Základy podmíněné matematické optimalizace
|
|
- Julie Kolářová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě podmíněné optimalizace se tento prostor omezuje na přípustnou množinu definovanou pomocí omezujících funkcí. Definice: řípustnou množinu definujeme jako = {x; g i (x) 0; i=,...,m}. () Funkce g i senazývajíomezujícífunkceaříkáme,žepřípustnámnožinajedefinovaná pomocí nerovnicových omezení. oznámka: Takto definovaná přípustná množina obsahuje ve většině případů vnitřní body(vtopologiiprostoru R n ). Definice: řípustnou množinu definujeme také jako = {x; h j (x)=0; j=,...,p}. (2) Funkce h j serovněžnazývajíomezující funkceaříkáme,žepřípustnámnožinaje definovaná pomocí rovnicových omezení. oznámka: Takto definovaná přípustná množina zřejmě nemá vnitřní body(v topologii prostoru R n ). Definice:Říkáme,žefunkce f(x)definovanána mávbodě x 0 ostrélokální minimumvzhledemk,jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna x U r δ(x 0 ) je f(x) > f(x 0 ). oznámka: ro případ definice ostrého lokálního maxima funkce vzhledem k množině platí v závěru definice obrácená nerovnice. V dalším výkladu budeme předpokládat, že přípustná množina je definovaná pomocí nerovnicových omezení(). Definice: Směr určený jednotkovým vektorem d nazýváme přípustným směrem z bodu x 0 (vzhledemkmnožině ),jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna t (0,δ) jebod x=x 0 + td.množinuvšechpřípustnýchsměrůzbodu x 0 vesmyslu tétodefiniceznačíme D(x 0 ). Definice: Směr určený jednotkovým vektorem d nazýváme spádovým směrem z bodu x 0 (vzhledemkfunkci f)jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna t (0,δ)je f(x 0 + td) < f(x 0 ).Množinuvšechspádovýchsměrůzbodu x 0 vesmyslutétodefinice značíme S(x 0 ). Intuitivnězřejméjenásledujícítvrzení:Bod x 0 jeostrýmlokálnímminimemfunkce f vzhledemkdefinovanév()právěkdyž D(x 0 ) S(x 0 )=. oznámka:tvrzeníříká,žebod x 0 jeostrýmlokálnímminimemprávěkdyžzněho neexistuje vycházející směr, jenž by byl současně spádový(vzhledem k f) a přípustný
2 (vzhledemk).rodiferencovatelnoufunkci f vbodě x 0 snadnonahlédneme,jak vypadá postačující podmínka spádovosti směru. Tvrzení:Nechť f jediferencovatelnávbodě x 0, djednotkovývektorsměru.nechť platí d T gradf(x 0 ) <0. (3) otom djespádovýmsměremzbodu x 0 (vzhledemkfunkci f). oznámka:vímetotiž,ževelikostvýsledkulevéstranynerovnice(3)je gradf(x 0 ) cosϕ d,kde ϕ d jeúhelmezisměrydanýmivektorem davektoremgradf(x 0 ).odmínka zápornostivpředchozímtvrzeníznamená,že ϕ d ( π,π),takžesměrovývektor dmíří 2 dopoloprostoru(vyťatéhotečnounadrovinoukvrstevnicifunkce f vbodě x 0 ),kde hodnoty jsou(alespoň na malém okolí) nižší. Naopak směry, kde by zkoumané číslo bylo kladné, míří do opačného(otevřeného) poloprostoru, kde f (alespoň na malém okolíbodu x 0 )roste.nejasnásituacenastane,kdyžvektor dmířídotečnénadroviny kvrstevnicifunkce fvbodě x 0,tedy,kdyžlevástrana(3)jenulová.akmohoubýt všechny takové směry spádové, mohou být rovněž všechny takové směry růstové, mohou f = f f 2 f = f 2 f f = f f = f 2 f f = f x 0 f = f x 0 x 0 Obr.a Obr.b Obr. c alebýtiněkterérůstovéajinéspádové.všechnytytopřípadyjsounaobr.pořadě zakresleny. Obrázek je kreslen pro funkci dvou proměnných, kde tečná nadrovina je tečnou(tedypřímkou)asměry,proněžje d T gradf(x 0 )=0jsouprávědva.Nave všech třech zobrazených případech jsou směry nad tečnou k vrstevnici spádové, směry pod tečnou k vrstevnici růstové. V situaci znázorněné na obr.a jsou oba(červeně vyznačené) směry ve směru tečny k vrstevnici spádové, v situaci na obr.b jsou oba tyto směryrůstovéavsituacizobr.cjejedenztěchtosměrůrůstovýadruhýspádový. ro funkce více proměnných by situace byla rozmanitější, protože směrů, pro něž je d T gradf(x 0 )=0,jepaknekonečněmnoho. Definice:Říkáme,žeomezení g i jevbodě x 0 aktivní,jestližeplatí g i (x 0 )=0. Množinuvšechindexůaktivníchomezenívbodě x 0 označujeme I(x 0 ). oznámka: Je-liomezení g i vbodě x 0 aktivní,ležízmíněnýbodnačástihranice přípustnémnožiny,ježjepopsanáprávěomezením g i. Tvrzení:Nechť g i jevx 0 diferencovatelnáai(x 0 )={i}.nechťdáleprosměrreprezentovaný jednotkovým vektorem d platí d T gradg i (x 0 ) <0. (4) otom dje(zbodu x 0 )přípustnýmsměremvzhledemkmnožině definovanév(). 2
