Podklad pro jednání Akredita!ní komise SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAV! Matematick" ústav v Opav#

Transkript

1 Podklad pro jednání Akredita!ní komise SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAV! Matematick" ústav v Opav# $ádost o prodlou%ení platnosti akreditace navazujícího magisterského studijního programu Matematika obor&: Geometrie (s nov"m názvem: Geometrie a globální anal"za); Matematická anal"za P"edkládá: Prof. PhDr. Rudolf $á'ek, Dr. rektor Slezské univerzity v Opav# Opava kv#ten 2011

2 A!ádost o akreditaci / roz"í#ení nebo prodlou$ení doby platnosti akreditace bakalá#ského / magisterského stud. programu Vysoká "kola Slezská univerzita v Opav! Sou%ást vysoké "koly Matematick" ústav v Opav! STUDPROG st. doba titul Název studijního programu Matematika 2 Mgr. P&vodní název SP Matematika platnost p#edchozí akreditace Typ $ádosti prodlou#ení akreditace druh roz"í#ení Typ studijního programu navazující magistersk" Forma studia prezen$ní Názvy studijních obor& rigorózní #ízení KKOV Geometrie a globální anal"za ANO 1101T Matematická anal"za ANO 1101T014 Adresa www stránky kreditace_nmgr_ma-g_2011.pdf jméno a heslo k p#ístupu na www Schváleno VR /UR /AR podpis prof. PhDr. Rudolf %á$ek, Dr. datum Dne / rektora Kontaktní osoba prof. RNDr. Jaroslav Smítal, DrSc. jaroslav.smital@math.slu.cz

3 B Charakteristika studijního programu a jeho obor!, pokud se na obory "lení Vysoká #kola Slezská univerzita v Opav! Sou"ást vysoké #koly Matematick" ústav v Opav! Název studijního programu Matematika Název studijního oboru Matematická anal"za Údaje o garantovi studijního oboru prof. RNDr. Miroslav Engli#, DrSc. Zam$%ení na p%ípravu k v&konu Ne. regulovaného povolání Charakteristika studijního oboru Profil absolventa studijního oboru & cíle studia Studium je zam!$eno bu% teoreticky nebo aplika&n!, a to v návaznosti na téma diplomové práce. Absolventi mají matematickou kulturu, tedy zp'sob uva(ování a tvo$iv" p$ístup k $e#ení problém' (nejen matematick"ch), schopnost samostatného studia, a to i v anglickém jazyce, schopnost adaptace, znalosti #ir#ího základu matematiky, v&etn! aplika&ních oblastí, jako je pravd!podobnost a matematická statistika, numerická anal"za, matematické modelování, a také znalosti z oblasti v"po&etní techniky na u(ivatelské úrovni. Podle zam!$ení diplomové práce mají hlub#í znalosti v n!které u(#í oblasti matematické anal"zy. Jsou p$ipraveni jak pro praktick" (ivot tak pro navazující doktorské studium, které je p$edur&í p$edev#ím pro práci ve v!deck"ch a pedagogick"ch institucích. Charakteristika zm$n od p%edchozí akreditace (v p%ípad$ prodlou'ení platnosti akreditace) )ádné zm!ny nebyly provedeny Prostorové zabezpe"ení studijního programu Budova ve vlastnictví V( ANO Budova v nájmu doba platnosti nájmu Informa"ní zabezpe"ení studijního programu Matematick" ústav v Opav! disponuje vlastní knihovnou. Knihovna je p$ístupná v#em student'm Slezské univerzity v Opav!, disponuje cca 9700 svazky knih. Seznam odebíran"ch &asopis' a online p$ístup' je k dispozici na adrese Matematick" ústav v Opav! disponuje dv!ma po&íta&ov"mi u&ebnami Apple Macintosh (jedna u&ebna slou(í k v"uce, druhá k samostudiu student'). Ve v#ech u&ebnách slou(ících v"uce jsou vyu&ujícím k dispozici po&íta&e a dataprojektory. Na internet mohou studenti p$istupovat bu% v po&íta&ov"ch u&ebnách nebo z vlastních po&íta&' prost$ednictvím bezdrátové sít! eduroam, která pokr"vá v#echny místnosti Matematického ústavu v Opav!.

4 B Charakteristika studijního programu a jeho obor!, pokud se na obory "lení Vysoká #kola Slezská univerzita v Opav! Sou"ást vysoké #koly Matematick" ústav v Opav! Název studijního programu Matematika Název studijního oboru Geometrie a globální anal"za Údaje o garantovi studijního oboru doc. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D. Zam$%ení na p%ípravu k v&konu Ne. regulovaného povolání Charakteristika studijního oboru Profil absolventa studijního oboru & cíle studia Absolvent navazujícího magisterského studijního oboru Geometrie a globální anal"za je vybaven hlub#ími znalostmi geometrie a jejích moderních i klasick"ch aplikací v p$írodních a technick"ch v!dách a v oblasti v"po&etní techniky. Je schopen pokra&ovat v navazujícím doktorském studiu. Je p!ipraven uplatnit se na pozicích vy(adujících samostatnou tv'r&í, odbornou a v!deckou &innost, spolupráci s fyziky a dal#ími p$írodov!dci, in(en"ry a po&íta&ov"mi odborníky. V"b!r voliteln"ch p$edm!t' umo(*uje teoretické i aplika&ní zam!$ení studia. Charakteristika zm$n od p%edchozí akreditace (v p%ípad$ prodlou'ení platnosti akreditace) Studijní obor Geometrie a globální anal"za nahrazuje existující obor Geometrie. P$ejmenováním se sjednotí názvy navazujících obor' magisterského a doktorského studia. Nov" název také potla&uje ne(ádoucí konotace se st$edo#kolskou geometrií a pova(ujeme jej za vhodn!j#í jak z pohledu uchaze&' o studium, tak z pohledu jejich budoucích zam!stnavatel'. Hlavní zm!ny oproti sou&asnému stavu spo&ívají v obm!n! povinn"ch p$edm!t' a obm!n! nabídky povinn! voliteln"ch p$edm!t' tak, aby studium mohlo probíhat ve spí#e teoretickém i spí#e praktickém zam!$ení. Z nabídky povinn! voliteln"ch p$edm!t' byly vypu#t!ny zejména p$edm!ty, o n!( studenti dlouhodob! nejevili zájem. Zm!ny se promítly i do obsahu SZZ. Ke v#em stávajícím okruh'm je poskytována v"uka v rámci povinn"ch p$edm!t'. P$edm!ty Globální anal"za I, II byly slou&eny do jediného p$edm!tu Globální anal"za z d'vodu redukce p$ekryv' s p$edm!tem Diferenciální geometrie. P$edm!t Základy komutativní algebry je nástupcem p$edm!tu Teoretická aritmetika. P$edm!t Varia&ní po&et je nástupcem p$edm!t' Varia&ní anal"za a Varia&ní anal"za na varietách. P$edm!t Symbolické v"po&ty je nástupcem p$edm!tu Computer algebra. P$edm!t a jeho nástupce jsou z hlediska návazností zam!nitelné a budou po dobu dobíhajících akreditací vyu&ovány soub!(n! podle nového sylabu. +est p$edm!t' je nov"ch. Mezi povinn"mi p$edm!ty jsou nové Metody $e#ení nelineárních diferenciálních rovnic, Geometrické metody v mechanice, Kapitoly z diferenciální geometrie a Algebraické struktury v geometrii. Mezi povinn! voliteln"mi p$edm!ty jsou nové Kapitoly z algebraické geometrie, Informa&ní geometrie a Analytická mechanika $ízen"ch systém'. P$edm!ty Druhé cvi&ení z diferenciální geometrie I a II $e#í pot$ebu vy##í hodinové dotace cvi&ení pro studenty oboru Geometrie a globální anal"za v porovnání se studenty oboru Matematická anal"za, pro n!( jsou p$edná#ka a cvi&ení rovn!( povinné.. Prostorové zabezpe&ení studijního programu Budova ve vlastnictví V( ANO Budova v nájmu doba platnosti nájmu Informa"ní zabezpe"ení studijního programu Matematick" ústav v Opav! disponuje vlastní knihovnou. Knihovna je p$ístupná v#em student'm Slezské univerzity v Opav!, disponuje cca 9700 svazky knih. Seznam odebíran"ch &asopis' a online p$ístup' je k dispozici na adrese Matematick" ústav v Opav! disponuje dv!ma po&íta&ov"mi u&ebnami Apple Macintosh (jedna u&ebna slou(í k v"uce, druhá k samostudiu student'). Ve v#ech u&ebnách slou(ících v"uce jsou vyu&ujícím k dispozici po&íta&e a dataprojektory. Na internet mohou studenti p$istupovat bu% v po&íta&ov"ch u&ebnách nebo z vlastních po&íta&' prost$ednictvím bezdrátové sít! eduroam, která pokr"vá v#echny místnosti Matematického ústavu v Opav!.

