I. Určete(a nakreslete) definiční obor a vrstevnice funkcí 1. f(x, y)=x+ y 2. f(x, y)= y 3. f(x, y)=x 2 + y 2 4. f(x, y)=x 2 y 2

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "I. Určete(a nakreslete) definiční obor a vrstevnice funkcí 1. f(x, y)=x+ y 2. f(x, y)= y 3. f(x, y)=x 2 + y 2 4. f(x, y)=x 2 y 2"

Transkript

1 I. Určete(a nareslete) definiční obor a vrstevnice funcí. f( )=+. f( )=. f( )= +. f( )= 5. f( )=. f( )= 7. f( )= + 8. f( )= ( + )( ) 9. f( )= ( + ) 0. f( )= sin( + ). f( )=sgn(sin sin). f( )= + Rozhodněte zda následující množin jsou otevřené ev. uzavřené a určete vnitře uzávěr hranici.(a) Q (b) N (c) { n n N}(d)( 0) { Q >0}. {[ ] R >0 0} 5. {[ ] R + <}. {[ ] R + } 7. {[ ] R + e >7} 8. {[ ] R + > +} 9. {[ ] R = } 0. {[ ] R + +=5}. {[ z] R 0 >0 += z 0} Výsled a návod.. D f = {[ ] R 0}. D f = {[ ] R 0} - o D f = R. D f = R D f = {[ ] ( 0& 0) ( 0& 0)}vrstevnicejsouhperboltvaru = c pro c >0spolusdvojicíos.. D f = {[ ] + }vrstevnicejsouružnice. 7. D f = {[ ] + >}vrstevnicejsouružnice. 8. D f = {[ ] + }vrstevnice jsoudvojiceružnicvjednompřípaděružnice. 9. D f = {[ ] +} vrstevnicejsoudvojiceparabolvjednompřípaděparabola. 0. D f = {[ ] π + (+)πpronějaé =0...}vrstevnicejsouposloupnostiružnic.. D f = R jsou třivrstevnice-vnitřčernýchčtvercůvnitřbílýchčtvercůahraničnípřím.. D f = R vrstevnicejsougraffuncí =.

2 Ad9. Ad (a)int Q= H(Q)=Q=R Qneníotevřenáaniuzavřená. (b) Njeuzavřenáint N= H(N)=N=N(c)Množinaneníuzavřenáaniotevřenávnitřejeprázdnýhraniceiuzávěr jsou { n N} {0}. (d)aniotevřenáaniuzavřenávnitře( 0)uzávěr Rhranice n [0 ).. Množinaneníuzavřenáaniotevřená. Vnitřeje {[ ] R >0 <0} uzávěr {[ ] R 0 0}hranice{[ ] R 0& 0&(=0 =0)}. 5.Otevřenáuzávěr {[ ] R + }hranice {[ ] R + =}.. Uzavřenávnitře {[ ] R + >}hranice {[ ] R + =}. 7.Otevřená hranice {[ ] R + e =7}uzávěr {[ ] R + e 7} 8.Otevřenáuzávěr {[ ] + 0}hranice {[ ] +=0}. 9.Uzavřenávnitře {[ ] + >0} hranice {[ ] +=0}. 0.Uzavřenáprázdnývnitře..Aniuzavřenáaniotevřená vnitřeprázdnýhraniceiuzávěr {[ z] R 0 0 += z 0}. II. Spočtěte parciální derivace funcí všude de eistují. m n. e. + z+ z sin 9. sin sin f( )= + ln( + ) f(00)=0 ( ) z. f( )=e ++ f(00)=0.. z 5. z

