3. ročník, 2013/ 2014 Mezinárodní korespondenční seminář iks

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3. ročník, 2013/ 2014 Mezinárodní korespondenční seminář iks"

Transkript

1 Řešení 3. série Úloha C3. Rovnostranný trojúhelník o straně délky n je vyplněný jednotkovou trojúhelníčkovou mřížkou. Uzavřená lomená čára vede podél této mřížky a každý vrchol mřížky potká právě jednou. Dokažte, že tato čára alespoň (n + 1)-krát zahne do ostrého úhlu. Řešení. Nejdříve si uvědomíme, že pro n = 1 úloha platí triviálně, dále budeme předpokládat n.obarvěmesinačernotrojúhelníčky,kteréjsouotočenéšpičkounahoru(takjakona obrázku). Všimněme si, že každý úsek čáry vede podél právě jednoho z těchto trojúhelníčků. Žádný z našich trojúhelníčků nebude sousedit všemi třemi stranami s naší čárou, protože pak by byla čára uzavřená jen kolem tohoto malého trojúhelníčku. Označme si počet černých trojúhelníčků, kterémajísčárouspolečnoujenjednu(resp.dvě)strany a 1 (resp. a ).Paksimůžemedélkučáry vyjádřitjako a 1 +a.navícvíme,že a 1 +a jemaximálnětolik,kolikječernýchtrojúhelníčků. Těchje n(počítámejepořádcích).vímetedy a 1 + a n.navíc čára je tak dlouhá, jaký je počet bodů, které obsahuje. Opět je spočítáme po řádcích a je jich 1++ +(n+1).vímetedy 1++ +(n+1) = a 1 +a = a +(a 1 +a ) a n, a n+1. Existuje tedy alespoň n + 1 černých trojúhelníčků, kde čára prochází kolem dvou jeho stran. Alenatěchtomístechsečáralámedoostréhoúhlu.Ostrýchúhlůjeprotoalespoň n+1. Poznámky opravujícího. Většina řešení postupovala podobně jako to vzorové. Někteří zapomnělizvlášťokomentovatpřípad n = 1,kdejimjejichřešenínefungovalo,zacožpřišliojeden bod. Řešitelé, kteří se snažili postupovat jinak, většinou řešení nedotáhli dokonce. Někteří tvdili, že v každém řádku musí být ostrý úhel(což neplatí), jiní se snažili rozebrat všechny možnosti, jak čára povede(což se ukázalo jako nereálné). Jediný, kdo jiný postup dotáhl do konce byl Eduard Batmendijn, jehož řešení se ale protáhlo na pět stránek. (Štěpán Šimsa) Úloha G3. Čtyřstěn ABCD má tu vlastnost, že součet obsahů stěn ABC a ABD je stejný jakosoučetobsahůstěn CDAaCDB.Ukažte,žestředyhran AC, AD, BC, BDastředkoule vepsané leží v jedné rovině. První řešení. Natočme čtyřstěn tak, aby hrany AB a CD ležely ve svislých rovinách ρ, τ (představujmesi ρ vlevo aτ vpravo ). Množinastředůúseček RT,kde R ρat τjezřejměsvislárovinaležícípřesněvpolovině mezi ρaτ.nazvěmetutorovinu σ.středyhran AC, AD, BC, BDvšechnypatřídoroviny σ. Označme I střed koule vepsané a r její poloměr. Hranatými závorkami značme objem, resp. obsah,azaměřmesenasoučetobjemů [ABCI] + [ABDI].Jelikož [ABC] + [ABD]jerovno polovině povrchu čtyřstěnu, máme [ABCI]+[ABDI] = r 3 ([ABC]+[ABD]) = 1 [ABCD]. 1

