Numerické metody optimalizace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerické metody optimalizace"

Transkript

1 Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007

2

3

4 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných proměnných s různým omezením na defnční obor. Práce může být použta k programové a vzualzační podpoře předmětu, který se touto problematkou zabývá. Cílem práce bylo vytvořt algortmy optmalzačních teračních metod v prostředí Matlab. Důraz je kladen na terační metody komparatvní a gradentní. Dále byly vypracovány vzorové příklady, ve kterých jsou popsány jednotlvé metody, provedeno jejch hodnocení a grafcky znázorněny výsledky. Klíčová slova: Optmalzace, etrém funkce, gradent, terace, účelová funkce Abstrakt ve světovém jazyce Optmzaton methods consttute the searchng of etremes of real functons of one or more real varables wth the dfferent lmtatons per defnton range. The thess can be used for program and vsual support of the subject, whch deals wth ths problems. The goal of ths thess was to create algorthms of optmzaton teratons methods n the Matlab envronment. The stress s put on the teraton methods comparatve and gradent. The sample eamples, n whch each method s descrbed, made ther classfcatons and graphcally llustrated results, was elaborated. Keywords: Optmzaton, functon etremes, gradent, teraton, goal functon

5 V rámc této práce bych chtěl poděkovat panu Ing. Radkov Matušů za zadání zajímavého tématu a za cenné rady a přpomínky př odborném vedení mé dplomové práce. Prohlašuj, že jsem na dplomové prác pracoval samostatně a použtou lteraturu jsem ctoval. V případě publkace výsledků, je-l to uvolněno na základě lcenční smlouvy, budu uveden jako spoluautor. Ve Zlíně, podps

6 OBSAH ÚVOD...7 I. TEORETICKÁ ČÁST OPTIMALIZACE ZÁKLADNÍ POJMY KLASIFIKACE OPTIMALIZAČNÍCH ÚLOH Volný etrém funkce Vázaný etrém funkce KLASIFIKACE OPTIMALIZAČNÍCH METOD ITERAČNÍ METODY OPTIMALIZACE KOMPARATIVNÍ METODY Jednorozměrné komparatvní metody Metody vícerozměrné optmalzace GRADIENTNÍ METODY Jednorozměrné gradentní metody Vícerozměrné gradentní metody Gradentní metody s omezením METODY NÁHODNÉHO VYHLEDÁVÁNÍ II. PRAKTICKÁ ČÁST REALIZACE PROGRAMŮ POPIS PROGRAMOVÉHO PROSTŘEDÍ Fbonaccho metoda Metoda zlatého řezu Newtonova metoda Regula-Fals Bo-Wlsonova metoda Metoda fleblního smpleu Gradentní metoda s krátkým a dlouhým krokem Newtonova metoda DFP TESTOVÁNÍ METOD ZÁVĚR...61 ZÁVĚR V ANGLIČTINĚ...63 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ...65 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK...66 SEZNAM OBRÁZKŮ...67 SEZNAM TABULEK...68 SEZNAM PŘÍLOH...69

7 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, ÚVOD Problematka optmalzačních metod zahrnuje vyhledávání etrémů reálných funkcí reálných proměnných. Tato matematcká formulace se v průběhu 20. století stala velm hluboce studovanou a atraktvní dscplínou. S optmalzačním úloham nejrůznějšího druhu se můžeme velm často setkat v pra, a to v šrokém spektru odvětví. Lze s představt návrh nákladní trasy tak, že spotřeba pohonných hmot a vzdálenost dosahují svých etrémů, stejně tak k optmalzační úloze vede z oblast ekonome problém optmalzace výrobních programů, optmalzace technckých konstrukcí ve stavebnctví, strojírenství a vojenství, č hledání optmálního stavu v chemckých procesech. Převedeme-l optmalzační úlohu na matematcký tvar, její následné řešení je otázkou matematcké rutny a výpočetní technky. Teoretcky je možné defnovat jakkol obtížný problém, v pra se ale následně ukáže, že není možné vymyslet unverzální postup, který by vedl k nejvhodnějšímu řešení. To vedlo ke klasfkac jednotlvých optmalzačních úloh a k nm příslušným postupům. Je třeba rozlšovat úlohy bez omezení na defnční obor (volný etrém), omezení typu rovnost (klascký vázaný etrém) a omezení typu nerovnost (neklascký vázaný etrém). Jak bylo řečeno, různé úlohy vyžadují různý matematcký aparát a různé metody. V prvé řadě jde o analytcké metody, ty jsou nejblžší ke klascké matematcké analýze. Využívají prostředky dferencálního počtu a jsou vhodné zejména pro ndvduální ruční výpočet. Druhou skupnu tvoří terační metody, ve kterých se sestavuje posloupnost bodů defnčního oboru, která konverguje k etrému. Metody jsou především vhodné k programování na počítačích. Třetí skupnu metod tvoří specální úlohy, které vyžadují specfcké metody. Jedná se o lneární, dynamcké, nelneární a jné programování, které je obecně nazýváno pojmem operační analýza. V této prác je přblíženo, co vlastně znamená a obnáší řešení optmalzačních úloh a výpočet etrémů funkcí. Jsou zde zmíněny jednotlvé klasfkace optmalzačních úloh. Dále se v prác pojednává především o teračních metodách optmalzace. Ve druhé kaptole je podrobně popsáno jejch rozdělení. Jsou zde přblíženy jednotlvé prncpy algortmů a vlastnost jednotlvých metod. V neposlední řadě je produktem této práce program vytvořený v prostředí Matlab. Hlavní částí programu je deset základních optmalzačních metod, které jsou rozděleny pro úlohy jedné proměnné a pro metody více

8 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, proměnných. Pro úlohy jednorozměrné byly vytvořeny čtyř algortmy a pro vícerozměrné úlohy šest algortmů. Jednotlvé naprogramované algortmy užvatel vypíší výsledky do tetových polí a zobrazí graf příslušné funkce a znázorní zjštěný etrém. Dále byly naprogramované metody podrobeny testům, po kterých následovalo zhodnocení výsledků a hlavních výhod a nevýhod jednotlvých metod. V deset přílohách jsou uvedeny hlavní část jednotlvých naprogramovaných algortmů.

9 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, I. TEORETICKÁ ČÁST

10 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, OPTIMALIZACE Teore optmalzace je matematckou dscplínou, která se zabývá určováním mnmálních a mamálních hodnot funkcí př určtých omezujících podmínkách, tj. řešením optmalzačních úloh. S optmalzačním úloham nejrůznějšího druhu se v pra setkáváme velm často. Většnou jsou formulovány slovně a řeší se na základě zkušeností a ntuce. Takový přístup př současné úrovn rozvoje vědy a technky jž zcela nestačí. Neposkytuje objektvní a vědecké podklady pro řízení a rozhodování. Z jného pohledu lze o optmalzac také říc, že jde o matematckou dscplínu, ve které hledáme mnmum respektve mamum dané funkce f() na dané množně X. Tato funkce se nazývá účelová, nebo též optmalzační. Množnou se rozumí oblast, pro kterou lze nalezené řešení považovat za korektní, eventuálně fyzkálně realzovatelné a podobně. Obecně bývá tato oblast vymezena soustavam rovnc č nerovnc. Jejch významem je zamezt prohledávání prostoru, pro nějž nalezené řešení nebude akceptovatelné. Impuls pro rozvoj etremalzačních metod přnesly v mnulém století úlohy z oblast ekonome, které můžeme označt jako problémy optmalzace výrobních programů. Řada etremalzačních úloh přchází z oblast technky. Jsou popsány výpočty směřující k optmalzac z oblast stavebnctví, strojírenství, vojenství. Z oblast cheme je typckou etremalzační úlohou výpočet chemcké rovnováhy v plynné soustavě. Také v teor her se řada úloh řeší převedením na vyhledávání etrému funkce. Praktcké aplkace optmalzačních metod jsou přblíženy např. v [1] č [5]. 1.1 Základní pojmy Účelová, krterální č optmalzační funkce jsou v tomto tetu synonyma pro jednu a tutéž funkc. Nejčastěj bude užíváno pojmu účelová funkce a za tímto označením se skrývá n-rozměrná reálná funkce reálných proměnných s označením f( 1,.., n ). Funkce f(), která má na množně X pouze jeden etrém (daného druhu), se nazývá unmodální. V opačném případě se jedná o funkc multmodální. Množnu X budeme nazývat množnou přípustných řešení (bodů, vektorů) a funkc f() účelovou funkcí. Společný název pro mnmum a mamum je etrém. Body X, ve kterých má funkce f() etrém, tj. funkce f() nabývá etremální (mnmální nebo mamální) hodnoty, se