3 Výsledanávod.. = mm n = nm n pro( ) R.. = e = e pro( ) R.. = +z = + z = +pro( z) R.. ( )= + ( )= + poud( ) (00). (00)a (00)neeistují. 5. ( )= ( + ) ( )= ( + ) poud. (00)= (00)= ( )a ( )neeistujípro 0.. ( )= sgnpro 0. ( )= sgnpro 0. (00)= (00)=0. (0 )pro 0a (0)pro 0neeistují. 7. ( )= pro 0. ( )= pro 0. (00)= (00)=0. (0 )pro 0a (0)pro 0neeistují. 8. ( )= sgn( sin ) cos ( )=sgn( sin)poud sin. (sin)neeistujepro R. ( π + π( ) )=0pro Z. (sin)neeistuje pro π + π. 9. ( )=cos sgn(sin sin ) ( )= cos sgn(sin sin ) poudsin sin. ( π + π π + lπ)= ( π + π π + lπ)=0.vostatníchbodechparciální derivaceneeistují. 0. ( )= + ( )= + poud ( )a ( )neeistujípro R..V( )neeistujíparciálníderivacepoud + poud + = jsouoběparciálníderivacenulové = e ++ + ( ++ ) = e ( ++ ) pro( ) (00);vbodě(00)jsouoběparciálníderivacenulové. ( ) z ; ( ).Poud >0nebo <0pa = z z ; ( ) z = z z = log..poud >0a 0pa = z z ; = z log z ; z = z log z. 5. Poud >0pa = z z ; = log z z ; z z = log z log. z III. V následujících úlohách zjistěte sup a inf funce na množině M a všetřete zdatěchtohodnotfuncena Mnabývá.. f( z)=(+) +( ) + z; M= ;. f( )= + M= {[ ] R ; + }. f( )= a + b a >0 b >0; M= {[ ]; + };. f( z)= + + z ++ z; M= R ; 5. f( )= ( + ) e ( + ) ; M= R ;. f( )= ( +5 ) e ( + ) ; M= R ; 7. f( )=(+)e ; M= {[ ]; >0 >0} 8. f( z)= + + z ; M= {[ z]; + + z }; a > b > c >0. a b c 9. z( )= + M= {[ ] + =} 0. z( )= ++ ; M= {[ ] + =}. Určeterozměrvodnínádrževetvaruvádruoobjemum taabdnoastěnměl dohromad nejmenší povrch. Výsled a návod.. ma5vbodech[][ ][ ][ ]min vbodě[00 ]. mavbodech[±0][0 ±]min0v[00]. ma a +b vbodě b [ a a +b a +b ] min a +b ab vbodě[ b a a +b a +b]. sup neeistuje f není shora omezenámin vbodě[ ] 5.min0v[00]ma e vbodechružnice + =..ma 5 e vbodech[0 ±]min0vbodě[00] 7.sup e nenabýváseinf0nenabýváse 8. ma a vbodech[±a00]min0v[000] 9.mavbodech[±0]min vbodech[0 ± ] 0.ma 7 vbodech[ 0 5 ][ 0 5 ]min vbodech[ 5 5 ][ 5 5 ].dnom m výša m ab

4 IV.Vnásledujícíchúloháchzjistětesupainffunce fnamnožině M avšetřetezdatěchtohodnot fna Mnabývá.. f( z)= +z a) M= {[ z] + + z =}b) M= {[ z] + + z = ++ z=0}. f( z)=z a) M= {[ z] + + z =}b) M= {[ z] + + z = ++ z=0}. f( z)=sin sinsin z M= {[ z]; ++ z= π >0 >0 z >0}. f( z)= z M= {[ z]; ++z= a >0 >0}de a >0. 5. f(... n )= p + + p n ; M= {[... n ]; + + n = a >0... n >0};de a >0 p >0.. f( )=+ M= {[ ]; + =0 0 0} 7. f( z)=0z+ M = {[ z] + + z + 0} 8. f( )= + M= {[ ] + =} 9. f( )= M= {[ ] ( + ) = K}de K >0 0.Je-li R n a M R n jevzdálenostboduodmnožin Mrovna dist( M)=inf{ρ(): M}vzdálenostmnožin Modmnožin N R n jerovna dist(m N)=inf{ρ(): M N}.Určetevzdálenosti: (a)bodu[a ] R odparabol = ;(b)bodu[ a a ] R (a >0)odvětvehperbol =/ >0;(c)přím = 50odparabol =..Je-li M R n neprázdnáaomezenájejímprůměremrozumímečíslo diamm =sup{ρ(): M}. Určeteprůměrmnožin {[ ] R : p + p =}v závislostina p >. Výsled a návod.. a) ma v [ ] min v [ ]; b) ma [ 7 5 ] min v [ 7 5 ];. a) ma [ ] [ ] [ ]; min [ ] [ ] [ ]; b) ma [ ][ ];min vbodech[ ][ v bodech [ v bodech [ v ] ] v bodech [ ] ][ ];. ma 8 v[ π π π a ]inf0nenabýváse. ma v[ a a a ]inf 5. pro p=je f na M onstantní; pro p >jesup a p nenabývásemin ap v[ a n p n... a ]; pro p (0) n je inf a p a nenabývá se ma p v [ a n p n... a ];. mav[] min0v[00] 7. ma n 0 v [ ]; min 0 v [ ]; 8. ma 5 v [ 5 5]; min 5 v[ 5 5]; 9. ma K 5 v[ K 5 K 5 ];min K 5 v [ K 5 K 5 ]. 0.(a) a a + (b) a (+ a )(c) p pro p ( p pro p >

