Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2"

Transkript

1 Uvedené pogamy kolegy velmi zaujaly. Všichni by je ádi ve výuce alespoň občas používali, ale poblém pávem viděli ve finanční náočnosti licencování uvedeného softwae jak po školu, tak po žáky (pokud by měli s pomocí počítače vypacovávat domácí úkoly). Potože jsem příznivcem opeačního systému Linux a Open Souce Softwae, ozhodl jsem se vytipovat pogamy podobného zaměření, jejichž licence je po školu i žáky zdama, a připavit semináře učené učené učitelům matematiky a fyziky, kteří chtějí učit své předměty modeně a dát svým žákům k dispozici výkonné nástoje k ozvíjení matematických představ a řešení náočnějších fyzikálních a technických poblémů. Tak vznikl třídílný cyklus seminářů s názvem Open Souce Softwae ve výuce matematiky a fyziky a tři stejnojmenné božuky s jednoduchým popisem ovládání a možností využití jednotlivých pogamů: OSS ve výuce matematiky a fyziky 1 Inteaktivní geometický náčtník Geonext OSS ve výuce matematiky a fyziky Systém počítačové algeby Maxima OSS ve výuce matematiky a fyziky 3 Tabulkový poceso OpenOffice.og Calc a edito vzoců OpenOffice.og Math Maxima Open Souce Softwae ve výuce matematiky a fyziky - Mg. Michal Musílek říjen

2 (C7) y(x):=sqt(^-x^)$ (C8) integate(3/8*y(x)^4*m/^3,x,-,); m (D8) y Tedy J = y dx = x dx = m. Všimněte si, že jsme při výpočtu pomocí Maximy vhodně využili substituci a tím zjednodušili zadání vlastního příkazu po integaci. V případě neučitého integálu Maxima nezobazuje integační konstantu. Musíme si ji pohlídat sami. Zkusme integovat vztah po ychlost ovnoměně zychleného pohybu. (C9) v(t):=a*t+v0; (D9) v(t) := a t + v0 (C10) integate(v(t),t); a t (D10) t v Pokud místo příkazu integate použijeme 'integate s apostofem, bude se integál místo výpočtu zobazovat. (C11) integate(v(t),t); / [ (D11) I (v0 + a t) dt ] / Závěem Ukázali jsme si jen malou část příkazů a možností systému počítačové algeby Maxima. Jednak poto, že čas vyhazený po seminář je kátký, jednak poto, že metody a z nich plynoucí příkazy dalece přesahují učivo středoškolské matematiky. Poč jsem napsal tento text V uplynulých třech letech jsem jako cetifikovaný lekto volitelného modulu ICT ve výuce matematiky školení SIPVZ 7 úovně P 8 seznámil více než šedesát učitelů matematiky základních a středních škol s obsluhou a využitím softwae po podpou výuky matematiky, konkétně s pogamy Cabi Geometie II Plus, Deive 6, Excel a Imagine Logo. 7 SIPVZ státní infomační politika ve vzdělávání. 8 Úoveň P (poučený uživatel) dosáhne pedagogický pacovník, kteý absolvuje povinný úvodní modul a dva volitelné moduly z nabídky speciálně infomatických a předmětových modulů

