Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy"

Transkript

1 Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1. pro 1D úlohu (obecně) u = m n 2. pro 2D úlohu (obecně) u, y = y y 6 y 2... m y n Obecně pak {u}=[ N ]{r},{ε}=[g]{r}, [ N ],[G] v, y = m 1 m 2 m 3 y m 4 2 m 5 y m 6 y m y n {u}=[ M ]{ }.

2 Aproimace posuvů Rovnice {u}=[ M ]{ } (*) musí platit i pro zobecněné posuvy, lze tedy psát {r}=[ A]{ }, kde matice [ A] obsahuje hodnoty souřadnic uzlů prvku. Z poslední rovnice je možno vyjádřit vektor s neznámými koeficienty i { }=[ A] 1 {r}. Následným dosazením do (*) {u}=[m ]{ }=[M ][ A] 1 {r}=[ N ]{r} lze získat vztah pro matici tvarových funkcí [ N ]=[M ][ A] 1. Radim Halama MKP a MHP

3 Matice bázových funkcí některých prvků Prvek Matice [M] Tyčový [1 ] Trojúhelníkový Obdélníkový Jehlanový (čtyřstěn) [ 1 y y] [ 1 y y y y] [ 1 y z y z y z]

4 Typy prvků Prvky dělíme dle dimenze úlohy na: 1) jednorozměrné 2) dvojrozměrné (rovinné) 3) prostorové dle volby tvarové funkce na: 1) Serendipity family 2) Lagrange family 3) Hermitovské prvky dle tvaru a použití na: 1) tyčové 2) nosníkové 3) trojúhelníkové 4) obdélníkové 5) jehlanové (tetrahedral element) 6) šestistěnové (brick element) 7) deskové (shell element)... Radim Halama MKP a MHP

5 Serendipity family Byly odvozeny intuitivně. Aproimační funkce je ve tvaru polynomu, jehož členy se obvykle vybírají symetricky z Pascalova trojúhelníku. Např. pro trojúhelník na obrázku dole lze volit aproimaci posuvu ve tvaru y 2 y y y y 2 y y y 4 2 y 2 y 3 u= y 4 y 5 2 y 6 y 2 Pro y=k+q zjistíme, že potřebujeme 4 uzly na jedné straně. Zvolíme-li ovšem polynom u= y y 6 y 2, y C vystačíme si s uzly třemi. A B

6 Srendipity family Kvadratický obdélníkový prvek aproimační funkce: u, y = y y 6 y y 8 y 2 =[M ]{ }, Aproimace u (,y) musí opět platit i pro uzlové hodnoty, proto dosadíme-li 8 do vztahu pro u (,y), získáme rovnici {r}=[ A]{ }. Po inverzi matice [ A] můžeme odvodit tvarové funkce [ N ]=[M ][ A] 1, y kde [ N ]=[ N 1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6, N 7, N 8 ] Např. pro prvek s rozměry 11 očíslovaný dle obrázku lze získat tvarovou funkci uzlu 4: N 4, y =4y 1 y 1 Radim Halama MKP a MHP

7 Lagrange family tvarové funkce lze psát přímo - užitím Lagrangeových interpolačních polynomů potřebujeme uzly i uvnitř oblasti Např. pro uzel 4 obdélníkového prvku vpravo N 4, y = Tato funkce nabývá nulových hodnot ve všech uzlech kromě uzlu 4. y y 1 y y 7 y 4 y 1 y 4 y 7 Výhoda odpadá dosazování souřadnic uzlů Nevýhodou těchto prvků je, že při větším počtu vnitřních uzlů obvykle nesplňují požadavek spojitosti na hranicích prvků. y N 4 (,y)

8 Lagrange family Obdélníkový kvadratický prvek tvarové funkce lze zapsat hromadně takto N n i, j =A i1 A i2 A i3 B j1 B j2 B j3, kde A il = l pro i l, i l A il =1 pro i=l, B jl = y y l pro j l, y i y l B jl =1 pro j=l. Např. pro prvek 11 a uzel 7 lze získat: N 7, y =4 1 0,5 y 2 0,5 y. y j=2 i=1 i=3 i= j= j= Radim Halama MKP a MHP

