Kombinatorický předpis

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kombinatorický předpis"

Transkript

1 Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě ve fyzice. Předpokládám totiž, že to je princip nulového potenciálu vakua, nebo také nulových nábojů jaderných částic. Současně je to jedna ze základních kapitol Kombinatoriky kde je celá problematika propracována do větší hloubky. Oč se jedná pochopíme z existenčního vyjádření systému. Systém jako měnící se množina zachovává konstantní počet svých existujících prvků p 0;1. Tedy S M = konst p 0;1. Tento výraz přikládáme zejména celé formální třídě 2 n Pascalova vyjádření, ale důkaz vyjadřujeme jen na jedné třídě kombinací ze všech možných třídy 2 n. Můžeme tedy zjednodušit vyjádření na formulaci existence konstantního počtu prvků stejného systému v každém okamžiku pro jakoukoliv třídu kombinace téhož n. Není až tak důležité kolik je prvků v pozici p 0, nebo p 1. Jde jen o to, aby jejich součet byl v každém okamžiku roven n. Když vyjádříme jednu, nebo všechny třídy kombinací dostaneme se k náhledu na existenci. Ukážeme si to názorně na Pascalově třídě 2 4. Pascalova třída 2 4 se skládá z 5 ti tříd kombinací, konkrétní třídy jsou složeny z prvků A,B,C,D : S = C(0 ze 4) = 1 p 1 = 0 p 1 ( ABCD ) S = C(1 ze 4) = 4 p 1 = 1 p 1 ( buď ABC, nebo ABD, ACD, BCD ) S = C(2 ze 4) = 6 p 1 = 2 p 1 ( buď AB, nebo AC, AD, BC, BD, CD) S = C(3 ze 4) = 4 p 1 = 3 p 1 ( buď A, nebo B, C, D ) S = C(4 ze 4) = 1 p 1 = 4 p 1 p 1 = 0 Pro udržení systému musíme vyjádřit, že prvky typu p 1 jsou okamžitým stavem prvků výběru k z binomického vyjádření. Takže pokud neexistují v podobě p 1, musí existovat v podobě p 0. To je ale jiná množina prvků. Takže systém může setrvávat jako existovat jen pokud souběžně existují nezávislé množiny (správně podmnožiny) prvků p 1 M K, a p 0 M N-K, Při tom má každý prvek jednotlivě vlastní binární množinu stavů která je dána kontinuálně poměrem mezi oběma stavy. Na rozdíl od systému je tato binární množina množinou neomezenou počtem systém n prvků může nějak zaniknout, ale jednotlivý prvek nemusí zanikat se svým hostitelským systémem, nebo množinou. Takže když existuje konkrétní systém, tak může také zaniknout přechodem na jiný, ale prvek nikoliv. Pokud totiž jednou existuje, existuje navždy nejméně jako historická pravda. K systému se vztahuje aktuální existence v čase současnosti. Pokud určitý systém zanikne, nemá velikost jen historickou hodnotu minulé existence 1 celá. Objevuje se zde paradox dvojího existenčního vyjádření pro tři stavy času existence budoucnost, současnost a minulost. Je to samozřejmě opakování, takže zdůrazníme jen to, že prvek nemůže degradovat velikostí přechodem z budoucnosti do současnosti, ani do minulosti, ale systém, nebo množina jako rozměrný počet ano. Paradoxní podvojnost vychází ze současné existence dvou navzájem vyloučených stavů p 0 p 1. Což je přímá souvislost s Pascalovou třídou 2 2 (v důsledku také vlastně binomická věta). 2 0 = 1 (množina dvou prázdných prvků) C(0ze2) = počet různých stavů 2 1 = 2 (dvě množiny existujících prvků) C(1ze2) = počet různých stavů 2 2 = 1 (množina jediného plného prvku dvojice) C(2ze2) = počet různých stavů Vyjádření nám říká, že pokud má existovat konkrétní třída n Pascalova vyjádření, musí potenciálně existovat také všechny třídy nižší až po n = 0. V tomto okamžiku se ale díváme na vyjádření množství,

