Požadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU)

Transkript

1 Požadavky a podmínky zkoušky z Numerických metod I (2NU) LS 2018/2019 Zkouška je písemná, trvá 90 min. Skládá se ze 3 praktických příkladů a 4 teoretických otázek. S sebou ke zkoušce: psací potřeby (čisté papíry, propiska/pero, příp. pravítko) a kalkulačku. Povoleny jsou vlastní rukou psané poznámky na jedné straně podepsaného listu formátu A5 ( MALÝ SEŠIT ) - odevzdává se s písemkou.!!! Není-li uvedeno jinak, argumenty goniometrických funkcí jsou uvažovány v radiánech!!!!!! Nelze využívat kalkulačky na mobilních telefonech, tabletech, noteboocích apod. Veškeré komunikační zařízení před zkouškou vypněte!!!!!! PIŠTE ČITELNĚ!!! Ze zkoušky lze celkem získat až 70 bodů. K bodům získaným u zkoušky se pak připočítají body získané ve cvičeních. Tento součet pak určuje celkové hodnocení předmětu: 0 49 bodů: nevyhovující/f bodů: dostatečně/e bodů: uspokojivě/d bodů: dobře/c bodů: velmi dobře/b bodů: výborně/a Jako vysoce inspirativní shledávám k přípravě ke zkoušce následující stránky tohoto pdf souboru, které obsahují tématické okruhy zkoušky 2nu dle garanta předmětu doc. RNDr. Libora Čermáka, CSc. Poznámky přednášejícího/zkoušejícího k výskytu a rozsahu jednotlivých témat byly uvedeny na přednášce. V Brně dne 29. dubna 2019 doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

2 Seznam typů příkladů praktické části zkoušky 2. Řešení soustav lineárních rovnic Řešení soustavy lineárních rovnic (3 rovnice) pomocí LU rozkladu s částečným výběrem hlavních prvků. Řešení soustavy lineárních rovnic (3 rovnice) pomocí Choleského rozkladu. Součástí úlohy je ověření pozitivní definitnosti matice soustavy. 2.3 Determinant matice A (nejvýše řádu 5) pomocí přímého chodu Gaussovy eliminační metody s částečným výběrem hlavních prvků. 2.4 Inverzní matice A 1 pomocí Gaussovy eliminační metody s částečným výběrem hlavních prvků (A řádu 3). 2.5 Vypočítejte číslo podmíněnosti κ(a) = A A 1 matice A (řádu 2). 2.6 Jacobiova metoda (pro soustavu 3 rovnic): ověřte splnění postačujících podmínek konvergence (ryzí diagonální dominantnost matice soustavy (po případném prohození rovnic), proved te 2 kroky. 2.7 Gaussova-Seidelova metoda (pro soustavu 3 rovnic): ověřte splnění postačujících podmínek konvergence (ryzí diagonální dominantnost matice soustavy (po případném prohození rovnic) nebo pozitivní definitnost matice soustavy), proved te 2 kroky. 2.8 SOR (relaxovaná Gaussova-Seidelova metoda) (pro soustavu 3 rovnic): ověřte splnění postačujících podmínek konvergence (pozitivní definitnost matice soustavy), proved te 2 kroky. 3. Aproximace funkcí. 3.1 Lagrangeův tvar interpolačního polynomu (4 uzly, čitatele fundamentálních polynomů nemusíte roznásobovat). 3.2 Newtonův tvar interpolačního polynomu (4-5 uzlů, polynomy u poměrných diferencí nemusíte roznásobovat). 3.3 Hermitův interpolační polynom. (5-6 podmínek ve 2-3 uzlech. Použijte metodu neurčitých koeficientů, polynom navrhněte ve tvaru rozvoje okolo toho uzlu, v němž je předepsán největší počet podmínek. Výsledný tvar nemusíte roznásobovat.) 3.4 Kubický Hermitův splajn (3 uzly). 3.5 Proložení dat křivkou pomocí metody nejmenších čtverců (2 bázové funkce). 3.6 Řešení přeurčené soustavy lineárních rovnic metodou nejmenších čtverců (3-4 rovnice). 4. Numerický výpočet derivace a integrálu. 4.1 Výpočet první (druhé) derivace pomocí formule první (druhé) centrální diference a Richardsonovy extrapolace (jen T 00, T 10, T 11, T 20, T 21, T 22 ). 2

