Moderní metody optimalizace mechanických soustav
|
|
- Vladimír Matoušek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Moderní metody optimalizace mechanických soustav Eduard Rohan Katedra mechaniky ZČU Moderní metody v mechanice, , kurz ÚCV/KME ZČU 1. Témata přednášky Co je optimální konstrukce? Jak měnit konstrukci? Optimalizace prutových soustav Kritéria??? Layout optimization Optimální topologie těles Volná materiálová optimalizace Využití metody homogenizace Tvarová optimalizace (úlohy s prouděním) Optimalizační metody používané v SO Vývoj již 300 let se nemění. Optimální??? Jak vše spolu souvisí???
2 2. Co je optimální konstrukce? Kritéria optimality (Statika): Minimální hmotnost, Minimální poddajnost, maximální tuhost, Minimální napětí, (limitní design), Speciální: lokalizace plastické zóny, rovnoměrnost kontaktních napětí Některá výše uvedená kritéria jsou protichůdná Základní úlohy (Solid Mechanics): Kritérium: Omezení: min. hmotnost max. napětí min. hmotnost max. poddajnost min. poddajnost max. hmotnost Speciální úlohy : Optimalizace rozložení dané veličiny (teplotní pole, kontaktní napětí). Optimalizace dynamických vlastností ladění vlastních frekvencí. Úlohy z oblasti interakce (Fluid dynamics) proudění, aerodynamika (Shape Optimization)
3 Jak měnit konstrukci? Sizing optimization optimalizace rozměrů geometricky jednoduché části (prut, nosník), soustavy parametry: průřezové charakteristiky, délky, průměry,... Shape optimization tvarová optimalizace 3D / 2D / (1D) tělesa parametry: popis části hranice (B-spline) Topology optimization topologická optimalizace zobecněná tvarová optimalizace vznik nových hranic parametry: hustota {0/1} design Topology & free material optimization navíc: optimalizace matriálových parametrů parametry: hustota, parametry mikrostruktury Speciální: optimalizace prolisu skořepin (Topography opt.) optimální orientace vláken kompozitu
4 Maximalizace tuhosti minimalizace poddajnosti Nejčastěji používaná úloha (Minimum compliance design) Stavová úloha (pro daný design) Kritérium: Minimalizace práce vnějších sil u = arg min v {Φ(v) 1 2 vt Av v T f} ψ(u) = u T f Stav u Au = f A závisí na designu t, A = A(t), Optimalizační úloha min t D ψ(u(t)) max t D min v {1 2 vt A(t)v v T f}, (1) D... množina přípustných designů (hmotnostní omezení)
5 3. Optimalizace prutových soustav Optimální topologie maximální tuhost Konstrukce soustava elastických prutů. Základní struktura (Ground structure): Designové parametry: Michell, 1904 objemy prutů t i, i = 1,..., m Velký počet designových proměnných: Topologie ovlivněna změnou objemu prutů t i, pro t i 0 prut zanikne. n... počet uzlů m... počet prutů design. prom. ( ) n m =, n = m =
6 Formulace úlohy optimální topologie MODEL: Index prutu i = 1,..., m Objem prutu t i = l i A i (délka průřez) Posuvy: u. Deformace prutu: u T b i Matice tuhosti prutu (diáda) E t i A i = t i (l i ) 2b ib T i Celková matice tuhosti: A(t) = m i=1 t ia i Stavová úloha: A(t)u = f Maximalizace tuhosti ψ(u) = u T f min Hmotnostní omezení: objem V D {t IR m m t i = V, t i 0} i=1 Úloha sedlového bodu: { ( m ) } max min 1 t D u 2 ut t i A i u u T f konvexní v u, lineární v t. Úlohy s několika zatíženími (robustní design) Různé zátěže: f k, k = 1,..., M, multiplikátor λ k 0. i=1 Optimalizace nejhoršího případu max t min λk { M ( 1 max min min λ k t D u λ k 0 k 2 ut k k=1 k λ k = 1 )} m t i A i u k u T k f k i=1
7 Efektivní metody řešení Snaha o snížení počtu provázaných optimalizačních proměnných. Eliminace t i reformulace: Platí: ϕ(t, u) = 1 2 m i=1 m ( t i u T A i u ) u T f i=1 t i ( u T A i u ) V max i ( u T A i u ) Lze přeformulovat (A i 0) min u max V ( u T A i u ) u T f i } 2 {{ } (2) α nehladká konvexní optimalizace Převod na hladkou optimalizaci min u, α α u T f V s. t. : 2 ut A i u + α 0, i = 1,..., m Konvexní programování: x = [u; α] min x x T c s. t.: g i (x) 0, i = 1,..., m, Používané numerické metody: Metody s vnitřní penaltou (Penalty-Barrier-Multiplier methods), multiplikátor = design Primárně duální, Semidefinitního programování.
