Základy podmíněné matematické optimalizace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základy podmíněné matematické optimalizace"

Transkript

1 Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě podmíněné optimalizace se tento prostor omezuje na přípustnou množinu definovanou pomocí omezujících funkcí. Definice: řípustnou množinu definujeme jako = {x; g i (x) 0; i=,...,m}. () Funkce g i senazývajíomezujícífunkceaříkáme,žepřípustnámnožinajedefinovaná pomocí nerovnicových omezení. oznámka: Takto definovaná přípustná množina obsahuje ve většině případů vnitřní body(vtopologiiprostoru R n ). Definice: řípustnou množinu definujeme také jako = {x; h j (x)=0; j=,...,p}. (2) Funkce h j serovněžnazývajíomezující funkceaříkáme,žepřípustnámnožinaje definovaná pomocí rovnicových omezení. oznámka: Takto definovaná přípustná množina zřejmě nemá vnitřní body(v topologii prostoru R n ). Definice:Říkáme,žefunkce f(x)definovanána mávbodě x 0 ostrélokální minimumvzhledemk,jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna x U r δ(x 0 ) je f(x) > f(x 0 ). oznámka: ro případ definice ostrého lokálního maxima funkce vzhledem k množině platí v závěru definice obrácená nerovnice. V dalším výkladu budeme předpokládat, že přípustná množina je definovaná pomocí nerovnicových omezení(). Definice: Směr určený jednotkovým vektorem d nazýváme přípustným směrem z bodu x 0 (vzhledemkmnožině ),jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna t (0,δ) jebod x=x 0 + td.množinuvšechpřípustnýchsměrůzbodu x 0 vesmyslu tétodefiniceznačíme D(x 0 ). Definice: Směr určený jednotkovým vektorem d nazýváme spádovým směrem z bodu x 0 (vzhledemkfunkci f)jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna t (0,δ)je f(x 0 + td) < f(x 0 ).Množinuvšechspádovýchsměrůzbodu x 0 vesmyslutétodefinice značíme S(x 0 ). Intuitivnězřejméjenásledujícítvrzení:Bod x 0 jeostrýmlokálnímminimemfunkce f vzhledemkdefinovanév()právěkdyž D(x 0 ) S(x 0 )=. oznámka:tvrzeníříká,žebod x 0 jeostrýmlokálnímminimemprávěkdyžzněho neexistuje vycházející směr, jenž by byl současně spádový(vzhledem k f) a přípustný

2 (vzhledemk).rodiferencovatelnoufunkci f vbodě x 0 snadnonahlédneme,jak vypadá postačující podmínka spádovosti směru. Tvrzení:Nechť f jediferencovatelnávbodě x 0, djednotkovývektorsměru.nechť platí d T gradf(x 0 ) <0. (3) otom djespádovýmsměremzbodu x 0 (vzhledemkfunkci f). oznámka:vímetotiž,ževelikostvýsledkulevéstranynerovnice(3)je gradf(x 0 ) cosϕ d,kde ϕ d jeúhelmezisměrydanýmivektorem davektoremgradf(x 0 ).odmínka zápornostivpředchozímtvrzeníznamená,že ϕ d ( π,π),takžesměrovývektor dmíří 2 dopoloprostoru(vyťatéhotečnounadrovinoukvrstevnicifunkce f vbodě x 0 ),kde hodnoty jsou(alespoň na malém okolí) nižší. Naopak směry, kde by zkoumané číslo bylo kladné, míří do opačného(otevřeného) poloprostoru, kde f (alespoň na malém okolíbodu x 0 )roste.nejasnásituacenastane,kdyžvektor dmířídotečnénadroviny kvrstevnicifunkce fvbodě x 0,tedy,kdyžlevástrana(3)jenulová.akmohoubýt všechny takové směry spádové, mohou být rovněž všechny takové směry růstové, mohou f = f f 2 f = f 2 f f = f f = f 2 f f = f x 0 f = f x 0 x 0 Obr.a Obr.b Obr. c alebýtiněkterérůstovéajinéspádové.všechnytytopřípadyjsounaobr.pořadě zakresleny. Obrázek je kreslen pro funkci dvou proměnných, kde tečná nadrovina je tečnou(tedypřímkou)asměry,proněžje d T gradf(x 0 )=0jsouprávědva.Nave všech třech zobrazených případech jsou směry nad tečnou k vrstevnici spádové, směry pod tečnou k vrstevnici růstové. V situaci znázorněné na obr.a jsou oba(červeně vyznačené) směry ve směru tečny k vrstevnici spádové, v situaci na obr.b jsou oba tyto směryrůstovéavsituacizobr.cjejedenztěchtosměrůrůstovýadruhýspádový. ro funkce více proměnných by situace byla rozmanitější, protože směrů, pro něž je d T gradf(x 0 )=0,jepaknekonečněmnoho. Definice:Říkáme,žeomezení g i jevbodě x 0 aktivní,jestližeplatí g i (x 0 )=0. Množinuvšechindexůaktivníchomezenívbodě x 0 označujeme I(x 0 ). oznámka: Je-liomezení g i vbodě x 0 aktivní,ležízmíněnýbodnačástihranice přípustnémnožiny,ježjepopsanáprávěomezením g i. Tvrzení:Nechť g i jevx 0 diferencovatelnáai(x 0 )={i}.nechťdáleprosměrreprezentovaný jednotkovým vektorem d platí d T gradg i (x 0 ) <0. (4) otom dje(zbodu x 0 )přípustnýmsměremvzhledemkmnožině definovanév(). 2