2 tedy správně existujícího množství jako počtu, nikoliv jako existence tělesových prvků. Pro systémy běžně vyjadřujeme místo Pascalových tříd, třídy kombinací. Vše směřuje k tomu, že při vyjádření množství pomocí binomického koeficientu, nebo kombinačního čísla, a nebo také pomocí Bernoulliho schemat narážíme na překážku existence v současnosti. Dříve jsme si to popsali jako vztah dvou různých a navzájem vyloučených množin M K a M (N-K). Nyní si to vyjadřujeme jako časovou souvislost. Tu už si tak snadno nevybavíme. Použijeme stejné prvky A, B, C, D, a zjistíme, že pokud je aktuálně současný existující výběr AB, je jeho zbytek (sigma aditivní doplněk) CD existující v jiném čase buď v minulosti, nebo budoucnosti, a nebo i v obou variantách, ale v současnosti je nutně neexistující, a nebo se jev odehrává na dvou různých současných úrovních, ale je jen pro sigma aditivní doplňky do počtu prvků systému je to dokonce podmínka existence téhož systému. Jenomže obelstít čas jako dvojnásobnou různou současnost nelze v rámci opakování systému. Všechny prvky systému musí existovat v reálné současnosti. Svým způsobem to znamená, že současnost je plocha, která je popsána rovnoběžkami a různoběžkami součástí systému. To je celkem pochopitelné zejména z pohledu dilatace času. Každý element systému má na ploše časové současnosti svou dráhu, která může křižovat jiné, nebo být s nimi mimoběžná a podobně. Přes to jde o současnost součástí systému. Představu ještě podpoříme tím, že plocha současnosti je plochou vlny jejíž hřeben je konstantní (alespoň přibližně) přímka převážně (jako průměrně) kolmá na linie prvků systému. Takže o současnosti systému nepochybujeme, pokud víme, že systém existuje. Potom pochopíme, že navzájem se nějak křižující (protínající) dráhy prvků mohou být současně nesoučasné bodem. Dvě časové dráhy různých prvků mohou být ve stejné současnosti (přímkovém hřebenu vlny) jako jiné body jiných elementů téhož systému. Mohou mít na takové přímce navzájem různý distanc, neboli jsou současné, ale na jiných nezávislé, přičemž se rozložení kontinuálně mění. Postupně se na aktuálním hřebeni časové vlny objeví všechny body průniků jednotlivých drah. To se může dít opakovaně, ale systém může zaniknout. Dostane jen historickou hodnotu 1 celá. Nikoliv však prvky. Na základ kombinatorického předpisu narazíme v rámci učiva základních škol. Jde o vyjádření pomocí binomického koeficientu (stejně kombinatorický vzorec, nebo Bernoulliho schemata apod.) Tyto vzorce vyjadřují potenciální počet (nikoliv existenci kauzálního počtu). Je to však vyjádření součtu hodnot. Například kombinace 2. třídy z celku 5 možných = 10 ale dvojic. Aby systém platil, musí aktuálně existovat všechny prvky, nejen ty vyjádřené dvojice plného systému. To je však určitým způsobem skrytá množina kombinací 3. třídy ze stejného celku. Hovoříme o sigma aditivním doplňku, který je v poloze množiny prvků prázdných. Ty však nemají s těmi přímo vyjádřenými společný průsečík. Aby byl potenciálně výraz pravdivý, měl by to odrážet také vzorec. Ze vzorce ale nic podobného nevyčteme. Například kombinace 2. třídy z celku 7 se vypočítají podle vzorce n nad k faktoriál jako 7*6/1*2. Kde je však ten zbytek tedy 5, 4, 3, 2, a 1 v čitateli a 3, 4, 5, 6, a 7 ve jmenovateli?