3 Deivace a totální difeenciál K výpočtu deivace i totálního difeenciálu dané funkce slouží příkaz diff, kteý může mít ůzný počet paametů. Ukážeme si to na příkladu z kinematiky. Po dáhu ovnoměně zychleného pohybu v závislosti na čase platí s(t) = ½ vt + v 0t + s 0. Deivováním tohoto vztahu podle času získáme nejpve vztah po ychlost a potom po zychlení. C(1) s(t):=1/*a*t^+v0*t+s0; 1 D(1) s(t) := - a t + v0 t + s0 C() diff(s(t),t); pvní deivace D() a t + v0 C(3) diff(s(t),t,); duhá deivace D(3) a Po totální difeenciál použijeme příklad z dynamiky. Hybnost je definována jako součin hmotnosti a ychlosti tělesa. Obě se obecně mohou měnit. C(4) p(m,v):=m*v; D(4) p(m, v) := m v C(5) diff(p(m,v)); D(5) m del(v) + v del(m) Neboli d p = md v v dm, tedy k změně hybnosti tělesa dojde buď změnou jeho ychlosti nebo jeho hmotnosti. Integály K výpočtům integálů slouží příkaz integate(exp,x); po neučitý nebo integate(exp,x,a,b); po učitý integál. Ukažme si výpočet momentu setvačnosti válce a koule užitím učitých integálů. Představme si, že válec je složen z tenkých pstenců o tloušťce dx, hmotnost každého je md = πx. dx / π a polomě je x. Tento polomě se mění od nuly do a výsledný moment setvačnosti zjistíme integací momentů setvačnosti těchto tenkých pstenců: (C6) integate(*pi*x/(pi*^)*m*x^,x,0,); m (D6) ---- π x Tedy m x dx= 1 0 π m. Když známe moment setvačnosti válce, můžeme ho využít k výpočtu momentu setvačnosti koule. Představme si, že koule je složena z tenkých plátků (jako když kájíme salám) o tloušťce dx. Každý plátek je malý válec π o poloměu y= x y a výšce dx. Jeho hmotnost je dm = 4 π dx a moment 3 3 setvačnosti dj = 3 y 8 3 y dx. Integací těchto příspěvků získáme výsledek Jak získat, nainstalovat a spustit Maximu Na domovské stánce systému počítačové algeby Maxima jsou v sekci Download k dispozici instalační balíčky jak po Windows, tak po Linux. Instalaci jsem vyzkoušel pod Windows 000, Windows XP Home a pod Mandake Linuxem 10.1 a ve všech případech poběhla naposto bezpoblémově. V systému Windows se pogam objeví v nabídce [START] a, pokud to během instalace neodmítneme, také jako ikona na ploše. Dialog se spouští v okně, kteé je ozděleno do dvou nad sebou umístěných oblastí. V Linuxu je možné pogam spustit také v gafickém ežimu. Např. v mém Mandake - postředí KDE zvolím [ ] > Další aplikace > Věda > Matematika > Maxima. Pod Linuxem můžeme pogam spustit také v textové konzole příkazem maxima. Nejpve se přepneme do textové konzole nebo spustíme teminálové okno v gafickém postředí a za výzvu systému zapíšeme do příkazové řádky maxima. Objeví se úvodní hlášení pogamu, kteé končí řádky: Distibuted unde the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memoy of William Schelte. This is a development vesion of Maxima. The function bug_epot() povides bug epoting infomation. (C1) Poslední řádek (C1) je už výzva Maximy k zadání příkazu. Maxima se tedy ovládá z příkazového řádku a to i když pacujeme v gafickém postředí. Hlavní výhodou gafického postředí je, že ve spodní části okna máme k dipozici stučnou nápovědu. Ovládání je naposto analogické 1 pod oběma opeačními systémy, takže je v tomto textu nebudeme nijak odlišovat. Pvní koky - příkazy Maximy Každý příkaz musí končit středníkem, jinak se nepovede! Reakce na spávné zadání (C1) 1+1; (D1) Na chybné zadání bez středníku (C1) 1+1 Maxima nezaeaguje. Pokud na středník zapomenete, můžete ho doplnit na dalším řádku. Po doplnění středníku se příkaz povede. Vyzkoušejte příkazy po všechny základní aitmetické opeace: (C) 9-6/3; (C4) sqt(11); (D) 7 (D4) 11 (C3) 5^3-5*5; (C5) 5!+4!; (D3) 100 (D5) Podle veze Maximy může být ůzné označování výzvy systému - vstup (C1), (%i1) a jeho odpovědí - (D1), (%o1), kde číslo 1,, 3,... je pořadové číslo zadaného příkazu. Po umocňování používáme symbol stříška ^, ale je možné používat také dvě hvězdičky **. Při násobení nesmíme vynechat symbol hvězdička *

