ+ mgl sinϕ = M ml ( ϕ ) ( sin os ) + ϕ + mgl ϕ + ϕ ϕ = M + M ϕ = 0 ml (0 + ϕ) + mgl ( sin 0 + ϕ os 0) = 0 + M ml ϕ+ mgl ϕ = M stavový ml y + mgl y = u ϕ = ϕ = 0, = 0, M = 0 g =, = sin + u l ml = 0+ = 0+ g g = + u 0 + = os 0 + ( 0 + u) l ml l ml Mihael Šebek ARI-Pr

ml (0 + ϕ) + mgl ( sin 0 + ϕ os 0) = 0 + M ml ϕ+ mgl ϕ = M stavový ml y + mgl y = u ϕ = ϕ = 0, = 0, M

6 Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo - lineární aroimae v horní oloze ϕ = πϕ, = 0, M = 0 ϕ = 0 v horní oloze ϕ model IO ml ϕ+ mgl sinϕ = M ml (0 + ϕ) + mgl ( sinπ + ϕosπ) = 0 + M ml ϕ mgl ϕ = 0 + M ϕ ml ϕ mgl ϕ = M model stavový ml y mgl y = u ϕ = π = π, = 0, M = 0 g =, = sin + u l ml = 0+ = 0+ g g = + u 0 + = ( sinπ + osπ ) + ( 0 + u) l ml l ml Mihael Šebek ARI-Pr

ml ϕ mgl ϕ = 0 + M ϕ ml ϕ mgl ϕ = M model stavový ml y mgl y = u ϕ = π = π, = 0, M = 0 g =, =

7 Automatiké řízení - Kybernetika a robotika ve vodorovné oloze model IO Kyvadlo - aroimae ve vodorovné oloze ml ϕ+ mgl sinϕ = M (0 ) π π sin os model stavový ml ϕ = M ml y = u ml + ϕ + mgl + ϕ = mgl + M π =, = 0, M = mgl ϕ = π, ϕ = 0, M = mgl ϕ = 0 g =, = sin + u l ml 0+ = 0+ g π π 0 + = sin + os + mgl + u l ml ( ) ϕ ϕ = π ro konstantní volný ád Mihael Šebek ARI-Pr = = u ml u ϕ

+ ϕ = mgl + M π =, = 0, M = mgl ϕ = π, ϕ = 0, M = mgl ϕ = 0 g =, = sin + u l ml 0+ = 0+ g π π 0

8 Geometriká interretae Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Linearizae ve fázovém rostoru (ortrétu) = = sin = ϕ = 0, = 0 = = kružnie = ϕ hyerboly araboly = π, = 0 Mihael Šebek ARI-Pr = = π =, = 0 = = ( u = )

9 Někdy lineární aroimae neeistuje Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Nehladká funke: diody, tlumiče f( ) Různé funke, řeínání, (event-driven) skákajíí míč Nesojitá funke: relé, Coulombovo tření Není to funke (v mat. slova smyslu): hystereze (závislost na dráze) f( ) f( ) elektriká: feroelektriký materiál elastiká: gumička termostat, Shmidtův sínač Mihael Šebek ARI-Pr

10 Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Někdy lineární aroimae neomůže Některé nelineární soustavy neomůže lineárně aroimovat u = f ( ψ ) Příklad: kinematika auta v rovině u = uos 3 = usin = u Přibližná linearizae v okolí bodu (0,0,0) je = u = 0 není řiditelná A = 03 3, B = Con = 3 = u Intuitivně známý fakt: autem nelze římo ohnout do strany Můžeme oojíždět vřed-vzad s střídavým natáčením kol, ale to už je nelineární řízení To lyne z tzv. ne-holonomikého omezení sin 3 os 3 = 0 které latí, okud kola nekloužou do strany Mihael Šebek ARI-Pr

0 0 0 0 0 0 Con = 3 = u 0 0 0 0 0 0 Intuitivně známý fakt: autem nelze římo ohnout do strany Můžeme oojíždět vřed-vzad s střídavým natáčením kol, ale

11 Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Aroimae nelinearity dané grafem Magnetiký levitátor s kuličkou (zjednodušené magnetiké ložisko) rovnie ohybu kuličky m = f (,) m i mg kde síla elektromagnetu je teoretiky f (,) m i, ale raktiky složitější eerimentálně změřené křivky (kulička d = m, m = 8,4.0-3 kg) mg = 0.084mN ekvilibrium = magnetiká síla vyruší gravitai Mihael Šebek ARI-Pr-0-05

elektromagnetu je teoretiky f (,) m i, ale raktiky složitější eerimentálně změřené křivky

12 Aroimae nelinearity dané grafem Automatiké řízení - Kybernetika a robotika = i = f i = mg m = m = 8, , 600mA, 3mm, m( kg, ), 8, 4.0 kg m = fm(,) i mg fm fm m( 0 + ) = fm(, i) + + i mg i m f m = + i f i m i i určíme z grafu odhadneme z grafu jako směrnii f f i f i m 3 fm 4 N m i, i i i3, i Lineární aroimae je = , 6 i i i 3 3 (, ) (, ) = = 3 ( ) N A kde signály jsou v jednotkáh SI [m], ia [ ] Mihael Šebek ARI-Pr-0-05

0 kg m = fm(,) i mg fm fm m( 0 + ) = fm(, i) + + i mg i m f m = + i f i m i i určíme z grafu odhadneme z grafu

13 Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Logistiké zobrazení Nelineární diskrétní systém k ( + ) = rk ( )( k ( )) Demografiký model - vystihuje jevy: ro malé oulae otimismus (míra růstu roste úměrně s velikostí oulae), ro velké oulae vyhladovění (míra růstu klesá úměrně rozdílu úživnost rostředí minus velikost oulae) Chování silně závisí na arametru r řešení avučinovým diagramem bifurkae Mihael Šebek ARI-Pr

velikostí oulae), ro velké oulae vyhladovění (míra růstu klesá úměrně rozdílu úživnost rostředí minus

14 Nelineární diskrétní systém Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Pavučinový diagram: Oakovaná řešení ro různá r (ekvilibria, osilae s různou eriodou, haos) Simulae: Oakovaná řešení (vždy 00 kroků) ro různá r (od r = 0 (červená) do r= 4 (ururová) Mihael Šebek ARI-Pr

osilae s různou eriodou, haos) Simulae: Oakovaná řešení (vždy 00

15 Další čtení a hraní Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Různé nelineární modely v Simulinku htt:// Alet kreslíí fázové ortréty htt:// Kyvadlo na Wikiedii htt://en.wikiedia.org/wiki/pendulum_(mathematis) Hezká a čtivá (odborná) kniha o nelineárníh systémeh a haosu - na Amazonu Složitější matematiké knihy, ale ty jsou síš až ro magisterský kurz NES, nebo doktorské kurzy Mihael Šebek ARI-Pr

html Kyvadlo na Wikiedii htt://en.wikiedia.

Podobné dokumenty

Příklady k přednášce 1. Úvod

Příklady k přednášce 1. Úvod Příklady k řednáše. Úvod Mihael Šebek Automatiké řízení 06 Evroský soiální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budounosti --6 Kyvadlo řízené momentem Automatiké řízení - Kybernetika a robotika Pohybová