3 4.2 Užitím vzorců pro odhad chyby složených formulí (obdélníková, lichoběžníková, Simpsonova) určete počet dílků n, který nám zaručí, že chyba nepřesáhne zadanou toleranci ε. Pak proved te výpočet složenou formulí Q n (f). 4.3 Výpočet integrálu pomocí Rombergovy integrace (jen T 00, T 10, T 11, T 20, T 21, T 22 ). 5. Řešení nelineárních rovnic. 5.1 Zadanou metodou a) tečen b) sečen vypočtěte několik aproximací kořene. Kořen, jehož aproximace máte počítat, bude upřesněn tak, že jde o nejmenší (největší) záporný (kladný) kořen. Nejdříve určíte interval a, b, b a = 1, obsahující takový kořen. Za x 0 zvolíte ten z bodů a, b, v němž f(x 0 )f (x 0 ) > 0. V metodě sečen zvolíte x 1 = x 0 + δ resp. x 1 = x 0 δ tak, aby bod x 1 (a, b). δ > 0 je zadané malé číslo, např. δ = 0, Soustavu dvou nelineárních rovnic f(x, y) = 0, g(x, y) = 0 řešte Newtonovou metodou. Zapište postup řešení (tj. určete Jacobiovu matici, zapište soustavu dvou lineárních rovnic, uved te její řešení). Číselně proved te jeden krok. Počáteční aproximace x 0, y 0 jsou dány. 5.3 Zdůvodněte, proč má soustava x = g 1 (x, y), y = g 2 (x, y) dvou nelineárních rovnic v daném obdélníku Ω kořen. Proved te dva kroky metody prosté iterace ze zadaného startovacího bodu [x 0, y 0 ]. 6. Optimalizace. 6.1 Metodou zlatého řezu proved te 3 kroky pro určení minima funkce v zadaném intervalu. 6.2 Metodou největšího spádu počítejte minimum funkce f(x, y), startovací bod [x 0, y 0 ] je daný. Zapište postup výpočtu (tj. vypočtěte gradient g(x), směrový vektor d(x), napište funkci φ(λ) pro určení parametru λ k délky kroku, uved te předpis pro výpočet x k+1 ). Číselně proved te jeden krok, tj. určete bod [x 1, y 1 ]. Účelová funkce bude zvolena tak, aby jednorozměrnou minimalizaci bylo možné provést přesně (tj. bez použití numerické metody). 6.3 Newtonovou metodou počítejte extrém funkce f(x, y), bod [x 0, y 0 ] je daný. Zapište postup řešení (tj. vypočítejte gradient a Hessovu matici, napište soustavu dvou lineárních rovnic, uved te její řešení). Číselně proved te jeden krok, tj. výpočet [x 1, y 1 ]. 3