3 oznámka:.jestližejesplněno(4),svírávektor dsvektoremgradg i (x 0 )tupýúhel.směr d tedymířídotohopoloprostoru(vyťatéhotečnounadrovinoukvrstevnici g i (x)=0 vbodě x 0 ),vekterémležímnožina.jestližesměrovývektor dsplňujeopačnou relacike(4),mířímimo.je-lisměrovývektor dkvektorugradg i (x 0 )kolmý, záležínakonvexnostihranicemnožiny vokolíbodu x 0 (obr.2).nazmíněném obrázku jsou směry nad tečnou k nulové vrstevnici omezující funkce nepřípustné, směry pod tečnou přípustné a(dva červeně označené) směry kolmé ke gradientu omezující funkce jsou rovněž nepřípustné. grad g i ( x 0 ) x 0 Obr.2 g ( x) = 0 i 2. ro případ více aktivních omezení je postačující podmínkou přípustnosti směru zřejměplatnost(4)provšechna i I(x 0 ).Není-livbodě x 0 aktivnížádnéomezení (tedy I(x 0 )= ),jepřípustnýkaždýsměr,neboť x 0 pakležívotevřenémvnitřku množiny. Ukažme situaci na zadaném reliéfu vrstevnic funkce dvou proměnných f a zadaném popisu částí hranice přípustné množiny. Situace nechť vypadá jako na obr.3. řípustnámnožina = {x; g (x) 0, g 2 (x) 0}jedefinovánapomocídvouomezujících funkcí s vrstevnicemi odpovídajícími nulové konstantě(tedy s částmi hranice přípustné množiny) podle obrázku. Zeleně jsou značeny tečny k vrstevnicím cílové funkce(a příslušným obloučkem spádové směry), červeně tečny k vrstevnicím o nulové konstantě omezujících funkcí v bodech, kde je alespoň jedno omezení aktivní(a příslušným obloučkem přípustné směry). rotože na obrázku jsou vrstevnice cílové funkce i části hranice přípustné množiny zobrazeny jako konvexní funkce, vyplňují přípustné i spádové směry vždy jen otevřený poloprostor poklesu příslušejících funkcí. Na obrázku jsou znázorněny čtyři významné body..bod x jevnitřnímbodempřípustnémnožiny,tudížzněhojsoupřípustnévšechny směry. Spádové směry vyplňují poloprostor označený zeleně. Ten tvoří také poloprostor směrů, jež jsou současně přípustné i spádové. 2.Vbodě x 2 jeaktivovánoomezení g 2.řípustnésměryjsouoznačenyčerveným obloučkem(otevřený poloprostor) a spádové zeleným obloučkem(opět otevřený poloprostor. Současně přípustné i spádové směry jsou dány otevřeným úhlem jakožto průnikem obou výše zmíněných poloprostorů. 3.Vbodě x 3 jsouaktivovánaoběomezení.řípustnésměryjsoudányprůnikem poloprostorů přípustných směrů pro jedno každé omezení zvlášť(červeně označený otevřený úhel). Spádové směry jsou označeny zeleným obloučkem. Současně 3

4 f = f f 2 f = f f 3 2 x 3 x 2 2 x f = f x 4 Obr.3 přípustné i spádové směry tvoří oběma barvami označený otevřený úhel jakožto průnik obou výše diskutovaných úhlů. 4.Vbodě x 4 jeaktivovánoomezení g apoloprostorpřípustnýchsměrů(červený oblouček) má s poloprostorem spádových směrů(zelený oblouček) prázdný průnik. Jetedy D S=.Vbodě x 4 tedycílováfunkcenabýváostréholokálníhominima vzhledem k přípustné množině. oznámka:nechťnerovnicováomezení g i v()jsoupro i I(x 0 )diferencovatelnáv bodě x 0.Označmesymbolem D 0 (x 0 )množinuvšechsměrů d,prokteréjest d T gradg i (x 0 ) 0. (5) ozor! Oproti(4) se zde vyskytuje neostrá nerovnice. otom zřejmě platí D 0 (x 0 ) D(x 0 ) D 0 (x 0 ), kde D 0 (x 0 )znamenáuzávěrmnožiny D 0 vtopologiiprostoru R n.latípaknásledující důležité tvrzení. Tvrzení: Následující výroky jsou ekvivalentní:. S(x 0 ) D 0 (x 0 )=, 4

5 2.existují u i 0takové,že gradf(x 0 )+ 3.existují u i 0takové,že i I(x 0 ) u i gradg i (x 0 )=0, (6) azároveň m gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (7) i= u i g i (x 0 )=0. (8) oznámka: Tvrzení hovoří o gradientu cílové funkce f jako o lineární kombinaci gradientůvbodě x 0 aktivníchomezenísnekladnýmikoeficienty u i.dobodu3.bylazahrnuta všechnaomezení(tedyitavbodě x 0 neaktivní).tatamalemuselabýtzahrnutasnulovýmikoeficienty u i.rotok(7)musíbýtdoplněnypodmínky(8).nazývámejepodmínkamikomplementarity.aktivníomezenívbodě x 0 ovšemtakémůžemítnulový koeficient u i lineárníkombinacevýše.neaktivníomezeníjejovšemmusímítnulový. Tvrzení: Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky lokálního pomíněného minima:nechť x 0 jebodlokálníhominimacílovéfunkce fvzhledemkmnožině().nechť fa g i pro i I(x 0 )jsouvx 0 diferencovatelné.otomplatí:.existujínezápornékonstanty u 0 a u i (nevšechnysoučasněnulové),že u 0 gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0. (9) i I 2.Existujínezápornékonstanty u 0 a u i (nevšechnysoučasněnulové),že azároveň m u 0 gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (0) i= u i g i (x 0 )=0, i=,...,m. () 3.Jsou-linavícgradientyvbodě x 0 aktivníchomezenílineárněnezávislé,pakexistují nezáporné(mohoubýtivšechnynulové)konstanty u i,že a zároveň platí(). m gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (2) i= oznámka: odmínkám(9) resp.(0) resp.(2) se říká podmínky stacionarity, podmínkám() podmínky komplementarity a podmínce nezávislosti gradientů aktivních omezení se říká podmínka regularity. 5

