MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu"

Transkript

1 MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu 4 4. Laplaceova rovnice 4 5. Rovnice vedení tepla 8 6. Vlnová rovnice 9 7. Fourierova metoda Parciální diferenciální rovnice obecně 1.1. Úvodní poznámky. Parciální diferenciální rovnice jsou rovnice, v nichž hledáme funkci u na základě daného vztahu mezi jejími parciálními derivacemi. Řešení úlohy z parciálních diferenciálních rovnic jde málokdy spočítat přesně, účinnější jsou numerické metody. Parciální diferenciální rovnici většinou řešíme uvnitř nějaké otevřené množiny, přičemž na hranici této množiny zpravidla uvažujeme dodatečné tzv. okrajové podmínky. V aplikacích jsou nejdůležitější rovnice druhého řádu, tj. rovnice, kde se vyskytují parciální derivace druhého a nižších řádů. Derivace funkcí a tím i splnění rovnic budeme často chápat ve smyslu distribucí. Chceme-li zdůraznit, že rovnice jsou splněny tak, že derivace vyskytující se v zadání rovnice skutečně existují, jsou spojité a rovnice je splněna jako identita mezi funkcemi, mluvíme o klasickém řešení. V kapitolách o parciálních diferenciálních rovnicích budeme pracovat s reálnými (tj. nikoli komplexními) funkcemi.. Kvaazilineární rovnice prvního řádu.1. Obecný tvar rovnice. Nechť R n je otevřená množina a f, a i : R R jsou spojité funkce. Označme a = (a 1,..., a n ). Řešením rovnice (1) a u = f budeme rozumět spojitě diferencovatelnou funkci u : R, která splňuje a i (u(x), x) (x) = f(u(x), x), x. x i.. Charakteristiky. Uvažujme řešení u rovnice (1). Křivka γ : (α, β) se nazývá charakteristika k danému řešení u, jestliže splňuje soustavu obyčejných diferenciálních rovnic () γ i(t) = a i (u(γ(t)), γ(t)), i = 1,..., n. Pokud koeficienty nezávisí na nulté proměnné, do níž se dosazuje u (to je tzv. lineární případ), pak charakteristiky nemusíme vztahovat ke konkrétnímu řešení, ale jen k rovnici (1) samotné. Uvažujme ještě soustavu n + 1 diferenciálních rovnic o neznámé ϕ = (ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ n ) : (α, β) R, totiž { ϕ 0 (t) = f(ϕ(t)), (3) ϕ i(t) = a i (ϕ(t)), i = 1,..., n. Budeme značit ˆϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ). K řešení úlohy (1) je užitečná následující věta..3. Věta. Nechť u je řešení úlohy (1) na a γ je charakteristika k u. Potom (u γ, γ) řeší (3). 1

