BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV FYZIKÁLNÍHO INŽENÝRSTVÍ
|
|
- Květoslava Horáková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV FYZIKÁLNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF PHYSICAL ENGINEERING FYZIKA METAMATERIÁLŮ PHYSICS OF METAMATERIALS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR MARTIN LÁSKA prof. RNDr. PETR DUB, CSc. BRNO 9
2
3 Vysoké učeí techické v Brě, fakulta strojího Ižeýrství Ústav fyzikálího ižeýrství Akademický rok: 8/9 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE studet: Marti Láska který studuje v bakalářském studijím programu obor: Fyzikálí ižeýrství (39R) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákoem c./998 o vysokých školách a se Studijím a zkušebím řádem VUT v Brě určuje ásledující téma bakalářské práce: v aglickém jazyce: Fyzika metamateriálů Physics of Metamaterials Stručá charakteristika problematiky úkolu: Metamateriály připravovaé v posledích letech moderími techologiemi vykazují eobvyklé vlastosti, které emají běžé přírodí materiály. Mezi tyto vlastosti, které otevírají cestu k řadě zajímavých aplikací, patří záporý idex lomu. Porozuměí ovým jevům vyžaduje detailí kritické posouzeí teorie optických vlastostí látek. Cíle bakalářské práce:. Proveďte rešerši o fyzikálích základech metamateriálů a jejich užití.. Proveďte podpůré výpočty vysvětlující využití metamateriálů v oboru viditelého světla v oblasti plasmoiky. 3
4 Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Petr Dub, CSc. Termí odevzdáí bakalářské práce je staove časovým pláem akademického roku 8/9. V Brě, de..8 L.S. prof. RNDr. Tomáš Šikola, CSc. Ředitel ústavu doc. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc. Děka fakulty 4
5 Abstrakt Tato bakalářská práce je věováa elektrodyamice metamateriálů, které mají současě záporou permitivitu a permeabilitu. Je ukázáo, že takové prostředí je popsáo záporým idexem lomu, což má výrazé důsledky v oblasti optiky. Mezi ě patří zejméa opačý lom, který je demostrová simulací iterakce gaussovského moochromatického svazku s prostředím s idexem lomu = v programu COMSOL Multiphysics. Dále je studováo šířeí elektromagetické eergie v tomto prostředí: ejprve je ukázáo, že rychlost šířeí elektromagetické eergie je rova grupové rychlosti, která má opačý směr ež rychlost fázová. Poté jsou zformulováy Freselovy vztahy ve tvaru, který je platý pro kladý i záporý idex lomu. Summary The bachelor work deals with electrodyamics of metamaterials for which both the electric permittivity ad magetic permeability are simultaeously egative. It is show that the double egative media are described by a egative refractio idex which has a importat impact o optics laws. I particular, the egative refractio is demostrated by simulatio of iteractio of the Gauss moochromatic beam impigig o a egative refractive material. Next, the electromagetic eergy propagatio i the egative refractive materials is studied. It is show that the eergy propagatio velocity equals the group velocity, which has the opposite sig tha the phase velocity. Fially, Fresel formulas valid both for positive ad egative refractio idex are give. 5
6 Klíčová slova Elektrodyamika prostředí se záporým idexem lomu, eergie elektromagetického pole v disperzím prostředí, metamateriály, záporá permitivita, záporá permeabilita, záporý idex lomu, Poytigův vektor, grupová rychlost, rychlost šířeí eergie, Freselovy vztahy. Keywords Electrodyamics of egative refractive materials, electromagetic eergy i dispersive media, metamaterials, Left-Haded light, double egative media, egative permittivity, egative permeability, egative idex of refractio, Poytig vector, group velocity, eergy propagatio velocity, Fresel formulas. LÁSKA, M. Fyzika metamateriálů. Bro: Vysoké učeí techické v Brě, fakulta strojího ižeýrství, s. Vedoucí bakalářské práce prof. RNDr. Petr Dub, CSc. Prohlášeí Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci a téma Fyzika metamateriálů vypracoval samostatě pod vedeím prof. RNDr. Petra Duba, CSc. Dále prohlašuji, že veškeré podklady, ze kterých jsem čerpal, jsou uvedey v sezamu použité literatury. Nemám závažý důvod proti užití tohoto školího díla ve smyslu ustaoveí zákoa č. / Sb., včetě možých trestě právích důsledků vyplývajících z ustaoveí 5 trestího zákoa č. 4/96 Sb. V Brě de:.. podpis 6
7 Poděkováí Na tomto místě bych rád poděkoval prof. RNDr. Petru Dubovi, CSc, který moji práci trpělivě pročítal, vedl mě a svými připomíkami apomohl moji práci zkvalitit. Zároveň bych rád poděkoval Ig. Jakubu Zlámalovi, Ph.D., který obohatil moji bakalářskou práci prostředictvím simulačího programu Comsol Multiphysics. Děkuji své rodiě za poskytutí zázemí při studiu a Fakultě strojího ižeýrství a za to, že jsem mohl a této úloze erušeě pracovat. 7
8 8
9 Obsah Úvod Idex lomu 3. Maxwellovy rovice Roviá vla Záporý a kladý idex lomu Sellův záko Šířeí eergie 9 3. Eergie elektromagetického pole v látce Poytigův vektor Rychlosti světla v prostředí... 4 Iterakce vly s rozhraím 5 4. Freselovy vztahy Příklad: rozhraí vakuum prostředí s = Závěr 33 Dodatek A Kramersovy-Kroigovy relace a jejich důsledky 35 Dodatek B Permitivita a permeabilita metamateriálů 39 Literatura 43 9
10
