Předpjaté stavební konstrukce

Transkript

1 Předpjaté stavební konstrukce Mezní stavy únosnosti Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem předpoklady řešení základní předpínací síla ohybová únosnost obecná metoda Prvky namáhané smykem a kroucením analýza napjatosti (pružná, plastická) dimenzování 1

2 Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem (se soudržnou výztuží) Předpoklady řešení: 1. Platí hypotéza o rovinnosti průřezů po deformaci 2. Existuje dokonalá soudržnost mezi oceli a betonem F p σc 5 cu = 0,0035 x 4 r c F c 1 2 c = Δ p M Ed F pt 3 r p F p M Rd 2

3 3. V tažené části beton nepůsobí 4. Napětí určujeme z pracovních diagramů materiálu v závislosti na přetvoření (návrhové pracovní diagramy betonu a výztuží typy) 5. Mezní stav únosnosti nastane, je-li dosaženo: mezního poměrného přetvoření betonu v tlaku nebo mezního přetvoření předpínací, příp. betonářské výztuže v tahu F p σc 5 cu = 0,0035 x 4 r c F c 1 2 M Ed 3 r p M Rd c = Δ p F pt F p 3

4 Základní napětí v předpínací výztuži (základní předpínací síla) Stav napjatosti u PPB těsně před vnesením předpětí do betonu t=0 - : h f c =0 A p ve výztuži působí P - m,0 = - pm,0 A - p pm,0 A s Stav napjatosti u PPB těsně po vnesením předpětí do betonu t=0 + na ideální průřez působí M go A p (N go ) + + P m,0 = pm,0 A + - p pm,0 cp 0 A s

5 Základní napětí v předpínací výztuži (základní předpínací síla) Stav napjatosti těsně před vnesením předpětí do betonu t=0 - : h f c =0 d p A p d s ve výztuži působí P - m,0 = - pm,0 A - p pm,0 A s Stav napjatosti těsně po vnesením předpětí do betonu t=0 + : h f na ideální průřez působí M go d p A p d s (N go ) + + P m,0 = pm,0 A + - p pm,0 cp 0 A s

6 Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Základní napětí nebo základní předpínací síla odvozuje z napětí ve výztuži - pm,0 těsně před vnesením předpětí do betonu (kdy cp =0). Lze ho určit v kterékoli fázi působení konstrukce (čas t 0, t g1,t i, t ) takto: (+) p p p,max pm0 pmt pm t 0 t předpínání výztuže vnesení předpětí do prvku (stádium předpínání) stádium provozní v čase t 0 (po vnesení předpětí) z napětí se zohlednění výrobních ztrát (kromě ztrát pružným přetvořením betonu) v čase t > t 0 : z napětí se zohledněním výrobních i provozních ztrát (bez ztrát pružným přetvořením betonu) 6

7 Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Výpočet základního napětí v předpínací výztuži Předem předpjaté prvky V okamžiku těsně před vnesením předpětí je v betonu napětí nulové, tzn. základní napětí je rovno skutečnému napětí ve výztuži (veškerá další zatížení od předpětí působí na ideálním průřezu). Dodatečně předpjaté prvky Pomocí předchozího vztahu pro napětí σ p a σ cp způsobená zatíženími působícími před i po zakotvení předpínací výztuže (tj. na oslabený i ideální průřez) 0 p p 0 p p E p cp Ec Poznámka: v dalším textu zde použitý horní index 0 bude vynechán. 7

8 Předpínací síla v MSÚ P dt (x) = P P mt (x) kde P je součinitel spolehlivosti předpětí P = 1,0..pro trvalé a dočasné návrhové situace P = 1,2 při posouzení lokálních účinků (např. v kotevních oblastech) P mt (x) střední hodnota základní předpínací síly ve vyšetřovaném okamžiku t 8

