Objevili Rutherford, Geiger, Marsden rozptyl alfa částic na zlaté folii. Asi krát menší než atom, obsahuje většinu hmoty atomu

Transkript

1 Jádro

2 Připomínám, co jsme se dozvěděli na druhé hodině: Objevili Rutherford, Geiger, Marsden rozptyl alfa částic na zlaté folii Asi krát menší než atom, obsahuje většinu hmoty atomu Víme: Skládá se z protonů a neutronů souhrnně nazývaných nukleony Takže je něco musí přitahovat k sobě Drží pohromadě jadernou silou, kterou zprostředkovávají částice zvané mezony neboli piony Při tom zprostředkování se piony rodí a zanikají a tím předávají energii Vztah mezi hmotou a energií dává teorie relativity, kterou budeme potřebovat k popisu síly

3 Relativita: už jsme potkali na cvičení v příkladu elektronového mikroskopu Pro částici typu č s klidovou hmotností m č v klidu je energie rovna klidové energii a hybnost je rovna nule m č c Když se nyní částice pohybuje rychlostí v, pak její hmotnost vzroste na takže energie pohybující se částice je: E = m č c 1 v c m č 1 v c a hybnost: p = m č v 1 v c = m č c 1 v c v c = E v c pc = E v c takže rychlost můžeme vyloučit E pc = E 1 v c = m č c 1 v c 1 v c = m č c Dostáváme tak relativistické vyjádření energie pomocí hybnosti E = pc + m č c

4 Odtud: E = pc + m č c Podíváme se na chování této závislosti energie na hybnosti Pokud je první člen pod odmocninou podstatně menší než druhý, jsme v nerelativistické limitě a můžeme udělat přiblížení E = m č c 1 + pc m č c m č c pc m č c = m č c + 1 pc m č c = m č c + p m č Takže v nerelativistické limitě je energie částice rovna součtu klidové energie a nerelativistické kinetické energie, jak bychom čekali Jak se hybnost zvětšuje, první člen nabírá na důležitosti oproti druhému, až převládne a nárůst energie je pak lineární v hybnosti E pc pro pc m č c Tím jsme dostali ultrarelativistickou limitu, kdy vztah mezi energií a hybností je jako u nehmotného fotonu

5 Obecně vztah mezi energií a hybností je přes klidovou energii m č c, což je minimální možná energie Konkrétně pro pion m π c 140MeV Na dlouhých vzdálenostech se vlnová funkce chová jako rovinná vlna ψ π = exp i ħ px Et Ale pro statický potenciál, tj. pro nulovou frekvenci ω = 0 dostaneme pro energii E = ħω = 0 pc + m π c = 0 p = m π c p = im π c Takže jsme dostali imaginární hybnost, jako při tunelování

6 Tím pádem, stejně jako při tunelování, se z komplexní exponenciály stane reálná ƛ π = ψ π = exp m πc ħ x = exp x ƛ π kde redukovaná Comptonova délka pionu ƛ π se dá vyjádřit pomocí redukované Comptonovy délky elektronu ƛ e ħ m π c = ƛ e m e m e c = ƛ m e π m π c m 0,5MeV 140MeV = m 1,4fm Na dlouhých vzdálenostech tedy dostáváme exponenciální pokles Odtud vlastnosti jaderné síly: -je nezávislá na náboji, stejná pro protony a neutrony -má krátký dosah několika fm, proto ji nepozorujeme v makrosvětě na rozdíl od elektromagnetické síly na těchto vzdálenostech přitažlivá. -na kratších vzdálenostech než asi fm je naopak odpudivá kvůli Pauliho principu: nukleony jsou fermiony a nechtějí být v jednom stavu. To je zřejmé pro dva protony a dva neutrony, ale platí to i pro proton a neutron --náznak toho, že protony a neutrony nejsou elementární, nýbrž jsou složeny ze stejných částic zvaných kvarky, viz dále

