Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2"

Transkript

1 Uvedené pogamy kolegy velmi zaujaly. Všichni by je ádi ve výuce alespoň občas používali, ale poblém pávem viděli ve finanční náočnosti licencování uvedeného softwae jak po školu, tak po žáky (pokud by měli s pomocí počítače vypacovávat domácí úkoly). Potože jsem příznivcem opeačního systému Linux a Open Souce Softwae, ozhodl jsem se vytipovat pogamy podobného zaměření, jejichž licence je po školu i žáky zdama, a připavit semináře učené učené učitelům matematiky a fyziky, kteří chtějí učit své předměty modeně a dát svým žákům k dispozici výkonné nástoje k ozvíjení matematických představ a řešení náočnějších fyzikálních a technických poblémů. Tak vznikl třídílný cyklus seminářů s názvem Open Souce Softwae ve výuce matematiky a fyziky a tři stejnojmenné božuky s jednoduchým popisem ovládání a možností využití jednotlivých pogamů: OSS ve výuce matematiky a fyziky 1 Inteaktivní geometický náčtník Geonext OSS ve výuce matematiky a fyziky Systém počítačové algeby Maxima OSS ve výuce matematiky a fyziky 3 Tabulkový poceso OpenOffice.og Calc a edito vzoců OpenOffice.og Math Maxima Open Souce Softwae ve výuce matematiky a fyziky - Mg. Michal Musílek říjen

2 (C7) y(x):=sqt(^-x^)$ (C8) integate(3/8*y(x)^4*m/^3,x,-,); m (D8) y Tedy J = y dx = x dx = m. Všimněte si, že jsme při výpočtu pomocí Maximy vhodně využili substituci a tím zjednodušili zadání vlastního příkazu po integaci. V případě neučitého integálu Maxima nezobazuje integační konstantu. Musíme si ji pohlídat sami. Zkusme integovat vztah po ychlost ovnoměně zychleného pohybu. (C9) v(t):=a*t+v0; (D9) v(t) := a t + v0 (C10) integate(v(t),t); a t (D10) t v Pokud místo příkazu integate použijeme 'integate s apostofem, bude se integál místo výpočtu zobazovat. (C11) integate(v(t),t); / [ (D11) I (v0 + a t) dt ] / Závěem Ukázali jsme si jen malou část příkazů a možností systému počítačové algeby Maxima. Jednak poto, že čas vyhazený po seminář je kátký, jednak poto, že metody a z nich plynoucí příkazy dalece přesahují učivo středoškolské matematiky. Poč jsem napsal tento text V uplynulých třech letech jsem jako cetifikovaný lekto volitelného modulu ICT ve výuce matematiky školení SIPVZ 7 úovně P 8 seznámil více než šedesát učitelů matematiky základních a středních škol s obsluhou a využitím softwae po podpou výuky matematiky, konkétně s pogamy Cabi Geometie II Plus, Deive 6, Excel a Imagine Logo. 7 SIPVZ státní infomační politika ve vzdělávání. 8 Úoveň P (poučený uživatel) dosáhne pedagogický pacovník, kteý absolvuje povinný úvodní modul a dva volitelné moduly z nabídky speciálně infomatických a předmětových modulů

