2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL"

Transkript

1 . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin + C [7.] d = tg + C cos pro >, n pro pro [8.] d = cotg + C pro sin [9.] d = arcsin + C [.] d = arctg + C + π ( k + ), k Z kπ, k Z pro (, ) a [.] a d = + C ln a [.] e d = e + C pro a >, a [.] f ( ) d = ln f ( ) + C, f ( ) f( ) d [4.] = arctg + C, a> a + a a d [5.] = arcsin + C a a [6.] f ( a + b) d = F( a + b) + C, a a Metoda per partes : pro ( aa, ), a> ) v ( ) d = u( ) v( ) u ( u ( ) v( ) d, případně u ( ) v( ) d= u( ) v( ) u( ) v ( ) d Jarmila oležalová

2 .. v obdélníku Riemannův dvojrozměrný nebo také dvojný integrál je obecně definován pro funkci dvou proměnných z= f(, ). Výpočet Riemannova dvojrozměrného integrálu je jednoduchý, je-li integrační oblastí obdélník {(, ): a, b, c, d } = < > < >, jehož stran jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami a funkce z= f(, ) je v tomto obdélníku spojitá. Pak platí b d d b f (, ) dd = d f (, ) d = d f (, ) d. () a c c a Ve vztahu () je nutno odlišovat dvojrozměrný nebo také dvojný integrál f (, ) dd b d od integrálu dvojnásobného d f (, ) d nebo d f (, ) d d c (a) a b a c. (b) vpočítáme převedením na integrál dvojnásobný. V dvojnásobném integrálu počítáme obecně nejprve vnitřní integrál (v zápisu je vpravo) a teprve pak integrál vnější (v zápisu je vlevo). Praktický výpočet provádíme dvojnásobnou integrací funkcí jedné proměnné, při čemž druhou proměnnou považujeme za konstantu podobně jako při praktickém výpočtu parciálních derivací. v obdélníku {(, ): a, b, c, d } = < > < > snadno vpočítáme pro funkce, které lze napsat jako součin dvou funkcí jedné proměnné: f(, ) f( ). f( ). = Pak zřejmě platí: b d = a c f ( ). f ( ) dd f ( ) d f ( ) d. (c) Příklad... Vpočtěte dvojrozměrný integrál { } + A = e dd, = (, ) : <, >, <, >. Jarmila oležalová

3 Řešení:. Podle vztahu (a): + e A = d e d = d e e d = e d = 6 ( ) ( ) = e e e d = e e e d e e e = = = e ( e ) ( e ) = e ( e )( e ), 6. podle vztahu (b): + A = d e d = d e e d = e e d = ( ) ( ) = e e d = e e d e e = = 6 = ( e )( e e ) = e ( e )( e ), 6. podle vztahu (c): + A = e dd = e e dd = e d e d = = e e = e ( e )( e ). 6 Nelze-li funkci f(, ) rozložit na součin dvou funkcí jedné proměnné f( ). f( ), pak při integraci musíme postupovat stejně jako v prvním nebo druhém způsobu řešení integrálu A, tj. podle vztahů (a) nebo (b). ( + + ) Příklad... Vpočtěte B = dd = { < > < > }, (, ) :,,,. Řešení: Protože integrand ( + + ) nelze rozložit na součin dvou funkcí jedné proměnné, použijeme vztah (a): B = d d = ( ) d + + d = ( + + ) ( + + ) =. d = (( 5) ( ) + + ) d = ( ) 5 d = + + Jarmila oležalová

4 = [ ln + 5 ln + ] = (ln 8 ln 6 ln 6 + ln 4) = ln = ln Mohli bchom použít rovněž vztah (b). Poznámk. Pokud se zdá přímé integrování užitím vztahu [6] při integraci substituci: f ( a + b) d = F( a + b) obtížné, lze užít a B = d d + + = t, =, t = + =,, 5 ( ) d = dt = t = + = dt 9 = ln. d = d d t = = t Obecně nezáleží na pořadí integrace, ted platí vztah (a, b). V některých případech ale daný dvojrozměrný integrál může být snadno řešitelný jedním způsobem, druhý způsob však může být komplikovaný v závislosti na tvaru integrované funkce. Příklad... Vpočtěte integrál C = dd = { < > < > }, (, ) :,,,. Řešení:. Použijeme vztah (b): + C = d d = d = d = d = = [ ln + ] = ln ln = ln +.. Použijeme vztah (a): C = d d = d = d = ln ln ln. Je zřejmé, že další výpočet integrálu je pracný, proto je vhodnější postup podle (b). Příklad k procvičení:. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku užitím vztahu (a) nebo (b): a) + dd = { < > < > } ( ), (, ) :,,,, Jarmila oležalová 4