2 Důkaz. Podle pravidla o derivování složené funkce platí (u(γ(t))) = (γ(t))γ (t) = x i = Je tedy splněna první z rovnic (3), druhá je zřejmá. x i (γ(t)) a i ( u(γ(t)), γ(t) ) = f(u(γ(t)), γ(t))..4. Metoda. Věta.3 nám dává návod, jak hledat řešení rovnici (1). Předpokládejme, že data a, f jsou spojitě diferencovatelná. Najdeme řešení ϕ soustavy (3) a označme ˆϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ). Existuje-li spojitě diferencovatelné řešení u rovnice (1) tak, že u( ˆϕ(t 0 ))) = ϕ 0 (t 0 ) a je-li γ charakteristika k u, která prochází bodem ˆϕ(t 0 ), pak t ( u(γ(t)), γ(t) ) je druhé řešení soustavy (3) se stejnou počáteční podmínkou a podle věty o jednoznačnosti máme ˆϕ = γ, u( ˆϕ(t)) = ϕ 0 (t). Tím dostaneme řešení podél charakteristiky. Snažíme se pokrýt takovými charakteristikami a tak zkonstruovat řešení. O úspěšnosti pokusu rozhodne zkouška, tj. dosazení nalezené funkce u do rovnice (1). Obvykle k rovnici (1) máme danou nějakou počáteční podmínku ve tvaru (4) u(x) = η(x), x Γ, kde Γ je daná množina a η : Γ R je daná funkce. V tom případě při hledání řešení přizpůsobujeme počáteční podmínky pro ϕ úloze (4). Z příkladů bude patrné, že ne vždy se nám podaří najít řešení na tak velkém definičním oboru, jak by napovídalo zadání..5. Příklad. Uvažujme rovnici (5) y x x y = 0 na R. Buď Γ = {(x, y) R : y = 0}. Uvažujme počáteční podmínku (6) u(x, 0) = g(x) = x, (x, y) Γ. Řešme soustavu rovnic pro funkce x, y, z proměnné t: Řešení najdeme ve tvaru Nabízí se, že daná úloha (5), (6) bude mít řešení x = y, x(0) = r, y = x, y(0) = 0 z = 0, z(0) = r. x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, z(t) = r. u(x, y) = x + y a zkouškou ověříme, že tato funkce skutečně řeší zadání. Všimněme si, že každá charakteristika (pro r 0) protíná Γ ve dvou bodech. Měli jsme neuvěřitelné štěstí, že naše počáteční úloha přiřadila oběma bodům stejnou hodnotu (tj. funkce g byla sudá), jinak bychom nenašli řešení..6. Příklad. Uvažujme rovnici (7) x x + y y = 1 na R. Buď Γ = {(x, y) R : x + y = 0}. Uvažujme počáteční podmínku (8) u(x, y) = xy (x, y) Γ.

3 Zvolme x 0, y 0 Γ a řešme soustavu rovnic pro funkce x, y, z proměnné t: x = x, x(0) = x 0, Řešení najdeme ve tvaru Úpravou obdržíme y = y, y(0) = y 0 z = 1, z(0) = x 0 y 0. x(t) = x 0 e t, y(t) = y 0 e t, z(t) = x 0 y 0 + t. x + y = e t, x 0 = xe t = y 0 = ye t = x x + y, y x + y, tedy kandidát na řešení má tvar u(x, y) = t = 1 ln(x + y ), xy x + y + 1 ln(x + y ). Zkouškou ověříme, že tato funkce řeší zadání na R \ 0 (ale do počátku se dojít nedá)..7. Příklad (Burgersova rovnice). Uvažujme rovnici (9) u x + y = 0 na R. Buď Γ = {(x, y) R : y = 0}. Uvažujme počáteční podmínku (10) u(a, 0) = g(a), (a, 0) Γ. Řešme soustavu rovnic pro funkce x, y, z proměnné t: Řešení najdeme ve tvaru x = z, x(0) = a, y = 1, y(0) = 0 z = 0, z(0) = g(a). x(t) = a + g(a)t, y(t) = t, z(t) = g(a). Rovnice x = a + yg(a) je implicitní vzhledem k a a g(a) se nedá obecně vyjádřit. Zadejme např. a, a [ 1, 1], (11) g(a) = 1, a (, 1], 1, a [1, ). Uvažujme a [ 1, 1]. Úpravou obdržíme Odtud Jestliže a 1, pak vychází u(x, y) = x = a(1 y), g(a) = a = x y 1. x, pokud x y 1. y 1 u(x, y) = 1, y 1 x. 3