3 Deivace a totální difeenciál K výpočtu deivace i totálního difeenciálu dané funkce slouží příkaz diff, kteý může mít ůzný počet paametů. Ukážeme si to na příkladu z kinematiky. Po dáhu ovnoměně zychleného pohybu v závislosti na čase platí s(t) = ½ vt + v 0t + s 0. Deivováním tohoto vztahu podle času získáme nejpve vztah po ychlost a potom po zychlení. C(1) s(t):=1/*a*t^+v0*t+s0; 1 D(1) s(t) := - a t + v0 t + s0 C() diff(s(t),t); pvní deivace D() a t + v0 C(3) diff(s(t),t,); duhá deivace D(3) a Po totální difeenciál použijeme příklad z dynamiky. Hybnost je definována jako součin hmotnosti a ychlosti tělesa. Obě se obecně mohou měnit. C(4) p(m,v):=m*v; D(4) p(m, v) := m v C(5) diff(p(m,v)); D(5) m del(v) + v del(m) Neboli d p = md v v dm, tedy k změně hybnosti tělesa dojde buď změnou jeho ychlosti nebo jeho hmotnosti. Integály K výpočtům integálů slouží příkaz integate(exp,x); po neučitý nebo integate(exp,x,a,b); po učitý integál. Ukažme si výpočet momentu setvačnosti válce a koule užitím učitých integálů. Představme si, že válec je složen z tenkých pstenců o tloušťce dx, hmotnost každého je md = πx. dx / π a polomě je x. Tento polomě se mění od nuly do a výsledný moment setvačnosti zjistíme integací momentů setvačnosti těchto tenkých pstenců: (C6) integate(*pi*x/(pi*^)*m*x^,x,0,); m (D6) ---- π x Tedy m x dx= 1 0 π m. Když známe moment setvačnosti válce, můžeme ho využít k výpočtu momentu setvačnosti koule. Představme si, že koule je složena z tenkých plátků (jako když kájíme salám) o tloušťce dx. Každý plátek je malý válec π o poloměu y= x y a výšce dx. Jeho hmotnost je dm = 4 π dx a moment 3 3 setvačnosti dj = 3 y 8 3 y dx. Integací těchto příspěvků získáme výsledek Jak získat, nainstalovat a spustit Maximu Na domovské stánce systému počítačové algeby Maxima jsou v sekci Download k dispozici instalační balíčky jak po Windows, tak po Linux. Instalaci jsem vyzkoušel pod Windows 000, Windows XP Home a pod Mandake Linuxem 10.1 a ve všech případech poběhla naposto bezpoblémově. V systému Windows se pogam objeví v nabídce [START] a, pokud to během instalace neodmítneme, také jako ikona na ploše. Dialog se spouští v okně, kteé je ozděleno do dvou nad sebou umístěných oblastí. V Linuxu je možné pogam spustit také v gafickém ežimu. Např. v mém Mandake - postředí KDE zvolím [ ] > Další aplikace > Věda > Matematika > Maxima. Pod Linuxem můžeme pogam spustit také v textové konzole příkazem maxima. Nejpve se přepneme do textové konzole nebo spustíme teminálové okno v gafickém postředí a za výzvu systému zapíšeme do příkazové řádky maxima. Objeví se úvodní hlášení pogamu, kteé končí řádky: Distibuted unde the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memoy of William Schelte. This is a development vesion of Maxima. The function bug_epot() povides bug epoting infomation. (C1) Poslední řádek (C1) je už výzva Maximy k zadání příkazu. Maxima se tedy ovládá z příkazového řádku a to i když pacujeme v gafickém postředí. Hlavní výhodou gafického postředí je, že ve spodní části okna máme k dipozici stučnou nápovědu. Ovládání je naposto analogické 1 pod oběma opeačními systémy, takže je v tomto textu nebudeme nijak odlišovat. Pvní koky - příkazy Maximy Každý příkaz musí končit středníkem, jinak se nepovede! Reakce na spávné zadání (C1) 1+1; (D1) Na chybné zadání bez středníku (C1) 1+1 Maxima nezaeaguje. Pokud na středník zapomenete, můžete ho doplnit na dalším řádku. Po doplnění středníku se příkaz povede. Vyzkoušejte příkazy po všechny základní aitmetické opeace: (C) 9-6/3; (C4) sqt(11); (D) 7 (D4) 11 (C3) 5^3-5*5; (C5) 5!+4!; (D3) 100 (D5) Podle veze Maximy může být ůzné označování výzvy systému - vstup (C1), (%i1) a jeho odpovědí - (D1), (%o1), kde číslo 1,, 3,... je pořadové číslo zadaného příkazu. Po umocňování používáme symbol stříška ^, ale je možné používat také dvě hvězdičky **. Při násobení nesmíme vynechat symbol hvězdička *

