Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school"

Transkript

1 Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro. stupeň zákldní školy Učitelství mtemtiky pro. stupeň zákldní školy Příprv žáků k přijímcím zkouškám z mtemtiky n střední školu Prepring students for entrnce exms in mthemtics t high school Diplomová práce: 0 FP KMD 004 Autor: Podpis: Bc. Zdeňk HORÁKOVÁ Vedoucí práce: doc. RNDr. Jn Příhonská, Ph.D. Počet strn grfů obrázků tbulek prmenů příloh V Liberci dne:

2

3

4 Čestné prohlášení Název práce: Jméno příjmení utor: Osobní číslo: Příprv žáků k přijímcím zkouškám z mtemtiky n střední školu Zdeňk Horáková P Byl jsem seznámen s tím, že n mou diplomovou práci se plně vzthuje zákon č. /000 Sb. o právu utorském, právech souvisejících s právem utorským o změně některých zákonů (utorský zákon), ve znění pozdějších předpisů, zejmén 60 školní dílo. Prohlšuji, že má diplomová práce je ve smyslu utorského zákon výhrdně mým utorským dílem. Beru n vědomí, že Technická univerzit v Liberci (TUL) nezshuje do mých utorských práv užitím mé diplomové práce pro vnitřní potřebu TUL. Užijili diplomovou práci nebo poskytnuli licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovt o této skutečnosti TUL; v tomto přípdě má TUL právo ode mne poždovt úhrdu nákldů, které vynložil n vytvoření díl, ž do jejich skutečné výše. Diplomovou práci jsem vyprcovl smosttně s použitím uvedené litertury n zákldě konzultcí s vedoucím diplomové práce. Prohlšuji, že jsem do informčního systému STAG vložil elektronickou verzi své diplomové práce, která je identická s tištěnou verzí předkládnou k obhjobě, uvedl jsem všechny systémem poždovné informce prvdivě. V Liberci dne: Zdeňk Horáková

5 Poděkování Rád bych poděkovl všem, kteří mi pomáhli při vyprcování mé diplomové práce. N prvním místě ptří mé poděkování vedoucí diplomové práce, doc. RNDr. Jně Příhonské, Ph.D., které děkuji z její trpělivost, ochotu všestrnnou pomoc. Dále děkuji své rodině, prtnerovi přátelům, kteří mi při vytváření mé práce byli oporou.

6 Příprv žáků k přijímcím zkouškám z mtemtiky n střední školu Anotce Diplomová práce se zbývá příprvou žáků k přijímcím zkouškám z mtemtiky n střední školu. V úvodu je stručně uvedeno, jké učivo z mtemtiky by měl znát kždý bsolvent zákldní školy. Okrjově jsou zde uvedeny náležitosti přijímcího řízení. Hlvní část práce se věnuje témtům, která se čsto vyskytují v přijímcích testech z mtemtiky n SŠ. K těmto témtům uvádí zákldní teoretická tvrzení doplněná souborem řešených neřešených úloh. Celý soubor byl prkticky ověřen n vzorku žáků 9. ročníku následně bylo provedeno vyhodnocení, které je v práci uvedeno. Klíčová slov: lgebrické výrzy, číselné logické řdy, funkce, lineární rovnice jejich soustvy, logické netrdiční geometrické úlohy, mgické čtverce, mocniny, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, objem, obsh, obvod, odmocniny, podobnost, poměr, povrch, přijímcí řízení, Rámcově vzdělávcí progrm, úhel, úlohy o společné práci

7 Prepring students for entrnce exms in mthemtics t high school Annotte This thesis dels with the preprtion of students for entrnce exmintions in mthemtics in high school. In introduction is briefly specifying which subject mtter of mthemtics should know ech grdute school. Mrginlly here re the prticulrs of dmission procedure. The min prt is devoted to topics tht often pper in the entrnce tests of mthemtics t secondry school. These topics provide bsic theoreticl clims complemented by set of solved nd unsolved problems. The entire file hs been prcticlly tested on smple of pupils 9th yer nd subsequently n evlution, which is working shown. Keywords: lgebric expressions, numericl nd logicl sequences, functions, liner equtions nd their systems, nd unconventionl geometric logic tsks, mgic squres, squres, lest common multiple, gretest common divisor, volume, content, perimeter, roots, similrity, rtio, surfce, dmissions, generl eductionl progrm, the ngle, the tsk of working together

8 L préprtion des élèves pour les exmens d'entrée en mthémtiques à l'école secondire Résumé Cette thèse trite de l préprtion des élèves pour les exmens d'entrée en mthémtiques à l'école secondire. L'introduction de mentionner brièvement le sujet des mthémtiques doit connître les uns les études supérieures. Mrginlement voici les détils de l procédure d'dmission. L prtie principle est conscrée à des sujets qui pprissent souvent dns les tests d'entrée de mthémtiques à l'école secondire. Ces sujets de bse fournit prétentions théoriques complétés pr un ensemble de problèmes résolus et non résolus. L'ensemble du dossier été prtiquement testé sur un échntillon d'élèves 9e nnée, puis une évlution, qui trville dehors. Motsclés: les expressions lgébriques, des séquences numériques et logiques, les fonctions, les équtions linéires et leurs systèmes, et non conventionnelles tâches logiques géométriques, crrés mgiques, des plces, plus petit commun multiple, le plus grnd commun diviseur, le volume, le contenu, le périmètre, l rcine crrée, l similitude, le rpport, surfce, les dmissions, le progrmme d'enseignement générl, l'ngle, le rôle du trvil en commun.

9 Obsh: SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ... ÚVOD... I. TEORETICKÁ ČÁST...4. Očekávné výstupy podle Rámcově vzdělávcího progrmu Mtemtik její plikce Chrkteristik vzdělávcí oblsti Cílové změření vzdělávcí oblsti Vzdělávcí obsh Přijímcí řízení Přijímcí řízení n školní rok 0/0 Litoměřicko... 0 II. PRAKTICKÁ ČÁST...4. Stnovené hypotézy Soubor řešených příkldů Číslo proměnná Největší společný dělitel Nejmenší společný násobek Poměr Mocniny odmocniny Rovnice Lineární rovnice Soustvy lineárních rovnic Algebrické výrzy Závislosti, vzthy práce s dty Závislosti dt Funkce Geometrie v rovině v prostoru Obvody obshy Podobnost geometrických útvrů Úhly Objem povrch těles Nestndrdní plikční úlohy problémy Číselné logické řdy Logické netrdiční geometrické úlohy Úlohy o společné práci Mgické čtverce Soubor neřešených úloh s výsledky Číslo proměnná Závislosti, vzthy práce s dty Geometrie v rovině v prostoru Nestndrdní plikční úlohy problémy

10 .4 Vstupní test Vstupní test pro 9. ročník Dotzník Výstupní test Výstupní test pro 9. ročník... III. VÝZKUMNÁ ČÁST Obecné údje Výzkum Aplikce vstupního testu Aplikce dotzníku Procvičovcí fáze Aplikce výstupního testu Výsledky šetření Výsledky průzkumu Výsledky Vstupního testu Vyhodnocení dotzníku Výsledky Výstupního testu....4 Ověření hypotéz... ZÁVĚR... 6 POUŽITÉ ZDROJE... 7 PŘÍLOHY

11 Seznm použitých symbolů D(n, n,, n k )... největší společný dělitel čísel n, n,, n k D(f)... definiční obor funkce f H(f)... obor hodnot funkce f n(n, n,, n k )... nejmenší společný násobek čísel n, n,, n k C... množin komplexních čísel M... obecná množin N... množin přirozených čísel R... množin reálných čísel Λ... zároveň V... nebo Є... je prvkem, náleží množině... je různý

12 Úvod Přechod ze zákldní školy n školu střední je význmný mezník v životě kždého člen nší společnosti. Něco strého končí něco nového zčíná. Pro některé žáky to může být stresové období život. Musí se rozhodnout, km chtějí směřovt svou budoucnost, ujsnit si, čím se jednou chtějí živit. V tomto okmžiku si musí vybrt střední školu, která jim poskytne vzdělání v oboru, který si vybrli. Ne kždý žák je všk utomticky n jím vybrnou školu přijt, některé školy stále vypisují různé přijímcí zkoušky, nejčstěji všk z českého jzyk, mtemtiky všeobecných znlostí. Někteří žáci se přijímcích zkoušek tk obávjí, že rději volí jinou školu bez přijímček, lterntivu, která je pro ně v dnou chvíli mnohem snzší cestou. Je politování hodné, že již v tk mldém věku se někteří žáci vzdávjí svých snů jen kvůli strchu z přijímcích zkoušek volí jinou školu, čsto i úplně jiný obor. Proto jsem připrvil tuto diplomovou práci. N zákldě dřívějších testů jsem vybrl témt, která se nejčstěji v přijímcích zkouškách z mtemtiky vyskytují. K těmto témtům jsem shrnul zákldní teoretická fkt uvedl několik řešených příkldů. Po souboru řešených příkldů následuje soubor příkldů neřešených s výsledky, kde si žáci mohou ověřit, kterou z dných oblstí již zvládli kterou musí ještě jednou zopkovt. Domnívám se, že tto diplomová práce by mohl mnohým žákům pomoci v jejich smosttné příprvě n přijímcí zkoušky pomoci jim odbourt strch z neúspěchu v testu z mtemtiky. Zároveň by mohl sloužit i učitelům mtemtiky n zákldních školách jko inspirce či sbírk do hodin. Práce je členěná do tří hlvních částí: Teoretická část, Prktická část Výzkumná část. Kždá z těchto částí je pk rozdělen do dlších podkpitol. Teoretická část se věnuje postvení mtemtiky v českém zákldním školství (RVP ZV) přijímcímu řízení. V prktické části se čtenář setká se souborem řešených úloh, souborem neřešených úloh s výsledky, zdáním Vstupního testu, Výstupního testu dotzníku. Soubor řešených příkldů je rozdělen do čtyř hlvních podkpitol, které odpovídjí RVP ZV (Číslo proměnná; Závislosti, vzthy práce s dty; Geometrie v rovině prostoru; Nestndrdní plikční úlohy problémy). Ve sbírce řešených příkldů je v zelených rámečcích uveden zákldní teorie, která by ovšem neměl sloužit jko jediný studijní text, nýbrž pouze jko

13 připomenutí již známého učiv. Po teoretické části následuje několik řešených příkldů, jejichž zdání je pro lepší orientci v ornžovém poli. Po souboru řešených příkldů následuje soubor neřešených příkldů s výsledky, který je opět rozdělen do čtyř podkpitol odpovídjících opět temtickým okruhům podle RVP ZV. Z kždým neřešeným příkldem je uveden správný výsledek. Dále žák v prktické části njde dotzník, Vstupní Výstupní test, které byly zdány žákům, le které mohou sloužit tké jko procvičení toho, co žáci smi procvičili v souborech řešených neřešených příkldů. Ve výzkumné části jsou pk shrnuty výsledky Vstupního testu, dotzníku Výstupního testu. Výsledky jsou pro přehlednost zprcovány grficky, le čtenář zde njde i slovní popis. Témt mtemtiky, kterým se tto práce věnuje, byl vybrán n zákldě studi dřívějších přijímcích testů SCIO testů tk, by co nejvíce pokrývl to, co se nejčstěji vyskytuje v přijímcích zkouškách z mtemtiky n SŠ. Práci je tedy možné do budoucn rozšířit o dlší oblsti mtemtiky, které se v přijímcích zkouškách vyskytují méně frekventovně. Tk by se pokryl celá škál mtemtických schopností vědomostí, jež by měl mít kždý žák, který chce úspěšně složit přijímcí zkoušky z mtemtiky.

14 I. Teoretická část. Očekávné výstupy podle Rámcově vzdělávcího progrmu Vzdělávání v Evropě, které upřednostňovlo množství pozntků n úkor jejich prováznosti, dril tvrdší prvidl oproti rozvoji sociálních vzthů podobně, přestlo koncem 0. století vyhovovt stále se měnící společnosti. Součsná společnost potřebuje cílevědomé, ktivně spoluprcující jedince, kteří jsou schopni se rychle přizpůsobit kldeným poždvkům. Proto došlo n evropské půdě tedy i v České republice k reformě vzdělávání k tzv. kurikulární reformě. Hlvní podsttou kurikulární reformy je změn cílů obshu vzdělávání, tzn. utváření rozvoj klíčových kompetencí příprv žáků pro prktický život. Kurikulární reform v České republice zčl probíht v 90. letech 0. století vyvrcholil celonárodní diskuzí Vzdělávání pro 0 milionů vznikem Národního progrmu vzdělávání v ČR, tzv. Bílou knihou. Změn kurikul zpočl tvorbou Rámcových vzdělávcích progrmů, které vycházejí z nové strtegie vzdělávání, z koncepce celoživotního učení formulují očekávnou úroveň vzdělání bsolventů jednotlivých etp vzdělávání. N druhou strnu mjí RVP podporovt pedgogickou utonomii škol vést učitele k zodpovědnosti z výsledky vzdělávání jejich žáků. V Rámcově vzdělávcím progrmu pro zákldní vzdělávání, dále jen RVP ZV, je obsh vzdělávání rozdělen do devíti vzdělávcích oblstí. Těmito oblstmi jsou: Jzyk jzyková komunikce (Český jzyk litertur, Cizí jzyk), Mtemtik její plikce, Informční komunikční technologie, Člověk jeho svět, Člověk společnost (Dějepis, Výchov k občnství), Člověk přírod (Fyzik, Chemie, Přírodopis, Zeměpis), Umění kultur (Hudební výchov, Výtvrná výchov), Člověk zdrví (Výchov ke zdrví, Tělesná výchov), Člověk svět práce (Člověk svět práce). Jednotlivé vzdělávcí oblsti jsou vymezeny chrkteristikou vzdělávcí oblsti, jejím cílovým změřením, vzdělávcím obshem očekávnými výstupy. V diplomové práci se změříme pouze n oblst Mtemtik její plikce. (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, [Int 5]) 4

15 .. Mtemtik její plikce... Chrkteristik vzdělávcí oblsti Mtemtik její plikce je oblst, která je nesmírně důležitá pro prktický život kždého člověk. Právě pro svou důležitost je součástí celé povinné školní docházky. Žáci si v průběhu vzdělávání osvojují mtemtické vědomosti ktivními činnostmi, jko je npříkld mnipulce s mtemtickými modely plikce mtemtického prátu v reálných situcích. Vzdělávcí oblst Mtemtik její plikce je rozdělen n čtyři temtické okruhy. Těmito okruhy jsou: Čísl početní operce n prvním stupni, který n druhém stupni přechází do okruhu Číslo proměnná o osvojení ritmetických opercí tzn. dovednosti provádět operce, chápt proč je prováděn konkrétní operce umět operci propojit s reálnou situcí o seznámení s pojmem proměnná s jejím využitím při mtemtizci reálné situce Závislosti, vzthy práce s dty o nlýz změn závislostí pomocí tbulek, grfů, digrmů, jednoduché mtemtické předpisy vyjdřující závislost o zkoumání závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce Geometrie v rovině prostoru o rozpoznání znázornění geometrických útvrů, využití znlostí o geometrických útvrech v řešení reálných situcí o měření délek, velikostí úhlů, obvodů, obshů, povrchů, objemů Nestndrdní plikční úlohy problémy o upltnění logického myšlení, do jisté míry nezávislé n školské mtemtice o řešení problémových úloh z běžného život (nlýz problému, utřídění údjů podmínek, provádění náčrtků, řešení optimlizčních úloh) o zdokonlení smosttné práce se zdroji informcí (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, [Int 5]) 5

16 ... Cílové změření vzdělávcí oblsti Vzdělávcí oblst Mtemtik její plikce směřuje k utváření rozvoji klíčových kompetencí tk, že vede žák k tomu, by: využívl mtemtické pozntky dovednosti v prktických činnostech jko jsou: odhdy, měření, porovnávání velikostí vzdáleností, orientce rozvíjel pměť prostřednictvím numerických výpočtů, osvojováním si nezbytných mtemtických vzorců lgoritmů rozvíjel kombintorické logické myšlení, kritické usuzování srozumitelné věcné rgumentování prostřednictvím řešení mtemtických problémů rozvíjel bstrktní exktní myšlení osvojováním si využíváním zákldních mtemtických pojmů vzthů, by poznávl jejich chrkteristické vlstností n jejich zákldě určovl zřzovl pojmy vytvářel zásoby mtemtických nástrojů (početních operce, lgoritmy, metody řešení úloh) efektivně využívl osvojený mtemtický prát vníml složitosti reálného svět porozuměl mu; rozvíjel zkušenosti s mtemtickým modelováním (mtemtizcí reálných situcí), vyhodnocovl mtemtický model hrnice jeho využití; by si uvědomil, že skutečné situce jsou složitější než jejich mtemtické modely, že dné modely můžou odpovídt různým situcím zároveň jedn situce může odpovídt různým mtemtickým modelům prováděl rozbor problému plánovl jeho řešení, odhdovl výsledky, volil správný postup řešení problému vyhodnotil správnost výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému se vyjdřovl přesně stručně užitím mtemtického jzyk mtemtické symboliky spoluprcovl při řešení problémových plikovných úloh vyjdřujících situce z reálného život následně využívl získné řešení v prxi; poznávl možnosti mtemtiky skutečnosti, že ke správnému výsledku lze dospět různými způsoby rozvíjel důvěru ve vlstní schopnosti možnosti při řešení úloh, systemtičnost, vytrvlost, by si vytvářel dovednosti vyslovovt hypotézy n zákldě zkušeností nebo pokusů tyto hypotézy si ověřovl či vyvrcel pomocí protipříkldů (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, [Int 5]) 6

