Moderní metody optimalizace mechanických soustav

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Moderní metody optimalizace mechanických soustav"

Transkript

1 Moderní metody optimalizace mechanických soustav Eduard Rohan Katedra mechaniky ZČU Moderní metody v mechanice, , kurz ÚCV/KME ZČU 1. Témata přednášky Co je optimální konstrukce? Jak měnit konstrukci? Optimalizace prutových soustav Kritéria??? Layout optimization Optimální topologie těles Volná materiálová optimalizace Využití metody homogenizace Tvarová optimalizace (úlohy s prouděním) Optimalizační metody používané v SO Vývoj již 300 let se nemění. Optimální??? Jak vše spolu souvisí???

2 2. Co je optimální konstrukce? Kritéria optimality (Statika): Minimální hmotnost, Minimální poddajnost, maximální tuhost, Minimální napětí, (limitní design), Speciální: lokalizace plastické zóny, rovnoměrnost kontaktních napětí Některá výše uvedená kritéria jsou protichůdná Základní úlohy (Solid Mechanics): Kritérium: Omezení: min. hmotnost max. napětí min. hmotnost max. poddajnost min. poddajnost max. hmotnost Speciální úlohy : Optimalizace rozložení dané veličiny (teplotní pole, kontaktní napětí). Optimalizace dynamických vlastností ladění vlastních frekvencí. Úlohy z oblasti interakce (Fluid dynamics) proudění, aerodynamika (Shape Optimization)

3 Jak měnit konstrukci? Sizing optimization optimalizace rozměrů geometricky jednoduché části (prut, nosník), soustavy parametry: průřezové charakteristiky, délky, průměry,... Shape optimization tvarová optimalizace 3D / 2D / (1D) tělesa parametry: popis části hranice (B-spline) Topology optimization topologická optimalizace zobecněná tvarová optimalizace vznik nových hranic parametry: hustota {0/1} design Topology & free material optimization navíc: optimalizace matriálových parametrů parametry: hustota, parametry mikrostruktury Speciální: optimalizace prolisu skořepin (Topography opt.) optimální orientace vláken kompozitu

4 Maximalizace tuhosti minimalizace poddajnosti Nejčastěji používaná úloha (Minimum compliance design) Stavová úloha (pro daný design) Kritérium: Minimalizace práce vnějších sil u = arg min v {Φ(v) 1 2 vt Av v T f} ψ(u) = u T f Stav u Au = f A závisí na designu t, A = A(t), Optimalizační úloha min t D ψ(u(t)) max t D min v {1 2 vt A(t)v v T f}, (1) D... množina přípustných designů (hmotnostní omezení)

5 3. Optimalizace prutových soustav Optimální topologie maximální tuhost Konstrukce soustava elastických prutů. Základní struktura (Ground structure): Designové parametry: Michell, 1904 objemy prutů t i, i = 1,..., m Velký počet designových proměnných: Topologie ovlivněna změnou objemu prutů t i, pro t i 0 prut zanikne. n... počet uzlů m... počet prutů design. prom. ( ) n m =, n = m =

6 Formulace úlohy optimální topologie MODEL: Index prutu i = 1,..., m Objem prutu t i = l i A i (délka průřez) Posuvy: u. Deformace prutu: u T b i Matice tuhosti prutu (diáda) E t i A i = t i (l i ) 2b ib T i Celková matice tuhosti: A(t) = m i=1 t ia i Stavová úloha: A(t)u = f Maximalizace tuhosti ψ(u) = u T f min Hmotnostní omezení: objem V D {t IR m m t i = V, t i 0} i=1 Úloha sedlového bodu: { ( m ) } max min 1 t D u 2 ut t i A i u u T f konvexní v u, lineární v t. Úlohy s několika zatíženími (robustní design) Různé zátěže: f k, k = 1,..., M, multiplikátor λ k 0. i=1 Optimalizace nejhoršího případu max t min λk { M ( 1 max min min λ k t D u λ k 0 k 2 ut k k=1 k λ k = 1 )} m t i A i u k u T k f k i=1

7 Efektivní metody řešení Snaha o snížení počtu provázaných optimalizačních proměnných. Eliminace t i reformulace: Platí: ϕ(t, u) = 1 2 m i=1 m ( t i u T A i u ) u T f i=1 t i ( u T A i u ) V max i ( u T A i u ) Lze přeformulovat (A i 0) min u max V ( u T A i u ) u T f i } 2 {{ } (2) α nehladká konvexní optimalizace Převod na hladkou optimalizaci min u, α α u T f V s. t. : 2 ut A i u + α 0, i = 1,..., m Konvexní programování: x = [u; α] min x x T c s. t.: g i (x) 0, i = 1,..., m, Používané numerické metody: Metody s vnitřní penaltou (Penalty-Barrier-Multiplier methods), multiplikátor = design Primárně duální, Semidefinitního programování.