5 b) dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,,,, c) + dd = { < > < > } ( ), (, ) :,,,, ( ), (, ) :,,,, d) + dd = { < > < > } e) dd = { < > < > }, (, ) :,,,, π π π f) cos( + ) dd, = (, ) : <, >, <, > Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku užitím vztahu (c): a) dd = { < > < > }, (, ):,,,, b) dd = { < > < > } +, (, ) :,,,, + c) e dd = { < > < > }, (, ) :,,,, d) + dd = { < > < > } ln( ), (, ) :,,,, π e) sin dd, = (, ) : <, >, <, >. Výsledk:. a) 7; b) 6; c) 4; d) ( 9 ) ; e) 5 ; f).. a) 4; b) π ; c) e ; d) ln ; e)... v obecné uzavřené oblasti Abchom mohli vpočítat dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti, musíme znát integrační meze. Musíme ted nejprve oblast analtick vjádřit. Jarmila oležalová 5

6 Oblast normální vzhledem k ose (obr. ) obecně popisují nerovnice =g () d =h () =h () =g () a b Obr. c Obr. a b, a b g( ) g( ),, kde funkce = g( ), = g( ) jsou spojité v < ab>., Meze proměnné vjádříme číselně (nebo pomocí konstant), meze proměnné pomocí funkcí proměnné. Teprve pak můžeme dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti převést na integrál dvojnásobný, ve kterém vnější integrál vžd musí mít konstantní (číselné) meze, protože dvojný integrál je integrál určitý a výsledkem musí být konstanta (číslo): b g ( ) f (, ) dd = d f (, ) d, a g ( ) (a) Oblast normální vzhledem k ose (obr. ) obecně popisují nerovnice c d, c d h( ) h( ),, kde funkce = h( ), = h( ) jsou spojité v < c, d>. Meze proměnné vjádříme číselně (nebo pomocí konstant), meze proměnné pomocí funkcí proměnné. d h ( ) f (, ) dd = d f (, ) d. (b) c h ( ) Poznámka Přechod od zápisu dvojnásobného integrálu ve tvaru (a) do tvaru (b), respektive naopak nazýváme záměna pořadí integrace. Ve vztazích (a), (b) vžd integrační meze vnějšího integrálu musí být konstantní (číselné), integrační meze vnitřního integrálu mohou být funkce jedné Jarmila oležalová 6

7 proměnné. Nejdříve počítáme v dvojnásobných integrálech (a), (b) zásadně vnitřní integrál s proměnnými mezemi a teprve pak vnější integrál s mezemi konstantními. Význam dvojných integrálů: určuje pro f( >, ) objem tělesa, jehož dolní podstavou je oblast, které je shora ohraničeno funkcí z= f(, ). Příklad... Určete nerovnice pro převedení dvojrozměrného integrálu f (, ) dd, kde f (, ) dd je trojúhelník o vrcholech (,), (6,), (, 4), na dvojnásobný. Řešení: a) Nejprve vjádříme jako oblast normální vzhledem k ose. Je zřejmé, že oblast ohraničíme ve směru os zleva a zprava přímkami =, = 6, viz obr.. Ve směru os oblast ohraničíme zdola osou, která má rovnici = a shora přímkou + =, kterou převedeme na tvar 6 4 Oblast zapíšeme ve tvaru: : 6, 4 = 4. a podle (a) platí: 4 6 f (, ) dd = d f (, ) d. = (,4) =- +4 = (6,) Obr. b) Nní vjádříme jako oblast normální vzhledem k ose. Je zřejmé, že oblast ohraničíme ve směru os zdola a shora přímkami =, = 4. Ve směru os oblast ohraničíme zleva osou, která má rovnici =, a zprava přímkou + =, kterou převedeme na tvar 6 4 = 6. Jarmila oležalová 7