17 ... Vzdělávcí obsh Vzdělávcí obsh n. stupni ZŠ Temtický okruh Číslo proměnná Očekávné výstupy: Žák n konci. stupně by měl umět: provádět početní operce v oboru celých rcionálních čísel; ve výpočtech umí použít druhou mocninu odmocninu zokrouhlovt provádět odhdy s dnou přesností, účelně využívt klkulátor modelovt řešit situce s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel užívt různé způsoby kvntittivního vyjádření vzthu mezi celkem jeho částí (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem) řešit modelováním výpočtem situce vyjádřené poměrem; prcovt s měřítky mp řešit plikční úlohy n procent mtemtizovt jednoduché reálné situce s využitím proměnných; určit hodnotu výrzu, prcovt s mnohočleny (+,,, :, vytýkání) formulovt řešit reálné situce pomocí rovnic jejich soustv nlyzovt řešit jednoduché problémy, modelovt konkrétní situce, využívt mtemtický prát v oboru celých rcionálních čísel (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, [Int 5]) Učivo dělitelnost přirozených čísel prvočíslo, číslo složené, násobek, dělitel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, kritéri dělitelnosti celá čísl čísl nvzájem opčná, číselná os desetinná čísl, zlomky rozvinutý zápis čísl v desítkové soustvě; převrácené číslo, smíšené číslo, složený zlomek poměr měřítko, úměr, trojčlenk procent procento, promile; zákld, procentová část, počet procent; jednoduché úrokování mocniny odmocniny druhá mocnin odmocnin výrzy číselný výrz jeho hodnot; proměnná, výrzy s proměnnými, mnohočleny rovnice lineární rovnice, soustv dvou lineárních rovnic se dvěm neznámými (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, s., [Int 5]) 7

18 Temtický okruh Závislosti, vzthy práce s dty Očekávné výstupy: Žák n konci. stupně by měl být schopen: vyhledávt, vyhodnocovt zprcovávt dt porovnávt soubory dt určit vzth přímé nebo nepřímé úměrnosti vyjádřit funkční vzth tbulkou, rovnicí, grfem mtemtizovt jednoduché reálné situce s využitím funkčních vzthů (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, [Int 5] ) Učivo závislosti dt příkldy závislostí z prktického život jejich vlstnosti, nákresy, schémt, digrmy, grfy, tbulky; četnost znku, ritmetický průměr funkce prvoúhlá soustv souřdnic, přímá úměrnost, nepřímá úměrnost, lineární funkce (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, s., [Int 5]) Temtický okruh Geometrie v rovině v prostoru Očekávné výstupy Žák n konci. stupně by měl být schopen: zdůvodnit využít polohové metrické vlstnosti zákldních rovinných útvrů při řešení úloh jednoduchých prktických problémů; použít mtemtickou symboliku chrkterizovt třídit zákldní rovinné útvry určit velikost úhlu měřením výpočtem odhdnout vypočítt obsh obvod zákldních rovinných obrzců používt pojem množin všech bodů dné vlstnosti k chrkteristice útvru k řešení polohových nepolohových konstrukčních úloh nčrtnout sestrojit rovinné útvry použít věty o shodnosti podobnosti trojúhelníků nčrtnout sestrojit obrz rovinného útvru ve středové osové souměrnosti, určit osově středově souměrný útvr poznt zákldní prostorové útvry (těles) využívt jejich vlstnosti při řešení jednoduchých úloh odhdnout vypočítt objem povrch těles, sestrojit jejich síť u jednoduchých těles nčrtnout jejich obrz v rovině nlyzovt řešit plikční geometrické úlohy s využitím osvojeného mtemtického prátu (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, [Int 5]) 8

19 Učivo rovinné útvry přímk, polopřímk, úsečk, kružnice, kruh, úhel, trojúhelník, čtyřúhelník (lichoběžník, rovnoběžník), prvidelné mnohoúhelníky, vzájemná poloh přímek v rovině (typy úhlů), shodnost podobnost (věty o shodnosti podobnosti trojúhelníků) metrické vlstnosti v rovině druhy úhlů, vzdálenost bodu od přímky, trojúhelníková nerovnost, Pythgorov vět prostorové útvry kvádr, krychle, rotční válec, jehln, rotční kužel, koule, kolmý hrnol konstrukční úlohy množiny všech bodů dné vlstnosti (os úsečky, os úhlu, Thletov kružnice), osová souměrnost, středová souměrnost (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, s., [Int 5]) Temtický okruh Nestndrdní plikční úlohy problémy Očekávné výstupy Žák by měl být n konci. stupně schopen: logicky uvžovt při řešení úloh problémů nlézt různá řešení předkládných nebo zkoumných situcí řešit úlohy n prostorovou předstvivost, plikovt propojovt získné pozntky dovednosti z různých temtických vzdělávcích oblstí Učivo číselné logické řdy číselné obrázkové nlogie logické netrdiční geometrické úlohy (Výzkumný ústv pedgogický v Prze, 007, s., [Int 5]). Přijímcí řízení Po ukončení povinné devítileté školní docházky mohou žáci pokrčovt v dlším vzdělávání n SŠ. Od roku 009 do.. 0 měli žáci možnost podávt si tři přihlášky n SŠ, od tohoto dt se n zákldě novely školského zákon č. 47/0 Sb. počet podávných přihlášek snížil n dvě přihlášky v prvním kole. 9

20 Střední školy postupují při přijímání žáků uchzečů podle Vyhlášky MŠMT č. 94/008 Sb. která mění vyhlášku MŠMT č.67/004 Sb, o přijímání žáků dlších uchzečů ke studiu ve středních školách zřizovných státem, ve znění pozdějších předpisů. Tto vyhlášk stnovuje formální postup přijímcího řízení vymezuje čsový průběh. (MŠMT, 008, [Int 9]) Ředitelé škol rozhodnou, zd se v rámci přijímcího řízení budou kont i přijímcí zkoušky popřípdě z jkých předmětů. Trdičně se skládjí zkoušky z českého jzyk, mtemtiky, všeobecných znlostí, popřípdě tlentové zkoušky. (MŠMT, 008, [Int 9]) V součsné době díky snížení počtu bsolventů zákldních škol, jsou žáci přijímáni ke studiu n SŠ většinou n zákldě průměru známek n vysvědčení z osmého prvního pololetí devátého ročníku zákldní školy, dle výsledků v různých olympiádách soutěžích pod. Žáci jsou pk zváni jen k ústním pohovorům s pedgogy, které neověřují žákovy znlosti, le pouze jeho motivci k studiu n dné SŠ. Přijímný počet žáků se příliš neliší od počtu přihlášených. Situce se liší podle jednotlivých oblstí, což je dáno počtem škol počtem uchzečů. Není proto možné zmpovt všechny oblsti. Z tohoto důvodu se dále soustředíme pouze n vybrné školy v Ústeckém krji, konkrétně v regionu Litoměřicko.... Přijímcí řízení n školní rok 0/0 Litoměřicko V této kpitole uvádím přehled SŠ n Litoměřicku, neboť je to oblst, kde jsem plikovl soubor. OP obecné studijní předpokldy TZ tlentové zkoušky Tbulk Název školy Gymnázium Josef Jungmnn, Litoměřice, Svojsíkov, příspěvková orgnizce Gymnázium, Lovosice, Sdy pionýrů 600, příspěvková orgnizce Gymnázium, Roudnice nd Lbem, Hvlíčkov 75, příspěvková orgnizce Obor nebo změření Délk studi Počet přijímných n rok 0/0 Přihl./přijto 0/0 Gymnázium 4 7/4 Gymnázium všeobecné /87 Gymnázium /55 Přijímcí zkoušky 0

21 Gymnázium, Střední odborná škol Střední odborné učiliště, o.p.s. Litoměřice Vyšší odborná škol, Obchodní kdemie Střední odborná škol EKONOM, O.p.s., Litoměřice Soukromá podřipská střední odborná škol střední odborné učiliště o.p.s. Soukromá střední odborná škol s. r. o. Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Neklnov 806, Roudnice nd Lbem Gymnázium 4 0 7/7 Ekonomik podnikání (Finnční dňový specilist) 4 5 / Grfický design 4 0 8/8 Nábytkářská dřevřská výrob 4 5 9/9 Oděvnictví 4 5 0/0 Scénická výstvní tvorb 4 5 0/0 Kosmetické služby 4 0 6/6 Arnžér 5 8/8 Kdeřník 40 5/5 Krejčí 5 0/0 Kuchř číšník 5 / Truhlář 4 5/4 Úmělecký truhlář řezbář 0 0/0 Ekonomik podnikání 4 0 /0 Obchodní kdemie 4 0 4/0 Finnční služby 4 4 8/8 Hotelnictví 4 4 8/ Mngement cestovního 4 4 /4 ruchu Mngement obchodu 4 4 8/6 Kdeřník 8/ Prodvč 0 4/0 Ekonomik podnikání (Ekonomik pro prxi) Ekonomik podnikání (Reklmní výtvrnictví) Ekonomik podnikání (Výpočetní technik) 4 4 /6 4 8 /0 4 4 /0 Informční technologie 4 4 0/ Veřejnosprávní činnost 4 4 /8 Doprvní prostředky 4 0 / Sociální činnost 4 0 4/9 Instltér 0 /6 Krosář 0 /0 Mechnik oprvář motorových vozidel 0 5/8 Obráběč kovů 0 6/0 Zedník 0 4/6 Pečovtelské služby 0 7/7 Zednické práce 0 0/0 TZ TZ TZ OP OP

22 Střední odborná škol technická zhrdnická, Lovosice, příspěvková orgnizce Střední pedgogická škol J.H. Pestlozziho, Litoměřice, Komenského, příspěvková orgnizce Střední škol POHODA, s.r.o, Litoměřice Vyšší odborná škol Střední odborná škol Roudnice nd Lbem, Špindlerov 690, příspěvková orgnizce Vyšší odborná škol oblové techniky Střední škol, Štětí, Kostelní 4, příspěvková orgnizce Aplikovná chemie 4 5 0/8 Autotronik 4 4 4/6 Mechnik oprvář motorových vozidel 4 5/8 Operátor skldování 4 / Oprvář zemědělských strojů 4 9/9 Prodvč 4 5/5 Strojní mechnik (zhrdník) 0 0/0 Truhlář 0 / Zhrdník 0 8/8 Oprvářské práce 4 0/6 Strvovcí ubytovcí služby 4 9/7 Zhrdnické práce 4 9/7 Pedgogické lyceum /9 Předškolní mimoškolní pedgogik 4 60 /6 Sociální činnost (Výchovná humnitární činnost) /54 Cestovní ruch 4 0 0/0 Kosmetické služby 4 0 0/9 Msér sportovní rekondiční 4 0 0/0 Cukrář 0 8/8 Kdeřník 0 0/0 Kuchř číšník 0 8/8 Rekondiční sportovní msér 0 4/4 Cukrářské práce 5 8/8 Kuchřské práce 5 7/7 Agropodnikání 4 0 7/0 Doprvní prostředky /60 Ekonomické lyceum /0 Informční technologie /48 Informční technologie /65 Oblová technik /47 Mechnik elektrotechnik 4 0 6/6 Truhlář 5 8/8

23 Střední škol hotelnictví, gstronomie služeb, Litoměřice, Dlouhá 6, příspěvková orgnizce Soukromé střední odborné učiliště INDUSTRIA, Litoměřice Ekonomik podnikání 4 0 8/0 Hotelnictví /60 Informční technologie 4 0 /4 Instltér 4 0/0 Kuchřčíšník 90 6/57 Mechnik oprvář motorových vozidel 0 4/ Zedník 0 6/6 Kosmetické služby 4 0 4/4 Kdeřník 0 0/8 (Úřd práce ČR, 0, []) Z tbulky vyplývá, že zájem SŠ o uchzeče převyšuje zájem uchzečů v mnoh přípdech. Přestože by se tedy mohlo zdát, že je pro žáky v součsné době zbytečné se připrvovt n přijímcí řízení, domnívám se, že se jedná pouze o momentální trend. Nyní do škol nstupují silnější ročníky, tk z pár let bude možné, by si střední školy studenty opět vybírly n zákldě úspěchu u přijímcích zkoušek. Je tké nutné podotknout, že jen v Ústeckém krji je situce v kždé oblsti jiná. Uvádím zde oblst Litoměřicko, neboť jsem v této oblsti plikovl soubor chtěl jsem tk ukázt, že žáci v této oblsti nemjí téměř žádnou motivci k příprvě n přijímcí zkoušky. V této oblsti jsou přijímáni bez přijímcích zkoušek. Pokud by všk chtěli jít studovt do jiné oblsti jko je Děčínsko, Chomutovsko, Lounsko, Mostecko Teplicko, museli by n některých školách přijímcí zkoušky z mtemtiky skládt. (Úřd práce ČR, 0, []) Soubor, který uvádím, je všk možné využít nejen k příprvě žáků n přijímcí zkoušky, le i k smosttnému opkování či jko inspirci pro učitele do hodin mtemtiky.

24 II. Prktická část Cílem diplomové práce je: zmpovt změření přijímcích zkoušek z mtemtiky ve vybrném regionu vytvořit soubor řešených úloh n vybrné oblsti mtemtiky, které jsou z velké části zstoupeny v přijímcích testech z mtemtiky sestvit soubor neřešených úloh k dlšímu procvičení relizovt nvržený soubor úloh v prxi ve škole ověřit jeho přínos ke zvýšení úspěšnosti žáků při řešení těchto úloh K relizci cílů diplomové práce jsem stnovil hypotézy (viz kpitol. str. 4), k jejichž ověření jsem sestvil soubor řešených příkldů (viz kpitol. str. 5), n který nvzuje soubor neřešených příkldů (viz kpitol. str. 97). Dále jsem sestvil Vstupní test (viz kpitol.4 str. 06) dotzník (viz kpitol.5 str. 09). V závěru jsem vytvořil Výstupní test (viz kpitol.6 str. ), jehož výsledky jsou využity k porovnání úspěšnosti sbírky před po její plikci. V prktické části diplomové práce je uvedeno mnoho obrázků, neníli uvedeno jink, jedná se o obrázky vytvořené v progrmu Microsoft Excel Mlování.. Stnovené hypotézy Před plikcí sbírky jsem očekávl, že se žáci devátých ročníků příliš nepřiprvují n přijímcí řízení. Očekávl jsem, že jejich schopnosti plikovt dříve získné vědomosti v prktických úlohách Vstupního testu (viz kpitol.4. str. 08) budou nižší, neboť látk nebyl opkován, tudíž ji většin žáků úspěšně zpomněl. N zákldě těchto předpokldů jsem stnovil následující hypotézy: Hypotéz H: Z obtížné žáci povžují geometrické úlohy, zejmén v přípdě prostorové předstvivosti. Hypotéz H: Pro žáky je velmi problemtické řešit komplexní úlohy. Hypotéz H: Cílené řešení úloh ovlivňuje pozitivně rychlost úspěšnost řešení. Toto se projeví ve vyšší úspěšnosti Výstupního testu. Hypotéz H4: Bonusové příkldy bývjí čsto zdávány, by žáci získli více bodů. Předpokládám tedy, že i v tomto přípdě se soustředí n jeho řešení budou celkem úspěšní. Komplexní úlohou se rozumí úloh, při jejímž řešení je nutné plikovt vědomosti z více oblstí mtemtiky. 4

25 . Soubor řešených příkldů N zákldě prostudování ukázek přijímcích zkoušek z mtemtiky n SŠ (sbírk přijímcích zkoušek, ukázky SCIO testů n internetových stránkách, ukázky přijímcích testů n stránkách jednotlivých středních škol) jsem vybrl typy příkldů, se kterými se žáci prvděpodobně setkjí v přijímcích zkouškách z mtemtiky n SŠ. Tyto typy příkldů jsem rozdělil do čtyř oblstí, které odpovídjí RVP ZV, uvedl jsem k nim zákldní teoretická východisk připojil řešené příkldy. Jestliže jsou teoretická východisk v uvozovkách jsou psán kurzívou, jedná se o přímou citci, pokud není text psán kurzívou, jedná se o citci nepřímou. V součsné době se n většině středních škol přijímcí zkoušky nekonjí, le přesto tuto sbírku mohou žáci použít k smosttnému procvičování či opkování, popřípdě k ověření svých momentálních znlostí... Číslo proměnná V této kpitole jsou zřzen témt, která odpovídjí podle RVP ZV v oblsti Mtemtik její plikce temtickému okruhu Číslo proměnná (viz. kpitol... str.7 ). Do tohoto okruhu spdá: Největší společný dělitel metody jeho určení, Nejmenší společný násobek metody jeho určení, Poměr, Procent, Mocniny odmocniny, Lineární rovnice jejich soustvy, Výrzy jejich úprvy.... Největší společný dělitel SPOLEČNÝM DĚLITELEM přirozených čísel n,n,, n k nzýváme přirozené číslo, které je dělitelem kždého z těchto čísel. Ten ze společných dělitelů, který je větší než všichni osttní společní dělitelé, se nzývá NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL čísel n,n,, n k oznčuje se D(n, n,, n k ). (Polák, 980, str. 6, [8]) Nechť n, n,, n k є N, pk největší společný dělitel těchto čísel je definován: D(n, n,, n k ) = mx {n N: n n Λ n n Λ.Λ n n k } ([W], 007) Jeli D(n, n,, n k ) =, říkáme, že přirozená čísl n, n,, n k jsou NESOUDĚLNÁ ČÍSLA. (Polák, 980, str. 6, [8]) 5

26 V následující části uvidíme, že při hledání největšího společného dělitele i nejmenšího společného násobku potřebujeme rozložit číslo n součin prvočísel. K rozkldu pk využíváme kritéri dělitelnosti. Nejzákldnější kritéri dělitelnosti jsou shrnut v následující tbulce: Tbulk Příkld čísl, které Číslo je dělitelné je dělitelné není dělitelné je li poslední cifr sudé číslo 4 67 jeli ciferný součet dělitelný třemi jeli poslední dvojčíslí dělitelné jeli poslední cifr číslo 0 nebo jeli dělitelné číslem součsně číslem jeli jeho poslední trojčíslí dělitelné jeli jeho ciferný součet dělitelný jeli jeho poslední cifr číslo jeli rozdíl součtu cifer n lichých sudých místech dělitelný jedenácti nebo roven 0 (Polák, 980, [8]) Při hledání největšího společného dělitele můžeme postupovt různými metodmi: Metod výběru Tto metod je využíván především u dětí mldšího školního věku. Spočívá ve vypsání všech možných dělitelů zdných čísel následném vybrání největšího společného dělitele (vhodné u menších čísel). Metod prvočíselného rozkldu Nechť máme čísl n, n,, n k є N, pk při hledání největšího společného dělitele těchto čísel metodou prvočíselného rozkldu postupujeme tkto: ) Nejprve rozložíme čísl n, n,, n k, jejichž největšího společného dělitele hledáme, n součin prvočísel. b) Vybereme prvočísl, která se ncházejí v prvočíselném rozkldu všech čísel n, n,, n k. c) Tto prvočísl vynásobíme, čímž dostneme největšího společného dělitele čísel n, n,, n k. Znčíme D (n, n,, n k ). (Polák, 980, [8]) 6