4 Seznam typů otázek teoretické části zkoušky 1. Úvod do problematiky numerických metod. 1.1 Jaké druhy chyb vznikají při řešení reálných problémů? 1.2 Co je to absolutní a relativní chyba? Objasněte na konkrétním příkladu. 1.3 Určete počet platných cifer (popřípadě počet platných desetinných míst) pro zadané přibližné číslo x, jehož přesná hodnota x je dána. 1.4 Vysvětlete pojem systém F normalizovaných čísel pohyblivé řádové čárky. 1.5 Co je to strojové epsilon ε m? Jaká je hodnota ε m v dekadické soustavě, jejíž mantisa má p cifer, např. když p = 6? 1.6 Vysvětlete, co se rozumí reprezentací čísel v jednoduché (dvojnásobné) přesnosti podle standardu IEEE? 1.7 Co je to přetečení, podtečení, uved te příklad v konkrétním dekadickém systému F pohyblivé řádové čárky, např. když mantisa má 3 cifry a exponent e 5, Co je to korektní problém? Co je to stabilní algoritmus? Formulujte problém a k němu dva algoritmy, z nich jeden je nestabilní a druhý je stabilní. 2. Řešení soustav lineárních rovnic. 2.1 Popište algoritmus Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavních prvků (stačí jen zhruba, tj. co je podstatou tzv. přímého chodu GEM, jaké operace v něm provádíme, co je to zpětný chod GEM, která z obou částí GEM je výpočetně náročnější). Kdy lze GEM bez výběru hlavních prvků bezpečně použít? 2.2 Vysvětlete pojem ryze diagonálně dominantní matice. Uved te příklad. 2.3 Vysvětlete pojem pozitivně definitní matice. Pomocí Sylvesterova kritéria posud te, zda zadaná matice je pozitivně definitní. 2.4 Co se rozumí pod pojmem LU rozklad matice A? K čemu je LU rozklad dobrý? 2.5 Jaká je výpočtová náročnost přímého a zpětného chodu Gaussovy eliminační metody? 2.6 Co je to Choleského rozklad matice A? Za jakých okolností existuje? Srovnejte s LU rozkladem z hlediska počtu operací a nároků na pamět počítače. 2.9 Vysvětlete Gaussovu eliminační metodu s částečným výběrem hlavních prvků. Znázorněte graficky. Proč částečný výběr hlavních prvků provádíme? 2.10 Vysvětlete Gaussovu eliminační metodu s úplným výběrem hlavních prvků. Znázorněte graficky. Proč úplný výběr hlavních prvků provádíme? Proč se běžně dává přednost částečnému výběru hlavních prvků? 2.11 Vysvětlete, co je to LU rozklad matice A s částečným výběrem hlavních prvků Jak budete numericky počítat determinant vysokého řádu? 4

5 2.13 Jak budete numericky počítat inverzní matici? 2.14 Kdy řekneme, že matice soustavy rovnic je řídká? Jak lze této skutečnosti využít při řešení soustav lineárních rovnic (v přímých metodách, v iteračních metodách)? 2.15 Kdy řekneme, že matice soustavy rovnic je pásová? Jak šíře pásu ovlivní počet operací v přímém a ve zpětném chodu Gaussovy eliminační metody? 2.16 Uved te definici vektorové l p -normy, speciálně pak norem x 1, x 2 a x. Vypočítejte l p -normu pro dané číslo p 1 a daný vektor x Uved te definici přirozené maticové normy. Přirozená maticová norma je souhlasná s vektorovou normou, pomocí níž je definována. Co souhlasnost maticové a vektorové normy znamená (uved te příslušnou nerovnost). Demonstrujte pro konkrétní matici A, vektor x a l -normu Uved te definici maticových norem A 1, A. Vypočítejte tyto normy pro konkrétně zvolenou matici A Co to znamená když řekneme, že matice A je špatně podmíněná? Definujte číslo podmíněnosti κ(a) matice A. Jak souvisí číslo podmíněnosti matice A s podmíněností úlohy najít řešení x soustavy lineárních rovnic Ax = b? 2.20 Uved te příklad špatně podmíněné soustavy dvou lineárních rovnic. Zdůvodněte, proč je špatně podmíněná. Znázorněte graficky! 2.21 Vysvětlete princip iteračních metod pro řešení soustav lineárních rovnic (co je to počáteční aproximace, iterační krok, kdy řekneme, že iterační metoda konverguje) Uved te příklady tzv. stop kritérií pro ukončení iterací Popište Jacobiovu metodu. Uved te postačující podmínky konvergence Popište Gaussovu-Seidelovu metodu. Uved te postačující podmínky konvergence. Srovnejte Gaussovu-Seidelovu metodu s Jacobiovou metodou Popište metodu SOR (tj. relaxaci Gaussovy-Seidelovy metody). Uved te postačující podmínky konvergence Za jakých okolností lze očekávat, že řešení soustavy lineárních rovnic iterační metodou bude efektivnější než použití přímé metody? 3. Aproximace funkcí. 3.1 Co rozumíte pod pojmem aproximace funkce f(x)? Jaké dva různé typy aproximace znáte? Popište je v hrubých rysech. 3.2 Formulujte úlohu lagrangeovské interpolace (předepsány jsou funkční hodnoty). Načtněte! 3.3 Napište Lagrangeův tvar interpolačního polynomu. Co je to fundamentální polynom, jakou charakteristickou vlastnost má? Za jakých podmínek je zaručena jednoznačná existence Lagrangeova interpolačního polynomu? 5