11 Úvod The physics of egative refractive materials ca be extremely couter-ituitive. Stadard otios ad ituitios of electromagetic theory ca be misleadig, ad uexpected situatios arise with the egative refractive materials. This has mostly bee resposible for the iitial severe criticism ad debate as well as the later explosio of research i this area []. Před 4 lety se ruský fyzik V. Veselago [] teoreticky zabýval otázkou, jak by se šířila elektromagetická vla v prostředí, které by mělo jak permitivitu ε, tak permeabilitu současě záporé. V přírodě se však takové látky evyskytují; zatímco permitivita apř. u kovů je ve viditelé oblasti záporá, jejich permeabilita je kladá ( r se eliší příliš od jedé). Veselagova práce se stala podětem k hledáí umělých materiálů (yí azývaých metamateriály), charakterizovaých efektiví permitivitou a efektiví permeabilitou, které by byly a témže frekvečím itervalu současě záporé. Materiály, které by měly ve stejé frekvečí oblasti záporou permitivitu a permeabilitu, lze uměle vyrobit. Základími stavebími kamey těchto metamateriálů ejsou atomy, ale útvary jako jsou teké kovové tyčiky a mikrorezoátory. Takové materiály byly poprvé zkostruováy a koci devadesátých let pro oblast mikrovl (apř. přehledové čláky [] a [3]). V současé době se pomocí aotechologií začíají vyrábět metamateriály pro oblasti ifračerveého až viditelého zářeí [4], [5]. V prostředí, kde ε a jsou současě kladé (double positive media), tvoří vektory E, H, k pravotočivou soustavu, zatímco v prostředí, kde ε a jsou obě záporé (double egative media), je tato trojice E, H, k levotočivá. Proto se takové prostředí ozačuje jako L-materiál (z ag. Left-Haded material ebo také Left-Haded light). L-materiál je také popsá záporým idexem lomu. V předkládaé práci ejprve podrobě pojedáme o idexu lomu, který je dá řešeím rovice = ε. Ukážeme, že je třeba být pečlivý při odmocňováí tohoto výrazu, eboť permitivita ε ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω) a permeabilita ( ω) = ( ω) + i ( ω) jsou komplexí fukce frekvece, jejichž reálé a imagiárí složky jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi, které plyou z kauzality. Následující 3. kapitola je věováa eergii elektromagetického pole v izotropím disperzím prostředí a jejímu šířeí. Především ukážeme souvislost rychlosti šířeí eergie s grupovou rychlostí. Ve 4. kapitole pojedáme ejprve o Freselových vzorcích, které jsou v učebicích optiky a elektrodyamiky uváděy ve tvaru, který je použitelý je pro prostředí, kde ε, a tedy i, jsou současě kladé. Budeme pečlivě sledovat odvozeí Freselových vztahů tak, aby výsledek byl použitelý pro kladý i záporý idex lomu. V druhé části této kapitoly se Nadále budeme permitivitou rozumět relativí permitivitu a budeme ji ozačovat ε bez idexu r (aalogicky pro permeabilitu).
12 budeme zabývat případem, kdy elektromagetická vla dopadá z vakua a prostředí s idexem lomu =. V Dodatku A jsou uvedey Kramersovy-Kroigovy relace a jejich důsledky potřebé pro aše úvahy. Dodatek B je věová permitivitě a permeabilitě metamateriálů.
13 Idex lomu Materiály se záporým idexem lomu přiáší vědcům široké pole působosti. Idex lomu je pro optiku klíčový a z každé jeho změy plyou pro tuto oblast fyziky důsledky. Přitom je myšleka záporého idexu lomu podstatou správé iterpretace fudametálích zákoů optiky.. Maxwellovy rovice Elektromagetické pole v látce je popsáo čtyřmi vektory, itezitou elektrického pole E, elektrickou idukcí D, itezitou magetického pole H a magetickou idukcí B. Tyto vektory pole jsou svázáy Maxwellovými rovicemi D = ρ r, (.) B =, (.) B E =, (.3) t D H = jr +. (.4) t Dále budeme uvažovat prostředí, v ěmž se ebudou vyskytovat volé proudy, a volé áboje ρ =. r j r =,. Roviá vla Základím rysem Maxwellových rovic je, že jejich řešeí lze alézt ve tvaru harmoických roviých vl [ i( ωt k r) ] E, D, H, B ~ exp. (.5) Dosadíme-li rovici (.5) do vztahu (.) až (.4), dostaeme i k D =, (.a) i k B =, (.a) i k E = iωb, (.3a) 3
14 ik H = iωd. (.4a) Dále budeme uvažovat lieárí izotropí prostředí, v ěmž D = ε ε ( )E, (.6) ω B = ( )H, (.7) ω kde permitivita ε = ε (ω) a permeabilita = (ω) závisí a frekveci. Pro permitivitu ε a permeabilitu vakua platí ε = / c. Dosadíme-li (.6) a (.7) do (.a) a (.4a), dostaeme ε ε ( ω) k E, (.b) = k B =, (.b) k E = ωb, (.3b) ω k B = ε ( ω) ( ω) E. (.4b) c Prví dvě rovice (.b) a (.b) vyjadřují, že (pokud ε ( ω) ) pole E a B jsou trasverzálí. Z rovic (.3b) a (.4b) dostaeme jedu rovici pro B a jedu pro E k k E = ω ε ( ω) ( ω) E, k k B = ω ε ( ω) ( ω) B. Protože platí k k E = k( k E) k E, kde vzhledem k (.b) k E =, jsou výsledé rovice ve tvaru k k ω ε ( ω) ( ω) = E, (.8a) c ω ε ( ω) ( ω) = B. (.8b) c Z rovic (.8a,b) plye, že má-li E a B, musí platit ω k = ε ( ω) ( ω), (.9) c 4
15 kde souči relativí permitivity a relativí permeability je kvadrát idexu lomu, = ε ( ω) ( ω). (.) Z rovic (.b) až (.4b) je patré, že trojice E, B, k tvoří pravotočivý systém. Vzhledem k tomu, že prostředí je izotropí, můžeme osy x, y, z volit libovolě. Zvolíme je tedy tak, jak je zázorěo a obr.. Obr. E, B, k tvoří pravotočivý systém. Vyjádříme-li vlový vektor pomocí idexu lomu, pak roviá vla z obr. bude mít tvar z E = E exp iω t. (.) c.3 Záporý a kladý idex lomu Idex lomu vyjádříme z rovice (.) ( ω ) = ε ( ω) ( ω), kde ε (ω) a (ω) jsou obecě komplexí, ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω), kde ε = Re( ε ) a ε = Im( ε ) ε ( ω) = ( ω) + i ( ω), kde = Re( ) a = Im ( ), (.). (.3) Reálé a imagiárí složky jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi, z ichž plye, že s disperzí je spojea absorpce (viz Dodatek A). Imagiárí část permitivity a permeability vyjadřují disipaci eergie v látce, což je charakteristické pro pasiví materiály. Z toho plye (pro časovou závislost exp( iωt) ) [6, s. 74] ε >, >. (.4) 5
