(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)

Transkript

1 Popisná státistiká (motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) 1. Příklad V pobočce banky za celý den vložilo 11 lidí celkem 4,- Kč, rozptyl vkladů byl 1 1. Ve stejný den si vybralo 37 lidí dohromady taktéž 4,-Kč, rozptyl výběrů byl 3 5. Byla v tento den větší variabilita vkladů nebo výběrů? Vklady: 11 v, Výběry:: 35 v, Příklad Průměrná výše vkladů v Pražské obchodní bance se v letech 1-4 zvýšila o 5 %. Variabilita vkladů měřená rozptylem vzrostla o 96 %. Jak se změnila relativní variabilita vkladů? Nový průměr = 1,5 * starý průměr; Nový rozptyl = 1,96 * starý rozptyl; 1,96 ss 1,96 n s 1,1 s 1,5 xs 1,5 v v v Relativní variabilita vzrostla o 1 %. 3. Příklad Firma odebírá materiál společností v poměru 4% a 6%. První společnost si účtuje průměrně za standardní dodávku tisíc Kč se směrodatnou odchylkou tisíc Kč; druhá 3 tisic Kč se směrodatnou odchylkou 8 tisíc Kč. Jaký celkový průměr a rozptyl plateb může firma očekávat? p i x i s i p i *x i s i *p i (x i -x) *p i 1. Společnost, Společnost, XXX XXX Průměr: 6 s = = 64

2 4. Příklad Máme následující údaje o počtech dětí na matku a relativním počtu matek: Počet dětí Počet matek % 1 35% 5% 3 1% 4 6% 5 3% 6 1% Vypočítejte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient. x i p i x i *p i x i *p i, 1,35,35,35,5,5 1 3,1,3,9 4,6,4,96 5,3,15,75 6,1,6,36 Součty: 1 1,6 4,3 s = 4,3-1,6 = 1,76; s = 1,33; v = 1,33/1,76 =,83 5. Příklad Byly zjištěny následující hodnoty: Průměrná mzda (tis. Kč) Variační koeficient Počet pracovníků Muži,35 35 Ženy,5 15 Určete míry absolutní i relativní variability mezd. Průměrná mzda Variační Počet (tis. Kč) koeficient pracovníků x i *n i s i s i *n i (x i -x) *n i Muži, ,9 75,15 1,6 Ženy, ,4 XXX 5 17 XXX 45,15 4 Průměr: 17/5 = 1,4 s = 45,15/5 + 4/5 = 49,843; s = 7,6; v =,33

3 Právdě podobnost 5. Příklad Házíme šestistěnnou hrací kostkou, o které předpokládáme, že hází všechna čísla se stejnou pravděpodobností. Jaká je pravděpodobnost, že: a.) při jednom hodu padne šestka; 1. hod: P(A) = m/n = 1/6 b.) při jednom hodu padne sudé číslo; P(S 1 ) = 3/6 = 1/ c.) při dvou hodech padne dvakrát šestka;. hod P(B) = 1/6 V obou zároveň P(A B) = P(A) * P(B) = 1/6 * 1/6 = 1/36 d.) při dvou hodech nepadne ani jednou šestka; Nepadne v 1. hodu: P(nonA) = 1 - P(A) = 5/6 Nepadne ani jednou: P(nonA nonb) = 5/6 * 5/6 = 5/36 e.) při dvou hodech padne právě jednou šestka; P (A nonb) + P (nona B) = 1/6 * 5/6 + 5/6 * 1/6 = 1/36 f.) při dvou hodech padne alespoň jednou šestka; e.) + c.) = 11/36 nebo 1 - d.) = 11/36 nebo P(A) + P(B) - P(A B) = 11/36 g.) při dvou hodech padne alespoň jedno sudé číslo? P(S 1 S ) + P(nonS 1 S 1 ) + P(S 1 nons ) = 3/4 nebo 1 - P(nonS 1 nons ) = 3/4 6. Příklad Tři absolventi střední školy - pan Novák, pan Svoboda a pan Mařík skládají přijímací zkoušky na tři různé vysoké školy. Rodiče těchto studentů odhadují jejich šance na úspěch na 7% pro studenta Nováka, 4% pro studenta Svobodu a na 6% pro studenta Maříka. Jaká je pravděpodobnost že: a.) všichni tři uspějí? P(N S M) =,7 *,4 *,6 =,168 b.) ani jeden z nich neuspěje? P(nonN nons nonm) =,3 *,6 *,4 =,7 c.) uspěje jen student Novák? P(N nons nonm) =,7 *,6 *,4 =,168 d.) uspěje právě jeden z nich? P(N nons nonm) + P(nonN S nonm) + P(nonN nons M) =,168 +,18 +,48 =,34 e.) neuspěje jen student Svoboda? P(N nons M) =,7 *,6 *,6 =,5 f.) uspějí právě dva z nich? P(nonN S M) + P(N nons M) + P(N S nonm) =,7 +,5 +,11 =,436 g.) uspěje alespoň jeden? d.) + f.) + a.) nebo 1 - b.) =,98

4 7. Příklad Student zná 5 zkušebních otázek z 3. Pro splnění zkoušky musí znát alespoň jednu ze tří náhodně vybraných otázek, jaká je pravděpodobnost, že zkoušku nesplní? P = 5/3 * 4/9 * 3/8 =,46 8. Příklad Sportovní střelec zasáhne cíl při každém výstřelu s pravděpodobností p =,8. Vypočtěte pravděpodobnost,že při 5 výstřelech budou v cíli a) právě zásahy, 5 b) nejvýše jeden zásah, 3,8,, P X P P 1 c) alespoň zásahy. P( X ) 1 P( X 1) 1,67, ( 1) () (1),8,,8,,3,64,67 Ná hodná vělič iná 9. Příklad Ve váčku kuliček jsou dvě kuličky bílé. Vybereme pět kuliček. Určete rozdělení náhodné veličiny, kterou představuje počet bílých kuliček v tomto výběru s vracením. Jinými slovy: jaké počty bílých kuliček a s jakou pravděpodobností mohou nastat v případě s vracením? x P(x) 5 5,1,9, ,1,9, ,1,9, ,1,9, ,1,9, ,1,9,1 Součet 1

5 1. Příklad Uvažujme terč, který je tvořen středem a mezikružím. Zásah do středu je hodnocen body, zásah do mezikruží 1 body. Určitý střelec střílí tak, že zasáhne střed s pravděpodobností,6, mezikruží s pravděpodobností,3 a netrefí se vůbec do terče s pravděpodobností,1. Náhodná veličina X je součet bodů získaných tímto střelcem po dvou hodech. Určete hodnoty její pravděpodobnostní a distribuční funkce. x P(x) F(x),1*,1=,1,1 1,1*,3+,3*,1=,6,7,1*,6+,6*,1+,3*,3=,1,8 3,3*,6+,6*,3=,36,64 4,6*,6=,36 1 Součet 1 XXX 11. Příklad Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci: P(x) =(6 - x)/15 pro x = 1,,, 5 P(x) = jinak. a) Vyjádřete pravděpodobnostní funkci ve formě tabulky. b) Určete distribuční funkci a graficky ji vyjádřete. c) Vypočítejte modus, střední hodnotu a rozptyl této náhodne veličiny. x P(x) F(x) x*p(x) x*p(x) 1,33,33,33,33,7,6,53 1,7 3,,8,6 1,8 4,13,93,53,13 5,7 1,,33 1,67 Součty 1 XXX,33 7, E(X) =,33; D(X) = 7 -,33 = 1,56; Modus = 1 (nejpravděpodobnější)