8 Příklady optimálních topologií maximální tuhost Př. 1 Zákl. strukt.: N = 2(4 3) = 24 Pruty: N = 66 Redukce účelové funkce: 43.65% Metoda: PBM (1 restart) Př. 2 hustší zákl. str. Zákl. strukt.: N = 2(7 5) = 70 Pruty: m = 595 Redukce účelové funkce: 26.25% Metoda: PBM (1 restart) Př. 3 Zákl. strukt.: N = 2(8 4) = 64 Pruty: m = 408 Redukce účelové funkce: 21.21% LABILNÍ KONSTRUKCE!
9 4. Layout optimization full stress configuration Podmínky optimality princip Michellových konstrukcí Princip pro Topologickou optimalizaci těles Maximalizace tuhosti optimální volba průřezu a i 0 compliance = m a i El i ɛ 2 i i=1 Omezení hmotnosti multiplikátor Λ 0 Omezení průřezu multiplikátory λ i 0 Karush Kuhn Tuckerovy podmínky Λ( Eɛ 2 i = Λ λ i λ i a i = 0 m a i l i V 0 ) = 0 i=1 Kriteria optimality: (OC) E a i > 0 Λ ɛ i = 1 E a i = 0 Λ ɛ i 1 všechny pruty mají optimální (stejnou) deformační energii Λ. Rozšíření na kontinuum: (COC) a i a(x, y, θ) ɛ i ɛ(x, y, θ)
10 5. Optimální topologie těles {0; 1} design Zdá se, dokonalosti není dosaženo tenkrát, když už není co přidat, ale když už není, co ubrat. (Antoine de Saint-Exupéry, Země lidí) Základní rozvržení Metody relaxovaný problém Optimální topologie Volná materiálová optimalizace SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) black & white design Homogenizace materiál s mikrostrukturou Zobecněná tvarová otimalizace level set methods
11 Volná materiálová optimalizace M. Kočvara MOPED semidefinitní programování. Určit: ρ & E ijkl Maximalizace tuhosti Cena materiálu lokálně limitována hustotou ρ E ijkl ψ(e)... cena materiálu Vazba: maximální přípustná hmotnost kde max density ρ 0 ρ min ρ ρ max Ω ρ dω V a E (u, v) = Ω E ijkl e kl (u)e ij (v) dω, max elast.e 0 Ψ(E) ρ min u U Lokální optimalizace anizotropní materiál s proměnnou tuhostí Realizace??? 1 2 a E(u, u) L(u), (3) L(v)... funkcionál vnějších zátěží
12 Lokálně extrémní materiály Pro dané deformační pole e ij v každém bodě oblasti Ω Pro lokální limit hustoty ρ hlavice femuru idealizace (Wolf 1800) Určit optimální elastickou tuhost E ijkl max E 0 Ψ(E) ρ 1 2 E ijkl e kl e ij (4) Řešení: v maticovém zápisu E = e kl E ijkl = ρ e ij e e ρ e 2 I + e2 II e 2 I e I e II 0 e I e II e 2 II (5), (6) jen 1 nenulové vlastní číslo materiál je nestabilní pro jinou deformaci (úloha s jedinou zátěží). Silně ortotropní materiál osy ortotropie osy hlavních deformací. Konstrukce kosti remodelace???