3 Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 3 čitatel 0*(n) 1*(n-0) 2*(n-1) 3*(n-2) 4*(n-3) 5*(n-4) k(n-k) n(n-n) = 0 jmenovatel k (k=n) = n výsledek (n)(?!?) (n) (n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-k) 0 (?!?) Z toho plyne zase poměrně jednoduchá zásada sigmaaditivních systémů. Každý subsystém v rámci stejné třídy Pascalova trojúhelníku je dán pro shodné n jako k a k němu sigmaaditivní (n-k). Podobné je to pro variace, které už nejsou zlomkem. Modré sloupce můžeme poměrně dobře vysvětlit zejména pro kombinace. Prostě existenci nulté třídy definuje Pascalův trojúhelník. Proč ale nemůže stoupat rozdíl v součinu (podílu) na hodnotu 0? On tento rozdíl může nabývat nulové hodnoty, ale jen za předpokladu, že existuje. Vybavíme li každý člen logickým existenčním výrokem, vzorec platí. Logický výraz exist ( ) má jak velikostní tak hodnotový parametr. Pro hodnoty je to součin a pro velikost součet, což vyjadřujeme zkráceně jako x (0;1). Potom zjistíme, že se realita překlápí přímo do pozice naprosto odvrácené. Neznamená to však, že když neexistuje v jedné relaci (viditelné - povrch) nemůže existovat její velikost v relaci neviditelné (vnitřní, nebo odvrácený povrch). Pro bližší objasnění Základy teorie pravděpodobnosti. třída Výraz C(k=0..n z celku možných n=7) = třída Pascalova trojúhelníku 2 7 variace a kombinace Nultá třída ( 7 1 ; 0 1 )( 6 0 ; 1 0 )( 5 0 ; 2 0 )( 4 0 ; 3 0 )( 3 0 ; 4 0 )( 2 0 ; 5 0 )( 1 0 ; 6 0 ) První třída ( 7 1 ; 0 1 )( 6 1 ; 1 1 ) ( 7 0 ; 0 0 )( 6 0 ; 1 0 )( 5 1 ; 2 1 )( 4 1 ; 3 1 )( 3 1 ; 4 1 )( 2 1 ; 5 1 ) Druhá třída ( 7 1 ; 0 1 )( 6 1 ; 1 1 )( 5 1 ; 2 1 ) ( 7 0 ; 0 0 )( 6 0 ; 1 0 )( 5 0 ; 2 0 )( 4 1 ; 3 1 )( 3 1 ; 4 1 ) Třetí třída ( 7 1 ; 0 1 )( 6 1 ; 1 1 )( 5 1 ; 2 1 )( 4 1 ; 3 1 ) ( 7 0 ; 0 0 )( 6 0 ; 1 0 )( 5 0 ; 2 0 )( 4 0 ; 3 0 ) Čtvrtá třída ( 7 1 ; 0 1 )( 6 1 ; 1 1 )( 5 1 ; 2 1 )( 4 1 ; 3 1 )( 3 1 ; 4 1 ) ( 7 0 ; 0 0 )( 6 0 ; 1 0 )( 5 0 ; 2 0 ) Pátá třída ( 7 1 ; 0 1 )( 6 1 ; 1 1 )( 5 1 ; 2 1 )( 4 1 ; 3 1 )( 3 1 ; 4 1 )( 2 1 ; 5 1 ) ( 7 0 ; 0 0 )( 6 0 ; 1 0 ) Šestá třída ( 7 1 ; 0 1 )( 6 1 ; 1 1 )( 5 1 ; 2 1 )( 4 1 ; 3 1 )( 3 1 ; 4 1 )( 2 1 ; 5 1 )( 1 1 ; 6 1 ) Z této relace plyne několik dalších věcí. To co neexistuje přímo jako hodnota, existuje potenciálně jako velikost, nebo opačně. Takže například střední vyvážený stav (liché množiny normálně neexistuje) má variantu existující negace p 0 a tak podobně. Pro prvkově lichou množinu potřebujeme přidat jeden prvek aby množina byla sudá a měla rovnovážný stav. Dostaneme jakýsi numerický průměr. Pak jsou každá dvě sousední čísla ne Euklidově ose stejná. Ta nula je kauzální. Fyzikální množiny se nemohou reálně chovat jako sudé a liché. Je zde však podstata existence nulového potenciálu. Znamená to doslova, že potenciál má velikost a nemá hodnotu současnosti existence (graficky je v singulární pasti). 1. (n 7 ) 0 = 1, a představuje množinu 7 prvků. Veškeré kombinace a uspořádání jsou dány třídou 2 7, což reprezentuje 8 tříd kombinací: C(0 ze 7) = 1 C(1 ze 7) = 7 C(2 ze 7) = 21 C(3 ze 7) = 35 C(4 ze 7) = 35 C(5 ze 7) = 21 C(6 ze 7) = 7 C(7 ze 7) = 1 Výpočet provádíme známým způsobem, co ale o tomto způsobu nevíme je existenční podmínka. Existenční podmínka říká, že každá vyšší třída n podle Pascala je dána součtem všech existujících nižších plus příslušné n 0 = podíl s hodnotou p 0 a velikostí 1celá. Z toho ale vzorec pro výpočet kombinací (fragmentace Pascalovy třídy) nevychází. Prostě nějak ignorujeme samu podstatu kombinatoriky viz též Kombinatorický strom a jiné kapitoly Teorie pravděpodobnosti. Správně se nadřazenost Pascalovy třídy objeví až když dovedeme teorii kombinatoriky do důsledného vyjádření binomických koeficientů v podobě kombinačního vzorce.