8 Příklady optimálních topologií maximální tuhost Př. 1 Zákl. strukt.: N = 2(4 3) = 24 Pruty: N = 66 Redukce účelové funkce: 43.65% Metoda: PBM (1 restart) Př. 2 hustší zákl. str. Zákl. strukt.: N = 2(7 5) = 70 Pruty: m = 595 Redukce účelové funkce: 26.25% Metoda: PBM (1 restart) Př. 3 Zákl. strukt.: N = 2(8 4) = 64 Pruty: m = 408 Redukce účelové funkce: 21.21% LABILNÍ KONSTRUKCE!

9 4. Layout optimization full stress configuration Podmínky optimality princip Michellových konstrukcí Princip pro Topologickou optimalizaci těles Maximalizace tuhosti optimální volba průřezu a i 0 compliance = m a i El i ɛ 2 i i=1 Omezení hmotnosti multiplikátor Λ 0 Omezení průřezu multiplikátory λ i 0 Karush Kuhn Tuckerovy podmínky Λ( Eɛ 2 i = Λ λ i λ i a i = 0 m a i l i V 0 ) = 0 i=1 Kriteria optimality: (OC) E a i > 0 Λ ɛ i = 1 E a i = 0 Λ ɛ i 1 všechny pruty mají optimální (stejnou) deformační energii Λ. Rozšíření na kontinuum: (COC) a i a(x, y, θ) ɛ i ɛ(x, y, θ)

10 5. Optimální topologie těles {0; 1} design Zdá se, dokonalosti není dosaženo tenkrát, když už není co přidat, ale když už není, co ubrat. (Antoine de Saint-Exupéry, Země lidí) Základní rozvržení Metody relaxovaný problém Optimální topologie Volná materiálová optimalizace SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) black & white design Homogenizace materiál s mikrostrukturou Zobecněná tvarová otimalizace level set methods

11 Volná materiálová optimalizace M. Kočvara MOPED semidefinitní programování. Určit: ρ & E ijkl Maximalizace tuhosti Cena materiálu lokálně limitována hustotou ρ E ijkl ψ(e)... cena materiálu Vazba: maximální přípustná hmotnost kde max density ρ 0 ρ min ρ ρ max Ω ρ dω V a E (u, v) = Ω E ijkl e kl (u)e ij (v) dω, max elast.e 0 Ψ(E) ρ min u U Lokální optimalizace anizotropní materiál s proměnnou tuhostí Realizace??? 1 2 a E(u, u) L(u), (3) L(v)... funkcionál vnějších zátěží

12 Lokálně extrémní materiály Pro dané deformační pole e ij v každém bodě oblasti Ω Pro lokální limit hustoty ρ hlavice femuru idealizace (Wolf 1800) Určit optimální elastickou tuhost E ijkl max E 0 Ψ(E) ρ 1 2 E ijkl e kl e ij (4) Řešení: v maticovém zápisu E = e kl E ijkl = ρ e ij e e ρ e 2 I + e2 II e 2 I e I e II 0 e I e II e 2 II (5), (6) jen 1 nenulové vlastní číslo materiál je nestabilní pro jinou deformaci (úloha s jedinou zátěží). Silně ortotropní materiál osy ortotropie osy hlavních deformací. Konstrukce kosti remodelace???

13 {0, 1} design topologická optimalizace Topologická optimalizace E = ρe 0, kde ρ {0, 1} Takto nelze řešit Relaxace: ρ (0, 1] šedivý materiál měnící se mikrostruktura Alternativy: SIMP materiál s malou hustotou je cenově nevýhodný penalizace, např. E = (ρ) p E 0, p > 1(= 3) ρ = { 0.0?... void 1 0.0?... solid Homogenizace šedivý materiál: ρ = 0.235,... existuje mikrostruktura??? Problémy: G-uzávěr omezení topologií mikrostruktury

14 Topologická optimalizace penalizace (SIMP) SIMP izotropní materiál s penalizací E = (ρ) p E 0, kde p > 1, (p = 3) Designové proměnné: ρ e pro každý element e velmi mnoho designových proměnných Omezení: ρ dω V, 0 < ρ min ρ(x) 1 Ω Nežádoucí efekty checkerboard effect omezení perimetru souvislých oblastí multigrid filtrování nekonformní FEM aproximace nevýhoda malé hustoty ρ Inverzní homogenizace identifikace mikrostruktury pro lib. ρ (0, 1) materiálové inženýrství? Optimalizace desek, skořepin (2D geometrie): hustota = tloušťka bez penalizace!