16 Opačým případem je eergiově aktiví prostředí (apř. laser), ve kterém dochází k zesíleí eergie a kde platí ε <, <. Reálé části permitivity a permeability mohou přitom být jak kladé tak i záporé. Případem, kdy ε <, což vede k evaescetím vlám, se ebudeme zabývat. Nadále se budeme zabývat případem, kdy ε >. Posledí erovost může astat buď pro a) ε > a >, ebo pro b) ε < a <. Zatímco případ a) charakterizuje běžé optické prostředí, případ b) astává u metamateriálů. Protože ε (ω) a (ω) jsou obecě komplexí fukce, je komplexí i idex lomu ( ω) = ( ω) + i ( ω), kde = Re( ) a = Im( ) Dosadíme-li (.5) za idex lomu do (.), dostaeme výraz E = E ω z exp z exp iω t c c.. (.5) Bez ztráty a obecosti budeme předpokládat, že elektromagetická vla dopadá z vakua zleva a prostředí vyplňující poloprostor z >. Pokud pro z pole emá divergovat, pak musí platit >. (.6) Dosazeím (.) a (.3) do (.) dostaeme = ( ε + iε )( + i ) = ( ε + ε ) + i( ε + ε ), (.7) kde Re ( ) = ( ε + ε ) a Im ( ) = ( ε + ε ) a) ε > a > b) ε < a < je ( ). Tedy pro Im > (viz bod α a obr. ), a je zázorěo body α, α. Im < (viz bod β a obr. ), a je zázorěo body β, β. je ( ) 6
17 Obr. Gaussova rovia pro (body α a β ) a (body α, α a β, β ). Body α, α, α přísluší případu, kdy ε > a >. Body β, β, β přísluší případu, kdy ε < a <. Vzhledem k tomu, že pro imagiárí část idexu lomu má platit podmíka (.6), fyzikálí smysl má v případě a), pro které R ( ) > b), pro které R ( ) < e, ( bod α ), e, ( bod β ). Ve frekvečí oblasti, kde je slabá disipace klademe ε a a a) pro ε > a > dostáváme = + ε, b) pro ε < a < dostáváme = ε. Často se idexem lomu míí je jeho reálá část, tj. R e( ). Detailí studie pro všechy případy kombiací zaméek reálých a imagiárích částí permitivity ε ( ω) a permeability ( ω) je provedea v [7]. 7
18 .4 Sellův záko Sellův záko patří k základím zákoům popisující šířeí vlěí, které přechází z prostředí o idexu lomu do prostředí o idexu lomu. Je důležitou součástí geometrické optiky, kde popisuje lom paprsku světla a obecě elektromagetického zářeí a roviém rozhraí. Sellův záko je vyjádře rovicí siα siα =. (.8) Rovice (.8) zůstává v platosti i pro šířeí elektromagetického zářeí v prostředí o záporém idexu lomu, kdy < (viz obr. 3). Shelby et al. [8] provedli experimet dokazující, že Sellův záko je platý i pro materiály se záporým idexem lomu. Experimet spočíval v měřeí úhlů světelých svazků procházející hraolem vyrobeého z metamateriálu. Z tohoto experimetálího uspořádáí lze určit efektiví idex lomu ef daého materiálu. a) b) Obr. 3 Sellův záko. a) >, > b) >, <. 8
19 3 Šířeí eergie V této kapitole budeme studovat eergii a její šířeí v izotropím disperzím eohraičeém prostředí. Šířeí eergie je charakterizováo rychlostí v E, která je uvedea do souvislostí s grupovou rychlostí v g. 3. Eergie elektromagetického pole v látce Z Maxwellových rovic (.3) a (.4), kde ρ v =, j v =, plye záko zachováí eergie v látce (tzv. Poytigův teorém) D B div S = E + H, (3.) t t kde a levé straě vystupuje Poytigův vektor vyjadřující rychlost přeosu eergie a jedotku plochy, S = E H, (3.) a pravá straa vyjadřuje časovou derivaci hustoty eergie elektromagetického pole u t D B = E + H. (3.3) t t Hustota eergie elektromagetického pole se obvykle vyjadřuje vztahem [9, s. ] u ε ε + = E H. (3.4) Teto vztah zřejmě elze převzít pro prostředí, kde ε < a <, protože potom by byla hustota eergie záporá. Vztah (3.4) lze totiž iterpretovat jako hustotu eergie elektromagetického pole pouze pro prostředí bez disperze. Z Kramersových-Kroigových relací plye, že záporá permitivita a permeabilita utě vyžaduje disperzi. Odvodit vztah, který by vyjadřoval hustotu eergie elektromagetického pole v prostředí s disperzí, eí I the presece of dispersio, o such simple iterpretatio is possible. Moreover, i the geeral case of arbitrary dispersio, the electromagetic eergy caot be ratioally defied as a thermodyamic quatity. This is because the presece of dispersio i geeral sigifies a dissipatio of eergy, i.e. a dispersive medium is also a absorbig medium. [6, s. 7] 9
20 triviálí. Poprvé jej odvodil v roce 9 L. Brilloui. Pro středí hodotu hustoty eergie platí [6, s. 75] d d < u ω >= [ ε ε ( ω) ω] Eω + [ ( ω) ω] H ω, (3.5) dω dω kde před hraatou závorkou vystupuje z důvodu časového středováí. Z termodyamických důvodů musí být středí hodota hustoty eergie kladá. Z Kramersových-Kroigových relací ve frekvečí oblasti, kde je slabá absorpce (tedy daleko od rezoace), plye (viz dodatek A) d dω d dω [ ε ( ω) ω] >, [ ( ω) ω] > (3.6) a tudíž vskutku < u ω > >. Kdybychom euvažovali v rovici (3.5) disperzi, tak d d ( ε εω) = ε ε a ( ω) =. Výsledě by se tedy výraz (3.5) roval středí hodotě dω dω výrazu (3.4). 3. Poytigův vektor Poytigův vektor S popisuje tok eergie a jeho směr udává v každém bodě směr šířeí eergie. V dielektrickém prostředí je Poytigův vektor defiová vztahem (3.). Vyjádřímeli itezitu magetického pole H pomocí magetické idukce B, dostaeme S = E B. (3.7) ( ω) Pro materiály se záporou permeabilitou míří Poytigův vektor a opačou strau, ež je tomu u běžých materiálů. Proto se v literatuře prostředí se současě záporými ε a ozačuje jako L-materiál. L říká, že trojice vektorů levotočivý ortogoálí systém. Na obr. 4 je vidět pravotočivý systém E, B, S tvoří v izotropím prostředí E, B, k a levotočivý systém E, B, S. Poytigův vektor S je v rovié vlě atiparalelí s vlovým vektorem k. Elektromagetická vla se a roviém rozhraí s L-materiálem láme a opačou strau od kolmice ež v běžém materiálu (obr. 5).