3 oznámka:.jestližejesplněno(4),svírávektor dsvektoremgradg i (x 0 )tupýúhel.směr d tedymířídotohopoloprostoru(vyťatéhotečnounadrovinoukvrstevnici g i (x)=0 vbodě x 0 ),vekterémležímnožina.jestližesměrovývektor dsplňujeopačnou relacike(4),mířímimo.je-lisměrovývektor dkvektorugradg i (x 0 )kolmý, záležínakonvexnostihranicemnožiny vokolíbodu x 0 (obr.2).nazmíněném obrázku jsou směry nad tečnou k nulové vrstevnici omezující funkce nepřípustné, směry pod tečnou přípustné a(dva červeně označené) směry kolmé ke gradientu omezující funkce jsou rovněž nepřípustné. grad g i ( x 0 ) x 0 Obr.2 g ( x) = 0 i 2. ro případ více aktivních omezení je postačující podmínkou přípustnosti směru zřejměplatnost(4)provšechna i I(x 0 ).Není-livbodě x 0 aktivnížádnéomezení (tedy I(x 0 )= ),jepřípustnýkaždýsměr,neboť x 0 pakležívotevřenémvnitřku množiny. Ukažme situaci na zadaném reliéfu vrstevnic funkce dvou proměnných f a zadaném popisu částí hranice přípustné množiny. Situace nechť vypadá jako na obr.3. řípustnámnožina = {x; g (x) 0, g 2 (x) 0}jedefinovánapomocídvouomezujících funkcí s vrstevnicemi odpovídajícími nulové konstantě(tedy s částmi hranice přípustné množiny) podle obrázku. Zeleně jsou značeny tečny k vrstevnicím cílové funkce(a příslušným obloučkem spádové směry), červeně tečny k vrstevnicím o nulové konstantě omezujících funkcí v bodech, kde je alespoň jedno omezení aktivní(a příslušným obloučkem přípustné směry). rotože na obrázku jsou vrstevnice cílové funkce i části hranice přípustné množiny zobrazeny jako konvexní funkce, vyplňují přípustné i spádové směry vždy jen otevřený poloprostor poklesu příslušejících funkcí. Na obrázku jsou znázorněny čtyři významné body..bod x jevnitřnímbodempřípustnémnožiny,tudížzněhojsoupřípustnévšechny směry. Spádové směry vyplňují poloprostor označený zeleně. Ten tvoří také poloprostor směrů, jež jsou současně přípustné i spádové. 2.Vbodě x 2 jeaktivovánoomezení g 2.řípustnésměryjsouoznačenyčerveným obloučkem(otevřený poloprostor) a spádové zeleným obloučkem(opět otevřený poloprostor. Současně přípustné i spádové směry jsou dány otevřeným úhlem jakožto průnikem obou výše zmíněných poloprostorů. 3.Vbodě x 3 jsouaktivovánaoběomezení.řípustnésměryjsoudányprůnikem poloprostorů přípustných směrů pro jedno každé omezení zvlášť(červeně označený otevřený úhel). Spádové směry jsou označeny zeleným obloučkem. Současně 3
4 f = f f 2 f = f f 3 2 x 3 x 2 2 x f = f x 4 Obr.3 přípustné i spádové směry tvoří oběma barvami označený otevřený úhel jakožto průnik obou výše diskutovaných úhlů. 4.Vbodě x 4 jeaktivovánoomezení g apoloprostorpřípustnýchsměrů(červený oblouček) má s poloprostorem spádových směrů(zelený oblouček) prázdný průnik. Jetedy D S=.Vbodě x 4 tedycílováfunkcenabýváostréholokálníhominima vzhledem k přípustné množině. oznámka:nechťnerovnicováomezení g i v()jsoupro i I(x 0 )diferencovatelnáv bodě x 0.Označmesymbolem D 0 (x 0 )množinuvšechsměrů d,prokteréjest d T gradg i (x 0 ) 0. (5) ozor! Oproti(4) se zde vyskytuje neostrá nerovnice. otom zřejmě platí D 0 (x 0 ) D(x 0 ) D 0 (x 0 ), kde D 0 (x 0 )znamenáuzávěrmnožiny D 0 vtopologiiprostoru R n.latípaknásledující důležité tvrzení. Tvrzení: Následující výroky jsou ekvivalentní:. S(x 0 ) D 0 (x 0 )=, 4