4 Jestliže a 1, pak vychází u(x, y) = 1, y 1 + x. Pokud jsme v množině = {(x, y) : y < 1+ x }, pak každým bodem prochází jen jedna charakteristika, která určuje hodnotu řešení. Pokud však y > 1 + x, pak takovým bodem prochází tři charakteristiky a každá přináší jinou hodnotu řešení. Všimněme si též, že funkce se nedá spojitě dodefinovat do bodu (0, 1). Úlohu lze řešit v množině (zahmouříme oko nad nediferencovaností v bodech y = 1 x ), ale ne na R a jiných příliš velkých množinách. Toto určení množiny se týká pouze konkrétních dat (11), pokud změníme počáteční podmínku, změní se i obor řešitelnosti. x y 1 3. Lineární rovnice druhého řádu 3.1. Lineární rovnice s konstantními koeficienty. Všechny rovnice, kterými se budeme od teď zabývat, budou lineární a s konstantními koeficienty. Obecná lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty a ij, b i, c v n-rozměrném prostoru má tvar Lu = f, kde (1) Lu = i,j=1 a ij u + x i x j a f je daná funkce (jediná nekonstantní data v zadání rovnice). b i x i + cu 3.. Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu. Na základě chování kvadratické formy Q(ξ) = a ij ξ i ξ j, ξ R n, i,j=1 říkáme, že rovnice (1) je eliptická, jestliže Q je definitní, parabolická, jestliže Q je semidefinitní, hyperbolická, jestliže Q je indefinitní. Transformací souřadnic a dalšími substitucemi lze rovnici (1) převést na jednodušší tvar. Např. v dimenzi dva lze rovnici zjednodušit na některý z tvarů u x + u 1 x = 0, u x 1 x = 0, u x + u 1 x + u = 0, u x 1 x + u = 0, u x u 1 x = 0, u x + u 1 x u = 0 (eliptické rovnice), + u x 1 x u = 0 (parabolické rovnice), u x u 1 x + u = 0 (hyperbolické rovnice) Fundamentální řešení. Fundamentální řešení je jedna z mála věcí v teorii parciální diferenciálních rovnic, které se dají upočítat. Definuje se jako řešení rovnice (v distribucích) Lu = δ 0. Řešení úlohy s pravou stranou f a řešení tzv. počátečních úloh se pak dají získat konvolucí s fudamentálním řešením. Při odvozování tvaru fundamentálního řešení se často používá Fourierova transformace. 4. Laplaceova rovnice 4.1. Laplaceova rovnice, Poissonova rovnice. Nechť n je dimenze prostoru. Diferenciální operátor u u = x i se nazývá Laplaceův operátor. Rovnice u = 0 se nazývá Laplaceova rovnice, nehomogenní rovnice u = f se nazývá Poissonova rovnice. Laplaceova rovnice v dimenzi jedna má tvar u = 0 a jediná řešení jsou lineární polynomy. Zajímavá teorie tedy začíná od dimenze dva. 4.. Fundamentální řešení. Fundamentální řešení Laplaceovy rovnice v R n je funkce { 1 π ln x, n =, U(x) = 1 (n )σ n x n, n 3, 4

5 kde σ n je povrch koule o poloměru jedna v R n. Dosazením n = 3 dostaneme U(x) = 1 4π x, n = 3. Všimněme si, že mimo počátek máme (aniž buchom museli rozlišovat podle dimenze) U(x) = x σ n x n, n Řešení ve smyslu distribucí. Nechť u, f : R jsou lokálně integrovatelné funkce. Připomeňme, že funkce u řeší rovnici u = f ve smyslu distribucí, jestliže u(x) ϕ(x) dx = f(x)ϕ(x) dx, ϕ Cc () Potenciály. Řešení Poissonovy rovnice (13) u = f dostaneme konvolucí s fundamentálním řešením, tedy ve tvaru (14) u(x) = U(x y) f(y) dy. R n Pro n = se integrál (14) nazývá logaritmickým potenciálem funkce f. Pro n 3 se integrál (14) nazývá Newtonovým potenciálem funkce f. O řešitelnosti Poissonovy rovnice potenciály vypovídají následující dvě věty. Vzhledem k drobným odlišnostem je dobré roslišit na dva případy podle dimenze Věta. Nechť R je omezená otevřená množina a f je omezená integrovatelná funkce na. Potom funkce u(x) = U(x y) f(y) dy řeší na Poissonovu rovnici u = f (v distribucích) Věta. Nechť n 3 a f je omezená integrovatelná funkce na R n. Potom funkce u(x) = U(x y) f(y) dy R n řeší na R n Poissonovu rovnici u = f (v distribucích) a platí (15) lim u(x) = 0. x Ve třídě funkcí splňujících (15) je řešení Poissonovy rovnice jednoznačné Dirichletova a Neumannova úloha. Uvažujme omezenou otevřenou množinu R n s hranicí. Kromě diferenciální rovnice u = f máme ještě dánu spojitou funkci ϕ : R. Dirichletova úloha je úloha najít funkci u : R, která splňuje rovnici u = f v a navíc Dirichletovu okrajovou podmínku (16) u(x) = ϕ(x), x. Limitní přechod y x se chápe vzhledem k množině. Pro formulaci Neumannovy úlohy potřebujeme, aby hranice měla normálu. Budeme říkat, že hranice množiny je třídy C k, k 1, jestliže existuje funkce η třídy C k tak, že = {x : η(x) < 0} a η 0 na. Vnější normála je pak funkce ν(x) = η(x) η(x), x. Neumannova úloha je úloha najít funkci u : R, která splňuje rovnici u = f a navíc Neumannovu okrajovou podmínku (17) D ν u(x) = ψ(x), x, kde ψ je opět zadaná spojitá funkce na. Levá strana je jednostranná derivace u v x ve směru vnější normály ν(x), totiž u(x + tν) u(x) lim. t 0 t 5