9 x x Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výztuž Model 1 - pouze zatížení ohybovým momentem cu = 0,0035 f cd b eff x p,bal x bal F cd h f M Ed d p d s p P pmt F pd = f pd A p A p s F sd Podmínka pro plné využití předpínací výztuže: A s f yd ε p + γ P σ pm,t Τ f pd E p f pd Odtud poloha neutrálné osy: P pm,t f pd x x p,bal = ε cu ε cu + ε p d p = ε cu ε cu + f pd γ P σ pm,t E p d p

10 x x x Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výztuž Model 1 - pouze zatížení ohybovým momentem cu = 0,0035 f cd b eff x p,bal x bal F cd h f M Ed z s z p d p d s p P pmt F pd = f pd A p A p s f yd F sd A s Silová podmínka rovnováhy: N Rd = 0 F cd + F pd + F sd = 0 x P pm,t f pd Momentová podmínka spolehlivosti: M Rd M Ed F pd z p + F sd z s M Ed

11 Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výstuž Model 2 - zatížení ohybovým momentem a normálovou silou cu = 0,0035 f cd b eff M pd =e p N pd M Ed,z t N x x F cd z c h f N pd = P pm,t A p N Ed,z p P pm,t F pd = p A p z s z p =e p d p A p d s s P p =f pd - P pm,t p P pm,t f pd f yd F sd Silová podmínka rovnováhy: N Rd = N Ed F cd + F pd + F sd = N Ed,z N pd A s Momentová podmínka spolehlivosti: M Rd M Ed x F cd z p + F pd z p + F sd z s M Ed,z M pd

12 x Postup (model 2) 1) Základní předpínací síla jde na stranu zatížení N pd = γ p σ pm,t A p M pd = e p N pd 2) Předpoklad plného využití výztuže (plastická větev): cu σ p = f pd γ p σ pm,t F pd = σ p A p 3) Výpočet x z podmínky rovnováhy sil: F cd + F pd + F sd = N Ed,z N pd x 4) Ověření předpokladu 2) přes kontrolu přetvoření předpínací výztuže ε p = ε cu x (d p x) ε p + γ p ε pmt f pd ΤE p pokud předpoklad neplatí viz následujícíc slide, jinak: P p d p P pmt 5) Výpočet momentu na mezi únosnosti a ověření podmínky spolehlivosti p P pm,t F cd z p + F pd z p + F sd z s M Ed,z M pd p f pd

13 x Postup (model 2) 4) Pokud předpoklad 2) neplatí, tj. ε p + γ p ε pmt Τ předpínací výztuž není plně využitá (pružná větev) σ p = ε p E p f pd γ p σ pm,t F pd = σ p A p f pd E s kde ε p = ε cu x (d p x) cu 2) Výpočet x z podmínky rovnováhy sil: F cd + F pd + F sd = N Ed,z N pd 4) Ověření předpokladu 2) ε p = ε cu x (d p x) ε p + γ p ε pmt f pd ΤE p x 5) Výpočet momentu na mezi únosnosti a ověření podmínky spolehlivosti F cd z p + F pd z p + F sd z s M Ed,z M pd P d p p p P pmt P pm,t p f pd

14 Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Určení mezní únosnosti Významné polohy přetvoření průřezu (viz interakční diagram u železobetonových prvků namáhaných N a M) 14

15 Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Obecnější metoda řešení MSÚ Počáteční napjatost v průřezu je vyvolaná předpětím, stálým zatížením, smršťováním a dotvarováním betonu. Z této napjatosti se vychází při analýze působení proměnných zatížení. 15

16 Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Stav napjatosti je obvykle výsledkem lineárního řešení (platnost Hookova zákona) a proto nemusí odpovídat skutečnosti (viz tvar pracovních diagramů materiálů) napětí v některých vrstvách mohou být větší než mezní - nepřenesená napětí: ve vrstvě 1 ve vrstvě 3 ve vrstvě 4 16

17 Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem Na straně zatížení: - proměnná zatížení - výslednice nepřenesených napětí Na straně únosnosti: - výchozí stav napjatosti průřezu, tzn. pro každá vlákna betonu (vrstvičku) jiný počáteční stav napjatosti (posun pracovního diagramu ) 17