5 2.existují u i 0takové,že gradf(x 0 )+ 3.existují u i 0takové,že i I(x 0 ) u i gradg i (x 0 )=0, (6) azároveň m gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (7) i= u i g i (x 0 )=0. (8) oznámka: Tvrzení hovoří o gradientu cílové funkce f jako o lineární kombinaci gradientůvbodě x 0 aktivníchomezenísnekladnýmikoeficienty u i.dobodu3.bylazahrnuta všechnaomezení(tedyitavbodě x 0 neaktivní).tatamalemuselabýtzahrnutasnulovýmikoeficienty u i.rotok(7)musíbýtdoplněnypodmínky(8).nazývámejepodmínkamikomplementarity.aktivníomezenívbodě x 0 ovšemtakémůžemítnulový koeficient u i lineárníkombinacevýše.neaktivníomezeníjejovšemmusímítnulový. Tvrzení: Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky lokálního pomíněného minima:nechť x 0 jebodlokálníhominimacílovéfunkce fvzhledemkmnožině().nechť fa g i pro i I(x 0 )jsouvx 0 diferencovatelné.otomplatí:.existujínezápornékonstanty u 0 a u i (nevšechnysoučasněnulové),že u 0 gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0. (9) i I 2.Existujínezápornékonstanty u 0 a u i (nevšechnysoučasněnulové),že azároveň m u 0 gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (0) i= u i g i (x 0 )=0, i=,...,m. () 3.Jsou-linavícgradientyvbodě x 0 aktivníchomezenílineárněnezávislé,pakexistují nezáporné(mohoubýtivšechnynulové)konstanty u i,že a zároveň platí(). m gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (2) i= oznámka: odmínkám(9) resp.(0) resp.(2) se říká podmínky stacionarity, podmínkám() podmínky komplementarity a podmínce nezávislosti gradientů aktivních omezení se říká podmínka regularity. 5
6 oznámka:.konstanta u 0 vpředchozímtvrzenímůžebýtinenulová(potomjícelourovnici podělíme, takže ji lze brát jednotkovou), nebo může býti nulová. ak ovšem(9) resp.(0)vyjadřujelineárnízávislostgradientůvx 0 aktivníchomezení(protože alespoňjednazkonstant u i jestnenulová).donutnýchpodmínekminimatedy zahrnujeme i body lineární závislosti gradientů aktivních omezení. 2.Jestliže x 0 ležíuvnitřpřípustnémnožiny,nejsouaktivnížádnáomezenía(9)dává podmínkugradf(x 0 )=0,takjakounepodmíněnéminimalizace. Definice: Definujme funkci m L(x,u)=L(x,...,x n,u 0,u,...,u m )=u 0 f(x)+ u i g i (x) (3) i= anazvemejilagrangeovou funkcí úlohy pro cílovou funkci f a množinu danounerovnicovýmiomezeními g i. odmínky stacionarity pak mají tvar m gradxl(x,u)=u 0 gradf(x)+ u i gradg i (x)=0, (4) i= kde gradx je gradient Lagrangeovy funkce tvořený pouze v proměnných x. odmínky stacionarity a komplementarity představují celkem m + n rovnic pro stejný počet neznámých. Celkem n neznámých představují souřadnice stacionárního bodu cílové funkce a zbylých mneznámýchjsou(pro u 0 =)konstanty u i.říkámejimlagrangeovymultiplikátory. řipomínáme, že kladnost multiplikátoru signalizuje aktivitu příslušného omezení, zatímco jeho nulovost nesignalizuje nic. o vyřešení souřadnic stacionárních bodů je třeba zvlášť zkontrolovat, zda leží v přípustné množině. oznámka: rotože platí max f(x)= min[ f(x)], (5) dostávámepřihledánímaximalagrangeovufunkcisnekladným u 0.Je-litatokonstanta nenulová, prodělíme jí celou rovnici(9) resp.(0)(takže ji lze opět brát jednotkovou) a příslušnékonstanty u i jsoupaknekladné.je-li u 0 =0znamenátoizdelineárnízávislost gradientů aktivních omezení. říklad:hledejmestacionárníbodyfunkce f(x,y)=x+ynapřípustnémnožině = {[x,y]; g = x 0, g 2 = y 0, g 3 = x+y 0.} Řešení: O přípustné množině máme jasnou představu, protože vypadá jak jest uvedeno naobr.4.zřejměgradg [,0],gradg 2 [0, ]agradg 3 [,].Vmístechaktivizace jediného omezení nemůže být jeho gradient nezávislý, protože je nenulový. Dvě omezenísoučasnějsouaktivizovánaprávějenvetřechbodech,ato[0,0],[,0]a[0,]. V těchto bodech jsou gradienty příslušných současně aktivizovaných omezení zřejmě lineárně nezávislé(nejsou jakožto vektory rovnoběžné). Lagrangeovu funkci lze tedy pro hledáníminimaformulovatpouzepro u 0 =.Mátedytvar L(x,y,u,v,w)=x+y ux vy+ w(x+y ). 6