13 {0, 1} design topologická optimalizace Topologická optimalizace E = ρe 0, kde ρ {0, 1} Takto nelze řešit Relaxace: ρ (0, 1] šedivý materiál měnící se mikrostruktura Alternativy: SIMP materiál s malou hustotou je cenově nevýhodný penalizace, např. E = (ρ) p E 0, p > 1(= 3) ρ = { 0.0?... void 1 0.0?... solid Homogenizace šedivý materiál: ρ = 0.235,... existuje mikrostruktura??? Problémy: G-uzávěr omezení topologií mikrostruktury
14 Topologická optimalizace penalizace (SIMP) SIMP izotropní materiál s penalizací E = (ρ) p E 0, kde p > 1, (p = 3) Designové proměnné: ρ e pro každý element e velmi mnoho designových proměnných Omezení: ρ dω V, 0 < ρ min ρ(x) 1 Ω Nežádoucí efekty checkerboard effect omezení perimetru souvislých oblastí multigrid filtrování nekonformní FEM aproximace nevýhoda malé hustoty ρ Inverzní homogenizace identifikace mikrostruktury pro lib. ρ (0, 1) materiálové inženýrství? Optimalizace desek, skořepin (2D geometrie): hustota = tloušťka bez penalizace!
15 Optimální kompozity homogenizace v topologické optimalizaci Parametrizace mikrostruktury 3 typy: Vrstvený kompozit + iterovaná homogenizace: higher rank materials optimální materiál Ortogonální mikrostruktura: obdélníkové kavity Čtvercové kavity sub-optimální materiál (???) Design = mikrostruktura pro každý strukturální element e ( FEM) geometrie: µ e, γ e, rotace: θ e Lokální úloha: najít extrémní materiál E(x), x Ω E(x) = E H (µ e, γ e, θ e ),... homogenizace, ρ e = ρ e (µ e, γ e ),... hustota, ρ e V e V, 0 ρ e 1,... omezení. e (7)
16 Příklad: použití metody homogenizace v topologické optimalizaci Optimalizace uložení ložisek převodovky Maximalizace tuhosti Ground structure Síť konečných prvků Vývoj optimální topologie (M. Hajžman semestrální práce)
17 Varianty v topologické optimalizaci Co je cílem? A B black & white design standardní materiál strukturovaný materiál mikrostruktura
18 6. Optimalizační metody používané v SO Obecná forma úlohy SO: Lagrangeova funkce úlohy: Úloha sedlového bodu: subject to Duální funkce: D(λ) = min x L(x, λ) min f(x), x IR n g i (x) 0, i = 1,..., m x [x min, x max ]... box constraints L(x, λ) = f(x) + (8) m λ i g i (x), (9) i=1 L(x, λ ) = max min L(x, λ) (10) λ i 0 x Princip duálních metod: L(λ ) = max λ i 0 D(λ) (11) primární subproblém (mnoho designových proměnných x k ) se aproximuje efektivní metodou duální subproblém standardní metody (málo proměnných λ i ), jen triviální omezení λ i 0
19 Gradientní metody & lokální aproximace Známe x 0 a f(x 0 ), g i (x 0 ) a gradienty, chceme aproximovat f a omezení g, abychom určili další iteraci x 1. Metody založené na kritériích optimality (OC) Metody matematického programování Standardní: SLP SQP (optimalizace prutových soustav), obecná metoda pro hladkou optimalizaci, Konzervativní metody, speciálně pro SO, duální formulace CONLIN (C. Fleury) konvexní linearizace, MMA (K. Svanberg) pohyblivé asymptoty, SACA (Chung) aproximace vyššího řádu, PBM (Ben-Tal) vnitřní penalta s multiplikátorem
20 7. Konzervativní aproximace, duální subproblémy lokální aproximace v IR n lineární Taylorův rozvoj 1. řádu (SQP aproximace aktivních omezení) kvadratická kvazinewtonovské metody aproximace Hessovy matice (SQP) konvexní linearizace (CONLIN) hybridní aproximace linearizace v reciprokých proměnných y i = 1 x i f(x) = f(x 0 ) + (+) i f(x 0 ) x i (x i x 0 i ) + pohyblivé asymptoty (MMA) linearizace v y i = 1 x i A i f(x) = r + (+) i p i U i x i + ( ) i ( ) kde r, p i, q i závisí na x 0, f(x 0 ), f(x 0 ) a asymptotách L i, U i. CONLIN a MMA i f(x 0 ) (x i x 0 i ) x0 i x i x i q i x i L i, separovatelnost v souřadnicových směrech... konzervativni: g(x) g(x)... n nezávislých prim. úloh vnitřní aproximace vazeb
21 Aproximace konvexní? konzervativní? CONLIN aproximace: konvexní? ANO (x > 0) konzervativní? NE VŽDY MMA aproximace: (volba asymptot) konvexní? ANO konzervativní? ANO