6 3.4 Napište Lagrangeův interpolační polynom P (x) určený např. podmínkami Načrtněte! P (1) = 1, P (3) = Napište interpolační polynom P (x) zadaný např. tabulkou x i y i Načrtněte a uhodněte! 3.6 Zapište interpolační polynom v Newtonově tvaru. V čem spočívá přednost Newtonova tvaru oproti tvaru Lagrangeovu? 3.7 Formulujte úlohu hermitovské interpolace (zadány jsou hodnoty funkce a některé její derivace). 3.8 Určete interpolační polynom vyhovující podmínkám P ( 1) = 0, P (0) = 0, P (1) = 0. Zjistíte, že takových polynomů je nekonečně mnoho (načrtněte si obrázek, napište vzorec). V čem je problém? 3.9 Napište Hermitův interpolační polynom P (x) určený např. podmínkami P (1) = 1, P (1) = 1, P (1) = 2, P (1) = Sestrojte Hermitův interpolační polynom, který má jediný uzel x 0 a v něm je předepsána hodnota f(x 0 ) a dále všechny derivace až do řádu n včetně. Jak se takový polynom nazývá? Proved te např. pro x 0 = 0, f(x) = sin(x), n = Vysvětlete, proč není účelné používat interpolační polynomy vysokých stupňů. Jak budete postupovat, když uzlů interpolace je mnoho, třeba 100? 3.12 Vysvětlete, co je to lineární interpolační splajn. Nakreslete Co je to Hermitův kubický interpolační splajn? Nakreslete Co je to kubický interpolační splajn? Jak lze zvolit okrajové podmínky? 3.15 Necht 3.16 Daty S(x) = { a + 2x + cx 2 + dx 3 pro x 1, 0, 1 + bx 3x 2 + 5x 3 pro x 0, 1. Pro jaké hodnoty koeficientů a, b, c, d je S na intervalu 1, 1 a) kubický Hermitův interpolační splajn, b) kubický interpolační splajn? x i y i prochází interpolant S(x) s těmito vlastnostmi: 6

7 a) na intervalu 1, 0 je S(x) polynom nejvýše prvního stupně, b) na intervalu 0, 1 je S(x) polynom nejvýše druhého stupně, c) na celém intervalu 1, 1 má S(x) spojitou první derivaci. Načrtněte a určete S (0)! 3.17 Zdůvodněte, proč při lineární interpolaci na trojúhelníku (bilineární interpolaci na obdélníku) je hodnota interpolantu v těžišti rovna aritmetickému průměru hodnot ve vrcholech? 3.18 Formulujte úlohu o proložení křivky empiricky získanými daty metodou nejmenších čtverců. Nakreslete obrázek. Jak volíme bázové funkce? Co lze říci o vzájemném vztahu mezi počtem bázových funkcí (nebo-li počtem hledaných parametrů) a počtem pozorování? 3.19 Napište normální soustavu rovnic pro lineární regresní funkci R n (t), když n 2 a bázové funkce φ j (t) jsou jednoduchého tvaru, třeba 1, t, t 2,cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, 1/t, 1/t 2, e t, e 2t atp Data t i y i aproximujte metodou nejmenších čtverců polynomem R 1 (t) = a nultého stupně? Čemu se rovná a? 3.21 Metodou nejmenších čtverců určete lineární polynom R 2 (t) = a + bt určený tabulkou t i Pomůcka: zamyslete se nad daty v tabulce! y i Co dostanete, když daty [t i, y i ], i = 1, 2,..., n, proložíte metodou nejmenších čtverců polynom R n 1 (t) = x 1 + x 2 t + + x n t n 1? Vysvětlete! 3.23 Co znamená řešit přeurčenou soustavu lineárních rovnic metodou nejmenších čtverců? 4. Numerický výpočet derivace a integrálu. 4.1 Kdy je účelné nebo dokonce nezbytné počítat derivaci numericky? Uved te nějakou formuli pro přibližný výpočet derivace. 4.2 Spočítejte přibližně derivaci f (1,6) funkce f(x), o níž víte jen to, že f(1) = 2 a f(2) = Vysvětlete vzájemný vztah diskretizační a zaokrouhlovací chyby při numerickém derivování. Naznačte na příkladu první dopředné diference. 4.4 Jak spočítáme derivaci funkční závislosti y = f(x) z naměřených dat [x i, y i ] (y i f(x i ) jsou měřením získané aproximace f(x i ))? 4.5 Vysvětlete princip Richardsonovy extrapolace (omezte se na jediný extrapolační krok, uvažujte funkční závislost F (h) = a+bh 2 +ch 4, kde a, b, c jsou daná reálná čísla). 7