18 Prvky namáhané smykem a kroucením Prvky namáhané smykem a kroucením Analýza napjatosti namáhání předpjatých prvků 1. Ohybový moment a posouvající síla od zatížení Smyková trhlina vzniká ve stojině nosníku, typická pro PB Ohybově smyková trhlina vzniká v tažených vláknech typická pro ŽB Trajektorie hlavních napětí: σ x =0 σ 1 hlavní tah σ 2 hlavní tlak σ x normálové napětí τ xz - smykové napětí

19 Prvky namáhané smykem a kroucením 2. Kroucení trajektorie hlavních napětí ve tvaru šroubovice tahové a tlakové trajektorie kolmo na sebe Trajektorie hlavních napětí pro kroucení: - čárkovaně pro tlak - plnou čarou pro tah 3. Kombinace M, N, V, T od zatížení prostorová napjatost

20 Prvky namáhané smykem a kroucením 4. Vliv předpětí (působí proti zatížení): Ovlivnění směru a snížení velikosti hlavních napětí: Redukce posouvající síly od vnějšího zatížení posouvající silou způsobenou předpětím V pp (viz průběhy vnitřních sil) (v případě náběhů svislými složkami sil v šikmém taženém nebo tlačeném pásu (podle EN na stranu únosnosti V Rd = V Rd,s + V ccd + V td )) Příčné předepnutí (příčný ohyb deska, konzola) - σ y Svislé předpětí předpínací tyče σ z, zvětšení únosnosti ve smyku

21 Analýza za předpokladu pružného chování Analýza za předpokladu pružného chování Běžné provozní zatížení nevznikají trhlinky (napětí v betonu v tahu je většinou menší než přípustné) Při statické analýze lze brát vztahy z teorie pružnosti Předpoklad pružného chování pro stanovení únosnosti betonu ve smyku využívají i normy vycházející z teorie mezních stavů (neočekává se ohybová trhlina, tj. když σ ct f ctd ): ČSN EN Pozn.: Při vzniku trhlin podobný postup jako u ŽB zohledňující vliv trhlin (viz EN ).

22 Analýza za předpokladu pružného chování Smyková napětí od V Kombinace zatížení (většinou max.v, odp. M,N,T) Napětí od svislé posouvající síly ve stojině t xz v přírubě t xy Ověření rozhodujících řezů Vodorovný ve stojině v těžišti Smykové napětí: V U při přechodu stojiny do příruby Svislý přírubou při napojení stěny t z y xz I b( z ) y

23 Analýza za předpokladu pružného chování Smyková napětí od T kroucení může být Prosté rovinné průřezy, jen T Při němž dochází k deplanaci Volné kroucení-neomezena Vázané kroucení-omezena průřezy a stanovení napětí: tenkostěnné (vzhledem k okrajovým podmínkám nelze zanedbat vázané kroucení) odvozeny zjednodušené vzorce - např. Bredtův vztah masivní vychází z rovnic pro prostorovou napjatost, smyková napětí získáme derivací Prandtlovy funkce podle z resp. y. U obecných průřezů pouze s použitím moderních numerických metod. τ t = T / (2.A k.t)

24 Analýza za předpokladu pružného chování Smyková napětí způsobená V a T se superponují Výpočet hlavního napětí obecně pro prostorovou napjatost běžně si vystačíme s rovinnou napjatosti (Mohrova kružnice): Např. pro horní desku komorového průřezu: 1,2 x 2 y x 2 y 2 t 2 xy Ze vztahu je zřejmé, že max. hlavní napětí je v místě největšího smykového napětí a tam, kde je minimální tlakové normálové napětí. V tažené části se hlavní napětí nepočítá.