7 y 3 2 Obr.4 x odmínky stacionarity jsou odmínky komplementarity jsou Vzhledem k rovnicím(8) rozlišíme 4 případy. = u+w=0, x (6) = v+ w=0. y (7) ux=0, vy=0, (8) w(x+y )=0. (9). u=0nebo v=0(třipřípadyřešenénajednou).odle(6)nebo(7)vždyjest w=,cožjesporsnezápornostímultiplikátoru w. 2. x=y=0(čtvrtýpřípad).odle(9)je w =0apodle(6)a(7)nakonec u=v=. Dostalijsmejedinéřešení[x 0,y 0,u 0,v 0,w 0 ]=[0,0,,,0].Stacionárnímbodemjepočátek,vekterémjezaručeněaktivizovánoomezení g a g 2.Oaktivizaci g 3 nelzenicříci. Z náčrtu přípustné množiny vidíme, že ve stacionárním bodě aktivizováno není. oznámka: rozkoumáme-li úlohu na hledání maxima, stačí pro Lagrangeovu funkci stejného charakteru nacházet nekladné multiplikátory. Z výše diskutovaných čtyř případůdávápřípad x = y = 0vzhledemk(9) w = 0,takžepodle(6)a(7)je u=v=,cožjesporsnekladnostímultiplikátorů.ostatnítřipřípadydávajípro w=0buď u=nebo v=,cožjevždysporsjejichnekladností.odle(9)musí býti x+y =0.odle(6)a(7)jepak w= au=v=0.stacionárnímibody je celá přepona pravoúhlého trojúhelníka ohraničujícího přípustnou množinu a je v nich zaručeněaktivizovánoomezení g 3. říklad: Ukažte, že přípustná množina definovaná jako(viz obr.5) = {[x,y]; x 0, y 0, y ( x) 3 0} obsahuje bod se závislými gradienty omezení. 7
8 y 3 g 2 = 0 Obr.5 x Řešení: Zřejmě platí gradg (x,y) [,0];gradg 2 (x,y) [0, ];gradg 3 (x,y)=[3( x) 2,]. rotože žádný z gradientů omezení není nikde nulový, je závislost možná právě jen v bodech,kdejsouaktivizovánadvěomezení.tojemožnéprávějenvbodech[x,y ]= [0,]a[x 2,y 2 ]=[,0].Vprvnímbodějsouaktivizovánaomezení g a g 3,přičemžjest gradg (x,y )=[,0]agradg 3 (x,y )=[3,].Tytogradientyjsouevidentněnezávislé. Vedruhémbodějsouaktivizovánaomezení g 2 a g 3,přičemžjestgradg 2 (x 2,y 2 )= =[0, ]agradg 3 (x 2,y 2 )=[0,].Tytogradientyjsouevidentnězávislé. oznámka: Úlohu lze řešit též aplikací definice závislosti vektorů(což je tvar KuhnovýchTuckerovýchpodmínekstacionarityLagrangeovyfunkceprokonstantu u 0 =0při řešení minima jakékoliv cílové funkce na zadané přípustné množině). Tyto podmínky mají tvar u+3w( x) 2 =0 (20) v+ w=0 v= w. (2) Z(20)plyne u=3w( x) 2.Jestližetedy w >0,jepro x ±iu>0apodle (2)iv >0.Tobyovšemznamenaloaktivizacitříomezenívjedinémbodě,cožve dvourozměrném prostoru není možné. ro x = (x = neleží v přípustné množině) je u=0apodle(2) v= w >0.Jsoutedysoučasněaktivovánaomezení g 2 a g 3,takže y=0.bod[,0]jebodzávislostigradientů,kterýbylvýšenalezenjinoumetodou.ro w=0jeovšempodle(20)a(2)iu=v=0,cožbysignalizovalonezávislostgradientů atobybylsporspředpokladem. Každé omezení typu rovnice h(x) = 0 lze chápat jako současné splnění dvojice omezenítypunerovnice,asice h(x) 0azároveň-h(x) 0.Jestližejetedypřípustná množina definována prostřednictvím(2), dostáváme aplikací Kuhnových Tuckerových podmínekpro2pomezenítypunerovnicexistencinezápornýchkonstant u 0, u j a u 2j, že p u 0 gradf(x 0 )+ (u j u 2j )gradh j (x 0 ) (stacionarita); j= 8
9 u j h j (x 0 )=0; u 2j h j (x 0 )=0 (komplementarita). rotožepro x 0 musíbýtvšechnaomezeníaktivní,ztrácípodmínkykomplementarity smysl. Odtud plynou Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky lokálního podmíněného minima funkce vzhledem k přípustné množině dané ve(2). Tvrzení:Nechť x 0 jebodlokálníhominimacílovéfunkce fvzhledemkmnožině(2). Nechť f a h j jsouvx 0 diferencovatelné.otomexistuje u 0 0av j (j =,...,p) libovolná(ne současně všechny nulové), že oznámka: p u 0 gradf(x 0 )+ v j gradh j (x 0 )=0. (22) j=. odobně jako pro případ omezení typu nerovnic, i zde při hledání maxima řešíme minimumcílovéfunkce f.významnéhodnotykonstanty u 0 jsoutedypouze tři. Jednička pro hledání minima, mínus jednička pro hledání maxima a nula pro případ závislých gradientů omezujících funkcí. 