4 Předpis pro kombinatorický vzorec základ 7 prvků dělitel dělenec 1/7 1/6 2/5 3/4 4/3 5/2 6 7 podíl Předpis pro kombinatorický vzorec nám udává mimo postupu řazení dělenců a dělitelů ve třídách také řad základních podílů, a je to určité vyjádření kontinuálně diskrétní podstaty. Touto podstatou je součet a součin spolu se součtem a rozdílem v obráceném pořadí velikosti. Je to obraz singularit, nebo také základní hierarchie mezi čísly a současnou existencí. Konkrétní rozpracování předpisu pro n = 7. Nultá kombinační třída ze základu dělitel dělenec 0 1 /0 1 podíl Nultá třída je paradoxní jen zdánlivě. Každá vyšší třída řádu n 0 vzniká přírůstkem o +1 (podíl), takže 1. třída vzniká z nulté připočtením jednice. První kombinační třída ze základu x1 1 = dělitel 0 1 x7 1 = dělenec (7 1 /1 1 ) =7 podíl První třída už je zřejmá. Proti obvyklému tvaru zde máme jen rozšíření právě o tu formální nulu. Druhá kombinační třída ze základu x1 1 x2 1 = dělitel 0 1 x7 1 x6 1 = dělenec (42 1 /2 1 ) = 21 podíl Druhou třídu už komentovat nebudeme. Jen si všimneme co že by mohly znamenat ty šedé neexistující podklady. Nebyl by to doplněk? Třetí kombinační třída ze základu x1 1 x2 1 x3 1 = dělitel 0 1 x7 1 x6 1 x5 1 = dělenec (210 1 /6 1 ) = 35 podíl Třetí třída je spolu se čtvrtou nejmohutnější množinou sytému. Navzájem jsou sigmaaditivní pro okamžitý součet existujících p 0;1