15 Optimální kompozity homogenizace v topologické optimalizaci Parametrizace mikrostruktury 3 typy: Vrstvený kompozit + iterovaná homogenizace: higher rank materials optimální materiál Ortogonální mikrostruktura: obdélníkové kavity Čtvercové kavity sub-optimální materiál (???) Design = mikrostruktura pro každý strukturální element e ( FEM) geometrie: µ e, γ e, rotace: θ e Lokální úloha: najít extrémní materiál E(x), x Ω E(x) = E H (µ e, γ e, θ e ),... homogenizace, ρ e = ρ e (µ e, γ e ),... hustota, ρ e V e V, 0 ρ e 1,... omezení. e (7)

16 Příklad: použití metody homogenizace v topologické optimalizaci Optimalizace uložení ložisek převodovky Maximalizace tuhosti Ground structure Síť konečných prvků Vývoj optimální topologie (M. Hajžman semestrální práce)

17 Varianty v topologické optimalizaci Co je cílem? A B black & white design standardní materiál strukturovaný materiál mikrostruktura

18 6. Optimalizační metody používané v SO Obecná forma úlohy SO: Lagrangeova funkce úlohy: Úloha sedlového bodu: subject to Duální funkce: D(λ) = min x L(x, λ) min f(x), x IR n g i (x) 0, i = 1,..., m x [x min, x max ]... box constraints L(x, λ) = f(x) + (8) m λ i g i (x), (9) i=1 L(x, λ ) = max min L(x, λ) (10) λ i 0 x Princip duálních metod: L(λ ) = max λ i 0 D(λ) (11) primární subproblém (mnoho designových proměnných x k ) se aproximuje efektivní metodou duální subproblém standardní metody (málo proměnných λ i ), jen triviální omezení λ i 0

19 Gradientní metody & lokální aproximace Známe x 0 a f(x 0 ), g i (x 0 ) a gradienty, chceme aproximovat f a omezení g, abychom určili další iteraci x 1. Metody založené na kritériích optimality (OC) Metody matematického programování Standardní: SLP SQP (optimalizace prutových soustav), obecná metoda pro hladkou optimalizaci, Konzervativní metody, speciálně pro SO, duální formulace CONLIN (C. Fleury) konvexní linearizace, MMA (K. Svanberg) pohyblivé asymptoty, SACA (Chung) aproximace vyššího řádu, PBM (Ben-Tal) vnitřní penalta s multiplikátorem

20 7. Konzervativní aproximace, duální subproblémy lokální aproximace v IR n lineární Taylorův rozvoj 1. řádu (SQP aproximace aktivních omezení) kvadratická kvazinewtonovské metody aproximace Hessovy matice (SQP) konvexní linearizace (CONLIN) hybridní aproximace linearizace v reciprokých proměnných y i = 1 x i f(x) = f(x 0 ) + (+) i f(x 0 ) x i (x i x 0 i ) + pohyblivé asymptoty (MMA) linearizace v y i = 1 x i A i f(x) = r + (+) i p i U i x i + ( ) i ( ) kde r, p i, q i závisí na x 0, f(x 0 ), f(x 0 ) a asymptotách L i, U i. CONLIN a MMA i f(x 0 ) (x i x 0 i ) x0 i x i x i q i x i L i, separovatelnost v souřadnicových směrech... konzervativni: g(x) g(x)... n nezávislých prim. úloh vnitřní aproximace vazeb

21 Aproximace konvexní? konzervativní? CONLIN aproximace: konvexní? ANO (x > 0) konzervativní? NE VŽDY MMA aproximace: (volba asymptot) konvexní? ANO konzervativní? ANO

22 Reciproká aproximace & mechanika V mechanice exaktní aproximace Intermediate Variables : I z, A,... průřezové charakteristiky A E l u = F u = 1 F l A E m = la KONVEXITA vs. KONKAVITA poddajnosti (K. Svanberg): Poddajnost je K(t) = i t i K i, konvexní (t i ) konkávní (1/t i ) význam pro minimalizaci hmotnosti ( vnitřní aproximace omezení, projekce)

23 Sekvenční programování x k??? x k+1 Subproblémy: optimální pokles cílové funkce nová iterace x k+1. SQP sekvence kvadratických úloh kvadratická aprox. cílové funkce f(x) lineární aprox. omezení g i (x) CONLIN / MMA a duální metoda konvexní aprox. cílové funkce f(x) a omezení g i (x) formulace úlohy QP KKT podmínky kvazi-newtonovská metoda (BFGS) směr poklesu f projekce směru přípustnost linesearch délka kroku je-li n m, tvarová optimalizace separace do n podúloh v x i analyt. řešení podúloh duální funkce D(λ) úloha v λ j, j = 1,..., m max D(λ) λ j 0 je-li n m, topologická optimalizace OptiStruct: adaptivní aproximace, CONMIN / CONLIN