2.Existencikonstanty u 0 lzenahraditdoplňujícímpředpoklademlineárnínezávislosti gradientů omezujících funkcí, čili podmínkou, že Jacobiova matice zobrazení h(x)(vektorové funkce vektorové proměnné) J h (x 0 )= [ ] hj (x 0 ), j=,...,p, k=,...,n x k máplnouhodnost,tedyhodnost p=min{p,n}. 3. ro případ jediného omezení, tedy pro úlohu x 0 =argminf(x); = {x, h(x)=0} má Kuhnova Tuckerova podmínka pro minimum tvar gradf(x 0 )= vgradh(x 0 ). Gradientcílovéfunkceiomezenímávboděminima(imaxima)týžsměr,což znamená, že příslušná vrstevnice cílové funkce i omezení mají ve stacionárním bodě společnou tečnou nadrovinu. ro funkce dvou proměnných se jedná o tečnu (přímku) a situace je znázorněna na obr.6. Definice: Definujme funkci p L(x,v)=L(x,...,x n,v,...,v p )=f(x)+ v j h j (x) (23) j= anazvemejilagrangeovou funkcí úlohy pro cílovou funkci f a množinu danouomezeními h j (prohledáníminima). odmínky stacionarity pak mají tvar p gradxl(x,v)=gradf(x)+ v j gradh j (x)=0, (24) j= 9
10 f = f 2 f grad f ( ) = k grad h ( x ) x 0 f = f 0 x 0 h = 0 Obr.6 kde gradx je gradient Lagrangeovy funkce tvořený pouze v proměnných x. odmínky přípustnosti pak mají tvar gradvl(x,v)=[h (x),...,h p (x)]=0. (25) odmínky stacionarity a přípustnosti představují celkem p + n rovnic pro stejný počet neznámých. Celkem n neznámých představují souřadnice stacionárního bodu cílové funkceazbylých pneznámýchjsou(pro u 0 = )konstanty v j.říkámejimrovněž Lagrangeovy multiplikátory. říklad:řešmepodmíněnýextrémfunkce f(x,y)=xynapřípustnémnožině = = {[x,y]; x+y 2=0}. Řešení: ro hledání minima utvoříme Lagrangeovu funkci tvaru odmínky stacionarity mají tvar podmínka přípustnosti pak L(x,y,u)=xy+ u(x+y 2). x = y+ u=0; y = x+u=0, = x+y 2=0. u Odečtením prvních dvou podmínek získáme x = y a dosazením do třetí podmínky pak x=y=. oznámka:.rohledánímaximabylagrangeovafunkcemělatvar L(x,y,u)= xy+ u(x+ + y 2). Řešením podmínek stacionarity a přípustnosti získáme stejný stacionární bod.bod[x,y]=[,]jetedy podezřelý zobouextrémů. 2. Úlohu lze řešit též snížením počtu proměnných. Z podmínky přípustnosti je y = =2 x,takžeřešímeextrémfunkcejednéproměnné 0
11 g(x)=f(x,2 x)=2x x 2 nacelémprostoru R.Stacionárníbodsplňujepodmínku g (x)=2 2x=0 x 0 =(takžeiy 0 =).ostačujícípodmínka g (x) 2dávávnalezeném bodě maximum. Tvrzení: ostačující podmínky podmíněného extrému na množině definované omezenímitypunerovnic.nechťstacionárníbod x 0 avektorlagrangeovýchmultiplikátorů u 0 splňujíkuhnovytuckerovynutnépodmínkypodmíněnéhominimapro cílovoufunkci fapřípustnoumnožinudanouv().nechťfunkce fa g i pro i I(x 0 ) jsoudvakrátspojitědiferencovatelnévx 0 agradg i (x 0 )pro i I(x 0 )jsoulineárně nezávislé. Nechť navíc platí d T HxL(x 0,u 0 )d >0 (26) (resp. < 0) pro takové(jednotkové) vektory směru d, pro které d T gradg i (x 0 ) 0 (27) provšechna i I(x 0 ).ak x 0 jebodostréholokálníhominima(maxima)funkce f vzhledemkmnožině.jestližeexistujesměrovývektor d splňující(27),pronějžplatí (26)azároveňsměrovývektor d 2 splňující(27),pronějžplatív(26)opačnánerovnice, nemá fvbodě x 0 vzhledemkpřípustnémnožině lokálníextrém. Tvrzení: ostačující podmínky podmíněného extrému na množině definované omezeními typu rovnic.nechťstacionárníbod x 0 avektorlagrangeových multiplikátorů v 0 splňujíkuhnovytuckerovynutnépodmínkypodmíněnéhominima procílovoufunkci fapřípustnoumnožinudanouv(2).nechťfunkce fa h j jsoudvakrát spojitědiferencovatelnévx 0 agradh j (x 0 )jsoulineárněnezávislé.nechťnavícplatí d T HxL(x 0,v 0 )d >0 (28) (resp. < 0) pro takové(jednotkové) vektory směru d, pro které d T gradh j (x 0 )=0provšechna j=,...,p. (29) ak x 0 jebodostréholokálníhominima(maxima)funkce f vzhledemkmnožině. Jestližeexistujesměrovývektor d splňující(29),pronějžplatí(28)azároveňsměrový vektor d 2 splňující(29),pronějžplatív(28)opačnánerovnice,nemá f vbodě x 0 vzhledem k přípustné množině lokální extrém. oznámka:. Výrazy na levých stranách(26) resp.