8 4.6 Kdy je účelné nebo dokonce nezbytné počítat integrál numericky? Jak vypadá obecná kvadraturní formule? Kdy řekneme, že formule je řádu r? 4.7 Odvod te a) obdélníkovou formuli, b) lichoběžníkovou formuli. Uved te řád, zdůvodněte. Napište odpovídající složenou formuli. Nakreslete. 4.8 Jak vypadá Simpsonova formule? Uved te polynom, jehož integrací Simpsonova formule vznikne. Jakého řádu je Simpsonova formule? Co to znamená? Napište složenou Simpsonovu formuli. 4.9 Ověřte, že Simpsonova formule je řádu Je-li Q R (f) obdélníková formule a Q T (f) formule lichoběžníková, pak Q S (f) = 2 3 Q R(f) Q T (f) je Simpsonova formule. Ověřte! 4.11 Vysvětlete princip Rombergovy integrace. Jakého řádu jsou formule T si v i-tém sloupci Rombergovy tabulky? Co z toho plyne pro integraci polynomu stupně r? 4.12 Vysvětlete princip adaptivní integrace Jak určíte přibližnou hodnotu integrálu funkce dvou proměnných na trojúhelníku (obdélníku), znáte-li hodnoty integrované funkce ve vrcholech? 4.14 Jaký vliv mají zaokrouhlovací chyby při numerickém intergrování? Ukažte na složené obdélníkové formuli (odhadněte Q n R (f) Qn R ( f), jestliže pro chyby integrandu platí f i 1/2 f i 1/2 ε, kde ε je horní mez zaokrouhlovacích chyb). 5. Řešení nelineárních rovnic. 5.1 Vysvětlete metodu bisekce, nakreslete alespoň 3 kroky. Posud te rychlost konvergence. Uved te vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 5.2 Vysvětlete Newtonovu metodu, nakreslete alespoň dva kroky. Jakého je řádu? Vysvětlete, co to znamená! Uved te postačující podmínky zaručující konvergenci. Uved te vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 5.3 Vysvětlete metodu sečen, nakreslete, jak dostanete x 2 a x 3. Jakého je řádu? Vysvětlete, co to znamená! Porovnejte metodu sečen a Newtonovu metodu (tj. uved te přednosti a nedostatky každé nich). Kdy nastane konvergence? Uved te vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 5.4 Vysvětlete metodu regula falsi, nakreslete, jak dostanete x 2 a x 3. Jakého je řádu? Vysvětlete, co to znamená! V čem se metoda regula falsi liší od metody sečen? Jaké shodné rysy mají metoda regula falsi a metoda bisekce? Uved te vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 5.5 Vysvětlete metodu inverzní kvadratické interpolace. Nakreslete, jak dostanete x k+1. Co lze říct o její konvergenci? Uved te vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 8