5 V. Implicitní funce.jedánvztah e +sin+ =abod[0]: a)doažtežetímtovztahemjedefinovánahladáfunce = f()vjistémoolíbodupro terouplatí f()=0. b)napišterovnicitečnegrafufunce fvbodě. c)spočtěte f (). d)proterébod[a0] a Rlzedoázattvrzeníanalogicéa)? e) Načrtněte množinu všech bodů[ ] splňujících uvedený vztah..jedánavztah =0abod[0].Doažteže a)tímtovztahemjedefinovánahladáfunce = f()vjistémoolíbodu0proterouplatí f(0)=; b)funce frostevjistémoolíbodu0. c)jefunce fnaoolí0onveníneboonávní?.jedánvztah + +z + z 9=0abod[ ]: a)doažtežetímtovztahemjedefinovánahladáfunce z= z( )vjistémoolí Ubodu[ ] proterouplatí z( )=; b)určete z z voolí U; c)napišterovnicitečnérovinegrafufunce z= z( )vbodě[ ]..Doažtežemnožinabodů[ z] R terésplňujívztah + + z z=0jevoolí bodu[]popsatelnájaograffunce f( )definovanénajistémoolíbodu[]proterou je f()=.napišterovnicitečnérovinegrafufunce fvbodě[]. Výsledanávod..(b)tečna: =0(c)0(d)pro a.(e)domnožinpatřívšechn bodos (tj. bod[a0]pro a R)pro a eistujeprávějedenbod ϕ(a) 0proterý [a ϕ(a)]patřídomnožin. Pro a > je ϕ(a) <0pro a < je ϕ(a) >0lzeuázatže lim a ϕ(a)=0..(b)spočtěte f (0)aověřteže f (0)=>0.(c)Je f (0)= ated f jezápornánaoolí0tudíž fjenaoolí0rzeonávní..tečnárovina z= 7 5 (+)+.tečnárovina z= ( ) ( )+ VI. Určete hodnost matic(v závislosti na parametru) ( ) (a ) (a+) a a ( a) a a a a+ ( ) ( a a a a a ) 7.. ( (a ) (a+) a ( a) a a a a a 5 7 a 0 0 najděte inverzní matice následujícím maticím ) 0.. ( Na záladě výsledů předchozích příladů napište inverzní matice maticím teré vzninou: a) přehozením prvního a druhého řádu v matici z příladu 8; b) vnásobením čtvrtého řádu matice z příladu 0 číslem ; c) přičtením sedminásobu třetího řádu prvnímu řádu v matici zpříladu9;d)zmaticevpříladutažemístoprvníhořádunapíšemetrojnásobedruhého a místo druhého pětinásobe prvního. )

6 Výsledanávod....pro a pro a=.pro a 0 jina 5. pro a pro a=. 7. hodnostpro a pro a=hodnost / 5/ / 0.. ( ) ( / // ) 0 / 5/ / / / 5/ 5/ / / / / / / / / 5/ / 5/. Inverzní matice vzninou z inverzní matice původní matici a) přehozením prvního a druhého sloupce; b) vnásobením čtvrtého sloupce číslem /; c) odečtením sedminásobu prvního sloupce od třetího sloupce; d) ta že místo prvního sloupce napíšeme / druhého a místo druhého sloupce /5 prvního.(to vše lze zdůvodnit napřílad s použitím definice inverzní matice a definice maticového násobení. Jiná méně přímá možnost je vhodně použít větu o násobení a transformaci.) VII. Spočtěte determinant Určete čemu se rovná determinant matice terá vznine: a)zmaticevpříladupřerovnánímřádůvpořadí; b) vnásobením matice v příladu číslem ; c) přerovnáním sloupců v matici z příladu v pořadí ; d) vnásobením matice z příladu 7 číslem /00; e)součinemmaticzpříladua5; f)jao A T ABde AjematicezpříladuaBmaticezpříladu; g)*jao AA T de Ajematicezpříladu. najděte řešení soustav lineárních rovnic z= + = +z= 0. z= + = ++z=. + + = =0 7 + =5 + = + + = =5. = = + = = + = + = 7. Pro teré pravé stran má soustava se stejnou maticí jao v předchozím příladu řešení?