(28) jsou kvadratické formy v souřadnicích směrového vektoru d s Hessovou maticí(vzhledem k proměnným x) Lagrangeovy funkce ve stacionárním bodě. Tam uvedené nerovnice znamenají pozitivní definitnost(resp. negativní definitnost, resp. indefinitnost) zmíněných forem. Tyto jejich vlastnostialenezkoumámeprovšechnysměry d(tedynacelémprostoru R n ),ale jenprosměrysplňující(27)resp.(29).odmínka(29)znamená,žesměr dmusí být kolmý ke gradientu všech aktivních omezujících funkcí. Musí tedy ležet v průniku tečných nadrovin k nulovým vrstevnicím všech aktivních omezujících funkcí. odmínka(27) znamená, že směr d musí s gradientem aktivní omezující funkce
12 svírat tupý úhel. Musí tedy směřovat do toho poloprostoru(vymezeného tečnou nadrovinou k omezující funkci), ve které leží přípustná množina. Toto musí být splněno pro všechny ve stacionárním bodě aktivní omezení. 2. raktické výpočty se provádějí vyjádřením některých souřadnic směrového vektoru d z doplňujících podmínek(27) nebo(29) a dosazením do kvadratické formy. Získáme formu nižší dimenze, jíž zkoumáme na celém prostoru, popřípadě pro některé souřadnice omezeného rozsahu. 3. Tvrzení neřeší případ semidefinitnosti kvadratických forem. 4. Doplňující podmínky by bylo možno ještě oslabit, ale nebudeme se těmito detaily už zabývat. říklad: Hledejmepodmíněnáminimafunkce f(x,y)=(x 2) 2 + y 2 napřípustné množině = {[x,y]; x 0; y 0; x 2 + y 2 0}. Řešení: O přípustné množině máme přesnou představu, neboť se jedná o průnik prvního kvadrantu s(uzavřenou) kružnicí se středem v počátku o poloměru jedna(viz obr.7). y 3 g 2 = 0 Obr.7 x Gradienty omezujících funkcí jsou zřejmě nenulové vektory a v(třech) bodech, kde jsou aktivní současně dvě omezení, jsou jejich gradienty zřejmě lineárně nezávislé. Stačí tedy vlagrangeověfunkciuvažovat u 0 =.Lagrangeovafunkcemátedytvar L(x,y,u,v,w)=(x 2) 2 + y 2 ux vy+ w(x 2 + y 2 ). Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky stacionarity jsou odmínky komplementarity jsou =2(x 2) u+2wx=0, x (30) =2y v+2wy=0. y (3) ux=0; vy=0; (32) w(x 2 + y 2 )=0. (33) 2
13 Kromě toho musíme akceptovat podmínky příslušnosti k přípustné množině. Rovnicím (32) vyhovují čtyři případy kombinace nulovosti jednotlivých proměnných.. x=y=0.odle(33)pak w=0apodle(30)potom u= 4,cožjeprohledání minima spor s nezáporností Lagrangeových multiplikátorů. 2. x=v=0.sohledemna(33)rozlišímedvapodpřípady. (a) w=0,odkudpodle(30)je u= 4,cožjeopětsporsnezápornostímultiplikátoru u (b) y= ±.řípad y= nevyhovuje,protožepříslušnýbodneležívpřípustné množině.jetedy y=az(3)pakplyne,že w=az(30)pak u= 4, což je opět spor s nezáporností tohoto čísla. 3. y= u=0.sohledemna(33)rozlišímedvapodpřípady. (a) w=0,odkudpodle(30)je x=2,takženalezenýbodneležívpřípustné množině. (b) x=±.řípad x= nevyhovuje,protožepříslušnýbodneležívpřípustné množině.jetedy x=az(3)pakplyne,že v=0az(30)potom w=. Tento případ vyhovuje a dává řešení [x,y,u,v,w]=[,0,0,0,]. 4. u=v=0.sohledemna(3)rozlišímedvapodpřípady. (a) y 0.Z(7)pakplyne w=,cožjesporsjehonezáporností (b) y=0,odkudpodle(33)(wužnulovébýtnemůže) x=±.řípad x= neležívpřípustnémnožině,pročež x=az(30)plyne w=.získalijsme tak stejný stacionární bod, jako v 3b. Jediný stacionární bod(pro hledání minima) je tedy bod [x,y,u,v,w]=[,0,0,0,]. lyneodtud,ževbodě[x,y]=[,0]jezaručeněaktivnítřetíomezení.oaktivitězbylých omezenínelzevýpočtemřícinic.zobrázkujepatrno,ževezmíněnémbodějeaktivní i první omezení, přestože k němu příslušný multiplikátor je nulový. Aplikujme nyní postačující podmínky minima. Zřejmě je 2 L x 2=2+2w; 2 L y 2=2+2w; 2 L x y =0. ostacionárníbod,kde w=,jehessovamatice HxL(x 0,u 0 )= [ Tato matice je pozitivně definitní vzhledem ke všem směrům(protože oba rohové hlavní minoryjsoukladné).funkce fmávbodě x 0 ostrélokálníminimumvzhledemkcelému prostoru R 2,tedyjejmátímspíšeivzhledemkmnožině. 3 ].