4 Maxima počítá přesně se zlomky a výsledek zobazuje v základním tvau ve třech řádcích: (C6) 1/5+1/6; 11 (D6) 30 Zadáme-li algebaický výaz tak se nejpve jenom opíše, např.: (C7) (x+5)^3; 3 (D7) (x + 5) Jestliže chceme výaz oznásobit, použijeme příkaz expand(výaz);, pokud chceme oznásobit nebo jinak použít naposledy zadaný výaz, není třeba ho znovu vypisovat 3, stačí použít znak pocent (%): (C8) expand(%); 3 (D8) x + 15x + 75x + 15 Jiná je situace u následujícího lomeného výazu, kteý nepomůže expandovat. Po zkácení musíme použít příkaz adcan(výaz);: (C9) (a^-b^)/(a+b); a - b (D9) (C10) expand(%); a + b a b (D10) + a + b a + b (C11) adcan(%); (D11) a - b (C1) expand((a-*b)^3); 3 3 (D1) a - 6 a b + 1 a b - 8 b Ludolfovo číslo, Euleovo číslo a numeické výpočty Maxima umí pacovat s iacionálními čísly jako je Ludolfovo číslo π, nebo základ přiozených logaitmů e. Používá po ně znaky %pi a %e. Zadáme-li je do výpočtu, výsledek může být zobazen opět pomocí těchto zástupných znaků. Jestliže chceme výsledek zobazit numeicky (pomocí desetinného čísla), musíme za výaz napsat čáku a slovo nume;. Vyzkoušejte: (C13) %e; (D13) %E (C14) %e, nume; (D14) Pokud se chceme vátit nikoliv k naposled zadanému výazu, ale k výazu zadanému dříve, dáme do závoek místo znaku pocent označení řádku s výazem např. expand(c7); Jiný způsob zadání matice je pomocí příkazu matix, jehož agumentem je seznam řádků matice (každý řádek jako vekto v hanatých závokách): (C5) C: matix([1,,3],[1,-1,1],[5,1,-]); [ 1 3 ] (D5) [ ] [ ] (C6) X: matix([x],[y],[z])$ (C7) C.X; [ x + y + 3 z ] (D7) [ x y + z ] [ 5 x + y x ] V tuto chvíli už vidíme levé stany soustavy ovnic, kteou můžeme v maticovém tvau zapsat jako C.X = P. Přidáme-li matici P pavých stan a můžeme řešit: (C8) P: matix([-1],[6],[5])$ (C9) invet(c); [ ] [ ] [ ] [ 7 17 ] (D9) [ ] [ ] [ 3 1 ] [ ] [ ] (C10) invet(c).p; [ ] (D10) [ - 3 ] [ 1 ] Soustava ovnic má tedy řešení x =, y = -3, z = 1. Všimněme si znaku $ dola, kteý je uveden na konci někteých příkazů místo středníku a kteý potlačí vypsání odpovědi systémem Maxima. Tím jsme ušetřili několik řádků textu. Na závě exkuze do vyšší algeby deteminant matice C a matice tansponovaná k matici C. (C11) deteminant(c); (D11) 33 (C1) tanspose(c); [ ] (D1) [ ] [ ]

5 Matice a opeace s nimi Maxima ovládá velké spektum maticových opeací. Ukážeme si pouze část, kteou můžeme využít i na středoškolské úovni výuky. Vložit pvky matice můžeme inteaktivně pomocí funkce entematix. Vložíme dvě matice A a B a vypočteme součiny matic A.B a B.A: (C1) A: entematix(,3); Row 1 Column 1: 1; Row 1 Column : ; Row 1 Column 3: 3; Row Column 1: -1; Row Column : 0; Row Column 3: 1; Matix enteed. [ 1 3 ] (D1) [ ] (C) B: entematix(3,); Row 1 Column 1: 1; Row 1 Column : ; Row Column 1: 3; Row Column : 4; Row 3 Column 1: 5; Row 3 Column : 6; Matix enteed. [ 1 ] (D) [ 3 4 ] [ 5 6 ] (C3) A.B; [ 8 ] (D3) [ 4 4 ] (C4) B.A; [ -1 5 ] (D4) [ ] [ ] Podle definice maticového součinu snadno ověříme, že skutečně platí [ ] [ = 5 6] [ 4 4] Podobně můžeme ověřit i výsledek duhého násobení matic B.A. Pokud po zadávání matice zvolíme stejný počet řádků i sloupců (čtvecová matice), Maxima se zeptá, zda chceme zadávat diagonální, symetickou, antisymetickou, nebo obecnou matici A = [ ] B = [ ] (C15) *%pi; (D15) %PI (C16) %, nume; (D16) Učitě jste si všimli, že numeické výsledky jsou uvedeny na 15 desetinných míst, ve skutečnosti ovšem na 16 platných číslic: (C17) *%PI, nume; (D17) Se stejnou přesností, ale v semilogaitmickém tvau vací výsledky výpočtů funkce bfloat(výaz); Přesnost této funkce můžeme změnit 4 pomocí nastavení globální poměnné fppec. Nejpve ověříme, že default hodnota je 16, potom ji změníme na 333 a nakonec si dáme vypsat π na 33 desetinných míst: (C18) fppec; (D18) 16 (C19) fppec: 333; (D19) 333 (C0) bfloat(%pi); (D0) # # # # # B0 Písmeno B odděluje exponent u desítky (zde kát deset na nultou ). Podobně jako s π nebo e počítá maxima s odmocninami. Částečně odmocní co lze, o numeické vyjádření musíme požádat (vyzkoušejte): C(1) sqt(75); 75 = 5 3 D(1) 5 SQRT(3) Řešení ovnic a soustav ovnic Řešení ovnice vyvoláme pomocí příkazu solve(ovnice);. Pokud je ovnice v anulovaném tvau (pavá stana je 0), stačí do závoky zapsat výaz představující levou stanu ovnice: (C1) 1/*x+5=1/3*x+7; x x (D1) + 5 = (C) solve(%); (D) [x = 1] (C3) solve(5*x+0); (D3) [x = -4] Pokud chceme řešit soustavu ovnic, je nejpřehlednější zadat každou ovnici zvlášť a potom zadat příkaz k vyřešení soustavy tak, že odkazy na jednotlivé ovnice 4 Na ozdíl od přesnosti výsledku zobazeného příkazem nume;,kteou změnit nelze

