3.4.9 Konstrukce čtyřúhelníků

Transkript

1 3.4.9 Konstruce čtyřúhelníů Předpoldy: Trojúhelníy byly určeny třemi prvy. Př. 1: Obecný čtyřúhelní je dán délmi všech svých čtyř strn. Rozhodni, zd je určen nebo ne. Nejjednodušší je vzít čtyři různě dlouhé tužy zusit tový čtyřúhelní sestvit. Ihned zjistíme, že možností je neonečně mnoho. Z obrázu vidíme, že úhlopříč nám čtyřúhelní rozdělí n dv trojúhelníy. U ždého vš známe pouze dv prvy (dvě strny) trojúhelníy nejsou zcel určeny. U prvního můžeme zvolit délu strny druhý je již určen obecný čtyřúhelní je zřejmě určen pěti prvy. Př. 2: Sestroj všechny onvexní čtyřúhelníy, je-li dáno: = 5cm, = 6cm, = 4cm, = 80, = 100. c e b Úloh je nepolohová. Řešení: Ze zdných údjů můžeme ihned sestrojit trojúhelní. od leží ve vzdálenosti = 6 cm od bodu n množině bodů, ze teré je úseč vidět pod úhlem = ; = 5cm 2. G; G = ; ( ; = 4cm) 4. ; = G 1

2 m o l G 5. l; l ( ; = 6cm) 6. m; m = { X G; X = 80 } 7., ; = l m 8., S Rozbor: Příld má 0 ž 2 řešení podle počtu průsečíů ružnice l s oblouem m. Př. 3: Zopuj vlstnosti speciálních čtyřúhelníů. Koli prvů musíme znát při jejich onstruci? Čtverec: Všechny strny shodné, všechny vnitřní úhly shodné rovné 90, protější strny rovnoběžné, úhlopříčy se půlí, úhlopříčy jsou nvzájem olmé potřebujeme znát jednu veliost. Kosočtverec: Všechny strny shodné, protější strny rovnoběžné, úhlopříčy se půlí, úhlopříčy jsou nvzájem olmé musíme znát dv prvy, lespoň jednu veliost. Obdélní: Protější strny shodné, všechny vnitřní úhly shodné rovné 90, protější strny rovnoběžné, úhlopříčy se půlí potřebujeme znát dv prvy, lespoň jednu veliost. Rovnoběžní: Protější strny shodné, protější vnitřní úhly shodné, protější strny rovnoběžné, úhlopříčy se půlí potřebujeme znát tři prvy, lespoň jednu veliost. Lichoběžní: vě protější strny jsou rovnoběžné potřebujeme znát čtyři prvy, lespoň jednu veliost. Tětivový čtyřúhelní: Má ružnici opsnou potřebujeme znát čtyři prvy, lespoň jednu veliost. Tečnový čtyřúhelní: Má ružnici vepsnou potřebujeme znát čtyři prvy, lespoň jednu veliost. Pedgogicá poznám: K počtu potřebných prvů vedou dvě cesty. Od pěti prvů pro obecný čtyřúhelní odečteme prvy, teré jsou stejné vůli speciální vlstnosti. Zusíme si předstvit onstruci dného čtyřúhelníu v nejjednodušším přípdě. Př. 4: Je dán úseč, = 3cm. Sestroj všechny rovnoběžníy, pro teré pltí = = 5,5cm, v = 4cm. 2

3 v Úloh je polohová. Řešení: od leží n ružnici (, 6cm) vzdálenosti v = 4 cm. = = rovnoběžce s přímou ve q q p 1. ; = 3cm 2. p; p, p = v = 4cm 3. ; ( ; = 5,5cm) 4., ; = p 5. q; q, q 6. ; = p q 7. q ; q, q 8. ; = p q 9., Rozbor: Úloh může mít v jedné polorovině nul nebo jedno řešení v závislosti n počtu průsečíů ružnice přímy p. Pedgogicá poznám: Nlézt řešení nedělá žáům problém. Část z nich vš zpomene n druhé řešení. Př. 5: Sestroj všechny osočtverce je-li dáno: v = 4cm, e = 5cm. v e Úloh je nepolohová. Problém: Když nreslíme nejdříve úseču, nemůžeme sndno využít znlost výšy v. Řešení: Nejdříve nrýsujeme dvě rovnoběžné přímy. N jedné zvolíme vrchol pomocí ružnice o poloměru e njdeme vrchol. Zbývjící vrcholy osočtverce leží n ose úsečy (úhlopříčy osočtverce jsou n sebe olmé, strny jsou shodné). 1. p, q; p q, pq = v = 4cm 2. ; p 3

4 o o q 3. ; ( ; e = 5cm) 4., ; = q 5. o; o 6. ; = o p 7. ; = o q 8. p Rozbor: Příld má žádné nebo jedno řešení (osočtverce jsou osově souměrné podle olmice n přímu p jdoucí bodem ). Pedgogicá poznám: Příld je nezvylý tím, že se zčíná "joby bez bodů" i možnost volby vrcholu n přímce p příld něomu ompliuje. Pedgogicá poznám: Lepším žáům je možné zdt předchozí příld jo polohovou úlohu s dnou úsečou (řešením je nreslit trojúhelní 0, de 0 je pt výšy vedené z vrcholu ). Př. 6: Je dán úseč, = 4cm. Sestroj všechny lichoběžníy (se záldnou ), je-li dáno: úhlopříče). = 3cm, = 5cm, S = 100 (bod S je průsečíem c Úloh je polohová. Problém: Neznáme žádný trojúhelní, terý bychom mohli zčít sestrojovt zusíme tový trojúhelní zíst doreslením do bodu posuneme úhlopříču. c c E Řešení: Sestrojíme trojúhelní E, bod njedeme pomocí rovnoběžy se strnou E bodem. 1. ; = 4cm 2. E; E, E = c = 3cm 4

5 q G l S p E = { = } ( = = ) 3. ; X G; XE l; l E; 5cm 5. ; = l 6. p; p, p 7. q; q E, q 8. ; = p q 9. Rozbor: Úloh může mít v jedné polorovině nul nebo jedno řešení v závislosti n počtu průsečíů ružnice l oblouu. Pedgogicá poznám: Něteré žáy převpí, že výsledný lichoběžní nemá tvr, terý jsme používli v náčrtu n terý jsou zvylí. Př. 7: Je dán úseč, = 4cm. Sestroj všechny tětivové čtyřúhelníy, v nichž je průsečí úhlopříče. = e = 6cm, β = 120 ε = 105. ε je veliost E, de bod E je e E Úloh je polohová. Řešení: Sestrojíme trojúhelní. Kružnice opsná tomuto trojúhelníu je zároveň ružnicí opsnou hlednému čtyřúhelníu. od njedeme jo průsečí polopřímy E s ružnicí opsnou. od E leží n úsečce úseč je z něj vidět pod úhlem ε = ; = 4cm 2. F; F = 120 ( = = ) 3. ; ; e 6cm 4. ; = F 5. o; o 6. o ; o 7. S; S = o o 8. m; m( S; S ) 5

6 S m F { } 9. l; l = X ; X = E; E = l 11. E 12. ; = E m 13. l E o G o Rozbor: Úloh může mít v jedné polorovině nul nebo jedno řešení v závislosti n počtu průsečíů oblouu l úsečy. Př. 8: Petáová: strn 78/cvičení 21 b) strn 78/cvičení 22 ) strn 78/cvičení 23 ) c) strn 78/cvičení 24 ) d) Shrnutí: I při onstruci čtyřúhelníů většinou nejdříve sestrojujeme pomocný trojúhelní. 6