5 Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 5 Čtvrtá kombinační třída ze základu x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 = dělitel 0 1 x7 1 x6 1 x5 1 x4 1 = dělenec (840 1 /24 1 ) = 35 podíl Čtvrtá třída je spolu se třetí nejmohutnější množinou sytému. Navzájem jsou sigmaaditivní pro okamžitý součet existujících p 0;1 Pátá kombinační třída ze základu x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 = dělitel 0 1 x7 1 x6 1 x5 1 x4 1 x3 1 = dělenec ( /120 1 ) = 21 podíl Pátá třída je spolu se druhou navzájem sigmaaditivní pro okamžitý součet existujících p 0;1 Šestá kombinační třída ze základu x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 = dělitel 0 1 x7 1 x6 1 x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 = dělenec ( /720 1 ) = 7 podíl Šestá třída je spolu se první navzájem sigmaaditivní pro okamžitý součet existujících p 0;1 Sedmá kombinační třída ze základu x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 x7 1 = x7 1 x6 1 x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x1 1 = 5040 dělitel dělenec ( / ) = 1 podíl Sedmá třída je spolu se nultou navzájem sigmaaditivní pro okamžitý součet existujících p 0;1 Součet stále existujících tříd dává třídu další v pořadí 8 (žlutý podklad). Je to určitý znak kontinuity systémů založených na principu kombinatoriky s podobou Pascalova řádu n. Vše se vyznačuje dokonalými součty stále existují systémové markanty v nějaké podobě existující, nebo neexistující. Podstatou předpisu je vlastně jakýsi druh negace, nebo také nepřímé úměry mezi dělencem a dělitelem, který se prolíná do všech operací součinu, které jsou vlastně operacemi na Bernoulliho systémech. (V rámci stejné třídy k hovoříme o Bernoulliho schematech, zatímco v rámci třídy n hovoříme o Pascalově řádu. Takže Pascalův trojúhelník ve sloupcích vyjádří Pascalův řád, a v řádcích řád Bernoulliho.) V rámci schemat tříd k jsem naznačil existenční podmínky. Takže absolutní součin, nebo součet členů dělence a dělitele je stejný. Jen je otočeno pořadí. Pod největším členem je člen nejmenší. V rámci

6 kombinační třídy jsou členy v řádku vynásobeny jak v dělenci, tak i v děliteli. Zůstává však jakoby nepovšimnuta zbylá část, kterou jsem odložil do neexistence. Domnívám se, že tato část je podobou doplňku, který je zase podstatou energie matematického vakua. Proč si to myslím? Klasický výraz pro kombinace určité třídy má sigmaaditivní doplněk. Jenže to je určité násilné převedení předpisu na převrácenou hodnotu. Například dvojic je stejně jako pětic ze základu 7, a tak dál. Znamená to, že v lineárním čitateli a jmenovateli předpisu dochází na deformaci podstaty 1/1 = 1. Kombinatorický doplněk pro třídu 0 je ještě dost logickým členem. V podstatě se základ rovná doplňku. Ale tím také rovnost mezi základní kombinací a doplňkem končí. Nultá kombinační třída ze základu 7 a její doplněk dělitel dělenec 0 1 /0 1 podíl x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 x7 1 = 5040 dělitel x6 1 x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x1 1 = 5040 dělenec 0 1 /0 1 ( / ) = 1 podíl Doplňkem nulté třídy je třída 7. bez nuly tak jak ji známe klasicky. První kombinační třída ze základu 7 a její doplněk. 0 1 x1 1 = dělitel 0 1 x7 1 = dělenec (7 1 /1 1 ) =7 podíl 0 1 x1 1 = x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 x7 1 = 7 dělitel 0 1 x7 1 = x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x1 1 = 1 dělenec (7 1 /1 1 ) =7 1/7= 1/7 podíl První třída ukazuje, že součin základní kombinace a doplňku = 1 celá, což je zřetelně rovno předpisu Druhá kombinační třída ze základu 7 a její doplněk. 0 1 x1 1 x2 1 = dělitel 0 1 x7 1 x6 1 = dělenec (42 1 /2 1 ) = 21 podíl 0 1 x1 1 x2 1 = x4 1 x5 1 x6 1 x7 1 = 42 dělitel 0 1 x7 1 x6 1 = x4 1 x3 1 x2 1 x1 1 = 2 dělenec (42 1 /2 1 ) = 21 2/42= 1/21 podíl Druhá třída už dokazuje, že doplňkem předpisu je převrácená hodnota. Z kombinatorického doplňku vyvozujeme právě doplněk matematický fyzikální. Ten vychází opravdu z principu zachování kompletního systému v každé fázi vývoje. Je zřejmě také matematickou podstatou setrvačných sil, nebo ještě lépe zákona akce a reakce.