7 Potenciální energie jaderné síly Má podobný průběh jako potenciální energie mezi atomy, jak jsme ji potkali při studiu molekul další náznak, že nukleony jsou složené částice jako atomy, a že jaderná síla je druhotným projevem síly, která drží pohromadě nukleony Charakteristická vzdálenost fm a charakteristická energie desítky MeV oproti necelému nm a desítkám mev pro atomy (pro reaktivnější atomy H jsme měli jednotky ev)

8 Atom: mnohoelektronová vlnová funkce, všichni přitahovaní k jádru, vzájemně se odpuzovali Připomínám pro He ħ m e 4πε 0 r 1 r + 1 r 1 r ψ f r 1, S z,1, r, S z, = = Eψ f r 1, S z,1, r, S z, Tady podobné: mnohanukleonová vlnová funkce splňující Schrodingerovu rovnici Rozdíly: -jádro samotné nemá žádné jádro, jen působení nukleonů mezi sebou jako elektronů -zato nukleony dvojího druhu protony a neutrony -komplikovaný potenciální energie oproti 1/r v atomu -elektrické odpuzování 1/r jako u elektronů v atomu je navíc jen mezi protony, ale uvidíme, že je menší

9 Jako u atomů přiblížení pohybu nukleonů ve střední potenciální energii ostatních, tj. převedení na jednočásticovou Schrodingerovu rovnici, kde ale potenciál závisí na vlnové funkci Potenciálová jáma, k protonové se připočte Coulomb a tím ji trochu změní Přibližně 3d harmonický oscilátor, plus vazba spinu na orbitální moment hybnosti viz cvičení V jámě vznikají diskrétní hladiny energie, jak už víme

10 Výsledné hladiny: orbitální (s,p,d, ) plus spin-orbit štěpení vede na celkový moment hybnosti -viz cvičení

11 Tyto hladiny teď zaplňujeme od zdola nahoru, jako elektrony v atomu Počet protonů v jádře se značí Z = protonové, nábojové číslo, počet neutronů se značí N = neutronové číslo Hmotnosti protonu a neutronu jsou si velmi blízké M P 1, kg 938,3MeV/c M N 1, kg 939,6MeV/c Rozdíl méně než 0,15% Proto se zavádí hmotnostní číslo A=Z+N Značení prvku A Zkratka prvku Příklady uvidíme dále Názvosloví: jádrům se stejnou hodnotou jednoho z čísel se říká iso-něco stejné Z isotopy, určuje prvek a tím chemii, stejné N isotony, stejné A isobary

12 Kromě toho, že protony a neutrony mají skoro stejnou hmotnost, jaderná síla na ně působí stejně, jak už víme, jenom elektrická trochu jinak (viz trochu jiné potenciální energie) Proto se proton a neutron v jádře chovají jako dva různé stavy stejné částice, podobně jako dva různé spinové stavy elektronů v atomu, kterým tím pádem Pauliho princip dovolil být na stejné hladině Zavádí se proto tzv. isotopický spin, zkráceně isospin, který má hodnotu +1/ pro proton a hodnotu -1/ pro neutron Takže zaplňujeme hladiny od nejnižší nahoru částicemi s různým spinem a isospinem nebo, ekvivalentně, dva soubory hladin energie, jeden pro protony, druhý pro neutrony

13 Nejvíce stabilní zaplněné slupky, obdoba atomů inertních plynů Říká se jim magická čísla. Dokonce mohou být dvakrát magická, pro protony a neutrony např. p+n= 4 He 8p+8n= 16 O 0p+0n= 40 Ca Dál začne být dvojí magické obsazení obtížné, protože jádra by chtěla přebytek neutronů, ale jenom malý, jak uvidíme dále Ještě stabilní je 0p+8n= 48 Ca i když přebytek neutronů je velký Když už Z a N nejsou magická, tak stabilitě pomáhá, když jsou aspoň sudá kvůli Pauliho principu: Sudý počet částic párování spinová část antisymetrická, orbitální symetrická, jako dva elektrony v základním stavu He tady to vede k silnějšímu přitahování Sudo-sudá jádra stabilnější než sudo-lichá nebo licho-sudá Nejméně stabilní licho-lichá. Stabilní jen první čtyři 1p+1n= H= D 3p+3n= 6 Li 5p+5n= 10 B 7p+7n= 14 N