4 Maxima počítá přesně se zlomky a výsledek zobazuje v základním tvau ve třech řádcích: (C6) 1/5+1/6; 11 (D6) 30 Zadáme-li algebaický výaz tak se nejpve jenom opíše, např.: (C7) (x+5)^3; 3 (D7) (x + 5) Jestliže chceme výaz oznásobit, použijeme příkaz expand(výaz);, pokud chceme oznásobit nebo jinak použít naposledy zadaný výaz, není třeba ho znovu vypisovat 3, stačí použít znak pocent (%): (C8) expand(%); 3 (D8) x + 15x + 75x + 15 Jiná je situace u následujícího lomeného výazu, kteý nepomůže expandovat. Po zkácení musíme použít příkaz adcan(výaz);: (C9) (a^-b^)/(a+b); a - b (D9) (C10) expand(%); a + b a b (D10) + a + b a + b (C11) adcan(%); (D11) a - b (C1) expand((a-*b)^3); 3 3 (D1) a - 6 a b + 1 a b - 8 b Ludolfovo číslo, Euleovo číslo a numeické výpočty Maxima umí pacovat s iacionálními čísly jako je Ludolfovo číslo π, nebo základ přiozených logaitmů e. Používá po ně znaky %pi a %e. Zadáme-li je do výpočtu, výsledek může být zobazen opět pomocí těchto zástupných znaků. Jestliže chceme výsledek zobazit numeicky (pomocí desetinného čísla), musíme za výaz napsat čáku a slovo nume;. Vyzkoušejte: (C13) %e; (D13) %E (C14) %e, nume; (D14) Pokud se chceme vátit nikoliv k naposled zadanému výazu, ale k výazu zadanému dříve, dáme do závoek místo znaku pocent označení řádku s výazem např. expand(c7); Jiný způsob zadání matice je pomocí příkazu matix, jehož agumentem je seznam řádků matice (každý řádek jako vekto v hanatých závokách): (C5) C: matix([1,,3],[1,-1,1],[5,1,-]); [ 1 3 ] (D5) [ ] [ ] (C6) X: matix([x],[y],[z])$ (C7) C.X; [ x + y + 3 z ] (D7) [ x y + z ] [ 5 x + y x ] V tuto chvíli už vidíme levé stany soustavy ovnic, kteou můžeme v maticovém tvau zapsat jako C.X = P. Přidáme-li matici P pavých stan a můžeme řešit: (C8) P: matix([-1],[6],[5])$ (C9) invet(c); [ ] [ ] [ ] [ 7 17 ] (D9) [ ] [ ] [ 3 1 ] [ ] [ ] (C10) invet(c).p; [ ] (D10) [ - 3 ] [ 1 ] Soustava ovnic má tedy řešení x =, y = -3, z = 1. Všimněme si znaku $ dola, kteý je uveden na konci někteých příkazů místo středníku a kteý potlačí vypsání odpovědi systémem Maxima. Tím jsme ušetřili několik řádků textu. Na závě exkuze do vyšší algeby deteminant matice C a matice tansponovaná k matici C. (C11) deteminant(c); (D11) 33 (C1) tanspose(c); [ ] (D1) [ ] [ ]

5 Matice a opeace s nimi Maxima ovládá velké spektum maticových opeací. Ukážeme si pouze část, kteou můžeme využít i na středoškolské úovni výuky. Vložit pvky matice můžeme inteaktivně pomocí funkce entematix. Vložíme dvě matice A a B a vypočteme součiny matic A.B a B.A: (C1) A: entematix(,3); Row 1 Column 1: 1; Row 1 Column : ; Row 1 Column 3: 3; Row Column 1: -1; Row Column : 0; Row Column 3: 1; Matix enteed. [ 1 3 ] (D1) [ ] (C) B: entematix(3,); Row 1 Column 1: 1; Row 1 Column : ; Row Column 1: 3; Row Column : 4; Row 3 Column 1: 5; Row 3 Column : 6; Matix enteed. [ 1 ] (D) [ 3 4 ] [ 5 6 ] (C3) A.B; [ 8 ] (D3) [ 4 4 ] (C4) B.A; [ -1 5 ] (D4) [ ] [ ] Podle definice maticového součinu snadno ověříme, že skutečně platí [ ] [ = 5 6] [ 4 4] Podobně můžeme ověřit i výsledek duhého násobení matic B.A. Pokud po zadávání matice zvolíme stejný počet řádků i sloupců (čtvecová matice), Maxima se zeptá, zda chceme zadávat diagonální, symetickou, antisymetickou, nebo obecnou matici A = [ ] B = [ ] (C15) *%pi; (D15) %PI (C16) %, nume; (D16) Učitě jste si všimli, že numeické výsledky jsou uvedeny na 15 desetinných míst, ve skutečnosti ovšem na 16 platných číslic: (C17) *%PI, nume; (D17) Se stejnou přesností, ale v semilogaitmickém tvau vací výsledky výpočtů funkce bfloat(výaz); Přesnost této funkce můžeme změnit 4 pomocí nastavení globální poměnné fppec. Nejpve ověříme, že default hodnota je 16, potom ji změníme na 333 a nakonec si dáme vypsat π na 33 desetinných míst: (C18) fppec; (D18) 16 (C19) fppec: 333; (D19) 333 (C0) bfloat(%pi); (D0) # # # # # B0 Písmeno B odděluje exponent u desítky (zde kát deset na nultou ). Podobně jako s π nebo e počítá maxima s odmocninami. Částečně odmocní co lze, o numeické vyjádření musíme požádat (vyzkoušejte): C(1) sqt(75); 75 = 5 3 D(1) 5 SQRT(3) Řešení ovnic a soustav ovnic Řešení ovnice vyvoláme pomocí příkazu solve(ovnice);. Pokud je ovnice v anulovaném tvau (pavá stana je 0), stačí do závoky zapsat výaz představující levou stanu ovnice: (C1) 1/*x+5=1/3*x+7; x x (D1) + 5 = (C) solve(%); (D) [x = 1] (C3) solve(5*x+0); (D3) [x = -4] Pokud chceme řešit soustavu ovnic, je nejpřehlednější zadat každou ovnici zvlášť a potom zadat příkaz k vyřešení soustavy tak, že odkazy na jednotlivé ovnice 4 Na ozdíl od přesnosti výsledku zobazeného příkazem nume;,kteou změnit nelze