24 8. Optimalizace tvaru Základní charakteristika Využívána paralelně s topologickou: zefektivnění optimalizačního procesu Dána topologie, hledá se část hranice Nevznikají nové hranice designová hranice definována Jakákoliv účelová funkce ve spojení s citlivostní analýzou. Nekonvexní (špatně podmíněná) optimalizace mnoho lokálních minim Většinou nutné přesíťování (adaptivní FEM) náročnost Omezení: hladkost hranice (B-spline,... )

25 Příklady optimalizace páky (2D) Optimalizace celé hranice, metoda konečných prvků (autor: Dr. Ing. Petr Kočandrle, 1994) počáteční design optimalizovaný design minimalizace hmotnosti

26 Příklady optimalizace háku (3D) Optimalizace profilu háku, metoda hraničních prvků (autor: Dr. Ing. Petr Koška, 1997) počáteční a optimalizovaný design napětí počáteční design napětí optimální design, minimalizace hmotnosti

27 Příklady optimalizace kontaktní hranice Plasticita, velké deformace, variační nerovnice (autor: E. Rohan, 1999) rozložení kontaktních napětí designová a kontaktní hranice optimální design plastická zóna počáteční design deformace optimální design deformace

28 9. Závěr Optimalizace konstrukcí syntéza znalostí mechaniky kontinua matematické optimalizace numerických metod Prolínání typů optimalizace (např. topologická tvarová) Aplikace: zcela nepostradatelná při vývoji nových konstrukcí využitelná i v oblasti biomechaniky (inverzní úlohy): stavba kostí optimální topologie, mikrostruktura design implantátů dřík endoprotéz ergonomie a komfort optimální svalové zatížení Některé zdroje autoři: Bendsoe M.P., Pedersen P, Olhoff N. (Denmark) Cherkaev A.V. (USA) Allaire G. (France) Neitaanmaki P. (Finland) Rozvany G.I.N., Zowe J. (Germany) Nemirovski A., Ben-Tal A., Hassani (Israel) Haslinger J., Hlaváček I., Kočvara M. (Česká republika)

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice

Více

Elektrotechnická fakulta

Elektrotechnická fakulta ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická

Více

Numerická realizace metod. lineárního a kvadratického

Numerická realizace metod. lineárního a kvadratického Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova Praha Numerická realizace metod vnitřního bodu pro řešení úloh lineárního a kvadratického programování Věra Koubková Diplomová práce Praha 1997 Studijní

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

TÉMATICKÉ OKRUHY KE SZZ 2013/14 ING PLASTIKÁŘSKÁ TECHNOLOGIE

TÉMATICKÉ OKRUHY KE SZZ 2013/14 ING PLASTIKÁŘSKÁ TECHNOLOGIE TÉMATICKÉ OKRUHY KE SZZ 2013/14 PLASTIKÁŘSKÁ TECHNOLOGIE 1. Rovnice toku a třídění z reologického hlediska podle průběhu tokové křivky. 2. Aktivační energie viskózního toku Arteniova rovnice. 3. Kapilární

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS OPTIMALIZACE V INŽENÝRSKÝCH ÚLOHÁCH

Více

ENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY

ENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY ENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY Ctislav Fiala, Petr Hájek 1 Úvod Optimalizace v environmentálních souvislostech se na přelomu tisíciletí stává významným nástrojem v oblasti

Více

Mechanika s Inventorem

Mechanika s Inventorem Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky. Diplomová práce

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky. Diplomová práce Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky Diplomová práce Identifikace materiálových parametrů pryžových segmentů tramvajových kol se zohledněním viskoelasticity Vypracoval:

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Plastická deformace a pevnost

Plastická deformace a pevnost Plastická deformace a pevnost Anelasticita vnitřní útlum Zkoušky základních mechanických charakteristik konstrukčních materiálů (kovy, plasty, keramiky, kompozity) Fyzikální podstata pevnosti Skutečný

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ Fakulta strojní, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Technická 4, 166 07 Praha 6 Akademický rok: 20011/2012

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ Fakulta strojní, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Technická 4, 166 07 Praha 6 Akademický rok: 20011/2012 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ Fakulta strojní, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Technická 4, 166 07 Praha 6 Akademický rok: 20011/2012 Téma BAKALÁŘSKÉ PRÁCE MĚŘENÍ DEFORMACÍ A STAVU PORUŠENÍ