6 K úloze najít řešení Poissonovy rovnice na omezené otevřené množině zpravidla přidáváme Dirichletovu nebo Neumannovu podmínku, ne však obě současně. Řešení Dirichletovy úlohy je jednoznačné a řešení Neumannovy úlohy je jednoznačné až na aditivní konstantu. Tvrzení o jednoznačnosti pro Dirichletovu úlohu zformulujeme v následující větě Věta o jednoznačnosti. Nechť R n je omezená otevřená množina, f je spojitá funkce na a ϕ je spojitá funkce na. Pak existuje nejvýš jedna spojitá funkce u na, řešící Poissonovu rovnici u = f v (ve smylu distribucí) a Dirichletovu podmínku (16) na Věta o existenci. Nechť R n je omezená otevřená množina s hranicí třídy C 1. Nechť ϕ je spojitá funkce na. Potom existuje řešení Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici u = Dirichletova úloha pro kouli. Řešení Dirichletovy úlohy lze málokdy najít v explicitním tvaru. K řešení rovnice se používají různé teoretické metody, které v praxi končí numerickým výpočtem. Pro kouli však lze použít celkem uspokojivý vzorec, který se nazývá Poissonův integrál. Mějme tedy kouli B(z, R) v prostoru R n a spojitou funkci ϕ : B(z, R) R. Potom řešením Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici (tedy pravá strana f je nulová) má tvar u(x) = 1 Rσ n B(z,R) R x z x y n ϕ(y) ds(y) Potenciál dvojvrstvy. Nechť R n je omezená otevřená množina s hranicí třídy C, Uvažujme spojitou funkci g : R. Potom potenciál dvojvrstvy s hustotou g je funkce u(x) = 1 y x g(y) σ n y x n ds(y), x Rn. Integrál vpravo skutečně konverguje pro všechna x R n. Potenciál dvojvrstvy řeší Laplaceovu rovnici uvnitř a vně. Potenciál dvojvrstvy s hustotou 1 je roven 1 uvnitř a 0 vně. Potenciál dvojvrstvy je spojitý v bodě x, když g(x) = 0, jinak na hranici dochází ke skoku Převedení Dirichletovy úlohy na integrální rovnici. Dirichletova a Neumannova úloha se dají převést na integrální rovnice na. Tuto metodu si budeme demonstrovat pouze na Dirichletově úloze. Budeme předpokládat, že je třídy C, že pravá strana f je omezená integrovatelná funkce na a že okrajová podmínka ϕ je spojitá funkce na. Především, pomocí Newtonova nebo logaritmického potenciálu najdeme nějaké řešení w rovnice w = f, to vyjde jako spojitá funkce na. Řešení u původní úlohy budeme hledat ve tvaru u = w + v. Je zřejmé, že u bude řešit původní úlohu, právě když v bude řešit Laplaceovu rovnici s Dirichletovou podmínkou v = ϕ u na. Proto se v dalším můžeme omezit na Laplaceovu rovnici Věta. Nechť R n je omezená otevřená množina s hranicí třídy C a ϕ je spojitá funkce na. Nechť funkce g řeší integrální rovnici g(x) + 1 y x (g(y) g(x)) ds(y) = ϕ(x), x. σ n y x n Dodefinujeme-li potenciál dvojvrstvy u(x) = 1 σ n y x g(y) ds(y), x, y x n hodnotami ϕ na, dostaneme spojitou funkci a tudíž řešení Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici. Řešení u je nekonečně diferencovatelné (a tudíž klasické ) v Metoda variačního počtu. Nechť R n je omezená otevřená množina a ϕ je spojitá funkce na. Nechť funkce u je řešením Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici. Potom u je tzv. minimizér Dirichletova integrálu, totiž (18) u(x) dx v(x) dx pro všechny spojité funkce v na, které jsou spojitě diferencovatelné uvnitř a splňují v = ϕ na. Aby (18) dávalo netriviální informaci, je třeba předpokládat, že mezi přípustnými funkcemi v existuje aspoň jedna, pro níž je integrál vpravo konečný. Pak platí i opačná implikace, totiž pokud u je spojitá funkce na, splňuje Dirichletovu podmínku (16) a nerovnost (18) pro všechny přípustné funkce v, potom už u splňuje Laplaceovu rovnici a je tedy hledaným řešením Dirichletovy úlohy. K tomuto tématu se ještě vrátíme níže. 6