27 Euklidův lgoritmus Tento lgoritmus se používá pro zjištění největšího společného dělitele dvou přirozených čísel. Nechť 0 jsou dvě přirozená čísl. Pk Euklidův lgoritmus pro největšiho společného dělitele D ( 0, ) zní: Známeli i i spočteme i+ = ( i )mod i. Tedy víme, že existuje tkové q i є N, že i = q i i + i+ i+ < i. Algoritmus skončí, když n+ = 0, potom n = D( 0, ). (Žemličk, 007,str., [Int 6]) V popisu Euklidov lgoritmu se vyskytuje prvek z modulární ritmetiky, tedy zde uvedeme stručné vysvětlení: Modulární ritmetik je ritmetikou n množině celých čísel Z, v níž se čísl opkují po dosžení určité hodnoty n, již nzýváme MODUL. N rozdíl od běžných celočíselných opercí se zde po kždé operci provede ještě celočíselné dělení modulem n výsledkem operce je zbytek po tomto dělení. (Přikryl, Vlček, 008, str., [Int ]) PŘÍKLAD: Njděte největšího společného dělitele čísel 6, 504. Řešení: ) Metod výběru: Nejprve vypíšeme všechny možné dělitele čísel 6, 504, 840, oznčíme společné vybereme z nich největšího: 6 :,,, 4, 6, 7, 8,, 4, 6,, 4, 8, 4, 48, 56, 84,, 68, 6 504:,,, 4, 6, 7, 8, 9,, 4, 8,, 4, 8, 6, 4, 56, 6, 7, 84, 6,68, 5, 504 Společní dělitelé čísel tedy jsou:,,, 4, 6, 7, 8,, 4,, 4, 8, 4, 56, 84, 68 Největší ze společných dělitelů je číslo 68: D(6, 504) = 68 b) Metod prvočíselného rozkldu Prvočíselný rozkld: 6 = 7 = = 7 =

28 Výběr prvočísel, která se ncházejí ve všech prvočíselných rozkldech čísel 6, 504: v nšem přípdě to jsou t v brevných políčkách, tedy čísl:,,,, 7 6 = 7 = = 7 = Zjištění největšího společného dělitele čísel 6, 504: Největšího společného dělitele získáme vynásobením prvočísel zjištěných v předchozím kroku. Zpisujeme: D(6, 504) = 7 D(6,504) = 68 c) Euklidův lgoritmus Řešení: Obecně: Konkrétně: i = : 0 = q = i = : = q + 6 = D(6, 504) = Nejmenší společný násobek SPOLEČNÝM NÁSOBKEM přirozených čísel n, n,, n k nzýváme přirozené číslo, které je násobkem kždého z těchto čísel. Ten ze společných násobků, který je menší než libovolný jiný společný násobek, se nzývá NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK čísel n, n,, n k. Oznčuje se n (n, n,, n k ). (Polák, 980, str. 6, [8]) Nechť n, n,, n k є N pk NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK těchto čísel je definován: n(n, n,, n k ) = min{ n є N: n n Λ n n Λ Λ n k n}. 8

29 Podobně jko u největšího společného dělitele můžeme i při zjišťování nejmenšího společného násobku postupovt různými metodmi: Metod výběru Tto metod je využíván především v počátku seznmování se s nejmenším společným násobkem. Zákldem je vypst různé násobky jednotlivých čísel vybrt ten nejmenší společný. Metod prvočíselného rozkldu Nechť čísl n, n,, n k є N, pk při hledání jejich nejmenšího společného násobku metodou prvočíselného rozkldu postupujeme tkto: ) Nejprve rozložíme čísl n, n,, n k, jejichž společný nejmenší násobek hledáme, n součin prvočísel. b) Z těchto prvočísel vybereme kždé v jeho největší mocnině. c) n(n,n,,n k ) je součin čísel vybrných v kroku b). (Polák, 980, [8]) Metod přes největšího společného dělitele Mezi nejmenším společným násobkem největším společným dělitelem pltí vzth: n(n, n ) = n n, kde n, n є N D( n,n ) (Polák, 980, str. 6, [8]) PŘÍKLAD: Njděte nejmenší společný násobek čísel ) Metod výběru: Vypíšeme jednotlivé násobky, vyznčíme ty společné vybereme nejmenší společný násobek: 6: 6, 67, 008, 44, 680, 06, 5, : 504, 008, 5, 06, Ze společných násobků vybereme ten nejmenší: 008< 06 Nejmenší společný násobek čísel je číslo 008, znčíme: n (6, 504)= 008 9

30 b) Metod prvočíselného rozkldu Obdobně jko u největšího společného dělitele musíme nejprve provést prvočíselný rozkld oznčíme čísl v jejich největší mocnině: 6 = 7 = = 7 = Z prvočíselných rozkldů vybereme čísl v jejich největší mocnině: 4 ; ; 7 n (6, 504) = 4 7 n (6, 504) = 008 c) Metod přes největšího společného dělitele Největšího společného dělitele čísel 6, 504 jsme spočítli v kpitole... str. 7. Stčí tedy jen dosdit do vzthu mezi největším společným dělitelem nejmenším společným násobkem: n (6,504) D(6,504) n(6,504) = 008 Největší společný dělitel nejmenší společný násobek v příkldech PŘÍKLAD : Tři kmrádi Honz, Kmil Pep si nšli prázdninovou brigádu jko řidiči v rozvážkové službě. Kmil rozváží větší blíky vrcí se zpět n firmu kždou hodinu půl, Honz rozváží menší blíčky vrcí se n firmu kždou druhou hodinu, Pep rozváží dopisy po okolí tk, že se n firmu vrátí vždy z hodinu minut. Z jk dlouho se všichni kmrádi společně setkjí ve firmě? Řešení: Musíme njít nejmenší společný násobek dných čsových údjů. Pro sndnější počítání si čsové údje převedeme n minuty: Honz:... hod = 0 minut Kmil:...,5 hod = 90 minut Pep:... hod min= 7 min 0

31 0 = 5= 5 90 = 5 = 5 7 = = n(7,90,0)= 5= 60 min= 6 hod Odpověď: Všichni tři kmrádi se ve firmě setkjí z 60 min. tj. z 6 hodin. PŘÍKLAD : Spisovtel npsl jeden den stránek, druhý den 48 stránek třetí den 40 stránek své nové knížky. Kždý den psl průměrně stejně rychle po celý počet hodin. Kolik stránek průměrně npsl z hodinu? Řešení:. den:... stránek. den: stránek. den: stránek z hodinu průměrně npsl x stránek Hledáme největšího společného dělitele čísel, 48, 0: = = 5 48 = = 4 40 = 5 = 5 D(,40,48) = = 8 Odpověď: Spisovtel npsl průměrně z jednu hodinu 8 stránek. PŘÍKLAD : Petr Pvel si půjčili v knihovně stejnou knížku. Petr přečetl kždý den 64 stránek dočetl ji právě o den později než Pvel, který četl kždý den 7 stránek. Kolik strn měl knih? Řešení: Petr: Pvel: kždý den přečetl 64 stránek počet dní, po které četl knihu. n + kždý den přečetl 7 stránek počet dní, po které četl knihu. n Knih má celkem x strn

32 Hledáme nejmenší společný násobek čísel 64 7: 7 = 64 = 6 n(64,7) = 6 =576 Odpověď: Knih měl 576 strn. Tento příkld by bylo možné řešit i pomocí lineární rovnice viz. kpitol...5. PŘÍKLAD str. 9. PŘÍKLAD 4: Vypočítejte: Řešení: Při krácení zlomků použijeme největší společný dělitel čittele jmenovtele zlomku, při převádění zlomků n společného jmenovtele nejmenší společný násobek: = PŘÍKLAD 5: Njděte nejmenší společný násobek výrzů b, 4 b, ( b), b. Řešení: 8 5 Hledání nejmenšího společného násobku různých výrzů se využívá především při sčítání odčítání lomených výrzů, kdy musíme převést výrzy n společného jmenovtele (viz kpitol...6 Algebrické výrzy, str. 45). Postup je stejný, jko když hledáme nejmenší společný násobek čísel. Kždý z výrzů rozložíme n součin. Vyznčíme výrzy v jejich největší mocnině. Nejmenší společný násobek je pk součin všech výrzů vyskytujících se v součinovém tvru v největší mocnině. Tedy pro výrzy ze zdání: b nelze jink rozložit 4 b = b ( b) = ( b)( b) b = ( b)( +b ) 4 5 n( b, 4 b, ( b), b ) = b ( + b)( b) 6 8 0

33 ... Poměr Poměr je způsob porovnání dvou údjů. Ob porovnávné údje musí být ve stejných jednotkách. Poměr čísel, b zpisujeme: : b (čti ku b) (Hájková, 00, str. 4, [Int ]) PŘÍKLAD : Čtyři kmrádi si n letní brigádě vydělli peníze v poměru 8 : 7 : 6 : 4. Součet výdělku prvního třetího kmrád byl 4550 Kč. Kolik korun si vyděll kždý z kmrádů? Kolik si vydělli všichni kmrádi dohromdy? Řešení: Poměr mezi výdělkem.. kmrád je 8 : 6, musíme tedy tímto poměrem rozdělit částku 4550 Kč, tzn. rozdělit ji n = 4 stejných dílů tuto dílčí část vynásobit příslušnou hodnotou z poměru u kždého kmrád: 4550 : 4 = 5. kmrád: 8 5 = 600 Kč. kmrád: 7 5 = 75 Kč. kmrád: 6 5 = 950 Kč 4. kmrád: 4 5 = 00 Kč Celkový výdělek kmrádů: = 685 Kč Odpověď: Celkový výdělek všech čtyř kmrádů byl 685 Kč. První si vyděll 600 Kč, druhý 75 Kč, třetí 950 Kč čtvrtý 00 Kč. PŘÍKLAD : Pn Hroud si n mpě s měřítkem : 500 změřil rozměry svého obdélníkového pole. Nměřené rozměry n mpě jsou cm 5 cm. Určete skutečné rozměry pole vypočítejte jeho skutečnou výměru v hektrech. Řešení: cm n mpě odpovídá podle měřítk 500 cm ve skutečnosti. Skutečné rozměry pole tedy jsou: 500 = cm = 40 m = cm = 75 m Výměru pole spočítáme jko obsh této plochy: S = b S = S = m S = 7,5 h Odpověď: Pole pn Hroudy má rozměry 40 x 75 metrů. Skutečná výměr pole je 7,5 hektrů.

34 ...4 Mocniny odmocniny Nechť є R n є N, pk součin = n, je zákld mocniny, n je exponent mocniny. ZÁKLADNÍ VZORCE PRO POČÍTÁNÍ S MOCNINAMI: () r s r+s = Mocniny se stejným zákldem násobíme tk, že zákld umocníme n součet exponentů. () r : s = rs, pro 0 Podíl mocnin se stejným nenulovým zákldem dostneme, když zákld umocníme n rozdíl exponentů. () ( r ) s = r s Mocninu umocníme, když její zákld umocníme n součin exponentů. (4) (b) r = r b r Mocnin součinu je rovn součinu mocnin. r r (5), pro b 0 r b b r (6), pro 0 r (7)( ) n = n je sudé přirozené číslo. Mocnin podílu je rovn podílu mocnin. Mocniny se záporným exponentem umocníme tk, že dáme mocninu do jmenovtele změníme exponent n kldný. Sudá mocnin záporného čísl je rovn téže mocnině z kldného čísl. POZOR!! ( ) n n, kde n є N 0 =, є R Odmocňování je inverzní operce k umocňování. (Polák, 980, [8]) Nechť,b є R, є N pk n b právě tehdy, když b n = ( n čti ntá odmocnin z ). ([W5], 999) ZÁKLADNÍ VZORCE PRO POČÍTÁNÍ S ODMOCNINAMI: (8)( n ) m n m, 0, є R Odmocninu umocníme tk, že umocníme zákld následně spočteme odmocninu. n n n (9) b b, b 0 Odmocnin ze součinu je rovn součinu odmocnin. b n n m n m (0) n, 0 n, 0, b > 0,,b є R Odmocnin z podílu je rovn podílu odmocnin. b n m n m (), 0, є R; n () n, 0, є R Odmocnin z odmocniny je rovn zákldu odmocněnému součinem odmocnitelů. Odmocnin je rovn umocnění zákldu n převrácenou hodnotu odmocnitele. (Polák, 980, [8]) 4

35 N zákldní škole se žáci podle RVP ZV mjí setkt povinně s druhou mocninou odmocninou. Ve školní prxi pk žáci většinou počítjí i s vyššími mocninmi, vyšší odmocniny jsou pk vykládány jen n minimu škol. Přestože vyšší mocniny odmocniny nejsou probírány n všech ZŠ, jsou součástí přijímcích srovnávcích testů pro žáky 9. ročníků (viz SCIO testy sbírk testů z přijímcích testů n ZŠ). V zdání příkldů se čsto setkáme s tím, že se v nich vyskytují různé operce, je proto dobré znát, v jkém pořdí provádíme zákldní mtemtické operce: ) Výpočet odstrnění závorek ) Provedení umocnění odmocnění ) Násobení, dělení 4) Sčítání, odčítání PŘÍKLAD : Vypočítej, jednu osminu z 6. Řešení: Řešením je zlomek, který má v čitteli 6 ve jmenovteli 8. Číslo 8 lze zpst ve tvru mocniny jko, tím dostáváme podíl dvou mocnin se stejným zákldem. Můžeme tedy pro zjednodušení použít vzth (): PŘÍKLAD : Vypočítejte: + ( 4) ( ) Řešení: Nejprve umocníme. Pozor je nutné si uvědomit rozdíl mezi ( ). V prvním přípdě má mocnin přednost před znménkem, tedy výsledek bude záporné číslo. V druhém přípdě umocňujeme závorku, která má přednost před mocninou, proto bude výsledkem kldné číslo. + ( 4) ( ) = = 4 5

36 PŘÍKLAD : Urči hodnotu číselného výrzu: Řešení: Nejprve přepíšeme zákld odmocniny do tvru mocniny prvočísl, následně odstrníme odmocniny. Pozor součin má přednost před sčítáním odčítáním: 4 6 = V nšem řešení jsme předpokládli, že ntá odmocnin z kldného čísl je opět kldné číslo. 4 ( ) PŘÍKLAD 4: Vypočítejte: ( 6) Řešení: Nejprve použijeme prvidl (), (4) pro počítání s mocninmi, vytkneme v čitteli, zkrátíme čittele se jmenovtelem. Aplikujeme vzth (), (0) následně odmocníme: 4 ( ) ( 6) 6 4 ( 4) PŘÍKLAD 5: Uspořádejte čísl správně podle velikosti od nejmenšího k největšímu: 5 0 ( ) ; ; ( ) ; ; 0,6; 9 8 Řešení: V prvé řdě provedeme u kždého čísl umocnění odmocnění: ( ) ( 8) 8 9 ( ) , ,4 Výsledky seřdíme podle velikosti: 9 < 0,4 < < < 4 < 8 Nyní k výsledkům přiřdíme výrzy ze zdání. Výsledek: <, 6 0 < < 9 < ( ) < ( ) 6

37 ...5 Rovnice Nechť f(x), g (x) jsou funkce definovány n množině M є R (popřípdě C), pk nlezení všech x є M odpovídjící rovnosti: f(x) = g(x) nzýváme ROVNICÍ S NEZNÁMOU x; f(x) se nzývá levá strn rovnice, g(x) prvá strn rovnice. Jeli g(x) = 0, je rovnice v tzv. ANULOVANÉM TVARU. Čísl x є M, která vyhovují dné rovnici, jsou tzv. KOŘENY ROVNICE. (Polák, 980, [8]) N zákldní škole se mlčky předpokládá, že veškeré úlohy se řeší v oboru rcionálních čísel, pokud není uvedeno jink. Tím máme n mysli npř. úlohy, které vedou k řešení diofntovské rovnice řešené v oboru celých, příp. přirozených čísel. Stejně tk při řešení dlších rovnic se toto předpokládá. Nicméně npř. grfické řešení soustv rovnic může vyústit v nekonečně mnoho řešení v oboru reálných čísel (dvě splývjící přímky). Nebudeli uvedeno jink, předpokládáme v dlším textu řešení rovnic v oboru reálných čísel, což je v souldu s uvedenou chrkteristikou (podle Coufl, Klůf, 000, [4])...5. Lineární rovnice Definice: Nechť,, n b jsou dná reálná čísl (n N je rovněž dné). Rovnice tvru: x + x + x + + n x n = b se nzývá LINEÁRNÍ ROVNICE o n NEZNÁMÝCH x, x, x,.x n. (Klůf, Coufl 00, str., [4]) N zákldní škole se ovšem žákům předkládá pouze zjednodušená definice: Definice: Lineární rovnicí s neznámou x є R nzýváme kždou rovnici ve tvru x + b = 0, kde є R {0}, b є R. Jeli 0 má rovnice x + b = 0 jediné řešení b x. Jeli = 0 součsně b = 0 v rovnici x + b = 0, má rovnice nekonečně mnoho řešení (kždé reálné číslo). Jeli = 0 součsně b 0 v rovnici x + b = 0, nemá rovnice řešení (množin řešení je prázdná). (Hudcová, Kubičíková, 004, str. 55, []) 7

38 Při řešení lineárních rovnic používáme tzv. ekvivlentní úprvy, tj. úprvy, při kterých jsou rovnice původní i rovnice uprvené nvzájem ekvivlentní. To znmená, že při úprvě žádný kořen ni neubyl, ni nepřibyl. (Sedláček kol., 98, [9]) Ekvivlentní úprvy rovnic probírné n zákldní škole: ) Roznásobování závorek vytýkání. ) Záměn strn rovnice. ) Přičtení nebo odečtení téhož čísl nebo výrzu s proměnnou k oběm strnám rovnice. 4) Násobení nebo dělení obou strn rovnice číslem nebo nenulovým výrzem s neznámou. (Mikulčák, 99, [5]) PŘÍKLAD : Vyřešte dnou rovnici: x + 5 7x = x 8 x Řešení: x + 5 7x = x 8 x / x + x 5 x 7x x + x = 8 5 5x = 5 /: ( 5) x = 5 Zkoušk: L(5) = = = 5 P(5) = = = 5 L(5) = P(5) PŘÍKLAD : Vyřešte dnou rovnici: (5x ) x 8 6x Řešení: x Roznásobíme závorku: 5 x 6 8 6x / Vynásobením rovnice společným jmenovtelem, odstrníme zlomky: 45x 8 (x ) = 4 + 8x 45 x x 8x = x = 40 / : 6 40 x = 6 / + 8 8x x 7 8