11 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, nazývají etremální body funkce f() na množně X. Etrémy mohou být dvojího druhu a to buď lokální č globální. Přesná defnce říká, že funkce f: X R má v bodě 0 X Lokální mnmum na X R n, jestlže estuje δ > 0 tak, že pro každé X, - 0 < δ platí f() f( 0 ) Ostré lokální mnmum - na X R n, jestlže estuje δ > 0 tak, že pro každé X, 0< - 0 < δ platí f() > f( 0 ) Globální mnmum - na X R n, jestlže pro každé X platí f() f( 0 ) Ostré globální mnmum - na X R n, jestlže pro každé X, 0 platí f()>f( 0 ) Lokální mamum - na X R n, jestlže estuje δ > 0 tak, že pro každé X, - 0 <δ platí f() f( 0 ) Ostré lokální mamum - na X R n, jestlže estuje δ > 0 tak, že pro každé X, 0< - 0 < δ platí f() < f( 0 ) Globální mamum - na X R n, jestlže pro každé X platí f() f( 0 ) Ostré globální mamum - na X R n, jestlže pro každé X, 0 platí f()<f( 0 ) 1.2 Klasfkace optmalzačních úloh Optmalzační úlohy se klasfkují dle jejch omezení na defnční obor. Vyšetřujeme-l etrémy funkce n proměnných na celém prostoru R n mluvíme o tzv. volných etrémech. Zajímají-l nás pouze takové body mama nebo mnma, které splňují nějaké další podmínky, mluvíme o vázaných etrémech. Názvy volné a vázané etrémy nejsou termíny v matematckém smyslu přesně zavedené a podle toho používané. O volných etrémech se například mluví tehdy, kdy etremalzovaná funkce není všude v R n defnovaná a vyšetřuje se pouze na té množně X R n, kde defnována je. Je dohodnuto, že volný etrém funkce f() je globální etrém této funkce vzhledem k R n. Vázané etrémy se původně systematcky vyšetřovaly pouze př podmínkách tvaru g j ( 1,..., n )=0, j=1,...,n, kde g j byly funkce se spojtým prvním parcálním dervacem.

12 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Po druhé světové válce se objevly důležté úlohy, v nchž se vyskytovaly vedlejší podmínky s nerovnostm, upravované nejčastěj na tvar g j ( 1,..., n ) 0, j = 1,..., m 0, = 1,..., n (1) Etremalzační úlohy s omezením ve tvaru (1) se nazývají úlohy matematckého programování. V matematckém programování se etremalzovaná funkce nazývá funkce účelová. Ta R n, která vyhovují omezujícím podmínkám, se nazývají přípustná řešení. Přípustné řešení, které je globálním etrémem účelové funkce vzhledem k množně přípustných řešení, se nazývá optmální řešení Volný etrém funkce Volným etrémem funkce rozumíme lokální mnmum nebo lokální mamum funkce v lbovolném bodě defnčního oboru. Metody analytckého vyhledávání volných etrémů jsou založené na výpočtech dervací, a proto jsou vhodné pro analytcky zadané funkce. Jednorozměrný případ V případech, že je funkce na prohledávaném ntervalu hladká a spojtá lze využít známých matematckých postupů. Analýza funkcí vychází z jejích základních vlastností. Funkce defnovaná na ntervalu X se nazývá konvení (konkávní), když pro lbovolnou trojc bodů z X 1 < 2 < 3 leží bod ( 2, f( 2 )) pod úsečkou (nad úsečkou), která spojuje f ( 3 ) f ( 1 ) body ( 1, f( 1 )) a ( 3, f( 3 )) a její rovnce je y f ( 1) = ( 1). 3 1 f() f() a) b) Obr. 1. a) Konkávní funkce, b) Konvení funkce

13 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Když je funkce f() na ntervalu X spojtá a má v každém bodě konečnou druhou dervac, pak je funkce f() na ntervalu konvení právě tehdy, když pro každé X je f () 0 a funkce f() je konkávní právě tehdy, když pro každé X je f () 0. Dervace funkce v bodě 0 je defnována lmtou: a vyjadřuje směrnc tečny v daném bodě. f() f ( ) f( 0 ) f ( 0) = lm Obr. 2. Dervace funkce v bodě Staconární bod funkce f() je bod 0 pro který platí, že jeho první dervace je rovna nule f ( 0 )=0. V tomto bodě má daná funkce f() mnmum, mamum nebo jde o tzv. nflení bod. f() f() MAXIMUM MINIMUM f() INFLEXNÍ BOD Obr. 3. Staconární body funkcí

14 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Předpokládejme reálnou funkc jedné reálné proměnné. Pojem etrém funkce úzce souvsí s pojmy konkávnost č konvenost. Funkce defnovaná v jstém okolí bodu 0 má v tomto bodě ostré lokální mamum, jestlže estuje δ>0 tak, že pro každé, 0< - 0 <δ platí f()<f( 0 ). O neostrém lokálním mamu hovoříme, jestlže je splněná neostrá nerovnost f() f( 0 ). Pojem lokálního mnma se defnuje analogcky, ale př splnění nerovnost f()>f( 0 ). Globální mamum (mnmum) funkce f() na ntervalu X je největší (nejmenší) hodnota, kterou funkce f() na ntervalu X nabude. Nechť funkce f() má první dervac na ntervale X a v bodě 0 tohoto ntervalu nechť estuje druhá dervace. Potom platí, že funkce f() má v bodě 0 ostré lokální mamum, když f ( 0 )=0 a f ( 0 )<0. funkce f() má v bodě 0 ostré lokální mnmum, když f ( 0 )=0 a f ( 0 )>0. Jestlže druhá dervace funkce f() v bodě 0 neestuje a první dervace f ( 0 ) je v levém okolí bodu 0 kladná a v pravém okolí 0 je záporná, potom má funkce f() v bodě 0 ostré lokální mamum. a první dervace f ( 0 ) je v levém okolí bodu 0 záporná a v pravém okolí 0 je kladná, potom má funkce f() v bodě 0 ostré lokální mnmum. Může se stát, že první druhá dervace v bodě 0 je rovna nule. Potom funkce může mít v tomto bodě nfle anebo je třeba zkoumat vyšší dervace. Nechť estuje přrozené číslo n tak, že f(n) ( 0 ) 0 a pro každé k<n je f(k) ( 0 )=0. Potom platí, že: jestlže je n sudé a f(n) ( 0 )>0, má f() v 0 ostré lokální mnmum. jestlže je n sudé a f(n) ( 0 )<0, má f() v 0 ostré lokální mamum. jestlže je n lché, jde o nflení bod.v nflením bodě se mění konkávnost funkce na konvenost č naopak. Konkávnost souvsí s mamem funkce a konvenost s mnmem. Vyhodnocením těchto podmínek dentfkujeme staconární bod na mnmum, mamum nebo nflení bod. Není však zaručeno nalezení všech etrémů, protože není pokryta varanta neestence první dervace funkce f() v daném bodě.

15 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Vícerozměrný případ Analytcké řešení vyhledávání etrémů reálné funkce více reálných proměnných je v zásadě zevšeobecněním jednorozměrného případu. Namísto pojmu první a druhá dervace se používá pojem gradentu a Hessovy matce a namísto nfleního bodu se používá pojem sedlový bod. Gradent funkce se defnuje jako vektor parcálních dervací: f f grad f ( 1,..., n)= f =,..., Hessova matce se defnuje pomocí druhých parcálních dervací: 2 H f 1 n 1 (2) n f f f n = (,..., ) = (3) f f f... 2 n 1 n 2 n Př vyšetřování etrémů se musí určt, zda je Hessova matce poztvně č negatvně defntní, což odpovídá kladné nebo záporné druhé dervac v jednorozměrném případě. S problematkou defntnost souvsí tzv. kvadratcká forma. Tuto problematku podrobně popsuje [6]. Př vyšetřování poztvní č negatvní defntnost matce je třeba počítat hlavní subdetermnanty. Podmínky pro defntnost matce udává Sylvestrovo krtérum: Matce je poztvně defntní, když všechny hlavní subdetermnanty této matce mají kladnou hodnotu. Matce je negatvně defntní, když hodnoty hlavních subdetermnantů střídají znaménka, ale první subdetermnant musí být záporný. Pokud je matce poztvně defntní, má funkce f() v daném bodě 0 lokální mnmum. Pokud je matce negatvně defntní, má funkce f() v daném bodě 0 lokální mamum. Pokud je matce ndefntní, jedná se o sedlový bod.[4]

16 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 4. Etrémy funkcí více proměnných Vázaný etrém funkce V případě volného etrému se hledá etrém na celém defnčním oboru. V pra se však vyhledávají etrémy př různých omezeních. Nejfrekventovanějším omezením bývají rovnost a nerovnost, případně smíšená omezení. Úlohy s omezením typu rovnost se nazývají úlohy klasckého vázaného etrému, úlohy s nerovnostm se nazývají úlohy neklasckého vázaného etrému. Klascký vázaný etrém Postup řešení klasckého vázaného etrému je všeobecně známý pod názvem metoda Lagrangeových multplkátorů. Je třeba mamalzovat funkc f( 1,, n ) př podmínkách gj( 1,, n )=0, j=1,,m < n Př řešení této úlohy se defnuje Lagrangeova funkce m φ(, p) = f( ) + p g ( ) (4) kde vektor λ=(λ 1,,λ m ) se nazývá vektor Lagrangeových multplkátorů. Body vázaného etrému se potom hledají jako body etrému Lagrangeovy funkce, tj. jako nulové body všech n+m parcálních dervací funkce φ.[4] j= 1 j j

