MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

Transkript

1 MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd= { < > < > } ( ), (, ): 0,, 0,3, dd = { < > < > } ( + ), (, ) : 0,, 0,, e dd = { < > < > }, (, ): 0,ln, 0,, g) dd = { < > < > }, (, ): 0,,,3, π π π cos( + ) dd, = (, ) : <, >, < 0, >, dd = { < > < > } ( 4), (, ) : 0,, 0,, cos( ) dd, = (, ) : < 0, >, < 0, >, π π k) sin( + ) dd, = (, ) : < 0, π >, <, π >, 4 l) = { < > < > } dd ( + ), (, ): 3,4,,,, (, ) : 0,, 0,, 3 ( + + ) m) dd = { < > < > } - -

2 n) e dd = { < > < > }, (, ): 0,, 0,, o) dd = { < > < > } ( + + ), (, ) : 0,, 0,.. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : dd = { < > < > } +, (, ): 0,,,, dd = { < > < > }, (, ) : 0,, 0,, + e dd = { < > < > }, (, ) : 0,, 0,, + dd = { < > < > } ln( ), (, ) : 0,, 0,, π sin dd, = (, ) : <, >, < 0, >, dd, je čtverec o vrcholech (0,0), (,0), (,), (0,), g) dd, je obdélník o vrcholech (0,0), ( a,0), ( ab, ), (0,, 0 < a< b. 3. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v oblasti : = = = (5 ) dd, je Δ ABC, A (0,0), B (,0), C (0,), 3 + dd, je dána nerovnicí 4, ( ) dd, je ohraničena přímkami = 0, =, + =, dd, je dána nerovnicemi + 4 4, 0, 0, = = dd, je ohraničena čarami,, - -

3 dd, je dána nerovnicemi, g) e dd, je ohraničena čarami =, = 0, =, =, e dd, je dána nerovnicemi +, dd, je dána nerovnicemi 3, 4,, ( + ) dd, je dána nerovnicemi,, 0, k) dd, je ohraničena čarami = + sin, = 0, = 0, = π, 3 l) cos( + ) dd, je dána nerovnicemi, 0, π, m) n) o) p) 6 dd, je ohraničena čarami = 0, =, =, π π cos( ) dd, je ohraničena čarami =, =, =, =, 6 dd, je ohraničena čarami =, =, = 8, ( + ) dd, je ohraničena čarami =, = 4, = 0, ( 0), (zvažte pořadí integrac, q) (3 ) dd, : +, r) + dd, je Δ ABC, A = (0,0), B = (,), C = (0,), s) dd, je ohraničena čarami =, = 6, = 0, - 3 -

4 t) ( ) dd, je ohraničena čarami =, = Vpočtěte dané dvojrozměrné integrál v oblasti transformací do polárních souřadnic: ( 3 ) dd, : +, ( + ) dd, :( 4) + 6, dd, : +, 0, 0, 4 dd, : +, ( + ) e dd, : 0, + 9, dd, : 0, 0, +, + + g) sin + dd, : π + 4 π, dd arctg, : +, 0, 0, + + dd, : + 4, 0,, + dd, :( ) +, Vpočtěte objem tělesa ohraničeného plochami: z = 0, + + z = 6, = 0, 3+ =, + z = 6, + =, =, = 0, z = 0, z = 0, z = +, =, =, = 6, z = 0, z = +, = 0, = 0, + =, =, z = 0, + z =, z = 0, =, =, + + z = 4, g) =, =, z = 0, + z = 6, - 4 -

5 z = 0, = 0, =, + =, z =, k) z = 0, = ln, = ln, + z = z = 0, =, z = 4, z = 0, = 3, z =, l) z = 0, =, =, z =, m) z = 0, = 0, = 0, + + z 5 = 0, n) z = 0, = 0, = 3, = 0, =, z = 9 +, o) z = 0, = 0, = 0, + = 4, + 8 4z = 0, p) + = 5, + z = Vpočtěte objem tělesa ohraničeného danými plochami užitím transformace do polárních souřadnic: z =,z = 0 ( je průnik tělesa a rovin z = 0), + + z = 4, + = (část vně válc, z = 0, z =, + =, z = 0, + =, z = +, z = 0, + = 0, z =. 7. Vpočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené čarami: =, = 5, =, =, =, =, = 8, = 0, = 7, 4+ 7= 0, 4+ 4= 0, = 0, = sin, = cos, 0, =, =, = 4, g) = 0, = 0, + 5 = 0, = 9, =

6 8. Transformací do polárních souřadnic (5) vpočtěte obsah oblastí ohraničených křivkami: 3 ( + ) =, ( + ) = +, ( ) + =, + ( ) =, + = 5, = 0 a tečnou dané kružnice v bodě (,), ρ = cosϕ (kardioid, π π ρ = (kružnic, ρ = sin ϕ, ϕ (část kružnic 4 g) ρ = 4sinϕ (kružnic, ρ = (kružnic. 9. Určete obsah částí ploch: z = ohraničené rovinami = 0, = 0, z = 0, z z = ohraničené rovinami = 0, = 3, = 0, = 6, = ohraničené rovinami =, =, =, = 4, z = ohraničené válcovou plochou + = 4, + z = ohraničené válcovou plochou + = 3, + z = ohraničené válcovou plochou + = 4, g) z = arctg jednoho závitu šroubové ploch ohraničené válcovou plochou + =, + z = 9 ohraničené rovinami = 0, =, = 3, = 3, z = ohraničené rovinou = a parabolickou válcovou plochou =, z = ohraničené rovinou z =

7 0. Určete hmotnost oblasti při daném rozložení hustot: je ohraničena přímkami = 0, =, =, =, hustota v bodě P je přímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu P od bodu (0,), je ohraničena čarami = 3, = 4, =, hustota je dána funkcí σ =.. Vpočtěte statický moment homogenní rovinné oblasti, je-li σ =, je obdélník o délkách stran a=, b= vzhledem ke straně a, je půlkruh o poloměru r = 4 vzhledem k jeho průměru.. Vpočtěte souřadnice těžiště oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené čarami: =, =, =, + =, =, = 4, = 0, π = sin, = 0, =, 4 ρ = + cosϕ. 3. Vpočtěte moment setrvačnosti oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené čarami čarami =, = při rotaci kolem os, = +, =, = 0 při rotaci kolem os, stranami Δ ABC, A = (0,), B = (,0), C = (,) při rotaci kolem os, přímkami =, =, = při rotaci kolem os