Exponenciální a logaritmická funkce

Transkript

1 Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na

2 1. Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pozn.: Eulerovo číslo e = 2, Vlastnosti exponenciální funkce: D(f) = (- ; + ); H(f) = (0; + ) Není sudá, ani lichá. a x > 0, proto je funkce omezená zdola, shora omezená není. Je klesající pro 0 < a < 1 a rostoucí pro a, které je větší než 1 Nemá maximum ani minimum. Je inverzní k logaritmické funkci. Je v R spojitá. 2. Exponenciální funkce - procvičovací příklady 2

3 1. Pro která čísla a je funkce klesající? 1370 a > 1 2. Načrtněte graf funkce y = 2 x - 2 -x Načrtněte graf funkce y = 3 2x Je dána funkce f: y = 0,5 x - 3 Načrtněte graf funkce f(x) Je dána funkce f: y = 2 x + 1. Načrtněte graf funkce f(x)

4 6. Je dána funkce f: y = 0,5 x - 3. Načrtněte graf funkce f( x ) Načrtněte graf funkce y = 0,5 x Pro která čísla a je funkce rostoucí? 1369 a > 2 9. Je dána funkce f: y = 2 x + 1. Načrtněte graf funkce f( x ) Je dána funkce f: y = 2 x + 1. Načrtněte graf funkce f( x )

5 11. Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 4 x g(x) = 4 x + 2 h(x) = 4 x Načrtněte graf funkce f(x) = -(2-2x ) Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 0,4 x g(x) = 0,4 -x h(x) = f( x ) Načrtněte graf funkce y = 2 x

6 15. Je dána funkce f: y = 0,5 x - 3. Načrtněte graf funkce f( x ) Načrtněte graf funkce Načrtněte graf funkce y = 2 x + 2 -x Načrtněte graf funkce y = 2 x

7 19. Načrtněte graf funkce y = 0,5 x Načrtněte a porovnejte grafy funkcí y = 2 x a y = 2 -x Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log a x. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = log a x vyjadřuje totéž jako zápis x = a y Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor D(f) =(0; + ) 7

8 Obor hodnot H(f) = R Není sudá, ani lichá Není zdola ani shora omezená. Pro 0 < a < 1 je klesající Pro a > 1 je rostoucí. Funkce nemá maximum ani minimum. Pro x (0; + ) je spojitá. Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. 4. Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f(x) Urči definiční obor funkce: 1432 D(f) = (4; + ); a > 0, a 1 3. Urči definiční obor funkce: 1434 D(f) = (0; 3); a > 0, a 1 4. Určete definiční obor funkce f: 1462 D(f) = (- ; -1) ( 2; + ) 8

9 5. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 (-x) D(f) = (- ; 0) Urči definiční obor funkce 1433 D(f) = (-1; 1); a > 0, a 1 7. Určete definiční obor funkce f: 1460 D(f) = <10; + ) 8. Urči definiční obor funkce: 1439 D(f) = (2; 9) 9. Načrtněte graf funkce f: y = 2. log x a určete definiční obor funkce D(f) = (0; + ) 10. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f( x )

10 11. Je dána funkce f: y = log 2 (x - 4). Načrtněte graf funkce f(x) Načrtni graf funkce f: y = log 2 x Načrtněte graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 a určete definiční obor funkce D(f) = (-2; + ) 14. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f( x )

11 15. Urči definiční obor funkce f: y = log (2x 2 + 4x - 6) D(f) = (- ; -3) 1; Načrtněte graf funkce f: y = log x 2. D(f) = R \ {0} Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = R \ {0} Určete definiční obor funkce: 1459 D(f) = <1; + ) 19. Načrtněte graf funkce f: y = 1 - log x Urči definiční obor funkce y = log a (2x +3) D(f) = (-1,5; + ); a > 0, a

12 21. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = (0; + ) Načrtněte graf funkce f: y = log 2 (x - 4) Urči definiční obor funkce 1431 D(f) = (- ; -3) ( 5; + ); a > 0, a Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = (0; + ) Načrtni graf funkce f: y = log 2 (x + 2)

13 26. Určete definiční obor funkce f: y = log (-x 2 + 6x - 9) D(f) = { } 27. Je dána funkce f: y = log 2 (x - 4). Načrtněte graf funkce f( x ) Je dána funkce f: y = log 2 (x - 4). Načrtněte graf funkce f( x ) Načrtněte graf funkce f: y = ln (x - 1) Načrtni graf funkce f: y = log 2 (x + 2)

14 31. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = -log 4 x D(f) = (0; + ) Načrtni graf funkce: Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = R \ {0}

15 Obsah 1. Exponenciální funkce 2. Exponenciální funkce - procvičovací příklady 3. Logaritmická funkce 4. Logaritmická funkce - procvičovací příklady