25 Analýza za předpokladu pružného chování Určení nebezpečného průřezu: řez I - 0,0 m v těžišti průřezu nebo přechod do horní příruby řez II - 1,0 m a III - 2,0 m posun k menšímu tlakovému napětí v přechodu stěny do dolní příruby řez IV - 3,0 m v místě neutrální osy v místě přechodu do dolní příruby při nulovém normálovém napětí tahy v tažené oblasti přenese výztuž poznámka ve skutečnosti může mít prvek v podpoře plný průřez (s půdorysným náběhem) nebezpečný průřez bude tam, kde směrem od podpory začíná být stojina nejtenčí

26 Mezní plastická únosnost průřezu Mezní plastická únosnost průřezu překročí-li hodnota napětí v hlavním tahu pevnost betonu v tahu vznikne trhlina, neplatí pružnost. Řešení pro namáhání posouvající silou: 1) Z rovnováhy normálových a podélných smykových napětí odvodil Mörsch vztah pro max. hodnotu smykového napětí v průřezu porušeném ohybovou trhlinou. t V b z w 2) Ritter a Mörsch model zatížení přenášeno systémem betonových vzpěr a ocelových táhel diagonální vzpěry se po vzniku trhliny tvoří pod úhlem 45 - příhradová analogie s konstantním úhlem diagonál.

27 Mezní plastická únosnost průřezu 3) V průběhu vývoje změna příhradová analogie s variabilním úhlem diagonál (např. ČSN EN ). Předpokládejme betonový vyztužený element namáhaný pouze posouvající silou, porušen šikmými trhlinami pod úhlem θ = úhel tlakové diagonály. S ohledem na šikmé trhliny vzdoruje beton pouze v tlakové diagonále D. Svislou sílu přenáší třmínky (obr. (c)) V E. Vodorovnou složku zachycuje podélná předpínací popř. betonářská výztuž F s +ΔF p.

28 Mezní plastická únosnost průřezu Síla v diagonále (b): D = σ c. b w. z. cos θ D = V E / sin θ Napětí v tlakové diagonále: σ c = V E / (b w. z. sin θ. cos θ) = = V E. (tg θ + cotg θ ) / (b w. z) Lze při známém úhlu θ a při volbě napětí σ c rovné pevnosti betonu v tlaku určit V Rd,max.

29 Mezní plastická únosnost průřezu Svislá síla (c) : Síla v třmíncích: F sw = σ c. b w. s. sin 2 θ F sw = A sw. σ w Svislá síla = síla v třmíncích (po dosazení za σ c viz předcházející list): A sw. σ w / s = V E. tg θ / z při σ w = f ywd se určí V Rd,s.

30 Mezní plastická únosnost průřezu Vodorovná síla: F s + F p = V E. cotg θ kde F s je výslednice tahu v betonářské výztuži od posouvající síly, F p je výslednice tahu v předpínací výztuži od posouvající síly.

31 Mezní plastická únosnost průřezu Ve třech předcházejících rovnicích (podmínkách rovnováhy) jsou 4 neznámé: σ c, θ, σ w, F s + F p Možnosti řešení (stanovení sil pro únosnost): - vhodná volba úhlu tlakové diagonály θ (má mnoho řešení), - předpoklad dosažení pevnosti betonu v tlaku f cd (nutno zahrnout vliv snížení v důsledku příčných tahů), - dosažení meze kluzu (resp. návrhové pevnosti) ve výztuži: příčná výztuž: σ w = f ywd, podélná výztuž: F s + F p = F y Význam metody: - vysvětluje nárůst síly v podélné výztuži pravidlo o posunu obrazce této síly, - vysvětluje princip požadované únosnosti ve smyku třmínky v šikmém řezu musí přenést posouvající sílu na konci tohoto řezu, - je to metoda založená na teorii plasticity, protože splňuje podmínky rovnováhy, plasticity (nesplňuje podmínky kompatibility přetvoření).