17 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Když označíme: φ φ φ φ =,,..., 1 2 n φ φ φ pφ =,,..., p1 p2 pm potom estenc etrému udává následující věta: Nechť funkce f,g 1,,g n mají spojté parcální dervace a nechť jsou funkce g j () lneárně nezávslé. Potom platí, že když je 0 R n bodem lokálního etrému funkce f př omezeních g j ()=0, potom estuje p 0 =(p 01,,p 0m ) tak, že φ( 0, p0) = 2( 0, p0) = 0 (6) Neklascký vázaný etrém Neklascký vázaný etrém se defnuje jako úloha mamalzovat funkc f( 1,, n ) př omezeních tvaru g j ( 1,, n ) 0, j=1,,m 0 =1,,n. Takto formulovaná úloha se nazývá úloha matematckého programování. Jednou z nejdůležtějších teorémů charakterzující takovouto úlohu je Kuhn-Tuckerova věta. Tato věta byla publkována roku 1951 a nazývá se též větou o sedlovém bodě. Podobně jako v případě omezení rovnostm se defnuje Lagrangeova funkce (4). Kuhn-Tuckerova věta: Vektor 0 je optmálním řešením úlohy právě tehdy, když estuje vektor p 0 takový, že 0 0 a p 0 0 a pro všechny 0, p 0 platí: T T φ(, p ) φ(, p ) φ(, p) (7) Bod ( 0,p 0 ) se nazývá nezáporný sedlový bod funkce φ. Takto formulovaná věta má pro matematcké programování význam jen teoretcký, protože sedlový bod se hledá obtížně. Pro výpočetní účely má význam jen její důsledek, který platí pro dferencovatelné funkce f a g j. Důsledek Kuhn-Tuckerovy věty: Nechť f a g j mají všechny první parcální dervace. Potom podmínka (7) je ekvvalentní tzv. lokálním Kuhn-Tuckerovým podmínkám: (5) φ φ 0 = 0 = 1,..., n ( 0, p0) ( 0, p0) φ φ 0 p = 0 j = 1,..., n p 0 p 0 j 0 j p ( 0, p0) j ( 0, p0) (8)

18 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Klasfkace optmalzačních metod Analytcké metody jednorozměrné případy dervace vícerozměrné případy gradenty omezení typu = metoda Lagrangeova multplkátoru omezení typu Kuhn-Tuckerova věta Iterační metody: komparatvní jednorozměrné vícerozměrné gradentní bez omezení s omezením metody náhodného vyhledávání jednoduché adaptvní s umělou ntelgencí Specelní metody: lneární programování dynamcké programování konvení programování Teore her: matcové hry dferencální hry

19 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, ITERAČNÍ METODY OPTIMALIZACE Tyto metody lze rozdělt na tř typy. Na komparatvní optmalzační metody, které nevyžadují výpočet nebo odhad dervací účelové funkce. Iterační charakter těchto metod je založený na determnstckém prncpu. Metody, které potřebují výpočet č odhad dervací, jsou metody gradentní a třetím typem jsou metody nedetermnstcké. Iterační přírůstek těchto metod č jeho směr má náhodný charakter. 2.1 Komparatvní metody Základní charakterstkou komparatvních metod je vyčíslení dskrétních hodnot účelové funkce v určtých bodech, jejch porovnání s hodnotam vypočteným v dalším kroku a v určení postupu konstrukce dalších dskrétních bodů. Postupuje se tak dlouho, dokud se dosahuje dalšího zlepšení hodnoty účelové funkce. Jedná se o postupy pro jednorozměrné a mnohorozměrné problémy.[4] Jednorozměrné komparatvní metody Metody jednorozměrné optmalzace mají v celé teor optmalzace základní význam. Jsou názorné a mají jednoduchou grafckou nterpretac. Navíc se mohou využívat ve vícerozměrné optmalzac. Nejznámější dvě metody jednorozměrné optmalzace, které nevyžadují výpočet dervací, jsou Fbonaccho metoda a metoda zlatého řezu. Obě metody jsou založené na myšlence zvolt posloupnost bodů z daného ntervalu <a;b> tak, abychom našl nterval co nejmenší délky, ve kterém se nachází bod etrému. Není-l daná účelová funkce f() na ntervalu <a,b> unmodální, pak je třeba přblžně určt polohu bodu globálního mnma a nterval <a,b> změnt tak, aby na změněném ntervalu účelová funkce f() unmodální byla. Fbonaccho metoda Fbonaccho metoda využívá př zkracování ntervalů neurčtost přímé úměrnost jejch délek číslům Fbonaccho posloupnost, tj.

20 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, l b a l l 1 2 k N 1 N = = = =... = =... = = FN FN FN 1 FN ( k 1) F2 l l ln F 1 (9) kde čísla Fbonaccho posloupnost{f k } jsou dána vztahy F 0 = F1 = = 1, Fk = Fk 1 + Fk 2, k 2,3,..., (10) resp. k = k + Fk z, k = 0,1,2,..., z = (11) 5 z 2 k 1 +1 Pro velké k lze v rovnc (11) výraz z výpočet čísel Fbonaccho posloupnost zanedbat a dostaneme přblžný vzorec pro 1 1 k + Fk z, k = 0,1,2,... (12) 5 Fbonaccho metoda pro vyhledání mama může být popsána následujícím algortmem: α = a β = b zvolíme počet kroků N 1 1 F α = β β α N FN + 2 F β = α + β α N FN f( α 1), f( + β+ 1) f( α+ 1) f( β+ 1) α+ 1 = α+ 1 β+ 1 = β 5. f( α ) ( β ) α α β β + 1 > f = + 1 = = + 1 skok na bod 2 Po N-tém kroku leží optmální bod v ntervalu a N,b N. Pro dosažení přesnost ε př lokalzac optmálního bodu lze použít vztah F N b a (13) 2ε Musíme tedy najít takové číslo Fbonaccho posloupnost, které vyhovuje nerovnost (13). Jeho nde N udává počet potřebných kroků a zároveň počet terací.[6]

21 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Např. pro funkc f() defnovanou na ntervalu <-1,1> hledáme řešení s přesností ε = 0,1. b a 1+ 1 Počet kroků N zjstíme ze vztahu (13): FN = = 10 F7 = 13 N = 7 2ε 2.0,1 Metoda zlatého řezu Metoda zlatého řezu patří mez postupné komparatvní metody hledání mnma lbovolné spojté unmodální účelové funkce f(). FN + 1 Metoda zlatého řezu je odvozením Fbonaccho metody. Místo podílu F lmtní podíl: F F lm N + 1 n N + 2 N + 2 se používá = 0,618 (14) Hodnota 0,618 se nazývá poměr zlatého řezu (obdélník se stranam v poměru považován ve starém Řecku za nejestetčtější). 1 1: 0,618 byl Př metodě zlatého řezu ve všech krocích (kromě prvního) nterval neurčtost obsahuje spolu s krajním body jeden vntřní bod. Proto je třeba určt hodnotu účelové funkce f() pouze v jednom novém bodě umístěném symetrcky k jž známému bodu. Pops algortmu pro vyhledání mama: Obr. 5. Prncp metody zlatého řezu

22 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, α1 = a β1 = b zvolíme N ~ α + 1 = β 0,618. β α ~ β + 1 = α + 0,618. β α ~ ~ f ( α + 1), f ( β + 1) ~ ~ f ( α ) ( ) ~ + 1 f β + 1 α + 1 = α + ~ ~ f ( α ) > f ( β ) α = α = + 1 skok na bod 2 1 β + 1 = β ~ β = β Počet kroků není eplctně omezený, výpočet končí testem na přesnost argumentu. Počet kroků N je dán požadovanou přesností ε, pro kterou platí vztah: b a 2ε (15) N N Metody vícerozměrné optmalzace Mez těmto komparatvním teračním metodam jsou nejznámější Bo-Wlsonova metoda, smpleové metody, metoda mapování krterální plochy a metoda cyklcké záměny parametrů. Jejch prncpem hledání etrémů je vyčíslení hodnoty účelové funkce v určtých bodech a vzájemným porovnáváním těchto hodnot v jednotlvých teracích dle jejch algortmů, konvergují k etrému. Bo-Wlsonova metoda Jedná se o jednu z nejzákladnějších komparatvních optmalzačních metod. Byla publkována jž v roce 1951, avšak v současnost zůstává vhodným nástrojem pro vyhledávání etrémů účelových funkcí. Základním rysy a výhodam této metody jsou snadná algortmzovatelnost, jednoduchý prncp vyhledávání etrému a nezávslost na počtu proměnných. Pro n=2 se účelová funkce vyčísluje ve vrcholech čtverce a v jeho geometrckém středu. V dalším kroku se vrchol s největší č nejmenší hodnotou bere za střed nového čtverce a postup se opakuje. Postup se na n-rozměrný případ zevšeobecní tak, že místo čtverce se konstruuje nadkvádr s 2 N vrcholy. Nevýhodou je výpočet N funkčních hodnot funkce. Přblížt funkc algortmu lze nejlépe na funkc se dvěma proměnným. Jako první je zvolen počáteční bod S se souřadncem [s1;s2], od kterého se dále odvíjí celý proces výpočtů. Dalším vstupním parametrem je délka hrany čtverce ω, který se