21 Obr. 4 Šířeí eergie a fáze v L-materiálech. Poytigův vektor S je v rovié vlě atiparalelí s vlovým vektorem k. a) b) c) d) Obr. 5 Sellův záko. Materiál s kladým idexem lomu > (a) tok eergie, (b) vlový vektor, a materiál se záporým idexem lomu < (c) tok eergie, (d) vlový vektor. 3.3 Rychlosti světla v prostředí V látkovém prostředí se defiují tři rychlosti: fázová rychlost a rychlost šířeí eergie v E. Fázová rychlost je dáa vztahem v f, grupová rychlost v g c v f = ω =, (3.8) k kde je idex lomu, o kterém bylo pojedáváo v kap..3.
22 Grupová rychlost je dáa vztahem kde dω v g = = d k c g, (3.9) g = + ω (3.) ω je grupový idex lomu [, s. 5]. Rychlost šířeí elektromagetické eergie je v izotropím prostředí rovoběžá s Poytigovým vektorem a pro její velikost platí [, s. 5] S v E =, (3.) < > u ω kde S vyjadřuje velikost středí hodoty Poytigova vektoru a < u ω > je středí hodota hustoty eergie daá vztahem (3.5). Ve výrazech pro Poytigův vektor a hustotu eergie vystupuje itezita elektrického pole E a itezita magetického pole H. Tyto veličiy jsou v rovié vlě svázáy rovicemi (.3b) a (.4b), z ichž plye ε ε ( ω) H ω = E ω. (3.) ( ω) Pomocí (3.) upravíme výraz pro středí hodotu Poytigova vektoru (3.) ε ε ( ω) ( ω) ε ( ω) ε ( ω) ( ω) ( ω) S = Eω = Eω = c ε ( ω) ( ω) ( ω) E ω, (3.3) kde opět vystupuje z důvodu časového středováí. Klíčové je správě odmocit výraz ( ω) ( ω) / ( ω), aby výsledek byl platý eje pro kladé ε ( ω) a ( ω) ε současě záporé hodoty. Obecě platí ε ( ω) ( ω) = = ( ω) ( ω) ( ω) >, ale i pro jejich, (3.4) protože a) pro ε ( ω) > a ( ω) > b) pro ε ( ω) < a ( ω) < je = + je = a ( ω) ( ω) =, =. a ( ω) ( ω)
23 Dosazeím (3.4) do (3.3) získáme S = Eω. (3.5) c ( ω) Nyí se věujme středí hodotě hustoty eergie. Rovici (3.5) můžeme pomocí vztahu (3.) upravit do tvaru u ω ( ω) ε ( ω) + ω ( ω) ( ω) ε = ε ε ( ω) ω ω Eω 4 + ω. (3.6) Derivací se přesvědčíme, že platí ( ) [ ω ε ( ω) ( ω) ] = ε ( ω) ( ω) ε ( ω) + ω ( ω) ε + ω ω ω ω ω Protože ε =, lze výraz (3.7) upravit do podoby ( ω) ω. (3.7) g c ( ω ε ) = ( ω ) = ω + ω = =, (3.8) ω ω ω ω ω ω vg kde jsme přihlédli k rovici (3.) defiující grupový idex lomu dostaeme koečou podobu výrazu pro hustotu eergie g. Po těchto úpravách u ω ε ε c g = Eω = Eω. (3.9) ( ω) ( ω) vg Středí hodota hustoty eergie je kladá. To vyžaduje, aby ω platilo >, a) pro ( ) > b) pro ( ) < g ω platilo <. g Tyto erovosti vyplývají z Kramersových-Kroigových relací (viz Dodatek A). 3
24 Obr. 6 Grupová a fázová rychlost v materiálu vykazující současě záporé ε a. Dosazeím za S z rovice (3.5) a za u ω z rovice (3.9) do defiice rychlosti šířeí eergie (3.) dostaeme v E = v g. (3.) Grupová rychlost tedy určuje rychlost šířeí eergie, která má u L-materiálů opačý směr ež fázová rychlost (3.8), viz obr. 6. Zdůrazěme, že všechy výše uvedeé vztahy byly odvozey pro slabou absorpci, mimo oblast rezoace 3. 3 V oblasti rezoace může být grupová rychlost záporá, ale i větší ež rychlost světla. Grupová rychlost v této oblasti emá výzam šířeí eergie []. 4
25 4 Iterakce elektromagetické vly s rozhraím V této kapitole budeme studovat iterakci elektromagetické vly s rozhraím. Nejprve kriticky posoudíme Freselovy vztahy a uvedeme je ve tvaru platém pro kladý i záporý idex lomu. Poté budeme studovat rozhraí vakuum-prostředí se záporým idexem lomu =, kdy všecha eergie prochází a žádá se eodráží zpět. 4. Freselovy vztahy Dopadá-li elektromagetická vla a materiálové rozhraí, část dopadajícího zářeí se láme, šíří se do prostředí, a část se odráží. Je-li rozhraí rovié a rozlehlé, pak ze symetrie plye, že tečé složky vlových vektorů všech vl jsou stejé. Pouze jejich složka z se měí v závislosti a idexu lomu. Z toho dostaeme Sellův záko, o kterém bylo pojedáo v čl. ( r ) ( i) ( t ) ( i).4. K získáí amplitudy odražeé vly r = E / E a amplitudy lomeé vly t = E / E, kde ( i) ( r ) ( t) E, E, E jsou pořadě itezity elektrického pole dopadající, odražeé a lomeé vly, musíme v místě materiálového rozhraí ( z = ) využít okrajové podmíky požadující spojitost tečých složek itezit E t a H t. V případě izotropího prostředí lze řešit odděleě (i) (i) případ S-polarizace, E je kolmé k roviě dopadu, a P-polarizaci, E leží v roviě dopadu. Výklad Freselových vztahů je uvede ve všech učebicích optiky a elektromagetismu. V kize Elektrodyamika kotiua od L. D. Ladaua [6, p. 95] jsou Freselovy vztahy odvozey pro =, což je pro áš případ epoužitelé. Jiý přístup k řešeí problému volí Obr. 7 Iterakce rovié elektromagetické vly s izotropím homogeím (eabsorbujícím) prostředím s kladým idexem lomu (S-polarizace). Tok eergie je vyjádře Poytigovým vektorem S (červeá barva). 5