5 C Pravidla pro vytvá!ení studijních plán" SP (oboru) a návrh témat prací Vysoká #kola Slezská univerzita v Opav! Sou$ást vysoké #koly Matematick" ústav v Opav! Název studijního programu Matematika Název studijního oboru Matematická anal"za Název p!edm%tu rozsah zp"sob zák. druh p!ed. p!edná#ející dop. ro$. Reálná anal"za I 2p Z p Smítal 1 Seminá# z relné anal"zy I 2s Z p Mlíchová 1 Komplexní anal"za 2p+2cv Zk p Engli$ 1 Reálná anal"za II 2p Zk p Smítal 1 Seminá# z reálné anal"zy II 2s Z p Mlíchová 1 Numerická anal"za 4p+2cv Zk p Hasík 1 Parciální diferenciální rovnice II 2p+2cv Zk p Kopfová 1 Pravd!podobnost a statistika II 2p+2cv Zk p Harasim 1 Globální anal"za 2p+2cv Z, Zk p Marvan 2 Diferenciální geometrie I 2p+2cv Zk p Sergyeyev 2 Diferenciální geometrie II 4p+2cv Zk p Sergyeyev 2 Seminá# z matematické anal"zy I 2s Z p Smítal 1 Seminá# z matematické anal"zy II 2s Z p Smítal 1 Logika a teorie mno%in 2p+2cv Zk p Smítal 1 Dynamické systémy I 2p+2cv Z p Lampart 2 Dynamické systémy II 2p+2cv Zk p Lampart 2 Diferenciální invarianty 2p+2cv Zk pv Marvan 1 Geometrické metody ve fyzice I 2p+2cv Z pv Sergyeyev 1 Geometrické metody ve fyzice II 2p+2cv Zk pv Sergyeyev 1 Projektivní geometrie I 2p Z pv Sedlá# 1 Projektivní geometrie II 2p Zk pv Sedlá# 1 Kapitoly z funkcionální anal"zy I 2p+2cv Z pv Engli$ 1 Kapitoly z funkcionální anal"zy II 2p+2cv Zk pv Engli$ 1 Matematické základy OTR I 2p+2cv Z pv Marvan 1 Matematické základy OTR II 2p+2cv Zk pv Marvan 1 Geometrická teorie PDR I 2p+2cv Z pv Sergyeyev 1 Geometrická teorie PDR II 2p+2cv Zk pv Sergyeyev 1 Teorie kategorií 2p+2cv Zk pv Marvan 1 Symbolické v"po&ty 2p+2cv Zk pv Baran 1 Úvod do teorie Lieov"ch grup 2p+2cv Zk pv Sergyeyev 1 Vybrané partie z topologie I 2p+2cv Z pv Ko&an 1 Vybrané partie z topologie II 2p+2cv Zk pv Ko&an 1 Varia&ní anal"za na varietách 2p+2cv Zk pv Sergyeyev 1 Vznik a v"voj matematické anal"zy 1p Z pv Kopfová 1 V"b!rová p#edná$ka hostujícího Zk pv garant 1 profesora p#edm!tu: Smítalová Diplomová práce I 2cv Z p Smítal, Engli$ 1 Diplomová práce II 2cv Z p Smítal, Engli$ 1 Diplomová práce III 2cv Z p Smítal, Engli$ 2 Diplomová práce IV 2cv Z p Smítal, Engli$ 2 Obsah a rozsah SZZk 1.Topologie -Topologická struktura na mno&in% (otev#ené a uzav#ené mno%iny, vnit#ek, vn!j$ek, hranice, báze topologie). Spojitá zobrazení, homeomorfismy. Konstrukce topologick'ch prostor" (podprostory, sou&iny, faktorové prostory). Metrické prostory (metrika, metrická topologie, úplné metrické prostory, stejnom!rn! spojitá zobrazení, kontrakce, v!ta o pevném bod!, izometrie, Hausdorffova v!ta o zúpln!ní metrického prostoru). Kompaktní a lokáln% kompaktní topologické prostory.

6 Konvergence v topologick'ch prostorech (konvergence v prostorech 1. typu spo&etnosti, konvergence v metrick"ch prostorech). Souvislé a obloukov% souvislé topologické prostory. Regulární, normální a parakompaktní prostory, topologické variety. D. Krupka, O. Krupková: Topologie a geometrie, 1. Obecná topologie, SPN, Praha J. R. Munkres: Topology, A First Course, Prentice Hall, New Jersey Reálná a komplexní anal'za Základní vlastnosti míry na okruhu, vn!j$í míra a Carathéodoryho v!ta, v!ta o roz$í#ení míry na metrick"ch prostorech. Hausdorffova míra, Lebesgue Stieltjesova a Lebesguesova míra. Pojem m%!itelné funkce, m!#itelná funkce jako limita posloupnosti jednoduch"ch m!#iteln"ch funkcí, posloupnosti m!#iteln"ch funkcí. Lebesgue"v integrál a Lebesgue Stieltjes'v integrál, souvislost s Riemannov"m integrá- lem, v!ty o st#ední hodnot!. - Prostory Lp. Diferencovatelnost funkcí, spojitost a diferencovatelnost, diferencovatelnost monotónních funkcí, funkce s kone&nou variací, absolutn! spojité funkce. Stone-Weierstrassova v%ta o aproximaci spojit'ch funkcí polynomy. Derivace komplexních funkcí, geometrick" v"znam derivace, konformní zobrazení. Integrály a mocninné!ady v komplexním oboru, Laurentova #ada a Taylorova #ada. Singularity a nulové body. Cauchyova v!ta o reziduích a její d'sledky. Metody v"po&tu nevlastních reáln"ch integrál'. Laplaceova transformace a její pou%ití. V. Jarník: Diferenciální po&et II, (SAV, Praha 195. V. Jarník: Integrální po&et II, (SAV, Praha 195. W. Rudin: Anal"za v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha T. Neubrunn, J. Draveck": Vybrané kapitoly z matematické anal"zy, Alfa, Bratislava J. Smítal, P. )indelá#ová: Komplexní anal"za, u&ební text MÚ SU Opava, M. )vec, T. )alát, T. Neubrunn: Matematická anal"za funkcií reálnej premennej, Alfa, Bratislava, Funkcionální anal'za Hahnova - Banachova v%ta a její d'sledky. Princip otev!enosti pro Fréchetovy prostory. Princip ohrani$enosti pro Fréchetovy prostory. Dualita v Hausdorffov"ch lokáln! konvexních topologick"ch vektorov"ch prostorech, slabá a zeslabená topologie. Konvexní anal'za v lokáln! konvexních topologick"ch vektorov"ch prostorech, základní operátory konvexní anal"zy, v!ta o dualit!. Normované prostory (norma operátoru, duální prostor, Banachova v!ta o nulovém úhlu). Reflexivní prostory. Spektrum. Kompaktní operátory. Hilbertovy prostory (ortogonální projekce, Hilbertova báze). Samoadjungované operátory. Hilbertova Schmidtova v!ta. V. I. Averbuch: Functional Analysis, pomocné u&ební texty MÚ SU, Opava A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální anal"zy, SNTL, Praha Oby$ejné a parciální diferenciální rovnice Systémy diferenciálních rovnic prvního!ádu (#e$ení, v!ty o existenci a jednozna&nosti #e$ení). Lineární systémy diferenciálních rovnic (homogenní a nehomogenní systémy, vlastnosti #e$ení, systémy s konstantními koeficienty, metoda variace konstant, rovnice vy$$ích r*ád'). Stabilita!e#ení autonomních systém". Eliptické rovnice (Laplaceova a Poissonova rovnice, potenciál, Greenovy formule, Greenova funkce). Hyperbolické rovnice (Riemannova metoda, $í#ení vln podél struny, Fourierova metoda pro smí$ené problémy). Parabolické rovnice (Cauchy'v problém pro rovnici vedení tepla, princip maxima pro smí$ené problémy, Fourierova metoda pro smí$ené problémy).