6 oznámka:.konstanta u 0 vpředchozímtvrzenímůžebýtinenulová(potomjícelourovnici podělíme, takže ji lze brát jednotkovou), nebo může býti nulová. ak ovšem(9) resp.(0)vyjadřujelineárnízávislostgradientůvx 0 aktivníchomezení(protože alespoňjednazkonstant u i jestnenulová).donutnýchpodmínekminimatedy zahrnujeme i body lineární závislosti gradientů aktivních omezení. 2.Jestliže x 0 ležíuvnitřpřípustnémnožiny,nejsouaktivnížádnáomezenía(9)dává podmínkugradf(x 0 )=0,takjakounepodmíněnéminimalizace. Definice: Definujme funkci m L(x,u)=L(x,...,x n,u 0,u,...,u m )=u 0 f(x)+ u i g i (x) (3) i= anazvemejilagrangeovou funkcí úlohy pro cílovou funkci f a množinu danounerovnicovýmiomezeními g i. odmínky stacionarity pak mají tvar m gradxl(x,u)=u 0 gradf(x)+ u i gradg i (x)=0, (4) i= kde gradx je gradient Lagrangeovy funkce tvořený pouze v proměnných x. odmínky stacionarity a komplementarity představují celkem m + n rovnic pro stejný počet neznámých. Celkem n neznámých představují souřadnice stacionárního bodu cílové funkce a zbylých mneznámýchjsou(pro u 0 =)konstanty u i.říkámejimlagrangeovymultiplikátory. řipomínáme, že kladnost multiplikátoru signalizuje aktivitu příslušného omezení, zatímco jeho nulovost nesignalizuje nic. o vyřešení souřadnic stacionárních bodů je třeba zvlášť zkontrolovat, zda leží v přípustné množině. oznámka: rotože platí max f(x)= min[ f(x)], (5) dostávámepřihledánímaximalagrangeovufunkcisnekladným u 0.Je-litatokonstanta nenulová, prodělíme jí celou rovnici(9) resp.(0)(takže ji lze opět brát jednotkovou) a příslušnékonstanty u i jsoupaknekladné.je-li u 0 =0znamenátoizdelineárnízávislost gradientů aktivních omezení. říklad:hledejmestacionárníbodyfunkce f(x,y)=x+ynapřípustnémnožině = {[x,y]; g = x 0, g 2 = y 0, g 3 = x+y 0.} Řešení: O přípustné množině máme jasnou představu, protože vypadá jak jest uvedeno naobr.4.zřejměgradg [,0],gradg 2 [0, ]agradg 3 [,].Vmístechaktivizace jediného omezení nemůže být jeho gradient nezávislý, protože je nenulový. Dvě omezenísoučasnějsouaktivizovánaprávějenvetřechbodech,ato[0,0],[,0]a[0,]. V těchto bodech jsou gradienty příslušných současně aktivizovaných omezení zřejmě lineárně nezávislé(nejsou jakožto vektory rovnoběžné). Lagrangeovu funkci lze tedy pro hledáníminimaformulovatpouzepro u 0 =.Mátedytvar L(x,y,u,v,w)=x+y ux vy+ w(x+y ). 6

7 y 3 2 Obr.4 x odmínky stacionarity jsou odmínky komplementarity jsou Vzhledem k rovnicím(8) rozlišíme 4 případy. = u+w=0, x (6) = v+ w=0. y (7) ux=0, vy=0, (8) w(x+y )=0. (9). u=0nebo v=0(třipřípadyřešenénajednou).odle(6)nebo(7)vždyjest w=,cožjesporsnezápornostímultiplikátoru w. 2. x=y=0(čtvrtýpřípad).odle(9)je w =0apodle(6)a(7)nakonec u=v=. Dostalijsmejedinéřešení[x 0,y 0,u 0,v 0,w 0 ]=[0,0,,,0].Stacionárnímbodemjepočátek,vekterémjezaručeněaktivizovánoomezení g a g 2.Oaktivizaci g 3 nelzenicříci. Z náčrtu přípustné množiny vidíme, že ve stacionárním bodě aktivizováno není. oznámka: rozkoumáme-li úlohu na hledání maxima, stačí pro Lagrangeovu funkci stejného charakteru nacházet nekladné multiplikátory. Z výše diskutovaných čtyř případůdávápřípad x = y = 0vzhledemk(9) w = 0,takžepodle(6)a(7)je u=v=,cožjesporsnekladnostímultiplikátorů.ostatnítřipřípadydávajípro w=0buď u=nebo v=,cožjevždysporsjejichnekladností.odle(9)musí býti x+y =0.odle(6)a(7)jepak w= au=v=0.stacionárnímibody je celá přepona pravoúhlého trojúhelníka ohraničujícího přípustnou množinu a je v nich zaručeněaktivizovánoomezení g 3. říklad: Ukažte, že přípustná množina definovaná jako(viz obr.5) = {[x,y]; x 0, y 0, y ( x) 3 0} obsahuje bod se závislými gradienty omezení. 7

8 y 3 g 2 = 0 Obr.5 x Řešení: Zřejmě platí gradg (x,y) [,0];gradg 2 (x,y) [0, ];gradg 3 (x,y)=[3( x) 2,]. rotože žádný z gradientů omezení není nikde nulový, je závislost možná právě jen v bodech,kdejsouaktivizovánadvěomezení.tojemožnéprávějenvbodech[x,y ]= [0,]a[x 2,y 2 ]=[,0].Vprvnímbodějsouaktivizovánaomezení g a g 3,přičemžjest gradg (x,y )=[,0]agradg 3 (x,y )=[3,].Tytogradientyjsouevidentněnezávislé. Vedruhémbodějsouaktivizovánaomezení g 2 a g 3,přičemžjestgradg 2 (x 2,y 2 )= =[0, ]agradg 3 (x 2,y 2 )=[0,].Tytogradientyjsouevidentnězávislé. oznámka: Úlohu lze řešit též aplikací definice závislosti vektorů(což je tvar KuhnovýchTuckerovýchpodmínekstacionarityLagrangeovyfunkceprokonstantu u 0 =0při řešení minima jakékoliv cílové funkce na zadané přípustné množině). Tyto podmínky mají tvar u+3w( x) 2 =0 (20) v+ w=0 v= w. (2) Z(20)plyne u=3w( x) 2.Jestližetedy w >0,jepro x ±iu>0apodle (2)iv >0.Tobyovšemznamenaloaktivizacitříomezenívjedinémbodě,cožve dvourozměrném prostoru není možné. ro x = (x = neleží v přípustné množině) je u=0apodle(2) v= w >0.Jsoutedysoučasněaktivovánaomezení g 2 a g 3,takže y=0.bod[,0]jebodzávislostigradientů,kterýbylvýšenalezenjinoumetodou.ro w=0jeovšempodle(20)a(2)iu=v=0,cožbysignalizovalonezávislostgradientů atobybylsporspředpokladem. Každé omezení typu rovnice h(x) = 0 lze chápat jako současné splnění dvojice omezenítypunerovnice,asice h(x) 0azároveň-h(x) 0.Jestližejetedypřípustná množina definována prostřednictvím(2), dostáváme aplikací Kuhnových Tuckerových podmínekpro2pomezenítypunerovnicexistencinezápornýchkonstant u 0, u j a u 2j, že p u 0 gradf(x 0 )+ (u j u 2j )gradh j (x 0 ) (stacionarita); j= 8