8 Oblast zapíšeme ve tvaru: a podle (b) platí: : 4, f (, ) dd = d f (, ) d. Příklad... Určete integrační meze pro f (, ) dd, kde je ΔABC, jehož stran jsou dán rovnicemi =, = + 4, = 6. Řešení: a) Nejprve vjádříme jako oblast normální vzhledem k ose. Pokud ohraničíme oblast ve směru os přímkami =, = 5, pak není shora hraničena jedinou křivkou a je nutno rozdělit ji na oblasti, přímkou =, viz obr. 4. Nerovnice pro oblasti a mají pak tvar: :, ( <, > ), : 5, ( <, 5 > ), + 4, ( <, + 4 > ), + 6, ( <, + 6 > ). =+6 =-4 (,5) C =-+6 =6- A (,) B = (-,) (,) (5,) Obr. 4 Podle vztahu (a) pak platí: f (, ) dd = f (, ) dd + f (, ) dd = d f (, ) d + d f (, ) d. b) Nní zapíšeme jako oblast normální vzhledem k ose. Ohraničíme oblast ve směru os přímkami =, = 5. Proměnnou vjádříme ze zadání příkladu jako funkci proměnné, tj. = 4, = 6. Nerovnice pro oblast pak mají tvar: : 5, ( <, 5 > ), 4 6, ( < 4, 6 > ). Jarmila oležalová 8

9 Podle vztahu (b) dostáváme 5 6 f (, ) dd = d f (, ) d. 4 Je zřejmé, že druhé řešení je jednodušší, neboť vede k řešení jediného dvojnásobného integrálu. Příklad... Stanovte nerovnice určující oblast =. Řešení: a) Nejprve určíme průsečík křivek, která je ohraničena křivkami = a = a =, viz obr. 5. Vřešením soustav těchto dvou rovnic dostaneme postupně 4 =, =, ( ) =. Reálné kořen ted jsou =, =. Oblast zapíšeme jako oblast normální vzhledem k ose. Proto ji ohraničíme ve směru os přímkami =, =. Křivka, která ohraničuje shora, má rovnici =. Křivka, která ohraničuje zdola, má rovnici =. Nerovnice pro oblast mají tvar: :,. b) Podobně určíme oblast jako oblast normální vzhledem k ose : Obr. 5 :,. Příklad k procvičení:. Určete integrační meze pro f (, ) dd jednodušším z obou způsobů, jestliže je a) čtřúhelník o vrcholech (,), (6, ), (6, ), (,5), b) čtřúhelník o vrcholech (,5), (,), (6, ), (6, 7), c) čtřúhelník o stranách =, =, =, =, d) trojúhelník o stranách + =, =, 4 =.. Určete integrační meze pro f (, ) dd a) ohraničena křivkou + = 4, oběma způsob, jestliže je Jarmila oležalová 9

10 b) ohraničena čarami =, =, = (, ). Výsledk:. a) 5 5 6; + + ; b) 6; ; c), ; d) 5 4, +. a), 4 4 nebo, 4 4 ; b) :,, :, nebo :,, :,. Vlastní výpočet dvojrozměrných integrálů si objasníme na příkladech. Příklad..4. Vpočtěte dd, je-li oblast ohraničena čarami =, = a =, ( ). Řešení: Zakreslíme oblast, viz obr. 6. Řešením soustav rovnic =, = dostaneme postupně, 4, 4, ( 4),, 4,,. = = = = = = = = Přímka = a křivka = (část parabol v I. kvadrantu) se ted pro protínají v bodě (4, ). Obr. 6 Oblast splňuje požadavk kladené na oblasti obou tpů. Vjádříme ji jako oblast normální vzhledem k ose. Jarmila oležalová

11 : 4,. Nní můžeme integrál vřešit: dd = d d = d d = d = d = = d = = = Proveďte sami záměnu pořadí integrace (oblast zapište jako oblast normální vzhledem k ose ). Příklad..5. Vpočtěte =, = + a =. ( ) dd, je-li oblast ohraničena přímkami Řešení: (-,) = (,) =- =- Obr. 7 Z obr. 7 je zřejmé, že jednodušší bude vjádřit oblast jako oblast normální vzhledem k ose. Při zápisu jako oblast normální vzhledem k ose, bchom oblast museli rozdělit na dvě podoblasti přímkou =, podobně jako v příkladu... :,. Integrál převedeme na dvojrozměrný integrál podle vztahu (b): Jarmila oležalová