7 Distribuce (prostory základních funkcí a prostory distribucí, konvoluce, 159 fundamentální #e$ení pro diferenciální operátory, zobecn!né #e$ení Cauchyova problému). J. Kurzweil: Oby&ejné diferenciální rovnice, SNTL, Praha M. Gregu$, M. )vec, V. )eda: Oby&ajné diferenciálne rovnice, Alfa-SNTL, Bratislava - Praha M. Renardy, R. C. Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations. J. Franc': Parciální diferenciální rovnice, VUT Brno. J. Franc': Moderní metody #e$ení diferenciálních rovnic, VUT Brno. L. C. Evans: Partial Diferencial Equations, Diferenciální geometrie Hladké variety (sou#adnicové systémy, atlasy, te&n" prostor k variet!, prostory tenzor' na variet!, p#íklady variet). Diferenciální formy (definice, vlastnosti forem, orientovatelnost, Stokesova v!ta a její d'sledky). Lineární konexe (tenzor, torze, tenzor k#ivosti, paralelní p#enos vektor', geodetiky, kovariantní derivace, geometrick" v"znam tenzoru k#ivosti). Variety s metrick'm polem (Riemannovy a hyperbolické variety, Levi-Civitova konexe, tenzor k#ivosti, Ricciho tenzor, skalární k#ivost, Riemannova k#ivost, izometrie a Killingova rovnice, integrování funkcí na variet! s metrick"m polem). S. Sternberg: Lectures on Differential Geometry, AMS Chelsea Publishing, Rhode Island O. Kowalski: Úvod do Riemanovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha L. Klapka: Geometrie, u&ební text MÚ SU Opava 2/ Globální anal'za Vno!ení a vlo&ení variet, submerze, Whitneyovy v%ty. Kritické body zobrazení, Sardova v%ta. Vektorová pole, lokální a globální tok. Vektorové distribuce, Frobeniova v%ta. Lieovy grupy. D. Krupka: Úvod do anal"zy na varietách, SPN, Praha 198. R. Narasimhan: Analysis on real and complex manifolds, North-Holland, Amsterdam 198. Po&adavky na p!ijímací!ízení Ústní p#ijímací zkou$ka z matematiky (v rozsahu bakalá#ského studia matematiky), minimální bodová hranice pro p#ijetí na základ! p#ijímací zkou$ky - 10 bod' z 20 mo%n"ch. Absolvování p#ijímací zkou$ky lze prominout uchaze&'m, kte#í úsp!$n! ukon&ili studium oboru bakalá#ského studijního programu Matematika v Matematickém ústavu v Opav!. Dal#í povinnosti / odborná praxe Není. Návrh témat prací a obhájené práce Obhájené diplomové práce: Anal"za modelu IS-LM. Some Results on Conic Derivatives in Topological Vector Spaces. Spojit" model ceny akcie. Principy teorie katastrof. Návrh témat diplomov'ch prací: Stability in Darwinian dynamics. Tian.-Yan-Zelditch expansions on Riemann surfaces. Hausdroff measure of self-similar sets. Informace o v$ech obhájen"ch prácich jsou na adrese: Návaznost na dal#í stud. program Bakalá#sk" studijní program Matematika (obory: Matematické metody v ekonomice; Obecná matematika; Aplikovaná matematika pro #e$ení krizov"ch situací; Aplikovaná matematika).

8 C Pravidla pro vytvá!ení studijních plán" SP (oboru) a návrh témat prací Vysoká #kola Slezská univerzita v Opav! Sou$ást vysoké #koly Matematick" ústav v Opav! Název studijního programu Matematika Název studijního oboru Geometrie a globální anal"za Název p!edm%tu rozsah zp"sob zák. druh p!ed. p!edná#ející dop. ro$. Diferenciální geometrie I 2p+2cv Zk p Sergyeyev 1 Druhé cvi&ení z diferenciální geometrie I 0+2cv Z,Zk p Sergyeyev 1 Metody #e$ení oby&ejn"ch dif. rovnic 2p+2cv Z,Zk p Marvan 1 Algebraická a diferenciální topologie I 2p+2cv Zk p Kopf 1 Diferenciální geometrie II 4p+2cv Zk p Sergyeyev 1 Druhé cvi&ení z diferenciální geometrie II 0+2cv Z,Zk p Sergyeyev 1 Algebraické struktury v geometrii 2p+2cv Z,Zk p Kopf 1 Algebraická a diferenciální topologie II 2p+2cv Zk p Kopf 1 Základy komutativní algebry 2p+2cv Z,Zk p Baran 2 Globální anal"za 2p+2cv Z,Zk p Marvan 2 Varia&ní po&et 2p+2cv Z,Zk p Stolín 2 Geometrické metody v mechanice 2p+2cv Z,Zk p Sergyeyev 2 Kapitoly z diferenciální geometrie 2p+2cv Z,Zk p Marvan 2 Parciální diferenciální rovnice II 2p+2cv Zk pv Kopfová 1 Kapitoly z algebraické geometrie 2p+2cv Z,Zk pv Baran Kapitoly z funkcionální anal"zy I 2p+2cv Z pv Engli$ 1 Kapitoly z funkcionální anal"zy II 2p+2cv Zk pv Engli$ 1 Dynamické systémy I 2p+2cv Z pv Lampart 2 Dynamické systémy II 2p+2cv Zk pv Lampart 2 Projektivní geometrie I 2p Z pv Sedlá# 1 Projektivní geometrie II 2p Zk pv Sedlá# 1 Pravd!podobnost a statistika II 2p+2cv Zk pv Harasim 1 Vybrané partie z topologie I 2p+2cv Z pv Ko&an 1 Vybrané partie z topologie II 2p+2cv Zk pv Ko&an 1 Matem. zákl. obecné teorie relativity I 2p+2cv Z pv Stolín 1 Matem. zákl. obecné teorie relativity II 2p+2cv Zk pv Stolín 1 Geometrická teorie parc. dif. rovnic I 2p+2cv Z pv Sergyeyev 2 Geometrická teorie parc. dif. rovnic II 2p+2cv Zk pv Sergyeyev 2 Symbolické v"po&ty 2p+2cv Z,Zk pv Baran 1 Deskriptivní geometrie I 2p+2cv Z pv Sedlá# 1 Deskriptivní geometrie II 2p+2cv Zk pv Sedlá# 1 Algebraická a diferenciální topologie III 2p+2cv Zk pv Marvan 2 V"b!rová p#edná$ka hostujícího profesora 0 Zk pv garant Sergyeyev 1-2 Informa&ní geometrie 2p+2cv Z,Zk pv Kopf 1-2 Analytická mechanika #ízen"ch systém' 2p+2cv Z,Zk pv Kopf 1-2 p Marvan, 1 Diplomová práce I 0+2cv Z Sergyeyev p Marvan, 1 Diplomová práce II 0+2cv Z Sergyeyev Diplomová práce III 0+2cv Z p Marvan, Sergyeyev 2