23 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, konstruuje okolo počátečního bodu. Počáteční bod leží v geometrckém středu čtverce. Př nevhodné volbě počátečního bodu se prodlužuje doba a počet výpočtů. Proto by měl být za počátek zvolen takový bod, který dle odhadu povede nejrychlej k řešení. Totéž platí pro volbu hrany čtverce. Př nevhodné velkost naroste počet výpočtů nebo se sníží přesnost konečného výsledku. Lze tedy říc, že doba a počet výpočtů je nepřímo úměrná délce hrany a přímo úměrná vzdálenost počátečního bodu od hledaného etrému. Po zadání těchto vstupních parametrů se provede konstrukce vrcholů čtverce. Souřadnce jednotlvých vrcholů získáme tak, že k oběma souřadncím středu přčteme polovnu délky strany čtverce. Pro ostatní souřadnce zbylých vrcholů je postup obdobný s tím rozdílem, že prostřídáme všechny kombnace znamének. Podoba jednotlvých souřadnc je pak následující: ω ω M1 : s1 + ; s ω ω M2 : s1 ; s ω ω M3 : s1 + ; s2 2 2 ω ω M4 : s1 ; s2 2 2 Poté následuje vypočítání hodnot účelové funkce v daných bodech (S,M 1,M 2,M 3,M 4 ) a z této pětce se vybere ten, který má největší hodnotu. Pokud je mamem jeden z vrcholů čtverce, stává se novým středem v další terac a pokračuje se v ohodnocování jednotlvých vrcholů. Pokud má mamální hodnotu střed čtverce, je vyhodnocen jako etrém a algortmus je ukončen. Z vyhledávání bodu s největší hodnotou pramení, že algortmus vyhledává mamum funkce. Př potřebě nalezení mnma funkce se musí změnt vyhledávání na bod s nejmenším ohodnocením nebo hledat etrém namísto f(1,2) na funkc f(1,2).

24 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 6. Prncp Bo-Wlsonovy metody 2 Záps algortmu pro vyhledávání mama (n=2): Volba - střed krychle S a délka strany ω Generování vrcholů krychle M =S± ω δ, =1,,2 N Výpočet f(s), f(m 1 ),,f(m 4 ) v jednotlvých bodech čtverce S, M 1, M 2, M 3, M 4 Výběr etremální hodnoty f(m e ) a M e Je-l M e =S => STOP S=M e a skok na generování vrcholů Smpleové metody Smpleové metody patří mez další komparatvní metody, které nepotřebují výpočet dervací účelové funkce. Je zde určtá podobnost s Bo-Wlsonovou metodou, avšak oprot předcházející metodě se počet bodů výpočtu hodnot účelové funkce redukuje na mnmum. Pojmem smple je označován nejmenší konvení polyedr v daném prostoru. Jným slovy, v n-dmenzonálním prostoru defnujeme n+1 bodů jež tvoří smple. Ve dvojrozměrném prostoru je smpleem rovnostranný trojúhelník, v třírozměrném prostoru je to pravdelný čtyřstěn.

25 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, V R n jsou body pravdelného smpleu určené následujícím vztahy = = = + e d a d a d a d a d a e d a a a a n n n n...,..., (16) ρ ρ + = + = d e n d n (17) kde ρ je délka hrany smpleu a n je dmenze prostoru.[3] Základní strategí pro mamalzac účelové funkce v R n je spočítání hodnot účelové funkce ve vrcholech smpleu a určení bodu s nejmenší hodnotou. Tento bod se překlopí přes těžště smpleu do směru největšího růstu tak daleko, aby tento bod tvořl se základnou opět pravdelný smple. Nový vrchol smpleu se sestrojí podle vztahu m m m c c = + = 2 ) ( 2 (18) + = = n j j n c (19) Bod m je bod s nejnžší hodnotou účelové funkce. Obr. 7. Hledání etrému funkce f( 1, 2 ) smpleovou metodou

26 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Ponecháním konstantní délky hrany smpleu ρ po celou dobu výpočtu stejnou, konverguje metoda zpočátku velm pomalu. Př nevhodné volbě délky hrany smpleu ρ dochází k osclac kolem etremálního bodu. Metodu pravdelného smpleu lze vylepšt tak, že délka hrany smpleu se v průběhu výpočtu zmenšuje. Obr. 8. Prncp fleblní smpleové metody Tím se zlepší konvergence a nedochází k osclacím okolo etremálního bodu. Upravená metoda se nazývá metodou fleblního smpleu nebo též metoda Nelder-Mead dle tvůrců. Zkonstruují se vrcholy smpleu (1),...,(n+1) s mamální hodnotou v (). K dalšímu bodu se postupuje podle vztahů: jestlže f ( ( )) > ma{ f ( (1)), f ( (2)),..., f ( ( n + 1))}, pak 1. epanze: ( + 1) = c + α ( ( ) c) α (1; ) jestlže f ( ( + 1)) > ma{ f ( (1)),..., f ( ( n + 1))}, pak se pokračuje v postupu úspěšným směrem ; jestlže f ( ( )) < f ( ( j)) 2. kontrakce: ( + 1) = c + β ( ( ) c) j, pak β (1;1) jestlže f ( ( + 1)) < f ( ( k)), pak se zmenší 3. redukce: 1 podle vztahu ( j) = ( k) + ( ( j) ( k)) 2 délka smpleu

27 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Jedná se o jednu z nejdokonalejších komparatvních metod. Metoda cyklcké záměny parametrů Tato metoda se někdy nazývá Gauss-Sedlova metoda. Př optmalzac v R n se zvolí jedna proměnná k a ostatní se nechají konstantní. Najde se částečné optmum nějakou metodou jednorozměrné optmalzace a proměnná k se na této hodnotě zafuje. Přejde se k další proměnné j a opět se hledá jednorozměrný etrém. Tímto způsobem se vystřídají všechny proměnné a cyklus se opakuje. Uvedený postup však nemusí být vždy konvergentní a konvergence závsí na pořadí proměnných. Pro všeobecný tvar účelové funkce se metoda programuje obtížně. I v této metodě se začíná defnováním počátečního bodu S. Nejlépe je znovu vycházet ze znalost problému a snažt se zvolt bod co nejblíže etrému. Dalším parametrem, který je zapotřebí je přesnost ε a používá se pro ukončení algortmu. Posledním parametrem je počet proměnných účelové funkce. V prvním kroku výpočtů je do funkce dosazen počáteční bod, přčemž k hodnotě dosazované za první proměnnou je přčten parametr ξ 1. Tímto vznkne parametrzovaná funkce a následuje vyhledání etrému funkce jedné proměnné pomocí dervace. Položením dervace rovno nule získáme hodnotu parametru ξ 1. Nový bod M 1, který se přblíží k hledanému etrému dostaneme součtem parametru ξ 1 a hodnotou proměnné počátečního bodu - M 1 [s1+ξ 1 ;s2]. Nyní následuje analogcký postup pro další proměnnou s tím rozdílem, že bude použto nového bodu M 1. Opět nalezneme etrém a provedeme součet hodnot. Dostaneme nový bod M 2 [s1+ξ 1 ; s2+ξ 2 ]. Bod M 2 je konečným stavem první terace. Další terace je provedena pokud platí podmínka ξ 2 1 +ξ 2 2 ε.

28 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 9. Prncp metody Gauss-Sedl Záps algortmu: =0 poč. cyklů; def. přesnost ε>0, (0) =( 1 (0),, N (0) ) k=0 poč. proměnných k=k+1 a def. fce pk(ξk)=f( 1 (e),, k (e) + ξ k, N (e) ) Nalezení optma pro p k (ξ k ) Změna k-té souřadnce v (e) na k + ξ k Je-l k<n=> skok na 3 N 2 (tj. k=n): je-l ξ < ε => STOP, jnak =+1 a skok na 2 k = 1 k Metoda mapování krterální plochy V dskretzovaných bodech povoleného podprostoru se zkoumají hodnoty účelové funkce. Postupuje se tak, že všechny nezávslé proměnné jsou konstantní a mění se jen jedna od dolní meze po horní. Potom se změní o krok další nezávslá proměnná a postup se opakuje. Nevýhodou je, že př zvyšování počtu nezávslých proměnných se neúměrně zvyšuje počet vyčíslení účelové funkce. Krok dskretzace je třeba předem stanovt. Programová realzace je velm jednoduchá. Výpočet hodnot účelové funkce se realzuje ve vnořených cyklech. Po vyčíslení všech hodnot je třeba jednoduchým porovnávacím algortmem najít etremální prvek a k němu hodnotu nezávslých proměnných. Toto porovnávání lze provádět přímo ve vnořených cyklech.

29 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, ε ε 2 Obr. 10. Prncp metody mapování krterální plochy Záps algortmu: Volba hranc prohledávané plochy Volba přesnost ε Rozdělení vymezujících ntervalů na podntervaly o velkost ε Nalezení všech průsečíků Výpočet funkčních hodnot ve všech průsečících Nalezení mamální (mnmální) hodnoty a její pozce 2.2 Gradentní metody Gradentním metodam jednorozměrné a vícerozměrné optmalzace budeme rozumět terační algortmus, ve kterém přírůstek vektoru parametrů je úměrný gradentu účelové funkce. Iterační vztah lze všeobecně vyjádřt jako ( k + 1) = ( k) + λ k f ( ( k)). (20) Jednorozměrné gradentní metody Nejpoužívanější metody jednorozměrné gradentní optmalzace jsou Newtonova metoda a metoda regula-fals. Spíše než praktcký význam mají tyto metody význam teoretcký, protože jsou východskem pro odvození složtějších a lépe konvergujících postupů. Pro hladké kvadratcké funkce dávají obě metody hodnotu etrému hned v prvním kroku. Rychlejší konvergenc lze očekávat u metod, které využívají druhé dervace funkce.