2 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks 3. séria Označíme-li písmenem J průsečík roviny ABI s hranou CD(řezem čtyřstěnu rovinou ABI je tedy trojúhelník ABJ), můžeme vyjádřit tentýž součet objemů pomocí obsahu společné stěny ABI jako [ABCI]+[ABDI] = [ABI] ( C,ABI + D,ABI ), 3 kde W,XYZ značívzdálenostbodu Wodroviny XYZ.Objemceléhočtyřstěnualelzevyjádřit jako [ABCD] = 1 3 [ABJ]( C,ABI + D,ABI ).Porovnánímdostáváme [ABI] = 1 [ABJ].Bod Itedyležívpolovině J-výškytrojúhelníka ABJ,atedytakéležívrovině σ. Druhéřešení. Keďdojdezásobatrikov,zavedemebarycentrickýsouřadnicovýsystém 1 A = (1,0,0,0),B = (0,1,0,0),C = (0,0,1,0),D = (0,0,0,1). Středy hran AC, AD, BC, BD mají potom postupně souřadnice ( 1 S AC =,0, 1 ) ( 1,0,S AD =,0,0, 1 ),S BC = a střed koule vepsané čtyřstěnu ABCD má souřadnice (0, 1, 1,0 ),S BD = I = ([BCD]/S,[ACD]/S,[ABD]/S,[ABC]/S), ( 0, 1,0, 1 ) kde [XYZ]značíopětobsahtrojúhelníka XYZa Sznačípovrchčtyřstěnu ABCD. Obecnárovnicerovinyvprostorumátvar αx + βy + γz + δw = 0,kde α,β,γ,δ Rjsou parametry.stačísitedytipnoutrovinusrovnicí x + y z w = 0adosazenímověřit,že všechpětpožadovanýchbodůvníleží.ustředůhranjetojasné(vždyseodečtepolovinas polovinou),ubodu Ivyužijemezadanoupodmínku [ABC]+[ABD] = [ACD]+[BCD]. Poznámky opravujícího. Většina správných řešení se více podobala tomu druhému vzorovému. Jinak znáte takovou tu úlohu, kde se chce dokázat, že vepsiště tečnového čtyřúhelníku leží napřímceskrzstředyjehoúhlopříček?tu,jaksetampoužije,žejsou-lidányúsečky ABa CD, pak množina bodů X takových, že součet(orientovaných) obsahů [ABX] +[CDX] je roven dané konstantě,jepřímka,apaksičlověkužjenvšimne,žeprovepsištěistředyúhlopříčekjeten součetroven 1 [ABCD]?Adokázalibysteněcopodobnéhoprovést oúroveňvýš? (Pepa Tkadlec) ÚlohaA3. Jsoudánareálnáčísla x 1,x,...,x n.ukažte,žeprokaždouneprázdnoupodmnožinu M {1,,3,...,n}platínerovnost ( ) x i (x i + +x j ). i M 1 i j n Řešení. Nejprve učiníme několik pozorování, která nám umožní úlohu zkonkrétnit. Mějme libovolnoun-ticireálnýchčísel A = (x 1,x,...,x n).označme X M množinu {x i,i M}.Slovem intervalbudemeoznačovatsumu x i + +x j pronějaká 1 i j n. (i)pokudsevavyskytujenula,můžemejismazat,čímždostaneme (n 1)-tici,prokterou má nerovnost opět platit. Smazáním nuly jsme levou stranu neovlivnili, zatímco na pravé jsme vynechali několik čtverců intervalů(začínajících nebo končících nulou). Proto nám stačí nerovnost dokázat pro n-tice bez nuly, opakováním úvahy bez nul. 1 Pro dvoudimenzionální obdobu viz například druhý sborníkový příspěvek dostupný na Jasně, všejelineární.