12 ( ) dd d ( ) d = = d = 4 68 = (( + ) ( + )) d = ( ) d == =. Příklad k procvičení: Vpočtěte dvojrozměrné integrál v oblasti : a) (5 ) dd, je Δ ABC, A = (,), B = (,), C = (,), b) dd, je dána nerovnicí + 4, c) ( ) dd, je ohraničena přímkami =, =, + =, d) e) dd, je dána nerovnicemi + 4 4,,, dd, je ohraničená čarami =, =. Výsledk: a) ; b) ; c) ; d) ; e)... Transformace v dvojrozměrném integrálu vojrozměrné integrál, jejichž integrační oblastí je kruh, případně část kruhu, lze jednoduše vřešit transformací do polárních souřadnic. Kartézské souřadnice, bodu nahradíme polárními souřadnicemi ρϕ,, v nichž ρ znamená (-a,) φ ρ (,) (a,) vzdálenost bodu o souřadnicích (, ) od počátku soustav souřadnic a ϕ označuje orientovaný úhel, měřený od kladného směru os po průvodič bodu (, ) v kladném smslu, viz obr. 8. Obr. 8 Jarmila oležalová

13 Transformační rovnice při přechodu z kartézských souřadnic do polárních souřadnic mají tvar = ρcos ϕ, = ρsinϕ. Součin diferenciálů dd v dvojrozměrném integrálu nahradíme výrazem Jdρ dϕ, v němž výraz J ρ ϕ cosϕ ρsinϕ = J( ρϕ, ) = = = ρ sinϕ ρcosϕ ρ ϕ nazýváme jakobián transformace. Pro transformaci dvojrozměrného integrálu do polárních souřadnic platí f (, ) dd = f ( ρcos ϕρ, sin ϕρ ) dρ dϕ. () Oblast je obrazem oblasti v polárních souřadnicích. Například kruh se středem v počátku a poloměrem a, : {(, ): a } stran a a π, : {( ρϕ, ) : ρ (, a, ϕ, π) } Příklad... +, se zobrazí na obdélník o délkách > <. Proveďte transformaci do polárních souřadnic a vpočítejte integrál dd, : + a,, a >. Řešení: Oblast tvoří horní polovina kruhu se středem v počátku a poloměrem a (souřadnice je nezáporná v prvním a druhém kvadrantu). Pro každý bod (, ) oblasti při transformaci do polárních souřadnic platí < ρ a, ϕ < π, viz obr. 9. Uvedené nerovnice určují oblast, integrační meze obou proměnných jsou konstantní, proto integrujeme na obdélníku a dosazením podle () dostaneme (-a,) (a,) Obr. 9 Jarmila oležalová

14 a π a ρ π dd = ρsinϕρ d ρdϕ = ρ d ρ sinϕ dϕ = [ cosϕ] = * a a = [ ( ) ( ) ] =. Příklad... Proveďte transformaci do polárních souřadnic a vpočítejte integrál dd, : + 4, + 9,,. Řešení: Oblast je ohraničena dvěma soustřednými kružnicemi (o poloměru a =, a = ), přímkou = (která je osou prvního a třetího kvadrantu a svírá ted s kladným směrem os úhel π ϕ = ) a osou, viz obr.. 4 Y = (,) Pro oblast π π ϕ, : 4 ρ. Obr. v polárních souřadnicích platí Je zřejmé, že integrace v polárních souřadnicích () je jednodušší než v kartézských souřadnicích, protože nní integrujeme na obdélníku. ρcosϕρdρdϕ= cosϕdϕ ρ dρ= [ sinϕ] = π. * Příklad... π π π 4 Vpočtěte dvojrozměrný integrál ln( + ) dd, : + e. + 4 ρ 9 Jarmila oležalová 4

