a excentricita e; F 1 [0; 0], T [5; 2], K[3; 4], e = 3.

Transkript

1 Řešené úlohy na ohnisové vlasnosi uželoseče Řešené úlohy onsruce uželosečy z daných podmíne řílad: Sesroje uželoseču, je-li dáno její ohniso F 1, ečna = T s bodem T doyu a excenricia e; F 1 [0; 0], T [5; 2], [3; 4], e = 3. podle zadání sesrojme ohniso F 1 a ečnu = T ; v obrázu jsou pro věší přehlednos následujících onsrucí vynechány souřadnicové osy; přiom předpoládáme osu x vodorovnou s ladným směrem zleva doprava a osu y svislou s ladným směrem shora dolů; naneseme-li edy od ohnisa F 1, eré je v počáu, 5 jednoe vodorovně doprava a odud 2 jednoy svisle dolů, dosaneme se do bodu T [5; 2], analogicy pro bod F 1 T Zpracoval Jiří Doležal 1

2 ze zadání vyplývá, že hledaná uželoseča je elipsa nebo hyperbola (parabola nemá excenriciu); pousme se nají její druhé ohniso F 2 ; nejprve ved me ohnisem F 1 olmici na ečnu, sesrojme její pau a bod souměrně sdružený s ohnisem F 1 podle přímy ; čemu se nám budou body, hodi, uvidíme v dalších rocích F 1 T Zpracoval Jiří Doležal 2

3 vzdálenos ohnise je rovna 2e = 6, a druhé ohniso musí udíž leže na ružnici (F 1, 2e); příma F 1 T (na obrázu není vyažena) je jedním průvodičem bodu T, druhý průvodič je podle Věy 1 s prvním osově souměrný podle ečny, j. druhým průvodičem bodu T je příma T ; druhé ohniso hledané uželosečy musí edy leže aé na přímce T ; průvodič T proíná pomocnou ružnici ve dvou bodech, z nichž en, erý leží v polorovině určené ečnou a ohnisem F 1, označme F2 e a en, erý leží v opačné polorovině, označme F2 h ; při omo onréním zadání bude mí edy úloha dvě různá řešení: elipsu s ohnisy F 1, F e 2 (daná ečna je neodděluje) a hyperbolu s ohnisy F 1, F h 2 (ečna je odděluje) F 1 F h 2 T F e 2 Zpracoval Jiří Doležal 3

4 nejprve doplňme elipsu e: příma o e 1 = F 1 F e 2 je její hlavní osa, sřed S e úsečy F 1 F e 2 je její sřed, erým prochází vedlejší osa o e 2 o e 1; pro délu hlavní poloosy a e plaí a e = F e 2 2 = S e a můžeme a na hlavní ose o e 1 sesroji hlavní vrcholy A e, B e, de A e S e = B e S e = a e ; pro vedlejší vrcholy C, D ležící na vedlejší ose o e 2 pa plaí CF 1 = DF 1 = a e ; na závěr je vhodné doplni hyperosulační ružnice ve vrcholech (v obrázu není provedeno) a vyáhnou výslednou elipsu e, erá má jedno ohniso v daném bodě F 1, doýá se dané přímy = T v jejím daném bodě T a má danou excenriciu e = 3 A e e F 1 C F h 2 S e T D o e 2 F e 2 B e o e 1 Zpracoval Jiří Doležal 4

5 sesrojme druhé řešení hyperbolu h: příma o h 1 = F 1 F h 2 je její hlavní osa, sřed S h úsečy F 1 F h 2 je její sřed, erým prochází vedlejší osa o h 2 o h 1; pro délu hlavní poloosy a h plaí a h = F h 2 2 = S h a můžeme a na hlavní ose o h 1 sesroji vrcholy A h, B h, de A h S h = B h S h = a h ; na závěr je vhodné doplni asympoy u 1 = S h U 1, u 2 = S h U 2 (onsruce bodů U 1, U 2 je parná z obrázu) a vyáhnou výslednou hyperbolu h, erá má jedno ohniso v daném bodě F 1, doýá se dané přímy = T v jejím daném bodě T a má danou excenriciu e = 3 u 1 o h 2 u 2 h U 1 A e e F 1 A h B h S h o h C F h 2 1 U 2 S e T D o e 2 F e 2 B e o e 1 Zpracoval Jiří Doležal 5

6 onsruce paraboly z daných podmíne řílad: Sesroje parabolu, je-li dáno její ohniso F, bod M a ečna = L; F [0; 0], M[4; 4], [ 5; 1], L[1; 5]. podle zadání sesrojme ohniso F, bod M a ečnu = L; body jsou vyneseny podle zadaných souřadnic sejným způsobem jao v předchozím příladě M F L Zpracoval Jiří Doležal 6

7 nejprve ved me ohnisem F olmici na ečnu, sesrojme její pau a bod souměrně sdružený s ohnisem F podle přímy M F L Zpracoval Jiří Doležal 7

8 podle Věy 2 o parabole musí řídicí příma d hledané paraboly procháze bodem ; současně musí pro bod M podle definice paraboly plai F M = Md a řídicí příma d musí edy bý ečnou pomocné ružnice (M, F M ); z bodu lze aové ečny e ružnici vés dvě, označme je d 1 a d 2, příslušné body doyu označme 1 a 2 (sesrojíme je pomocí Thaleovy ružnice nad průměrem M); úloha bude edy při omo zadání mí dvě řešení paraboly p 1, p 2 dané společným ohnisem F a řídicími přímami d 1, d 2 d 1 1 M F d 2 2 L Zpracoval Jiří Doležal 8

9 ohnisem F ved me osu o 1 d 1 paraboly p 1 a označme její pau D 1 = o 1 d 1 ; rovnoběža s osou o 1 vedená bodem proíná ečnu v bodě T 1, erý je bodem doyu hledané paraboly p 1 s danou ečnou = L; příma T 1 d 1 je vlasně jedním z průvodičů bodu T 1 ; analogicy pro parabolu p 2 : pro její osu o 2 je o 2 d 2, F o 2 a bod T 2 doyu s ečnou leží na průvodiči vedeném bodem olmo řídicí přímce d 2 (j. rovnoběžně s osou o 2 ) o 2 d 1 1 M D 1 T 2 F d 2 2 o 1 D 2 L T 1 Zpracoval Jiří Doležal 9

10 na závěr sesrojme vrcholy V 1, V 2 parabol p 1, p 2 jao sředy úseče F D 1, F D 2 a vyáhněme paraboly p 1, p 2, eré mají společné ohniso dané v bodě F, procházejí daným bodem M a doýají se dané přímy = L; pro zajímavos si může zvídavý čenář doplni vrcholové ečny obou řešení, eré by se měly pronou v sesrojeném bodě... o 2 d 1 p 2 1 p 1 M D 1 T 2 V 1 F d 2 2 V 2 o 1 D 2 L T 1 Zpracoval Jiří Doležal 10