6 uspořádáme do vektou (tj. umístíme do hanatých závoek a oddělíme čákami): (C4) x-*y+z=1; (D4) x y + z = 1 (C5) -x+3*y+*z=0; (D5) - x + 3 y + z = 0 (C6) *x-y+5*z=5; (D6) x y + 5 z = 5 (C7) solve([c4,c5,c6]); (D7) [[x = 3, y = 1, z = 0]] Příkaz solve má ve skutečnosti dva paamety. Pvním z nich je ovnice, případně vekto s jednotlivými ovnicemi soustavy, duhým je neznámá, případně vekto s jednotlivými neznámými. Pokud je počet ovnic a neznámých shodný, můžeme duhý paamet vynechat. U ovnic s paametem musíme duhý paamet zadat: (C8) t*x^+t^*x+t=0; (D8) t x + t x + t = 0 (C9) solve(c8,x); SQRT(t -4) + t SQRT(t -4) - t (D9) [x = -, x = ] Všimněte si, že Maxima má ve zvyku občas řadit části výsledku jinak, než jsme zvyklí. To se vám možná stalo u soustavy ovnic, kde se nejpve zobazil kořen z a až nakonec x. V případě ovnice C8 bychom množinu řešení zapsali ve tvau { t t 4, t t 4 } navíc za nás Maxima ozhodně nepovede diskuzi 5 závislosti počtu řešení na hodnotě paametu t. Definování funkcí a standadní funkce v Maximě Velmi jednoduše můžeme definovat libovolnou polynomickou funkci. Ukažme si to na příkladech kvadatické funkce a kubické funkce: (C10) f(x):=x^-6*x+8; (D10) f(x) := x - 6 x + 8 (C11) f(1); (D11) 3 (C1) f(); (D1) 0 (C13) f(3); (D13) - 1 (C14) f(4); (D14) 0 Komplexní čísla Maxima umí pacovat s komplexními čísly. Imaginání jednotku značíme %i. Potom algebaický tva komplexního čísla je x + y*%i. Pomocí opeátou dvojtečka můžeme komplexní čísla pojmenovat jedním písmenem a pak s nimi povádět běžné algebaické opeace: (C1) a:+%i; (D1) %i + (C) b:1-*%i; (D) 1 - %i (C3) a+b; (D3) 3 - %i (C4) a-b; (D4) 3 %i + 1 (C5) a*b; (D5) (1 - %i) (%i + ) (C6) adcan(%); (D6) 4-3 %i Dělení se ovšem nepovede, ale pouze naznačí (vyzkoušejte). Komě běžných opeátoů máme k dispozici funkce po výpočet absolutní hodnoty abs(z);, po převod do poláního exponenciálního tvau polafom(z);, zjištění velikosti směového úhlu ϕ cag(z);, do goniometického tvau demoive(z); a zpět do algebaického tvau ectfom(z);: (C7) abs(a); (D7) sqt(5) (C8) abs(a*b); (D8) 5 (C9) polafom(b); - %i atan() (D9) sqt(5) %e (C10) demoive(%); 1 %i (D10) sqt(5) ( - ) sqt(5) sqt(5) Při řešení ovnic Maxima automaticky počítá i komplexní kořeny (i když koeficienty ovnice jsou eálná čísla): (C11) 5*x^+6*x+5; (D11) 5 x + 6 x + 5 (C1) solve(%); 4 %i %i - 3 (D1) [x = -, x = ] Viz příklad 7 v učebnici Chavát, J. - Zhouf, J. - Boček, L. Matematika po gymnázia - Rovnice a neovnice. Dotisk 3. vydání. Pometheus Paha 004. ISBN X