30 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Newtonova metoda Metoda spočívá v sestrojení tečny v bodě [, f '( )] k k T funkce f '(), vz (Obr.11.). Průsečík tečny s osou, tj. bod k+1 je (k+1)-ní terace optmálního bodu *. Účelová funkce se apromuje prvním třem členy Taylorova rozvoje f ( ) = f ( ) + f ( )( ) + f ( )( ) (21) Dervováním (21) a vyřešením f ( +1 )=0 se získá z čehož plyne terační vztah pro +1 ve tvaru f ( ) f ( )( 1 ) = 0 (22) + + f ( ) + 1 = (23) f ( ) Metoda vyžaduje estenc druhé dervace. Za počáteční apromac je vhodné volt takový bod 1, který vyhovuje nerovnost f ( ) f '''( ) 0 (24) ' 1 1 > Konvergence Newtonovy metody je tím rychlejší, čím více se účelová funkce f() blíží kvadratcké parabole, pro kterou je přesné řešení hned po jednom kroku. Nevýhodou Newtonovy metody je nutnost počítat první a druhou dervac v každé terac. Newtonova metoda je vhodná pro ryze konvení (konkávní) účelové funkce, u kterých lze snadno vypočítat první a druhou dervac (dervace musí být spojté). Konvergence je velm rychlá, ale požadavky na vlastnost účelové funkce jsou velm ostré.[6] U Newtonovy metody se nepočítá počet kroků terace, výpočet se ukončí, když platí: 1 ε (25) + V pra je možno použít modfkac Newtonovy metody spočívající v tom, že když druhá dervace f ''() se jž mnoho nemění, lze j ponechat beze změny pro následující terace, tj. druhá dervace se nahradí konstantou (tzv. Whttakerova metoda zmínka na [6]).

31 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 11. Prncp Newtonovy metody Regula-fals Př metodě regula-fals se účelová funkce apromuje následujícím polynomem 2 ) (. ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( f f f f p + + = (26) Další bod terace se najde z podmínky etrému p ( +1 )=0. Dervováním předchozího vztahu dostaneme 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( = + = + = f f f p (27) Z (27) vyplývá terační předps ve tvaru ) ( ) ( ) ( f f f = + (28) Druhá dervace z Newtonovy metody je zde nahrazena numerckým odhadem: 1 1) '( ) '( ) ''( = f f f (29) Obr. 12. Prncp metody regula-fals

32 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Metoda regula fals potřebuje dva ncalzační body 1 a 2. Metoda vyžaduje estenc první dervace na celém ntervalu, ve kterém hledáme etrém Vícerozměrné gradentní metody Gradentní metoda s krátkým krokem Algortmus výpočtu se realzuje podle vztahu + 1 = + λ f ( ) (30) Tato metoda používá k výpočtu konstantní λ. Takovýto výpočet je poměrně jednoduchý, ale úspěšná konvergence posloupnost není vždy zaručena. Př konstantním λ k je možné přeskočení hledaného etrému. An volba λ = λ 0 *2 - tento problém neodstraňuje. Pro výpočet mnma funkce musí být λ záporné. Obr.13. Hledání etrému gradentní metodou Gradentní metoda s dlouhým krokem Byly vypracovány metody, které mění λ k v každém kroku tak, aby se dosáhlo co největšího možného zlepšení účelové funkce směrem k mnmu anebo k mamu. Nejběžnější z těchto metod je gradentní metoda s dlouhým krokem.

33 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Př této metodě se volba uskutečňuje podle vztahu d λ ( ) = ma{ λ; f ( ( ) + λ f ( ( )) = 0} (31) dλ Tento postup zabezpečuje řešení v menším počtu kroků, ale vyžaduje větší počet výpočtů. V každém kroku terace je zapotřebí řešt úlohu jednorozměrné optmalzace. Gradentní metody lze použít v případech, kdy nejsou známy dervace. Používají se numercké odhady dervací, které mohou být symetrcké anebo nesymetrcké. Nejjednodušší vzorce tzv. dvojbodové mají následující tvary: symetrcký vzorec f levý nesymetrcký vzorec nebo pravý nesymetrcký vzorec Pro druhou dervac 2 f 2 f ( 1,..., +,..., n) f ( 1,...,,..., n) = (32) 2 f f (,..., +,..., ) (,...,,..., = ) 1 n f 1 n f f (,...,,..., ) (,...,,..., = ) 1 n f 1 n f ( 1,..., +,..., n ) 2 f ( 1,..., n ) + f ( 1,..., = 2,..., ) n (33) (34) (35) kde je malé kladné číslo. Jné vzorce pro více bodů výpočtu udává numercká matematka. Estují další varanty gradentních metod s dlouhým krokem, které se snaží jným, efektvnějším způsobem nahradt jednorozměrnou etremalzac podle λ v teračním postupu. Tyto metody jsou potom vhodné pro programování na počítačích.[4]

34 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 14. Prncp gradentní metody s dlouhým krokem Metoda konjugovaných gradentů - CONGRA Iterační algortmus lze popsat následujícím vztahy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)) ( ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( (0) (0)) ( (0) 2 d d f d f f d f d d f d d f d postupu bod počáteční f d T T T + = + + = + = + = + = δ δ λ λ Negatvní vlastností metody je, že vyžaduje v každém kroku výpočet matce. f Obr. 15. Prncp metody konjugovaných gradentů

35 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Metoda paralelních tečen PARTAN Metoda je podobná metodě konjugovaných gradentů, kdy se vytvoří dva paralelní směry, ze kterých se vybere jstý průměr. Záps algortmu: volba počátečního bodu = 1, (1) = (0) + λ f (0) ~ y( ) = ( ) + λ ( ) f ( ), kde (0); pro ~ λ ( ) volba N ~ λ, které mamalzuje f ( (0) + λ f (0)) ~ mamalzuje f ( ( ) + λ f ( ( ))) 4. ( + 1) = ( 1) + δ ( )[ ( ) ( 1)], kde δ ( ) mamalzuje f ( ( + 1)) = f ( ( 1) + δ ( )[ y( ) ( 1)]) 5. jestlže < N, pak = + 1 a skok na 3, 6. jestlže = N, pak (0) = ( N) a skok na Obr. 16. Prncp metody PARTAN

36 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, DFP (Davdon, Fletcher,Powell) Tato metoda se opírá o algortmus Newtonovy metody, ve které se namísto Hessovy matce druhých parcálních dervací konstruuje pouze její odhad. Kombnuje se zde jednoduchost gradentní metody s dobrou konvergencí metody Newtonovy. Prncp vychází z teračního vztahu ( + 1) = ( ) + λ ( ) S( ) f ( ) (36) kde S() je matce, která apromuje nverz Hessovy matce. Výpočet DFP metodou lze popsat následujícím algortmem: 1. volba počátečního bodu (0) a poztvně defntní matces(0); = 0 2. d () = S () f() 3. ( + 1) = () + λ() d (), kde λ() ma malzuje f( () + λ() d ()) a výpočet f ( ( + 1)) 4. v () = λ() d () w () = f() f( + 1) T T vv () () S() w() w () S() S ( + 1) = S ( ) + T v () w() T w () w() 5. = + 1 a skok na Gradentní metody s omezením Použtí gradentních metod pří vícerozměrné optmalzac naráží na problémy ve dvou případech. V první řadě jde o případy neanalytcky zadaných funkcí, kde vyjádření parcálních dervací je problematcké, protože se musí použít numerckých odhadů. V druhé řadě je to v případě omezení kladených na nezávslé proměnné. Metoda projekce gradentu Metoda je schopná akceptovat omezení ve tvaru konveních množn (nerovnc). Algortmus vychází z běžného gradentního postupu, př kterém se kontroluje, jestl nedochází k překročení omezení. Jestlže k překročení dojde, vykoná se geometrcký průmět tohoto bodu na hranc omezení. Z tohoto bodu se potom opět postupuje gradentní metodou s dlouhým krokem.

37 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Záps algortmu: 1. sestavení Q 2. q = ( QQ T ) 1 Q f ( ( k )) 3. test : jestlže q k < 0 k > 1, pak vynechat k tý řádek, sestrojt Q * a skok na 2; jestlže q k > 0 pro všechny k 1, pak konec 4. P = ( I Q T ( QQ T ) 1 Q)... projekční matce s = P f ( ( k )) ~ λ = ma{ λ, ( k ) + λs ~ ( k + 1) = ( k ) + λ s je přípustné } 8. skok na bod 1. 1 gradent omezení dlouhý krok nový směr projekce 2 Obr. 17. Prncp metody projekce gradentu 2.3 Metody náhodného vyhledávání Př těchto metodách je terační přírůstek proměnných závslý na náhodně generované velčně. V zásadě jde tyto metody rozdělt do dvou tříd: jednoduché (strktně náhodné) metody, př kterých se pouze vyhodnocuje, jestl je nový bod lépe položený než předcházející. Jestlže to tak není, stratege se vrací do předcházejícího bodu a generuje se nový směr a velkost kroku.