39 Zkoušk: L P L 7 P 7 PŘÍKLAD : Petr Pvel si půjčili v knihovně stejnou knížku. Petr přečetl kždý den 64 stránek dočetl ji právě o den později než Pvel, který četl kždý den 7 stránek. Kolik strn měl knih? Řešení: Petr: den stránek Pvel: den... 7 stránek n = počet dní, z které přečetl knihu Pvel n+ = počet dní, z které přečetl knihu Petr 64 ( n + ) = 7 n 64 n + 64 = 7 n / 64 n 7 n 64 n = 64 8n = 64 / : 8 n = 8 Počet dní počet stránek přečtených z den = celkový počet stránek knihy 8 7 = = 576 Odpověď: Knih, kterou si Petr s Pvlem půjčili, měl 576 stránek. 9

40 ...5. Soustvy lineárních rovnic x + x + + n x n = b x + x + + n x n = b x + x + + n x n = b m x + m x + + mn x n = b m. je SOUSTAVA m LINEÁRNÍCH ROVNIC O n NEZNÁMÝCH x, x,.x n (m,n є N je dné). Koeficienty u neznámých ij ( i =,, m; j =,, n) prvé strny rovnic b,, b m jsou dná reálná čísl. Řešením této soustvy rovnic jsou reálná čísl x, x,, x n, která vyhovují všem rovnicím soustvy. (Klůf, Coufl, 000, [4]) Žáci zákldní školy řeší pouze soustvy dvou rovnic o dvou neznámých, proto jsou následující příkldy věnovány pouze této problemtice metodám používným n ZŠ. Při řešení soustvy lineárních rovnic se žáci mohou setkt se třemi možnostmi výsledku: ) Soustv má nekonečně mnoho řešení tzn. jedn ze zdných rovnic je násobkem druhé zdné rovnice. Npř. rovnice: x + y = 7 4x + 6 y = 4 Jedná se o násobek té smé rovnice, získáme tk jednu rovnici pro dvě neznámé. K řešení této rovnice musíme rovnici prmetrizovt (prmetr se ovšem n zákldní škole nezvádí). Grfickým řešením získáme dvě splývjící přímky. ) Soustv nemá řešení tzn. levé strny rovnic se rovnjí, le prvé nikoliv. Rovnice vyjdřují dvě rovnoběžky, které se nikdy neprotnou, tudíž neexistuje řešení. Npř. rovnice: x + y = 7 x + y = 4 ) Soustv má právě jedno řešení tzn. nenstne ni jeden z přípdů ),). Rovnice vyjdřují dvě různoběžky, které mjí společný právě jeden bod. (viz příkld ) 40

41 PŘÍKLAD : Vyřešte dnou soustvu rovnic: () x + y = 7 () x + 6y = 4 Řešení: ) metod sčítcí Druhou rovnici vynásobíme číslem ( ), čímž dostneme soustvu rovnic ve tvru: () x + y = 7 () x y = 8 Nyní sečteme rovnici () s rovnicí () dostneme rovnici o jedné neznámé ve tvru: y + ( y) = 7 + ( 8) 9y = 9 y = Neznámou x spočítáme tk, že do jedné ze zdných rovnic dosdíme spočítné y vyřešíme lineární rovnici s neznámou x. Dosdímeli tedy do rovnice (), dostneme: x + 6 ( ) = 4 x 6 = 4 / +6 x = 0 Zdná soustv rovnic má tedy řešení [x, y] = [0, ]. b) metod doszovcí Tto metod spočívá v tom, že z jedné z rovnic vyjádříme jednu neznámou dosdíme ji do zbývjící rovnice, čímž dostneme lineární rovnici o jedné neznámé pro druhou neznámou, kterou můžeme vyřešit. Výsledek opět dosdíme do jedné ze zdných rovnic spočítáme i první neznámou. V nšem příkldu je vhodné z rovnice () vyjádřit x, neboť se tk vyhneme počítání se zlomky. x + 6y = 4 x = 4 6y x vyjádřené z rovnice () dosdíme do rovnice (): (4 6y) + y = 7 / 6y 8 9y = 7 / + 9y = 9y 9y = 9 / : 9 y = 4

42 Spočtenou hodnotu y = nyní dosdíme do vyjádřeného x z rovnice (): x = 4 6y x = 4 6 ( ) x = x = 0 Použitím metody doszovcí jsme došli ke stejnému řešení dné soustvy rovnic: [x, y] = [0, ]. c) metod srovnávcí Tto metod spočívá v tom, že z obou rovnic vyjádříme stejnou libovolnou neznámou. Výrzy tkto vzniklé si musí být rovny. V nšem přípdě si z obou rovnic vyjádříme nejprve npříkld x: () x + y = 7 / y x = 7 y /: x = 7 y () x + 6y = 4 / 6y x = 4 6y Musí pltit: 7 y = 4 6y / 7 y = 8 y / + y 7 y + y = 8 7 9y = 9 / : 9 y = Nyní dosdíme získnou hodnotu pro y do jednoho z vyjádření pro x. Zvolíme doszení do vyjádření z rovnice (), neboť to již máme rozepsné v metodě doszovcí nebudeme to zde muset znovu rozepisovt. 4

43 N zčátku řešení touto metodou jsme si zvolili, že z obou rovnic vyjádříme x, neboť to bylo z hledisk výpočtů snzší, ovšem ukážeme si, že n volbě z hledisk správnosti nezáleží. Mohli jsme stejně vyjádřit y: () x + y = 7 / x y = 7 x / : y = 7 x () x + 6y = 4 / x 6y = 4 x /: 6 y = 4 x 6 Opět musí pltit, že vyjádření neznámé z rovnice () musí být rovno vyjádření z rovnice (): 7 x 4 x = 6 / 6 (7 x) = 4 x 4 4x = 4 x /+ 4x 4 x + 4x = 4 4 x = 0 / : x = 0 Dosdímli x = 0 do jednoho z vyjádření pro y, dostneme y =. Je tedy jedno, kterou neznámou si vyjádříme z hledisk správnosti řešení, le leckdy si šikovným výběrem ušetříme spoustu počítání. Použitím metody srovnávcí jsme došli ke stejnému řešení dné soustvy rovnic, to: x = 0; y =, tedy [x, y] = [0, ]. d) Metod grfická Tto metod je zložen n správném grfickém znázornění zdných funkcí. Zkreslímeli do grfu všechny funkce dné soustvou lineárních rovnic, společné body přímek budou řešením zdné soustvy. 4

44 Zkreslíme tedy nše funkce do grfu: Z grfu lze odečíst, že společný bod průsečík těchto dvou přímek, je [x, y] = [0, ]. Všechny čtyři způsoby řešení lineárních soustv rovnic jsou ekvivlentní, tk záleží n kždém žákovi, kterou si při řešení obdobných soustv zvolí. PŘÍKLAD : Ve třídě 9. A je o 5 chlpců méně než dívek. Pokud by do třídy přišly 4 dívky, bylo by děvčt dvkrát více než chlpců. Kolik je v 9. A žáků? Řešení: x... počet dívek y... počet chlpců z = x + y... celkový počet žáků ve třídě Tuto úlohu lze převést n soustvu dvou lineárních rovnic o dvouch neznámých: I. rovnice: Ve třídě 9. A je o 5 chlpců méně než dívek to znmená: x 5 = y II. rovnice: Pokud by do třídy přišly 4 dívky, bylo by děvčt dvkrát více než chlpců, to znmená: x + 4 = y Máme tedy soustvu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: I. x 5 = y II. x + 4 = y 44

45 K řešení této rovnice můžeme použít libovolnou z čtyř metod uvedených v příkldě. Zde rozepíšeme pouze metodu sčítcí: I. rovnici vynásobíme ( ) sečteme obě rovnice: I. x + 5 = y II. x + 4 = y = y y = 9 Doszením y = 9 do jedné ze zdných rovnic dopočítáme hodnotu pro neznámou x = 4. [x,y] = [4, 9] z = x + y = = Odpověď: Ve třídě je 4 dívek 9 chlpců, tzn. žáků....6 Algebrické výrzy Algebrickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém se vyskytují KONSTANTY, PROMĚNNÉ OPERACE prováděné s konstntmi proměnnými. PROMĚNNOU rozumíme znk, který oznčuje libovolné číslo z určité množiny, kterou nzýváme OBOR PROMĚNNÉ nebo DEFINIČNÍ OBOR VÝRAZU. Pokud není obor proměnné určen, povžujeme z obor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrzu dosdit, niž ztrtí smysl některá z uvedených opercí (nedochází npř. k dělení nulou, odmocňování záporného čísl v reálném výrzu pod.). Dosdímeli do výrzu z proměnnou konkrétní číslo, dostneme číslo tzv. HODNOTU VÝRAZU. Mezi lgebrické výrzy ptří mnohočleny, rcionální lomené výrzy, ircionální výrzy. (Mrtišek, 004, [Int 7]) Při úprvě výrzů čsto využíváme tyto rozkldové vzorce: () ( + b) = ( + b) ( + b) = + b + b () ( b) = ( b) ( b) = b + b () b = ( b) ( + b) (4) + b nelze rozložit v R Složitějšími přípdy jsou vzorce pro mocninu: (5) ( + b) = + b + b + b (6) ( b) = b + b b (7) b = ( b) ( + b + b ) (8) + b = ( + b) ( b + b ) (Hudcová, Kubičíková, 004, []) 45

46 Obecně lze ntou mocninu dvojčlenu vyjádřit pomocí Binomické věty: ( + b) n = n n n b n n b n... n ( b) n n n n n n n n n = b b... b b ( ) k n n k b k n k b n b n n k 0 n k 0 n k n k b k Rozkld dvojčlenu n + b n n součin : n b n ( b)( n n b n b... b n ) ( + b) n ( ) k n (k ) b k k 0 Pro liché přirozené n. Rozkld dvojčlenu n b n n součin: n b n ( b)( n n b n b...b n ) ( b) n n (k ) k b pro kždé nєn, n >. k 0 (Polák, 980, [8]) N zákldní škole žáci prcují většinou pouze se vzthy () (4) s vyššími mocninmi dvojčlenu se setkjí ž n SŠ. V příkldech, které se podle sbírek přijímcích testů internetových stránek středních škol čsto vyskytují v přijímcích testech, se žáci setkjí i se sčítáním, odčítáním dělením lomených výrzů, proto zde jen stručně uvedeme zákldní teorii, kterou následně využijeme i v řešených příkldech. SČÍTÁNÍ: Lomené výrzy se STEJNÝM JMENOVATELEM sečteme tk, že sečteme jejich čittele jmenovtele opíšeme. Lomené výrzy s RŮZNÝMI JMENOVATELI sečteme tk, že výrzy převedeme n společného jmenovtele tkto uprvené výrzy sečteme. ODČÍTÁNÍ: Lomené výrzy se stejným jmenovtelem odečteme tk, že odečteme jejich čittele jmenovtel opíšeme. Lomené výrzy s RŮZNÝMI JMENOVATELI odečteme tk, že výrzy převedeme n společného jmenovtele tkto uprvené výrzy odečteme. NÁSOBENÍ: Lomené výrzy vynásobíme tk, že vynásobíme čittele s čittelem jmenovtele s jmenovtelem. DĚLENÍ: Výrz vydělíme lomeným výrzem tk, že ho vynásobíme převráceným lomeným výrzem. (Pozor, nesmíme dělit 0). (Odvárko, Kdleček, 000, [6]) 46

47 Při úprvě výrzů se čsto využívá tzv. krácení výrzů. Výrz vykrátíme, když čittele i jmenovtele vydělíme stejným nenulovým číslem nebo výrzem. Tbulk b b b Správně b b b Šptně Nelze krátit. Tyto výrzy musíme převést n společného jmenovtele, sečíst je následně zjistit, zd jde výsledek krátit. 4 6b ( b) 4 6b Nelze krátit. Nejprve musíme čittele převést b 6b pomocí vytýkání n součin následně můžeme krátit. b b b b b b b 0 Podíl lomených výrzů můžeme převést n součin lomených výrzů, lépe tk uvidíme, co lze s čím krátit. V čitteli i jmenovteli si můžeme předstvit, že tm je dostáváme tk: 0 Komentář: uvedené příkldy rozvíjejí dovednosti využívání zákldních vzorců, krácení, vytýkání, sčítání, odčítání, násobení dělení výrzů. PŘÍKLAD : ) Určete, pro která nemá dný výrz smysl: b) Určete, pro která je tento výrz roven nule. Řešení: ) Aby měl dný výrz smysl, nesmí se dělit nulou, tzn. jmenovtel musí být různý od nuly: 0, Λ 0, tj. 0 ( ) ( + ) 0, tj. ± є R Λ ± ; 0 b) Aby byl součin dvou výrzů nulový, musí být lespoň jeden z činitelů roven nule. Dělit nulou nelze (viz )), proto musí být roven nule lespoň jeden z čittelů: + = 0 nebo += 0 ( + ) = 0 = = 0 V + = 0 = = Pro = 0 nemá výrz smysl (d )), proto = 0 není řešením. Výrz 0 právě tehdy, když = nebo =. 47

48 PŘÍKLAD : Určete podmínky, z kterých má dný výrz smysl, uprvte ho: b b b Řešení: Výrz nemá smysl, ncházíli se ve jmenovteli 0, tzn: b 0 Λ b 0,b 0 Dný výrz má smysl pro všechn,b 0. Nyní můžeme přejít k smotnému sčítání výrzů. V prvním kroku musíme výrzy převést n společného jmenovtele. Je vhodné z společného jmenovtele dosdit nejmenší společný násobek obou jmenovtelů, neboť si tk usndníme výpočty. V druhém kroku sečteme čittele. V poslední řdě pokrátíme čittele se jmenovtelem, tzn. vydělíme čittele i jmenovtele výrzem b. b b b b b b b b PŘÍKLAD : Určete podmínky, z kterých má dný výrz smysl, uprvte ho. b 4 b b b Řešení: Nejprve musíme určit podmínky, z kterých má dný výrz smysl. Aby měl výrz smysl, musí být jmenovtel různý od nuly, tzn. dostáváme tři podmínky: ) b 0 / b b ) b 0 ( b)( + b) 0 Tto podmínk obshuje podmínku ) ). b ) b 0 Dný výrz má smysl pro,b є R; kde ±b Nyní musíme převést všechny tři výrzy n společného jmenovtele. Hledáme tedy nejmenší společný násobek výrzů + b, b, b tím je smotný výrz b = ( b)( + b) (dle vzthu () str. 44). Následně roznásobíme sečteme čittele jednotlivých výrzů opíšeme společného jmenovtele. b b b b 4 b ( b) b b b 4( b) b b b 4 b 4b 6 b b b = 48

49 PŘÍKLAD 4: Určete podmínky, z kterých má dný výrz smysl, uprvte ho. b b Řešení: Opět musíme nejprve určit podmínky. V tomto příkldě je jediná podmínk: 0, tj. Dný výrz má smysl pro všechn reálná. Jedná se o rozdíl dvou lomených výrzů. V prvním kroku je musíme převést n společného jmenovtele (nejmenší společný násobek jednotlivých jmenovtelů). V druhém kroku provedeme roznásobení čittelů. Ve třetím zjistíme rozdíl čittelů, čímž dostneme výsledný výrz. b b (b )( ) ( ) ( ( b) ) b b ( ) ( b ) b b ( ) PŘÍKLAD 5: Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, uprvte ho. 4 b b Řešení: Nejprve musíme určit podmínky, z kterých má dný výrz smysl. ) 0 ) b 0 ) b 0, tj. b Dný výrz má smysl pro,b є R;,b 0 Λ b. V první řdě musíme převést všechny dílčí výrzy n společného jmenovtele (nejmenší společný násobek jmenovtelů). Následně roznásobíme dílčí čittele provedeme součet rozdíl. 4 b b 4b( b( b) b) ( b( b) b) b b( b) 4b 4b b b( b) b 4b b( b) 49

50 PŘÍKLAD 6: Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, uprvte ho. b 8 b c Řešení: Jedinou podmínkou pro existenci tkového výrzu je c 0. Dný výrz má tedy smysl pro, b є R; c є R Λ c 0. Jedná se o součin dvou výrzů, ve kterých nelze nic zkrátit. Vynásobíme tedy čittele s čittelem jmenovtele se jmenovtelem. b 8 b c b 8c PŘÍKLAD 7: Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, uprvte ho. b b Řešení: Pro existenci dného výrzu musí pltit podmínk: 0, tj. Dný výrz má tedy smysl pro є R, ; b є R. Jedná se o součin dvou lomených výrzů, proto vynásobíme čittele s čittelem jmenovtele se jmenovtelem. V čitteli následně použijeme vzorec () ve jmenovteli vzorec (). b b ( ( b)( )( b) ) ( b ) PŘÍKLAD 8: Určete podmínky, z kterých má dný výrz smysl, uprvte ho. b 8 8b 50

51 Řešení: Nejprve musíme určit podmínky, z kterých má dný výrz smysl. Nesmíme dělit 0, proto výrzy ve jmenovteli musí být nenulové: ) b 0, tj. b ) 0, tj. 0 Dný výrz má smysl pro,b є R; 0, b. Při úprvě nejprve vytkneme číslo 8 z výrzu v čitteli druhého zlomku, použijeme vzth () pro rozkld n součin následně pokrátíme to, co je společné v čitteli i jmenovteli, tedy výrzy, b. b 8 8b b 8( b ) b 8( b)( b) 4 ( b) PŘÍKLAD 9: Určete, pro která, b má dný výrz smysl, uprvte ho. 4 9b 4 b 9b b Řešení: Nejprve musíme určit podmínky, pro která, b má dný výrz smysl. Víme, že nelze dělit nulou, tzn. jmenovtelé obou výrzů musí být nenuloví: ) 4 + b + 9b 0 Tento výrz lze podle vzorce () přepst: ( + b) 0 ( + b) ( + b) 0 Tento výrz by byl roven nule právě tehdy, když by byl nulový jeden z činitelů. Ob činitelé jsou stejní, tedy: + b 0, tj. b ) b 0, tj. b Tedy výrz má smysl pro,b є R; kde b Při smotném zjednodušení výrzu využijeme nejprve vzorce ((),())pro rozkld mnohočlenů. Následně provedeme krácení výrzy, které se vyskytují v čitteli i jmenovteli tj: ( b) ( + b). 4 9b 4 b 9b b ( b)( b) = ( b)( b)( b) b 5