Více

Úvod do molekulové dynamiky simulace proteinů. Eva Fadrná evaf@chemi.muni.cz

Úvod do molekulové dynamiky simulace proteinů. Eva Fadrná evaf@chemi.muni.cz Úvod do molekulové dynamiky simulace proteinů Eva Fadrná evaf@chemi.muni.cz Molekulová mechanika = metoda silového pole = force field Energie vypočtená řešením Schrodingerovy rovnice Energie vypočtená

Více

Numerické metody optimalizace - úvod

Numerické metody optimalizace - úvod Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu

Více

Výpočtové modelování deformačně-napěťových stavů ve zdravých a patologických kyčelních kloubech

Výpočtové modelování deformačně-napěťových stavů ve zdravých a patologických kyčelních kloubech Výpočtové modelování deformačně-napěťových stavů ve zdravých a patologických kyčelních kloubech Michal Vaverka, Martin Vrbka, Zdeněk Florian Anotace: Předložený článek se zabývá výpočtovým modelováním

Více

VLIV STŘÍDAVÉHO MAGNETICKÉHO POLE NA PLASTICKOU DEFORMACI OCELI ZA STUDENA.

VLIV STŘÍDAVÉHO MAGNETICKÉHO POLE NA PLASTICKOU DEFORMACI OCELI ZA STUDENA. VLIV STŘÍDAVÉHO MAGNETICKÉHO POLE NA PLASTICKOU DEFORMACI OCELI ZA STUDENA. Petr Tomčík a Jiří Hrubý b a) VŠB TU Ostrava, Tř. 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava, ČR b) VŠB TU Ostrava, Tř. 17. listopadu 15,

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní snímače průtoku Rychlostní snímače průtoku vyhodnocují průtok nepřímo měřením střední rychlosti proudu tekutiny v STŘ. Ta závisí vzhledem k rychlostnímu

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS

OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Boulení stěn při normálovém, smykovém a lokálním zatížení (podle ČSN EN 1993-1-5). Posouzení průřezů 4. třídy. Boulení ve smyku, výztuhy stěn.

Boulení stěn při normálovém, smykovém a lokálním zatížení (podle ČSN EN 1993-1-5). Posouzení průřezů 4. třídy. Boulení ve smyku, výztuhy stěn. 3. Stabilita stěn. Boulení stěn při normálovém, smykovém a lokálním zatížení (podle ČSN EN 1993-1-5). Posouzení průřezů 4. třídy. Boulení ve smyku, výztuhy stěn. Boulení stěn Štíhlé tlačené stěny boulí.

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Bobtnání dřeva Fyzikální vlastnosti dřeva Protokol č.3 Vypracoval: Pavel Lauko Datum cvičení: 24.9.2002 Obor: DI Datum vyprac.: 10.12.02 Ročník: 2. Skupina:

Více

Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská

Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky. Optimalizace akustického pole

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky. Optimalizace akustického pole Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Optimalizace akustického pole Plzeň 2013 Zdeněk Novotný Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval

Více

Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta stavební Katedra mechaniky. Poruchy budov způsobené ražením tunelů. Diplomová práce

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta stavební Katedra mechaniky. Poruchy budov způsobené ražením tunelů. Diplomová práce České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mechaniky Poruchy budov způsobené ražením tunelů Diplomová práce Martin Hlavačka Vedoucí práce: Jan Vorel 16. prosince 2011 Prohlášení Prohlašuji,

Více

Provozní vlastnosti aerodynamických ložisek

Provozní vlastnosti aerodynamických ložisek Provozní vlastnosti aerodynamických ložisek Dynamická viskozita běžných plynů je o 2 až 3 řády nižší než viskozita minerálních olejů při provozní teplotě. Proto také únosnost a třecí ztráty plynových ložisek

Více

DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE

DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE Závěrečná výzkumná zpráva z řešení projektu FRVŠ 2282/2003/G1 DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ Michal HAJŽMAN Miroslav BYRTUS Vladimír ZEMAN Katedra mechaniky, Univerzitní 22, 30614,

Více

Hliníkové konstrukce požární návrh

Hliníkové konstrukce požární návrh Hliníkové konstrukce požární návrh František Wald Zdeněk Sokol, 17.2.25 1 2 Obsah prezentace Úvod Teplotní vlastnosti Mechanické vlastnosti Přestup tepla do konstrukce Analýza prvků Kritická teplota Tlačené

Více

Princip gradientních optimalizačních metod

Princip gradientních optimalizačních metod Princip gradientních optimalizačních metod Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Úkol a základní

Více

PLOCHA POTENCIÁLNÍ ENERGIE

PLOCHA POTENCIÁLNÍ ENERGIE PLOCHA POTENCIÁLNÍ ENERGIE Zero point energy - Energie nulového bodu Molekula o určitou část své energie nikdy nemůže přijít Tzv. Zbytková energie (ZPE) vnitřní energie molekuly, která je přítomna vždy