7 Metoda variačního počtu vede k nejjednoduššímu důkazu existenční věty 4.9. Myšlenku jen naznačíme. Označme V ϕ = {v C() C 1 () : v = ϕ na, v(x) dx < }. Pro jednoduchost předpokládejme, že V ϕ. Položme { a = inf v(x) dx : v V ϕ }. Potom existuje posloupnost {v k } k prvků V ϕ tak, že v k (x) dx a. Posloupnosti {v k } k, { v k } k jsou omezené v Hilbertově prostoru L (), najdeme tedy výběr indexů {k j } j a funkce u L () (skalární), g L () (vektorovou) tak, že v kj u slabě v L a v kj g slabě v L. Ukáže se, že v distributivním smyslu je u = g a u(x) dx = a. Funkce u je tedy kandidát na minimizér Dirichletova integrálu ve třídě V ϕ. Chceme-li provést naznačený důkaz poctivě, musíme ovšem znát základy funkcionální analýzy a teorie prostorů funkcí. Použili jsme termín kandidát, z výše uvedených úvah totiž není vůbec jasné, proč by funkce u měla být spojitá do hranice, proč by měla splňovat okrajovou podmínku a proč by měla být C 1 v. Lze dokázat následující: pokud je např. třídy C 1, pak u je spojitá do hranice a splňuje Laplaceovu rovnici uvnitř a okrajovou podmínku (16). Důkaz však není snadný Slabé řešení. Cesta od (18) k Laplaceově rovnici vede přes tzv. slabé řešení. Mějme mimimizér u Dirichletova integrálu ve třídě V ϕ. Uvažujme w V 0. Potom pro všechna t R je u + tw V ϕ a u(x) dx u + t w(x) dx = u dx + t u w(x) dx + t w(x) dx. Od obou stran odečteme integrál z u, vydělíme t-čkem (rozlišíme t > 0, t < 0) a pošleme t 0. Dostaneme odsud (19) u w(x) dx = 0. Funkci u V ϕ, která splňuje (19) pro všechna w V 0, nazveme slabým řešením Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici. Obecněji, abychom u nazvali slabým řešením, nemusíme požadovat u C, stačí u L (pak gradient chápeme v distributivním smyslu). Okrajová podmínka (16) se dá také zeslabit. Existenční věty zpravidla vedou na existenci slabých řešení. Předpokládejme, že u je slabé řešení a přitom je třídy C. Integrováním per pertes dostaneme z (19) u(x) w(x) dx = 0, w V 0. Z toho už lze usoudit, že u = 0, tedy pokud u V ϕ, máme tzv. klasické řešení. Klíčovým krokem při zkoumání, zda slabé řešení je též klasické řešení, je pozorování, že slabé řešení u má ještě jednu derivaci navíc. Pro Laplaceovu rovnici to dostaneme, ale pro obecnější rovnice (např. Poissonovu rovnici) lze též definovat slabá řešení a tam to již nemusí být pravda. Další problém je dodržení klasické formulace okrajové úlohy. Rozlišení řešení na slabá a klasická tedy má své opodstatnění Harmonické funkce. Nechť R n je otevřená množina a u : R je spojitá funkce. Řekneme, že u je harmonická, jestliže pro každou kouli B(z, r) platí (h(x) h(z)) dx = 0. B(z,r) Jinými slovy, průměr funkce přes kouli je funkční hodnota ve středu koule Věta. Nechť R n je otevřená množina a u : R je spojitá funkce. Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) u je harmonická na, 7