52 PŘÍKLAD 0: Určete podmínky, z kterých má dný výrz smysl, uprvte ho: b 8b 6 : 4 b b Řešení: Nejprve musíme opět určit podmínky, z kterých má výrz smysl. Tyto podmínky jsou pro tento výrz všechny vycházejí z toho, že nelze dělit nulou. ) 4 b 0,b 0 ) b 0,b 0 8b 6 ) b 0 8 b 6 0 / 6 8 b 6 / : 8 b Dný výrz má smysl pro,b є R, kde,b 0 Λ b. Jedná se o podíl dvou lomených výrzů, tzn. musíme první výrz vynásobit převrácenou hodnotou druhého výrzu. Před smotným vynásobením je vhodné rozložit dílčí výrzy v čittelích jmenovtelích n součin zkrátit. b 8b 6 : 4 b b b 4 b b 8b 6 b 4 b b 8(b ) b 6 PŘÍKLAD : Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, uprvte ho: Řešení: Nejprve musíme opět určit podmínky, z kterých má dný výrz smysl: ) + 8 0, tj. 4 ) 0, tj 0 ) , tj. 4 Dný výrz má smysl pro є R, kde 0, 4. 5

53 Jedná se opět o podíl dvou lomených výrzů obdobně jko v příkldě 0, pouze zápis se liší. Nejprve přepíšeme n podíl výrzů tk, bychom odstrnili složený zlomek. Následně podíl přepíšeme n součin dvou lomených výrzů. Použijeme rozkldového vzorce () vytýkání k rozkldu n součin, pokrátíme čittele jmenovtele provedeme součin : ( 4)( 4) ( 4) 4( 4) ( 4( 4) 4) PŘÍKLAD : Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, uprvte ho. b b b b ( b) Řešení: Musíme určit, pro která,b má dný výrz smysl: ) b 0 ( b) ( + b) 0, tj. ±b ) + b 0 Obsženo v podmínce ) ) b 0, tj. b 0 4) ( + b) 0 ( + b) ( + b) 0 Obsženo v podmínce ) b 5) ( b) b b ( b) 0 0 b 0 Obsženo v podmínce ) + b 0 Obsženo v podmínce ) b + 0 (b + ) 0 0 b + 0, tj. 0 Λ b 0 Sloučením podmínek 5 dostáváme, že dný výrz má smysl právě tehdy, když,b є R,,b 0 Λ ±b. 5

54 Po určení podmínek můžeme přejít k smotné úprvě výrzu. Rozložíme dílčí výrzy n součin (pomocí rozkldových vzorců vytýkání) sečteme zlomky ve jmenovteli (hledáme nejmenší společný násobek jmenovtelů, tzn. společného jmenovtele). Následně odstrníme složený zlomek (výrz ve jmenovteli převrátíme vynásobíme s ním čittele): b b b b ( b) ( b ) ( b) ( b) ( b) ( b ) b ( b) ( b) ( b) b ( b) ( b) b ( b) (b ( b) ) Nyní pokrátíme výrzy společné čitteli i jmenovteli, tzn., + b, ( + b). Provedeme součin: ( b) ( b ) ( b) ( b) b ( b) (b ( b) ) b ( b) PŘÍKLAD : Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, uprvte ho. x x x 5x x x 4 Řešení: Nejprve musíme určit, pro která x má dný výrz smysl, tzv. definiční obor: Víme, že jmenovtel kždého zlomku musí být nenulový, neboť NULOU DĚLIT NELZE!!! Proto: ) x + 0, tj. x ) x 4 0 (x ) (x + ) 0, tj. x ± ) x 5x x 4 x 0 x (x 4) x (x 4 5x ) 0 x 4x x x 4 5x 0 x 0, tj. x Λ x ± x 4 Sloučením podmínek,, dostáváme: výrz má smysl pro x є R, kde x Λ x ±. 54

55 Po stnovení podmínek můžeme přejít k úprvě výrzu. Provedeme součet v čitteli rozdíl ve jmenovteli: x x x x 5x x 4 x (x x (x x 4) x ) (x 4 5x ) x x x x 4x x (x ) (x 5x ) (x ) x x (x )(x ) Nyní odstrníme složený zlomek pokrátíme: ( x ) (x )(x ) (x )(x ) x x x x x x x.. Závislosti, vzthy práce s dty V této kpitole jsou zřzen témt, která podle RVP ZV v oblsti Mtemtik její plikce odpovídjí temtickému okruhu Závislosti, vzthy práce s dty (viz kpitol... str.7) Do tohoto okruhu spdjí Závislosti dt, Funkce.... Závislosti dt Aritmetický průměr x počítáme podle vzorce: x x x... n x n n n i x i kde n є N je počet prvků, ze kterých počítáme ritmetický průměr. Vzorec můžeme slovně interpretovt: Aritmetický průměr veličiny x se rovná součtu jednotlivých hodnot dělených jejím počtem. Vyskytujeli se některá hodnot vícekrát, můžeme použít vzth: x x n x n n... x k n k, kde x, x,,x k jsou hodnoty znku n, n,,n k jsou jejich četnosti. (Mikulčák, 99, [5]) 55

56 PŘÍKLAD : Žáci 9. A psli souhrnný test z mtemtiky. Výsledky byly následující: pět žáků dostlo hodnocení, šest žáků dostlo hodnocení, čtyři žáci dostli hodnocení, tři žáci dostli hodnocení 4 dv žáci dostli hodnocení 5. Jký byl ritmetický průměr třídy 9. A z tohoto testu? Řešení: K výpočtu ritmetického průměru využijeme pro jednodušší výpočty vzth: x x n x n n... x k n k n počet všech žáků ve třídě: n = = 0 Jednotlivé hodnoty x jejich četnosti vyčteme ze zdání: pět žáků dostlo hodnocení 5;x n šest žáků dostlo hodnocení 6;x n čtyři žáci dostli hodnocení 4;x n tři žáci dostli hodnocení 4 ;x 4 n 4 4 dv žáci dostli hodnocení 5 ;x 5 n 5 5 Stčí tedy pouze dosdit do vzorce pro x. x x x n,55 x n n... x k n k Kdybychom použili vzorec výsledku: x x n x... x n x i n n i, došli bychom ke stejnému x x x,55 x... n x n Odpověď: Aritmetický průměr třídy 9. A z tohoto testu byl,55. 56

57 PŘÍKLAD : V tbulce jsou uvedené údje o účstnících letního tábor v roce 0: Počet dětí Počet dětí v procentech Počet dívek Počet chlpců celkový počet oddíl 0 4. oddíl 4. oddíl 8,94 4. oddíl oddíl oddíl 5 7. oddíl 8, 8 8. oddíl 8, oddíl 7 0. oddíl 9,. oddíl 6. oddíl ) Doplňte tbulku (procent zokrouhlete n dvě desetinná míst, zokrouhlení zohledněte ve výpočtech) b) Kolik dětí bylo průměrně v jednom táborovém oddíle? c) Kolik procent dětí z 8. oddílu tvoří chlpci kolik procent dívky? Řešení: ) Nejprve doplníme kolonky, kde je možné využít: Počet dívek + počet chlpců = počet dětí U.,., 4., 5., 6., 9.,.. oddílu použijeme k výpočtu počtu dětí v procentech trojčlenku: Obecně: Konkrétně pro. oddíl: Celkový počet dětí 00% 58 00% Počet dětí v oddíle. x % 0.x x 00 pocet deti 00 0 x celk.poc.d eti 58 8, 8 Čtvrtý sedmý oddíl mjí stejné procentuální zstoupení z celkového počtu dětí, tzn. musí mít stejný počet dětí. Totéž pltí i pro devátý desátý oddíl. 57

58 Pro výpočet počtu dětí v osmém oddíle opět využijeme trojčlenku: 58 dětí % x dětí... 8,67% x 8, dětí K doplnění tbulky nyní opět využijeme: Počet dívek + počet chlpců = počet dětí Počet dětí Počet dětí v procentech Počet dívek Počet chlpců celkový počet oddíl 0 8, oddíl 7 7,54 4. oddíl 8,94 4. oddíl 9 8, 7 5. oddíl 5 6, oddíl 5 9,78 7. oddíl 9 8, 8 8. oddíl 8, oddíl 9, oddíl 9, 0. oddíl 8, oddíl 6,5 b) Průměrně v jednom táborovém oddíle bylo 58 : = 9,8 0 dětí c) V osmém oddílu je dětí, z toho 9 dívek chlpců. K výpočtu procentuálního zstoupení chlpců dívek opět použijeme trojčlenku: Dívek: dětí % 9 dívek.. x % x 6,9% Chlpců: 00% 6,9% = 8,7% Odpověď: V osmém oddílu je 6,9% dívek 8,7% chlpců. 58

59 PŘÍKLAD : Pn Novák n své domácí meteorologické stnici měřil n přelomu květn červn po dobu jedenácti dnů vždy ve dvnáct hodin denní teploty. Hodnoty si poznmenávl do grfu. ) Jký je rozdíl mezi nejnižší nejvyšší teplotou? b) Jká je průměrná teplot v těchto jedenácti dnech? c) Jký je největší teplotní rozdíl mezi dvěm po sobě jdoucími dny? d) Jký je nejmenší teplotní rozdíl mezi dvěm po sobě jdoucími dny? Řešení: ) Nejnižší teplot byl nměřená první den: C Nejvyšší teplot byl nměřená poslední den: C Rozdíl těchto teplot je: C C = C Odpověď: Rozdíl mezi nejvyšší nejnižší teplotou je C. b) Odečteme jednotlivé teploty z grfu zpíšeme je do tbulky: dny C ,5 Nyní spočteme průměrnou teplotu: x x... x n x n x = 7,4 C ,5 0,5 Odpověď: Průměrná teplot v těchto jedenácti dnech byl 7,4 C. c) Z grfu můžeme vyčíst, že největší teplotní rozdíl mezi dvěm po sobě jdoucími dny je C to mezi dnem čtvrtým pátým, pátým šestým, šestým sedmým. d) Z grfu můžeme vyčíst, že nejmenší teplotní rozdíl mezi dvěm po sobě jdoucími dny je 0,5 C to mezi dnem osmým devátým, devátým desátým. 59

60 ... Funkce Nechť D R. Zobrzení f : D R, které kždému prvku množiny D přiřdí právě jedno číslo z množiny R, nzýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné. (Výrut, 008, str., [Int 4]) Množinu D nzýváme DEFINIČNÍ OBOR D(f) její prvky x є D VZORY či NEZÁVISLE PROMĚNNÉ, obrzy vzorů nzýváme FUNKČNÍ HODNOTY f(x). Množin všech funkčních hodnot je tzv. OBOR HODNOT H(f). (Výrut, 008, [Int 4]) Grf funkce f je množin uspořádných dvojic G = {[x; f(x)]; x є D} (Výrut, 008, str., [Int 4]) Do definičního oboru spdjí všechn x, ve kterých je dná funkce definován. Neníli definiční obor funkce zdán nevyskytujeli se v předpisu žádná podmínk omezující D(f) (odmocniny, logritmy, zlomky td.), je definičním oborem této funkce množin reálných čísel. Obor hodnot je množin všech y є R, ke kterým existuje x є R tk, že [x,y] є f. (Hudcová, Kubičíková, 004, []) Při řešení příkldů týkjících se funkcí je nutné znát definiční obor funkce vždy kontrolovt, zd výsledné hodnoty oprvdu ptří do D(f). Posloupnost je funkce jejíž D(p) = N. (Hvrlnt,006, [Int 5]) Nechť A je množin. Řekneme, že { n } je posloupnost obsžená v množině A, jestliže { n } je zobrzení, kde definiční obor posloupnosti jsou přirozená čísl obor hodnot je podmnožinou množiny A: { n }: N A (Klůf, Coufl, 00, [4]) N zákldní škole se žáci se podle RVP ZV setkjí pouze s funkcí lineární. Proto se ndále budeme věnovt převážně této problemtice. Lineární funkce je kždá funkce f dná předpisem f: y = x + b, kde, b jsou reálné koeficienty. Jeli b = 0, pk funkce f má tvr: f: y = x. Této speciální lineární funkci říkáme PŘÍMÁ ÚMĚRA. Jeli = 0, pk funkce f má tvr f: y = b jedná se o tzv. KONSTANTNÍ FUNKCI. Grfem lineární funkce je přímk. (Hvrlnt, 006, [Int 4]) 60

61 Přestože se n zákldních školách reálná čísl jko tková nezvádějí, při řešení funkcí se mlčky povžují z definiční obor. 6

62 PŘÍKLAD : Nčrtněte grf zdné posloupnosti: n = n. Řešení: Definiční obor zdné posloupnosti je N, grfem tedy nebude přímk, le množin izolovných bodů. Jednotlivé souřdnice musíme dopočítt: n n PŘÍKLAD : Nčrtněte grf funkce f, která je zdán předpisem: f(x) = x +, D(f)= R Řešení: Jedná se o lineární funkci. K nkreslení grfu lineární funkce potřebujeme znát minimálně dv její body. Spočteme tedy npř. její průsečíky s osmi: x 0,5 y 0 Tyto body zkreslíme do grfu proložíme jimi přímku: 6

63 PŘÍKLAD : Nčrtněte grf funkce g, která je zdán předpisem: g(x) = D(g) = R. x ; Řešení: Pro nkreslení grfu lineární funkce musíme znát minimálně dv její body, npříkld: x 4 y Nyní zkreslíme tyto body do prvoúhlé soustvy souřdnic proložíme je přímkou: PŘÍKLAD 4: Nčrtněte grf funkce f dné předpisem: f (x) x ; D(f) = R. Řešení: Jedná se opět o lineární funkci, pro jejíž nkreslení musíme znát lespoň dv její body. x 0 6 y 0 Grfem bude podle definičního oboru přímk, procházející oběm body: 6

64 PŘÍKLAD 5: Určete grficky i početně průsečík P funkcí: f(x) = x 5; D(f) = R g(x) = 6x + 4; D(g) = R Řešení: ) Tbulková metod Vytvoříme si tbulky, kde do prvního řádku vypíšeme několik libovolných hodnot x do druhého odpovídjící hodnoty y: f(x) = x 5 g(x) = 6x + 4 x 0 x 0 y y Průsečík grfů dvou funkcí je bod společný oběm funkcím. Z nšich tbulek tedy vidíme, že společným bodem je bod P = [; ]. Tuto metodu je vhodné použít pouze pro pochopení problemtiky, v obtížnějších příkldech bychom se jen stěží dobrli výsledku, neboť průsečík nemusí mít celočíselné souřdnice. b) Metod výpočtu Společný průsečík je bod odpovídjící předpisům obou funkcí: f(x) = g(x) x 5 = 6x + 4 / + 6x + 5 x + 6x = x = 9 x = Nyní stčí dopočítt funkční hodnotu v bodě x =, tzn. dosdit x = do předpisu pro funkci f(x) nebo g(x). Nezáleží n tom, z kterého předpisu budeme funkční hodnotu počítt, neboť se jedná o společný bod obou funkcí, tudíž výsledek bude stejný. Doszením dostáváme: y = P = [ ; ] c) Grfická metod Při této metodě zkreslíme grfy obou funkcí následně odečteme souřdnice společného průsečíku. Nevýhodou je, že pokud grf nevykreslujeme elektronicky či velmi přesně nerýsujeme, dochází k nepřesnosti řešení. 64

65 f(x) = x 5 g(x) = 6x + 4 I touto metodou jsme došli ke stejnému průsečíku P = [; ]. Komentář: Následující příkld není díky omezeným definičním oborům příkldem probírným n ZŠ. Příkld je zřzen, by žáci mohli vidět, jk definiční obory funkcí ovlivní hledání společného bodu. Grfem funkcí mohou být tké rovnoběžky. PŘÍKLAD 6: Určete grficky i početně průsečík grfů funkcí: f(x) = x + ; D(f) = 5 ; ; g(x) = x 9; D(g) = ( 6; ) Řešení: Společný průsečík je bod odpovídjící předpisům obou funkcí: x + = x 9 / + x + 9 x + x = + 9 5x = 0 /: 5 x = Nyní stčí dopočítt funkční hodnotu v bodě, tzn. dosdit x = do předpisu pro funkci f(x) nebo g(x). Doszením dostáváme y =. Z nšich výpočtů vyplývá, že průsečík by měl být bod o souřdnicích [; ]. Tento bod neptří do D(g) grfy funkcí f(x) g(x) nemjí společný průsečík. 65

66 Náš výsledek si můžeme ověřit grficky: Grfy funkcí f(x) g(x) se neprotínjí tzn. f(x) g(x) nemjí společný bod. PŘÍKLAD 7: Npište předpis funkce, jejíž grf je n obrázku určete její definiční obor. Řešení: Grfem je přímk, jedná se tedy o lineární funkci, která má obecný předpis y = x + b jejíž definiční obor jsou reálná čísl: D(f) = R. Z grfu můžeme vyčíst souřdnice některých bodů funkce npř. průsečíky s osmi mjí souřdnice [ 4; 0]; [0; ]. Doszením souřdnic těchto bodů do obecného předpisu pro lineární funkci dostáváme soustvu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, které jsme řešili v kpitole...5. str. 40 : y = x + b I. = 0 + b II. 0 = 4 + b Z rovnice I. dostáváme b =. Doszením b = do rovnice II. spočítáme. 0 = 4 + / = / : 4 = Konkrétní hodnoty, b dosdíme do obecné lineární rovnice, čímž zjistíme předpis pro funkci grficky znázorněnou v zdání. y = x + b y x 66

67 PŘÍKLAD 8: Který z následujících bodů neleží n grfu zobrzené funkce: [ ; 5], [0; ], [; ], [; ]. Řešení: ) Grfické řešení Toto řešení spočívá v tom, že dné body do grfu zkreslíme. Pouhým okem pk z grfu vyčteme, který bod náleží grfu funkce: Odpověď: N grfu funkce neleží bod [; ]. b) Metod výpočtu Při této metodě potřebujeme znát předpis funkce. V příkldě sedm jsme ukázli, jk tkový předpis můžeme získt z grfu: Zvolme dv libovolné body funkce (z obrázku): [0; ];[ ; 8] Doszením těchto bodů do obecného předpisu pro lineární funkci y = x + b dostáváme soustvu dvou lineárních rovnic o neznámých: I. = 0 + b b = II. 8 = + b = Předpis funkce z obrázku pk je: y = x 67