15 Řešení: Oblast je mezikruží ohraničené kružnicemi + = a + = e. Užijeme proto transformaci do polárních souřadnic (). Pro transformovanou oblast platí nerovnice : ρ e, ϕ < π. * e π ln( ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ) ln( ρ (cos ϕ+ sin ϕ)) ρ dρ dϕ = ρ dρ dϕ = ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ ρ (cos ϕ+ sin ϕ) e π e π e ln ρ ln ρ ln ρ π = dρ dϕ dρ dϕ [ ϕ] ρ = ρ = = π = π ln e = π( ln e) =. Při řešení jsme použili vztah ln ρ = ln ρ a cos ϕ + sin ϕ =. Vnější integrál jsme vřešili substitucí ln ρ = t, d ρ = dt. ρ Příklad..4. Vpočtěte dvojrozměrný integrál 4 dd, je-li integrační oblast ohraničena křivkou 9 4 Řešení: Rovnici hranice oblasti upravíme na tvar = 6. + =, ze kterého je vidět, že jde 9 4 o elipsu se středem v počátku a poloosami o délkách a =, b=, viz obr.. V takovém případě ke zjednodušení výpočtu s výhodou používáme tzv. zobecněné polární souřadnice, které mají obecně tvar = aρcos ϕ, = bρsinϕ. (4) Y (,) Obr. Jarmila oležalová 5

16 Pro jakobián transformace snadno odvodíme vztah ρ ϕ acosϕ aρsinϕ J = J ( ρϕ, ) = = = abρ. bsinϕ bρcosϕ ρ ϕ V našem případě platí (pro a =, b= ): = ρcos ϕ, = ρsin ϕ, J =.ρ = 6 ρ. Z obr. je zřejmé, že platí ϕ < π. Meze pro ρ zjistíme dosazením transformačních rovnic do analtického vjádření hranice oblasti : 4(ρcos ϕ) + 9(ρsin ϕ) = 6, odtud po úpravě dostaneme =, = ( > ). Proto ρ ρ ρ platí < ρ. Transformovaná oblast * ϕ < π, : < ρ. Zadaný integrál nní snadno vřešíme. * * ted představuje obdélník: (ρcos ϕ) (ρsin ϕ) 4 dd = 4 6ρ dρ dϕ 9 4 = 9 4 π (4 ρ ) = 4 ρ 6ρ dρ dϕ = 6 dϕ 4 ρ ρ dρ = 6. π.( ) = * = 4 π (8 ). Integrál v proměnné ρ jsme vřešili substitucí 4 ρ = t, ρ dρ = dt, ρ dρ = dt. Příklad k procvičení: Vpočtěte dané dvojrozměrné integrál v oblasti transformací do polárních souřadnic: a) b) ( ) dd, : +, ( + ) dd, : ( 4) + 6, c) d) dd, : +,,, ( + ) e dd, :, + 9, Jarmila oležalová 6

17 e) sin + dd, : π + 4 π. Výsledk: a) π ; b) 84π ; c) 6 π ; d) π 9 ( e ) ; e) 6π..4. Aplikace dvojrozměrného integrálu.4.. Objem válcovitého tělesa nad oblastí, Objem válcovitého tělesa nad oblastí, které je shora, resp. zdola ohraničeno plochou z= f(, ), je dán vztahem V = f (, ) dd. (5) Příklad.4.. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného plochami + =, z =, =, =, z =. Řešení: Rovina z = je rovina podstav daného tělesa. = (,4) =- +4 = (6,) Obr. Rovin =, =, + = protínají rovinu z = v přímkách =, =, + =, které určují hranice oblasti. Přímku + = převedeme na úsekový tvar + =. Odtud je zřejmé, že tato přímka protíná osu 6 4 v bodě (6,) a osu v bodě (,4), viz obr.. Plocha z = ohraničuje těleso shora. pro všechn bod (., ) Obvkle je třeba zjistit, zda průniková čára této ploch s rovinou z = neprotíná oblast v jejích Jarmila oležalová 7