9 Diplomová práce IV 0+2cv Z Metody #e$ení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic 2+2cv Z,Zk Obsah a rozsah SZZk p Marvan, 2 Sergyeyev p Marvan 1 Algebra Multilineární algebra (vektorov" prostor, duální prostor, tenzory na vektorovém prostoru, indukované báze v prostorech tenzor', p#íklady tenzor', operace s tenzory). Komutativní algebra (okruhy, ideály, základy teorie d!litelnosti, pole, algebraická roz$í#ení polí). Lieovy algebry (definice, homomorfismy, ideály, maticové algebry, reprezentace). D. Krupka, J. Musilová, Lineární a multilineární algebra, SPN Praha, 1989 J. Bla%ek, M. Koman, B. Vojtá$ková, Algebra a teoretická aritmetika II, SPN, Praha, K. Erdmann, M. Wildon, Introduction to Lie algebras, Springer, 200. Algebraická topologie Homotopie (homotopie spojit"ch zobrazení, sta%itelnost, fundamentální grupa, Nakrytí (definice, základní v!ty, univerzální nakrytí). Homologie (základní princip algebraické topologie, singulární homologie a kohomologie, základní v!ty). CW-komplexy (homologické grupy sfér, stupe+ zobrazení, CW-komplexy, celulární homologie). C. Kosniowski: A First Course in Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, J.W. Vick, Homology Theory. An Introduction to Algebraic Topology, Academic Press, New York, Diferenciální geometrie Hladké variety (sou#adnicové systémy, atlasy, te&n" prostor k variet!, p#íklady variet) Vektorová pole (definice a vlastnosti, Lieova závorka vektorov"ch polí, Frobeniova v!ta, te&né zobrazení) Tenzorová pole (definice a vlastnosti, algebraické operace s tenzorov"mi poli, Lieova derivace) Diferenciální formy (definice a vlastnosti, vn!j$í sou&in, vn!j$í diferenciál a Lieova derivace, pullback, orientovatelnost variet, integrál formy, Stokesova v!ta) Afinní konexe (definice, torze a k#ivost, paralelní p#enos vektor', geodetiky, kovariantní derivace tenzorov"ch polí) Variety s metrick"m polem (Riemannovy a pseudo-riemannovy variety, Levi-Civitova konexe, Riemannova k#ivost, Ricciho tenzor, skalární k#ivost, izometrie a Killingova rovnice) Lieovy grupy (definice, Lieova algebra Lieovy grupy, maticové Lieovy grupy). Nadplochy v Eukleidovském prostoru (první a druhá fundamentální forma, Gaussovy Weingartenovy rovnice, Gaussovy Mainardiho Codazziho rovnice, Bonnet'v teorém) K#ivost (normální #ezy nadplochy, hlavní k#ivosti, hlavní sou#adnice, st#ední a Gaussova k#ivost, minimální plochy, fokální nadplochy) Komplexní variety (komplexní struktura, komplexní diferenciální formy, holomorfní formy, Kählerova varieta) J.M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, N.Y., O. Kowalski, Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995.

10 C. Isham. Modern Differential Geometry for Physicists. World Scientific, Singapore, R.L. Bishop, S.I. Goldberg, Tensor analysis on manifolds, Dover New York, 1980 M. Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, Diferenciální rovnice a varia$ní po$et Transformace prom!nn"ch (prostory jet', bodové a kontaktní transformace, kone&né a infinitezimální transformace). Metody #e$ení oby&ejn"ch diferenciálních rovnic (u%ití symetrií a prvních integrál', p#íklady). Nelineární PDR prvního #ádu (obecné #e$ení, singulární #e$ení, metoda charakteristik, p#íklady). Metody #e$ení nelineárních PDR a jejich systém' (p#ehled klasick"ch a moderních metod, solitonová a multisolitonová #e$ení, p#íklady). Základní úloha varia&ního po&tu (Lagrangeova funkce, varia&ní funkcionál, variace, Eulerovy Lagrangeovy rovnice, p#íklady). Symetrie varia&ních problém' (algebry a grupy symetrií, první v!ta Emmy Noetherové). Hamiltonovské systémy (Poissonova struktura, Darbouxova v!ta, Liouvilleova v!ta o integrabilit!). N.H. Ibragimov: Elementary Lie group analysis and ordinary differential equations, Wiley & Sons, P.J. Olver: Applications of Lie groups to differential equations, Springer, 198. D. Hilbert a R. Courant, Methods of Mathematical Physics, Vol. 2, Wiley, I.M. Gelfand, S.V. Fomin: Calculus of Variations, Prentice-Hall, 193. V.I. Arnold: Mathematical methods of classical mechanics, Springer, Po&adavky na p!ijímací!ízení Ústní p#ijímací zkou$ka z matematiky (v rozsahu bakalá#ského studia matematiky), minimální bodová hranice pro p#ijetí na základ! p#ijímací zkou$ky - 10 bod' z 20 mo%n"ch. Absolvování p#ijímací zkou$ky lze prominout uchaze&'m, kte#í úsp!$n! ukon&ili studium oboru bakalá#ského studijního programu Matematika v Matematickém ústavu v Opav!. Dal#í povinnosti / odborná praxe Návrh témat prací a obhájené práce Obhájené diplomové práce: Didaktické technologie ve v"uce matematiky, Petrovova klasifikace prostoro&as' se dv!ma komutujícími Killingov"mi vektorov"mi poli, U%ití univerzálního interpola&ního polynomu p#i maticov"ch v"po&tech, Time in C*-algebras, Decoherent histories on Clifford algebras, Hadamard's condition in quantum field theory, Lepage forms and variational equations, Normal forms of sl3-valued zero curvature representations Návrh témat diplomov'ch prací: Weingartenovy plochy Bouruv problém Defekty reprezentací nulové k#ivosti Návaznost na dal#í stud. program Bakalá#sk" studijní program Matematika (obory: Matematické metody v ekonomice; Obecná matematika; Aplikovaná matematika pro #e$ení krizov"ch situací; Aplikovaná matematika).