8 (ii) u řeší u = 0 v ve smyslu distribucí, (iii) u je třídy C a řeší u = 0 v (v klasickém smyslu). 5. Rovnice vedení tepla 5.1. Evoluční rovnice. Některé rovnice druhého řádu mají rozumnou fyzikální interpretaci, použije-li se jedna proměnná pro čas a zbývající proměnné pro prostorové souřadnice. Abychom výrazněji odlišili časovou proměnnou a prostorové proměnné, používáme značení (x, t) pro dvojici (prostorový bod, časový okamžik). V evolučních rovnicích předpokládáme, že proměnná x probíhá n-rozměrný prostor R n, proměnná t je jednorozměrná, takže vlastně rovnici řešíme v R n R = R n Rovnice vedení tepla. Rovnice vedení tepla, někdy též nazývaná rovnice difuze, je parabolická evoluční rovnice (0) u = 0, t kde je Laplaceův operátor vzhledem k prostorovým proměnným, tedy u (1) u(x, t) = x (x, t) i Pro jednoduchost se omezíme na homogenní rovnici (tj. na pravé straně rovnice (0) je nula a ne funkce f) Cauchyova úloha. Počáteční Cauchyova úloha je úloha najít v R n 0, ) spojitou funkci u, která pro t > 0 řeší rovnici vedení tepla a pro t = 0 nabývá předepsaných hodnot, tedy () t (x, t) u(x, t) = 0, x Rn, t > 0, u(x, 0) = ϕ(x), x R n. Abychom mohli řešit počáteční úlohu konvolucí, potřebujeme funkci G, která řeší ve zobecněném smyslu speciální počáteční úlohu G (x, t) G(x, t) = 0, t > 0, (3) t G(, 0) = δ 0. Symbol δ 0 je zde Diracova distribuce vzhledem k prostorové proměnné. Shodou okolností je funkce G řešící (3) také fundamentálním řešením rovnice vedení tepla, tedy G (4) t G = δ 0, kde tentokrát δ 0 je Diracova distribuce vzhledem k časoprostorové proměnné Předvýpočet. Buď f(x) = e x. Funkce f splňuje diferenciální rovnici tedy po transformaci f = xf, ix ˆf = i( ˆf). Ejhle, funkce ˆf splňuje stejnou diferenciální rovnici. Protože rovnice je lineární, musí být ˆf = cf. Konstantu c spočítáme přímo z definice Fourierovy transformace, totiž c = ˆf(0) = (π) 1/ e x dx = 1. (To je v podstatě Laplaceův integrál. který jsme spočítali v zimním semestru pomocí převodu na dvourozměrný integrál a polárních souřadnic.) Vidíme, že funkce e x se Fourierovou transformací zobrazí sama na sebe. Ze známého vzorce F(f ϕ)(x) = 1 a e ibx x a (Ff)( a ), kde ϕ(x) = ax + b, dále dostaneme pro a = t a b = 0 (5) f(x) = e tx = ˆf(x) = 1 t e x 4t. R 8