68 Doszením zdných bodů do nleznutého předpisu zjistíme, který z bodů neleží v grfu funkce. Musí pltit L[x;y]=P[x;y]: [ ; 5]: L[ ; 5] = 5 P[ ; 5] = ( ) = 5 L[ ; 5] = P[ ; 5] bod [ ; 5] leží n grfu zdné funkce. [0; ]: Z grfu je vidět, že tento bod leží n grfu funkce. Použili jsme ho pro výpočet předpisu funkce. [; ]: L[; ]= P[; ]= = L[; ]=P[; ] bod [; ] leží n grfu zdné funkce [; ]: L [; ]= P [; ]= = 4 L [; ] P [; ] bod [; ] neleží n grfu zdné funkce.. Geometrie v rovině v prostoru V této kpitole jsou zřzen témt, která odpovídjí podle RVP ZV v oblsti Mtemtik její plikce témtickému okruhu Geometrie v rovině v prostoru (viz. kpitol... str. 7) Do tohoto okruhu spdjí Obvody obshy geometrických útvrů, Podobnost geometrických útvrů, Úhly, Objemy povrchy těles.... Obvody obshy Obvod je hrniční křivk rovinného útvru nebo řezu tělesem jejich délk. Znčí se o jeho zákldní jednotkou je metr m. ([W], 999) Obsh je fyzikální veličin, která vyjdřuje velikost plochy. Jiné názvy jsou ploch, výměr, rozloh. Obsh je mírou (tedy chrkteristikou velikosti) dné dvourozměrné části prostoru. Oznčuje se písmenem S. Zákldní jednotkou obshu je m (čti metr čtvereční). ([W4], 999) 68

69 VZORCE PRO VÝPOČET OBVODŮ A OBSAHŮ ZÁKLADNÍCH GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ Rovinný obrzec Obvod Obsh Čtverec o 4 S Obdélník o ( b) S b v bvb cv S Trojúhelník o b c u u S v Kosočtverec o 4 Kosodélník ( b) Lichoběžník Kružnice, kruh v bv o b ( c)v S o b c d o r S S r (Běloun kol., 98, []) c PŘÍKLAD : Zhrd Pn Zhálky má tvr obdélník. Jeho délk je x větší než jeho šířk. Šířk měří 7 metrů. Kolik korun stál brv n ntření plotu kolem celé zhrdy, vystčí li jedn plechovk brvy z 59 Kč n ntření 4 metrů plotu? Řešení: šířk... 7 m délk... x šířk= 7= m Nejprve spočítáme obvod obdélníkového pozemku: o = ( + b) o = (7+) o = 56 m Nyní spočítáme, kolik plechovek brvy musíme koupit, bychom ntřeli celý plot: 56 : 4 = 4 Stojíli jedn plechovk brvy 59 Kč, pk z čtyři plechovky zpltíme: 4 59 = 6 Kč Odpověď: Brv n ntření plotu kolem celé zhrdy stál 6 Kč. 69

70 PŘÍKLAD : Aničk chce zblit dárek pro mminku. Kolik centimetrů ozdobné stuhy bude Aničk potřebovt k obvázání blíčku, jehož rozměry jsou n obrázku? N uzel mšli spotřebuje 0 cm. (SCIO, 004, [Int ]) Řešení: Blíček má tvr kvádru o rozměrech: = 45 cm b = 0 cm c = 5 cm Stuh, podle obrázku, tento kvádr obepíná x podélně x příčně. Délk stuhy l tk bude rovn součtu obvodu obdélník se strnmi, c, dvojnásobku obvodu obdélník se strnmi b, c 0 cm potřebných n uzel mšli: l = ( + c) + (b + c ) + 0 l = (45 + 5) + 4 ( 0 + 5) + 0 l = l = 0 cm Odpověď: Aničk bude potřebovt n zblení dárku pro mminku 0 cm stuhy. PŘÍKLAD : Pn Koukl si chce vydláždit dvoreček, jehož tvr rozměry jsou n obrázku. Kolik čtvercových dlždic se strnou dlouhou 40 cm bude potřebovt? 70

71 Řešení: Existuje více metod pro řešení. Použijeme tu, kde nejprve spočítáme obsh obdélník S s délkou 0 m šířkou 8 m následně od něj odečteme obsh vyříznuté části S. Tkto získáme obsh plochy dvorečku S: S = S S Obsh obdélník obecně spočteme jko: S = b, kde je délk obdélník, b je šířk obdélník. S = 0 8 S = 80 m Délku strn vyříznutého obdélník můžeme vypočítt z obrázku. Délk bude 4 m šířk m. S = 4 S = 8 m Hodnotu pro S S dosdíme do vzthu pro S dostneme obsh plochy dvorku: S = 80 8 S = 7 m Obsh jedné čtvercové dlždice se strnou = 40 cm je: S = S = 40 S = 600 cm = 0,6 m Počet potřebných dlždic s obshem 0,6 m je potřeb k vydláždění dvorečku o obshu 7 m : 7 : 0,6 = 450 Odpověď: Pn Koukl bude k vydláždění svého dvorečku potřebovt 450 čtvercových dlždic s délkou strny 40 cm. 7

72 PŘÍKLAD 4: Jsou dány dvě soustředné kružnice. Průměr té větší je 8 cm. Urči poloměr menší kružnice, jeli obsh mezikruží roven 40 mm. (π =,4) Řešení: S... obsh mezikruží S... obsh větší kružnice r... poloměr větší kružnice S... obsh vnitřní kružnice r... poloměr vnitřní kružnice d = 8 cm r = 9 cm S = 40 mm = 4, cm Pro výpočet poloměru r musíme znát obsh vepsné kružnice. Mezi obshy pltí: S S = S Obsh kruhu obecně spočítáme jko S = πr. Proto: S = πr S =,4 9 S = 54,4 cm Obsh vnitřního kruhu S je tedy: S = S S S = 54,4 4, S =,04 cm Pro obsh vnitřního kruhu pltí: S = πr S r / : π / r S r,04,4 r = 6 cm Odpověď: Poloměr kružnice vepsné je 6 cm. 7

73 ... Podobnost geometrických útvrů Zobrzení v rovině nzýváme podobným zobrzením neboli podobností, jestliže kždé úsečce AB přiřzuje úsečku A B = k AB, kde k > 0. Číslo k se pk nzývá poměr podobnosti. (Polák, 980, str. 44, [8]) Někdy se poměr podobnosti oznčuje též jko koeficient podobnosti. PŘÍKLAD : Trojúhelník ABC má délky strn: = 4 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. Vypočítejte délky strn trojúhelník PQR podobného s trojúhelníkem ABC, jeli p = 8 cm. Určete poměr podobnosti k. Řešení: = 4 cm b = 5 cm c = 7 cm p = 8 cm Nejprve spočítáme poměr podobnosti k. Strn p odpovídá v trojúhelníku ABC strně. Poměr podobnosti k tedy vypočítáme: p 8 k 4 Známeli poměr podobnosti, můžeme dopočítt podle definice i strnu q r. q = k b = 5 = 0 cm r = k c = 7 = 4 cm Odpověď: Poměr podobnosti k mezi trojúhelníky ABC PQR je roven. Délky strn jsou pk: q = 0 cm r = 4 cm. 7

74 PŘÍKLAD : Nrýsujte dv libovolné podobné rovnormenné trojúhelníky ABC PQR, kde p. Nrýsujte je tk, by pltilo: B = Q; P є c. 4 Řešení: Nejprve nrýsujeme rovnormenný trojúhelník ABC. Tento trojúhelník může být libovolný rovnormenný, zvolíme si tedy npř. délky strn: = 4 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Postup konstrukce ΔABC: ) AB ; AB = 6 cm. ) k, k (A, 4 cm) ) l; l (B, 4 cm) 4) C; k l C Postup konstrukce ΔPQR 5) Q; Q = B 6) S; S є ; CS = BS 7) R; Rє BS ; RB = RS možno i početně 8) m; m(r, RB ) 9) P; m c = P 0) ΔPQR Diskuze řešení: p 4 = cm Pro zvolený trojúhelník ABC existuje v dné polorovině právě jedno řešení úlohy.... Úhly Úhel je část roviny omezená dvěm polopřímkmi se společným počátkem. Jiná definice: Rovinným úhlem nzýváme množinu všech bodů všech polopřímek VX se společným počátkem V, kde bod X ptří do dného oblouku AB kružnice k se středem v bodě V. (Procházk, 000, str., [Int 0]) 74

75 DVOJICE ÚHLŮ Vedlejší úhly: α + β = 80 Souhlsné úhly: α = β Střídvé úhly: α = β Vrcholové úhly : α = β Styčné úhly: Doplňkové úhly: α + β = 90 (Mikulčák, 99, [5]) 75

76 PŘÍKLAD : Urči velikost úhlu γ v ΔABC. Řešení: Vnitřní úhel trojúhelník ABC u vrcholu B oznčíme β. Je to vedlejší úhel k zdnému úhlu, tudíž musí pltit: β + 47 = 80 / 47 β = 66 Součet vnitřních úhlů Δ je 80. Pro úhel γ pltí: γ = γ = γ = 84 Odpověď: Velikost úhlu γ je 84. PŘÍKLAD : Urči úhel δ, jeli α = 60, β = 7. Řešení: K řešení použijeme znlosti ze zčátku kpitoly o dvojici úhlů. Do obrázku zpíšeme velikosti úhlů, dále využijeme znlosti, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven 80. Odpověď: Velikost úhlu δ je

77 PŘÍKLAD : Urči velikost úhlu α. Řešení: Ze znlosti vlstnosti dvou vrcholových úhlů, můžeme doplnit velikosti úhlů do horní poloroviny. Součet všech vedlejších úhlů v horní polorovině musí být roven 80 : α + α = 80 Dostáváme tk lineární rovnici o jedné neznámé α. Sečteme stupně minuty n levé strně, vyjádříme úhel α: 7 + α = 80 / 7 α = 80 7 α = 6 / : α = Odpověď: Velikost úhlu α je. 77

78 PŘÍKLAD 4: Urči velikost úhlu β. Řešení: V řešení tohoto příkldu využijeme toho, že součet všech vnitřních úhlů čtyřúhelník musí být roven 60. Ze znlosti vlstností dvojic úhlů sndno doplníme tři vnitřní úhly čtvrtý úhel β pk dopočítáme jko doplněk do 60 : 60 = β / β = β = 57 Odpověď: Velikost úhlu β je Objem povrch těles Objem je veličin, která vyjdřuje velikost prostoru, kterou zbírá těleso. ([W], 999) Objem znčíme V jeho zákldní jednotkou je m (čti metr krychlový). Povrch je obsh plochy, která je hrnicí geometrického těles. ([W6], 999) Povrch znčíme S jeho zákldní jednotkou je m (čti metr čtvereční). 78

79 VZORCE PRO VÝPOČET POVRCHU A OBJEMU ZÁKLADNÍCH GEOMETRICKÝCH TĚLES Těleso Povrch Objem Krychle S 6 V Kvádr S (b c bc) V bc Válec S r rv V r v Jehln Kužel Koule S S S S p Spl V Sp v 4 r V r v r v rs d V 4 r d 6 (Běloun kol., 98, []) PŘÍKAD : Mějme krychli kvádr stejného objemu. Hrn krychle je 5 cm, kvádr má obdélníkovou podstvu s délkou cm šířkou cm. Jká je výšk kvádru? Výsledek zokrouhlete n dvě desetinná míst. Řešení: V první řdě spočítáme objem krychle: V V V 5 5 cm Ze zdání víme, že objem kvádru je stejný jko objem krychle. Ve vzthu pro objem kvádru tk zbývá pouze jedn neznámá veličin, kterou je právě hledná výšk kvádru c. V = b c c c c V b 5 0,8 cm Odpověď: Výšk kvádru je přibližně 0,8 cm. 79

80 PŘÍKLAD : Rozměry válce jsou obecně vyjádřeny jko d = (x 4) metrů, v = (x + ) metrů. Určete objem tkového obecného válce. Řešení: Obecný vzth pro objem válce je: V r v. K výpočtu objemu podle tohoto vzthu potřebujeme znát poloměr kruhové podstvy. Využijeme tedy vzthu mezi poloměrem průměrem: r r r d x (x 4 ) r (x ) metrů Nyní můžeme dosdit do obecného vzthu pro objem válce: V r v (x ) (x ) (x 4x 4)(x ) (x x 4x x 4x ) = (x x 8x )..4 Nestndrdní plikční úlohy problémy V této kpitole jsou zřzen témt, která podle RVP ZV v oblsti Mtemtik její plikce odpovídjí temtickému okruhu Nestndrdní plikční úlohy problémy (viz. kpitol... str. 7) zároveň se v určité míře vyskytují i v přijímcích testech z mtemtiky n SŠ (dle sbírek ukázek testů n webových stránkách škol). Těmito témty jsou: Číselné logické řdy, Úlohy o společné práci, Logické netrdiční geometrické úlohy. 80

81 ..4. Číselné logické řdy Číselné logické řdy se vyskytují v mtemtických testech středních škol minimálně, le velmi čsto se vyskytují ve SCIO testech z mtemtiky, nebo jsou součástí testů všeobecných znlostí, IQ testů, různých logických testů či ústních pohovorů u přijímcích zkoušek. Slouží k přezkoušení logického myšlení. Proto zde uvedeme jen okrjově i tuto problemtiku. Výrz tvru n +, nebo n, kde{ } n n je nekonečná posloupnost, n n є N, n є R se nzývá NEKONEČNÁ ŘADA. Čísl,,, n, nzýváme členy řdy, n je ntý člen řdy. (SEDLÁČEK A KOL., 98, [9]) Úlohy jsou zdávány většinou řdou symbolů, kde jeden nebo více prvků chybí. Žák tk musí nlézt vzth mezi prvky určit chybějící prvek. U řd tvořených symboly žák dostává n výběr různé možnosti, ze kterých vybírá správné řešení, u číselných řd musí výsledek určit bez výběru z možností. PŘÍKLAD : Která čísl chybí v následujících číselných řdách? ) 94; 85; 76;?; 58; 49; 40 b) ;;5;8;?; ;4 Řešení: ) Pro čísl v této řdě pltí: přičtemeli k dnému číslu 9, dostneme číslo předcházející, odečtemeli od dného čísl 9, dostneme číslo následující. V řdě pk musí chybět číslo 67. b) Pro čísl v této řdě pltí: Součet dvou čísel po sobě jdoucích dá číslo následující. Chybějící číslo tk musí být číslo. 8

82 4 8 6 PŘÍKLAD : Které číslo chybí v následující řdě: ; ; ; ; ;? Řešení: Pro všechny čittele pltí, že je lze přepst jko mocninu dvou, nopk jmenovtele lze přepst jko druhé mocniny různých čísel: Vidíme, že v čitteli vždy o jednotku vzroste mocnin, ztímco ve jmenovteli vždy o jednotku vzroste zákld mocniny, hledné číslo tk bude: PŘÍKLAD : Které číslo chybí v následující číselné řdě: 4; 6; ;?; 469 Řešení: Pro kždé číslo v řdě pltí: Následující číslo je rovno dvojnásobku čísl předešlého mínus pět. 6 = 4 5 = 6 5? = 5 = 4 5 = = 7 5 8

83 PŘÍKLAD 4: Urči, která čísl nebo písmen ptří n místo? v následující řdě: ; C; 5; D; 7; E; 9; G;?;? Řešení: N lichých pozicích se vyskytují čísl, která se vždy zvyšují o. Z písmenem G tk bude číslo. ; C; 5; D; 7; E; 9; G;?;? N sudých pozicích se vyskytují písmen becedy, n první pohled není znát princip přiřzování písmen, npíšemeli zčátek becedy: A,B,C,Č,D,Ď,E,F,G,H,CH,I,J,, Můžeme spočítt, kolikátá jsou dná písmen v becedě: C =, D = 5, E = 7, G = 9. Čísl v řdě tedy určují, kolikáté je následující písmeno v becedě. N. pozici je písmeno CH. PŘÍKLAD 5: Který z následujících symbolů ptří n místo otzníků v řdě:,, Μ, O,? ) l b) W c) Д d) Řešení: Všechny symboly ze zdné řdy jsou osově souměrné: hledný symbol musí být osově souměrný. ) není osově souměrný b) je osově souměrný c) není osově souměrný d) není osově souměrný 8

84 ..4. Logické netrdiční geometrické úlohy V přijímcích testech se čsto vyskytují úlohy, které vyždují plikci kombinci pozntků z různých temtických či vzdělávcích oblstí. Žák zde tké čsto využije svou prostorovou předstvivost. Tkových příkldů je velké množství, v následující kpitole jsou tk uvedeny lespoň některé typy, n kterých si žák může ověřit své schopnosti, plikovt propojovt své dosvdní znlosti zkušenosti. Komentář: Následující úlohy kombinují znlosti z geometrie s procenty. PŘÍKLAD : Zhrdní bzén s obdélníkovou podstvou délky 5 m šířky m výškou,5 m je ze 76 % nplněn vodou. Kolik vody je v bzénu? Řešení: Objem celého bzénu je: V = b c V = 5,5 V =,5 m Aby v bzénu bylo,5 m vody, musel by být plný ž po okrj. Bzén je všk plný pouze ze 76 %, pomocí trojčlenky musíme tedy spočítt, kolik je 76 % z,5 m : 00 %...,5 m 76 %... x 76,5 x = 00 x = 7, m Odpověď: V bzénu je 7, m vody. PŘÍKLAD : V obdélníkové místnosti o rozměrech 4 x 6 metrů je postvená skříň o rozměrech 0,8 x,5 metry. Kolik % plochy místnosti zbírá skříň? Řešení: nejprve spočteme obsh místnosti S: S = ( + b) S = (4 + 6) S= 0 m Nyní spočítáme obsh plochy, který je zstvěn skříní S s : S ( b) S S (0,8,5) S S S 6,6m 84