9 u j h j (x 0 )=0; u 2j h j (x 0 )=0 (komplementarita). rotožepro x 0 musíbýtvšechnaomezeníaktivní,ztrácípodmínkykomplementarity smysl. Odtud plynou Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky lokálního podmíněného minima funkce vzhledem k přípustné množině dané ve(2). Tvrzení:Nechť x 0 jebodlokálníhominimacílovéfunkce fvzhledemkmnožině(2). Nechť f a h j jsouvx 0 diferencovatelné.otomexistuje u 0 0av j (j =,...,p) libovolná(ne současně všechny nulové), že oznámka: p u 0 gradf(x 0 )+ v j gradh j (x 0 )=0. (22) j=. odobně jako pro případ omezení typu nerovnic, i zde při hledání maxima řešíme minimumcílovéfunkce f.významnéhodnotykonstanty u 0 jsoutedypouze tři. Jednička pro hledání minima, mínus jednička pro hledání maxima a nula pro případ závislých gradientů omezujících funkcí. 2.Existencikonstanty u 0 lzenahraditdoplňujícímpředpoklademlineárnínezávislosti gradientů omezujících funkcí, čili podmínkou, že Jacobiova matice zobrazení h(x)(vektorové funkce vektorové proměnné) J h (x 0 )= [ ] hj (x 0 ), j=,...,p, k=,...,n x k máplnouhodnost,tedyhodnost p=min{p,n}. 3. ro případ jediného omezení, tedy pro úlohu x 0 =argminf(x); = {x, h(x)=0} má Kuhnova Tuckerova podmínka pro minimum tvar gradf(x 0 )= vgradh(x 0 ). Gradientcílovéfunkceiomezenímávboděminima(imaxima)týžsměr,což znamená, že příslušná vrstevnice cílové funkce i omezení mají ve stacionárním bodě společnou tečnou nadrovinu. ro funkce dvou proměnných se jedná o tečnu (přímku) a situace je znázorněna na obr.6. Definice: Definujme funkci p L(x,v)=L(x,...,x n,v,...,v p )=f(x)+ v j h j (x) (23) j= anazvemejilagrangeovou funkcí úlohy pro cílovou funkci f a množinu danouomezeními h j (prohledáníminima). odmínky stacionarity pak mají tvar p gradxl(x,v)=gradf(x)+ v j gradh j (x)=0, (24) j= 9

10 f = f 2 f grad f ( ) = k grad h ( x ) x 0 f = f 0 x 0 h = 0 Obr.6 kde gradx je gradient Lagrangeovy funkce tvořený pouze v proměnných x. odmínky přípustnosti pak mají tvar gradvl(x,v)=[h (x),...,h p (x)]=0. (25) odmínky stacionarity a přípustnosti představují celkem p + n rovnic pro stejný počet neznámých. Celkem n neznámých představují souřadnice stacionárního bodu cílové funkceazbylých pneznámýchjsou(pro u 0 = )konstanty v j.říkámejimrovněž Lagrangeovy multiplikátory. říklad:řešmepodmíněnýextrémfunkce f(x,y)=xynapřípustnémnožině = = {[x,y]; x+y 2=0}. Řešení: ro hledání minima utvoříme Lagrangeovu funkci tvaru odmínky stacionarity mají tvar podmínka přípustnosti pak L(x,y,u)=xy+ u(x+y 2). x = y+ u=0; y = x+u=0, = x+y 2=0. u Odečtením prvních dvou podmínek získáme x = y a dosazením do třetí podmínky pak x=y=. oznámka:.rohledánímaximabylagrangeovafunkcemělatvar L(x,y,u)= xy+ u(x+ + y 2). Řešením podmínek stacionarity a přípustnosti získáme stejný stacionární bod.bod[x,y]=[,]jetedy podezřelý zobouextrémů. 2. Úlohu lze řešit též snížením počtu proměnných. Z podmínky přípustnosti je y = =2 x,takžeřešímeextrémfunkcejednéproměnné 0