14 oznámka: okud bychom funkci zkoumali na maximum, hledáme stejnou metodou stacionární body, kde ovšem bereme multiplikátory nekladné. Dostali bychom jiné podezřelé body, které bychom potvrdili(nebo také nikoliv) postačující podmínkou. V rámci procvičování látky si to proveďte. říklad:hledejmepodmíněnáminimafunkce f(x,y)=x 3 +3y 2 +6xynapřípustné množině = {[x,y];2x 2 y 0}. Řešení: O přípustné množině máme opět přesnou představu(obr.8). rotože omezující y 2 Obr.8 x podmínkajepouzejedináaplatíproni gradg(x)=[4x; ] 0, stačíseopětomezitnapřípad u 0 =.Lagrangeovafunkcemáprotutoúlohutvar odmínky stacionarity mají tvar odmínka komplementarity je jediná L(x,y,u)=x 3 +3y 2 +6xy+ u(2x 2 y). x =3x2 +6y+4ux=0, (34) =6y+6x u=0. y (35) u(2x 2 y)=0. (36) Kromě toho je třeba ještě akceptovat podmínky incidence pracovního bodu úlohy s přípustnou množinou. S ohledem na(36) rozlišíme dva případy.. u=0,odkudpodle(35)je y= x,coždosazenodo(34)dává 3x 2 6x=0 3x(x 2)=0. Dostávámetakdvěmožnářešení: x = y =0ax 2 =2; y 2 = 2.Druhéřešení ovšemnesplňujepodmínkupříslušnostik.získalijsmejedinéřešení[x 0,y 0,u 0 ]= =[0,0,0]. 4
15 2. u 0,takžepodle(36)je y=2x 2,coždosazenodo(34)a(35)dávásoustavu 3x 2 +2x 2 +4ux=0, (37) Z(38)plyne u=6x(+2x),coždosazenodo(37)dává 6x+2x 2 u=0. (38) 5x 2 +24x 2 (+2x)=0 39x 2 +48x 3 =0 x 2 (39+48x)=0. Tatorovnicemádvěřešení,asice[x 0,y 0 ]=[0,0],kteréužbylonalezenoa[x 0,y 0 ]= [ = (39 ) ] 2 ;2. Z(38) potom plyne 48 u 0 =6x 0 (+2x 0 )= >0. Získalijsmetakdvastacionárníbody.[x 0,y 0 ]=[0,0],kdeje u 0 =0,takževýpočtem nelze o aktivizaci omezení nic říci. Z obrázku geometrie množiny (obr.8) [ vidíme, ] žeomezeníjeaktivováno.druhýmstacionárnímbodemje[x 0,y 0 ]= ; kdy příslušnýmultiplikátor u 0 jekladný.omezeníjeaktivovánoizde,cožjeověřenopřímým výpočtem. rozkoumejme postačující podmínky. Zřejmě je 2 L x 2=6x+4u; 2 L y 2=6; 2 L x y =6. Vbodě[x 0,y 0,u 0 ]=[0,0,0]máHessovamaticeLagrangeovyfunkcetvar HxL(0,0,0)= [ Snadnosepřesvědčíme,žetatomaticeje(naprostoru R 2 )indefinitní.mátedyvzhledem k R 2 sedlovýbod.tatoinformacezatímneříkánicotypustacionárníhoboduvevztahu k přípustné množině. Kvadratickou formu ]. d T HxL(0,0,0)d=6(d 2 2+2d d 2 ) (39) budemezkoumatpouzeprosměrysplňujícípodmínku d T gradg(x 0 ) 0.Tatopodmínka je ekvivalentní podmínce [d,d 2 ] [ 0 ] 0 d 2 0. (40) Forma(39)mánapř.provektor d T =[,]hodnotu8,zatímcoprovektor d T 2= =[, ] hodnotu-6. rotože oba zmiňované vektory splňují doplňující podmínku(40), jematiceindefinitníiprotytosměryastacionárníbod[x 0,y 0 ]=[0,0]jesedlovým bodem vzhledem[ k přípustné množině(. rozkoumáme ) ještě druhý stacionární bod, kdy[x 0,y 0 ]= 39 48, 39 24] a u0 = HessovamaticeLagrangeovyfunkcev tomto bodě je HxL(x 0,y 0,u 0 )= 5 [ ].