9 Lagrangeův prvek rozměrů 11 tvarové funkce Serendipity Lagrange y y N 6 (,y) N 7 (,y) N 6, y = y 2 2 2y 2y 1 N 7, y =4 1 0,5 y 2 0,5 y

10 Lagrangeův prvek rozměrů 11 tvarové funkce Serendipity Lagrange y y N 4 (,y) N 4 (,y) N 4, y =4y 1 y 1 N 4, y =8 0,5 1 y y 2 Radim Halama MKP a MHP

11 Hermitovské prvky V interpolačních vztazích se vyskytují i derivace posuvů Např. Hermitovský tyčový prvek se čtyřmi u() r 4 stupni volnosti. Volíme polynom u = =[M ]{ }. Konstanty α 1 až α 4 se určí z podmínek v uzlech 1, 2: u 0 =r 1, u l =r 3 du 0 du l =r d 2, =r d 4 Po dosazení do první rovnice lze psát E,S,l r 1 r r 3 r 1 = 1, r 3 = 1 l 2 l 2 3 l 3 4, r 2 = 2, r 4 = 2 2l 3 3l 2 4

12 Hermitovské prvky Rovnice r 1 = 1, r 3 = 1 l 2 l 2 3 l 3 4, r 2 = 2, r 4 = 2 2l 3 3l 2 4 lze zapsat maticově {r}=[ A]{ }, kde [ A]=[1 1 l l 2 l 3 2] l 3l Po inverzi matice [ A] se získá matice tvarových funkcí [ N ]=[M ][ A] 1 =[1 32 l 2 23 l 3, 22 3 l l, 32 2 l 23 2 l 3, 2 l 3 l 2 ]. Výhoda spojitost také v první derivaci posuvů, tzn. také v poměrných deformacích a napětích Radim Halama MKP a MHP

13 Referenční prvky, bezrozměrné (přirozené) souřadnice Rodičovské (referenční) prvky mají tvarové funkce vyjádřeny pomocí bezrozměrných souřadnic, což je výhodné pro stanovování integrálů v matici tuhosti. Skutečný prvek lze získat z prvku rodičovského při dodržení těchto pravidel geometrické transformace: Každému bodu skutečného prvku musí odpovídat bod v referenčním prvku. Totéž musí platit pro uzly. Hranice mezi dvěma uzly referenčního prvku odpovídá hranici mezi odpovídajícími uzly skutečného prvku. SKUTEČNÝ 1 E,S 2 ξ = 1 ξ =0 ξ =1 L REFERENČNÍ E,S 1 2 ξ

14 Referenční prvky tyčový prvek Geometrickou transformaci můžeme vyjádřit lineární závislostí = 1 2 =[1, ]{ 1 2} =[ M ]{ }. Tato rovnice je analogická ke vztahu u=[1, ]{ 1 2} =[M ]{ }, ξ = 1 ξ =0 ξ =1 1 2 L 1 E,S 2 ξ který popisuje aproimaci posuvů lineárního tyčového prvku. Lze tedy použít stejný postup pro odvození geometrické transformace jako u posuvů, tzn. určí se matice [ A] dosazením souřadnic uzlů 1, 2 do první rovnice [ A] 1 =[1, 1]{ 1 2} 2=[1,1]{, 1 2}, tzn. { 1 2} = [ 1 1 ]{ }. Radim Halama MKP a MHP

15 Referenční prvky tyčový prvek Po provedení inverze matice, tj. [ A] 1 = 1 2[ ] a dosazení se získá [ N ]=[ M ][ A] 1 = [1, ] 1 2[ ] = [ 1 2 1, ]. Jestliže se aplikuje stejný postup i pro určení transformačních matic u aproimace posuvů referenčního tyčové prvku, vyjde =[ [ N ]=[M ][ A] , ], odkud plyne, že transformační matice geometrické transformace a matice tvarových funkcí mohou být stejné.