26 ve své kize Classical Electrodyamics J. D. Jackso [, kap. 7], který přímo s počítá. Jackso ale akoec provádí algebraické úpravy platé je pro >. O Freselových vztazích, které by byly platé i pro záporý idex lomu, eí v literatuře soustavěji pojedáo, a proto se jimi budeme zabývat pro kladý i záporý idex lomu 4. S-polarizace Ze spojitosti E t v roviě rozhraí ( = ) z plye E + E = E (4.) ( i) ( r) ( t) x x x a ze spojitosti H t ( i) ( r) ε ( t) ( E ) θ E cosθ = ε E x x cos x, (4.) kde byla užita rovice (.3a). Z rovic (4.) a (4.) plye ε ε ε ε cosθ cosθ cosθ cosθ ( r) E x r s = = =, ( i) (4.3) Ex ε ε ε ε cosθ + cosθ cosθ + cosθ kde dle Sellova zákoa (.8) cosθ si θ = ( / ). (4.4) Poěvadž pro kladé i záporé platí (3.4), tj. ε =, rovici (4.3) můžeme upravit do podoby 5 r s cosθ ( / ) si θ =, (4.5) cosθ + ( / ) si θ 4 Při výpočtech byl sledová postup uvedeý v []. 5 Pro všechy případy uvažujme, že θ < θ m, kde θ m je mezí úhel. 6
27 Obr. 8 Iterakce rovié elektromagetické vly s izotropím homogeím (eabsorbujícím) prostředím se záporým idexem lomu (S-polarizace). Tok eergie je vyjádře Poytigovým vektorem S (červeá barva). která je platá pro kladý i záporý idex lomu. Jackso provedl úpravu, která platí je pro kladý idex lomu, a proto jako Freselův vztah uvádí rovici (viz (7.39) v []) r s cosθ si θ =. (4.6) cosθ + si θ Je zřejmé, že pokud bude, čitatel v (4.6) bude větší ež jmeovatel a r >, což eí fyzikálě možé. < s Pro koeficiet propustosti t = + r pak platí s s ( t) cosθ E y ts = = ( i) (4.7) E y cosθ + ( / ) si θ Koeficiet propustosti platý pouze pro kladý idex lomu zí (viz (7.39) v []): cosθ t s =. (4.8) cosθ + si θ 7
28 8 P-polarizace Pro úplost uvedeme Freselovy vztahy pro p-polarizaci (které jsem vypočetl) platé pro kladý i záporý idex lomu: si ) / ( cos si ) / ( cos θ θ θ θ r p + =, (4.9) si ) / ( cos cos θ θ θ t p + =. (4.) V Jacksoově učebici alézáme Freselovy koeficiety ve tvaru (viz (7.4) v []) si cos si cos θ θ θ θ r p + =, (4.) si cos cos θ θ θ t p + =, (4.) které jsou platé pouze pro >.
29 4. Příklad: rozhraí vakuum prostředí s =. Vše, co bylo doposud řečeo, ázorě objasíme a příkladu, kdy dopadá elektromagetická vla z vakua = a prostředí se záporým idexem lomu =, kdy edochází k odrazu (viz (4.6), (4.9)). Nejprve uvažujme kolmý dopad rovié moochromatické vly. V tomto případě E a H leží v roviě rozhraí ( z = ), a proto jsou spojité. Z defiice Poytigova vektoru S = E H tedy ihed plye, že platí S = S, zatímco pro vlové vektory platí k = k (viz obr. 9), idex ozačuje vakuum a idex prostředí s idexem lomu =. Obr. 9 Šířeí elektromagetické vly z prostředí s = do prostředí s = (kolmý dopad). Při šikmém dopadu svazku z vakua a materiálové rozhraí astává lom. Na obr. je řeše problém lomu gaussovského moochromatického svazku dopadajícího pod úhlem 3 a prostředí s idexem lomu =. Svazek měl vlovou délku,5 m a byl polarizovaý kolmo k roviě dopadu. Je vidět, že fáze vly se šíří opačým směrem ež Poytigův vektor S. 9
30 a) b) c) d) Obr. Demostrace opačého lomu. Byl řeše stacioárí D problém lomu gaussovského moochromatického svazku dopadajícího pod úhlem 3 z vakua a prostředí se záporým idexem lomu. Svazek měl vlovou délku,5 m a byl polarizovaý kolmo k roviě dopadu zaostřeý a rozhraí materiálů (miimálí poloměr ve waistu m). Obrázky a) až d) zázorňují lom elektromagetické vly v časových itervalech odpovídající posuvu o 4 vlové délky. Je vidět, že fáze vly v oblasti s = se šíří opačým směrem ež Poytigův vektor S, který je zázorě šipkami. Vedle obrázku je vždy zázorěa stupice vyzačující itezitu elektrického pole. V obrázcích jsou a horizotálích (x) a vertikálích (z) osách rozměry oblasti v metrech. Vertikálí osa je kolmá a roviu rozhraí. V horí části každého obrázku (z > ) je kladý idex lomu = a ve spodí části (z < ) je záporý idex lomu = a = ε =. Obrázky byly získáy pomocí RF (radiofrequecy) modulu programu COMSOL Multiphysics. (Výpočty provedl J. Zlámal). 3
31 Obr. Materiál s = láme světelé paprsky a opačou strau od kolmice, ež je tomu u běžých materiálů. Světlo, které vychází z bodového zdroje v předmětové roviě (pro l < d), je fokusováo uvitř destičky a ásledě i v obrazové roviě. Obraz vziká ve vzdáleosti d od objektu (upraveo dle []). Zajímavá situace astává v případě, kdy máme vrstvu se záporým idexem lomu umístěou ve vakuu. Obr. demostruje případ dvojitého rozhraí, kdy je vitří vrtsva s idexem lomu = a = ε = obklopea vakuem. Veškerá eergie destičkou prochází a žádá její část se eodráží zpět. Lze vidět, že paprsky vycházející z bodového zdroje v předmětové roviě jsou dvakrát lámáy a fokusováy. Poprvé uvitř destičky a podruhé v obrazové roviě. Poprvé detailě teoreticky popisuje tuto superčočku J. B. Pedry [3]. Teto fokusující prvek eí čočkou v běžém slova smyslu, protože apř. efokusuje paprsky z ekoeča. Zatím se hledají možosti realizace těchto superčoček. Limitujícím faktorem realizace superčoček je jejich vlastí výroba. Je jedoduché provádět simulace a výpočty, ale samoté experimety jsou velmi áročé. Pedry opět přišel s myšlekou z roku 6, že by metamateriály mohly lámat světlo kolem daého objektu a tím jej udělat pro lidské oko eviditelým. Moho vědců yí pracuje a vývoji metamateriálových struktur, které by vykazovaly tyto požadovaé vlastosti. Jak je vidět z dřívějších prací, realizace superčoček má výzamé praktické využití. Vyrobit je je opravdu velmi jedoduché, říká Pedry. Je je otázkou udělat to správě [5]. 3