7 Výsled a návod.. Determinant neeistuje matice není čtvercová a);b) ;c) 8;d) 9.;e) 8;f)0(protožedet B=0); g) 0(romě přímého výpočtu lze postupovat napřílad následovně: ověřte že h(a) < 5 odtud odvod te(třebapodlevětosoučinumaticatransformaci)že h(aa T ) <5ateddet(AA T )=0). 9. =5 = z= 0. = = z=.(00).(5 ). neonečněmnohořešenítvaru( t t0) t R.právěpropravéstran(a b c d)de 7a=b+d. VIII. Zjistěte zda následující řad onvergují absolutně onvergují neabsolutně či divergují(v závislosti na parametru).. =!. sin 7. = = = =0 = (!) (+00 ()!. ( ) + = = = + + R 8. log(+ ( )+ ). ). ( ( ) = ln R 9. = = ( ) + +00) 5. +( ) 7 = α R. ( ) ++ α +. ( ) ++. = = ( cos ) 7. α (e + + ) α R R 9. = n R 0. = = = ( ) + R. ( ) + R. cos( π) ( + + ). + = = ( ) ( ) +. = cos(π) cos(π) = ( ) +( ) 7. = ( ) +( ) 8. = R = sin ( π + ) = = ( ) +( ) 7 + ( ) ++ + = Výsled a návod.. Konverguje absolutně.. Konverguje absolutně.. Konverguje absolutně.. Diverguje. 5. Konverguje absolutně.. Diverguje. 7. Konverguje absolutně pro ±divergujepro =±. 8.Pro0<< e onvergujeabsolutnějinadiverguje (pro 0 nemá smsl). 9. Konverguje absolutně. 0. Konverguje absolutně.. Pro α > onvergujeabsolutnějinadiverguje..diverguje..konvergujeneabsolutně.. Konverguje absolutně. 5. Konverguje neabsolutně.. Konverguje absolutně. 7. Konverguje absoluně pro α < jina diverguje. 8. Konverguje absolutně pro jina diverguje. 9. Konverguje absolutně pro < diverguje pro. 0. Konverguje absolutněpro <divergujepro >pro =onvergujeneabsolutněpro = diverguje.. Konverguje absolutně pro diverguje pro >.. Konverguje absolutněpro <divergujepro >onvergujeneabsolutněpro =..Konverguje (neabsolutně).. Konverguje neabsolutně. 5. Konverguje.. Konverguje neabsolutně. 7. Konverguje neabsolutně. 8. Diverguje. 9. Diverguje.

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c)

I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c) VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a) ( ) + ( ) ( 6 ), b) ( π ). a) +, b) +, c) + + 4, f (4) (0) = 48, d) + 4 4, e) + 0, f), g) ++ 6 4, h) + 70 4, i) 4 j) + 6 k) 7 8 40. + o( ), 8 4. a), b), c), d) -, e) 4

Více

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi. Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých

Více

Ukázka závěrečného testu

Ukázka závěrečného testu Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R ) ČÍSELNÉ A FUNKČNÍ ŘADY (5b) a) formulujte Leibnitzovo ritérium včetně absolutní onvergence b) apliujte toto ritérium na řadu a) formulujte podílové ritérium b) posuďte onvergenci řad c) oli členů této

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Cvičící: KOLAR KOSTKOVA KOZAK NOVAK STRACHOTA Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 varianta A pondělí 13. dubna 2015, 11:20 13:20 ➊ (1 bod) Do tabulky výše vyplňte své příjmení a jméno a zakroužkujte

Více

Příklady k přednášce 3

Příklady k přednášce 3 Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,

Více

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

Měření indukčností cívek

Měření indukčností cívek 7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ

Více

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) = I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3 I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí 1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Separovatelné diferenciální rovnice

Separovatelné diferenciální rovnice Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 8. 6. 2009) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() = 0. 2. Řešte diferenciální rovnici

Více

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0]. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) IV.6. Greenova věta Křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křive nazýváme irkulaí vektorového pole f po křive a zapisujeme

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

1.6 Singulární kvadriky

1.6 Singulární kvadriky 22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Otázky z kapitoly Posloupnosti

Otázky z kapitoly Posloupnosti Otázky z kapitoly Posloupnosti 8. září 08 Obsah Aritmetická posloupnost (8 otázek). Obtížnost (0 otázek)........................................ Obtížnost (0 otázek).......................................

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Proseminář z matematiky pro fyziky

Proseminář z matematiky pro fyziky Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky

Více

4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:

4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody: 4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou

Více

Funkce. Obsah. Stránka 799

Funkce. Obsah. Stránka 799 Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace nalýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X j F j x, je omplexní číslo r e r e Oboustranná

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více