38 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, metody s adaptací, př kterých se nějakou strategí vyhodnocuje, jestl se jde správným směrem anebo ne. Potom se mění velkost a směr kroku. Jde o kombnac stochastcké a determnstcké stratege. Konvergence algortmů náhodného vyhledávání se všeobecně zaručt nedá a některá odvození jsou značně heurstcká a ntutvní. Napříč tomu se ukazuje, že někdy jsou tyto metody efektvnější než determnstcké. Hlavně v případech skutečně mnohorozměrných a v případech, kdy účelová funkce není zadána analytcky. Uvažujme problém mamalzace účelové funkce f() n reálných proměnných, která je defnovaná na podmnožně R n pomocí systému nerovností. Všeobecně lze algortmus náhodného vyhledávání popsat vztahy ( + 1) = ( ) + ( ) ( ) = a ψ [ ; F( ), ( )] (37) ξ F( ) = F( ) F( 1) První rovnce charakterzuje terační postup metod, třetí rovnce se nazývá zpětná dference účelové funkce. Podle její hodnoty se určuje zlepšení anebo zhoršení účelové funkce. Prostřední rovnce charakterzuje vlastní strateg postupu. V této rovnc a udává velkost kroku, ψ je adaptační funkce, která nějakým nenáhodným způsobem hodnotí předcházející zkušenost teračního postupu a ξ je n-rozměrný náhodný vektor.

39 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, II. PRAKTICKÁ ČÁST

40 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, REALIZACE PROGRAMŮ Cílem př realzování programů bylo navrhnout a zrealzovat jednotlvé algortmy metod a formou grafckého užvatelského rozhraní zajstt jednoduché a přehledné ovládání. Prostředím pro realzac byl vybrán software Matlab od společnost The MathWorks. Důvodem proč byl vybrán tento software je, že na rozdíl od jných programovacích jazyků byl Matlab vyvnut pro matematcké účely a má možnost přehledné tvorby GUI (grafckého užvatelského rozhraní). 3.1 Pops programového prostředí Matlab je programové prostředí a skrptovací programovací jazyk pro vědeckotechncké numercké výpočty, modelování, návrhy algortmů, počítačové smulace, analýzu a prezentac dat, měření a zpracování sgnálů, návrhy řídcích a komunkačních systémů. Matlab je nástroj, jak pro pohodlnou nteraktvní prác, tak pro vývoj šrokého spektra aplkací. Tento výpočetní systém se během uplynulých let stal celosvětovým standardem v oblast technckých výpočtů a smulací nejen ve sféře vědy, výzkumu a průmyslu, ale v oblast vzdělávání. Matlab 6 je považován za přelom nejen z hledska rozsahu, ntegrace a kvalty produktu, ale především z hledska vztahu k užvatel a jeho pohodlí př prác. Vlastní Matlab není jen v jedné ln základního programu, ale používá se spousta rozšíření (toolbo). Nejznámější a as nejpoužívanější je Smulnk. Je to program pro smulac a modelování dynamckých systémů, který využívá algortmy Matlabu pro numercké řešení nelneárních dferencálních rovnc. Poskytuje užvatel možnost rychle a snadno vytvářet modely dynamckých soustav ve formě blokových schémat a rovnc. Název MATLAB vznkl zkrácením slov MATr LABoratory (volně přeloženo laboratoř s matcem ), což odpovídá skutečnost, že klíčovou datovou strukturou př výpočtech v Matlabu jsou matce. Vlastní programovací jazyk vychází z jazyka Fortran. Výhoda Matlabu je nejen v jeho velkých možnostech, ale v tom, jak je šroce rozšířen v průmyslu a jeho verze estují pro řadu operačních systémů (Un, Lnu, Wndows, Open VMS, IRIX, Solars, Macntosh, HP-UX a další). [7] Matlab je velm mocný nástroj pro řešení a analýzu techncké problematky. Integruje výpočty, vzualzac a programování do jednoduše ovladatelného prostředí, kde problémy a řešení jsou vyjádřeny pomocí dobře známých matematckých vztahů. Typcké použtí zahrnuje:

41 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Matematku a výpočty Tvorba algortmů Získávání dat Modelování a smulace Analýza dat, výzkum a vzualzace Vědecká a nženýrská grafka Tvorba aplkací, včetně grafckého rozhraní Nejslnější vlastností Matlabu je práce s datovým pol, které není potřeba dmenzovat. To umožňuje řešt mnoho technckých problémů s použtím formulací pomocí vektorů a matc. Př výběru metod, které byly naprogramovány, padla volba na Fbonaccho metodu, metodu zlatého řezu, Newtonovu metodu a metodu regula-fals jako zástupce jednorozměrných optmalzačních metod a Bo-Wlsonovu metodu, metodu fleblního smpleu (Nelder-Mead), Newtonovu metodu, gradentní metody s krátkým a dlouhým krokem a metodu DFP jako zástupce vícerozměrných optmalzačních metod. Kvůl lepší názornost a možnost grafckého znázornění etrému, byly vícerozměrné metody naprogramovány pro dvě proměnné. Pro náslné ukončení a ochranu algortmu prot zacyklení u metod, u kterých toto hrozí, nebylo zvoleno počtu terací, ale čas po který má algortmus běžet. Program se spouští pomocí souboru nde.m. Po jeho spuštění se nám otevře úvodní okno se třem Menu nabídkam (Optmalzace, Průběh funkce, Help). V Menu Optmalzace máme možnost volby ze tří submenu (2D, 3D, Zavřít). 2D slouží k otevření okna pro výběr optmalzačních metod pro jednu proměnnou, 3D pro metody dvou proměnných a Zavřít slouží k zavření okna. Menu Průběh funkce slouží čstě jen pro vykreslení grafu nám defnované funkce na zvoleném ntervalu. Dělení je opět provedeno pro funkce jedné a dvou proměnných. V Menu Help jsou uvedeny popsy jednotlvých polí, použtých v programech.

42 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 18. Úvodní okno programu Obr. 19. Ukázka oken pro výběr optmalzačních metod V oknech jednotlvých optmalzačních metod jsou pole pro zadávání vstupních parametrů, které daná metoda potřebuje. Dále tlačítko Náhled, které vykreslí graf nám zadané účelové funkce na nám zadaném ntervalu bez provedení výpočtů. Výpočty se spustí tlačítkem Start a zavření okna se provede tlačítkem Zavřít Fbonaccho metoda Tato metoda je naprogramována tak, aby hledala mamum funkce na zadaném ntervalu, avšak pomocí zaškrtávacího políčka (checkbo) je možno změnt vyhledávání na mnmum. Před spuštěním je nutno zadat účelovou funkc, nterval na kterém se bude

43 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, hledat daný etrém a počet terací. Po provedení výpočtů je výsledek vypsán do tetových polí. Je zde uvedeno o jaký etrém se jedná, na jakém ntervalu leží a čas běhu výpočtů a dále je vykreslen graf účelové funkce se znázorněním výsledného ntervalu. Obr. 20. Okno Fbonaccho metody Metoda zlatého řezu Tato metoda je opět naprogramována tak, aby hledala mamum funkce na zadaném ntervalu, avšak volbu etrému je opět možno změnt zaškrtávacím políčkem. Před spuštěním je nutno zadat účelovou funkc, nterval na kterém se bude hledat daný etrém a počet terací. Po provedení výpočtů je výsledek prezentován stejně jako u Fbonaccho metody. Obr. 21. Okno metody zlatého řezu

44 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Newtonova metoda Jedná se o metodu, která hledá etrém pomocí dervace účelové funkce, tudíž není třeba zvlášť rozlšovat, jaký etrém se má vyhledávat. Zjštění typu etrému se provede dosazením bodů z pravého a levého okolí nalezeného etrému. Před spuštěním výpočtů je nutno zadat počáteční bod na ose a požadovanou přesnost, po které bude algortmus ukončen. Tato přesnost je nejmenší možná vzdálenost mez dvěma mezvýsledky ve dvou po sobě následujících teracích. Výsledky jsou pak prezentovány výpsem typu etrému, jeho hodnotou, pozcí na ose, počtem terací a časem výpočtů. Dále je vykreslen graf účelové funkce se znázorněním počátečního bodu a výsledného bodu. Obr. 22. Okno Newtonovy metody Regula-Fals Postup př zadávání vstupních parametrů je stejný jako u Newtonovy metody. Rozdíl je však v tom, že zde zadáváme dva počáteční body na ose. Po provedení výpočtů jsou výsledky prezentovány opět jako u Newtonovy metody a v grafu znázorněn výsledný etrém.