11 g(x)=f(x,2 x)=2x x 2 nacelémprostoru R.Stacionárníbodsplňujepodmínku g (x)=2 2x=0 x 0 =(takžeiy 0 =).ostačujícípodmínka g (x) 2dávávnalezeném bodě maximum. Tvrzení: ostačující podmínky podmíněného extrému na množině definované omezenímitypunerovnic.nechťstacionárníbod x 0 avektorlagrangeovýchmultiplikátorů u 0 splňujíkuhnovytuckerovynutnépodmínkypodmíněnéhominimapro cílovoufunkci fapřípustnoumnožinudanouv().nechťfunkce fa g i pro i I(x 0 ) jsoudvakrátspojitědiferencovatelnévx 0 agradg i (x 0 )pro i I(x 0 )jsoulineárně nezávislé. Nechť navíc platí d T HxL(x 0,u 0 )d >0 (26) (resp. < 0) pro takové(jednotkové) vektory směru d, pro které d T gradg i (x 0 ) 0 (27) provšechna i I(x 0 ).ak x 0 jebodostréholokálníhominima(maxima)funkce f vzhledemkmnožině.jestližeexistujesměrovývektor d splňující(27),pronějžplatí (26)azároveňsměrovývektor d 2 splňující(27),pronějžplatív(26)opačnánerovnice, nemá fvbodě x 0 vzhledemkpřípustnémnožině lokálníextrém. Tvrzení: ostačující podmínky podmíněného extrému na množině definované omezeními typu rovnic.nechťstacionárníbod x 0 avektorlagrangeových multiplikátorů v 0 splňujíkuhnovytuckerovynutnépodmínkypodmíněnéhominima procílovoufunkci fapřípustnoumnožinudanouv(2).nechťfunkce fa h j jsoudvakrát spojitědiferencovatelnévx 0 agradh j (x 0 )jsoulineárněnezávislé.nechťnavícplatí d T HxL(x 0,v 0 )d >0 (28) (resp. < 0) pro takové(jednotkové) vektory směru d, pro které d T gradh j (x 0 )=0provšechna j=,...,p. (29) ak x 0 jebodostréholokálníhominima(maxima)funkce f vzhledemkmnožině. Jestližeexistujesměrovývektor d splňující(29),pronějžplatí(28)azároveňsměrový vektor d 2 splňující(29),pronějžplatív(28)opačnánerovnice,nemá f vbodě x 0 vzhledem k přípustné množině lokální extrém. oznámka:. Výrazy na levých stranách(26) resp.(28) jsou kvadratické formy v souřadnicích směrového vektoru d s Hessovou maticí(vzhledem k proměnným x) Lagrangeovy funkce ve stacionárním bodě. Tam uvedené nerovnice znamenají pozitivní definitnost(resp. negativní definitnost, resp. indefinitnost) zmíněných forem. Tyto jejich vlastnostialenezkoumámeprovšechnysměry d(tedynacelémprostoru R n ),ale jenprosměrysplňující(27)resp.(29).odmínka(29)znamená,žesměr dmusí být kolmý ke gradientu všech aktivních omezujících funkcí. Musí tedy ležet v průniku tečných nadrovin k nulovým vrstevnicím všech aktivních omezujících funkcí. odmínka(27) znamená, že směr d musí s gradientem aktivní omezující funkce

12 svírat tupý úhel. Musí tedy směřovat do toho poloprostoru(vymezeného tečnou nadrovinou k omezující funkci), ve které leží přípustná množina. Toto musí být splněno pro všechny ve stacionárním bodě aktivní omezení. 2. raktické výpočty se provádějí vyjádřením některých souřadnic směrového vektoru d z doplňujících podmínek(27) nebo(29) a dosazením do kvadratické formy. Získáme formu nižší dimenze, jíž zkoumáme na celém prostoru, popřípadě pro některé souřadnice omezeného rozsahu. 3. Tvrzení neřeší případ semidefinitnosti kvadratických forem. 4. Doplňující podmínky by bylo možno ještě oslabit, ale nebudeme se těmito detaily už zabývat. říklad: Hledejmepodmíněnáminimafunkce f(x,y)=(x 2) 2 + y 2 napřípustné množině = {[x,y]; x 0; y 0; x 2 + y 2 0}. Řešení: O přípustné množině máme přesnou představu, neboť se jedná o průnik prvního kvadrantu s(uzavřenou) kružnicí se středem v počátku o poloměru jedna(viz obr.7). y 3 g 2 = 0 Obr.7 x Gradienty omezujících funkcí jsou zřejmě nenulové vektory a v(třech) bodech, kde jsou aktivní současně dvě omezení, jsou jejich gradienty zřejmě lineárně nezávislé. Stačí tedy vlagrangeověfunkciuvažovat u 0 =.Lagrangeovafunkcemátedytvar L(x,y,u,v,w)=(x 2) 2 + y 2 ux vy+ w(x 2 + y 2 ). Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky stacionarity jsou odmínky komplementarity jsou =2(x 2) u+2wx=0, x (30) =2y v+2wy=0. y (3) ux=0; vy=0; (32) w(x 2 + y 2 )=0. (33) 2

13 Kromě toho musíme akceptovat podmínky příslušnosti k přípustné množině. Rovnicím (32) vyhovují čtyři případy kombinace nulovosti jednotlivých proměnných.. x=y=0.odle(33)pak w=0apodle(30)potom u= 4,cožjeprohledání minima spor s nezáporností Lagrangeových multiplikátorů. 2. x=v=0.sohledemna(33)rozlišímedvapodpřípady. (a) w=0,odkudpodle(30)je u= 4,cožjeopětsporsnezápornostímultiplikátoru u (b) y= ±.řípad y= nevyhovuje,protožepříslušnýbodneležívpřípustné množině.jetedy y=az(3)pakplyne,že w=az(30)pak u= 4, což je opět spor s nezáporností tohoto čísla. 3. y= u=0.sohledemna(33)rozlišímedvapodpřípady. (a) w=0,odkudpodle(30)je x=2,takženalezenýbodneležívpřípustné množině. (b) x=±.řípad x= nevyhovuje,protožepříslušnýbodneležívpřípustné množině.jetedy x=az(3)pakplyne,že v=0az(30)potom w=. Tento případ vyhovuje a dává řešení [x,y,u,v,w]=[,0,0,0,]. 4. u=v=0.sohledemna(3)rozlišímedvapodpřípady. (a) y 0.Z(7)pakplyne w=,cožjesporsjehonezáporností (b) y=0,odkudpodle(33)(wužnulovébýtnemůže) x=±.řípad x= neležívpřípustnémnožině,pročež x=az(30)plyne w=.získalijsme tak stejný stacionární bod, jako v 3b. Jediný stacionární bod(pro hledání minima) je tedy bod [x,y,u,v,w]=[,0,0,0,]. lyneodtud,ževbodě[x,y]=[,0]jezaručeněaktivnítřetíomezení.oaktivitězbylých omezenínelzevýpočtemřícinic.zobrázkujepatrno,ževezmíněnémbodějeaktivní i první omezení, přestože k němu příslušný multiplikátor je nulový. Aplikujme nyní postačující podmínky minima. Zřejmě je 2 L x 2=2+2w; 2 L y 2=2+2w; 2 L x y =0. ostacionárníbod,kde w=,jehessovamatice HxL(x 0,u 0 )= [ Tato matice je pozitivně definitní vzhledem ke všem směrům(protože oba rohové hlavní minoryjsoukladné).funkce fmávbodě x 0 ostrélokálníminimumvzhledemkcelému prostoru R 2,tedyjejmátímspíšeivzhledemkmnožině. 3 ].