22 Reciproká aproximace & mechanika V mechanice exaktní aproximace Intermediate Variables : I z, A,... průřezové charakteristiky A E l u = F u = 1 F l A E m = la KONVEXITA vs. KONKAVITA poddajnosti (K. Svanberg): Poddajnost je K(t) = i t i K i, konvexní (t i ) konkávní (1/t i ) význam pro minimalizaci hmotnosti ( vnitřní aproximace omezení, projekce)
23 Sekvenční programování x k??? x k+1 Subproblémy: optimální pokles cílové funkce nová iterace x k+1. SQP sekvence kvadratických úloh kvadratická aprox. cílové funkce f(x) lineární aprox. omezení g i (x) CONLIN / MMA a duální metoda konvexní aprox. cílové funkce f(x) a omezení g i (x) formulace úlohy QP KKT podmínky kvazi-newtonovská metoda (BFGS) směr poklesu f projekce směru přípustnost linesearch délka kroku je-li n m, tvarová optimalizace separace do n podúloh v x i analyt. řešení podúloh duální funkce D(λ) úloha v λ j, j = 1,..., m max D(λ) λ j 0 je-li n m, topologická optimalizace OptiStruct: adaptivní aproximace, CONMIN / CONLIN
24 8. Optimalizace tvaru Základní charakteristika Využívána paralelně s topologickou: zefektivnění optimalizačního procesu Dána topologie, hledá se část hranice Nevznikají nové hranice designová hranice definována Jakákoliv účelová funkce ve spojení s citlivostní analýzou. Nekonvexní (špatně podmíněná) optimalizace mnoho lokálních minim Většinou nutné přesíťování (adaptivní FEM) náročnost Omezení: hladkost hranice (B-spline,... )
25 Příklady optimalizace páky (2D) Optimalizace celé hranice, metoda konečných prvků (autor: Dr. Ing. Petr Kočandrle, 1994) počáteční design optimalizovaný design minimalizace hmotnosti
26 Příklady optimalizace háku (3D) Optimalizace profilu háku, metoda hraničních prvků (autor: Dr. Ing. Petr Koška, 1997) počáteční a optimalizovaný design napětí počáteční design napětí optimální design, minimalizace hmotnosti
27 Příklady optimalizace kontaktní hranice Plasticita, velké deformace, variační nerovnice (autor: E. Rohan, 1999) rozložení kontaktních napětí designová a kontaktní hranice optimální design plastická zóna počáteční design deformace optimální design deformace
28 9. Závěr Optimalizace konstrukcí syntéza znalostí mechaniky kontinua matematické optimalizace numerických metod Prolínání typů optimalizace (např. topologická tvarová) Aplikace: zcela nepostradatelná při vývoji nových konstrukcí využitelná i v oblasti biomechaniky (inverzní úlohy): stavba kostí optimální topologie, mikrostruktura design implantátů dřík endoprotéz ergonomie a komfort optimální svalové zatížení Některé zdroje autoři: Bendsoe M.P., Pedersen P, Olhoff N. (Denmark) Cherkaev A.V. (USA) Allaire G. (France) Neitaanmaki P. (Finland) Rozvany G.I.N., Zowe J. (Germany) Nemirovski A., Ben-Tal A., Hassani (Israel) Haslinger J., Hlaváček I., Kočvara M. (Česká republika)
Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua
Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice
VíceElektrotechnická fakulta
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická
VíceNumerická realizace metod. lineárního a kvadratického
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova Praha Numerická realizace metod vnitřního bodu pro řešení úloh lineárního a kvadratického programování Věra Koubková Diplomová práce Praha 1997 Studijní
VíceMasarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
VíceTÉMATICKÉ OKRUHY KE SZZ 2013/14 ING PLASTIKÁŘSKÁ TECHNOLOGIE
TÉMATICKÉ OKRUHY KE SZZ 2013/14 PLASTIKÁŘSKÁ TECHNOLOGIE 1. Rovnice toku a třídění z reologického hlediska podle průběhu tokové křivky. 2. Aktivační energie viskózního toku Arteniova rovnice. 3. Kapilární
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
VíceFAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS OPTIMALIZACE V INŽENÝRSKÝCH ÚLOHÁCH
VíceENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY
ENVIRONMENTÁLNÍ OPTIMALIZACE KOMŮRKOVÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY Ctislav Fiala, Petr Hájek 1 Úvod Optimalizace v environmentálních souvislostech se na přelomu tisíciletí stává významným nástrojem v oblasti
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky. Diplomová práce