11 / 37 P!edm"ty studijního programu Fakulta: MU Akad.rok: 2010 N1101-Matematika Obor: Specializace: 1101T014-Matematická analýza 00 Aprobace: Typ studia: Forma studia: Interní forma: Interní specifikace: Etapa: Verze: Navazující Prezen!ní Není Není 1 1

12 / 37 MU/03027 Komplexní analýza Complex Analysis Povinný Zkouška Prof. RNDr. Miroslav ENGLIŠ, DrSc. V p!edm"tu studenti získají základní znalosti z komplexní analýzy nutné pro další studium matematiky. Svým obsahem pak pokrývá #ást znalostí uvedených v Požadavcích ke státním záv"re#ným zkouškám. Opakování a dopln"ní: holomorfní funkce, Cauchyho vzorec, mocninné!ady. Nekone#né sou#iny. Rozší!ená komplexní rovina. Meromorfní funkce. Homologické tvary Cauchyových v"t, jednoduchá souvislost. Princip argumentu. Konformní zobrazení, lineární lomené transformace, Riemannova v"ta. Analytické pokra#ování, Riemannovy plochy - základy teorie. Harmonické funkce, Poisson$v integrál. Laplaceova tranformace a její užití. E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, Wiley, New York 1983 I. I. Privalov: Úvod do teorie funkcí komplexní prom"nné, Fizmatgiz 190 I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika II, SNTL 191 J. Smítal: Komplexní analýza, MÚ SU, Opava 2008 R. V. Churchill, J. W. Brown, R. F. Verhey: Complex Variables and Applications, Mc Graw-Hill, New York 197 W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha 1987

13 / 37 MU/03028 Reálná analýza I Real Analysis I Povinný 4 P!ednáška 2 HOD/TYD Zápo#et Prof. RNDr. Jaroslav SMÍTAL, DrSc. Probírá se teorie míry a teorie integrálu. Základní vlastnosti míry na okruhu Vn"jší míra a Carathéodoryho v"ta V"ta o rozší!ení míry Míry na metrických prostorech Hausdorffova míra Lebesgue-Stieltjesova míra Pojem m"!itelné funkce M"!itelné funkce jako limity jednoduchých m"!itelných funkcí Posloupnosti m"!itelných funkcí Integrál jednoduché m"!itelné funkce Rozší!ení defini#ního oboru integrálu Limitní v"ty v teorii integrálu Lebesgue$v a Lebesgue-Stieltjes$v integrál A. M. Bruckner, J. B. Bruckner, B. S. Thomson: Real Analysis, Upper Saddle River, New Jersey 1997 M. Švec, T. Šalát, T. Neubrunn: Matematická analýza funkcií reálnej premennej, Bratislava 1987

14 / 37 MU/03029 Seminá" z reálné analýzy I Seminar in Real Analysis I Povinný 4 Seminá! 2 HOD/TYD Zápo#et RNDr. Michaela MLÍCHOVÁ, Ph.D. P!edm"tem seminá!e je zejména látka probíraná na p!ednášce Reálná analýza I. Cílem je prohloubení znalostí a dovedností student$. V"tší d$raz je kladen na jejich samostatnou práci. 1. Míra - definice a základní vlastnosti - vn"jší míra - Carathéodoryho v"ta - Hausdorffova míra - Lebesgue-Stieltjesova míra 2. M"!itelné funkce - definice a základní vlastnosti - m"!itelné funkce jako limity jednoduchých m"!itelných funkcí - posloupnosti m"!itelných funkcí 3. Integrály - definice a základní vlastnosti - limitní v"ty - Lebesgue$v a Lebesgue-Stieltjes$v integrál A. M. Bruckner, J. B. Bruckner, B. S. Thomson: Real Analysis, Upper Saddle River, New Jersey 1997 M. Švec, T. Šalát, T. Neubrunn: Matematická analýza funkcií reálnej premennej, Bratislava 1987

15 / 37 MU/03030 Reálná analýza II Real Analysis II Povinný P!ednáška 2 HOD/TYD Zkouška Prof. RNDr. Jaroslav SMÍTAL, DrSc. Náplní p!ednášky jsou pokro#ilejší partie z teorie integrálu, diferencovatelnost funkcí a vztah derivací a integrálu. Vztah Lebesgueova a Riemannova integrálu Vztah mezi m"!itelností, integrovatelností a spojitostí Zobecn"ní pojmu integrál; Henstock - Kurzweil$v integrál Spojitost a diferencovatelnost Diferencovatelnost monotonních funkcí Body nespojitosti derivace Banach - Mazurkiewiczova v"ta Derivace funkce nespojité v bodech husté množiny Funkce s kone#nou variací Absolutn" spojité funkce Diferencovatelnost v normovaných prostorech Aproximace reálných funkcí Stone-Weierstrassova v"ta A. M. Bruckner, J. B. Bruckner, B. S. Thomson: Real Analysis, Upper Saddle River, New Jersey 1997 M. Švec, T. Šalát, T. Neubrunn: Matematická analýza funkcií reálnej premennej, Bratislava 1987

16 / 37 MU/03031 Seminá" z reálné analýzy II Seminar in Real Analysis II Povinný 4 Seminá! 2 HOD/TYD Zápo#et RNDr. Michaela MLÍCHOVÁ, Ph.D. P!edm"tem seminá!e je zejména látka probíraná na p!ednášce Reálná analýza II. Cílem je prohloubení znalostí a dovedností student$. Na seminá!i také budou!ešeny zajímavé problémy, nap!. úlohy uve!ej%ované v #asopise American Mathematical Monthly.V"tší d$raz je kladen na jejich samostatnou práci. 1. Integrály - vztah Lebesgueova a Riemannova integrálu - vztah mezi m"!itelností, integrovatelností a spojitostí - Henstock - Kurzweil$v integrál 2. Derivace - Diniho derivace - spojitost a diferencovatelnost - diferencovatelnost monotonních funkcí - body nespojitosti derivace - Banach - Mazurkiewiczova v"ta 3. Funkce s kone#nou variací a absolutn" spojité funkce A. M. Bruckner, J. B. Bruckner, B. S. Thomson: Real Analysis, Upper Saddle River, New Jersey 1997 M. Švec, T. Šalát, T. Neubrunn: Matematická analýza funkcií reálnej premennej, Bratislava 1987

17 / 37 MU/03033 Numerická analýza Numerical Analysis Povinný 4 HOD/TYD + 2 HOD/TYD Zkouška RNDr. Karel HASÍK, Ph.D. Cílem výuky tohoto p!edm"tu je seznámit studenty se základními numerickými p!ístupy k!ešení problém$, se kterými se již d!íve setkali v matematické analýze a algeb!e. Náol% p!ednášek: 1. Numerická reprezentace: Reprezentace #ísel, vznik a klasifikace chyb, absolutní a relativní chyba, celková chyba výpo#tu, chyby aritmetických operací. Ortogonální systém funkcí, aproximace trigonometrickými polynomy, metoda minimalizace maximální chyby. 2. Aproximace: Výb"r t!ídy aproximujících funkcí, metoda nejmenších #tverc$. 3. Interpolace: Odhad chyby interpolace, iterovaná interpolace. Lagrange$v, Hermit$v, Newton$w polynom. Interpolace na ekvidistantních uzlech, Fraser$v diagram, inverzní interpolace, splajny. 4. Numerické!ešení nelineárních rovnic: Metoda prosté iterace, bisekce, te#en, se#en, Regula Falsi. 5. Numerické!ešení systém$ rovnic: Gaussova eliminace s kontrolním sloupcem, LU-rozklad, Jacobiho, Gauss- Seidlova metoda, Newton-Raphsonova metoda. Otázka konvergence metody. Relaxa#ní metoda, metoda nejv"tšího spádu.. Sturmova posloupnost: Lokalizace reálných ko!en$ polynomu, Sturmova posloupnost. 7. Numerické derivování a integrování: Numerický výpo#et ur#itého integrálu, obdélníková, lichob"žníková a Simpsonova metoda, odhad chyby. Gaussova metoda, Richardsonova extrapolace, Rombergova integrace. 8. Numerické metody pro diferenciální rovnice: &ešení po#áte#ní úlohy pro oby#ejné diferenciální rovnice,!ešení ve tvaru mocninné!ady, Picardovy aproximace. Euler$v polygon, Runge-Kuttovy metody,!ád metody. Metody st!elby pro!ešení okrajové úlohy oby#ejné diferenciální rovnice. Metoda sítí pro!ešení okrajových úloh parciálních diferenciálních rovnic. Nápl% cvi#ení: Po#etní p!íklady na témata, která pln" korespondují s tématy probíranými na p!ednáškách. Získání zápo#tu je podmín"no: aktivní ú#astí na cvi#eních spln"ní díl#ích kontrolních test$ na po#et bod$ stanovený cvi#ícím A. Ralston: Základy numerické matematiky, Praha 1978 E. Vitásek: Numerické metody, SNTL, Praha 1987 I. Horová: Numerické metody, Masarykova univerzita v Brn", Brno 1999