6 uspořádáme do vektou (tj. umístíme do hanatých závoek a oddělíme čákami): (C4) x-*y+z=1; (D4) x y + z = 1 (C5) -x+3*y+*z=0; (D5) - x + 3 y + z = 0 (C6) *x-y+5*z=5; (D6) x y + 5 z = 5 (C7) solve([c4,c5,c6]); (D7) [[x = 3, y = 1, z = 0]] Příkaz solve má ve skutečnosti dva paamety. Pvním z nich je ovnice, případně vekto s jednotlivými ovnicemi soustavy, duhým je neznámá, případně vekto s jednotlivými neznámými. Pokud je počet ovnic a neznámých shodný, můžeme duhý paamet vynechat. U ovnic s paametem musíme duhý paamet zadat: (C8) t*x^+t^*x+t=0; (D8) t x + t x + t = 0 (C9) solve(c8,x); SQRT(t -4) + t SQRT(t -4) - t (D9) [x = -, x = ] Všimněte si, že Maxima má ve zvyku občas řadit části výsledku jinak, než jsme zvyklí. To se vám možná stalo u soustavy ovnic, kde se nejpve zobazil kořen z a až nakonec x. V případě ovnice C8 bychom množinu řešení zapsali ve tvau { t t 4, t t 4 } navíc za nás Maxima ozhodně nepovede diskuzi 5 závislosti počtu řešení na hodnotě paametu t. Definování funkcí a standadní funkce v Maximě Velmi jednoduše můžeme definovat libovolnou polynomickou funkci. Ukažme si to na příkladech kvadatické funkce a kubické funkce: (C10) f(x):=x^-6*x+8; (D10) f(x) := x - 6 x + 8 (C11) f(1); (D11) 3 (C1) f(); (D1) 0 (C13) f(3); (D13) - 1 (C14) f(4); (D14) 0 Komplexní čísla Maxima umí pacovat s komplexními čísly. Imaginání jednotku značíme %i. Potom algebaický tva komplexního čísla je x + y*%i. Pomocí opeátou dvojtečka můžeme komplexní čísla pojmenovat jedním písmenem a pak s nimi povádět běžné algebaické opeace: (C1) a:+%i; (D1) %i + (C) b:1-*%i; (D) 1 - %i (C3) a+b; (D3) 3 - %i (C4) a-b; (D4) 3 %i + 1 (C5) a*b; (D5) (1 - %i) (%i + ) (C6) adcan(%); (D6) 4-3 %i Dělení se ovšem nepovede, ale pouze naznačí (vyzkoušejte). Komě běžných opeátoů máme k dispozici funkce po výpočet absolutní hodnoty abs(z);, po převod do poláního exponenciálního tvau polafom(z);, zjištění velikosti směového úhlu ϕ cag(z);, do goniometického tvau demoive(z); a zpět do algebaického tvau ectfom(z);: (C7) abs(a); (D7) sqt(5) (C8) abs(a*b); (D8) 5 (C9) polafom(b); - %i atan() (D9) sqt(5) %e (C10) demoive(%); 1 %i (D10) sqt(5) ( - ) sqt(5) sqt(5) Při řešení ovnic Maxima automaticky počítá i komplexní kořeny (i když koeficienty ovnice jsou eálná čísla): (C11) 5*x^+6*x+5; (D11) 5 x + 6 x + 5 (C1) solve(%); 4 %i %i - 3 (D1) [x = -, x = ] Viz příklad 7 v učebnici Chavát, J. - Zhouf, J. - Boček, L. Matematika po gymnázia - Rovnice a neovnice. Dotisk 3. vydání. Pometheus Paha 004. ISBN X