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

y n+1 = g(x n, y n ),

y n+1 = g(x n, y n ), Diskrétní dynamické systémy 1. Úvod V následujícím textu budeme studovat chování systému diferenčních rovnic ve tvaru x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ), kde f a g jsou dané funkce. Tyto rovnice

Více

Téma 6 Rovinné nosníkové soustavy

Téma 6 Rovinné nosníkové soustavy Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Téma 6 Rovinné nosníkové soustavy Spojitý nosník s vloženými klouby Trojkloubový rám a oblouk Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Katedra stavební mechaniky

Více

Fakulta aplikovaných věd BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Výpočtový model trupu sportovní plachetnice

Fakulta aplikovaných věd BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Výpočtový model trupu sportovní plachetnice akulta aplikovaných věd BAKALÁŘSKÁ PRÁ Výpočtový model trupu sportovní plachetnice Plzeň, 8 Tomáš Mandys Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracoval samostatně a že jsem uvedl všechny použité

Více

PENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU

PENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU PENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU : Ing.Bohuslav Tikal CSc, ZČU v Plzni, tikal@civ.zcu.cz Ing.František Valeš CSc, ÚT AVČR, v.v.i., vales@cdm.cas.cz Anotace Výpočtová simulace slouží k

Více

Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky

Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky Bakalářská práce Analýza stability vybraných druhů kompozitních nosníků Vypracoval: Petr Hanzlík Vedoucí práce: Ing. Tomáš Kroupa, Ph.D. Plzeň, 2014 Prohlášení

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

TÉMATA PROJEKTŮ KME/PRJ3 VYPSANÁ PRO ZIMNÍ SEMESTR AK. R. 2016/17. Katedra mechaniky

TÉMATA PROJEKTŮ KME/PRJ3 VYPSANÁ PRO ZIMNÍ SEMESTR AK. R. 2016/17. Katedra mechaniky TÉMATA PROJEKTŮ KME/PRJ3 VYPSANÁ PRO ZIMNÍ SEMESTR AK. R. 2016/17 Katedra mechaniky Informace PRJ3 Na každé téma se může zapsat pouze jeden student. Termín ukončení registrace na témata: 3/10/2016 Podmínky

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace

Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ INFRAM a.s., Česká republika VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU Řešitel Objednatel Ing. Petr Frantík, Ph.D. Ústav stavební

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Prášková metalurgie. Výrobní operace v práškové metalurgii

Prášková metalurgie. Výrobní operace v práškové metalurgii Prášková metalurgie Výrobní operace v práškové metalurgii Prášková metalurgie - úvod Prášková metalurgie je obor zabývající se výrobou práškových materiálů a jejich dalším zpracováním (tj. lisování, slinování,

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Elektrické vlastnosti pevných látek

Elektrické vlastnosti pevných látek Elektrické vlastnosti pevných látek elektrická vodivost gradient vnějšího elektrického pole vyvolá přenos náboje volnými nositeli (elektrony, díry, ionty) měrná vodivost = e n n e p p [ -1 m -1 ] Kovy

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 1. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 1. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 1. přednáška Program přednášek, literatura. Podstata betonu, charakteristika prvků. Zásady a metody navrhování konstrukcí. Zatížení, jeho dělení a kombinace. Idealizace

Více

Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)

Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH

DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MECHANISMU TETRASPHERE Vypracoval: Jaroslav Štorkán Vedoucí práce: prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. CÍLE PRÁCE Sestavit programy pro kinematické, dynamické

Více

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ DOC. ING. LADISLAV ČÍRTEK, CSC PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL M05 NAVRHOVÁNÍ JEDNODUCHÝCH PRVKŮ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU

Více

Multiple awards. Czech - Czech Version 6.0. THE ORIGINAL Made in Germany

Multiple awards. Czech - Czech Version 6.0. THE ORIGINAL Made in Germany Multiple awards Czech - Czech Version 6.0 THE ORIGINAL Made in Germany Otočné stoly s hydrostatickým ložiskem AOtočné stoly s valivými ložisky VSvislé otočné stoly Otočné stoly s přímým řízením Rotační

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Experimentální analýza hluku

Experimentální analýza hluku Experimentální analýza hluku Mezi nejčastěji měřené akustické veličiny patří akustický tlak, akustický výkon a intenzita zvuku (resp. jejich hladiny). Vedle členění dle měřené veličiny lze měření v akustice

Více

Optimalizace vláknového kompozitu

Optimalizace vláknového kompozitu Optimalizace vláknového kompozitu Bc. Jan Toman Vedoucí práce: doc. Ing. Tomáš Mareš, Ph.D. Abstrakt Optimalizace trubkového profilu z vláknového kompozitu při využití Timošenkovy hypotézy. Hledání optimálního