18 / 37 J. Segethová: Základy numerické matematiky, Karolinum, Praha 1998 Z. Rie#anová a kol.: Numerické metody a matematická štatistika, Alfa, Bratislava 1987

19 / 37 MU/03135 Parciální diferenciální rovnice II Partial Differential Equations II Povinný Zkouška Doc. RNDr. Jana KOPFOVÁ, Ph.D. Prednáška je úvodom do modernej teórie PDR, teórie, ktorá sa zaoberá PDR pre ktoré klasické riešenia neexistujú ( pretože napríklad dáta úlohy nie sú hladké, alebo úlohu riešime na komplikovanej oblasti, alebo ide o úlohy nelineárnu). 1.Elliptic equations. Potentials: volume potential, simple layer potential, double layer potential. Green formulas. Generalized Green formula. Harmonic functions: Dirichlet integral, Gauss integral theorem. Dirichlet problem and Neumann problem. Poisson formula 2.Elements of distribution theory. Test functions. Decomposition of the unity. Localization. Support. Regular and singular distributions. Operations over distributions. Convolution Method of integral transforms. The Fourier transform. The Laplace transform 3.Modern methods of solving PDEs. Sobolev spaces. Generalized solutions. Lax- Milgram theorem C. Zuily: Problems in distributions and partial differential equations 1988 D. Gilbarg, N. S. Trudinger: Elliptic partial differential equations of second order. Second edition, Springer, Berlin 1983 J. Franc$: Moderní metody!ešení diferenciálních rovnic, Brno 2002 L. Schwartz: Matematické metody ve fyzice, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1972 M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, New York 1993 R. Strichartz: A guide to distribution theory and Fourier transforms 1994 V. I. Averbuch: Partial differential equations, MÚ SU, Opava

20 / 37 MU/03143 Pravd#podobnost a statistika II Probability and Statistics II Povinný Zkouška Ing. Petr HARASIM, Ph.D. Rozší!ení znalostí z matematické statistiky a seznámení se základy teorie náhodných proces$. - testování statistických hypotéz (rozší!ení) - korela#ní a regresní analýza - stochastické procesy a jejich aplikace - úvod do teorie náhodných polí F. S. Hilier, G. J. Lieberman: Introduction to stochastic models in operations reseach, McGraw Hill 1990 J. Likeš, J. Machek: Matematická statistika, Praha 1983 J. Likeš, J. Machek: Po#et pravd"podobnosti, Praha 1982 Š. Peško, J. Smieško: Stochastické modely opera#nej analýzy, Žilinská univerzita, Žilina 1999

21 / 37 MU/0303 Globální analýza I Global Analysis I Povinný Zápo#et Doc. RNDr. Michal MARVAN, CSc. Algebra hladkých funkci na varietách a její diferencování - Rank, imerze a submerze - Orientovatelnost, objemový element, integrování na orientovatelných varietách - Stokesova v"ta a její speciální p!ípady - Integrování na variet" s metrickým polem, Hodgeova dualita - Poincarého lemma, de Rhamovy kohomologie, Poincaréova dualita - Kritické body a Sardova v"ta; Whitneyho v"ty - Poincarého lemma, de Rhamovy kohomologie, Poincaréova dualita - Kritické body a Sardova v"ta; Whitneyho v"ty R. Narasimhan. Analysis on real and complex manifolds. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 198. L. Krump, V. Sou#ek, J. A. T"šínský. Matematická analýza na varietách. Praha, Karolinum, D. Krupka. Úvod do analýzy na varietách. SPN, Praha, 198. O. Kowalski. Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, Praha, 1975 F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Springer-Verlag, N.Y.-Berlin, 1971 (or later edition). M. Spivak. Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 195.

22 / 37 MU/03037 Globální analýza II Global Analysis II Povinný Zkouška Doc. RNDr. Michal MARVAN, CSc. V p!ednášce se metody matematické analýzy rozši!ují z otev!ených podmnožin v R^n na prostory s komplikovan"jší topologií - hladké variety. Ve druhé polovin" dvousemestrového kursu se seznámíme mimo jiné s integrálním po#tem na varietách v podob" nezávislé na volb" sou!adnic. Hladké formy a tenzory, tenzorové sou#iny. Antisymetrické (vn"jší) formy, vn"jší diferenciál, orientovatelnost, integrování na orientovatelných varietách, Stokesova v"ta. Poincarého lemma, de Rhamovy kohomologie, stupe% zobrazení S^n -> S^n. Lieova derivace. Lieovy grupy a algebry, levoinvariantní vektorová pole, exponenciální zobrazení, p!íklady Lieových algeber a grup. Rank, imerze a submerze, Sardova v"ta, Whitneyho v"ty. D. Krupka: Úvod do analýzy na varietách, SPN, Praha 198 L. Krump, V. Sou#ek, J. A. T"šínský: Matematická analýza na varietách, Praha, Karolinum 1998 O. Kowalski: Základy matematiké analýzy na varietách, Univerzita Karlova, Praha 1975 R. Narasimhan: Analysis on real and complex manifolds, North-Holland Publishing Company, Amsterdam 198

23 / 37 MU/03038 Diferenciální geometrie I Differential Geometry I Povinný Zkouška Doc. RNDr. Artur SERGYEYEV, Ph.D. Diferenciální geometrie je #ást geometrie, která využívá ke studiu k!ivek, (hyper)ploch apod. metody diferenciálního po#tu. Diferenciální geometrie se p!i studiu geometrických útvar$ zam"!uje na tzv. invariantní vlastnosti, které nezávisí na volb" soustavy sou!adnic. Diferenciální geometrie se zabývá p!edevším lokálními vlastnostmi geometrických útvar$, tedy vlastností týkajících se dostate#n" malých #ástí t"chto útvar$. - Hladké variety (definice, sou!adnicové systémy, atlasy, podvariety, p!íklady variet, zobrazení variet) - Te#ný prostor a kote#ný prostor k variet" a jejich vztah (definice a vlastnosti, te#né vektory k!ivek, te#né zobrazení, te#ný a kote#ný bandl) - Vektorová pole na varietách a jejich vlastnosti (r$zné definice vektorového pole a jejich vztahy, Lieova závorka a její vlastnosti, F-vázáná vektorová pole a jejich vlastnosti, jednoparametrické grupy, toky a integrální k!ivky a jejich vztahy) - Diferenciální formy na varietách a jejich vlastnosti (definice diferenciální formy; kote#né zobrazení (pullback), externí sou#in, Lieova derivace, externí derivace, kontrakce a jejich vztahy a vlastnosti) C. Isham: Modern Differential Geometry for Physicists, Singapore 1999 D. Krupka: Matematické základy OTR J. Musilová, D. Krupka: Integrální po#et na Euklidových prostorech a diferencovatelných varietách, SPN, Praha 1982 M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Bratislava, Iris 2004 M. Spivak : Calculus on Manifolds 195 S. Caroll: Lecture Notes on General Relativity John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds 200 M. Wisser: Math 44: Notes on Differential Geometry 2004 O. Kowalski: Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995