3 (ii) Pokud dokážeme platnost nerovnosti pro tu indexovou podmnožinu M {1,,..., n}, prokteroujeabsolutníhodnotasumy i M x inejvětšímožná,budeužnerovnostplatitipro všechny ostatní a budeme hotovi(pravá strana na M nezávisí). Toho dosáhneme zřejmě volbou buďprávěvšechkladných,neboprávěvšechzáporných x i.jevidět,žezměnaznaménekvšech čísel x i nerovnostnezmění,čilimůžemebúnopředpokládat,ževšechnačíslavx M jsoukladná. (iii) Pokud se v dané n-tici vyskytují dvě sousední čísla se stejným znaménkem, můžeme je slít dojednoho(x i,x i+1 x i = x i + x i+1 ),čímždostanemenovou (n 1)-ticitakovou, že z platnosti nerovnosti pro ni plyne platnost nerovnosti pro původní n-tici(levá strana se nezměnila,protožečíslasestejnýmznaménkembuďobějsou,nebooběnejsouvx M,apravá strana se zmenšila o čtverce těch intervalů, které obsahují právě jedno z čísel x i,x i+1 ). Po slití dvousousedníchčíselpochopitelněvšechna x i přeindexujemeod 1po n 1zazachování pořadíamzměnímetak,aby X M obsahovalazasevšechnakladná x i. (iv) Pokud je první nebo poslední číslo z A záporné, můžeme je vynechat. Levá strana zůstane, z pravé zmizí čtvrece těch intervalů, které začínaly/končily jedním z vynechaných čísel, ostatní intervaly zůstanou beze změny- je dobré si uvědomit, že tuto úvahu nemůžeme použít pro čísla, která nejsou na kraji A, protože by došlo i ke změně některých neodstraňovaných intervalů. Z těchto pozorování plyne, že stačí nerovnost dokázat pro n-tice s lichým n, které začínají kladnýmčíslem,znaménkačíselsepostupněstřídajíam = {1,3,...,n}.Dokážeme,žeprotakové n-tice platí identita(motivace ve videovzoráku): ( (x i +...+x j ) = x i ) + (x i +...+x j ) 1 i j n i M 1 i j n; j i+1. Z té již dokazovaná nerovnost triviálně plyne. Interval, který má sudý(resp. lichý) počet členů budeme nazývat sudý(resp. lichý). Identita vlastně říká, že součet čtverců všech intervalů jerovenčtvercisoučtupřes X M plusdvakrátsoučetčtvercůvšechsudýchintervalů.protože levá strana je vlastně součet čtverců všech sudých a lichých intervalů, po odečtení součtu čtverců všech sudých intervalů od obou stran dostaneme ekvivalentní rovnost ( ) (x i +...+x j ) = x i + (x i +...+x j ) 1 i j n; j i i M 1 i j n; j i+1 Tuto identitu roznásobíme a ukážeme, že všechny vzniklé členy se vyskytují na obou stranách ve stejném počtu, což zřejmě implikuje její platnost. Jaké členy po roznásobení vzniknou? Vzhledem ktomu,žesejednáočtvercesoučtů x i,budoutoprávěčleny x k x l,kde k,l {1,,...,n}(pro k ljsoutočleny x k x l,cožnámalenevadí,protožedvojkaseobjevujevždy).tentočlense večtverciintervaluvyskytujeprávětehdy,kdyžtentointervalobsahujeoběčísla x k i x l.búno nechť k l.proindex iprvníhoprvkuintervaluobsahujícího x k x l platí i k.podobněpro posledníindex jplatí j l.takovýchintervalůjetedy k(n l + 1).Můžemesijepředstavit jakošachovniciorozměrech k,n l + 1(poleosouřadnicích (a,b)odpovídáintervalu,který začínáčíslem x aakončí x b ).Jevidět,žepostandardnímobarvenítétošachovnice(nechťpole odpovídajícíintervaluod x 1 do x njebílé)budoulichéintervalybíléasudéintervalybudou černé. Pokud je alespoň jeden rozměr šachovnice sudý, je počet černých a bílých polí stejný, čili ipočetsudýchalichýchintervalůobsahujícínašedvačlenyjestejný.tojevsouladusnaší identitou,protožesumapřes Mobsahujepouzečlenyslichýmiindexy(platí n l+1 l (mod ).Pokudjsouobarozměryliché,jebílýchpolíojednovícenežčerných(tzn.sudýchintervalů jeojedenméně).dáletoznamená,že k,ljsoulicháčísla,takže k,l M,čilichybějícíčlenna pravé straně doplní suma přes M. Dokázali jsme, že každý člen se po roznásobení vyskytuje na obou stranách ve stejném počtu, čili rovnost platí. Poznámky opravujícího. Všech osm došlých řešení bylo správně, vyskytly se pouze drobnosti v ceně do jednoho bodu. Nerovnosti jsou sice klasickou oblastí olympiádní algebry, ale tentokrát 3