32 3
33 5 Závěr V této bakalářské práci byly provedey podrobé výpočty a byla věováa pozorost místům, kde v elektrodyamice a optice dochází k odlišostem metamateriálů od běžých materiálů. Výpočty vyžadují v těchto místech zvýšeou obezřetost. Z Maxwellových rovic pro lieárí izotropí prostředí byl v prví kapitole odvoze vztah pro idex lomu = ε ( ω) ( ω). Detailě jsme poukázali a problematiku jeho odmocňováí, které může vést k záporé hodotě. Podstaté je, že záporý idex lomu lze získat pouze pro určitou frekvečí oblast, ve které jsou permitivita ε a permeabilita současě záporé. Je to důsledek kauzality, z íž plyou Kramersovy-Kroigovy relace, které svazují reálé a imagiárí části permitivity a permeability. Dále jsme studovali šířeí eergie v eohraičeém izotropím disperzím prostředí. Bylo detailě ukázáo, že v oblasti mimo rezoaci se grupová rychlost v g rová rychlosti šířeí elektromagetické eergie v E, která má opačý směr ež rychlost fázová. Freselovy vztahy jsme podrobili kritice a jejich odvozeí jsme věovali pozorost tak, aby výsledek byl platý pro kladý i záporý idex lomu. Na závěr jsme se zabývali šířeím eergie tekou vrstvičkou s = obklopeou vakuem. To by mohlo alézt využití apř. u tzv. superčoček [3], [5]. Materiály se záporým idexem lomu ám kladou otázku, do jaké míry lze v optice a oblastech aplikací převzít vztahy běžé elektrodyamiky. Lze pro všechy případy formálě ahradit? Odpověď zí: elze. Zatímco Sellův záko se zachovává, Poytigův vektor S je zde atiparalelí s vlovým vektorem k, což má za ásledek, že se grupová rychlost šíří v opačém směru ež rychlost fázová. Využití metamateriálů v celé oblasti frekvečího spektra přiáší do budouca moho možostí. Nicméě tato problematika vyžaduje ještě moho úsilí. Praktické aplikace budou požadovat ízkozrátové materiály, což je velká výzva pro materiálové desigéry. 33
34 34
35 Dodatek A Kramersovy-Kroigovy relace a jejich důsledky Odezva a podmět ( t ) F i v lieárím prostředí je dáa vztahem Fout ( t) = dt G( t t ) Fi ( t ). (A) Při iterakci elektromagetického zářeí s prostředím je podmětem ( t ) F i itezita elektrického pole E (respektive itezita magetického pole H ) a odezvou F out (t) je elektrická idukce D (respektive magetická idukce B ). Vzhledem ke kauzalitě pro odezvovou fukci platí: ( t t ) = g pro t > t. (A) Tato podmíka zásadím způsobem určuje chováí permeability a permitivity: platí pro ě Kramersovy-Kroigovy relace [6], které se odvozují pomocí teorie komplexích fukcí. Fourierovou trasformací (A) dostaeme ( ω) F ( ω) F ( ω) = G, (A3) out i kde out (ω) F i ω jsou pořadě Fourierovy obrazy (t) trasformace odezvové fukce, F, ( ) G ( ω) dτ G( τ ) exp( iωt) =. F out, F i ( t ) a ( ω) G je Fourierova G permitivita,. Reálé a imagiárí části V elektromagetismu je Fourierova trasformace odezvové fukce ( ω) ε ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω) a permeabilita ( ω) = ( ω) + i ( ω), kde ε ( ω) = Re( ε ( ω) ) ε ( ω) = Im( ε ( ω) ), ( ω) = Re( ( ω) ), ( ω) = Im( ( ω) ) permitivity ε ( ω) a permeability ( ω) jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi ( ω) ε ε ( ω) = P dx, (A4a) π x ω - ( ω) ε ε ( ω) = P dx, (A4b) π x ω - 35
36 ( ω) ( ω) = P dx, (A5a) π x ω - ( ω) ( ω) = P dx, (A5b) π x ω - kde P vyjadřuje hlaví hodotu itegrálu. Ve frekvečí oblasti, kde je slabá absorpce, vychází z Kramersových-Kroigových relací podstaté erovosti [6, s. 8] d dω ( ε ( ω) ω) >, (A6a) d dω ( ( ω) ω) >. (A6b) Tyto erovosti jsou důležité pro diskusi středí hodoty hustoty eergie u ω (viz odst. 3.5). S užitím (A6a,b) také dokážeme, že a) pro ε ( ω) >, ( ω) > b) pro ε ( ω) <, ( ω) < je >, g je <. g Důkaz: Nerovici (A6a) vyásobíme a erovici (A6b) vyásobíme ε a obě erovosti sečteme. Pro ε > a > dostaeme d ε ( εω) = ω + ε >, (A7a) dω ω d ε ( ω) = ωε + ε >, (A7b) dω ω zatímco proε < a < dostaeme d ε ( εω) = ω + ε <, (A8a) dω ω d ε ( ω) = ωε + ε <. (A8b) dω ω 36
37 37 Rovice (A7a) a (A7b), resp. rovice (A8a) a (A8b) sečteme a po úpravách dostaeme < > = + = + = + + g ω ω ω ω ε ω ε ω ε ω, (A9) kde horí erovost platí pro > ε a > (kdy i > ) a spodí erovost platí pro < ε a < (kdy i < ). Z relace (A9) také plye, že g je vždy kladé. Zdůrazěme, že výše uvedeé vztahy byly odvozey pro slabou absorpci, mimo oblast rezoace.