7 (C1) cos(*x)/(sin(x)+cos(x)); cos( x) (D1) sin(x) + cos(x) (C13) tigexpand(%); cos (x) - sin (x) (D13) sin(x) + cos(x) (C14) tigsimp(%); (D14) cos(x) - sin(x) cosx sin x cos x = cos xsin x sin x cos x = cos xsin x cos x sin x cos x sin x = cos xsin x Velmi opatní musíme být při řešení goniometických ovnic. Maxima může někteé kořeny vynechat - sama na to upozoňuje, peiodicitu řešení nevyznačuje a někteé ovnice odmítá řešit úplně: (C15) (5+sin(t))/(1-sin(t))=3; sin(t) + 5 (D15) = sin(t) (C16) solve(%); 'solve' is using ac-tig functions to get a solution. Some solutions will be lost. %pi (D16) [t = - ] 6 Ve skutečnosti množina všech řešení P = { 7 6 } { π k π, k Z 11 6 } π k π,k Z (C17) sin(t)+sqt(3)*cos(t)=1; (D17) sin(t) + sqt(3) cos(t) = 1 (C18) solve(%); (D18) [sin(t) = 1 - sqt(3) cos(t)] Potože tuto ovnici Maxima místo řešení pouze upavila, zkusíme ji vyřešit alespoň gaficky. Úpavu v řádku D18 využijeme a zobazíme zvlášť levou a pavou stanu: (C19) plotd([sin(t),1-sqt(3)*cos(t)],[t,0,*%pi]); Z gafu vidíme, že v intevalu <0; π) mají gafy dva půsečíky, tedy ovnice má v tomto intevalu dvě řešení. Použijeme-li záměný kříž (tedy kuzo myši) k odečtení souřadnic půsečíků a povšimneme-li si hodnot x souřadnic vidíme množinu všech řešení P = { π k π, k Z } { 11 6 π k π, k Z } (C15) f(5); (D15) 5 (C16) g(x):=x^3-8; 3 (D16) g(x) := x - 8 (C17) g(1); (D17) - 7 (C18) g(); (D18) 0 Maxima samozřejmě zná všechny běžné matematické funkce, kteé můžeme použít jak samostatně, tak jako součást definice složitějších funkcí: (C19) sin(%pi/6); 1 (D19) (C0) cos(%pi/6); SQRT(3) (D0) (C1) exp(); (D1) %E (C) log(%e); (D) 1 (C3) log(x):=log(x)/log(); LOG(x) (D3) log(x) := LOG() (C4) log(8); (D4) 3.0 Zobazování gafů funkcí příkaz plotd Pavděpodobně nejužitečnější funkcí CAS 6 Maxima po nasazení v běžné vyučovací hodině matematiky je zobazení gafu funkce na zadaném intevalu <a, b>. Používáme k němu příkaz plotd(funkce,[poměnná,od,do]);. Pokud chceme zobazit více funkcí najednou zapíšeme je do hanatých závoek, oddělené čákami, jako vekto. Jestliže pacujete pod Linuxem, spusťte si nyní Maximu v textové konzole příkazem maxima. Tím získáte všechny výhody páce v příkazovém řádku. Např. se můžete pomocí kuzoových šipek vacet k dříve zadaným příkazům a editovat je. Gafy funkcí se budou zobazovat v samostatných gafických oknech, kteá si můžete podle libosti uspořádat na ploše monitou, a páce v konzole je tak přehlednější než páce v gafickém ežimu. Maximu ukončíte příkazem quit();. 6 CAS compute algeba systém systém počítačové algeby - 7 -

