2.1.9 Lineární funkce II

Transkript

1 .1.9 Lineární funkce II Předpoklad: 108 Př. 1: Přiřaď k jednotlivým čarám na obrázku, jednotlivé variant zadání příkladu o Orlické přehradě: a) původní zadání (přítok 000 m /s, odtok je 1000 m /s, 500 mil m ) b) na začátku povodně je nádrž zcela prázdná c) přítok do nádrže je pouze 000 m /s. d) přítok do nádrže je pouze 1000 m /s, odtok je e) na začátku povodně blo v přehradě 650 mil m Ke každé z čar napiš její funkční předpis. 000 m /s. V[m ] 800 objem přehrad a) původní zadání (přítok 000 m /s, odtok je 1000 m /s, 500 mil m ) červená čára b) na začátku povodně je nádrž zcela prázdná modrá čára c) přítok do nádrže je pouze 000 m /s - zelená čára d) přítok do nádrže je pouze 1000 m /s, odtok je e) na začátku povodně blo v přehradě podrobnosti v minulé hodině m /s - žlutá čára 650 mil m - fialová čára t[hod] Pedagogická poznámka: Pokud řešíte příklad ve třídě, je dobré si nad obrázkem pořádně popovídat pokusit se najít, co nejvíce důvodů pro vtvoření dvojic zadání-čára. Co mají všechn funkce společné? grafem je část přímk předpis má tvar = ax + b takovým funkcím se říká lineární (latinsk se čára řekne linea). 1

2 Lineární funkce je každá funkce, která jde zapsat ve tvaru = ax + b, kde a, b R. Grafem lineární funkce je přímka (část přímk). Př. : Najdi nejrchlejší možný způsob zakreslení grafu libovolné lineární funkce. Graf lineární funkce je přímka na nakresleni grafu lineární funkce mi stačí určit libovolné dva bod a spojit je přímkou. Př. : Urči hodnot parametrů a, b u všech předchozích lineárních funkcí. a) původní zadání: = 10,8x a = 10,8, b = 500 b) na začátku povodně je nádrž zcela prázdná = 10,8x a = 10,8, b = 0 c) přítok do nádrže je pouze 000 m /s. =, 6x a =, 6, b = 500 d) přítok do nádrže je pouze 1000 m /s, odtok je =, 6x a =,6, b = 500 e) na začátku povodně blo v přehradě = ,8x a = 10,8, b = mil m 000 m /s. Pedagogická poznámka: Pokud se zdá, že studentům předchozí příklad nečiní potíže, příliš se u něj nezdržujeme a řešíme ho pouze slovně. Speciální případ lineární funkce: a = 0 = 0x + b = b - konstantní funkce předpis neobsahuje neznámou x pro všechna x má funkce stejnou hodnotu b (hodnota je neměnná konstantní) graf je vodorovná přímka b = 0 = ax + 0 = ax - přímá úměrnost graf je přímka procházející počátkem (bodem [ 0,0 ]) Př. : Rozhodni, zda některé z lineárních funkcí, které popisoval množství vod v přehradě, patří mezi konstantní funkce nebo přímé úměrnosti. Žádná ze zadaných funkcí mezi konstantní nepatří, u všech se měnilo množství vod v nádrži. Konstantní b bla funkce v případě, že b do přehrad vtékalo a z ní vtékalo stejné množství vod. Přímou úměrností je příklad a) na začátku povodně je nádrž zcela prázdná.

