KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

Transkript

1 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární jednotku, pro kterou bude platt: =, a reálná čísla s její pomocí rozšíříme na čísla komplexní (ozn. C). Tak a teď znovu. Příklad Řešte na množně komplexních čísel rovnc: x + = 0. x = odmocníme x = Rovnce má v C právě dvě řešení. Vypadá takto: Algebracký tvar komplexního čísla Jestlže a = 0, dostaneme tzv. ryze magnární číslo. Jestlže b = 0, dostaneme reálné číslo. Vskutku tedy platí nkluze R C. Př. z = 5 reálné (přrozené) číslo z = + 6 magnární číslo z = 8 ryze magnární číslo Reálná čísla lze zobrazt na přímku, naprot tomu komplexní čísla vyplní celou rovnu. Nazýváme j Gaussova rovna, na počest největšího matematka 9. století. Komplexní čísla můžeme v Gaussově rovně znázornt jako body nebo jako vektory (umístěné do počátku soustavy souřadnc).

2 Příklad Znázorněte v Gaussově rovně obrazy čísel z = 6, z =, z = 5. Jako body. Jako vektory. Rovnost komplexních čísel defnujeme takto: Jsou dána dvě komplexní čísla z = a + b, z = c + d. Pak z = z právě tehdy, když a = c a současně b = d. Součet a rozdíl komplexních čísel defnujeme takto: (a + b) (c + d) = (a c) + (b d) Nebol sčítáme (resp. odčítáme) zvlášť reálné část a zvlášť magnární část obou komplexních čísel. Pozn. Komplexní čísla můžeme sčítat a odčítat grafcky.

3 Příklad Řešte grafcky a) z + z, b) z z. z = + z = a) 7 b) + Pozn. Komplexní číslo z = a b zveme číslem opačným k číslu z = a + b. Součn komplexních čísel Př součnu dvou komplexních čísel postupujeme tak, že klasckým způsobem roznásobíme dvě závorky. Př tom musíme mít stále na pamět, že =.

4 Příklad 5 Násobte komplexní čísla 5; +. ( 5)( + ) = = = + 9 Komplexně sdružená čísla Je dáno číslo z = a + b. Pak číslo z a b zveme číslem komplexně sdruženým k číslu z. Z této defnce přímo plyne: ) z z je reálné číslo. ) z z je ryze magnární číslo. ) z z je reálné číslo. Příklad 6 Vypočtěte 55. Půjdeme na to od lesa. 0 (tak jako všechna reálná čísla kromě nuly) (pro všechna reálná čísla x platí: x = x a pro to platí zrovna tak) (to už víme) 5... Jak je vdět, hodnoty každé k N platí: n se mění pro rostoucí n pravdelně. Vztah můžeme zobecnt. Pro k (výrazem k ( k N ) se značí všechna přrozená čísla děltelná čtyřm) k (výrazem k + ( k N ) se značí přrozená čísla, která po vydělení čtyřm dávají zbytek ) k (výrazem k + ( k N ) se značí přrozená čísla, která po vydělení čtyřm dávají zbytek ) k (výrazem k + ( k N ) se značí přrozená čísla, která po vydělení čtyřm dávají zbytek ) Vraťme se nyní k číslu Číslo 55 dá po vydělení čtyřm zbytek. Platí tedy:.

5 Příklad 7 Vypočtěte Dělt komplexní čísla zatím neumíme, ale rozšířt zlomek ano. 9 Platí tedy:. Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnotu reálného čísla lze nterpretovat jako vzdálenost tohoto čísla na číselné ose od počátku (tedy od nuly). U komplexních čísel tomu bude zrovna tak. Je dáno komplexní číslo z = a + b. Zakreslíme ho do Gaussovy rovny. Podle Pythagorovy věty platí: z = a + b z a b Pozn. Je třeba s uvědomt, že vzdálenost je vždy nezáporné reálné číslo a to platí v Gaussově rovně. Imagnární jednotka ve výpočtu absolutní hodnoty komplexního čísla vůbec nesmí fgurovat! Pozn. Komplexní číslo z, pro které platí z =, nazýváme komplexní jednotka.