14 Zaplnění slupek se projeví spinem jádra, což je celkový moment hybnosti, složený jako vektorový součet z orbitálního a spinového jednotlivých nukleonů. Kvůli tendenci k párování bývá malý, max. 6 Se spinem je spojený magnetický moment Proton, neutron mají spin ½, jsou to fermiony Magnetický moment protonu, neutronu nebo jádra μ = γ I ħ μ N Tady je μ N = eħ m P 5, Am Obdoba dříve zavedeného Bohrova magnetonu jaderný magneton μ B = eħ m e 0, Am Ve jmenovateli hmotnost protonu pro μ N místo hmotnosti elektronu pro μ B. Elektron je asi 000 krát lehčí, takže jaderný magneton je asi 000 menší než Bohrův Proto na elektronovou spinovou resonanci jsou pro pole řádu Tesla potřeba frekvence GHz, kdežto na jadernou jenom MHz, jak jsme viděli. I je spin, γ je gyromagnetický moment, číslo řádu jednotek Pro proton μ,798μ N Pro neutron μ 1,91304μ N Pro elektron koeficient je 1 nebo, kdežto tady to jsou takhle vachrlatá čísla další náznak toho, že obě částice jsou složené. Navíc neutron by neměl magnetický moment vůbec, kdyby nebyl složený nemá žádný náboj

15 Spin a magnetický moment některých jader jádro I/ħ μ/μ N jádro I/ħ μ/μ N n 1/ p 1/.79 H H 1/ 3 3 He 1/ Li Li 3/ Be 3/ -1. Můžeme analyzovat pomocí slupkového modelu 10 B C 1/ N N 1/ / F 1/.6 Slupkový model nejlépe funguje blízko magických čísel; uzavřená slupka dá nulu 1p(1/)+n(0)= 3 H p(0)+1n(1/)= 3 He U těchto dvou jsou magnetické momenty blízké magnetickým momentům protonu a neutronu 7p(1/)+8n= 15 N Tady do uzavřené slupky chybí proton, takže magnetický moment má opačné znaménko než magnetický moment protonu. Má menší absolutní hodnotu, protože orbitální a spinový jdou proti sobě kvůli spin orbitální vazbě 8p+9n(5/)= 17 O Tady je nad uzavřenými slupkami jeden neutron, který má magnetický moment jen od spinu, protože nemá náboj. Proto magnetický moment je velmi blízký neutronu.

16 V jiných případech složitější U čtyřech stabilních licho-lichých jader se spiny většinou sčítají 1p(1/)+1n(1/)= H 3p(3/)+3n(3/)= 6 Li 5p(3/)+5n(3/)= 10 B 3p(3/)+4n(0)= 7 Li 7p(1/)+7n(1/)= 14 N U zbylých licho-sudých nebo sudo-lichých jader víceméně funguje párování a tím vyrušení v sudé části 6p(0)+7n(1/)= 13 C Magnetický moment velmi blízký součtu magnetických momentů protonu a neutronu, protože orbitální pohyb nepřispívá Tady se nesčítají Všichni mají kladný magnetický moment 4p(0)+5n(3/)= 9 Be Sčítají se V 14 N chybí jeden proton a jeden neutron do uzavřené slupky, proton má zmenšený magnetický moment o orbitální část, proto kladný celkový magnetický moment Znaménka magnetických momentů odpovídají lichému protonu a lichému neutronu Znaménko magnetického momentu odpovídá chybějícímu neutronu do uzavřené slupky 9p(5/)+10n= 19 F Dva neutrony nad uzavřenou slupkou interagují s jedním protonem a zmenší spin jádra na ½ magnetický moment jako od spinu protonu

17 Náboj uzavřené slupky je sféricky symetrický Odchylky od sférické symetrie popisuje kvadrupólový moment Q = 5 a b Ze a b Q > 0 Q = 0 Q < 0