8 Pokud budete chtít samostatná okna gafů v gafickém postředí Linuxu či Windows, stačí zvolit možnost Sepaate v nabídce Options > Plot Windows. (C1) plotd(sin(x),[x,0,*%pi]); (D1) 0 (C4) plot3d(x^-y^,[x,-5,5],[y,-5,5]); (D4) 0 (C5) plot3d(sin(x)-cos(y),[x,-5,5],[y,-5,5]); (D5) 0 Pokud pacujeme v textové konzole, zobazí se nám každý gaf samostatně v novém gafickém okně. Obázek okna pak snadno získáme a uložíme pomocí pogamu KSnapshot. Obázek pak můžeme vložit do svého matematického textu. Vkládaní vzoců pomocí editou OpenOffice.og Math se naučíme příště. (C) plotd([sin(x),sin(x+%pi/),sin(x)+1],[x,0,*%pi]); (D) 0 (C3) plotd([x^,x^-5*x,x^-6,x^-5*x-6],[x,-5,7]); (D3) 0 Gafy funkcí dvou poměnných příkaz plot3d Pokud nemáme k dispozici vhodný počítačový nástoj, pak ve školské matematice zpavidla postoové gafy funkcí dvou poměnných nezobazujeme. Máme-li ovšem k dispozici Maximu, je zobazení 3D gafů dílem okamžiku: Goniometie a tigonometie Po úpavy goniometických výazů se používají funkce tigeduce(výaz); tigexpand(výaz); a tigsimp(výaz);. Ukažme si to na příkladech: (C6) *sin(x)*cos(x); (D6) cos(x) sin(x) (C7) tigeduce(%); (D7) sin( x) (C8) cos(*x); (D8) cos( x) (C9) tigexpand(%); (D9) cos (x) - sin (x) Někteé složitější goniometické výazy se zjednoduší, když je nejpve ozložíme, tj. expandujeme. Ukažme si to opět na příkladech: (C10) sin(%pi/6+x)+sin(%pi/6-x); %pi %pi (D10) sin(x + ) - sin(x - ) 6 6 (C11) tigexpand(%); (D11) cos(x) sin π 6 x sin π 6 x = sin π 6 cos x sin x cos π 6 sin π 6 cos xsin xcos π 6 = sin π 6 cos x - 9 -

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Petr Beremlijski, Marie Sadowská Počítačová cvičení Pet Beemlijski, Maie Sadowská Kateda aplikované matematik Fakulta elektotechnik a infomatik VŠB - Technická univezita Ostava Cvičení 1 - Matlab - nástoj po matematické modelování Abchom

Více

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace MS OFFICE Může se zdát, že užití kancelářského balíku MS Office při výuce fyziky nepřesahuje běžné aplikace a standardní funkce, jak jsou popsány v mnoha příručkách ke všem jednotlivým částem tohoto balíku.

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Seminární práce z fyziky

Seminární práce z fyziky Seminání páce z fyziky školní ok 005/006 Jakub Dundálek 3.A Jiáskovo gymnázium v Náchodě Přeměny mechanické enegie Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné houpačce Název: Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

( + ) t NPV 10000 + + = NPV

( + ) t NPV 10000 + + = NPV Základní pojmy Finanční management Základní pojmy ozhodování a nejčastější omyly ovlivnitelné a neovlivnitelné položky elevantní náklad stálé a poměnné náklady půměné náklady maginální náklady Příklad

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami Laboatoř anoganické technologie Rozklad příodních suovin mineálními kyselinami Rozpouštění příodních mateiálů v důsledku pobíhající chemické eakce patří mezi základní technologické opeace řady půmyslových

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Kapitola 11: Formuláře 151

Kapitola 11: Formuláře 151 Kapitola 11: Formuláře 151 Formulář DEM-11-01 11. Formuláře Formuláře jsou speciálním typem dokumentu Wordu, který umožňuje zadávat ve Wordu data, která lze snadno načíst například do databázového systému

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

KAPITOLA 4 ZPRACOVÁNÍ TEXTU

KAPITOLA 4 ZPRACOVÁNÍ TEXTU KAPITOLA 4 ZPRACOVÁNÍ TEXTU TABULÁTORY Jsou to značky (zarážky), ke kterým se zarovná text. Můžeme je nastavit kliknutím na pravítku nebo v dialogovém okně, které vyvoláme kliknutím na tlačítko Tabulátory

Více

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více

6A Paralelní rezonanční obvod

6A Paralelní rezonanční obvod 6A Paalelní ezonanční obvod Cíl úlohy Paktickým měřením ověřit základní paamety eálného paalelního ezonančního obvodu (PRO) - činitel jakosti Q, ezonanční kmitočet f a šířku pásma B. Vyšetřit selektivní