7 (C1) cos(*x)/(sin(x)+cos(x)); cos( x) (D1) sin(x) + cos(x) (C13) tigexpand(%); cos (x) - sin (x) (D13) sin(x) + cos(x) (C14) tigsimp(%); (D14) cos(x) - sin(x) cosx sin x cos x = cos xsin x sin x cos x = cos xsin x cos x sin x cos x sin x = cos xsin x Velmi opatní musíme být při řešení goniometických ovnic. Maxima může někteé kořeny vynechat - sama na to upozoňuje, peiodicitu řešení nevyznačuje a někteé ovnice odmítá řešit úplně: (C15) (5+sin(t))/(1-sin(t))=3; sin(t) + 5 (D15) = sin(t) (C16) solve(%); 'solve' is using ac-tig functions to get a solution. Some solutions will be lost. %pi (D16) [t = - ] 6 Ve skutečnosti množina všech řešení P = { 7 6 } { π k π, k Z 11 6 } π k π,k Z (C17) sin(t)+sqt(3)*cos(t)=1; (D17) sin(t) + sqt(3) cos(t) = 1 (C18) solve(%); (D18) [sin(t) = 1 - sqt(3) cos(t)] Potože tuto ovnici Maxima místo řešení pouze upavila, zkusíme ji vyřešit alespoň gaficky. Úpavu v řádku D18 využijeme a zobazíme zvlášť levou a pavou stanu: (C19) plotd([sin(t),1-sqt(3)*cos(t)],[t,0,*%pi]); Z gafu vidíme, že v intevalu <0; π) mají gafy dva půsečíky, tedy ovnice má v tomto intevalu dvě řešení. Použijeme-li záměný kříž (tedy kuzo myši) k odečtení souřadnic půsečíků a povšimneme-li si hodnot x souřadnic vidíme množinu všech řešení P = { π k π, k Z } { 11 6 π k π, k Z } (C15) f(5); (D15) 5 (C16) g(x):=x^3-8; 3 (D16) g(x) := x - 8 (C17) g(1); (D17) - 7 (C18) g(); (D18) 0 Maxima samozřejmě zná všechny běžné matematické funkce, kteé můžeme použít jak samostatně, tak jako součást definice složitějších funkcí: (C19) sin(%pi/6); 1 (D19) (C0) cos(%pi/6); SQRT(3) (D0) (C1) exp(); (D1) %E (C) log(%e); (D) 1 (C3) log(x):=log(x)/log(); LOG(x) (D3) log(x) := LOG() (C4) log(8); (D4) 3.0 Zobazování gafů funkcí příkaz plotd Pavděpodobně nejužitečnější funkcí CAS 6 Maxima po nasazení v běžné vyučovací hodině matematiky je zobazení gafu funkce na zadaném intevalu <a, b>. Používáme k němu příkaz plotd(funkce,[poměnná,od,do]);. Pokud chceme zobazit více funkcí najednou zapíšeme je do hanatých závoek, oddělené čákami, jako vekto. Jestliže pacujete pod Linuxem, spusťte si nyní Maximu v textové konzole příkazem maxima. Tím získáte všechny výhody páce v příkazovém řádku. Např. se můžete pomocí kuzoových šipek vacet k dříve zadaným příkazům a editovat je. Gafy funkcí se budou zobazovat v samostatných gafických oknech, kteá si můžete podle libosti uspořádat na ploše monitou, a páce v konzole je tak přehlednější než páce v gafickém ežimu. Maximu ukončíte příkazem quit();. 6 CAS compute algeba systém systém počítačové algeby - 7 -