18 Měření: Červeně vyznačená magická čísla, kde Q=0

19 Pole jádra v atomu nemá dno, proto elektrony hustěji a hustěji v atomech a velikost atomu zůstává zhruba stejná U jádra zůstává zhruba stejná vzdálenost mezi sousedními nukleony daná minimem v pionové interakci Odtud stálá hustota a zvětšující se jádro

20 Prostorové rozložení hustoty ρ = exp( ρ 0 r R a ) + 1 Význam veličin ρ 0 = 0,17u/fm 3, kg/m 3 Hustota jádra až do povrchové vrstvy u = 1g/N A 1, kg R r 0 A 1/3 a 0,6fm Atomová hmotnostní jednotka Poloměr jádra kde r 0 1,fm Tloušťka povrchové vrstvy Graf prostorového rozložení hustoty:

21 Atomová hmotnostní jednotka u = 1g/N A 1, kg 931,5MeV/c je blízká hmotnosti protonu a neutronu, M P 1, kg 938,3MeV/c M N 1, kg 939,6MeV/c Rozdíly: Hmotnosti obou částic se mezi sebou liší asi o 1MeV, ale oba o 7 8MeV větší než u Jak to?

22 Opět kvůli E = mc Pokles hmotnosti je projevem vazebné energie W M A, Z = ZM P + NM N W A, Z /c která je tedy 7 8MeV na nukleon Uvidíme znovu, až budeme probírat štěpení Tato hodnota vyhovuje též požadavku, že potenciální energie je řádově rovna kinetické viz odhady energie základního stavu atomu vodíku a harmonického oscilátoru na cvičení Odhad kinetické energie: E kin ħ ur = ħ ma B m u a B R = Ry m u a B R 13,6eV 0,51MeV 930MeV 0, m 1, m = 13,6eV 0,51 0,93 0,53 1, MeV což řádově souhlasí s jednotkami MeV; pro poloměr jsme vzali dolní odhad R = r 0

23 Vazebná energie na nukleon W A, Z /A pro většinu prvků skutečně je kolem 8MeV

24 Křivka má maximum lehká jádra se můžou slučovat, těžká štěpit a uvolní se energie o tom ještě bude řeč Zuby spojené s diskrétními hladinami a s paritou více vidět pro malá A Výsledek kvantové mechaniky, který se dá popsat poloempirickou formulí kapkový model, Weizsacker

25 Kapkový model členy s názorným fyzikálním významem plus odhad jejich velikosti Klasické členy 1. Vazba nukleonů v jádře je přibližně konstantní příspěvek k vazebné energii W 1 = a 1 A Lineární kvůli krátkému dosahu sil každý nukleon interaguje jen se sousedy, jinak by bylo kvadratické, jako elektrická níže každý s každým. Nukleony na povrchu jsou vázány méně jednotka povrchu stojí energii povrchového napětí σ, které vede ke kulatému tvaru kapky. Proto se vazebná energie sníží W = σ 4πR = 4πr σ A /3 a A /3 3. Protony se odpuzují: vazebná energie se sníží o energii rovnoměrně nabité koule, kterou jsme spočítali na cvičení W 3 = 3 5 Ze 4πε 0 R = 3 5 e Z 4πε 0 r 0 A 1/3 a 3 Z A 1/3

26 Odtud můžeme spočítat tuto poslední konstantu a 3 Hrubý odhad: Viděli jsme na cvičení, že klasický poloměr elektronu je řádově 1fm r 0, takže a 3 by mělo vyjít řádově klidová energie elektronu rovná zhruba 0,5MeV Přesnější výpočet Víme, že Ry = 1 e 4πε 0 a B t.j. e 4πε 0 = Rya B takže a 3 = 3 5 e 4πε 0 r 0 = 3 5 Ry a B r 0 = = ,6eV 0, m 1, m = 3 1,36 0,53MeV 0,7MeV 5 1, Vazebná energie je řádu 10MeV, takže elektrická energie je dosti malá oprava, jak už jsme čekali