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky Diplomová práce Identifikace materiálových parametrů pryžových segmentů tramvajových kol se zohledněním viskoelasticity Vypracoval:
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VícePlastická deformace a pevnost
Plastická deformace a pevnost Anelasticita vnitřní útlum Zkoušky základních mechanických charakteristik konstrukčních materiálů (kovy, plasty, keramiky, kompozity) Fyzikální podstata pevnosti Skutečný
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ Fakulta strojní, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Technická 4, 166 07 Praha 6 Akademický rok: 20011/2012
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ Fakulta strojní, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Technická 4, 166 07 Praha 6 Akademický rok: 20011/2012 Téma BAKALÁŘSKÉ PRÁCE MĚŘENÍ DEFORMACÍ A STAVU PORUŠENÍ
VíceÚvod do molekulové dynamiky simulace proteinů. Eva Fadrná evaf@chemi.muni.cz
Úvod do molekulové dynamiky simulace proteinů Eva Fadrná evaf@chemi.muni.cz Molekulová mechanika = metoda silového pole = force field Energie vypočtená řešením Schrodingerovy rovnice Energie vypočtená
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceVýpočtové modelování deformačně-napěťových stavů ve zdravých a patologických kyčelních kloubech
Výpočtové modelování deformačně-napěťových stavů ve zdravých a patologických kyčelních kloubech Michal Vaverka, Martin Vrbka, Zdeněk Florian Anotace: Předložený článek se zabývá výpočtovým modelováním
VíceVLIV STŘÍDAVÉHO MAGNETICKÉHO POLE NA PLASTICKOU DEFORMACI OCELI ZA STUDENA.
VLIV STŘÍDAVÉHO MAGNETICKÉHO POLE NA PLASTICKOU DEFORMACI OCELI ZA STUDENA. Petr Tomčík a Jiří Hrubý b a) VŠB TU Ostrava, Tř. 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava, ČR b) VŠB TU Ostrava, Tř. 17. listopadu 15,
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
VíceRychlostní a objemové snímače průtoku tekutin
Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní snímače průtoku Rychlostní snímače průtoku vyhodnocují průtok nepřímo měřením střední rychlosti proudu tekutiny v STŘ. Ta závisí vzhledem k rychlostnímu
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceOPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceProjekty do předmětu MF
Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní
VíceBoulení stěn při normálovém, smykovém a lokálním zatížení (podle ČSN EN 1993-1-5). Posouzení průřezů 4. třídy. Boulení ve smyku, výztuhy stěn.
3. Stabilita stěn. Boulení stěn při normálovém, smykovém a lokálním zatížení (podle ČSN EN 1993-1-5). Posouzení průřezů 4. třídy. Boulení ve smyku, výztuhy stěn. Boulení stěn Štíhlé tlačené stěny boulí.
VíceMěřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry
MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Bobtnání dřeva Fyzikální vlastnosti dřeva Protokol č.3 Vypracoval: Pavel Lauko Datum cvičení: 24.9.2002 Obor: DI Datum vyprac.: 10.12.02 Ročník: 2. Skupina:
VíceMatematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky. Optimalizace akustického pole
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Optimalizace akustického pole Plzeň 2013 Zdeněk Novotný Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval
VíceZákladní radiometrické veličiny
Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Fakulta stavební Katedra mechaniky. Poruchy budov způsobené ražením tunelů. Diplomová práce
České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mechaniky Poruchy budov způsobené ražením tunelů Diplomová práce Martin Hlavačka Vedoucí práce: Jan Vorel 16. prosince 2011 Prohlášení Prohlašuji,
VíceProvozní vlastnosti aerodynamických ložisek
Provozní vlastnosti aerodynamických ložisek Dynamická viskozita běžných plynů je o 2 až 3 řády nižší než viskozita minerálních olejů při provozní teplotě. Proto také únosnost a třecí ztráty plynových ložisek
VíceDYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE
Závěrečná výzkumná zpráva z řešení projektu FRVŠ 2282/2003/G1 DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ Michal HAJŽMAN Miroslav BYRTUS Vladimír ZEMAN Katedra mechaniky, Univerzitní 22, 30614,