6 Příklad 8 Znázorněte v Gaussově rovně množnu všech komplexních čísel z, pro která platí: a) z = b) z = c) z + = d) z + e) z + < f) z + = z g) z + > z a) Hledaná čísla mají vzdálenost od počátku soustavy souřadnc rovnu třem. Jejch obrazem v Gaussově rovně je tedy kružnce se středem v počátku soustavy souřadnc o poloměru r =. b) Hledaná čísla jsou všechna čísla, jejchž vzdálenost od čísla je rovna jedné. Je to kružnce se středem v číslu o poloměru. c) Vztah přepíšeme nejdřív do tvaru z ( ) =, neboť rozdíl a nkol součet udává vzdálenost. Potom hledaná čísla budou všechna čísla, jejchž vzdálenost od čísla je rovna čtyřem (kružnce). Pozn. Snadno se lze výpočtem přesvědčt, že čísla ; ; ; vyhovují rovnc a), čísla ; ; + ; vyhovují rovnc b) a konečně čísla ; 6; ; vyhovují rovnc c). d) Vztah nejdřív přepíšeme do tvaru z ( ). Potom hledaná čísla budou všechna čísla, jejchž vzdálenost od čísla je větší nebo rovna dvěma (kružnce a její vnějšek na obrázku červeně). e) Vztah přepíšeme do tvaru z ( ) <. Potom hledaná čísla budou všechna čísla, jejchž vzdálenost od čísla je menší než jedna (vntřek kruhu na obrázku modře).

7 f) Vztah přepíšeme do tvaru z ( ) = z. Potom hledaná čísla budou všechna čísla, která mají stejnou vzdálenost od čísel a (osa úsečky spojující tato čísla). g) Vztah přepíšeme do tvaru z ( + ) > z. Potom hledaná čísla budou všechna čísla, jejchž vzdálenost od čísla + je větší než vzdálenost od čísla 0 (polorovna obsahující číslo 0 bez hranční přímky na obrázku hnědě).

8 Příklad 9 Najd všechna ryze magnární čísla z, pro která platí rovnost: z =. Jak je vdět na obrázku vlevo, exstují dvě ryze magnární čísla (ozn. z a z ) vyhovující dané rovnost. Trojúhelník z 0 (resp. z 0) je pravoúhlý. Hledaná čísla určíme užtím Pythagorovy věty. b = 9 b = 5 z = 5, z = 5 Příklad 0 Najd všechna reálná čísla z, pro která platí rovnost: z + = 5. Nejprve rovnost přepíšeme do tvaru z ( ) = 5. Další postup bude analogcký jako u předchozího příkladu. a = 5 a = z = z = Příklad Najd všechna reálná čísla z vyhovující nerovnost z +. Přepíšeme, nakreslíme, vypočítáme. z ( ) a = a = z = z = + Výsledkem je nterval ; +.

9 Příklad a) Je dána rovnost: z + = z. Najd všechna ryze magnární čísla z vyhovující dané rovnost. b) Je dána nerovnost: z + > z. Najd všechna reálná čísla z vyhovující dané nerovnost. Řešení a): Přepíšeme, nakreslíme, vypočítáme. z ( + ) = z Komplexní čísla vyhovující dané rovnost vyplní přímku (na obrázku červeně). Jen jedno z nch je ryze magnární (ozn. z a) ). Určíme ho užtím Pythagorovy věty. c = + a c = a + Soustavě rovnc vyhovuje jedné řešení a =. z a) = 5 Řešení b): Reálná čísla splňující danou nerovnost tvoří zleva uzavřený nterval (na obrázku vlevo dole vyznačen modře). Zbývá jen dopočítat jeho krajní hodnotu. To lze provést více způsoby, př vhodném označení např. ze zeleného trojúhelníku na obrázku vpravo dole. + ( x) = x 0 6x = 0 x = 5 Hledaný nterval je ;.

10 Podíl komplexních čísel Př dělení dvou lbovolných komplexních čísel (děltel je různý od nuly), postupujeme obvykle takto: podíl napíšeme ve tvaru zlomku, který rozšíříme číslem komplexně sdruženým ke jmenovatel. Ve jmenovatel tak [s využtím vzorce (a b)(a + b) = a b ] dostaneme reálné číslo, kterým pak vydělíme reálnou a magnární část nově vznklého komplexního čísla v čtatel. Příklad Vypočtěte ( ) : ( + )