16 Izoparametrické prvky Jestliže funkce N a N jsou shodné a rovněž jsou identické geometrické a interpolační uzly, pak se mluví o prvku izoparametrickém. Další případy definují obrázky uvedené níže. PRVEK IZOPARAMETRICKÝ SUBPARAMETRICKÝ SUPERPARAMETRICKÝ značí body pro určení geometrie prvku značí uzly pro určení aproimace Radim Halama MKP a MHP

17 Matice bázových funkcí lineárních referenčních prvků Prvek Matice [M] Tyčový [1 ] Trojúhelníkový Obdélníkový Jehlanový (čtyřstěn) [ ] [ ] [ ]

18 Matice tvarových funkcí 1D referenčních prvků 1D prvek Serendipity family - lineární - parabolický Tvarové funkce [ N ]=[ ]=[ N 1, N , ] [ N ]=[ ]=[ N 1, N 2, N , 1 2] 2 2,1 Lagrange family N i =A i1 A i2 A i3, A il = l i l pro i l, A il =1 pro i=l, Vyjde totéž jako u Serendipity family Hermitovský prvek [ N ]=[ , , , ] Radim Halama MKP a MHP

19 Aproimace křivek pomocí 1D prvků Viz: Beer, G., Watson, J.O.: Introduction to Finite and Boundary Element Methods for Engineers, New York, Lineární prvek Parabolický prvek Hermitovský prvek

20 Matice tvarových funkcí vybraných 2D referenčních prvků 2D prvek Lineární - trojúhelník - čtyřúhelník Tvarové funkce [ N ]=[ N 1, N 2, N 3 ]=[1,, ] [ N ]= 1 4 [ 1 1, 1 1, 1 1, 1 1 ] Lagrangeův čtyřúhelník N n i, j =A i1 A i2 A i3 B j1 B j2 B j3, η ξ A il = l i l pro i l, A il =1 pro i=l, B jl = l i l pro j l, B jl =1 pro j=l. Radim Halama MKP a MHP

21 Získání prvkových matic pomocí referenčních prvků Matici tuhosti lineárních prvků lze získat analyticky. U složitějších prvků je nutné použití přirozených souřadnic a dodržení pravidel transformace i při odvozování prvkových matic (matice tuhosti a matice hmotnosti). Např. Rovinný prvek se zakřivenými hranami Matice tuhosti prvku je definována vztahem [ K ]= [G] T [C][G]dV, kde [G] V je transformační matice ze vztahu y η ξ {ε}=[ ] T {u}=[ ] T [N ]{r}=[g]{r}. Použitím referenčního prvku lze potom psát 1 1 [ K ]= [G] T [C ][G ] t det [ J ] d d, 1 1 η 1 transformace kde det [J ] je determinant Jakobiánu transformace -1 1 ξ a t značí tloušťku prvku (u rovinné napjatosti). -1

22 Jakobián transformace Rozměr 1D 2D Jakobián [J] d d [ d dy ] d d d dy d d 3D [ d d d d d d dy d dy d dy d dz ] d dz d dz d Radim Halama MKP a MHP

23 Numerická integrace prvkových matic U složitějších prvků je nutno integrovat numericky, přičemž se většinou používá Gaussova integrace. Pro tyčový prvek lze integrál na prvku vyčíslit tak, že se integrovaná funkce Ψ uprostřed prvku vynásobí hodnotou délky intervalu 1 1 d 2 =0 Tato aproimace bude u lineárního prvku přesnou hodnotou. Pro jednorozměrné prvky lze obecně psát Ψ (ξ) Ψ (ξ=0) ξ = 1 ξ =0 ξ ξ =1 1 1 d n i=1 w i i, kde n je počet tzv. Gaussových integračních bodů (řád Gaussovy integrace) w i jsou váhové faktory.