18 vnitřních bodech. Položíme ted z = a dostaneme hraniční přímk oblasti. Integrační oblast zapíšeme jako oblast normální vzhledem k ose. : 6, 4. Podle vztahu (5) vpočítáme: V = dd = (4 ) d d = d d = 6 = 6 4 (4 ) = ( ) = ( )( 56) = Při výpočtu integrálu lze použít substituci Příklad k procvičení:. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného plochami: a) z =, + + z = 6, =, + =, b) + z = 6, + =, =, =, z =, =, z toho =, a to je rovnice 4 = t, d = dt, d = dt. c) d) e) z =, z = +, =, =, = 6, z =, z = +, =, =, + =, =, z =, + z =.. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného danými plochami užitím transformace do polárních souřadnic (): a) b) z,z ( = = je průnik tělesa a rovin z = ), + + z = 4, + = (část vně válce), c) z =, z =, + =, d) z =, + =, z = +, e) z =, + =, z =. Výsledk:. a) 4; b) 6 5 ; c) ; d) ; e) a) π 4 ; b) 4 π ; c) ; d) 9 ; e) 5 π. Jarmila oležalová 8

19 .4.. Obsah rovinné oblasti Pro obsah rovinné oblasti platí vztah P = dd. (6) Příklad.4.. Vpočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami =, = 4. Řešení: Hranice rovinné oblasti tvoří dvě parabol, viz obr.. Abchom získali souřadnice (,4) = jejich průsečíků, vřešíme příslušnou soustavu rovnic: = 4, = 4, =, =±, ted, (,) P(,), P(,). Integrační oblast zapíšeme jako oblast normální (-,) (,) =4- vzhledem k ose. :, 4. Obr. 4 4 [ ] (4 ) 4 P = d d = d = d = = = =. Příklad.4.. Odvoďte vzorec pro výpočet plošného obsahu elips. Řešení: Ab bl výpočet snadný, umístíme střed elips do počátku soustav souřadnic, délk jejích poloos označíme a, b, ( a >, b> ). Rovnice takové elips má tvar + =. a b Výpočet provedeme v zobecněných polárních souřadnicích (4): = aρcos ϕ, = bρsin ϕ, J = abρ. Je zřejmé, že pro celou elipsu platí ϕ < π, dosazením transformačních rovnic do ( aρcos ϕ) ( bρsin ϕ) rovnice elips určíme meze pro ρ : + =, ρ =, ρ =. Protože a b * v počátku soustav souřadnic platí ρ =, jsou hranice transformované oblasti určen nerovnicemi: ϕ < π, < ρ. osazením do vztahu (6) získáme Jarmila oležalová 9

20 π π ρ P = dd = abρ d ρ dϕ = ab dϕ ρ d ρ = ab[ ϕ] ab. π. πab. = = * Příklad k procvičení: Vpočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené čarami: a) =, = 5, =, b) c) =, =, =, =, d) =, = 7, 4+ 7 =, 4+ 4 =, e) =, = sin, = cos,. Výsledk: a) ; b) 6 ; c) ; d) 7; e)..4.. Obsah ploch Budeme-li určovat obsah části ploch z= f(, ), která je ohraničena průnikovou křivkou této ploch s válcovou plochou, která má povrchové přímk rovnoběžné s osou z a řídící křivku v hranici elementární oblasti, pak platí S = + ( z ) + ( z ) dd. (7) Příklad.4.5. Vpočtěte obsah ploch + + z = 4, která je ohraničena rovinami =, =, =, =, viz obr. 4. z Řešení: Z rovnice ploch vjádříme z = 4, z =, z =. Oblast je podle zadání čtverec určený nerovnicemi:,. Podle vztahu (7) platí: = = = = S = + ( ) + ( ) dd = d d = = [ ] [ ] = 4 Obr. 4 Jarmila oležalová

21 Příklad k procvičení: Určete obsah částí ploch: a) 6+ + z = ohraničené rovinami =, =, z =, b) c) z = ohraničené rovinami =, =, =, = 6, z = ohraničené rovinami =, =, =, = 4, d) z = ohraničené válcovou plochou + = 4, e) z + = ohraničené válcovou plochou + =. 6 Výsledk: a) 4; b) 6; c) ; d) (5 5 ) π ; e) 4 π Fzikální aplikace Jestliže je v hmotné rovinné oblasti dána hustota v jejím libovolném bodě (, ) funkcí σ (, ), pak hmotnost oblasti je určena vztahem m = σ (, ) dd, (8) statický moment oblasti vzhledem k ose, resp. je určen vztahem S = σ (, ) dd, resp. S = σ (, ) dd, (9) souřadnice těžiště T = ( ξη, ) hmotné oblasti jsou S S =, η =, () m m moment setrvačnosti oblasti při rotaci kolem os, resp., resp. z je I = σ (, ) dd, resp. I = σ (, ) dd, resp. Iz = I + I = ( + ) σ (, ) dd. () Jarmila oležalová