4 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks 3. séria šlo hlavně o zjednodušení a vhodnou kombinatorickou manipulací s dosti divokými sumami. Objevilo se relativně hodně různých přístupů. Nejčastěji řešitelé objevili identitu ze vzorového řešení, ale potom nevyužili triku s šachovnicí a museli počty členů celkem pracně vyjadřovat. Několikrátdošlonaindukcinebonavyjadřovánípomocísoučtů S(n) = x x n.nakonec násalejedenřešitelpřesvědčil,žeseopravdujednalooalgebru-buitruclamúspěšněpoužil Cauchy-Schwarzovu nerovnost. (David Hruška) ÚlohaN3. Naleznětevšechnapřirozenáčísla n,prokterámajíčísla na n +1stejnoumnožinu prvočíselných dělitelů. Řešení. Naúvodsirozmyslímečtyřimalátvrzení.Prvníznichbymělobýtvidět,druhádvě jsou známá a čtvrté není překvapivé. Lemma. Pokud a, bjsoulicháčíslataková,že a b,pak a +1 b +1. Důkaz: Pro každé liché k platí známý rozklad A k +B k = (A+B)(A k 1 A k B +... AB k +B k 1 ). Našelemmanenínicjinéhonežjehopřímýdůsledekpro A = a, B = 1alichéčíslo k = b a. Lemma. Označme ordnejmenšípřirozenéčíslo,prokteréplatí ord 1 (mod p)(tzv.řád prvku).potomprokaždépřirozenéčíslo m,prokteré m 1 (mod p)platí ord m. Důkaz: Prosporpředpokládejme,žeexistuje m = k ord+l,kde ljenenulovýzbytekpodělení číslem ord,takové,že m 1 (mod p).potomje 1 m = k ord+l 1 k l (mod p), tedy l 1 (mod p)pro l < ord,cožjesporsminimalitou ord. Lemma. Rovnice 3 a b = 1mávpřirozenýchčíslechpouzetriviálnířešení a = b = 1a a =, b = 3. Důkaz: Všimněmesi,žepro b je anutněsudé,protožeje b +1 1 (mod 4).Dostáváme a = c, c N,anásledně b = 3 c 1 = (3 c 1)(3 c +1). Čísla 3 c 1, 3 c + 1selišío,takžepokudtonejsouzrovnačísla a4,nemohoubýtobě mocninydvojky.případ 3 c 1 = dá c = 1aposléze a =, b = 3. Lemma. Prokaždéprvočíslo q > 3máčíslo q +1prvočíselnéhodělitelevětšíhonež q. Důkaz: Uvažujmeprvočíselnéhodělitele p q + 1.Potomje q 1 (mod p).našímvelmi nepřesněřečenýmplánemje,že ordbudeskorodělitel q( 1namísto 1bysnadnemuselahrát velkouroli),tedynejspíšbude ord = q.zároveňalezmaléfermatovyvětyvíme,že p 1 1 (mod p),takže ord p 1.Tobyznamenalo,že q = ord p 1,takže pbybylovětšíprvočíslo než q. Zpřesněme naše myšlenky. Protožeje q 1 (mod p),je q 1 (mod p).zlemmatuvyplývá,že ord q,což znamená,že ordjejednozčísel 1,, q, q.předpokládejme,žesenámpodařívyloučitprvní dvapřípady.pakje q ord.zmaléfermatovyvětyalemmatudostáváme ord p 1,tedy q ord p 1.Ukázalijsme,žeprvočíslo pjevětšínež q. Zbývádokázat,že ordnení 1nebo.Případ ord = 1byznamenal,že 1 1 (mod p),což prožádnéprvočíslo pneplatí.případ ord = znamená,že 1 (mod p),tedy p = 3.Jinými slovypokudmáčíslo q +1prvočíselnéhodělitelevětšíhonež 3,pakužjetentodělitelvětšínež q.pokudnemá,existujepřirozené a,proněž q + 1 = 3 a.zlemmatu3pakplyne q = 3,ale myuvažujemejen q > 3,čímžjetentopřípadvyloučen. 4