9 5.5. Fundamentální řešení. Zatímco (4) nás opravňuje nazvat funkci G fundamentálním řešením, pro odvození vyjdeme z motivace počáteční úlohou, tedy z úlohy (3). Aplikujeme-li Fourierovu transformaci vzhledem k prostorovým proměnným, dostaneme Ĝ t (x, t) + x Ĝ(x, t) = 0, t > 0, Ĝ(x, 0) = (π) n/. Pro pevné x řešíme počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici v proměnné t, dostaneme Ĝ(x, t) = (π) n/ e x t, x R n, t > 0. Aplikujeme inverzní Fourierovu transformaci v prostorové proměnné (viz. (5)) a dostaneme (6) G(x, t) = (4πt) n/ e x 4t, x R n, t > Věta. Nechť ϕ je omezená spojitá funkce na R n. Potom existuje právě jedno omezené řešení Cauchyovy úlohy () a to má tvar u(x, t) = (4πt) n/ 4t ϕ(y) dy, x R n, t > 0. e y x R n Řešení u je nekonečně diferencovatelné (a tudíž klasické ) na otevřeném poloprostoru R n (0, ). 6. Vlnová rovnice 6.1. Vlnová rovnice. Vlnová rovnice je hyperbolická evoluční (viz. úmluvy 5.1) rovnice u (7) u = 0, t kde je opět Laplaceův operátor vzhledem k prostorovým proměnným, viz. (1). Pro jednoduchost se opět omezíme na homogenní rovnici (tj. na pravé straně rovnice (7) je nula a ne funkce f). 6.. Počáteční úloha pro vlnovou rovnici. Jelikož vlnová rovnice je druhého řádu vzhledem k časové proměnné, můžeme si dovolit kromě počáteční hodnoty funkce současně zadat i počáteční hodnoty časové derivace. Počáteční úloha pro vlnovou rovnici je tedy úloha najít v R n+1 funkci w, která řeší vlnovou rovnici a pro t = 0 nabývá předepsaných hodnot, tedy (8) w t w = 0 v Rn+1, w(x, 0) = ϕ (x), x R n, w t (x, 0) = ϕ 1(x), x R n, kde ϕ 1, ϕ jsou dané spojité funkce na R n. Protože řešení úlohy se zapíše snáze než fundamentální řešení, otázku fundamentálního řešení přeskočíme a rovnou se budeme věnovat zápisu řešení. Úlohu si můžeme zjednodušit na (9) u t u = 0 v Rn+1, u(x, 0) = 0, x R n, t (x, 0) = ϕ(x), x Rn ; totiž, jestliže u i řeší (9) s ϕ = ϕ i, pak řeší (8). Vtip je v tom, že pro t = 0 je w = u 1 + t t t (, 0) = u t (, 0) = u (, 0) = 0 = 0. Tvar řešení se liší dimenzi od dimenze, napíšeme tedy zvlášť řešení pro n = 1,, 3. Věty zformulujeme pro klasická řešení, pro ϕ spojitou dostaneme pouze řešení ve smyslu distribucí. 9