8 Pokud budete chtít samostatná okna gafů v gafickém postředí Linuxu či Windows, stačí zvolit možnost Sepaate v nabídce Options > Plot Windows. (C1) plotd(sin(x),[x,0,*%pi]); (D1) 0 (C4) plot3d(x^-y^,[x,-5,5],[y,-5,5]); (D4) 0 (C5) plot3d(sin(x)-cos(y),[x,-5,5],[y,-5,5]); (D5) 0 Pokud pacujeme v textové konzole, zobazí se nám každý gaf samostatně v novém gafickém okně. Obázek okna pak snadno získáme a uložíme pomocí pogamu KSnapshot. Obázek pak můžeme vložit do svého matematického textu. Vkládaní vzoců pomocí editou OpenOffice.og Math se naučíme příště. (C) plotd([sin(x),sin(x+%pi/),sin(x)+1],[x,0,*%pi]); (D) 0 (C3) plotd([x^,x^-5*x,x^-6,x^-5*x-6],[x,-5,7]); (D3) 0 Gafy funkcí dvou poměnných příkaz plot3d Pokud nemáme k dispozici vhodný počítačový nástoj, pak ve školské matematice zpavidla postoové gafy funkcí dvou poměnných nezobazujeme. Máme-li ovšem k dispozici Maximu, je zobazení 3D gafů dílem okamžiku: Goniometie a tigonometie Po úpavy goniometických výazů se používají funkce tigeduce(výaz); tigexpand(výaz); a tigsimp(výaz);. Ukažme si to na příkladech: (C6) *sin(x)*cos(x); (D6) cos(x) sin(x) (C7) tigeduce(%); (D7) sin( x) (C8) cos(*x); (D8) cos( x) (C9) tigexpand(%); (D9) cos (x) - sin (x) Někteé složitější goniometické výazy se zjednoduší, když je nejpve ozložíme, tj. expandujeme. Ukažme si to opět na příkladech: (C10) sin(%pi/6+x)+sin(%pi/6-x); %pi %pi (D10) sin(x + ) - sin(x - ) 6 6 (C11) tigexpand(%); (D11) cos(x) sin π 6 x sin π 6 x = sin π 6 cos x sin x cos π 6 sin π 6 cos xsin xcos π 6 = sin π 6 cos x - 9 -

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho

Více

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény

Více

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

3.2.8 Oblouková míra. Předpoklady:

3.2.8 Oblouková míra. Předpoklady: 3..8 Oblouková mía Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina zabee přibližně jednu a půl vyučovací hodiny. Na 45 minut je možné hodinu zkátit buď vynecháním někteých převodů na konci (vzhledem k tomu,

Více

Modely produkčních systémů. Plánování výroby. seminární práce. Autor: Jakub Mertl. Xname: xmerj08. Datum: ZS 07/08

Modely produkčních systémů. Plánování výroby. seminární práce. Autor: Jakub Mertl. Xname: xmerj08. Datum: ZS 07/08 Modely podukčních systémů Plánování výoby seminání páce Auto: Jakub Metl Xname: xmej08 Datum: ZS 07/08 Obsah Obsah... Úvod... 3 1. Výobní linky... 4 1.1. Výobní místo 1... 4 1.. Výobní místo... 5 1.3.

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace MS OFFICE Může se zdát, že užití kancelářského balíku MS Office při výuce fyziky nepřesahuje běžné aplikace a standardní funkce, jak jsou popsány v mnoha příručkách ke všem jednotlivým částem tohoto balíku.

Více

5. Světlo jako elektromagnetické vlnění

5. Světlo jako elektromagnetické vlnění Tivium z optiky 9 5 Světlo jako elektomagnetické vlnění Ve třetí kapitole jsme se dozvěděli že na světlo můžeme nahlížet jako na elektomagnetické vlnění Dříve než tak učiníme si ale musíme alespoň v základech

Více

1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I

1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I 1.3.8 Rovnoměně zychlený pohyb po kužnici I Předpoklady: 137 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb existují analogické veličiny popisující pohyb po kužnici: ovnoměný pohyb pojítko ovnoměný pohyb

Více

Základní vzorce a funkce v tabulkovém procesoru

Základní vzorce a funkce v tabulkovém procesoru Základní vzorce a funkce v tabulkovém procesoru Na tabulkovém programu je asi nejzajímavější práce se vzorci a funkcemi. Když jednou nastavíte, jak se mají dané údaje zpracovávat (některé buňky sečíst,

Více

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Vibrace vícečásticových soustav v harmonické aproximaci. ( r)

Vibrace vícečásticových soustav v harmonické aproximaci. ( r) Paktikum z počítačového modelování ve fyzice a chemii Úloha č. 5 Vibace vícečásticových soustav v hamonické apoximaci Úkol Po zadané potenciály nalezněte vibační fekvence soustavy několika částic diagonalizací

Více

21. ročník, úloha II. 3... víno teče proudem (4 body; průměr 2,08; řešilo 38 studentů)

21. ročník, úloha II. 3... víno teče proudem (4 body; průměr 2,08; řešilo 38 studentů) 1 očník, úloha II 3 víno teče poudem (4 body; půmě,8; řešilo 38 studentů) Vinaři a řidiči kamionu dobře znají šikovné přelévání kapalin z těžkých nádob Vinař Ignác chce stočit víno z jednoho demižonu do

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE. FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE. FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu EKONOMIKA V ZEMĚMĚŘICTVÍ A KATASTRU číslo úlohy 1. název úlohy NEMOVITOSTÍ Analýza