45 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 23. Okno metody regula-fals Bo-Wlsonova metoda Metoda je naprogramována pro vyhledání mnma mama účelové funkce a tuto volbu určujeme opět pomocí zaškrtávacího políčka. Dále pak zadáváme souřadnce počátečního bodu a délku hrany čtverce, který se bude dle algortmu konstruovat. Argument Tmeout slouží k náslnému přerušení běhu algortmu, a to z důvodu možnost špatné volby hledaného etrému. Pokud neznáme přblžný tvar účelové funkce, je možno užít náhledu na zvoleném ntervalu a poté zvolt vyhledávání mama č mnma. Po provedení výpočtů jsou výsledky prezentovány v tetových polích, a to výpsem druhu etrému a jeho hodnotou, souřadncem etrému, počtem terací a časem výpočtů. Ve vykresleném grafu je znázorněn etrém červeným bodem. Obr. 24. Okno Bo-Wlsonovy metody

46 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Metoda fleblního smpleu Tato metoda je v zadávání vstupních argumentů stejná jako Bo-Wlsonova metoda. Zde je navíc vstupní parametr přesnost, který slouží k ukončení výpočtů. Je to nejmenší rozdíl mez hodnotam účelové funkce ve vrcholech smpleu. Pokud je rozdíl hodnot účelové funkce ve všech vrcholem menší než zadaná přesnost, je algortmus ukončen a jsou vypsány výsledky. Konstrukce smpleu je provedena dle (16) a (17). Parametry pro redukc a kontrakc byly zvoleny hodnoty α=2,5 a β=0,5 jak je doporučeno v [3]. Obr. 25. Okno metody Nelder-Mead Gradentní metoda s krátkým a dlouhým krokem U gradentní metody s krátkým krokem musíme zadat počáteční bod, velkost parametru λ (Krok) a Tmeout, který slouží k náslnému ukončení programu, aby bylo ošetřeno možné přeskočení etrému a tím k zacyklení běhu algortmu. Př této událost je vypsána hláška s upozorněním k volbě jné velkost kroku. Jnou možností je také změnt počáteční bod. Př požadavku vyhledávat mnmum účelové funkce musíme zadat parametr λ<0.

47 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 26. Okno gradentní metody s krátkým krokem U gradentní metody s dlouhým krokem se nezadává parametr λ a není zapotřebí zadávat parametr Tmeout, protože za normálních podmínek by nemělo dojít k zacyklení běhu algortmu. Avšak uvntř kódu je tato doba omezena na 10s. Obr. 27. Okno gradentní metody s dlouhým krokem Newtonova metoda Př této metodě je nutné nvertovat Hessovu matc druhých parcálních dervací, což nemusí být vždy jednoduchá záležtost. Praktcké výpočty potvrzují rychlou konvergenc metody. Vstupním parametrem je Přesnost pro ukončení a počáteční bod.

48 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Obr. 28. Okno Newtonovy metody DFP DFP je zástupce kvaznewtonských metod. Jde o metody, které se snaží spojt jednoduchost gradentní metody a dobrou konvergenc metody Newtonovy. DFP je zákládní metoda toho typu. Vstupním parametrem je pouze počáteční bod. Za symetrckou poztvně defntní matc S, 1 0 která je zmíněna v (36) byla zvolena matce S =. 0 1 Obr. 29. Okno DFP metody

49 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, Testování metod f( ) = Funkce: ( ) 2 Analytcké řešení: 11 f ( ) = 2 4 f ( ) = 0 = 1,375 f( ) = 0, Záps funkce ve tvaru pro Matlab: 3/4*-(-1)^2 f( ) = Tab. 1: Výsledky pro funkc ( ) 2 f( ) = 3 ( 1) 2 4 Metoda Parametry Výsledek Parametry Výsledek Interval <-5;5> Hledáno mamum Interval <-6;9> Hledáno mamum Fbonacc Počet kroků: 6 Interval <1,1905; 1,6667> Čas: 0,001s Počet kroků: 17 Interval <1,3762;1,3798> Čas: 0,001s Zlatý řez Newton Regula- Fals Interval <-5;5> Počet kroků: 6 Počáteční bod: 5 Přesnost: 0,001 Počáteční body: X1=-12 X2=-7 Přesnost: 0,01 Interval <1,1805; 1,5248> Čas: 0,001s Bod - mnmum [1,375; 0,89063 ] Čas: 0,109s Počet kroků: 1 Bod - mnmum [1,375; 0,89063 ] Čas: 0,063s Počet kroků: 3 Interval <-6;9> Počet kroků: 17 Počáteční bod: 15 Přesnost: 0,01 Počáteční body: X1=15 X2=5 Přesnost: 0,001 Interval <1,3739;1,3765> Čas: 0,015s Bod - mnmum [1,375; 0,89063] Čas: 0,109s Počet kroků: 1 Bod - mnmum [1,375; 0,89063] Čas: 0,062s Počet kroků: 3 Na tomto příkladu je ukázáno, že u komparatvních metod přesnost zjštěné polohy etrému závsí na velkost počátečního ntervalu a počtu terací které se provedou. Pro předem požadovanou přesnost, lze počet terací získat dle vztahu (13). Př stejných podmínkách výsledky ukazují, že metoda zlatého řezu je o něco přesnější než Fbonaccho metoda.

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT J. Tuma Summary: The paper deals wth dfferentaton and ntegraton of sampled tme sgnals n the frequency doman usng the FFT and

Více

Directional Vehicle Stability Prototyping Using HIL Simulation Ověření systému řízením jízdy automobilu metodou HIL simulací

Directional Vehicle Stability Prototyping Using HIL Simulation Ověření systému řízením jízdy automobilu metodou HIL simulací XXXII. Semnar AS '2007 Instruments and ontrol, arana, Smutný, Kočí & Babuch (eds) 2007, VŠB-TUO, Ostrava, ISBN 978-80-248-1272-4 Drectonal Vehcle Stablty rototypng Usng HIL Smulaton Ověření systému řízením

Více

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) 4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk

Více

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz)

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz) Programování jako nástroj porozumění matematce (serál pro web modernvyuka.cz) Autor: Radek Vystavěl, vystavel(zavnáč)modernprogramovan.cz Díl 15: Analýza Určtý ntegrál MATEMATIKA Integrál je v běžné řeč

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ VENTILATION

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

radiační ochrana Státní úřad pro jadernou bezpečnost

radiační ochrana Státní úřad pro jadernou bezpečnost Státní úřad pro jadernou bezpečnost radační ochrana DOPORUČENÍ Měření a hodnocení obsahu přírodních radonukldů ve vodě dodávané k veřejnému zásobování ptnou vodou Rev. 1 SÚJB únor 2012 Předmluva Zákon

Více

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211 10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam

Více

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící

Více

Teorie elektrických ochran

Teorie elektrických ochran Teore elektrckých ochran Elektrcká ochrana zařízení kontrolující chod část energetckého systému (G, T, V) = chráněného objektu, zajstt normální provoz Chráněný objekt fyzkální zařízení pro přenos el. energe,

Více

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]

Více

2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU

2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU VŠB T Ostrava Faklta elektrotechnky a nformatky Katedra obecné elektrotechnky. ELEKTCKÉ OBVODY STEJNOSMĚNÉHO POD.. Topologe elektrckých obvodů.. Aktvní prvky elektrckého obvod.3. Pasvní prvky elektrckého

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN ROBUST 000, 7 4 c JČMF 00 BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN Abstrakt. Poukážeme na možnost rozhodování pomocí Bayesova prncpu. Ten vychází z odhadu podmíněné pravděpodobnosta z předpokladu dsjunktního rozkladu

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2013 Radka Luštncová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název bakalářské práce: Aplkace řezných

Více

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ 1/28 Klasfkace a predkce Roman LUKÁŠ 2/28 Základní pomy Klasfkace = zařazení daného obektu do sté skupny na základě eho vlastností Dvě fáze klasfkace: I. Na základě trénovacích vzorů (u nchž víme, do aké

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Posuzování dynamiky pohybu drážních vozidel ze záznamu jejich jízdy

Posuzování dynamiky pohybu drážních vozidel ze záznamu jejich jízdy Posuzování dynamky pohybu drážních vozdel ze záznamu jejch jízdy Ing. Jaromír Šroký, Ph.D. ŠB-Techncká unverzta Ostrava, Fakulta strojní, Insttut dopravy, tel: +40 597 34 375, jaromr.sroky@vsb.cz Úvod

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

Přemysl Žiška, Pravoslav Martinek. Katedra teorie obvodů, ČVUT Praha, Česká republika. Abstrakt

Přemysl Žiška, Pravoslav Martinek. Katedra teorie obvodů, ČVUT Praha, Česká republika. Abstrakt ALGORITMUS DIFERENCIÁLNÍ EVOLUCE A JEHO UŽITÍ PRO IDENTIFIKACI NUL A PÓLŮ PŘE- NOSOVÉ FUNKCE FILTRU Přemysl Žška, Pravoslav Martnek Katedra teore obvodů, ČVUT Praha, Česká republka Abstrakt V příspěvku

Více

Matematika IV, Numerické metody

Matematika IV, Numerické metody Interaktvní sbírka příkladů pro předmět Matematka IV, Numercké metody Josef Dalík, Veronka Chrastnová, Oto Přbyl, Hana Šafářová, Pavel Špaček Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební Ústav matematky

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2. . Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

ANALÝZA VYBRANÝCH UKAZATELŮ SPOLEČNOSTI DOPES S.R.O. POMOCÍ ČASOVÝCH ŘAD

ANALÝZA VYBRANÝCH UKAZATELŮ SPOLEČNOSTI DOPES S.R.O. POMOCÍ ČASOVÝCH ŘAD VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV INFORMATIKY FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF INFORMATICS ANALÝZA VYBRANÝCH UKAZATELŮ SPOLEČNOSTI DOPES

Více

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních

Více

Bořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM

Bořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM Posudek vedoucího bakalářské práce Bořka Letla Bolometre na tokamaku GOLEM Vedoucí práce: Ing. Vojtěch Svoboda, CSc Bořek Letl vpracoval svoj bakalářskou prác na tokamaku GOLEM, jehož rozvoj je závslý

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE TEPLÁRNA NA BIOMASU BIOMASS HEATING POWER

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

NÁVRH PRACOVNÍHO BODU ODSTŘEDIVÉHO ČERPADLA THE OPERATING POINT OF THE CENTRIFUGAL PUMP.