38 38
39 Dodatek B Permitivita a permeabilita metamateriálů Permitivita ε ( ω) = ε ( ω) + i ε ( ω) a permeabilita ( ω) ( ω) + ( ω) elektrické a magetické vlastosti materiálů. Jejich imagiárí části ε ( ω) a ( ω) = i charakterizují popisují ztráty v prostředí a jsou vždy kladé; jiak by při průchodu elektromagetické vly materiálem došlo k jejímu zesíleí, což je možé apř. u laseru. Reálé části permitivitty ε ( ω) a permeability ( ω) mohou být kladé i záporé. Dvojice ε ( ω), ε ( ω) a ( ω), ω jsou svázáy Kramersovými-Kroigovými relacemi, které plyou z kauzality. ( ) U běžě se vyskytujících materiálů elze dosáhout ve viditelé frekvečí oblasti současě záporé reálé části permitivity a permeability. Materiály, které vykazují záporou permitivitu ve frekvečí oblasti viditelého spektra, jsou apř. kovy (stříbro, hliík), jejichž komplexí permitivitu lze vyjádřit z Drudeho modelu [4, s. 93]. ωp ε ( ω) = ε ( ω) + iε ( ω) =, (B) ω ω ( + iγ ) kde ω p e = (B) m ε e je plasmová frekvece, a γ 3 s - je tlumeí. 9 m -3 je kocetrace elektroů, m e je hmotost elektrou Materiály, které by ve stejé frekvečí oblasti měly permitivitu a permeabilitu současě záporou, lze uměle vyrobit. Základími stavebími kamey těchto metamateriálů ejsou atomy, ale útvary jako jsou teké kovové tyčiky a mikrorezoátory (obr., 3). Metamateriál lze považovat za kotiuum, a tedy jej lze popisovat pomocí efektiví permitivity a efektiví permeability, v případě zářeí s vlovými délkami λ >> a, kde a je rozměr základí buňky metamateriálů (vzdáleosti drátků ebo rozměr mikrorezoátorů). Nejprve byly zkostruováy metamateriály pro oblasti mikrovl a v současé době se pomocí aotechologií začíají vyrábět metamateriály pro oblasti ifračerveého až viditelého zářeí [4], [5]. Jako příklad prostředí se záporým idexem lomu uvedeme materiál, který zkostruoval v roce David R. Smith pomocí kombiace pole drátků (se záporou permitivitou) spolu s polem štěrbiových rezoátorů (se záporou permeabilitou), viz obr. 4. Metamateriál se záporou efektiví permitivitou, již lze vyjádřit pomocí Drudeho modelu, je vytvoře ze stejých periodicky uspořádaých kovových drátků (viz obr. ). V tomto případě je ve výrazu pro plasmovou frekveci (B) kocetrace elektroů ahrazea efektiví elektroovou kocetrací ef r π =, (B4) a 39
40 Obr. Materiál se záporou permitivitou: systém periodicky uspořádaých hliíkových drátků [, s. 3]. Obr. 3 Materiál se záporou permeabilitou: systém štěrbiových rezoátorů [3]. a) b) Obr. 4 a) Struktura metamateriálu zkostruovaého z pole drátků a štěrbiových rezoátorů [3]. b) Struktura štěrbiových rezoátorů v měděém obvodu spojeá s měděými drátky vykazující současě záporou permitivitu a permeabilitu. Struktura má a výšku cm []. 4
41 kde r je poloměr drátku a a je rozměr buňky, a hmotost elektrou je ahrazea efektiví hmotostí m ef, která je určea vlastí idukčosti tyčiky. Frekvečí závislost efektiví permitivity takového materiálu je a obr. 5. Pro hliíkové drátky s r = m a a = mm leží. Tato oblast je zajímavá proto, že pro i lze z mikrorezoátorů o rozměrech řádově v desítkách mikrometrů vytvořit metamateriál se záporou permeabilitou. efektiví plasmová frekvece v oblasti mikrovl ( GHz) Vyrobit prostředí se záporou permeabilitou je mohem áročější. Prví ávrh pochází od J. Pedryho z roku 999 []. Materiály se záporou permeabilitou zahrují feromagetické systémy opakujících štěrbiových rezoátorů, viz obr. 3. Permeabilitu takového materiálu lze popsat Lorezovým modelem ω) = ( ω) + i ( ω) ( ef ef ef Fω =, (B3) ω ω + iωγ kde F vyjadřující stupeň zaplěí buňky materiálem je aalogií síly oscilátoru, ω je resoačí frekvece v oblasti mikrovl, a Γ je tlumeí. Frekvečí závislost efektiví permeability takového materiálu je a obr. 5. Obr. 5 Frekvečí závislost efektiví permitivity a permeability metamateriálu. Permitivita je popsáa Drudeho modelem (B) s plasmovou frekvecí ω a permeabilita Lorezovým modelem (B3), kde resoačí frekvece ω =, ω a síla oscilátoru F =, 56. Barevě je 4 vyzačea oblast, kde jsou permitivita a permeabilita současě záporé. p p 4
42 4
43 Literatura [] Ramakrisha S. A.: Physics of egative refractive idex materials. Rep. Prog. Phys. 68 (5) 449. [] Veselago V. G.: The electrodyamics of substaces with simultaeously egative values of ε ad. Sov. Phys. Usp. (968) 59. [3] Pedry J. B., Smith D. R.: Reversig light with egative refractio. Phys. Today, Jue 4, 37. [4] Shalaev V. M.: Optical egative-idex metamaterials. Nature Photoics (7) 4. [5] Lezec H. J. et al.: Negative refractio at visible frequecies. Sciece 36 (7) 43. [6] Ladau L. D., Lifšic J. M, Pitajevskij L.P.: Electrodyamics of Cotiuous Media (d ed.), Butterworth-Heiema,. [7] Ramakrisha S. A., Marti O. J. F.: Resolvig the wave vector i egative refractive idex media. Optics Letters 3 (5) 66. [8] Shelby R.A., Smith D. R., Schultz S.: Experimetal verificatio of a egative idex of refractio. Sciece 9 () 77. [9] Kvasica J.: Teorie elektromagetického pole, Academia, Praha 985. [] Miloi P. W.: Fast light, Slow Light ad Left Haded Light (Series i Optics ad Optoelectroics), IOP Publ., Bristol-Philadelphia 5. [] Jackso J.D.: Classical Electrodyamics, (3rd ed.), J. Wiley, 999. [] Pedry J. B.: Negative refractio. Cotem. Phys. 45 (4) 9. [3] Pedry J. B.: Negative Refractio Makes a Perfect Les. Phys. Rev. Lett. 85 () [4] Kittel Ch.: Úvod do Fyziky pevých látek, Academica, Praha, 985. [5] Brumfield G.: Ideal focus. Nature 459 (9)
23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
VíceInterakce světla s prostředím
Iterakce světla s prostředím světlo dopadající rozptyl absorpce světlo odražeé světlo prošlé prostředím ODRAZ A LOM The Light Fatastic, kap. 2 Light rays ad Huyges pricip, str. 31 Roviá vla E = E 0 cos
VíceGeometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
VíceGeometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceFYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla
Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceInterference. 15. prosince 2014
Iterferece 15. prosice 014 1 Úvod 1.1 Jev iterferece Mějme dvě postupé vly ψ 1 z,t) = A 1 cosωt kz +ϕ 1 ) a ψ z,t) = A cosωt kz +ϕ ). Uvažujme yí jejich superpozici ψ = ψ 1 +ψ a podívejme se, jaká bude
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU
ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceInovace předmětu K-Aplikovaná fyzika (KFYZ) byla financována z projektu OPVK Inovace studijních programů zahradnických oborů, reg. č.