Více

Mgr. et Mgr. Jan Petrov, LL.M. Ph.D. BYZNYS A PRÁVO

Mgr. et Mgr. Jan Petrov, LL.M. Ph.D. BYZNYS A PRÁVO BYZNYS A PRÁVO Byznys a právo OBSAH ZÁKLADNÍ FUNKCE EXCELU... 2 FUNKCE ODMOCNINA A ZAOKROULIT... 4 FORMÁT A OBSAH BUNĚK... 5 RELATIVNÍ ODKAZY... 9 ABSOLUTNÍ ODKAZY... 11 Byznys a právo ZÁKLADNÍ FUNKCE

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6. Příklad 1: Pacovní látkou v poovnávacím smíšeném oběhu spalovacího motou je vzduch o hmotnosti 1 [kg]. Počáteční tlak je 0,981.10 5 [Pa] při teplotě 30 [ C]. Kompesní pomě je 7, stupeň zvýšení tlaku 2

Více

Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Petr Beremlijski, Marie Sadowská Počítačová cvičení Pet Beemlijski, Maie Sadowská Kateda aplikované matematik Fakulta elektotechnik a infomatik VŠB - Technická univezita Ostava Cvičení 1 - Matlab - nástoj po matematické modelování Abchom

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační

Více

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC aneb matematikem bez nesnází Jednoduché matematické, fyzikální či chemické vzorce a rovnice můžeme zapsat poměrně snadno za pomoci znaků na klávesnici a použitím horního nebo dolního

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Systém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných

Systém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných Systém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných jakési nádoby na hodnoty jsou různých typů při běžné

Více

Seminární práce z fyziky

Seminární práce z fyziky Seminání páce z fyziky školní ok 005/006 Jakub Dundálek 3.A Jiáskovo gymnázium v Náchodě Přeměny mechanické enegie Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné houpačce Název: Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

8. Posloupnosti, vektory a matice

8. Posloupnosti, vektory a matice . jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

Geonext Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 1

Geonext Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 1 Tak vznikl třídílný cyklus seminářů s názvem Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky a tři stejnojmenné brožurky s jednoduchým popisem ovládání a možností využití jednotlivých programů: OSS ve

Více

Microsoft Office. Excel ověření dat

Microsoft Office. Excel ověření dat Microsoft Office Excel ověření dat Karel Dvořák 2011 Ověření dat Při zadávání dat přímo z klávesnice je poměrně vysoké procento chybovosti, ať už jde o překlepy nebo zadání dat mimo předpokládaný rozsah.

Více

4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal

4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, 15. 9. 25 Faktály ve fyzice Oldřich Zmeškal Ústav fyzikální a spotřební chemie, Fakulta chemická, Vysoké učení technické, Pukyňova 118, 612 Bno, Česká epublika

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

ODKAZY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

ODKAZY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika ODKAZY Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového procesoru,

Více

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná.

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná. Průběžná klasifikace Nová verze modulu Klasifikace žáků přináší novinky především v práci s průběžnou klasifikací. Pro zadání průběžné klasifikace ve třídě doposud existovaly 3 funkce Průběžná klasifikace,

Více

6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot

6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot 6 Pokyny ke zpacování naměřených hodnot Při numeických výpočtech nesmíme zapomínat, že naměřené hodnoty veličin jsou pouze přibližná, neúplná čísla. Platné cify (číslice) daného čísla jsou všechny od pvní

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

( + ) t NPV 10000 + + = NPV

( + ) t NPV 10000 + + = NPV Základní pojmy Finanční management Základní pojmy ozhodování a nejčastější omyly ovlivnitelné a neovlivnitelné položky elevantní náklad stálé a poměnné náklady půměné náklady maginální náklady Příklad

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

František Hudek. květen ročník

František Hudek. květen ročník VY_32_INOVACE_FH15_WIN Jméno autora výukového materiálu Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace František Hudek květen 2013

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice Ing. Lenka Šroubová, Ph.D. email: lsroubov@kte.zcu.cz http://home.zcu.cz/~lsroubov 3. 10. 2012 Základy práce s výpočetními systémy opakování a pokračování

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Součást Newtonovské klasická mechanika (v

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech

Více

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami Laboatoř anoganické technologie Rozklad příodních suovin mineálními kyselinami Rozpouštění příodních mateiálů v důsledku pobíhající chemické eakce patří mezi základní technologické opeace řady půmyslových

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu / Druh CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT

Více

Úvod do programu MAXIMA

Úvod do programu MAXIMA Jedná se o rozpracovaný návod k programu wxmaxima pro naprosté začátečníky. Návod lze libovolně kopírovat a používat ke komerčním i osobním účelům. Momentálně chybí mnoho důležitých kapitol které budou