24 / 37 MU/03039 Diferenciální geometrie II Differential Geometry II Povinný 8 4 HOD/TYD + 2 HOD/TYD Zkouška Doc. RNDr. Artur SERGYEYEV, Ph.D. Diferenciální geometrie je #ást geometrie, která využívá ke studiu k!ivek, (hyper)ploch apod. metody diferenciálního po#tu. Diferenciální geometrie se p!i studiu geometrických útvar$ zam"!uje na tzv. invariantní vlastnosti, které nezávisí na volb" soustavy sou!adnic. Diferenciální geometrie se zabývá p!edevším lokálními vlastnostmi geometrických útvar$, tedy vlastností týkajících se dostate#n" malých #ástí t"chto útvar$. Diferenciální formy -- pokra#ování (orientovatelnost, integrování na varietách, Stokesova v"ta a její d$sledky) Tenzorová pole na varietách a jejich vlastnosti (definice, operace nad tenzory, mj. symetrizace, antisymetrizace, tenzorové násobení, Lieova derivace) Afinní konexe a související otázky (tenzor torze, tenzor k!ivosti, paralelní p!enos vektor$, geodetiky, kovariantní derivace, geometrický význam tenzoru k!ivosti) Variety s metrickým polem ((pseudo)riemannovy variety, Levi-Civitova konexe, tenzor k!ivosti, Ricciho tenzor, skalární k!ivost, izometrie a Killingova rovnice, integrování funkcí na variet" s metrickým polem, Levi-Civit$v (pseudo)tenzor, objemový element, Hodgeova dualita). Základy teorie Lieovych grup (definice Lieovy grupy, pravo- a levoinvariantní vektorová pole a diferenciální formy a jejich vlastnosti, Lieova algebra a jeji vztah k Lieov" grup") C. Isham: Modern Differential Geometry for Physicists, Singapore 1999 D. Krupka: Matematické základy OTR J. Musilová, D. Krupka: Integrální po#et na Euklidových prostorech a diferencovatelných varietách, SPN, Praha 1982 M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Bratislava, Iris 2004 M. Spivak : Calculus on Manifolds 195 M. Wisser: Math 44: Notes on Differential Geometry 2004 O. Kowalski: Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995 S. Caroll: Lecture Notes on General Relativity John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds 200

25 / 37 MU/03040 Seminá" z matematické analýzy I Seminar in Mathematical Analysis I Povinný 4 Seminá! 2 HOD/TYD Zápo#et Prof. RNDr. Jaroslav SMÍTAL, DrSc. Náplní seminá!e jsou referáty resp. p!ednášky ú#astník$ o vlastních nebo cizích nových výsledcích. Na seminá!i též vystupují hosté, i ze zahrani#í. V tom p!ípad" se p!ednášky konají zpravidla v angli#tin". Za!azeny jsou i tzv. pracovní seminá!e, na nichž se uvád"jí otev!ené problémy a hledají se p!ípadné cesty k jejich!ešení. Program seminá!e je zve!ej%ován pr$b"žn" vždy na n"kolik nadcházejících týdn$ na www stránkách ústavu. Tematické zam"!ení: Hlavn" dynamické systémy, ale obecn" matematická anaýza a p!íbuzné obory. MU/03041 Seminá" z matematické analýzy II Seminar in Mathematical Analysis II Povinný 4 Seminá! 2 HOD/TYD Zápo#et Prof. RNDr. Jaroslav SMÍTAL, DrSc. Náplní seminá!e jsou referáty resp. p!ednášky ú#astník$ o vlastních nebo cizích nových výsledcích. Na seminá!i též vystupují hosté, i ze zahrani#í. V tom p!ípad" se p!ednášky konají zpravidla v angli#tin". Za!azeny jsou i tzv. pracovní seminá!e, na nichž se uvád"jí otev!ené problémy a hledají se p!ípadné cesty k jejich!ešení. Program seminá!e je zve!ej%ován pr$b"žn" vždy na n"kolik nadcházejících týdn$ na www stránkách ústavu. Tematické zam"!ení: Hlavn" dynamické systémy, ale obecn" matematická anaýza a p!íbuzné obory.

26 / 37 MU/03050 Dynamické systémy I Dynamical Systems I Povinný Zápo#et RNDr. Marek LAMPART, Ph.D. Cílem p!edm"tu je sezmámit studenta se základními pojmy diskrétních dynamických systém$, jak na prostorech jednodimenzionálních, tak na obecných kompaktních metrických prostorech. Uvedeme základní p!íklady na intervalu a kružnici (rotace), zobrazení posun a kvadratický systém. Dále položíme základy limitních množin, rekurenci, topologickým promícháváním, topologické entropii a symbolické dynamice. 1. Základní definice - orbita (plná, dop!edná a zp"tná). Bod periodický, pevný, koncem periodický, koncem pevný. Fázový portrét. Brouwerova v"ta o pevném bod". (Banachova v"ta o pevném bod".) Šarkovského v"ta a uspo!ádání. 2. Hyperbolicita - bod kritický, hyperbolický, p!itahující, odpudivý. 3. Kvadratický systém - logistická funkce. Zobrazení "Tent". Zobrazení iracionální rotace". 4. Symbolická dynamika - prostor "shift space". Zobrazení "shift map" a jeho základní vlastnosti. "Shift" kone#néko typu. 5. Topologická dynamika I. - minimální množina, omega limitní množina, nebloudivá množina, centrum, konjugace.. Topologická dynamika II. - transitivní a totáln" transitivní zobrazení. Mixující a slab" mixující zobrazení. Souvis mezi transitivitou a mixingem. Vztah mezi transitivitou a existencí bodu s hustou orbitou. 7. Topologická dynamika III. - bod rekurentní, uniformn" rekurentní. Souvis rekurence a minimality. 8. Topologická dynamika IV. - topologická entropie. H.Furstenberg: Recurrence in Ergodic Theory and Combinational Number Theory, Princeton University Press, Princeton, New Jersy 1981 J. Smítal: On functions and functional equations, Adam Hilger, Ltd., Bristol 1988 L. S. Block, W. A. Coppel: Dynamics in one dimension, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin 1992 P. Walters: An introduction to ergodic theory, Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verlag, New York-Berlin 1982 R. L. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems, Second edition 1989

27 / 37 MU/03051 Dynamické systémy II Dynamical Systems II Povinný Zkouška RNDr. Marek LAMPART, Ph.D. Cílem p!edm"tu je sezmámit studenta se základními pojmy spojitých dynamických systém$ na varietách. Uvedeme základní p!íklady a budeme se zabývat bifurkacemi. 1. Tok - tok, trajektorie, stacionární body. 2. Invariantní množiny - alpha (omega) - limitní bod trajektorie, alpha (omega) - limitní množina toku. Uzav!ená orbita. V"ta Poincaré - Bendixson. 3. Bifurkace I. - bifurka#ní hodnota, diagram. 4. P!íklady bifurkací - "pitchfork", transkritická, sedlo -- uzel, Poincaré - Andronov - Hopf. 5. Bifurkace II. - Kvalitativní ekvivalence lineárních systém$. Hyperbolické systémy. Bifurkace lineárních systém$.. Bifurkace III. - V"ty Hartman - Grobman a Poincaré - Andronov - Hopf. P!íklady nehyperbolických pevných bod$. Superkritická bifurkace. 7. Centrální varieta - centrální varieta a aplikace. 8. P!íklady globálních bifurkací - homoklinická bifurkace, zdvojení periody. D. K. Arrowsmith, C. M. Place: An introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press 1990