7 Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 7 Základ kombinace určité třídy vyjadřuje počet různých uspořádání k. Doplněk vyjadřuje systémovou pravděpodobnost každého stavu, je tedy obrazem potenciální velikosti systému. Jenomže velikost hodnoty je menší od jedné, a proto nemůže existovat současně ve stejném reálu jako základ. Když jakoby přepneme oba neslučitelné reály, převrátí se jen dělenec s dělitelem. Důsledkem přepnutí systému do své odvrácené poloviny aktivujeme sigma aditivní doplněk původního základu kombinatorického vyjádření. To má význam jak v rámci Pascalova vyjádření, tak zejména ve vyjádření Bernoulliho. Každý člen systému má svůj opak převrácené hodnoty. Pro Pascalův řád je to: C(0 ze 7) = 1 + doplněk 1/1 C(1 ze 7) = 7 + doplněk 1/7 C(2 ze 7) = 21+ doplněk 1/21 C(3 ze 7) = 35+ doplněk 1/35 C(4 ze 7) = 35+ doplněk 1/35 C(5 ze 7) = 21+ doplněk 1/21 C(6 ze 7) = 7+ doplněk 1/7 C(7 ze 7) = 1+ doplněk 1/1 Celkem součet tříd kombinací = Pascalově třídě 2 7 = 128, a součet doplňků = 2,44. Dost zajímavé z pohledu konstant a vlastních poměrů na setrvávajícím systému. Ale ještě zajímavější je tento jev při aplikaci Bernoulliho schemat. Význam je pak bez diskuse v součinu. Každou položku dostává do velikosti 1 celá. Takže například každá modifikace má součin hodnoty a velikosti 1. Takže matematicky jde o hru součinů a součtů. Součin hodnoty a velikosti = 1 celá logické existence. Součet znamená nesoučasnost. Ta platí jak pro jednotlivé třídy, tak pro základ a doplněk. Interpretace rozdílnosti Kombinatorického předpisu od pojmů klasické kombinatoriky. Klasická kombinatorika je definována na oboru čísel N, a proto se k doplňku nedopracovala. Ale jakmile pochopíme důsledek binomické věty, dojde nám, že jde o aplikaci na všech oborech čísel. Já tuto skutečnost vysvětluji jako funkci faktoriál, která reprezentuje pojem uspořádání množin. Takže když funkci opatříme argumentem z libovolného oboru čísel, tak funkce jako konstruktor funguje stejně. Texty obsahují místo obvyklého výrazu funkce a argumentu výraz hodnota a velikost, když velikost je argumentem v pravém slova smyslu, což ještě nevystihuje všechny důvody, proč jsem tak učinil. Jedním z důvodů zavedení doplňku je skutečnost, že všechny kombinatorické pojmy vztahujeme jen jako podmnožiny výrazu permutací. Vztah má také typický poměr mezi velikostmi hodnot kvalitativních pojmů, zejména pak P(n) V(n) > C(n), a z toho plyne P(n,k) V(n,k) > C(n,k), tedy vztah mezi stejnými třídami různých kvalitativních výrazů při daném k z celku n = všechny možné. Permutace takto nebyly dříve definovány, ačkoliv se autor od autora liší definicí pojmu permutace. Lze se také dostat k výrazu, že permutace je nejvyšší třídou variace V(n,n) = n!, což je pravda jen z pohledu velikosti. Na pojem nadmnožiny permutací vztahujeme také vícenásobný význam stejných tvarů, ať už se jedná například o kombinace, či variace, nebo jen vlastní permutace uspořádání, která nejsou ani výlučnou kombinací, ani plnou variaci (nutný výklad pojmu opakování = vlastnost permutací, nikoliv kombinací a variací). Zkratkou vysvětlíme, že jde o tohle: každý vztah C[(k=0..n) z celku n]*k!*(n-k)! = n!, tedy také zejména vyjádření C[n 1 z n C = (n 1 +n 0 )]n 1! n 0! = n C!. Potom lze dokázat, že v rámci stejné Pascalovy třídy existuje n+1 krát stejný tvar funkce n!, protože 2 n obsahuje právě n+1 různých tříd kombinací. Logicky tedy každý stejný tvar uspořádání má n+1 různých významů podle třídy kombinace. Takže například aplikace v rámci pojmu permutací se dá znázornit takto: (ABC)(DEF) (AB)(CD)(EF) ačkoliv jde jen o znázornění obrazu v podmnožinách. Zápis by znamenal například vyjádření vztahu

