FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ 2 Cvičení 1. Určete definiční obor funkce: 1. y = +12 Řešení. Víme, že y = = 0. Tedy y = +12 = D(f) : 12, ) 2. y = Řešení. Víme, že y = 1 = 0. Tedy y = = Kořeny kvadratické rovnice a 2 +b+c= 0 se vypočítají 1,2 = b± b 2 4ac 2a = 0 (a = 1,b = 5,c = 6) 1,2 = 5± ( 5) = 2 2 = 3 D(f)= R {2,3} 3. y = log( 6) Řešení. Víme, že y = log a = > 0. Tedy y = log( 6) = 6 > 0. 6 > 0 = 5± > 6 D(f) : (6, ) = 5± 1 2 = 5± y = arcsin 3 Řešení. Víme, že y = arcsin = 1,1, což znamená 1 1. (...značka pro a zároveň ) Tedy y = arcsin = 3 1,1. D(f) : 3,3

3 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ 3 5. y = arccos ( 2 3) Řešení. Víme, že y = arccos = 1,1, což znamená 1 1. (...značka pro a zároveň ) Tedy y = arccos ( ( 2 3) = 2 3) 1, D(f) : 4,8 6. y = ln(+7) 2 6 Řešení. Víme, že y = ln = > 0 a zároveň y = = 0. Tedy y = ln(+7) 2 6 = +7 > 0 a zároveň > > = 0 = 1,2 = 1± ( 1) ( 6) 2 1 ( 7, ) 1 = 3 2 = 2 ( 3)(+2) 0 (, 2 3, ) = 1±5 2 Oba výsledky musí platit zároveň (značka ), musíme udělat průnik (značka ). D(f) : ( 7, 2 3, ) 7. y = arcsin 3 1 Řešení. Víme, že y = arcsin = 1,1, což znamená 1 1 (...značka pro a zároveň ) a zároveň y = 1 y = arcsin 3 1 = 3 1 1,1 a zároveň 1 0. = 0. Tedy

4 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ ( 1) (, 2 (1, ) (,1) 4, ) Všechny tři výsledky musí platit zároveň (značka ), musíme udělat průnik (značka ). D(f) : (, 2 4, ) Cvičení 2. Určete znaménko funkce, průsečíky s osami a zjistěte paritu funkce: 1. y = Řešení. Znaménko funkce: Víme, že f() > 0 = kladná, f() < 0 = záporná. Tedy > 0 = kladná, < 0 = záporná > < 0 2 ( 2 +1) > 0 2 ( 2 +1) < 0 Nulové body: 0 Kladná: (, ) Záporná: není Průsečíky s osami: Víme, že průsečíky s osou = y = 0, průsečík s osou y = = 0. Tedy průsečíky s osou = 0 = 4 + 2, průsečík s osou y = y = S osou : [0,0] S osou y: [0,0] y = 0 = 0 0 = y = = 2 ( 2 +1) y = 0

5 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ 5 Parita funkce: Víme, že funkce je sudá, jestliže f() = f( ). Funkce je lichá, jestliže f() = f( ). Je sudá, není lichá. f() = f() = f( ) = ( ) 4 +( ) 2 [f( )] = [ 4 + 2] f( ) = f( ) = 4 2 f() = f( ) f() f( ) 2. y = 3 Řešení. Znaménko funkce: Víme, že f() > 0 = kladná, f() < 0 = záporná. Tedy 3 > 0 = kladná, 3 < 0 = záporná. 3 > 0 3 < 0 ( 2 1) > 0 ( 2 1) < 0 (+1)( 1) > 0 (+1)( 1) < 0 Nulové body: 0, 1,1 Kladná: ( 1,0) (1, ) Záporná: (, 1) (0, 1) Průsečíky s osami: Víme, že průsečíky s osou = y = 0, průsečík s osou y = = 0. Tedy průsečíky s osou = 0 = 3, průsečík s osou y = y = y = 0 = 0 0 = 3 y = = ( 2 1) y = 0 0 = (+1)( 1) S osou : [0,0],[ 1,0],[1,0] S osou y: [0,0] Parita funkce: Víme, že funkce je sudá, jestliže f() = f( ). Funkce je lichá, jestliže f() = f( ). f() = 3 f() = 3 f( ) = ( ) 3 ( ) [f( )] = [ 3 + ] f( ) = 3 + f() f( ) f( ) = 3 f() = f( )

6 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ 6 Není sudá, je lichá. 3. y = 2 +1 Řešení. Znaménko funkce: Víme, že f() > 0 = kladná, f() < 0 = záporná. Tedy 2 +1 > 0 = kladná, 2 +1 < 0 = záporná > 0 < 0 Nulové body čitatele: 2 +1 = 0 / R Nulové body jmenovatele: = 0 Nulové body: 0 Kladná: (0, ) Záporná: (,0) Průsečíky s osami: Víme, že průsečíky s osou = y = 0, průsečík s osou y = = 0. Tedy průsečíky s osou = 0 = 2 +1, průsečík s osou y = y = y = 0 = 0 0 = 2 +1 y = = 2 +1 nesmysl / R S osou : nemá S osou y: nemá Parita funkce: Víme, že funkce je sudá, jestliže f() = f( ). Funkce je lichá, jestliže f() = f( ). f() = 2 +1 f( ) = ( )2 +1 ( ) f( ) = 2 +1 = +1 2 f() f( ) f() = 2 +1 [ ] [f( )] = 2 +1 f( ) = 2 +1 f() = f( )