Iovace předmětu K-Aplikovaá fyzika (KFYZ) byla fiacováa z projektu OPVK Iovace studijích programů zahradických oborů, reg. č.: CZ..07/..00/8.00 Připravil: Roma Pavlačka K-Aplikovaá fyzika Optika a zářeí
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceIV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...
IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceGRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components
Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu
2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceJednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )
5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY
Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia
Více2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE
STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VíceÚstav fyzikálního inženýrství Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně GEOMETRICKÁ OPTIKA. Přednáška 10
Ústav yzikálího ižeýrství Fakulta strojího ižeýrství VUT v Brě GEOMETRICKÁ OPTIKA Předáška 10 1 Obsah Základy geometrické (paprskové) optiky - Zobrazeí cetrovaou soustavou dvou kulových ploch. Rovice čočky.
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN
8 11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN Měřicí potřeby: 1) Guova dioda s vysílací trychtýřovou atéou ) apájecí zdroj pro Guovu diodu 3) přijímací atéa 4) polovodičová dioda
Vícestručná osnova jarní semestr podzimní semestr
Brýlová optika stručá osova jarí semestr základy geometrické optiky pro brýlovou optiku Gullstradovo schématické oko, další modely, otoreceptory oka, vizus, optotypy myopie, hypermetropie, aakie a jejich
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
Více3 - Póly, nuly a odezvy
3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Vícestručná osnova jarní semestr podzimní semestr
Brýlová optika stručá osova jarí semestr základy geometrické optiky pro brýlovou optiku Gullstradovo schématické oko, další modely, otoreceptory oka, vizus, optotypy myopie, hypermetropie, aakie a jejich
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceLaboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:
ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY)
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.mui.cz, Kameice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Istitut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE
Více1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI
1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,
Více2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí
. Měřeí základích optických vlastostí materiálů idex lomu a disperze propustost, absorpce kvalita optických prostředí .1. Měřeí idexu lomu a disperze Sellmeierův vztah i ( ) = 1+ i B C i Coruův vzorec
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VícePrůchod paprsků různými optickými prostředími
Průchod paprsků růzými optickými prostředími Materiál je urče pouze jako pomocý materiál pro studety zapsaé v předmětu: A4M38VBM, ČVUT- FEL, katedra měřeí, 05 Před A4M38VBM 05, J. Fischer, kat. měřeí,
VíceKABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely
KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE
ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceKomplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1
Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,
Vícesin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu
MĚŘENÍ INDEXU LOMU REFRAKTOMETREM Jedou z charakteristických optických veliči daé látky je absolutím idexu lomu. Je to podíl rychlosti světla ve vakuu c a v daém prostředí v: c (1) v Průchod světla rozhraím
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceMěření indexu lomu pevných látek a kapalin refraktometrem
F Měřeí idexu lomu pevých látek a kapali refraktometrem Úkoly : 1. Proveďte kalibraci refraktometru 2. Změřte idex lomu kapali 1-3 3. Změřte idex lomu ezámých vzorků optických skel Postup : 1. Pricip měřeí
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
VícePříklady k přednášce 12 - Frekvenční metody
Příklady k předášce 1 - Frekvečí metody Michael Šebek Automatické řízeí 018 8-3-18 Frekvečí charakteristika OL a mez stability CL Pro esoudělý OL přeos Ls () platí: 1) Je-li s C pól CL, pak 1 + Ls () =
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceZáklady optoelektroniky
Optoelektroika Základy optoelektroiky O možosti přeosu iformace optickým sigálem se začalo uvažovat až po vyviutí a zdokoaleí kvatových geerátorů světla. Jaké zvláští vlastosti má zářeí kvatových geerátorů
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceODRAZ A LOM SVTLA. Odraz svtla lom svtla index lomu úplný odraz svtla píklady
ODRAZ A LOM SVTLA Odraz svtla lo svtla idex lou úplý odraz svtla píklady Každý z Vás se urit kdy díval do vody. Na klidé vodí hladi vidl kro svého obrazu také kaey ebo písek a d. Na základí škole jste
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY
DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
Více2,3 ČTYŘI STANDARDNÍ METODY I, ČTYŘI STANDARDNÍ METODY II
2,3 ČTYŘI STADARDÍ METODY I, ČTYŘI STADARDÍ METODY II 1.1.1 Statické metody a) ARR - Average Rate of Retur průměrý ročí čistý zisk (po zdaěí) ARR *100 % ( 20 ) ivestic do projektu V čitateli výrazu ( 20
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VícePaedDr. Jozef Beňuška ODRAZ A LOM SVĚTLA aneb Zákony při průchodu světla rozhraním
PaedDr. Jozef Beňuška jbeuska@extra.sk ODRAZ A LOM SVĚTLA aeb Zákoy při průchodu sětla rozhraím Vlěí, jež dopadá a rozhraí dou prostředí se může: - odrazit od rozhraí, - projít do druhého prostředí. Odraz
Více3. Sekvenční obvody. b) Minimalizujte budící funkce pomocí Karnaughovy mapy
3.1 Zadáí: 3. Sekvečí obvody 1. Navrhěte a realizujte obvod geerující zadaou sekveci. Postupujte ásledově: a) Vytvořte vývojovou tabulku pro zadaou sekveci b) Miimalizujte budící fukce pomocí Karaughovy
VícePostupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí
Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Více5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.
5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!
Více