14 oznámka: okud bychom funkci zkoumali na maximum, hledáme stejnou metodou stacionární body, kde ovšem bereme multiplikátory nekladné. Dostali bychom jiné podezřelé body, které bychom potvrdili(nebo také nikoliv) postačující podmínkou. V rámci procvičování látky si to proveďte. říklad:hledejmepodmíněnáminimafunkce f(x,y)=x 3 +3y 2 +6xynapřípustné množině = {[x,y];2x 2 y 0}. Řešení: O přípustné množině máme opět přesnou představu(obr.8). rotože omezující y 2 Obr.8 x podmínkajepouzejedináaplatíproni gradg(x)=[4x; ] 0, stačíseopětomezitnapřípad u 0 =.Lagrangeovafunkcemáprotutoúlohutvar odmínky stacionarity mají tvar odmínka komplementarity je jediná L(x,y,u)=x 3 +3y 2 +6xy+ u(2x 2 y). x =3x2 +6y+4ux=0, (34) =6y+6x u=0. y (35) u(2x 2 y)=0. (36) Kromě toho je třeba ještě akceptovat podmínky incidence pracovního bodu úlohy s přípustnou množinou. S ohledem na(36) rozlišíme dva případy.. u=0,odkudpodle(35)je y= x,coždosazenodo(34)dává 3x 2 6x=0 3x(x 2)=0. Dostávámetakdvěmožnářešení: x = y =0ax 2 =2; y 2 = 2.Druhéřešení ovšemnesplňujepodmínkupříslušnostik.získalijsmejedinéřešení[x 0,y 0,u 0 ]= =[0,0,0]. 4

15 2. u 0,takžepodle(36)je y=2x 2,coždosazenodo(34)a(35)dávásoustavu 3x 2 +2x 2 +4ux=0, (37) Z(38)plyne u=6x(+2x),coždosazenodo(37)dává 6x+2x 2 u=0. (38) 5x 2 +24x 2 (+2x)=0 39x 2 +48x 3 =0 x 2 (39+48x)=0. Tatorovnicemádvěřešení,asice[x 0,y 0 ]=[0,0],kteréužbylonalezenoa[x 0,y 0 ]= [ = (39 ) ] 2 ;2. Z(38) potom plyne 48 u 0 =6x 0 (+2x 0 )= >0. Získalijsmetakdvastacionárníbody.[x 0,y 0 ]=[0,0],kdeje u 0 =0,takževýpočtem nelze o aktivizaci omezení nic říci. Z obrázku geometrie množiny (obr.8) [ vidíme, ] žeomezeníjeaktivováno.druhýmstacionárnímbodemje[x 0,y 0 ]= ; kdy příslušnýmultiplikátor u 0 jekladný.omezeníjeaktivovánoizde,cožjeověřenopřímým výpočtem. rozkoumejme postačující podmínky. Zřejmě je 2 L x 2=6x+4u; 2 L y 2=6; 2 L x y =6. Vbodě[x 0,y 0,u 0 ]=[0,0,0]máHessovamaticeLagrangeovyfunkcetvar HxL(0,0,0)= [ Snadnosepřesvědčíme,žetatomaticeje(naprostoru R 2 )indefinitní.mátedyvzhledem k R 2 sedlovýbod.tatoinformacezatímneříkánicotypustacionárníhoboduvevztahu k přípustné množině. Kvadratickou formu ]. d T HxL(0,0,0)d=6(d 2 2+2d d 2 ) (39) budemezkoumatpouzeprosměrysplňujícípodmínku d T gradg(x 0 ) 0.Tatopodmínka je ekvivalentní podmínce [d,d 2 ] [ 0 ] 0 d 2 0. (40) Forma(39)mánapř.provektor d T =[,]hodnotu8,zatímcoprovektor d T 2= =[, ] hodnotu-6. rotože oba zmiňované vektory splňují doplňující podmínku(40), jematiceindefinitníiprotytosměryastacionárníbod[x 0,y 0 ]=[0,0]jesedlovým bodem vzhledem[ k přípustné množině(. rozkoumáme ) ještě druhý stacionární bod, kdy[x 0,y 0 ]= 39 48, 39 24] a u0 = HessovamaticeLagrangeovyfunkcev tomto bodě je HxL(x 0,y 0,u 0 )= 5 [ ].

