Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Transkript

1 Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

2 Parciální derivace složené funkce Věta 3.4. Jsou-lifunkce g 1,g 2,...,g p nproměnných x 1,x 2,...,x n diferencovatelnévbodě A aje-lifunkce h pproměnných y 1,y 2,...,y p diferencovatelnávbodě B=[g 1 (A),g 2 (A),...,g p (A)],pakjesloženáfunkce f= h(g 1,g 2,...,g p ) diferencovatelná v bodě A a platí: (A)= h (B) g 1 (A)+ h (B) g 2 (A)+ + h (B) g p (A) x j y 1 x j y 2 x j y p x j pro j=1,2,...,n. Příklad. Určete x složenéfunkce f= h(g 1,g 2,g 3 ),kde hjefunkceproměnných u,v,w diferencovatelnána E 3, g 1 (x,y,z)=xcosysinz, g 2 (x,y,z)=xsinysinz, g 3 (x,y,z)=xcosz. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

3 Parciální derivace vyšších řádů Parciální derivace vyšších řádů jsou definovány opakovaným parciálním derivováním funkce. Určením parciálních derivací parciálních derivací funkce f dostaneme její druhé parciální derivace, druhou parciální derivaci vzniklou derivováním nejprve podle 2 f x j x k. proměnné x j apakpodleproměnné x k značíme V případě j k hovoříme o smíšených druhých parciálních derivacích, vpřípadě j= koryzíchdruhýchparciálníchderivacíchapíšeme 2 f x 2 j Analogicky třetí, čtvrté, páté a obecně m-té parciální derivace značíme m f x j1 x j2... x jm. Příklad. Určete všechny druhé parciální derivace funkce f(x,y)=x 2 y+x 4 y 3 definovanéve 2. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

4 Parciální derivace vyšších řádů Věta 3.5. Jsou-liparciálníderivace x j, x k diferencovatelnévbodě A,pakplatí 2 f x j x k (A)= 2 f x k x j (A). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

5 Funkce m-krát diferencovatelné v bodě Definice. Řekneme, že funkce f n proměnných je v bodě A m-krát diferencovatelná, jestliže jsouvbodě Adiferencovatelnévšechnyjejí(m 1)-níparciálníderivaceafunkce fa všechny její k-té parciální derivace, k < m 1, jsou diferencovatelné na všech bodech nějakého okolí bodu A. Věta 3.6. Je-li funkce f n proměnných m-krát diferencovatelná v bodě A, pak všechny m-té parciální derivace v bodě A lišící se jen pořadím parciálního derivování jsou si rovny. Příklad. Je-li např. f funkce dvou proměnných třikrát diferencovatelná v bodě A, pak 3 f x 2 y = 3 f x y x = 3 f y x 2. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

6 Je-lifunkce f nproměnnýchsdefiničnímoborem D(f), A D(f), sjednotkový n-rozměrnývektor,definujemefunkci g s jednéproměnnésdefiničním oborem D(g s )={t R; A+ts D(f)} a funkčním předpisem g s (t)=f(a+ts). Má-lifunkce g s derivacivbodě0,nazývámejisměrovouderivacífunkce fvbodě A vesměruvektoru saznačímeji s (A) (= g s(0)). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

7 Příklad Určete směrovou derivaci funkce f(x,y)=x 2 +xy+2y 2 v boděa=[1,2] ve směru vektoru s=(2,4). Poznámka Rozepsáním s (A)=lim t 0 g s(t) g s (0) t =lim t 0 f(a+ts) f(a) t tj. směrová derivace funkce f v boděave směru vektoru s popisuje, jak rychle se mění závisle proměnná s pohybem boduave směru vektoru s. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

8 Uvažujme základní jednotkový vektor e j =(0,0,...,0,1,0,...,0) apočítáme e j = g e f(a+te j (0)=lim j ) f(a) t 0 t ==lim t 0 f(a 1,a 2,...,a j +t,...,a n ) f(a) t = u=a j +t =lim u aj f(a 1,a 2,...,u,...,a n ) f(a) u a j =lim u aj g j (u) g j (a j ) u a j = x j (A), tedy parciální derivace jsou zvláštním případem směrových derivací. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

9 Předpokládáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A, g s (t)= f(a+ts)= f(a 1 +ts 1,a 2 +ts 2,...,a n +ts n ), afunkci g s považujemezasloženoufunkcisvnějšísložkou fasvnitřnímisložkami h j (t)=a j +ts j j=1,2,...,n (h j jsoudiferencovatelnév0, h j (0)=s j) g s jediferencovatelnáv0aplatí s (A)= g s(0)= x 1 (A)s 1 + x 2 (A)s x n (A)s n ( ) Definice Je-li funkce f diferencovatelná v boděa, definujeme gradient funkcef v bodě A jako n-rozměrný vektor a označíme jej gradf(a). ( x 1 (A), x 2 (A),..., x n (A)) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

10 Poznámka Vzorec (*) lze přepsat do tvaru kde. značí skalární součin vektorů. Poznámka (n=2 nebo n=3) Je-li gradf(a) 0, pak s (A)=gradf(A).s s (A)= gradf(a). s.cosα= gradf(a).cosα, kdeαznačí úhel vektorů s a gradf(a). Směrová derivace v bodě A je tedy největší, resp. nejmenší, právě kdyžα=0, resp. α=π. (tj. s je násobkem gradientu). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11

11 Příklad Určete jednotkový vektor s, v jehož směru je směrová derivace v boděa=[1,2] největší a zjistěte ji. f(x,y)=x 2 +xy+2y 2 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 11