PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA

2 Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní unkcí - X X,, X statstka odhad parametru E 1 n X B p,,

3 Regulární systém hustot Buď X X 1,, X n náhodný vektor, ehož rozdělení závsí na neznámém parametru Nechť estue eho sdružená hustota, která závsí na neznámém parametru Systém hustot F e regulární, platí-l následuící podmínky: 1 Parametrcký prostor R e neprázdná, otevřená množna n nožna R 0 nezávsí na parametru 3 Estue parcáí dervace pro skoro všechna 4 Platí: d 0 5 Integrál J d e konečný a kladný, t 0 J

4 Poznámky: Integrál uvedený v podmínce 5 se nazývá Fsherova míra normace Poznameneme, že platí: Náhodná proměnná se nazývá skóre Fsherova míra normace d J U,

5 Fsherova míra normace Poznámky: Podmínku 4 lze vyádřt ve tvaru: d d E 0 edy E U 0 Podmínka 4 odpovídá tomu, že lze zaměnt pořadí dervace a ntegrálu v rovnost d 1

6 Poznámky: Další vyádření Fsherovy míry normace : Nechť estue: a platí: pak nebol ~ 0 d d J J df J d J Fsherova míra normace D U U E E E J X X X E J

7 Poznámky: Pokud se edná o dskrétní náhodný vektor s sdruženou pravděpodobnostní unkcí, pak se ntegrály nahradí sčítací mírou: Další vyádření Fsherovy míry normace : J, p F p 0 R p n p p 0 p p p p J p p J Fsherova míra normace

8 Fsherova míra normace - příklady Příklady Rozhodněte, zda e odpovídaící systém hustot pravděpodobnostní unkce e regulární a stanovte skóre a Fsherovu míru normace a b c d X X ~ B n, n 01 0,1,,n J 1 X ~ Po 1 R 0 N0 0,1, J X ~ N, 1 R R J ~ E 1 R 0 R 0 J

9 Fsherova míra normace,, Platí: Buď dán náhodný vektor X X1,, X n, ehož rozdělení závsí na neznámém parametru, přčemž e eho sdružená hustota p e eho sdružená pravděpodobnostní unkce Nechť sou velčny nezávslé, přčemž g e hustota velčny X 1,, n Předpokládeme, že systémy hustot g, 1,, n sou regulární Buď J Fsherova míra normace vektoru X, e J Fsherova míra normace velčny X Pak platí: n J t Fsherova míra normace vektoru e součtem Fsherových měr normace ednotlvých složek 1 J

10 Fsherova míra normace Platí: Buď dán náhodný výběr X, 1, X n z rozdělení s Fsherovou mírou J Nechť e Fsherova míra normace vektoru Pak platí: J J n J Příklad: Vypočtěte Fsherovu míru normace pro výběru z X ~ A p X ~ B n, s pomocí náhodného

11 Rao-Cramérova věta Věta: Rao-Cramérova Buď dán náhodný vektor X X 1,, X n, ehož rozdělení závsí na neznámém parametru, přčemž e eho sdružená hustota p sdružená pravděpodobnostní unkce Buď dán odhad parametru, nechť X Buď dále X E E X B Nechť dále platí následuící podmínky: 1 systém hustot F e regulární, e Fsher míra estue dervace 3 platí: d d dervace podle parametru Pak pro každé platí : B E X 1 B J J

12 Rao-Cramérova věta Jná varanta Rao-Cramérovy věty: Buď dán náhodný výběr X, 1, X n z rozdělení, enž závsí na neznámém parametru, přčemž e eho sdružená hustota X X 1,, X n p sdružená pravděpodobnostní unkce Buď dán odhad parametru, nechť X Buď dále X E E X B Nechť dále platí následuící podmínky: 1 systém hustot F e regulární, J e Fsher míra estue dervace 3 platí: d d dervace podle parametru Pak pro každé platí : B E X 1 B nj X

13 Rao-Cramérova věta Jná varanta Rao-Cramérovy věty: Buď dán náhodný vektor X X 1,, X n z rozdělení, enž závsí na neznámém parametru, přčemž e eho sdružená hustota p sdružená pravděpodobnostní unkce Buď dán nestranný odhad parametru, nechť E X X Nechť dále platí následuící podmínky: 1 systém hustot F e regulární, J e Fsher míra platí d d Pak pro každé platí : D X 1 J

14 Rao-Cramérova věta Jná varanta Rao-Cramérovy věty: Buď dán náhodný vektor X X 1,, X n z rozdělení, enž závsí na neznámém parametru, přčemž e eho sdružená hustota p sdružená pravděpodobnostní unkce Buď dán nestranný odhad parametrcká unkce, nechť E X X Nechť dále platí následuící podmínky: 1 systém hustot F e regulární, J e Fsher míra platí d d Pak pro každé platí : D X J

15 Regulární odhad Buď dán náhodný vektor X X 1,, X n z rozdělení, enž závsí na neznámém parametru, přčemž e eho sdružená hustota p sdružená pravděpodobnostní unkce Buď dán nestranný odhad parametrcká unkce, nechť E X X Pokud platí pak odhad X d d nazýváme regulární Pro regulární odhad platí: d