5 Zapoužitítěchtolemmatkonečněvyřešímepůvodníúlohu.Jistěje n +1liché,takžejein liché.podlelemmatu1prokaždéhodělitele dčísla nplatí d +1 n +1.Je-li d > 3aprvočíslo, existujepodlelemmatu4většíprvočíslo ptakové,že p d +1 n +1.Podlezadánípak p n. Tojealedivné,protožekekaždémuprvočíslu d > 3umímenajítvětšíprvočíslo p n.pokud není n = 3 k, k N,pakspeciálněpronejvětšíhoprvočíselnéhodělitele d ndostávámespor.v případě n = 3 k zadánívynucuje n + 1 = 3 a, a N.Tatorovnicemápodlelemmatu3řešení pouze n = 1an = 3.Prvnířešenínevyhovuje,zatímcodruhéano. Poznámky opravujícího. Lemma 3 je speciálním případem slavné Catalanovy hypotézy (též označována jako Mihăilescova věta, protože až Mihăilescu ji v roce 00 dokázal). Ta říká, že dokonceobecnádiofantickárovnice x a y b = 1mávpřirozenýchčíslechvětšíchnež 1jediné řešení,asiceprávě x = 3, a =, y =, b = 3. Místo lemmatu 4 lze využít speciální případ jiné věty, tentokrát Zsigmondyho věty. Ta mimojinéříká,žeažnajedinouvýjimkuplatí,žečíslo a n + b n,kde a, bnejsouobějedničky, máalespoňjednohounikátníhoprvočíselnéhodělitele,kterýnedělížádnézčísel a k + b k,kde k < n.touvýjimkoujeprávěčíslo Stímtovýsledkemjeúlohapoměrněsnadná.Stačí vzíttohotounikátníhoprvočíselnéhodělitele p n + 1.ZmaléFermatovyvěty p p 1 1, takže p n + p 1 = p 1 ( n p+1 +1).TojesporsZsigmondyhovětou,pokudnejdeprávěo výjimku n = 3. Hodně správných řešení použilo Zsigmondyho větu. Ostatní používali podobné myšlenky jakovzorovéřešení.někteřízkoumali,kdynastává k 1 (mod p).nenítěžkéukázat,že pokudje ordliché,taknikdy,apokudje ordsudé,pakprávěpro k = (l 1) ord.tytoúvahy také končily úspěšným důkazem. (Pavel Šalom) 5

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Věnováno RNDr. Milanu Prágerovi, CSc., k jeho 85. narozeninám

Věnováno RNDr. Milanu Prágerovi, CSc., k jeho 85. narozeninám Součet úhlů ve čtyřstěnu Věnováno RNDr. Milanu Prágerovi, CSc., k jeho 85. narozeninám Jan Brandts, Apo Cihangir, Amsterdam, Michal Křížek, Praha Kolik je součet úhlů v rovinném trojúhelníku? Odpověd je

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 9. tříd 005 MA0Z9 MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI A Testový sešit obsahuje 7 úloh. Na řešení úloh máte 40 minut. Při řešení konstrukční úlohy užívejte rýsovací potřeby. V průběhu

Více

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP

ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP Doc. PhDr. Marta Volfová, CSc., Katedra matematiky Název úloh byl zvolen podle významného německého matematika G. L. Dirichleta (1805 59). Dirichletův princip pomáhá

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix Michal Hrušecký, Jaroslava Hlaváčová Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Motivace Při zpracování přirozeného jazyka nikdy nemůžeme mít

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Mějme sedm celých čísel takových, že součet libovolných šesti z nich je dělitelný pěti. Dokažte, žepotomkaždézčíselmusíbýtdělitelnépěti.

Mějme sedm celých čísel takových, že součet libovolných šesti z nich je dělitelný pěti. Dokažte, žepotomkaždézčíselmusíbýtdělitelnépěti. ½º ÖÒ Ö Celá ÐÓ ¾º ÐÓ ½º čísla ÐÓ º ÐÓ º třemi. ÐÓ º ÐÓ º ÐÓ º Ì ÖÑ ÒÓ Ð Ò ½½º ÒÓÖ ¾¼½ ( Ó Ý) ( Ó Ý) ( Ó Ý) ( Ó ) ( Ó ) Naleznětevšechnaceláčísla xtaková,že2 x (4 x)=2x+4,aukažte,žežádnájináužnejsou. Dokažte,žepokud

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti Ing. Miroslav Valečko Zimní semestr 2014/2015 25. 11. 2014 Návrh schématu databáze Existuje mnoho způsobů, jak navrhnout schéma databáze Některá jsou lepší, jiná zase

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.

Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu. 1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Kombinatorika, základní kombinatorická pravidla, pravidlo součtu, pravidlo součinu

Kombinatorika, základní kombinatorická pravidla, pravidlo součtu, pravidlo součinu Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Test studijních předpokladů Varianta A2 FEM UO, Brno 2013. 1

Test studijních předpokladů Varianta A2 FEM UO, Brno 2013. 1 Test studijních předpokladů Varianta A2 FEM UO, Brno 2013. 1 Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): V týmu není Pavel nebo není Václav. A:

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více