22 Příklad.4.4. Vpočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =, =, =, =, jestliže její hustota je dána funkcí σ =. ( + + ) Řešení: Je stejné jako řešení integrálu B v příkladu.. v kapitole.: 9 m = ln. 8 Příklad.4.5. Vpočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami =, =, =, = vzhledem k ose, je-li hustota dána funkcí σ =. Řešení: Platí σ (, ) = =, a proto úloha vede k řešení integrálu C v příkladu.. v kapitole.: S = ln. Příklad.4.6. Vpočtěte moment setrvačnosti čtverce ohraničeného přímkami =, =, =, =, který rotuje kolem os, je-li hustota dána funkcí σ =. Řešení: Protože σ (, ) = =, úloha vede opět k řešení integrálu C v příkladu.. v kapitole.: I = ln. Příklad.4.7. Vpočtěte souřadnice těžiště T homogenní oblasti, která je ohraničena kružnicí ( ) + =, jestliže hustota σ (, ) = pro všechn bod (, ). Řešení: Uvědomíme-li si, že střed S (, ) homogenního kruhu je středem smetrie dané oblasti, hned můžeme určit S(, ) T(, ). Příklad lze vřešit transformací do polárních souřadnic. Příklad k procvičení:. Určete hmotnost oblasti při daném rozložení hustot: a) je ohraničena přímkami =, =, =, =, hustota v bodě P je přímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu P od bodu (,), b) je ohraničena čarami =, = 4, =, hustota je dána funkcí σ =. Jarmila oležalová

23 . Vpočtěte statický moment homogenní rovinné oblasti, je-li σ =, a) je obdélník o délkách stran a=, b= vzhledem ke straně a, b) je půlkruh o poloměru r = 4 vzhledem k jeho průměru.. Vpočtěte souřadnice těžiště oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené čarami: a) b) c) =, =, =, + =, =, = 4, =, π d) = sin, =, =, 4 4. Vpočtěte moment setrvačnosti oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené a) čarami b) čarami =, = při rotaci kolem os, = +, =, = při rotaci kolem os, c) stranami Δ ABC, A = (, ), B = (, ), C = (,) při rotaci kolem os, d) přímkami =, =, = při rotaci kolem os. 5 8 k ; b).. a) ; b) 64 Výsledk:. a) (4 π)( + ) ( π )( + ) d) (, ) a) (, ) 5 ; b) 8 (, ); c) a) 8 ; b) ; c) 4 ; d) (, ) 5 ; Jarmila oležalová

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

1 Úvod. 2 Teorie. verze 1.0

1 Úvod. 2 Teorie. verze 1.0 Vícenásobný integrál verze. Úvod Následující tet se zabývá dvojným a trojným integrálem. ěl b sloužit především studentům předmětu ATEAT na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. ohou se v něm

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál Matematia III MATEMATIKA III Program - Křivový integrál 1. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(0, 0), B = (1, ), b) ( + y ) ds, : ružnice = acos t, y= a

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Transformace integrálů

Transformace integrálů 9 Kapitola 3 Transformace integrálů V předchozí kapitole jsme se seznámili se základní metodou výpočtu vícerozměrných integrálů převodem na násobné integrál. Z teorie jednorozměrného Riemannova integrálu

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Pavel Burda Jarmila Doležalová

Pavel Burda Jarmila Doležalová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016 VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematik Matematický seminář Petra Horáčková, Miroslav Hanáček Za jazkovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Tet neprošel jazkovou ani redakční

Více

PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH

PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECNICKÁ UNIVEZITA OSTAVA FAKULTA STOJNÍ PUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADEC Kvadratický moment I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. ichard Klučka Ing.

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 6 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vsoká škola báňská Technická

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více