Více

THEOPHILOS. (návod k použití)

THEOPHILOS. (návod k použití) THEOPHILOS (návod k použití) Nejprve si z internetových stránek www.theophilos.com (nebo www.theophilos.sk) stáhněte všechny soubory, které Vás zajímají a nainstalujte je (podrobný návod na instalaci programu

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Excel 2007 praktická práce

Excel 2007 praktická práce Excel 2007 praktická práce 1 Excel OP LZZ Tento kurz je financován prostřednictvím výzvy č. 40 Operačního programu Lidské zdroje a zaměstnanost z prostředků Evropského sociálního fondu. 2 Excel Cíl kurzu

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

KAPITOLA 4 ZPRACOVÁNÍ TEXTU

KAPITOLA 4 ZPRACOVÁNÍ TEXTU KAPITOLA 4 ZPRACOVÁNÍ TEXTU TABULÁTORY Jsou to značky (zarážky), ke kterým se zarovná text. Můžeme je nastavit kliknutím na pravítku nebo v dialogovém okně, které vyvoláme kliknutím na tlačítko Tabulátory

Více

Kapitola 11: Formuláře 151

Kapitola 11: Formuláře 151 Kapitola 11: Formuláře 151 Formulář DEM-11-01 11. Formuláře Formuláře jsou speciálním typem dokumentu Wordu, který umožňuje zadávat ve Wordu data, která lze snadno načíst například do databázového systému

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Platí Coulombův zákon? Pole nabité koule.

Platí Coulombův zákon? Pole nabité koule. Platí Coulombův zákon? Pole nabité koule. Návody na pokusy Tato sada pokusů je ozdělena do tří samostatných expeimentálních částí: 1. Poměřování Coulombova zákona 2. Intenzita elektického pole v okolí

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Trivium z optiky Vlnění

Trivium z optiky Vlnění Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 19. září 2011 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Doporučená literatura web: http://marian.fsik.cvut.cz/zapg

Více

Vzorce. Suma. Tvorba vzorce napsáním. Tvorba vzorců průvodcem

Vzorce. Suma. Tvorba vzorce napsáním. Tvorba vzorců průvodcem Vzorce Vzorce v Excelu lze zadávat dvěma způsoby. Buď známe přesný zápis vzorce a přímo ho do buňky napíšeme, nebo použijeme takzvaného průvodce při tvorbě vzorce (zejména u složitějších funkcí). Tvorba

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN + = KALKULÁTORY 2014 201 C π EXP LOCAL SIN MU GT ŠKOLNÍ A VĚDECKÉ KALKULÁTORY 104 103 102 Hmotnost: 100 g 401 279 244 EXPONENT EXPONENT EXPONENT 142 mm 170 mm 1 mm 7 mm 0 mm 4 mm Výpočty zlomků Variace,

Více

Beton 3D Výuková příručka Fine s. r. o. 2010

Beton 3D Výuková příručka Fine s. r. o. 2010 Zadání Cílem tohoto příkladu je navrhnout a posoudit výztuž šestiúhelníkového železobetonového sloupu (výška průřezu 20 cm) o výšce 2 m namáhaného normálovou silou 400 kn, momentem My=2,33 knm a momentem

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Moment síly, spojité zatížení

Moment síly, spojité zatížení oment síly, spojité zatížení Pet Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI akulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií Tento mateiál vznikl v ámci pojektu ES CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků

Více

Repetitorium matematiky (soubor testů) KMA/P113

Repetitorium matematiky (soubor testů) KMA/P113 Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Repetitorium matematiky (soubor testů) KMA/P Lenka Součková Ústí nad Labem 0 Obor: Klíčová slova: Anotace: Fyzika (dvouoborové studium),

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Funkce kvadratická funkce Mirek Kubera žák načrtne grafy požadovaných funkcí, formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí, modeluje závislosti

Více

4. Jednoduché výpočty

4. Jednoduché výpočty 7 4. Jednoduché výpočty 4. Mathcad jako lepší kalkulačka Nejprve se budeme zabývat výrazy složenými z čísel. Při psaní čísel, základních matematických operátorů a funkcí je asi nejrychlejší používat sadu

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘIN MGNETIZMUS III Elektický potenciál Obsah 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL 31 POTENCIÁL POTENCIÁLNÍ ENERGIE 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL V HOMOGENNÍM POLI 4 33 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL ZPŮSOENÝ ODOVÝMI NÁOJI 5 331

Více