3 Př. 5: Nakresli graf funkcí: a) = b) = π c) = x d) = 0,5x Pomocí nakreslených grafů ověř zda platí tvrzení: 1) grafem konstantní funkce je vodorovná přímka ) grafem přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem Obě tvrzení zdůvodni i úvahou. = bod [ 0; ], [ ; ] a) - - x - - = bod [ 0; π ], [ ; π ] b) π - - x - - Obě předchozí funkce bl konstantní a oba graf jsou rovnoběžné přímk. Konstantní funkce = pro všechna x dostávám stejné všechn bod grafu budou mít stejnou -ovou souřadnici graf je vodorovná přímka = bod [ 0;0 ], [ ; ] c) x

4 - - x - - = bod [ 0;0 ], [ ; ] d) 0,5x - - x - - Obě předchozí funkce jsou přímé úměrnosti a oba graf procházejí bodem [ 0;0 ]. Přímá úměrnost = jde zapsat ve tvaru prochází bodem [ 0;0 ] = ax, dosadím x = 0 = ax = a 0 = 0 graf Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je sice strašně jednoduchý, ale zejména kreslení konstantních funkcí dělá studentům problém. V předpisu jich schází informace o 0;, který vnímají jako vjádření x a tak graf funkce často kreslí jako jediný bod [ ] faktu, že = a necítí, že b měl něco společného s x. Snažím se jim vsvětlit, že i bod [ 0; ] obsahuje x a neliší se od jiných bodů jako například [ ] 1;. Navíc zdůrazňuji, že funkce je vžd o přiřazování hodnot k x a pokud její předpis x neobsahuje, znamená to pouze, že na hodnotě x nezáleží a všem x se přiřazuje stejné číslo, které je udané v předpisu (v našem případě ). Občas je také možné se setkat s tím, že studenti špatně počítají hodnot u funkce ;1, bodu c). Z pro mě zatím neznámého důvodu získají obrácené dvojice [ ] [ ; ]. Je takových je nutné chtít, ab doopravd dosadili do funkčního předpisu. Rozhodně patří mezi příklad, kde je nejnutnější, ab je studenti dělali sami a učitel tak mohl zjistit, jaké chb dělají. Často se podaří odkrýt zásadní problém. Př. 6: Na obrázku je kromě původního zadání příkladu o Orlické přehradě (červená čára) nakresleno několik dalších závislostí objemu zadržované vod na čase. Popiš slovně, jak se objev vod v přehradě mění a urči počáteční objem vod v přehradě.

5 V[m ] U závislostí, které můžeme považovat za lineární funkce urči znaménko koeficientu a. 800 objem přehrad t[hod] modrá čára: počáteční objem vod v přehradě asi 750 mil m, množství vod v přehradě se plnule zmenšuje, odtok je větší než přítok, jde o lineární funkci, záporný koeficient a fialová čára: počáteční objem vod v přehradě 600 mil m, množství vod se zvětšovalo stejně rchle jako v původním zadání, po naplnění přehrad se množství vod nezvšovalo, nejde o lineární funkci, ale blo b možné funkci rozdělit na dvě lineární funkce zelená čára: počáteční objem vod v přehradě 500 mil m se nemění (přítok se rovná odtoku), jde o lineární konstantní funkci, koeficient a je nulový žlutá čára: počáteční objem vod v přehradě 00 mil m nejdříve roste jako v původním zadání, poté se přírůstek zmenšuje až se objem vod ustálí, nejde o lineární funkci Pedagogická poznámka: Následující příklad rozhodně nemusíte stihnout. Jde spíše o zaplnění volného času. Kreslení grafů je věnována i další hodina, takže není nutné spěchat. Př. 7: Nakresli graf lineární funkce: a) = x + b) = x 1 c) = x + 1 a) = x + = + = + = bod [ 0; ] = x + = + = bod [ ; ] dosazujeme x = 0 x 0 dosazujeme x = 5

6 - - x - - b) = x 1 = = = bod [ 0; 1] dosazujeme x = 0 x dosazujeme x = x 1 1 = = = bod [ ; ] - - x - - c) = x + 1 dosazujeme x = 0 x = + = + = bod [ 0;1 ] dosazujeme x = (kvůli zlomku v předpisu funkce) [ ; 1] = x + 1 = + 1 = 1 bod 6

7 - - x - - Shrnutí: Grafem lineární funkce je přímka, kterou můžeme nakreslit pomocí dvou bodů. 7