Více

NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ZDIVA. 1. Současný stav problematiky

NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ZDIVA. 1. Současný stav problematiky NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ZDIVA 1. Současný stav problematiky V současné době chybí přesné a obecně použitelné modely zdiva, které by výstižně vyjadřovaly jeho skutečné vlastnosti a přitom se daly snadno použít

Více

Tutoriál programu ADINA

Tutoriál programu ADINA Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Tutoriál programu ADINA Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2010 1 Výstupy programu ADINA: Preprocesor

Více

Daniel Tokar tokardan@fel.cvut.cz

Daniel Tokar tokardan@fel.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra fyziky A6M02FPT Fyzika pro terapii Fyzikální principy, využití v medicíně a terapii Daniel Tokar tokardan@fel.cvut.cz Obsah O čem bude

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

AdvAnch 2015 1g Uživatelský manuál v. 1.0

AdvAnch 2015 1g Uživatelský manuál v. 1.0 AdvAnch 2015 1g Uživatelský manuál v. 1.0 Obsah 1. POPIS APLIKACE... 3 1.1. Pracovní prostředí programu... 3 1.2. Práce se soubory... 4 1.3. Základní nástrojová lišta... 4 2. ZADÁVANÍ HODNOT VSTUPNÍCH

Více

4 Spojovací a kloubové hřídele

4 Spojovací a kloubové hřídele 4 Spojovací a kloubové hřídele Spojovací a kloubové hřídele jsou určeny ke stálému přenosu točivého momentu mezi jednotlivými částmi převodného ústrojí. 4.1 Spojovací hřídele Spojovací hřídele zajišťují

Více

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

ČKAIT 12.5.2011 - AGEL

ČKAIT 12.5.2011 - AGEL Euroó v přílaech Dřevěné onstruce Návrh a posouení jenotlivých prvů rovu ČKAIT 1.5.011 - AGEL Ing. Petr Agel, oc. Ing. Antonín Loaj, Ph.D. 1 1. Geometrie rovu. Zatížení rovu.1 Stálé atížení. Proměnné atížení.

Více

Senzorika a senzorické soustavy

Senzorika a senzorické soustavy Senzorika a senzorické soustavy Snímače mechanických napětí, síly, kroutícího momentu a hmotnosti Tato publikace vznikla jako součást projektu CZ.04.1.03/3.2.15.2/0285 Inovace VŠ oborů strojního zaměření,

Více

Otočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum

Otočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum Otočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum Ing. Ondřej Kubera Vedoucí práce: Ing. Lukáš Novotný, Ph.D. Abstrakt Příspěvek popisuje novou koncepci otočného stolu s prstencovým motorem,

Více

VÝROBNÍ STROJE A ZAŘÍZENÍ 2013 1. DEFINICE OBRÁBĚCÍCH STROJŮ, ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ

VÝROBNÍ STROJE A ZAŘÍZENÍ 2013 1. DEFINICE OBRÁBĚCÍCH STROJŮ, ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ VÝROBNÍ STROJE A ZAŘÍZENÍ 2013 1. DEFINICE OBRÁBĚCÍCH STROJŮ, ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ Obráběcí stroj = výrobní stroj, který umožňuje dát obrobku žádaný geometrický tvar a jakost povrchu oddělováním materiálu

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu?

Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Kapitola vstupních parametrů 1. Výběr materiálu a nastavení jednotek 1.1 Jednotky výpočtu 1.2 Materiál SI Units

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Obr.94. Tečná reakce T r musí být menší nebo rovna třecí síle F t

Obr.94. Tečná reakce T r musí být menší nebo rovna třecí síle F t 7.3 Odpory při valení Valení je definováno tak, že dotykové body valícího se tělesa a podložky jsou v relativním klidu. Je zaručeno příkladně tak, že těleso omotáme dvěma vlákny, která jsou upevněna na

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané

Více

Numerické modelování elektrických a elastických polí ve feroelektrických materiálech

Numerické modelování elektrických a elastických polí ve feroelektrických materiálech TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií AUTOREFERÁT DISERTAČNÍ PRÁCE Numerické modelování elektrických a elastických polí ve feroelektrických materiálech

Více

Základy podmíněné matematické optimalizace

Základy podmíněné matematické optimalizace Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě

Více

Studentská tvůrčí činnost. O letu volejbalového míče při podání

Studentská tvůrčí činnost. O letu volejbalového míče při podání Studentská tvůrčí činnost O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek Vedoucí práce : Prof. Ing. Pavel Šafařík, CSc O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek Abstrakt Práce se zabývá pozorováním