8 výraz V(2)C(3ze6) = 2*20 proti V(3)C(2 ze 6) = 6*15. Jde tedy o obecnější uspořádání všech různých prvků n. Výraz n 1! n 0! je považován za váhu kombinací v permutacích, z čehož snadno dovodíme vztah pro variace, kde pro stejný základ a výběr je váha jen n 0!. Což ale do důsledku znamená také vícenásobný význam stejné k = tice. Je to tedy podoba s tím, co vyjadřuje vícenásobná podoba každého různě uspořádaného n mezi různými třídami kombinací, ačkoliv jde jen o zdůvodnění vícenásobné podoby uvnitř podmnožiny n. Spíš naopak lze tímto zdůvodnit také stejnou vlastnost u množiny, kde p 0 = 0. Dalším důvodem je logické vyjádření množin. Zatímco permutace byly původně definovány jen na prvcích n, dokazujeme, že musela existovat ve stejném okamžiku celá množina n, tedy také prvky (n-k), tedy množina dříve zanedbávaná n 0 = p 0. Tato množina má součet vlastních velikostí = 0, a jednotková velikost vychází z p 1 p 0 = Jde samozřejmě o typické vyjádření binomického koeficientu (x y) n, například pro vyjádření konkrétního zadání s podobou (0,98) n = (1-0,98) n, nebo také = (0,02 + 0,98) n. Je v tom stejný rozdíl jako mezi původní definicí prvků kombinací (variací) a permutací. Nově spatřujeme tedy základ jako hodnotový výraz (x + y) n, jehož parametry tedy vlastní velikost parametrů (x, y) = +x, a -y. Což umožňuje například operace na všech oborech čísel, tedy také záporné velikosti dosazená za kladné hodnoty. Nic neznámého to není že? Stačí si uvědomit, že zápis znamená poziční zkratku (naznačení) operací = uspořádání. Doplněný tvar uspořádání (x y) je uspořádáno na součin n s podobou (x + y). Doplněk z toho využívá prostou skutečnost, že současnost je dána součinem. Existuje li například třída kombinace, tak existuje také její počet různých stavů. Ty však nemohou být kauzálně současné. Současný může být jen jediný stav ze všech různých C(k z n). Avšak existuje právě tolik různých nesoučasných podob, což znamená, že ani jedna nemusí být současná. Přes to v rámci potenciálu existuje ve formě jednice, a tak jak každý různý stav (součin všech různých prvků p 0 ), a třída kombinace může existovat v nesoučasnosti stejně jako součin stavů = 1 celá. Potom můžeme také praktikovat operace založené na pravděpodobnosti, a každý různý stav má vlastní velikost hodnoty dánu jako 1/C(k z n). Podobně je dána vlastní velikost prvku v neexistenci potenciálně jako 1/n. Z toho samozřejmě také dostaneme vlastní potenciální velikost hodnoty funkce n! pro Pascalovu třídu n jako 1/(n+1). Potom můžeme zpětně přepočítávat na relativní velikost prvku ze systému 2 n jako 1/n(n+1)!. Každý jednotlivý prvek pak dostává celou kaskádu velikostí hodnot z vlastních systémů. Proč by tedy objektivní skutečnost neexistence množiny C, V, P, v jediném existujícím současném časovém úseku neměla být vyjádřena objektivně jako C(k = p 1 z celku p 1 + p 0 ) C(k, n) 0 = Potom každá pravdivá věta o existenci takové množiny má rozměr součinu a jeho převrácené hodnoty rozměrné jako jednice. Ovšem tutéž pravdu najdeme jako podíl právě na operacích s funkcí faktoriál vyjádřenou jako posloupnost podílu polovinou (tedy zcela bez existenční logiky, kterou jsem možná dost infantilně vysvětloval v předchozím odstavci). Pasáž je součástí kapitoly Pascalův trojúhelník teorie kombinatoriky na takže jen zkratkou v tabulce : 1. restrikce 2. restrikce 3. restrikce 4. restrikce 5. restrikce 1 celá 1/2 1/4 1/8 1/16 bez restrikce r(1/2) celkem r restrikce jako rozdělení 5 restrikcí Počet rozdělení od 1 do 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/32 = 1 Konst. vlastní velikosti=1 1/(1/2)=2 1/(1/4)=4 1/(1/8)=8 1/(1/16)=16 1/(1/32)=32 1/(1/32)=32 Ukazuje možnost současného rozdělení Variační (postupný) růst počtu Kombinační princip je zobrazen jako možnost provést naráz počet restrikcí celku podle vlastní velikosti prvku p = 1/ r Petr Neudek