10 6.3. Věta (n = 1, D Alembert). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R. Potom funkce u(x, t) = t řeší úlohu (8) v R R. Řešení je jednoznačné. 1 1 ϕ(x + ty) dy 6.4. Věta (n =, Poisson). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R. Potom funkce u(x, t) = t ϕ(x + ty) π dy 1 y řeší úlohu (8) v R R. Řešení je jednoznačné. y < Věta (n = 3, Kirchhoff). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R 3. Potom funkce u(x, t) = t ϕ(x + ty) ds(y) 4π řeší úlohu (8) v R 3 R. y = Poznámka. Integrál v (6.4) je dvojný, protože jsme v prostorové dimenzi dva. Integrál v (6.5) je dvojný, protože jsme sice v prostorové dimenzi tři, ale integrujeme přes sféru, takže integrál je plošný Poznámka. Mezi vlnovou rovnicí a rovnicí vedení tepla jsou značné rozdíly. Pomineme-li fakt, že u vlnové rovnice zadáváme na počátku nejen funkci, ale i derivaci, hlavní rozdíly jsou následující. Rovnice vedení tepla zhlazuje, tedy i nehladká počáteční podmínka dává od samého počátku hladké řešení. Vlnová rovnice může hrubosti a singularity počátečních podmínek šířit dál. Rovnice vedení tepla šíří informaci nekonečnou rychlostí. To je sice nefyzikální, ale přesto rovnice vystihuje v rámci možností fyzikální realitu dost věrně. Vlnová rovnice šíří informaci konstantní rychlostí (v tom tvaru jak ji máme zapsanou je to rychlost 1). Rovnici vedení tepla má smysl řešit jen dopředu v čase, to znamená, že úloha určit z rozložení teploty v nějakém časovém okamžiku její rozložení v minulosti je nekorektní. Vlnová rovnice se dá řešit dopředu i zpět. 7. Fourierova metoda 7.1. Úvodní poznámka. Počáteční úloha pro evoluční rovnice je sice teorericky velmi důležitá, ale v praxi často řešíme okrajové úlohy. Například v dimenzi jedna nám rovnice vedení tepla popisuje vedení tepla v tyči a vlnová rovnice kmitání struny. Počáteční úloha odpovídá nekonečně dlouhé tyči, resp. struně, což nemusí být přesně to co potřebujeme. 7.. Princip Fourierovy metody. Jednou z nejvýznamnějších metod pro řešení okrajových úloh pro evoluční rovnice je Fourierova metoda. Popíšeme si ji v prostorové dimenzi jedna. Každý daný interval lze převést lineární substitucí na interval (0, π), tedy budeme uvažovat jen tento interval. Danou počáteční úlohu si rozvineme do sinové Fourierovy řady. Plná Fourierova řada totiž odpovídá periodické okrajové podmínce, zatímco my se budeme zajímat o nulovou okrajovou podmínku. Pro každý člen řady najdeme zvlášť řešení okrajové úlohy a nakonec řešení sečteme Okrajová úloha pro rovnici vedení tepla. Pro rovnici vedení tepla nás zajímá okrajová úloha (30) Řešení úlohy pro jednotlivé členy je t u = 0 x x (0, π), t > 0, u(x, 0) = ϕ, x (0, π), u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0. u(x, t) = e kt sin kt pro ϕ(x) = sin kx Věta. Nechť ϕ je spojitě diferencovatelná funkce na intervalu 0, π, ϕ(0) = ϕ(π). Potom řešení úlohy (30) je jednoznačné a najdeme jej ve tvaru u(x, t) = b k e kt sin kt, k=1 10

11 kde b k jsou koeficienty Fourierova rozvoje funkce ϕ, tj. ϕ(x) = b k sin kx Okrajová úloha pro vlnovou rovnici.. Pro vlnovou rovnici nás zajímá okrajová úloha (31) k=1 u t u = 0 x x (0, π), t > 0, u(x, 0) = ψ, x (0, π), (x, 0) = ϕ, t x (0, π), u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0. Stejně jako u počáteční úlohy můžeme situaci převést na případ ψ = 0. Řešení úlohy pro jednotlivé členy je u(x, t) = 1 k sin kt sin kx pro ϕ(x) = sin kx Věta. Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na intervalu 0, π, ϕ(0) = ϕ(π), a ψ 0. Potom řešení úlohy (31) je jednoznačné a najdeme jej ve tvaru b k u(x, t) = sin kt sin kx, k k=1 kde b k jsou koeficienty Fourierova rozvoje funkce ϕ, tj. ϕ(x) = b k sin kx. k=1 11

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce.

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce. Hledání kořenů Úloha: Pro danou funkci f(x) máme najít číslo r tak, aby f(r) = 0. Pozor, počítač totiž kořen nepozná! Má jistou přesnost výpočtu δ > 0 a prohlásí f(r) = 0 pokaždé, když f(x) < δ. Není ovšem

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha 1. 9. 2011 Úvod náhodné procesy

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Mirko Navara Centrum strojového vnímání katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/mvt http://cmp.felk.cvut.cz/

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí Numerické algoritmy KAPITOLA 11 V této kapitole: Vyhledávání nulových bodů funkcí Iterativní výpočet hodnot funkce Interpolace funkcí Lagrangeovou metodou Derivování funkcí Integrování funkcí Simpsonovou

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Funkcionální rovnice

Funkcionální rovnice Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent

Více