24 Numerická integrace prvkových matic Pro jednorozměrný prvek lze potom matici tuhosti prvku vyčíslit takto 1 [ K ]= 1 n [G] T [C][G]det [ J ] d = i=1 w i [G i ] T [C ][G i ]det [ J ], přičemž váhové koeficienty w i se volí dle tabulky: ξ i w i Pro rovinný prvek lze podobně psát n n [ K ]= i=1 j=1 w i w j [G i, j ] T [C ][G i, j ] t det [ J ]. Radim Halama MKP a MHP

Globální matice konstrukce

Globální matice konstrukce Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017 Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

PRUŢNOST A PLASTICITA

PRUŢNOST A PLASTICITA PRUŢNOST A PLASTICITA PŘEDNÁŠKY Doc Ing Vlastislav Salajka PhD 2 OBSAH 1 Úvod 6 11 Cíl 6 12 Požadované znalosti 6 13 Doba potřebná ke studiu 6 14 Klíčová slova 6 2 Základní pojmy 9 21 Pole posunutí 10

Více

ROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné

ROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné ROVINNÁ ÚLOHA Rovinná úloha Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné Rovinná napjatost Rovinná deformace Rotačně symetrická úloha Rovinná

Více

Vícerozměrné úlohy pružnosti

Vícerozměrné úlohy pružnosti Přednáška 07 Rovinná napjatost nosné stěny Rovinná deformace Hlavní napětí Mohrova kružnice Metoda konečných prvků pro rovinnou napjatost Laméovy rovnice Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical

Více

geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha v geomechanice I

geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha v geomechanice I 1 Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha Přednášky pro předmět Matematické modelování v geomechanice I 3. část numerické metody David Mašín 2 Obsah Výstavba

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

Čebyševovy aproximace

Čebyševovy aproximace Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2 Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2 Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 1 Obsah Gaussova numerická integrace

Více

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Generování sítě konečných prvků

Generování sítě konečných prvků Generování sítě konečných prvků Jaroslav Beran Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování vlastností

Více

Hledání extrémů funkcí

Hledání extrémů funkcí Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Kombinatorická minimalizace

Kombinatorická minimalizace Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)

Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017) Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5

Více

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)

5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons) 5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek

Více

Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.

Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením. Každý test obsahuje jeden příklad podobný níže uvedeným tpovým příkladům a několik otázek vbraných z níže uvedených testových otázek. Za příklad je možno získat maimálně bodů, celkový počet bodů z testu

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1 Statika Zkoumá síly a momenty působící na robota v klidu. Uvažuje tíhu jednotlivých ramen a břemene. Uvažuje sílu a moment, kterou působí robot na okolí. Uvažuje konečné tuhosti ramen a kloubů. V našem

Více

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Kristýna Bémová. 13. prosince 2007

Kristýna Bémová. 13. prosince 2007 Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické

Více

Nelineární problémy a MKP

Nelineární problémy a MKP Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební. Prvky pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí.

DIPLOMOVÁ PRÁCE. České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební. Prvky pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí. České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební katedra mechaniky DIPLOMOVÁ PRÁCE Prvky pro analýzu deskových a skořepinových konstrukcí Autor: Bc. Edita Dvořáková Vedoucí práce: Prof. Dr. Ing. Bořek

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení 1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Křivky a plochy technické praxe

Křivky a plochy technické praxe Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

Numerické metody a statistika

Numerické metody a statistika Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu

Více

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

b) Křehká pevnost 2. Podmínka max τ v Heigově diagramu a) Křehké pevnosti

b) Křehká pevnost 2. Podmínka max τ v Heigově diagramu a) Křehké pevnosti 1. Podmínka max τ a MOS v Mohrově rovině a) Plasticity ϭ K = ϭ 1 + ϭ 3 b) Křehké pevnosti (ϭ 1 κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt Ϭ red = max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) MOS : max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt a) Plasticita

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Mechanika s Inventorem

Mechanika s Inventorem Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

PRUŽNOST A PEVNOST II

PRUŽNOST A PEVNOST II VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1

Více

Numerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky

Numerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

Příklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx

Příklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx 1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f

Více

3.2 Stíněné mikropáskové vedení

3.2 Stíněné mikropáskové vedení 3.2 Stíněné mikropáskové vedení Podrobnější popis V tomto článku se budeme zabývat detaily výpočtu rozložení elektromagnetického pole v mikropáskovém stíněném vedení (obr. 3.2B.1), u něhož se parametry

Více

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----

Více