16 rotože 7 6 >6,jsouobarohovéhlavníminorytétomaticekladnéapodleHurwitzova kriteria je matice pozitivně definitní. říslušný stacionární bod je minimem vzhledem kevšemsměrůmzprostoru R 2.Tímspíšejeminimemivzhledemkpřípustnémnožině. říklad: Jaké rozměry musí mít kvádr daného objemu V > 0, aby vykazoval minimální povrch? Řešení: Jestliže označíme x, y, z délky hran kvádru, jedná se zřejmě o úlohu nalezení minimacílovéfunkce f(x,y,z)=xy+xz+yz(polovičnípovrch)napřípustnémnožině = {[x,y,z]; xyz V=0}.Lagrangeovafunkceúlohymázřejmětvar L(x,y,z,u)=xy+ xz+ yz+ u(xyz V). Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky dávají výrazy = y+ z+ uyz=0, x (4) = x+z+ uxz=0, y (42) = x+y+ uxy=0, z (43) = xyz V=0. u (44) Z rovnic(4),(42) a(43) vyloučíme multiplikátor u. Vznikne x(y+ z) y(x+z)=(x y)z=0, (45) y(x+z) z(x+y)=(y z)x=0. (46) Řešímepaksoustavu(44),(45)a(46)proneznámé x, y, z.rotože V >0,jedinéjejí řešeníje x=y= z= 3 V.Zrovnice(4)pakdostaneme u= 3 2 V.Jedinýstacionární bodtedyje [x 0,y 0,z 0,u 0 ]= Aplikujme nyní postačující podmínky. Zřejmě platí [ 3 V, 3 V, 3 V, 2 3 V ]. 2 L 2 L 2 L x 2= y 2= z =0; 2 L 2 x y =+uz; 2 L x z =+uy; 2 L y z =+ux. roto Hessova matice má tvar HxL(x 0,y 0,z 0,u 0 )= K této matici příslušející kvadratické forma d T HxL(x 0,y 0,z 0,u 0 )d= 2(d d 2 + d d 3 + d 2 d 3 ) (47) jezřejměindefinitní,jaksesnadnopřesvědčímedosazením d T =[0,,]ad T 2= =[0,, ].Doplňujícípodmínka d T gradh(x 0 )=0mávnašempřípadětvar 6
17 [d,d 2,d 3 ] y 0 z 0 x 0 z 0 x 0 y 0 = 3 V 2 (d + d 2 + d 3 )=0. (48) Definitnost formy(47) zkoumáme pouze při splnění podmínky(48). Snížíme proto její dimenzidosazením d 3 = d d 2.Dostanemeformuna R 2 vetvaru 2[d d 2 d (d + d 2 ) d 2 (d + d 2 )]=2(d 2 + d d 2 + d 2 2)=2 ( d + d 2 2 ) d2 2. Doplněním na kvadrát vidíme, že tato forma je pozitivně definitní. Nalezený stacionární bodjetedyminimemcílovéfunkcevzhledemkpřípustnémnožině. oznámka:úlohulzeřešitrovněžsníženímjejídimenze.z(44)napříkladurčíme z= V xy azkoumámenacelémprostoru R 2 cílovoufunkci g(x,y)=f ( x,y, V xy Nutné podmínky jejího extrému jsou ) = xy+ V y + V x ; x 0, y 0. g x = y V x2=0, (49) g y = x V y2=0. (50) Z(49)plyne y= V adosazenímdo(50) x x4 =0.Řešení x=0evidentněnevyhovuje, x 2 V pročežjedinýmstacionárnímbodemje x 0 = 3 V aprotoiy 0 = V = 3 V.Utvoříme x 2 0 ještě Hessovu matici funkce g. Je roto 2 g 2 g 2 g x 2=2V x 3; y 2=2V y 3; x y =. Hg(x 0,y 0 )= [ 2 2 Tato matice je podle Hurwitzova kriteria positivně definitní a tudíž cílová funkce g má vnalezenémbodě[x 0,y 0 ]lokálníminimum.zevztahu z= V xy plyne,žeiz 0= 3 V. ]. 7
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceElektrotechnická fakulta
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
VíceRovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceF (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)
11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceJméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A
æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více2. RBF neuronové sítě
2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceTéma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
VíceFunkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceMasarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMatematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Vícex y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54
MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceÚvod do optimalizace, metody hladké optimalizace
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady
Více14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceModelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti
Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode,
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
VíceLineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008
Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant
VíceLokální extrémy. 1. Příklad f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 + 5x + 2y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.
Lokální xtrémy - řšné příklady 1 Lokální xtrémy Vyštřt lokální xtrémy násldujících funkcí víc proměnných: 1 Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava
Více1. Přirozená topologie R n
Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceJčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 1. Porovnejte mezi sebou normy zadaných vektorů p =(1,-3), q =(2,-2,2), r =(0,1,2,2). (A) p
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceOhraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je. Sestrojíme posloupnost determinantů (minorů):
Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je matice 2. parc. derivací L vzhledem k λ λ r x x n v tomto pořadí: g 0 0 g x n g 0 0 2 g 2 x n g 0 0 r g x HB = r x n g g r 2 L 2 L. x 2 x x n g g x 2 r
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
Více13 Analytická geometrie v prostoru
Anlytická geometrie v rostoru Nyní se změříme n tříimenzionální rostor využijeme vlstností, které ze ltí ozor v rovině neltí.. Poznámk: Okování u = (u,u,u ), v = (v,v,v ) - vektory sklární součin vektorů
Více4. Lineární nerovnice a jejich soustavy
4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší
Více