NÁVRH PRACOVNÍHO BODU ODSTŘEDIVÉHO ČERPADLA THE OPERATING POINT OF THE CENTRIFUGAL PUMP. VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGI INSTITUTE NÁVRH PRACOVNÍHO BODU ODSTŘEDIVÉHO ČERPADLA

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

Elektronický obvod. skládá se z obvodových součástek navzájem pospojovaných vodiči působí v něm obvodové veličiny Příklad:

Elektronický obvod. skládá se z obvodových součástek navzájem pospojovaných vodiči působí v něm obvodové veličiny Příklad: Elektroncký obvod skládá se obvodových součástek navájem pospojovaných vodč působí v něm obvodové velčny Příklad: část reálného obvodu schéma část obvodu Obvodové velčny elektrcké napětí [V] elektrcký

Více

Metody operačního výzkumu přednášky

Metody operačního výzkumu přednášky PEF - KOSA - Předměty - MOV4 MOV5syl - všehno předmětu pef.zu.z/osa see Předměty u zoušy - zajímá jí postup, numeré hyby nevadí 2 evdenčníh testů - na záladní vě 2 bodů za dobrovolné domáí úoly (poud bude

Více

L8 Asimilace dat II. Oddělení numerické předpovědi počasí ČHMÚ 2007

L8 Asimilace dat II. Oddělení numerické předpovědi počasí ČHMÚ 2007 L8 Asmlace dat II Oddělení numercké předpověd počasí ČHMÚ 007 Plán přednášky Úvod do analýzy Optmální odhad v meteorolog D případ: demonstrace metod; mult-dmensonální případ; Zavedení předběžného pole;

Více

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2. A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2 ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav

Více

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce . meznárodní konference Řízení a modelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonomcká fakulta, katedra Fnancí 8. - 9. září 200 Metody vícekrterálního hodnocení varant a ech využtí př výběru produktu

Více

INTERAKCE KŘEMÍKU A NIKLU ZA VYSOKÝCH TEPLOT

INTERAKCE KŘEMÍKU A NIKLU ZA VYSOKÝCH TEPLOT METAL 4. 6. 5., Hradec nad Moravcí INTERAKCE KŘEMÍKU A NIKLU ZA VYSOKÝCH TEPLOT Jaromír Drápala a, Monka Losertová a, Jtka Malcharczková a, Karla Barabaszová a, Petr Kubíček b a VŠB - TU Ostrava,7.lstopadu,

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

Určování únavových vlastností při náhodné amplitudě zatížení

Určování únavových vlastností při náhodné amplitudě zatížení Úvod klapka podložka žvotnostní test spojení klapka-podložka Požadavek zákazníka: - navrhnout a provést zrychlené komponentní testy spoje klapka-podložka - provést objektvní srovnání různých varant z hledska

Více

Metamodeling. Moderní metody optimalizace 1

Metamodeling. Moderní metody optimalizace 1 Metamodelng Nejmodernějšíoblast optmalzace Určena zejména pro praktckéaplkace s velkým výpočetním nároky Vycházíz myšlenky, že reálnéoptmalzační problémy nejsou sce konvení, ale jsou do značnémíry hladké

Více

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Elektrotechnická fakulta

Elektrotechnická fakulta ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

VÝPOČET VELIKOSTNÍCH PARAMETRŮ KOMPOSTÁREN NA ZPEVNĚNÝCH PLOCHÁCH THE SIZE PARAMETER CALCULATION OF COMPOST PLANTS LOCALIZED ON COMPACTED AREAS

VÝPOČET VELIKOSTNÍCH PARAMETRŮ KOMPOSTÁREN NA ZPEVNĚNÝCH PLOCHÁCH THE SIZE PARAMETER CALCULATION OF COMPOST PLANTS LOCALIZED ON COMPACTED AREAS VÝPOČET VELIKOSTNÍCH PARAMETRŮ KOMPOSTÁREN NA ZPEVNĚNÝCH PLOCHÁCH THE SIZE PARAMETER CALCULATION OF COMPOST PLANTS LOCALIZED ON COMPACTED AREAS ALTMANN VLASTIMIL ), PLÍVA PETR 2) ) Česká zemědělská unverzta

Více

APLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY

APLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY APLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY APPLICATION OF METHODS MULTI-CRITERIA DECISION FOR EVALUATION THE QUALITY OF PUBLIC TRANSPORT Ivana Olvková 1 Anotace:

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně nverzta Tomáše Bat ve líně LABOATOÍ CČEÍ ELETOTECHY A PŮMYSLOÉ ELETOY ázev úlohy: ávrh dělče napětí pracoval: Petr Luzar, Josef Moravčík Skupna: T / Datum měření:.února 8 Obor: nformační technologe Hodnocení:

Více

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM 7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

ESR, spinový hamiltonián a spektra

ESR, spinový hamiltonián a spektra ER, spnový hamltonán a spektra NMR k k získávání důležtých nformací o struktuře látky využívá gyromagnetckých vlastností atomových jader. Podobně ER (EPR) využívá k obdobným účelům gyromagnetckých vlastností

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2

ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2 ZKOUŠEN ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2 10 12 tera T 10-3 ml m 10 9 gga G 10-6 mkro µ 10 6 mega M 10 9 nano n Zobrazovací modul Převádí délkové jednotky obrazu na skutečné jednotky měřené velčny (např. z grafů

Více

1. Nejkratší cesta v grafu

1. Nejkratší cesta v grafu 08. Nekratší cesty. Úloha obchodního cestuícího. Heurstky a aproxmační algortmy. Metoda dynamckého programování. Problém batohu. Pseudopolynomální algortmy 1. Nekratší cesta v grafu - sled e lbovolná posloupnost

Více

Simulační metody hromadné obsluhy

Simulační metody hromadné obsluhy Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

Návod k obsluze. Rádiový snímač prostorové teploty s hodinami 1186..

Návod k obsluze. Rádiový snímač prostorové teploty s hodinami 1186.. Návod k obsluze Rádový snímač prostorové teploty s hodnam 1186.. Obsah K tomuto návodu... 2 Jak pracuje rádový snímač prostorové teploty... 2 Normální zobrazení na dsplej... 3 Základní ovládání rádového

Více

Normalizace fyzikálních veličin pro číslicové zpracování

Normalizace fyzikálních veličin pro číslicové zpracování Noralzace fyzkálních velčn pro číslcové zpracování Vypracoval: Petr Kaaník Aktualzace: 15. října 2003 Kažý realzovaný říící systé usel projít vě hlavní stá. Nejprve je to vlastní návrh. Na záklaě ostupných

Více

Optimalizace metod pro multimediální aplikace v geodézii v prostředí IP sítí

Optimalizace metod pro multimediální aplikace v geodézii v prostředí IP sítí Acta Montanstca Slovaca Ročník 12 (2007), mmoradne číslo 3, 311-317 Optmalzace metod pro multmedální aplkace v geodéz v prostředí IP sítí Mlan Berka 1 Optmzaton of Methods for Geodetc Data for Multcast

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Textura porézních látek

Textura porézních látek Učební tet pro doktorské studum Petr Schneder Ústav chemckých procesů AV ČR Praha 2007 OBSAH Tetura Tvar a rozměr pórů Klasfkace pórů Objem pórů, porozta, skutečná a zdánlvá hustota Fyzkální adsorpce Mechansmus

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

Podmínky přijetí uprchlíků a důvěra v kompetence politiků

Podmínky přijetí uprchlíků a důvěra v kompetence politiků Podmínky přjetí uprchlíků a důvěra v kompetence poltků Březen / Duben 2016 VÝZKUM TRHU, MÉDIÍ A VEŘEJNÉHO MÍNĚNÍ, VÝVOJ SOFTWARE Národních hrdnů 73, 190 12 Praha 9, tel.: 5 301 111, fax: 5 301 101 e-mal:

Více

Statistické metody v digitálním zpracování obrazu. Jindřich Soukup 3. února 2012

Statistické metody v digitálním zpracování obrazu. Jindřich Soukup 3. února 2012 Statistické metody v digitálním zpracování obrazu Jindřich Soukup 3. února 2012 Osnova Úvod (Neparametrické) odhady hustoty pravděpodobnosti Bootstrap Použití logistické regresi při klasifikaci Odhady

Více

REDUKCE DIMENSIONALITY PRAVDĚPODOBNOSTNÍCH MODELŮ PRO FDI

REDUKCE DIMENSIONALITY PRAVDĚPODOBNOSTNÍCH MODELŮ PRO FDI REDUKCE DIMENSIONALITY PRAVDĚPODOBNOSTNÍCH MODELŮ PRO FDI J. Jkovský 1, M. Hofete 2 1 Humusoft s..o., Paha 2 Ústav Přístojové a řídcí technky, Fakulta stojní, ČVUT v Paze Abstakt Příspěvek se věnuje poblematce

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více