16 rotože 7 6 >6,jsouobarohovéhlavníminorytétomaticekladnéapodleHurwitzova kriteria je matice pozitivně definitní. říslušný stacionární bod je minimem vzhledem kevšemsměrůmzprostoru R 2.Tímspíšejeminimemivzhledemkpřípustnémnožině. říklad: Jaké rozměry musí mít kvádr daného objemu V > 0, aby vykazoval minimální povrch? Řešení: Jestliže označíme x, y, z délky hran kvádru, jedná se zřejmě o úlohu nalezení minimacílovéfunkce f(x,y,z)=xy+xz+yz(polovičnípovrch)napřípustnémnožině = {[x,y,z]; xyz V=0}.Lagrangeovafunkceúlohymázřejmětvar L(x,y,z,u)=xy+ xz+ yz+ u(xyz V). Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky dávají výrazy = y+ z+ uyz=0, x (4) = x+z+ uxz=0, y (42) = x+y+ uxy=0, z (43) = xyz V=0. u (44) Z rovnic(4),(42) a(43) vyloučíme multiplikátor u. Vznikne x(y+ z) y(x+z)=(x y)z=0, (45) y(x+z) z(x+y)=(y z)x=0. (46) Řešímepaksoustavu(44),(45)a(46)proneznámé x, y, z.rotože V >0,jedinéjejí řešeníje x=y= z= 3 V.Zrovnice(4)pakdostaneme u= 3 2 V.Jedinýstacionární bodtedyje [x 0,y 0,z 0,u 0 ]= Aplikujme nyní postačující podmínky. Zřejmě platí [ 3 V, 3 V, 3 V, 2 3 V ]. 2 L 2 L 2 L x 2= y 2= z =0; 2 L 2 x y =+uz; 2 L x z =+uy; 2 L y z =+ux. roto Hessova matice má tvar HxL(x 0,y 0,z 0,u 0 )= K této matici příslušející kvadratické forma d T HxL(x 0,y 0,z 0,u 0 )d= 2(d d 2 + d d 3 + d 2 d 3 ) (47) jezřejměindefinitní,jaksesnadnopřesvědčímedosazením d T =[0,,]ad T 2= =[0,, ].Doplňujícípodmínka d T gradh(x 0 )=0mávnašempřípadětvar 6

17 [d,d 2,d 3 ] y 0 z 0 x 0 z 0 x 0 y 0 = 3 V 2 (d + d 2 + d 3 )=0. (48) Definitnost formy(47) zkoumáme pouze při splnění podmínky(48). Snížíme proto její dimenzidosazením d 3 = d d 2.Dostanemeformuna R 2 vetvaru 2[d d 2 d (d + d 2 ) d 2 (d + d 2 )]=2(d 2 + d d 2 + d 2 2)=2 ( d + d 2 2 ) d2 2. Doplněním na kvadrát vidíme, že tato forma je pozitivně definitní. Nalezený stacionární bodjetedyminimemcílovéfunkcevzhledemkpřípustnémnožině. oznámka:úlohulzeřešitrovněžsníženímjejídimenze.z(44)napříkladurčíme z= V xy azkoumámenacelémprostoru R 2 cílovoufunkci g(x,y)=f ( x,y, V xy Nutné podmínky jejího extrému jsou ) = xy+ V y + V x ; x 0, y 0. g x = y V x2=0, (49) g y = x V y2=0. (50) Z(49)plyne y= V adosazenímdo(50) x x4 =0.Řešení x=0evidentněnevyhovuje, x 2 V pročežjedinýmstacionárnímbodemje x 0 = 3 V aprotoiy 0 = V = 3 V.Utvoříme x 2 0 ještě Hessovu matici funkce g. Je roto 2 g 2 g 2 g x 2=2V x 3; y 2=2V y 3; x y =. Hg(x 0,y 0 )= [ 2 2 Tato matice je podle Hurwitzova kriteria positivně definitní a tudíž cílová funkce g má vnalezenémbodě[x 0,y 0 ]lokálníminimum.zevztahu z= V xy plyne,žeiz 0= 3 V. ]. 7

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Ý ý Č ž ý ž ů ď ý ů ů Ýú ž ž ý ž ý ů ý Š ž Ř ý Š ý ý ý ů ý ů ý ž ý ž Ř Š Š ý ž ý ý Š ý ú ý ů ý ž ý Š ý ý ý ý ů ž ý ú ý ůž ň ůž Š ů Č ž ý ž ý ů ů ý ž ž ý ů ý Ů ý ů ý Ů ý ů ů ý ů ů ú ž Ž Š Č ú ýž ý ž ý ý

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti Ing. Miroslav Valečko Zimní semestr 2014/2015 25. 11. 2014 Návrh schématu databáze Existuje mnoho způsobů, jak navrhnout schéma databáze Některá jsou lepší, jiná zase

Více

2.5.1 Kvadratická funkce

2.5.1 Kvadratická funkce .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

10. Afinní a euklidovský prostor

10. Afinní a euklidovský prostor 10. Afinní a euklidovský prostor Definice 10.1. Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

ů ž é ž ž ň Š é ž ů ž ž ž ž é é ž ž ž é é ž ů ž ň ž é ž ž ů Ž ž é ž ů é ž é é é ž Ř Č é ů ž é ů é é ž ž ž Ř é Š Š é é ů ž ů ů ž é ů é ů ů ů ů é é ž ů ů é Š ž ž ž ž ů é žň ž ů ž ž é é ž ž ž Ž ů é é é ž

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

ž é é Č Ž é é Č Č ú é é Ž ů š é ů š é ú ž Ž š Ž Ž é é š é Ž é š š é ů š š é ú é é Ů ů Č Ú Ú é é Š Í ž ň é é Ž ň é é ň š é Ž ň é é é š ů ů ň Ž é Ž é é ú ň é Ž ů ů ů é ů Ž Ž é ú ú ú š Ž ú ž ž Ž é ů é é š

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

CZ Plast s.r.o, Kostěnice 173, 530 02 Pardubice

CZ Plast s.r.o, Kostěnice 173, 530 02 Pardubice 10/stat.03/1 CZ PLAST s.r.o Kostěnice 173 530 02 Pardubice Statické posouzení jímky, na vliv podzemní vody 1,0 m až 0,3 m, a založením 1,86 m pod upraveným terénem. Číslo zakázky... 10/stat.03 Vypracoval

Více

ň ť Č Á ť ň ň Ú Ú Á Ň ď Ú Ů Ý É Ů Ď Č ň ď ň ň ň ň Č ň ň Ď Č ň Š ň Š Š Č ň Ú Š Š Š Ě Ú ť ď ď Á Ď ť É Č ť Ó ň ť Ď Ď Ď Ý Ď Ž Ď Ď Ý Ď Ú ň ň Ď Ď Ý Ď Ď Ď ň ť Ť Ů Ú ň ď ň Ř Ů ň Á Š ť Č ň Š Š ň ň ň ť ť ť ť ť ť