16 Regulární odhad - vydatnost 1 B Funkce C se nazývá doí Rao-Cramerová hrance pro J rozptyl regulárního odhadu X 1 Pro nestranný odhad má tvar: C J Pro nestranný regulární odhad se číslo nazývá vydatnost 1 Pokud n 1 tedy D X, pak se odhad nazývá vydatný J Pokud lm n n n n 1 J D X, pak se odhad nazývá asymptotcky vydatný

17 Regulární odhad - příklady Příklad: Nechť X,, X n e náhodný výběr z rozdělení: X ~ A p 1 n 1 Pak statstka X X X e nestranný, regulární a vydatný odhad p n 1 Příklad: Nechť X, 1, X n e náhodný výběr z rozdělení: X ~ N, n 1 Pak statstka X X X e nestranný, regulární a vydatný odhad n 1

18 Regulární systém hustot pro vektor parametrů Buď X X 1,, X n náhodný vektor, ehož rozdělení závsí na neznámých m parametrech Θ, Θ R,,, Nechť estue eho sdružená hustota parametrech,, Systém hustot 1 m F Θ,, která závsí na neznámých e regulární, platí-l následuící podmínky: 1 Parametrcký prostor Θ e neprázdná, otevřená množna n nožna R 0 nezávsí na parametrech Θ, Θ 3 Estue parcáí dervace pro skoro všechna 4 Platí: d 0 Θ, 5 Integrál J, d e konečný a kladný, t 0, a matce J 1 m e poztvně dentní 1 m J, J 1 m m R Θ,

19 Poznámky: atce uvedená v podmínce 5 se nazývá Fsherova normační matce Jné vyádření: Náhodný vektor, kde se nazývá skórový vektor Fsherova normační matce m m J 1 1, J d J, U X X X U,U m, 1 U E J, X X

20 Fsherova normační matce Poznámky: podmínku 4 lze psát ve tvaru: E U,, E U 0,,0 E U 1 m Fsherovu normační matce lze psát ve tvaru: J C U, U, J D U, tedy var J, U J

21 Platí: Nechť systém hustot e regulární, estuí dervace a platí Pak nebo Fsherova míra normace Θ F, d J, U E E J, X 0,,, Θ d df

22 Regulární odhad - příklady Příklad: Nechť X ~ N,,, Spočtěte skórový vektor a Fscherovu normační matc Příklad: Nechť X ~ N,,, Spočtěte skórový vektor a Fscherovu normační matc

23 Fsherova míra normace Platí: Buď dán náhodný výběr X, 1, X n z rozdělení s Fsherovou matcí J Nechť e Fsherova matce normace vektoru Pak platí: J J n J

24 Fsherova normační matce Buď X X 1,, X n náhodný vektor, ehož rozdělení závsí na neznámých m parametrech Θ, Θ R,,, Nechť 1,, Odhad platí: m 1,, m 1 m e statstka nestranný odhad Θ, Θ se nazývá regulární, pokud pro, =1,,m d d m R

25 Rao-Cramérova věta Rao-Cramérova věta: Buď dán náhodný vektor X X 1,, X n z rozdělení, enž závsí na m neznámé parametrcké unkc Θ,, Θ R, přčemž, e eho sdružená hustota p sdružená pravděpodobnostní unkce Nechť 1,, m estuí dervace Buď dán nestranný odhad Nechť dále platí následuící podmínky: parametrcké unkce 1 systém hustot F Θ e regulární, e Fsher matce platí d d Pak pro každé Θ platí : kde h 1,, m X J 1 X h J h D

26 Rao-Cramérova věta Rao-Cramérova věta: Buď dán náhodný vektor X, 1, X n náhodný výběr z rozdělení, enž závsí m na neznámé parametrcké unkc Θ,, Θ R, přčemž, e eho sdružená hustota p sdružená pravděpodobnostní unkce Nechť 1,, m estuí dervace Buď dán nestranný odhad Nechť dále platí následuící podmínky: parametrcké unkce 1 systém hustot F Θ e regulární, e Fsher míra platí d d Pak pro každé Θ platí : kde h 1,, m X 1 n J 1 X h J h D

27 Regulární odhad - vydatnost 1 1 Funkce C h J h se nazývá doí Rao-Cramerová hrance pro n rozptyl nestranného regulárního odhadu Pro nestranný regulární odhad X se číslo h J nazývá vydatnost 0 1 n n 1 n 1 h C X D X D n 1 1 h Pokud tedy D X h J, pak se odhad nazývá vydatný Pokud lm n n 1, pak se odhad nazývá asymptotcky vydatný

28 Regulární odhad - příklady Příklad: Nechť X, 1, X n e náhodný výběr z rozdělení: X ~ N,, Spočtěte doí Rao-Cramerová hranc pro rozptyl nestranného regulárního odhadu pro a, b, c, Příklad: Nechť X, 1, X n e náhodný výběr z rozdělení: X ~, Spočtěte vydatnost pro bodové odhady a X X b X S N,