28 / 37 MU/0104 Logika a teorie množin Logic and Set Theory Povinný Zkouška Prof. RNDr. Jaroslav SMÍTAL, DrSc. Základy matematické logiky, výrokový po#et, predikátový po#et. Axiomatická teorie množin, kardinální #ísla, ordinální #ísla, axiom výb"ru. - Logika (Logika!ádu nula, Postova v"ta o úplnosti, logika prvního!ádu, teorie model$, Gödelova v"ta o neúplnosti). - Axiomatická výstavba teorie množin (Russel$v paradox v naivní teorii množin, jazyk teorie množin, p!ehled základních axiom$, axiom nekone#nosti a axiom výb"ru). - Kardinální #ísla (ekvivalence množin, kardinální #ísla, aritmetika kardinálních #ísel, porovnání kardinálních #ísel, Cantorova-Bernsteinova v"ta, Cantorova diagonální metoda, hypotéza kontinua). - Ordinální #ísla (dob!e uspo!ádané množiny, aritmetika ordinálních #ísel, porovnání ordinálních #ísel, Zermelova v"ta a její d$sledky pro kardinální #ísla, alefy). B. Balcar, P. Št"pánek: Teorie množin, Praha 198 J. Kolá!, O. Št"pánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, Praha 1989 T. Šalát, J. Smítal: Teória množín, Bratislava 1995

29 / 37 MU/03048 Diferenciální invarianty Differential Invariants Povinn" volitelný Zkouška Doc. RNDr. Michal MARVAN, CSc. V p!edm"tu studenti získají základní znalosti z teorie diferenciálních invariant$ (p!ednáška) a schopnost jejich praktického využití (cvi#ení). Diferenciální invarianty umož%ují!ešit problém ekvivalence geometrických struktur vzhledem ke zvolené t!íd" transformací. Prostory jet$ Lieovy transformace Lieova vektorová pole Lieovy pseudogrupy Diferenciální invarianty Klasifikave linárních ODR Diferenciální invarianty v p!irozených rozvrstveních G-structury P. J. Olver: Equivalence, Invariants, and Symmetry, Cambridge University Press, Cambridge 1995 S. Kobayashi: Transformation groups in differential geometry, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York 1972 S. Sternberg: Lectures on Differential Geometry, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1982 V. Yumaguzhin: Introduction to Differential Invariants 2005

30 / 37 MU/03052 Geometrické metody ve fyzice I Geometric Methods in Physics I Povinn" volitelný Zápo#et Doc. RNDr. Artur SERGYEYEV, Ph.D. Úvod do teorie vybraných geometrických struktur používaných v sou#asné matematické fyzice a jejich aplikací v teorii Hamiltonovských systém$. - Základy diferenciální geometrie (variety, definice a základní vlastnosti vektorových polí a diferenciálních forem a operace nad nimi) - Hamiltonovské systémy v mechanice (Poissonovy struktury a jejich vlastnosti, Darbouxova v"ta, Hamiltonián, Hamiltonovy rovnice, integrály pohybu, úplná integrabilita a Liouvilleova v"ta, bihamiltonovské systémy) - Hamiltonova-Jacobiho teorie a související otázky (úplný integrál, Jacobiho integra#ní metoda, Hamiltonova-Jacobiho rovnice, separace prom"nných, prom"nné akce-úhel) D. Krupka: Matematické základy OTR M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing 1990 P.J. Olver: Applications of Lie groups to differential equations 1993 V.I. Arnol'd: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer 1989 O. Krupková: The Geometry of Variational ODE, Lecture Notes in Mathematics 178, Springer 1997

31 / 37 MU/03053 Geometrické metody ve fyzice II Geometric Methods in Physics II Povinn" volitelný Zkouška Doc. RNDr. Artur SERGYEYEV, Ph.D. Moderní geometrické metody matematické fyziky v mechanice, teorii relativity a teorii pole. - Základy Riemannovy geometrie (variety, tenzorová pole, metrický tenzor, Lieova derivace, Killingovy vektory, afinní konexe, k!ivost, torze, geodetiky) - Geometrické metody v obecné teorii relativity (varia#ní principy OTR, n"která exaktní!ešení Einsteinových rovnic) - Základy teorie Lieovych grup a n"které jejich aplikace ve fyzice (Lieovy grupy a Lieovy algebry a jejich vztahy, exponenciální zobrazení, základy strukturní teorie Lieovych algeber a jejich reprezentací, fibrované variety a konexe na nich, kalibra#ní pole, Lagrangián a n"která exaktní!ešení Yang-Millsových rovnic) C. Isham: Modern Differential Geometry for Physicists, Singapore 1999 D. Krupka: Matematické základy OTR K. Erdmann, M. Wildon: Introduction to Lie algebras, Springer 200 L.H. Ryder: Quantum Field Theory 199 M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Bratislava, Iris 2004 M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing 1990 O. Kowalski: Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995 S. Caroll: Lecture Notes on General Relativity

32 / 37 MU/03250 Projektivní geometrie I Projective Geometry I Povinn" volitelný 4 P!ednáška 2 HOD/TYD Zápo#et RNDr. Vladimír SEDLÁ&, CSc. P!edm"t slouží k seznámení se základy projektivní geometrie. 1 Projektivní rovina. Projektivní rozší!ení euklidovské roviny. Dvojpom"r. Pappova v"ta. Princip duality. 2 Projektivita jednoparametrických útvar$. Involuce. 3 Projektivní definice kuželose#ky; projektivní vytvo!ení kuželose#ek. V"ta Pascalova a Brianchonova. 4 Pól a polára, využití ke konstrukcím. 5 Svazek a!ada kuželose#ek. Ohniskové vlastnosti kuželose#ek. 7 Konstrukce kuželose#ek z daných prvk$. 8 St!edová kolineace. Kolineace kružnice a kuželose#ky. J. Bureš, J. Burešová: Projektivní geometrie I, Praha K. Havlí#ek: Úvod do projektivní geometrie kuželose#ek, Praha 195 Kade!ábek, Klíma, Kounovský: Desriptivní geometrie L, Praha 1954 MU/03251 Projektivní geometrie II Projective Geometry II Povinn" volitelný 4 P!ednáška 2 HOD/TYD Zkouška RNDr. Vladimír SEDLÁ&, CSc. P!edm"t slouží k seznámení se základy teorie projektivních rovin. 1 Projektivní roviny nad t"lesy. 2 Soustava sou!adnic v projektivní rovin". 3 Kolineace. 4 Projektivní geometrie a její aplikace v po#íta#ové grafice. J. Bureš, J. Burešová: Projektivní geometrie I, Praha J. D. Foley a kol.: Computer Graphics, Boston 2005 K. Havlí#ek: Úvod do projektivní geometrie kuželose#ek, Praha 195

33 / 37 MU/03254 Kapitoly z funkcionální analýzy I Chapters in Functional Analysis I Povinn" volitelný Zápo#et Prof. RNDr. Miroslav ENGLIŠ, DrSc. V p!edm"tu studenti získají základní znalosti z vybraných pokro#ilých partií funkcionální analýzy nutné jak pro další studium matematiky, tak také pro absolvování p!edm"tu Kapitoly z Funkcionální analýzy. Svým obsahem pak pokrývá #ást znalostí uvedených v Požadavcích ke státním záv"re#ným zkouškám. P!ednášky: Úvod - p!ipomenutí normovaných, Banachových, Hilbertových prostor$, základní principy funkcionální analýzy. Duální prostory, prostory operátor$, slabé topologie. Integrální operátory. Spektrální analýza lineárních operátor$. Totáln" spojité a kompaktní operátory, Riesz-Schauderova teorie. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, Praha, SNTL 1975 K. Najzar: Funkcionální analýza, Praha 1988 L. Mišík: Funkcionálna analýza, Bratislava 1989 V. I. Averbuch: Functional Analysis, pomocné u#ební texty MÚ SU, MÚ SU, Opava 1999 W. Rudin: Functional analysis, McGraw-Hill 1973