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Č É Č Í Š ŘÁ É ÁŘ É É Í Š ŘÁ É ÁŘ É É Ú Í š ř ř Č é Č Č ř ř ý š š ů ý š š ř ů é Č Ř ý Č ý Ž é Ž ř Č ň š é ý ů ř ň úř Č ý ň é ř é é ň Č ř Ž ň ú Č é ř Ž ň ú ů ý Č ř Ž š ý Ž ý ř ů Ž ž ý š ý ý é é é ý š š

Více

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1) ZKOUŠKA ČÍSLO 1 x=linspace(0,100,20); y=sqrt(x); A=[x;y]'; save('data.txt','a','-ascii'); polyn = polyfit(x,y,3); polyv = polyval(polyn,x); plot(x,y,'r*') plot(x,polyv,'b') p1=[1 0 0 0 0 0 0-1]; k=roots(p1);

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

ÁŘ É š Ž ůž ž ů ů ž š Š Ž Č Ž ů Ž Ž ž ů ů Ž š Ž Ž Ž ž š Ž ů ž Ž ů ž Ž Ž š Ž Ů ž Ž ůž Ů š Š š š ů ů š Ž Ž š š š Ž š š ů ůž Š š ú Ž Š ť ň Š ů É š š š š š Ž š ů š Ž ůš š Š š Ž Ú š ž š ú š Č Ž Ž ů Ž Ž Ů š

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Í Í ó š ú ú Ž Ž Ž Ž š ů Ž Ž Ž Ž š Ž š ú š ú Í ť Ž Í Í Ž Ž ú ů š ň ů ů ň Ž Ú Ž ú ů š ů Ž ú Ž š Ž ď Š ů š ú ň š š Ž Ž Žš Ž ú Í Ž ú š ú š ů Ó ůž Ž ú š Ž ů Í ň Ó Ž Ž Ž ů ů š š š Ž Ž Í š ů Ž ů ů ú ú š ž š ů

Více

ž ž ž ú ú ž ž ů š ú Ž ů ž š šť š ů ú ž šť ž ž ů ů šť ň ž šť ž ú ž ů ů ž š š ú š ž ů Ž Ř Ř ď Ř Ř š ž š ů ž ú ú ú ů ú ú š ď ů ú ůž ú ů Ť ú ž ů ů š ž ú ů š ů ů ů ž š Ť ú ž ú ú š Ž Ž ů ů Ž ů š ů ů ů ů š ť

Více

É ď ú ť ŽŽ ť ť ť Ž ď ď Ů ď ř ř ť ú Č ď Ž ú ú ú ď ť Ú ř ď Ů Č ú Ů Ú ť ú Ž Ž ÚŘ ť Ž Ž ť Ú Ú Ú Ž Ž Ý Č Ň Ř ť ť Á Č Ů Ě Ž ú Ž ř Ž Ů Ů É ď ř Ó ú ď ť Č ť Ó Č ř Ý Č Ú ď ť ď ď ď ďů Ž ř ú ť ř ť ď ť ú ř ť ř ť Č

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

ě ú ě Ž ě ň é ě é ě ž ě ž ě ě ě ň é ú ě ž é ž ž é ě š é ě ě š é ě š é ě ě Č Ř Č Č é Š ú ě ě ě ě ú ě Ú ě ž ž ž é é Ž š ž é Ů Ž Č Č é ě é ž éú š Ů Ž Ů ě ů é š é ŠÍ Č ě Ž Č é š ŠÍ ž Š ě é ě ž ů š Ů Ů é ú

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Č š ý Š š šš é é š ý š ů š ů Á é ď ů š ů š š Ž ó Ú Č ó ý Ž š š Í é ží ů ý ó š šš é é š ý š ů ý ý ů ž ý Ú š é ů š ů š ý š é š ž š é š š š Ž š ď éš Š š é š ý Ž Ž š Š š Ž é Ž ž ů Š ý š é ý ý ú é éš š é ž

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

é ú Ú Š Ř Č é ú ů ů Ž ů ů ú Š Ú ú é š é é ů é ů ú é ů Ď Žň ů é Ž š Ž é é Ž é é é ú ů š ů ů é é é é ů ů ó Ž Í ú ů é é ú ú ů é ú š é é é š ňé Ú ů é ú Ú é ů Žň é ů ů é é ú ó ú ú Í ú Ú Č Ú Ů Ú ú Č š éé ů ú

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce.

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce. Hledání kořenů Úloha: Pro danou funkci f(x) máme najít číslo r tak, aby f(r) = 0. Pozor, počítač totiž kořen nepozná! Má jistou přesnost výpočtu δ > 0 a prohlásí f(r) = 0 pokaždé, když f(x) < δ. Není ovšem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

É Ě ů Č ú Č ň ň Č Ť Ý ň ú ň ť ů ú ů ů ů ú ů ň Ě ú ň ů É Ň ú Ť ŤÁŇ ť ť Ť Ý Áň Ť Ý Ď Ď Á Ň Ť ů ň ú Ň ň ů ň ů ú Ý ú ů ú ť ů ů Á ť ú ň ů ů Ů ů Ý Ú ň ť Á Č Č ň É ť Á ť ť ň Ť Č Č Č ú É Ť ť ť Á Ť Ť ů ň Ú ů ť

Více

ó ř Ž č ě Ž ě Ž ž ř š ů ř Á ž č Ž Ž č č ť ó ó ř ň ů ě ě ě Č É Á ĚŘ ÚÝ Ů Á Ě ĚŠ Ž Ý Č Á Ž Á ě ř č ě ř š č ě ž Ž ř ř Ž ž š ř ů ě š č ř ď ě š ž ě ěř Ž ř ů ůž ú ř Š š ř č Ž ú ě ž ž ě č č ž ž č ů ě ř ě Ž ř

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami:

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: 6. Geometrie břitu, řezné podmínky Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: Základní rovina Z je rovina rovnoběžná nebo totožná s

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více