32 Mezní plastická únosnost průřezu Mezní plastická únosnost průřezu Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin): nejúčinnější výztuž sledující trajektorie hlavních napětí (tvar šroubovice) to nelze, proto se používá výztuž jako: uzavřené třmínky svařované nebo kotvené přesahem podélná výztuž rozmístěná rovnoměrně po obvodě Tyto tvoří složky výsledné tahové síly ve směru hlavních tahů. Toto vyztužení se superponuje se stávajícím vyztužením na M a V. rovnováhu zajišťují betonové vzpěry ve směru hlavních tlaků Vnitřní síly v průřezu přenášející kroucení

33 Mezní plastická únosnost průřezu Mezní plastická únosnost průřezu Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin): kroucení vzdoruje účinný průřez (nebezpečí odprýskání betonu) používá se model tzv. ekvivalentního tenkostěnného uzavřeného průřezu (i pro plné průřezy), složené průřezy lze rozdělit na dílčí průřezy, stanovit pro ně únosnost v kroucení a následně stanovit celkovou únosnost jako součet únosností jednotlivých dílčích průřezů, dalším modelem je prostorová násobná příhradová

34 Smyk podle EN ČSN Porušení smykem od V podle ČSN EN Prvky bez smykové výztuže kde I b w S 1) V oblastech bez ohybových trhlin (pokud napětí v tahu za ohybu je menší než f ctk,0,05 / c ) má být únosnost ve smyku omezena pevností betonu v tahu. V těchto oblastech je únosnost ve smyku dána vztahem: bw 2 V f l f S Rd,c ctd cp ctd je moment setrvačnosti plochy průřezu šířka průřezu na těžišťové ose (nutno zohlednit kanálky) statický moment plochy průřezu nad těžišťovou osou k této ose α I = l x /l pt2 1,0 pro předem napjatou výztuž, = 1,0 pro ostatní druhy předpínání; l x l pt2 σ c vzdálenost uvažovaného průřezu od počátku přenášecí délky horní hraniční hodnota přenášecí délky u předpjatého prvku napětí betonu v tlaku v těžišťové ose průřezu od normálové síly a/nebo předpětí (σ c = N Ed /A c v MPa, N Ed > 0 značí tlak).

35 Smyk podle EN ČSN ) U předpjatých nosníků bez smykové výztuže lze vypočítat únosnost ve smyku v oblastech s ohybovými trhlinami s použitím vztahu : kde V Rd,c = [C Rd,c k (100 l f ck ) 1/3 + k 1 cp ] b w d při minimu V Rd,c = (v min + k 1 cp ) b w d C Rd,c = 0,18/ γ c, k = 1 + (200/d) 1/2 2,0, (d v mm), ρ l = A sl /(b w d) 0,02, v min = 0,035 k 3/2 fck 1/2, cp = N Ed /A c < 0,2 f cd [MPa], N Ed normálová síla v průřezu od zatížení nebo předpětí [v N] (N Ed > 0 pro tlak). Vliv vnesených deformací na N Ed lze zanedbat, A C plocha betonového průřezu [mm 2 ], k 1 je 0,15.

36 Smyk podle EN ČSN Prvky se svislou smykovou výztuží V Rd,s = (A sw / s) z f ywd cotg V Rd,max = cw b w z 1 f cd / (cotg + tan ) síla v podélné výztuží F Ed = 0,5 V Ed (cotg - tan ) + N Ed = V Ed a l / z + N Ed duktilita: A sw,max /s 0,5 cw 1 f cd b w / f ywd ( pro cotg =1,0) cw součinitel, kterým se zohledňuje stav napětí v tlačeném pásu: 1,0 pro nepředpjaté konstrukce (1 + cp /f cd ) pro 0 < cp 0,25 f cd 1,25 pro 0,25 f cd < cp 0,5 f cd 2,5 (1 - cp /f cd ) pro 0,5 f cd < cp < 1,0 f cd α cw 1,25 1,00 0,25 0,5 0,75 1 σ c /f cd kde cp je průměrné napětí betonu v tlaku uvažované jako kladné, vyvolané návrhovou normálovou silou. Toto napětí se má získat zprůměrováním po betonovém průřezu při uvažování výztuže. Hodnota cp se nemusí počítat ve vzdálenosti menší než 0,5d cot od líce uložení.

37 Smyk podle EN ČSN Porušení smykem od T podle ČSN EN V Ei = T E z i / (2 A k ) = T E / (2 A k cot θ) pro z i z, prvky bez trhlin prvky s trhlinami