85 Úloh se ptá, kolik procent místnosti zbírá skříň, musíme tedy vypočítt, kolik je 6,6 m procent z 0 m : 0 m % 6,6 m... x % x x 6, % Odpověď: Skříň zbírá % plochy místnosti. Komentář: následující úlohy kombinují znlosti z geometrii se znlostmi poměrů. PŘÍKLAD : Máme dv rovnostrnné trojúhelníky, jejichž délky strn jsou v poměru : 5. Součet jejich obvodů je 05 cm. Jký je obsh trojúhelník s krtší strnou? Řešení: o... obvod menšího trojúhelník o... obvod většího trojúhelník... délk strny menšího trojúhelník o = o + o Jestliže jsou délky strn v poměru : 5, budou v tomto poměru i obvody rovnostrnných trojúhelníků. Musíme tedy 05 cm rozdělit v poměru : = 7 05 : 7 = 5 o = 5 o = 0 cm o = 5 5 o =75 cm Známeli obvod rovnostrnného trojúhelník, můžeme spočítt délku jeho strny: o = 0 = /: = 0 cm Máme spočítt obsh menšího trojúhelník, obecný vzorec pro obsh menšího z trojúhelníků je: S v 85

86 Abychom mohli spočítt obsh, musíme si spočítt výšku trojúhelník v. K výpočtu použijeme Pythgorovu větu. Kde spočteme v z prvoúhlého trojúhelník ASC. v je v prvoúhlém trojúhelníku ASC odvěsnou, proto pro jeho výpočet bude mít Pythgorov vět tvr: v v v v v v ,66cm 0 5 Známeli výšku, můžeme spočítt obsh trojúhelník: v S 0 8,66 S S = 4, cm Odpověď: Obsh trojúhelník s krtší strnou je 4, cm. PŘÍKLAD 4: Dv čtverce, jejichž strny jsou v poměru 5 : mjí součet obshů roven 544 cm. Vypočítejte součet obvodů obou čtverců. Řešení: S... obsh prvního čtverce S... obsh druhého čtverce o... obvod prvního čtverce o... obvod druhého čtverce... délk strny prvního čtverce... délk strny druhého čtverce S = S + S o = o + o S = 544 cm 86

87 Součet obshů musíme rozdělit v poměru 5 : 9 (strny jsou v poměru 5 :, čísl v poměru musíme umocnit n druhou, neboť obsh čtverce je roven druhé mocnině délky strny). 544 : 4 = 6 S = 5 6 = 400 cm S = 9 6 = 44 cm Ze znlosti obshů, můžeme vypočítt délky strn čtverců: S S S S 400 0cm 44 cm Známeli délky strn čtverců, můžeme spočítt jejich obvody: o o o cm o o o cm Úloh se ptá n součet obvodů těchto čtverců: o = o + o = = 8 cm Odpověď: Součet obvodů těchto čtverců je 8 cm. Komentář: Následující úloh kombinuje prostorovou předstvivost Pythgorovu větu se znlostí zákldních geometrických vzorců. PŘÍKLAD 5: Mrvenec při své procházce po stole nrzí n krychli ABCDEFGH s délkou hrny 8 cm. Jk velkou vzdálenost mrvenec vykoná, jestliže se při jejím překonání pohybuje následovně: A H F G C? (Výsledek zokrouhli n jedno desetinné místo) Řešení: Nejprve si nkreslíme náčrtek krychle, kde vyznčíme cestu mrvence: (FRANTÍK, 007, [Int ]) 87

88 Mrvenec překoná dvkrát délku stěnové úhlopříčky ( ( FG, GC AH, HF ) dvkrát délku hrny ). Stěnové úhlopříčky jsou v krychli všechny stejně dlouhé. Oznčímeli vzdálenost, kterou mrvenec urzí s, můžeme obecně psát: s = u + Nyní musíme spočítt délku stěnové úhlopříčky krychle ABCDEFGH. Tuto úhlopříčku můžeme spočítt npříkld z prvoúhlého trojúhelníku ADH pomocí Pythgorovy věty, kde u je přepon tohoto trojúhelníku. Pltí: u u u u 8 u, cm Nyní můžeme doszením do vzthu pro s, spočítt vzdálenost, kterou urzí mrvenec při překonávání krychle: s = u +, + 8 =,6 + 6 = 8,6 cm Odpověď: Mrvenec n své cestě při překonávání krychle urzí přibližně 8,6 cm. Komentář: následující příkld kombinuje znlosti o kružnicích vepsných opsných. PŘÍKLAD 6: Máme ABC, kde Nrýsuj kružnici vepsnou ABC. AB 4cm, = 6 cm, poloměr kružnice opsné je 5 cm. Řešení: Náčrtek: 88

89 Postup konstrukce: ) AB ; AB 4cm ) k ;k(a, 5cm) ) l ;l(b, 5cm) 4) ;S k l S 5) m; m (S, 5cm) 6) n; n (B, 6 cm) 7) C ;C m n 8) ABC 9) o ; o osy úhlů, 0) S; S o β o γ ) p ;p (S, AB ) kružnice vepsná Smotnou konstrukci zde provádět nebudeme, neboť podle postupu náčrtku ji kždý může provést sám. Diskuze: Zdání má dvě možná řešení, to řešení v horní dolní polorovině...4. Úlohy o společné práci SPOLEČNÉ ZNAKY ÚLOH O SPOLEČNÉ PRÁCI Prcují dv, tři či více objekty. Práci zčnou i ukončí většinou nráz (stejná dob společné práce, stejný čs). Můžeme všk počítt i příkldy, kdy těles, osoby neprcují nráz, le jeden zčne druhý se k němu přidá, či nopk zčnou společně jeden skončí dříve (pk dob, čs společné práce stejný není). Celá společná práce se rovná jednomu celku (ť jich prcuje libovolný počet, nkonec dokončí jenom jednu jedinou práci). Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jkou část společné práce udělá kždý objekt z čsovou jednotku (hodinu, den, minutu ). Celá společná práce je tvořen součtem částí společné práce, vykonných jednotlivými objekty, které se n společné práci podílejí. Někdy nemusí prcovt společně, le mohou prcovt proti sobě, npř. jednou hdicí vod přitéká, druhou odtéká. Pk není společná práce tvořen součtem, le rozdílem. (Mcháňová, 00, [Int 6]) 89

90 PŘÍKLAD : Pn Novák chce kolem své zhrdy necht postvit zeď. Pozve si dv zedníky. První zedník, pn Novotný, by sám zeď postvil z 4 dny. Druhý zedník, pn Knobloch, by zeď sám postvil z 5 dnů. Z jk dlouho tuto zeď poství společně? Řešení: Pn Novotný: 4 dny... celá zeď den... 4 zdi Pn Knobloch: 5 dní... celá zeď Společně z jeden den poství: den... 5 zdi Společně z x dnů poství celou jednu zeď: zdi 4 Vypočítáme neznámou x, která udává počet dní, potřebných k postvení zdi při spolupráci obou zedníků: 9 x = / 0 0 9x = 0 /: 9 0 x = 9 x =, 5 x x = dny 5 hod 0 min. Odpověď: Ob zedníci společně poství zeď z dny 5 hodin 0 minut. = PŘÍKLAD : Hsičská nádrž se nplní prvním přívodem z 8 hod. Druhým přívodem by se t smá nádrž nplnil z 0 hodin. Z jk dlouho se nádrž nplní oběm přívody njednou? Řešení:. přívod: 8 hod... celá nádrž hod... 8 nádrže. přívod: 0 hod... celá nádrž hod... 0 nádrže Společně z jednu hodinu nplní: 0 8 nádrže Společně z x hodin nplní celou nádrž: x

91 Vypočítáme neznámou x, která udává počet hodin potřebných k nplnění nádrže oběm přívody: 4 5 x = 40 9 x = / x = 40 / : x = 4 hod 9 9 x 4 hod 7 min Odpověď: Ob přítoky společně nplní hsičskou nádrž z 4 hodiny 7 minut. PŘÍKLAD : Zemědělec potřebuje zort svá pole. Zoráli si pole sám, bude mu to trvt 9 dní. Chce si tedy pozvt pomocníky. Prvnímu by smotnému tvlo zort všechn pole 0 dní druhému pomocníkovi dnů. Kolik dní zemědělec ušetří, budouli ort všichni tři? Řešení: Zemědělec: 9 dní... všechn pole den... polí 9. pomocník: 0 dní... všechn pole den... polí 0. pomocník: dní... všechn pole den... polí Společně z jeden den: polí Společně z x dnů zorjí všechn pole: 9 0 x = 5 x = / x = 80 / : 5 80 x = 5 5 dní Odpověď: Společně zorjí pole z dní, tj. přibližně dny 9,5 hodiny. 5 9

92 Komentář: příkld 4 je změřen n společnou práci konnou proti sobě. Příkld 4: Zhrdník si k szenicím melounu postvil plechovou nádobu s proděrvělým dnem, kterým má vod postupně zvlžovt szenice. Pokud by nádob nebyl děrvá, trvlo by zhrdníkovi její nplnění 5 minut. Smovolné vyprázdnění nádoby trvá hodinu. Jk dlouho bude zhrdníkovi trvt nplnit tuto nádobu? Řešení: Zhrdník: 5 minut... celá nádob minut... nádoby 5 Děrvé dno: 60 minut... celá nádob minut... nádoby 60 Společně z jednu minutu přibude objemu nádoby Společnou prcí z x hodin minut dojde k nplnění celé nádrže: 5 60 x = 7 40 x = / 40 5x = 40 /: 5 40 x = 84 minut = hod 4 minut 5 Odpověď: Zhrdník děrvou nádobu nplní z hodinu 4 minut. PŘÍKLAD 5: Instltérská firm dostl z úkol svřit horkovzdušného potrubí. Prvnímu instltérovi by svření potrubí trvlo 4 dní, druhému instltérovi dní. Jelikož práce musí být hotová z 4 dny, musel firm njmout ještě jednoho svářeče. Jk dlouho by trvlo svření potrubí smotnému njtému svářeči, když ve třech stihli instltéři svřit potrubí přesně z 4 dny? 9

93 Řešení:. instltér: 4 dní... celé potrubí den... 4 potrubí. instltér: dní... celé potrubí den... potrubí. njtý svářeč: x dní... celé potrubí den... x potrubí Společně z jeden den svří: 4 x potrubí Společně z 4 dny svří celé potrubí: 4 4 x 6x 7x 84x 84 4 = / 84x (6x + 7x + 84) 4 = 84x 4 x 8x 6 = 84x / 5x x = 6 / : 6 x = 0, 5dne Odpověď: Njtý svářeč by sám potrubí svářel 0,5 dne. Komentář: Příkld 6 je změřen n společnou práci, kdy čs společné práce není stejný jko čs celkové práce. PŘÍKLAD 6: Děd by své políčko brmbor vybrl sám z 8 hodin, bbičce by to smé pole trvlo vybrt 7 hodin. Jk dlouho trvlo vybrt celé pole, jestliže nejprve hodiny vybírl děd brmbory sám poté mu přišl pomoci bbičk? 9

94 Řešení: Délk společné práce... x hodin Děd: 8 hodin... celé pole hodin... 8 pole Z hod smosttné práce x hod společné práce.. x pole 8 Bbičk: 7 hodin... celé pole hodin... 7 pole Z x hod společné práce... 7 x pole Společně z x hodin společné práce: x 8 x 7 = 7 (x ) 56 8x = / 56 7x x = 56 / 4 5x = 4 / : 5 x = = hod 48 min Nesmíme všk zpomenout, že x je čs, který strávili n poli společně bbičk s dědečkem. Otázkou všk je, jk dlouho trvlo vybrt celé pole, tzn. musíme ke společně strávenému čsu přičíst čs, kdy byl n poli sám dědeček tedy hod. hod 48 min + hod = 4 hod 48 min Odpověď: Celé pole trvlo vybrt 4 hod 48 min Mgické čtverce V přijímcích testech z mtemtiky se podle internetových stránek středních škol občs vyskytují i různé mgické čtverce, proto si i zde řekneme něco málo o mgických čtvercích ukážeme, jk postupovt při řešení tkovýchto úloh. 94

95 Obecně je mgickým čtvercem nzýváno jkékoliv čtvercové schém nejrůznějších objektů, nejčstěji čísel nebo písmen, rozmístěných podle nějkých prvidel. (Fuchs, 004, str., [Int ]) Mgický čtverec řádu n je čtvercové schém o n řádcích n sloupcích, v němž jsou vepsán čísl,,,., n tk, že součet čísel v kždém řádku, sloupci i úhlopříčce je stejný. (Fuchs, 004, str. 5, [Int ]) Součet čísel v řádcích, sloupcích úhlopříčkách mgického čtverce řádu n je zřejmě roven číslu n ( n ). Tomuto součtu se říká mgické číslo. (Fuchs, 004, str. 5, [Int ]) Mgický čtverec si kždý může sestvit sám podle následujícího schémtu: Mgický čtverec x : Mgický čtverec 4 x 4: (Šiřická, 009, [Int ]) (Perný, 00/0, [7]) Jiný mgický čtverec vznikne i přičtením libovolného stejného čísl ke všem políčkům zákldního mgického čtverce. Více informcí o mgických čtvercích lze nlézt n internetu, npř. Fuchs, 004, [Int ]. 95

96 PŘÍKLAD : Doplň mgický čtverec tk, by se v políčkách vyskytovl čísl 6 4. Mgické číslo čtverce je Řešení: Mgické číslo čtverce udává výsledný součet v řádcích, sloupcích úhlopříčkách. Můžeme tk hned dopočítt. sloupec jednu úhlopříčku: 0 8 = = Po doplnění prvního sloupce jedné úhlopříčky můžeme dopočítt druhý třetí řádek: = = Nyní sndno doplníme druhý třetí sloupec: = = PŘÍKLAD : Doplň mgický čtverec tk, by se v tbulce vyskytovlo kždé číslo od do

97 Řešení: V druhém sloupci jsou doplněn všechn čtyři čísl, můžeme tk získt hodnotu součtu, která musí být ve všech řádcích, sloupcích úhlopříčkách: = 4 Známeli součet, můžeme dopočítt hodnoty v obou úhlopříčkách prvním řádku: = = = Po doplnění čísel,, 4 do mgického čtverce můžeme dopočítt., 4. řádek.,. sloupec, po doplnění i těchto výsledků do čtverce chybí dopočítt pouze. řádek, který dopočítáme opět jko zbytek do 4: = = 4 8 = = Soubor neřešených úloh s výsledky Ztímco kpitol byl pro žáky částí, kdy si měli připomenout či se nučit různé metody výpočtů různých mtemtických problémů, tto kpitol by pro žáky měl být částí opkovcí. Žáci zde mjí možnost ověřit si, zd jsou schopni smostně tyto úlohy řešit. V kpitole.4 str. se ncházejí zkušební testy, které ověřují část zprcovného učiv byly použity při výzkumu. Tyto testy mohou též sloužit žákům k procvičení ověření jejich znlostí... Číslo proměnná P Rozložte číslo 9800 n součin prvočísel. [ 5 ] P Která z čísel,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 nejsou děliteli čísl 40? [ 7, 8] P Určete nejmenší společný násobek nejmenší společný dělitel čísel 50, 780, 860. [n(50, 780,860) = 8 60; D(50, 780, 860)=60] 97

98 P4 Vypočítejte: P5 Njděte nejmenší společný násobek výrzů: ( b) ; b ;8c b;cb 4 4 [4c b ( b)( b) ] P6 Aničk má různě dlouhé brevné stuhy. Červená stuh měří 00 cm, modrá stuh měří 40 cm zelená stuh měří 60 cm. N jké nejdelší, stejně dlouhé části, může Aničk stuhy rozstříht? [0 cm] P7 Kolik bonbónů by nejméně musel mít bbičk, by šly rozdělit n 6 stejných, 8 stejných nebo 4 stejných hromádek? [68 bonbónů] P8 Pvlík nvštěvuje svou bbičku kždý devátý den. Jeho brtrnec Pepík nvštěvuje bbičku kždý ptnáctý den. Po kolik dnech se vnuci vždy u bbičky setkjí? [45 dní] P9 N kolik stejných, co největších čtverců můžeme rozstříht rch ppíru o rozměrech 98 cm cm [4 čtverců x cm] P0 Zemědělec chce rozdělit 7 h polí mezi své 4 syny. Po dlouhém uvžování se rozhodl, že pole rozdělí v poměru 7:5:4:. Kolik h pole dostne kždý syn? [6 h, 45 h, 6 h, 7 h] P Pn Novák byl spoluvlstník jedné módní firmy. Svůj podíl ve firmě rozdělil mezi své dcery v poměru 4:, kde větší část dostl strší dcer. Kolik procent firmy původně pn Novák vlstnil, jestliže mldší dcer dostl 4% z celé společnosti? [56%] P Zjistěte měřítko mpy, n níž je vzdálenost Prh Liberec dlouhá cm. Ve skutečnosti je cest z Prhy do Liberce dlouhá 0 km. [: ] P Srovnejte podle velikosti od nejmenšího po největší: ( ) ;( ),, ( ),( ),( ) 0 [( ) ; ; ( ) ; ( 0 ) ; ( ) ; ( ) ] 98

99 P4 Vypočítejte: ) b) c) d) 6 4 : e) 4 50 ) 4 ; b) 9 4 ;c) 9 4 ;d)6;e)6 P5 Vypočítejte následující rovnice: ) x + 5 7x = x 8 x b) 4y 8 + 9y = 7y y c) 4 + 5u + = 5 u u d) (t + ) + (t ) = 4 (t + ) + 5(t + 4) e) (s ) + 4 = s + s f) (r ) + 4 = r r g) (x + ) 6 x + (x )= 4(x + ) h) x + 6 x 8 = x 6 4 i) x + 8 x 7 = x x 9 [) x = 5; b) y = ; c) u = ; d) t = 7; e) s = ; f) r = ; g) x = ;h) x = 8; i) x = 4 ] P6 Jké číslo máme n mysli, jestliže pro něj pltí: po vynásobení třemi přičtení čísl 4 dostneme deset. [] P7 Otec je sedmkrát strší než syn, z 6 let bude otec krát strší než syn. Kolik je dnes otci synovi? [otec 56 let, syn 8 let] P8 Otec je 5 krát strší než jeho syn. Z let bude otec třikrát strší než jeho syn, kolik je otci kolik synovi [otec 55 let, syn let] P9 Mtce je 9 let, její dceři je 7. Před kolik lety byl mtk krát strší než její dcer? [před 6 lety] P0 Mmince je 47 let, synovi. Z kolik let bude mtk krát strší než syn? [z roky] P Otci je 4 let, jeho synovi je let. Z kolik let bude otec krát strší než jeho syn? P Vyřešte následující soustvy rovnic: [z 5 let] ) x + 7y = 4; 5x + 4y = b) x + 4y = 8; 4x + 8y = 6 c) x + (7 y) = 7; 4 (x ) + y = 4 d) 8x 4 y = 0; 4x 7y = 0 [) [x,y] = 5 6 ; 4 4 ; b) nemá řešení; c) [x,y] = 4 4 ; ; d) nekonečně mnoho řešení]