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Hierarchický databázový model

Hierarchický databázový model 12. Základy relačních databází Když před desítkami let doktor E. F. Codd zavedl pojem relační databáze, pohlíželo se na tabulky jako na relace, se kterými se daly provádět různé operace. Z matematického

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MS Excel. Upraveno pro verzi 2007. Jana Krutišová. Katedra informatiky a výpočetní techniky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

MS Excel. Upraveno pro verzi 2007. Jana Krutišová. Katedra informatiky a výpočetní techniky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni MS Excel Upraveno pro verzi 2007 Katedra informatiky a výpočetní techniky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Charakteristika Zpracování dat uspořádaných do 2D nebo 3D tabulek. Dynamické

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny 125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Způsoby realizace této funkce:

Způsoby realizace této funkce: KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je výstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty výstupních veličin nezávisejí na předcházejícím stavu logického obvodu, což znamená, že kombinační

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor002 Vypracoval(a),

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti Ing. Miroslav Valečko Zimní semestr 2014/2015 25. 11. 2014 Návrh schématu databáze Existuje mnoho způsobů, jak navrhnout schéma databáze Některá jsou lepší, jiná zase

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

1/2. pro začátečníky. Ing. Zbyněk Sušil, MSc.

1/2. pro začátečníky. Ing. Zbyněk Sušil, MSc. 1/2 pro začátečníky Ing. Zbyněk Sušil, MSc. Průběh lekce Základní informace Seznamy Formátování buněk Operace s řádky a sloupci Příprava tisku Matematické operace Vzorce Absolutní a relativní adresování

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

CODEWEEK 2014 Rozvoj algoritmického myšlení nejen pomocí programu MS Excel. Michaela Ševečková

CODEWEEK 2014 Rozvoj algoritmického myšlení nejen pomocí programu MS Excel. Michaela Ševečková CODEWEEK 2014 Rozvoj algoritmického myšlení nejen pomocí programu MS Excel Michaela Ševečková Rozvoj technického myšlení nejmenších dětí práce s předměty charakteristika, diferenciace (hledání rozdílů),

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více