Více

Dynamika hmotného bodu

Dynamika hmotného bodu Mechanika příklady pro samostudium Dynamika hmotného bodu Příklad 1: Určete konstantní sílu F, nutnou pro zrychlení automobilu o hmotnosti 1000 kg z klidu na rychlost 20 m/s během 10s. Dáno: m = 1000 kg,

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Ing. Libor Borák BIOMECHANICKÁ STUDIE LIDSKÉ DOLNÍ ČELISTI VE FYZIOLOGICKÉM STAVU BIOMECHANICAL

Více

Ekonomické modelování. Trh práce. Marián Vávra

Ekonomické modelování. Trh práce. Marián Vávra Trh práce Marián Vávra Vývoj na trhu práce 21 18 15 12 9 6 3 0 1/1985 1/1987 1/1989 1/1991 1/1993 1/1995 1/1997 1/1999 1/2001 1/2003 CR Spain Dutch 2 Struktura modelu Nominální hrubá mzda Poptávka po práci

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

R-05 MOST V UL. PRVOMÁJOVÁ PŘEPOČET ZATÍŽITELNOSTI MOSTU PO OPRAVĚ

R-05 MOST V UL. PRVOMÁJOVÁ PŘEPOČET ZATÍŽITELNOSTI MOSTU PO OPRAVĚ R-05 MOST V UL. PRVOMÁJOVÁ PŘEPOČET ZATÍŽITELNOSTI MOSTU PO OPRAVĚ únor 2014 Ing. P. Milek Obsah : 1. Průvodní zpráva ke statickému výpočtu... 3 1.1. Úvod... 3 1.2. Identifikační údaje stavby... 3 1.3.

Více

Generování sítě konečných prvků

Generování sítě konečných prvků Generování sítě konečných prvků Jaroslav Beran Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování vlastností

Více

Katedra informatiky, Univerzita Palackého v Olomouci. 27. listopadu 2013

Katedra informatiky, Univerzita Palackého v Olomouci. 27. listopadu 2013 Katedra informatiky, Univerzita Palackého v Olomouci 27. listopadu 2013 Rekonstrukce 3D těles Reprezentace trojrozměrných dat. Hledání povrchu tělesa v těchto datech. Představení několika algoritmů. Reprezentace

Více

PLÁŠŤOVÉ PŮSOBENÍ TENKOSTĚNNÝCH KAZET

PLÁŠŤOVÉ PŮSOBENÍ TENKOSTĚNNÝCH KAZET ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ Doktorský studijní program: STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ Studijní obor: POZEMNÍ STAVBY Ing. Jan RYBÍN THE STRESSED SKIN ACTION OF THIN-WALLED LINEAR TRAYS

Více

Neuropočítače. podnět. vnímání (senzory)

Neuropočítače. podnět. vnímání (senzory) Neuropočítače Princip inteligentního systému vnímání (senzory) podnět akce (efektory) poznání plánování usuzování komunikace Typické vlastnosti inteligentního systému: schopnost vnímat podněty z okolního

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

Mechanika zemin I 3 Voda v zemině

Mechanika zemin I 3 Voda v zemině Mechanika zemin I 3 Voda v zemině 1. Vliv vody na zeminy; kapilarita, bobtnání... 2. Proudění vody 3. Měření hydraulické vodivosti 4. Efektivní napětí MZ1_3 November 9, 2012 1 Vliv vody na zeminy DRUHY

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Náhradní ohybová tuhost nosníku

Náhradní ohybová tuhost nosníku Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail: jiri.podesva@vsb.cz Anotace: Výpočty ocelových výztuží

Více

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2010, ročník X, řada stavební článek č. 17.

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2010, ročník X, řada stavební článek č. 17. Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2010, ročník X, řada stavební článek č. 17 Lenka LAUSOVÁ 1 OSOVĚ ZATÍŽEÉ SLOUPY ZA POŽÁRU AXIALLY LOADED COLUMS DURIG

Více

Optimalizace kompozitních materiálů v problémech přenosu tepla

Optimalizace kompozitních materiálů v problémech přenosu tepla stavební obzor 7 8/04 Optimalizace kompozitních materiálů v problémech přenosu tepla Ing. Martin Jan VÁLEK Ph.D. pro. Ing. RNDr. Petr Pavel PROCHÁZKA, DrSc. ČVUT v Praze Fakulta stavební V článku je hledán

Více

Exaktní metody v managementu

Exaktní metody v managementu Exaktní metody v managementu Přednášející: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky a managementu Cvičící: Ing. Eva Šlaichová, Ph.D. Ing. Eva Štichhauerová, Ph.D. Ing. Lukáš Turčok,

Více