7 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ 7 Není sudá, je lichá. 4. y = Řešení. Znaménko funkce: Víme, že f() > 0 = kladná, f() < 0 = záporná. Tedy > 0 = kladná, < 0 = záporná > < 0 2 ( 1)(+1) > 0 2 ( 1)(+1) < 0 Nulové body čitatele: 2 = 0 = 0 Nulové body jmenovatele: = ±1 Nulové body: 0,1, 1 Kladná: (, 1) (1, ) Záporná: ( 1,1) Průsečíky s osami: Víme, že průsečíky s osou = y = 0, průsečík s osou y = = 0. Tedy průsečíky s osou = 0 = 2 2 1, průsečík s osou y = y = S osou : [0,0] S osou y: [0,0] y = 0 = 0 0 = 2 2 y = = = 2 y = 0 = 0

8 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ 8 Parita funkce: Víme, že funkce je sudá, jestliže f() = f( ). Funkce je lichá, jestliže f() = f( ). f() = f( ) = ( )2 ( ) 2 1 f( ) = f() = f( ) f() = [ ] 2 [f( )] = 2 1 f( ) = f() f( ) Je sudá, není lichá. 5. y = e 1+ Řešení. Znaménko funkce: Víme, že f() > 0 = kladná, f() < 0 = záporná. Tedy e 1+ > 0 = kladná, e 1+ < 0 = záporná. e 1+ > 0 e 1+ < 0 Nulové body čitatele: e = 0 / R Nulové body jmenovatele: = 1 Nulové body: 1 Kladná: ( 1, ) Záporná: (, 1) Průsečíky s osami: Víme, že průsečíky s osou = y = 0, průsečík s osou y = = 0. Tedy průsečíky s osou = 0 = e 1+, průsečík s osou y = y = e y = 0 = 0 S osou : nemá S osou y: [0,1] 0 = e 1+ y = e0 1+0 = 1 1 = 1 0 = e y = 1 / R

9 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ 9 Parita funkce: Víme, že funkce je sudá, jestliže f() = f( ). Funkce je lichá, jestliže f() = f( ). f() = e 1+ f( ) = e( ) 1+( ) = e 1 = 1 e (1 ) 1 f( ) = e (1 ) f() f( ) f() = e 1+ [ ] 1 [f( )] = e (1 ) 1 f( ) = e (1 ) f() f( ) Není sudá, není lichá. Cvičení 3. Rozhodněte, zda je funkce ryze nebo neryze lomená. U neryze lomených funkcí následně proveďte dělení polynomu polynomem: 1. y = Řešení. Polynom v čitateli je stupně 4 a polynom ve jmenovateli je stupně , funkce je tedy neryze lomená. Následuje dělění polynomu polynomem: ( ) : ( 2 +3) = 2 +1 ( ) 2 +3 ( 2 +3) 2. y = (Pozor, nejdříve seřadit členy obou polynomů od největšího stupně po nejmenší!) Řešení. Polynom v čitateli je stupně 4 a polynom ve jmenovateli je stupně , funkce je tedy neryze lomená. Následuje dělění polynomu polynomem: ( ) : ( 2 +3) = ( ) ( 2 +3) 1 0

10 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ y = Řešení. Polynom v čitateli je stupně 3 a polynom ve jmenovateli je stupně , funkce je tedy neryze lomená. Následuje dělění polynomu polynomem: ( ) : ( 1) = ( ) (5 2 5) 6 +0 (6 6) Cvičení 4. Určete inverzní funkci k funkcím: 1. y = 3 2 Řešení. Víme, že výpočet inverzní funkce f 1 () z předpisu f() je následující: V zadání funkce y = f() zaměníme za y a současně y za. Následně vyjádříme proměnnou y. A to je naše hledaná inverzní funkce. 6 f() : f 1 () : y = 3 2 = y = y 3 y 3 = +2 y = y = log 5 Řešení. Víme, že výpočet inverzní funkce f 1 () z předpisu f() je následující: V zadání funkce y = f() zaměníme za y a současně y za. Následně vyjádříme proměnnou y. A to je naše hledaná inverzní funkce. f() : y = log 5 f 1 () : = log 5 y 5 = y y = 5

11 MT MATEMATIKA Funkce, základní pojmy - CVIČENÍ y = e +6 Řešení. Víme, že výpočet inverzní funkce f 1 () z předpisu f() je následující: V zadání funkce y = f() zaměníme za y a současně y za. Následně vyjádříme proměnnou y. A to je naše hledaná inverzní funkce. f() : y = e +6 f 1 () : = e y+6 ln = y +6 ln 6 = y y = ln 6 4. y = Řešení. Víme, že výpočet inverzní funkce f 1 () z předpisu f() je následující: V zadání funkce y = f() zaměníme za y a současně y za. Následně vyjádříme proměnnou y. A to je naše hledaná inverzní funkce. f() : y = f 1 () : = 1 / (y +19) y +19 (y +19) = 1 / y +19 = 1 y = y = sin Řešení. Víme, že výpočet inverzní funkce f 1 () z předpisu f() je následující: V zadání funkce y = f() zaměníme za y a současně y za. Následně vyjádříme proměnnou y. A to je naše hledaná inverzní funkce. f() : f 1 () : y = sin = siny arcsin = y y = arcsin