VíceHliníkové konstrukce požární návrh
Hliníkové konstrukce požární návrh František Wald Zdeněk Sokol, 17.2.25 1 2 Obsah prezentace Úvod Teplotní vlastnosti Mechanické vlastnosti Přestup tepla do konstrukce Analýza prvků Kritická teplota Tlačené
VícePrincip gradientních optimalizačních metod
Princip gradientních optimalizačních metod Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Úkol a základní
VícePLOCHA POTENCIÁLNÍ ENERGIE
PLOCHA POTENCIÁLNÍ ENERGIE Zero point energy - Energie nulového bodu Molekula o určitou část své energie nikdy nemůže přijít Tzv. Zbytková energie (ZPE) vnitřní energie molekuly, která je přítomna vždy
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
Vícey n+1 = g(x n, y n ),
Diskrétní dynamické systémy 1. Úvod V následujícím textu budeme studovat chování systému diferenčních rovnic ve tvaru x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ), kde f a g jsou dané funkce. Tyto rovnice
VíceTéma 6 Rovinné nosníkové soustavy
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Téma 6 Rovinné nosníkové soustavy Spojitý nosník s vloženými klouby Trojkloubový rám a oblouk Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Katedra stavební mechaniky
VíceFakulta aplikovaných věd BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Výpočtový model trupu sportovní plachetnice
akulta aplikovaných věd BAKALÁŘSKÁ PRÁ Výpočtový model trupu sportovní plachetnice Plzeň, 8 Tomáš Mandys Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracoval samostatně a že jsem uvedl všechny použité
VícePENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU
PENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU : Ing.Bohuslav Tikal CSc, ZČU v Plzni, tikal@civ.zcu.cz Ing.František Valeš CSc, ÚT AVČR, v.v.i., vales@cdm.cas.cz Anotace Výpočtová simulace slouží k
VíceFakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky
Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky Bakalářská práce Analýza stability vybraných druhů kompozitních nosníků Vypracoval: Petr Hanzlík Vedoucí práce: Ing. Tomáš Kroupa, Ph.D. Plzeň, 2014 Prohlášení
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceTÉMATA PROJEKTŮ KME/PRJ3 VYPSANÁ PRO ZIMNÍ SEMESTR AK. R. 2016/17. Katedra mechaniky
TÉMATA PROJEKTŮ KME/PRJ3 VYPSANÁ PRO ZIMNÍ SEMESTR AK. R. 2016/17 Katedra mechaniky Informace PRJ3 Na každé téma se může zapsat pouze jeden student. Termín ukončení registrace na témata: 3/10/2016 Podmínky
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceÚvod do optimalizace, metody hladké optimalizace
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ INFRAM a.s., Česká republika VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU Řešitel Objednatel Ing. Petr Frantík, Ph.D. Ústav stavební
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VícePrášková metalurgie. Výrobní operace v práškové metalurgii
Prášková metalurgie Výrobní operace v práškové metalurgii Prášková metalurgie - úvod Prášková metalurgie je obor zabývající se výrobou práškových materiálů a jejich dalším zpracováním (tj. lisování, slinování,
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceElektrické vlastnosti pevných látek
Elektrické vlastnosti pevných látek elektrická vodivost gradient vnějšího elektrického pole vyvolá přenos náboje volnými nositeli (elektrony, díry, ionty) měrná vodivost = e n n e p p [ -1 m -1 ] Kovy
VícePrvky betonových konstrukcí BL01 1. přednáška
Prvky betonových konstrukcí BL01 1. přednáška Program přednášek, literatura. Podstata betonu, charakteristika prvků. Zásady a metody navrhování konstrukcí. Zatížení, jeho dělení a kombinace. Idealizace
VíceNelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceDIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH
DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MECHANISMU TETRASPHERE Vypracoval: Jaroslav Štorkán Vedoucí práce: prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. CÍLE PRÁCE Sestavit programy pro kinematické, dynamické
VícePRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ DOC. ING. LADISLAV ČÍRTEK, CSC PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL M05 NAVRHOVÁNÍ JEDNODUCHÝCH PRVKŮ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU
VíceMultiple awards. Czech - Czech Version 6.0. THE ORIGINAL Made in Germany
Multiple awards Czech - Czech Version 6.0 THE ORIGINAL Made in Germany Otočné stoly s hydrostatickým ložiskem AOtočné stoly s valivými ložisky VSvislé otočné stoly Otočné stoly s přímým řízením Rotační
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceExperimentální analýza hluku
Experimentální analýza hluku Mezi nejčastěji měřené akustické veličiny patří akustický tlak, akustický výkon a intenzita zvuku (resp. jejich hladiny). Vedle členění dle měřené veličiny lze měření v akustice
VíceOptimalizace vláknového kompozitu
Optimalizace vláknového kompozitu Bc. Jan Toman Vedoucí práce: doc. Ing. Tomáš Mareš, Ph.D. Abstrakt Optimalizace trubkového profilu z vláknového kompozitu při využití Timošenkovy hypotézy. Hledání optimálního
VíceNUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ZDIVA. 1. Současný stav problematiky
NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ZDIVA 1. Současný stav problematiky V současné době chybí přesné a obecně použitelné modely zdiva, které by výstižně vyjadřovaly jeho skutečné vlastnosti a přitom se daly snadno použít
VíceTutoriál programu ADINA
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Tutoriál programu ADINA Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2010 1 Výstupy programu ADINA: Preprocesor
VíceDaniel Tokar tokardan@fel.cvut.cz
České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra fyziky A6M02FPT Fyzika pro terapii Fyzikální principy, využití v medicíně a terapii Daniel Tokar tokardan@fel.cvut.cz Obsah O čem bude
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
Víceskladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
VíceDerivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
VíceAdvAnch 2015 1g Uživatelský manuál v. 1.0
AdvAnch 2015 1g Uživatelský manuál v. 1.0 Obsah 1. POPIS APLIKACE... 3 1.1. Pracovní prostředí programu... 3 1.2. Práce se soubory... 4 1.3. Základní nástrojová lišta... 4 2. ZADÁVANÍ HODNOT VSTUPNÍCH
Více4 Spojovací a kloubové hřídele
4 Spojovací a kloubové hřídele Spojovací a kloubové hřídele jsou určeny ke stálému přenosu točivého momentu mezi jednotlivými částmi převodného ústrojí. 4.1 Spojovací hřídele Spojovací hřídele zajišťují
VíceZáklady matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice
Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta
Více2. Matice, soustavy lineárních rovnic
Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí
VíceČKAIT 12.5.2011 - AGEL
Euroó v přílaech Dřevěné onstruce Návrh a posouení jenotlivých prvů rovu ČKAIT 1.5.011 - AGEL Ing. Petr Agel, oc. Ing. Antonín Loaj, Ph.D. 1 1. Geometrie rovu. Zatížení rovu.1 Stálé atížení. Proměnné atížení.
VíceSenzorika a senzorické soustavy
Senzorika a senzorické soustavy Snímače mechanických napětí, síly, kroutícího momentu a hmotnosti Tato publikace vznikla jako součást projektu CZ.04.1.03/3.2.15.2/0285 Inovace VŠ oborů strojního zaměření,
VíceOtočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum
Otočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum Ing. Ondřej Kubera Vedoucí práce: Ing. Lukáš Novotný, Ph.D. Abstrakt Příspěvek popisuje novou koncepci otočného stolu s prstencovým motorem,
VíceVÝROBNÍ STROJE A ZAŘÍZENÍ 2013 1. DEFINICE OBRÁBĚCÍCH STROJŮ, ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ
VÝROBNÍ STROJE A ZAŘÍZENÍ 2013 1. DEFINICE OBRÁBĚCÍCH STROJŮ, ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ Obráběcí stroj = výrobní stroj, který umožňuje dát obrobku žádaný geometrický tvar a jakost povrchu oddělováním materiálu
VíceŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA
ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit
VíceRotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu?
Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Kapitola vstupních parametrů 1. Výběr materiálu a nastavení jednotek 1.1 Jednotky výpočtu 1.2 Materiál SI Units
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceObr.94. Tečná reakce T r musí být menší nebo rovna třecí síle F t
7.3 Odpory při valení Valení je definováno tak, že dotykové body valícího se tělesa a podložky jsou v relativním klidu. Je zaručeno příkladně tak, že těleso omotáme dvěma vlákny, která jsou upevněna na
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
VíceNumerické modelování elektrických a elastických polí ve feroelektrických materiálech
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií AUTOREFERÁT DISERTAČNÍ PRÁCE Numerické modelování elektrických a elastických polí ve feroelektrických materiálech
VíceZáklady podmíněné matematické optimalizace
Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě
VíceStudentská tvůrčí činnost. O letu volejbalového míče při podání
Studentská tvůrčí činnost O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek Vedoucí práce : Prof. Ing. Pavel Šafařík, CSc O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek Abstrakt Práce se zabývá pozorováním
VíceDynamika hmotného bodu
Mechanika příklady pro samostudium Dynamika hmotného bodu Příklad 1: Určete konstantní sílu F, nutnou pro zrychlení automobilu o hmotnosti 1000 kg z klidu na rychlost 20 m/s během 10s. Dáno: m = 1000 kg,
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Ing. Libor Borák BIOMECHANICKÁ STUDIE LIDSKÉ DOLNÍ ČELISTI VE FYZIOLOGICKÉM STAVU BIOMECHANICAL
VíceEkonomické modelování. Trh práce. Marián Vávra
Trh práce Marián Vávra Vývoj na trhu práce 21 18 15 12 9 6 3 0 1/1985 1/1987 1/1989 1/1991 1/1993 1/1995 1/1997 1/1999 1/2001 1/2003 CR Spain Dutch 2 Struktura modelu Nominální hrubá mzda Poptávka po práci
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceR-05 MOST V UL. PRVOMÁJOVÁ PŘEPOČET ZATÍŽITELNOSTI MOSTU PO OPRAVĚ
R-05 MOST V UL. PRVOMÁJOVÁ PŘEPOČET ZATÍŽITELNOSTI MOSTU PO OPRAVĚ únor 2014 Ing. P. Milek Obsah : 1. Průvodní zpráva ke statickému výpočtu... 3 1.1. Úvod... 3 1.2. Identifikační údaje stavby... 3 1.3.
VíceGenerování sítě konečných prvků
Generování sítě konečných prvků Jaroslav Beran Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování vlastností
VíceKatedra informatiky, Univerzita Palackého v Olomouci. 27. listopadu 2013
Katedra informatiky, Univerzita Palackého v Olomouci 27. listopadu 2013 Rekonstrukce 3D těles Reprezentace trojrozměrných dat. Hledání povrchu tělesa v těchto datech. Představení několika algoritmů. Reprezentace
VícePLÁŠŤOVÉ PŮSOBENÍ TENKOSTĚNNÝCH KAZET
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ Doktorský studijní program: STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ Studijní obor: POZEMNÍ STAVBY Ing. Jan RYBÍN THE STRESSED SKIN ACTION OF THIN-WALLED LINEAR TRAYS
VíceNeuropočítače. podnět. vnímání (senzory)
Neuropočítače Princip inteligentního systému vnímání (senzory) podnět akce (efektory) poznání plánování usuzování komunikace Typické vlastnosti inteligentního systému: schopnost vnímat podněty z okolního
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceMechanika zemin I 3 Voda v zemině
Mechanika zemin I 3 Voda v zemině 1. Vliv vody na zeminy; kapilarita, bobtnání... 2. Proudění vody 3. Měření hydraulické vodivosti 4. Efektivní napětí MZ1_3 November 9, 2012 1 Vliv vody na zeminy DRUHY
VíceK přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014
K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav
VíceNáhradní ohybová tuhost nosníku
Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail: jiri.podesva@vsb.cz Anotace: Výpočty ocelových výztuží
VíceSborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2010, ročník X, řada stavební článek č. 17.
Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2010, ročník X, řada stavební článek č. 17 Lenka LAUSOVÁ 1 OSOVĚ ZATÍŽEÉ SLOUPY ZA POŽÁRU AXIALLY LOADED COLUMS DURIG
VíceOptimalizace kompozitních materiálů v problémech přenosu tepla
stavební obzor 7 8/04 Optimalizace kompozitních materiálů v problémech přenosu tepla Ing. Martin Jan VÁLEK Ph.D. pro. Ing. RNDr. Petr Pavel PROCHÁZKA, DrSc. ČVUT v Praze Fakulta stavební V článku je hledán
VíceExaktní metody v managementu
Exaktní metody v managementu Přednášející: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky a managementu Cvičící: Ing. Eva Šlaichová, Ph.D. Ing. Eva Štichhauerová, Ph.D. Ing. Lukáš Turčok,
Více