9 5.6 Vysvětlete metodu prosté iterace pro rešení rovnice x = g(x), uved te postačující podmínky konvergence. Co lze říci o řádu metody prosté iterace? 5.7 Rovnice lnx = x 2 má dva kořeny, x 1 < 1 a x 2 > 1. Ke kterému z nich konverguje metoda prosté iterace x k+1 = g(x k ) pro g(x) = lnx+2, když zvolíme x 0 = 1? Zdůvodněte! 5.8 Jak byste přibližně určili počáteční aproximaci, když řešíte jednu nelineární rovnici. A jak to bude s počáteční aproximací v případě, když řešíte soustavu nelineárních rovnic? 5.9 Vysvětlete Newtonovu metodu pro řešení soustav nelineárních rovnic. Jakého je řádu? Co se tím rozumí? Za jakých podmínek nastane konvergence? Uved te vhodné kritérium pro ukončení výpočtu Vysvětlete metodu prosté iterace pro řešení soustav nelineárních rovnic. Uved te postačující podmínky konvergence. Jaká je rychlost konvergence? Co to znamená? Uved te vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 6. Optimalizace. 6.1 Vysvětlete metodu zlatého řezu. Nakreslete, jak z intervalu (a k, b k ) dostanete interval (a k+1, b k+1 ). Posud te rychlost konvergence. Navrhněte vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 6.2 Vysvětlete metodu kvadratické interpolace. Nakreslete, jak z intervalu (a k, b k ) dostanete interval (a k+1, b k+1 ). Posud te rychlost konvergence. Navrhněte vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 6.3 Popište 5 základních kroků Nelderovy-Meadovy metody, načrtněte obrázky. Navrhněte vhodné kritérium pro ukončení výpočtu. 6.4 Vysvětlete metodu největšího spádu. Načrtněte obrázek. Posud te rychlost konvergence. 6.5 Co je to tzv. cik-cak efekt v metodě největšího spádu? 6.5 Určete minimum funkce f(x, y) = x 2 + y 2 metodou největšího spádu pro počáteční aproximaci x 0 = 1, y 0 = 2. V kolika krocích naleznete minimum? Nepočítejte, odpověd určete z načrtku! 6.6 Vysvětlete, jak lze pomocí Newtonovy metody najít lokální extrém funkce. Nastane-li konvergence, jakého je řádu? Co to znamená? 6.7 Která z metod a) metoda největšího spádu b) Newtonova metoda nás spolehlivěji zavede do minima? Která z nich konverguje rychleji? Lze přednosti obou metod nějak skloubit? 6.8 Jak lze pomocí minimalizačních metod najít řešení soustavy nelinárních rovnic? 9

10 Ukázka písemky 1. Řešte soustavu lineárních rovnic Ax = b metodou SOR (postupné horní relaxace). Zvolte A = 3 6 4, b = 23, x 0 = 1, ω = 1, a vypočtěte x 1. Ověřte, že A je pozitivně definitní. Pomůcka: počítejte podle vzorce x (k+1) i = (1 ω)x (k) i + ω b i a kk i 1 j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 2. Sestavte Hermitův interpolační polynom P (x) určený daty x i y i y i y i [13 bodů] a ij x (k), i = 1, 2,..., n, k = 0. j a spočítejte hodnoty P (2), P (2). [13 bodů] 3. Je dána rovnice x 3 4x 2 + x + 1 = 0. a) Určete interval a, b obsahující největší kořen, kde a, b jsou celá čísla, b a = 1. b) Kořen zpřesněte pomocí dvou kroků metody sečen. Jako počáteční aproximaci x 0 zvolte ten z bodů a, b, ve kterém f(x 0 )f (x 0 ) > 0. Je-li x 0 = a, zvolte x 1 = a + 0,1, je-li x 0 = b, zvolte x 1 = b 0,1. [14 bodů] Pomůcka: vzorec pro metodu sečen: x k+1 = x k x k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) f(x k), k = 0, 1, Vysvětlete pojem systém F normalizovaných čísel pohyblivé řádové čárky. [4 body] 5. Spočítejte přibližně derivaci f (0,6), když víte, že f(0,5) = 1, f(0,6) = 1,2 a f(0,7) =1,3. [5 bodů] 6. Co je to kubický interpolační splajn? Jak lze zvolit okrajové podmínky? [6 bodů] 7. Odvod te lichoběžníkovou formuli. Uved te řád, zdůvodněte. Napište odpovídající složenou formuli. Nakreslete. [5 bodů] 8. Rovnice lnx = 2x 3 má dva kořeny, x 1 < 1 a x 2 > 1. Ke kterému z nich konverguje metoda prosté iterace x k+1 = g(x k ) pro g(x) = 1 2 (lnx + 3), když zvolíme x 0 = 1? Zdůvodněte! [5 bodů] 9. Vysvětlete metodu největšího spádu. Načrtněte obrázek. Posud te rychlost konvergence. [5 bodů] 10