27 Kvantové členy 4. Asymetrie stojí energii kvůli Pauliho principu Matematicky: energie, na kterou přidáme další částici, roste s počtem částic Říká se jí chemický potenciál, značí se písmenem μ a platí pro ni Pro protony E Z + 1 E Z = μ Z Pro neutrony E N + 1 E N = μ N Pro oba druhy částic přibližně stejná závislost a navíc μ je kvůli Pauliho principu rostoucí funkce svého argumentu

28 Když je závislost energie na počtu částic dostatečně hladká, můžeme přiblížit rozdíl derivací E Z + 1 E Z de Z dz = E Z a totéž pro N Takže E Z = μ Z Odtud integrací E Z = dz μ Z 0 Z a totéž pro N

29 Takže Taylorův rozvoj dá E Z + E N = E Z + N + Z N + E N + Z + N Z = = E A N Z + E A + N Z E A + A E +E A + A E N Z N Z E A + 1 E A N Z N Z + + Konstantní a kvadratické členy se sečtou, lineární se odečtou E Z + E N E A + E A N Z Ovšem E A = μ A takže E A = A μ E Z + E N E A + μ A N Z Chemický potenciál kvůli Pauliho principu roste s počtem částic, takže μ A > 0

30 Ale roste pomalu: E A roste zhruba lineárně s argumentem, kvůli krátkodosahové síle Derivace je zhruba dělení argumentem, takže první derivace E tj. μ roste pomalu a druhá derivace E tj. první derivace μ klesá jako mínus první mocnina Přírůstek k energii od asymetrie proto zhruba je C A N Z = C N + Z Z A = C A Z A μ A C A Odtud vidíme, že při zadaném poměru protonů a neutronů energie od asymetrie roste lineárně s počtem nukleonů, tak jako objemový člen vazebné energie C A Z A = C A Z A A = C 1 Z A A Takže asymetrií se vazebná energie se sníží o energii W 4 = C A Z A A Z a 4 A

31 5. Parita ovlivňuje energii kvůli párování: Už jsme říkali, že nejstabilnější jsou sudo-sudá jádra, pak sudo-lichá a licho-sudá Licho-lichá jsou až na první čtyři nestabilní Závislost na paritě klesá s rostoucím hmotnostním číslem, zhruba jako A 3/4 Matematické vyjádření + δ A 3/4 sudo-sudá W 5 = 0 sudo-lichá a licho-sudá δ A 3/4 licho-lichá

32 Celkově: W A, Z = a 1 A a A /3 a 3 Z A 1/3 a 4 A Z A + W 5 Už víme, že a 3 0,7MeV Weizsackerova formule Prozkoumáme na cvičení Vazebná energie kolem 10MeV znamená, že a 1 bude též někde kolem 10MeV, o něco větší protože ostatní členy od ní odečítají. a má stejný původ, takže bude mít podobnou velikost Koeficienty a 4 a δ jsou odvozeny od celkové energie, nejen potenciální, a proto budou větší, i když stejného řádu Skutečně to takhle vyjde. Hodnoty v MeV: a 1 15,8 a 17,8 a 4 3,7 δ 34

33 Graficky: podíl jednotlivých členů na vazebné energii na nukleon W A, Z /A W A, Z A = a 1 a A 1/3 a Z 3 A 4/3 a 4 konst klesá roste A Z A + W 5 A zhruba konst malé

34 Asymetrický člen ve skutečnosti mírně roste, protože trochu roste nadbytek neutronů na jeden nukleon prozkoumáme na cvičení To bude mít zásadní význam pro štěpnou reakci, kterou probereme později Weizsackerova formule určuje tvar nuklidového diagramu Obdoba periodické tabulky prvků pro jádra Čára nejstabilnějších jader začíná diagonálně a pak se odklání k N-rich

35 Červeně magická čísla

36 Ještě názorněji, když vynášíme na třetí osu rozdíl vazebné energie nejstabilnějšího isobaru a daného nuklidu, takže nejstabilnější isobary jsou na dně údolí, které má parabolický tvar viz cvičení Do údolí padají jádra prostřednictvím β rozpadů: β z neutron-rich a β + z proton-rich --to bude také na cvičení Na konci údolí α rozpad, jak je ukázáno na předešlé stránce Tím se dostáváme k radioaktivitě