100 P Z sušenek (po 9 Kč Kč) bylo zplceno Kč. Kolik sušenek bylo z Kč kolik z 9 Kč? [sedm z 9 Kč pět z Kč] P4 Ve třech různých pecích v pekárně se z hodinu upeče celkem 04 kusů pečiv. V první peci se upeče o 8 kusů pečiv více než v peci druhé ve třetí peci se upeče třikrát více než v peci první. Kolik kusů pečiv se upeče z hodinu v kždé peci? P5 Pomocí vytýkání rozložte n součin: [4 kusů, 06 kusů, 70 kusů] ) xy x y xy d) r (s 4) s 4 b) 0 b 5b c) (5 b) (5 b) 0 b e) b b f) c d bcd bc b d [) xy ( + x y);b) 5b (b + 4 b); c) (5 + b) ( );d) (s 4) (r + ); e) ( )( b); f) (c bd)(cd b)] P6 Pomocí vzorců rozložte n součin: ) 9x 69 b) x 6 x + 64 c) 4x + 4x + 6 [) (x )(x + );b) (x 8)(x 8); c) (x + 6)(x + 6)] P7 Následující výrzy rozložte n součin: ) 4x + 4y g) c bc d + bd b) xy + x y xy h) xyz 4xy c) 0 b 5b + 0 b i) d) (5 + y) (5 + y) j) 6 b c 49 b d e) x (y 4) + y 4 k) 8 8b + b f) 8 + x + xy + 4y l) (+b) b [) 4 (x+y); b) xy ( + x y); c) 5b (b + 4 b); d) (5 + y) ( ); e) (y 4)(x + ); f) (x + 4)(y + ); g) ( b)(c d); h) xy (z )(z + ); i) (+4) (+4); j) b (4c 7d) (4c + 7d); k) ( b)( b); l) ( + b)(+b )] P8 Určete, pro které hodnoty proměnné má výrz smysl: ) b) c) x 5 x 4 4 ( ) c c d) e) f) g) b c b c 4 b 6b 4l 8l m 5 7m m h) i) j) k) x x 6x 4 4b b c

101 l) m) n) 6 c k 9c 49 (b c) o) p) q) l 5 0l l m 4 6m 60m 8r r 8 5 r) 4 [) x 4; b) 0 ;c) c ; d) b c ; e) b 0 ; f) l 0Λ l ; g ) m 0 m ; h) x ; i) ; j) b; k) c ± ;l) c ± 4; m) c ± 7 ; n) c b; o) l 5; p) m 6 5 ; q) r ±; r) 0 ] P9 Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, zjednodušte ho: ) b b b b) 4b c d 4 8bc d c) 6x x 4x 4x 4x d) 7x x yz 6y y e) 4y t f) 4 4t y z 4x y z 4 x x g) x h) b i) b b 4x 8x x 8x b b (x ) y [) b 0; b; ; b) bcd 0, ; c) x 0 x, ; d) xyz 0 y, ; e) y ±, b cd (x ) y 6y ; f) t, ; g) x, x x ( b) ; h) x 0, x ±, ; i) b, ] y x b P0 Určete podmínky, z kterých má následující výrz smysl, vypočítejte ho: ) b) c) d) 6 0 b 5 b 4 6 b b b 4b c c c c e) d 4 d 4 : d 4d 4d 8d f) c d c d (4c 4d) c cd d 4 (b 9) 6b b 4b [) 4; b 5; ; b) b ±; ; c) b; ; d) c c, (5 b) b 9 4b c(c 5) 4 ;e) d 0 d ±, ;f) c ± d, ; g) 0, ] (c )(c ) d 8(c d) g) :.. Závislosti, vzthy práce s dty ZV Pepíček při lbortorní úloze z fyziky nměřil desetkrát průměr ocelového válečku (viz. tbulk). Spočítejte průměrný poloměr tohoto válečku. číslo měření nměřená hodnot (mm),,8,,4,6,5,5,7,,4 [r = 66, mm] 0

102 ZV V hodině tělocviku žáci běhli 00 m. Pn učitel u jednotlivých žáků nměřil následující čsy: 4, s; 5,9 s; 0 s; 9,8 s; 6 s; 6, s; 5 s; 8 s; 4,5 s; 6 s; 4, s; 8,56 s;,59 s; 5,5 s; 6 s; 8 s; 0 s. Jký je průměrný čs žáků? Výsledek zokrouhlete n dvě desetinná míst. [t = 6,54 s] ZV Tříd 9. A měl n vysvědčení průměr známek z mtemtiky,8. Jedničku mělo 7 žáků, dvojku 8 žáků, trojku 6 žáků, pětku nikdo. Ve třídě není více než 6 žáků. Kolik žáků dostlo n vysvědčení čtyřku? [4 žáci] ZV4 Grf znázorňuje závislost dráhy s n čse t, při pohybu utomobilu z míst A do míst B. Vzdálenost mezi A B je 00 km. ) Určete, kolik čsu utomobil během cesty z míst A do míst B stál. b) Určete, kolik km zbývlo utomobilu do míst B v 9:0, jestliže vyjížděl z míst A v 8:00. [) hod; b) 00 km ] ZV5 Nčrtněte grfy následujících funkcí: ) f(x) = 4x 7 b) g(x) = 5x + c) t(x) = 0,5x +,5 d) v(x) = x + ZV6 Určete, který z následujících bodů neleží n grfu funkce f(x) = x +. [0; ]; [; 0]; [ ; 4]; [5; ]; [; 4] [[5, ]] 0

103 ZV7: Npište předpis funkce, jejíž grf je n obrázku. ) b) [) y = 0,5x + ; b) y = 4x + ] ZV8 Určete průsečíky funkcí: ) f(x) = x + ; g(x) = x 8; D(f) = D(g) = R b) h(x) = x 4; l(x) = x + ; D(h) = D(l)= R c) v(x) = 0,6x + 6; u(x) = 0; D(v) = D(u) = R d) s(x) = x 4; t(x) = x + 4; D(s) = D(t) = R e) m(x) = 5x + 4; n(x) =,5x,5; D(m) = D(n) = R[) P = [ 5; ]; b) P =[; ]; c) P=[0; 0]; d) P= [ 4; 0] ; e) P= [ ; ]].. Geometrie v rovině v prostoru G Vypočítejte délku strny m v prvoúhlém trojúhelníku KLM, jeli l = 4 cm k = 5 cm. Prvý úhel je u vrcholu K. [m = cm] 0

104 G V jké výšce se bude žebřík dlouhý 0 m dotýkt zdi, opřemeli ho o stěnu tk, že jeho pt bude od stěny vzdálen dv metry? [h = 9,8 m] G Vypočítejte obvod prvoúhlého trojúhelník KLM, kde odvěsny k l mjí následující délky: l = 56 mm, k =, cm. G4 Vypočítejte obsh rovnostrnného trojúhelník PQR, kde p = 0 cm. [o = 54 mm] [S = 4, cm ] G5 Jk dlouhé bude zábrdlí u schodiště s 5 schody, jestliže kždý schod bude široký 0 cm 6 cm vysoký? [850 cm] G6 Pyrmid se čtvercovou zákldnou, kde délk hrny podstvy je 48 m, je vysoká 70 m. Spočítejte výšku boční stěny. [74 m] G7 Spočítejte délku stěnové úhlopříčky krychle ABCDEFGH s délkou hrny 5 cm. Výsledek zokrouhlete n desetinná míst. Proveďte náčrtek. [7,07 cm] G8 Vejde se tyč dlouhá,5 m do kbiny výthu o rozměrech = 60 cm, b =, dm, c = 400 mm? [Ano, u t =,7 m >,5 m] G9 Vypočítejte obsh rovnormenného trojúhelník ABC, kde c je průměrem kružnice k (S, cm) C є k. [9 cm ] G0 Z údjů uvedených v obrázku vypočítejte délku strny vyříznutého čtverce. G Vypočítejte obsh vybrvené plochy. Výsledek zokrouhlete n setiny. [ = m] [,4 dm ] 04

105 G Spočítejte velikost úhlu α β. [α = 69 ; β = 6 ] G Bzén ve tvru kvádru, kde rozměry dn jsou = m, b = 5 m, je nplněn,5 m vody, což odpovídá 8% zplnění. ) Kolik vody se mximálně vejde do bzénu? b) Jk je bzén hluboký při úplném npuštění? (Výsledky zokrouhlete n jedno desetinné místo) [) 7, m ; b),8 m ] G4 Při hvárii uniklo z tnkeru do moře 0 tun ropy. N mořské hldině se vytvořil kruhová skvrn tlustá cm. Vypočítej, jkou plochu rop zkryl. Předpokládej, že hustot ropy je 850 kg/m. Zokrouhlete n celá čísl. ( π =,4) [76 m ]..4 Nestndrdní plikční úlohy problémy A: Doplňte následující mgické čtverce, jestliže v mgických čtvercích jsou čísl: ) od do b) od 0 do

106 A Doplňte následující číselné řdy: ) ; ; ; ;? 4 m m m b) ; ; ;? m m m c),, 9, 7,? m ) ; b) 5 m 4 ;c)8 A Mmince by trvlo připrvit oslvu synových nrozenin 4 hodiny. Kdyby tu smou oslvu chystl ttínek, trvlo by mu to 5 hodin. Jk dlouho jim bude trvt připrvit oslvu společně? [ hod min] A4 Pnu Novákovi při záplvách ntekl vod do sklep. Pokud by vodu odčerpávl pouze svým čerpdlem, odčerpávl by ji 4 hodin. Soused pn Novák vlstní výkonnější čerpdlo, které by vodu ze sklep smo vyčerplo z 8 hodin, půjčil mu ho všk ž poté, co si vyčerpl vodu ze svého sklep, tj. po pěti hodinách. Jk dlouho bude pnu Novákovi trvt odčerpt všechnu vodu ze svého sklep, jestliže pět hodin odčerpává pouze svým čerpdlem poté zpojí obě čerpdl? [8 hod 6 min].4 Vstupní test Vstupní test měl ověřit dosvdní znlosti žáků z mtemtiky. Nejprve jsem vytvořil první verzi. Při vytváření tohoto testu jsem se snžil zřdit úlohy, se kterými by se žáci mohli setkt u přijímcích zkoušek n SŠ, zároveň jsem všk musel respektovt ŠVP dné školy dosvdní znlosti žáků. Do první verze testu jsem zřdil sedm otázek. První příkld se týkl největšího společného dělitele nejmenšího společného násobku. Tento příkld jsem zřdil, neboť se domnívám, že je to zákld pro počítání se zlomky pozdější počítání s lomenými výrzy. Tudíž znlostí tohoto témtu si žáci ušetří práci při počítání velkého počtu úloh, kde se počítá s výrzy se zlomky. Tké s úlohou typu: Určete nejmenší společný násobek či největšího společného dělitele se žáci mohou setkt v přijímcích testech středních odborných škol. 06

107 Druhý příkld jsem věnovl výrzům. Přestože jsem v přijímcích testech nšl pouze zdání s lomenými výrzy, do vstupního testu jsem zdl rozkld mnohočlenu n součin. Žáci se totiž s lomenými výrzy poprvé setkávjí ž n zčátku devátého ročníku. Tudíž lomené výrzy poznli ž v průběhu plikce souboru příkldů mohly být zřzeny do výstupního testu. Třetí čtvrtý příkld byl věnován lineárním rovnicím. Ve třetím příkldu měli žáci řešit zdnou lineární rovnici. V příkldu čtvrtém měli lineární rovnici sestvit n zákldě textu slovní úlohy vyřešit ji. Opět nebylo možné zdt úlohu, kde se vyskytují lineární rovnice s neznámou ve jmenovteli nebo soustv dvou lineárních rovnic, neboť je to podle ŠVP opět učivo ž devátého ročníku. Pátý příkld jsem věnovl zprcovávání dt, kdy žáci měli pouze doplnit tbulku četností, spočítt procentuální zstoupení ritmetický průměr. V této úloze jsem si chtěl ověřit, zd žáci umí ze zdání vytáhnout více dt, dopočítt dt chybějící dále s těmito dty prcovt. Jko šestý příkld jsem zřdil výpočet stěnové úhlopříčky krychle. Tto úloh tk měl ověřit, jestli jsou žáci schopni v podobných příkldech plikovt Pythgorovu větu vůbec si předstvit, co mjí počítt. Poslední, sedmý příkld jsem věnovl konstrukční úloze. Změřil jsem ji n učivo 6. ročníku, to n kružnici vepsnou. Zjímlo mě, jestli jsou žáci schopni provést všechny čtyři body řešení. (první verze testu viz příloh s. ). Pro ověření, jestli je možné, by žáci 9. ročníku zvládli vyprcovt dný test z 40 minut, jsem test zdl žákyni 9. ročníku z jiné školy (vyprcovný test viz příloh s.). Při jejím zprcování se ukázlo, že zřzení konstrukční úlohy není vhodné z důvodu čsové náročnosti (náčrtek, postup konstrukce, konstrukce, diskuze) potřeby pomůcek, které č by měly být ve výbvě kždého žák, čsto žákům chybí (rýsovcí potřeby). Proto jsem konstrukční úlohu z příkldu 7 nhrdil početní logickou geometrickou úlohou. Konstrukčním úlohám bych se pk věnovl v budoucnosti. Dlší nevýhodou se ukázlo, že příkldy 4 se věnovly stejnému témtu, to lineárním rovnicím. Tudíž jsem příkld vynechl znechl pouze příkld 4, který byl zjímvější, neboť si zde žák musel rovnici sám sestvit. Dále jsem před zdáním vstupního testu konzultovl jeho obsh s pní učitelkou, která ve třídě 9. A, kde jsem test chtěl plikovt, učí mtemtiku. Požádl mě, ť změním příkld, 07

108 ve kterém měli žáci rozložit výrz n součin, z pouhé sčítání odčítání výrzů. Výrzy jsou totiž pro žáky velmi náročným témtem tento příkld by pro ně byl bez předešlého opkování 00% neúspěchem. Změnil jsem tedy n její žádost příkld z sčítání odčítání výrzů, bych mohl pozorovt, zd lespoň u jednoduššího příkldu někteří žáci dojdou ke správnému řešení. I druhou verzi testu jsem nejprve vyzkoušel n žákyni 9. ročníku z jiné ZŠ (viz příloh s. ) následně jsem ji plikovl n celou třídu. (finální verze testu viz kpitol.4. str. 08).4. Vstupní test pro 9. ročník Délk testu: 40 minut Pomůcky: Pscí potřeby, klkulčk PŘÍKLAD : Určete nejmenší společný násobek největší společný dělitel čísel PŘÍKLAD : Vypočítejte: 5x + x y + y (x x y + 6y) PŘÍKLAD : Mtk je 5x strší než její syn. Z 5 let bude mtk x strší než její syn. Kolik je mtce kolik je synovi? PŘÍKLAD 4: V 8. A je 5 žáků, 0 % žáků dostlo ze vstupního mtemtického testu hodnocení, čtyři žáci dostli hodnocení, tři žáci dostli hodnocení 4 jeden žák dostl hodnocení 5. Doplň následující tbulku urči průměrnou známku třídy. hodnocení 4 5 počet žáků počet žáků v % 0 PŘÍKLAD 5: Spočítejte délku stěnové úhlopříčky krychle ABCDEFGH s délkou hrny 5 cm. Výsledek zokrouhlete n desetinná míst. Proveďte náčrtek. PŘÍKLAD 6: Do obdélník ABCD je vepsán kružnice k (viz obrázek). Jký je obsh vybrvené plochy, jeli = 4 cm b = cm? 08

5. 2 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace

5. 2 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace 5. 2 Vzdělávcí oblst Mtemtik její plikce 5. 2. 1 Chrkteristik vzdělávcí oblsti Mtemtiku chápeme především jko metodu ke kvntittivnímu popisu svět. Mtemtik je nšem pojetí jednoduchá, názorná plikovtelná,

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI. František Prášek

SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI. František Prášek SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI Frntišek Prášek Ostrv 011 1 : Sylbus modulu Upltnění n trhu práce, dílčí část II Bklářská práce + příprv n prxi

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 9. ročník J.Coufalová : Matematika pro 9.ročník ZŠ (Fortuna) Očekávané výstupy předmětu Na konci 3. období základního vzdělávání

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Předmět: MATEMATIKA Ročník: 4. Časová dotace: 4 hodiny týdně Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Provádí písemné početní operace Zaokrouhluje přirozená čísla, provádí odhady a kontroluje

Více

Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program

Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program Stran Stran celkem DUM 1 VY_32_INOVACE_03_01 Matematika 1. M - pololetní opakování písemná práce Word 5 4 2 VY_32_INOVACE_03_02 Matematika

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Matematika-průřezová témata 6. ročník

Matematika-průřezová témata 6. ročník Matematika-průřezová témata 6. ročník OSV 1: OSV 2 žák umí správně zapsat desetinnou čárku, orientuje se na číselné ose celých čísel, dovede rozpoznat základní geometrické tvary a tělesa, žák správně používá

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň 5.2.1. Matematika pro 2. stupeň Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6., 8. a 9. ročníku 4 hodiny

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 7.

Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 7. Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 7. Výstupy dle RVP Školní výstupy Učivo žák: v oboru celých a racionálních čísel; využívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

Početní operace se zlomky

Početní operace se zlomky Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 1 Matematika Hodinová dotace Matematika 4 4 4 4 Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP ZV. Matematika

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika. Ročník: 7. - 1 - Průřezová témata. Poznám ky. Výstup

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika. Ročník: 7. - 1 - Průřezová témata. Poznám ky. Výstup - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Výstup - modeluje a zapisuje zlomkem část celku - převádí zlom na des. čísla a naopak - porovnává zlom - zlomek

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků Rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA Projednáno pedagogickou radou dne: 26. 8. 2013 Schválila ředitelka

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více