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Zaměříme se na úpravy, které určují finální grafickou úpravu tabulky (tzv. formátování.). Měnit můžeme celou řadu vlastností a ty nejdůležitější jsou popsány v dalším

Více

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN + = KALKULÁTORY 2014 201 C π EXP LOCAL SIN MU GT ŠKOLNÍ A VĚDECKÉ KALKULÁTORY 104 103 102 Hmotnost: 100 g 401 279 244 EXPONENT EXPONENT EXPONENT 142 mm 170 mm 1 mm 7 mm 0 mm 4 mm Výpočty zlomků Variace,

Více

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1) ZKOUŠKA ČÍSLO 1 x=linspace(0,100,20); y=sqrt(x); A=[x;y]'; save('data.txt','a','-ascii'); polyn = polyfit(x,y,3); polyv = polyval(polyn,x); plot(x,y,'r*') plot(x,polyv,'b') p1=[1 0 0 0 0 0 0-1]; k=roots(p1);

Více

MS EXCEL_vybrané matematické funkce

MS EXCEL_vybrané matematické funkce MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Microsoft Word - Styly, obsah a další

Microsoft Word - Styly, obsah a další Microsoft Word - Styly, obsah a další Definice uživatelských stylů Nový - tzv. uživatelský styl - se vytváří pomocí panelu Styly a formátování stiskem tlačítka Nový styl. Po stisknutí tlačítka se objeví

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 61 DATABÁZE - ACCESS. (příprava k vykonání testu ECDL Modul 5 Databáze a systémy pro zpracování dat)

DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 61 DATABÁZE - ACCESS. (příprava k vykonání testu ECDL Modul 5 Databáze a systémy pro zpracování dat) DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 61 DATABÁZE - ACCESS (příprava k vykonání testu ECDL Modul 5 Databáze a systémy pro zpracování dat) DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 62 Databáze a systémy pro uchování

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Splněno ANO/NE/hodnota

Splněno ANO/NE/hodnota část 1 - software pro přípravu interaktivních výukových hodin postavený na aktivní účasti žáků základní specifikace: autorský objektově orientovaný výukový software v českém jazyce s implementovanou galerií

Více

Gravitace. Kapitola 8. 8.1 Gravitační zákon. 8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona

Gravitace. Kapitola 8. 8.1 Gravitační zákon. 8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona Kapitola 8 Gavitace 8.1 Gavitační zákon 8.1.1 Isaac Newton a objev gavitačního zákona Keple objevil své evoluční zákony o pohybu planet v oce 1609 a 1619. Dlouho však byly jeho výsledky přijímány s nedůvěou.

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS LKTŘINA A MAGNTIZMUS II. Coulombův zákon Obsah COULOMBŮV ZÁKON.1 LKTRICKÝ NÁBOJ. COULOMBŮV ZÁKON.3 PRINCIP SUPRPOZIC 4.4 LKTRICKÉ POL 5.5 SILOKŘIVKY LKTRICKÉHO POL 6.6 SÍLA PŮSOBÍCÍ NA NABITOU ČÁSTICI

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

Evidence technických dat

Evidence technických dat 4 Evidence technických dat V té to ka pi to le: Evidence majetku Evidence zakázek Evidence technické dokumentace Kapitola 4 Evidence technických dat Povinnost evidovat různé druhy dat má každý podnikatelský

Více

Excel 2007 praktická práce

Excel 2007 praktická práce Excel 2007 praktická práce 1 Excel OP LZZ Tento kurz je financován prostřednictvím výzvy č. 40 Operačního programu Lidské zdroje a zaměstnanost z prostředků Evropského sociálního fondu. 2 Excel Cíl kurzu

Více

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s.

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s. Máš chybu na pojistném? Jak ale zjistit vyměřovací základ, když zaokrouhlujeme na Kč nahoru, nebo třeba na stokoruny? Jak zjistit výši původní chyby? Bohemius k.s. BIUS 2 BIUS 3 www.bohemius.cz O PRODUKTU

Více

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

tohoto systému. Můžeme propojit Mathcad s dalšími aplikacemi, jako je Excel, MATLAB, Axum, nebo dokumenty jedné aplikace navzájem.

tohoto systému. Můžeme propojit Mathcad s dalšími aplikacemi, jako je Excel, MATLAB, Axum, nebo dokumenty jedné aplikace navzájem. 83 14. (Pouze u verze Mathcad Professional) je prostředí pro přehlednou integraci a propojování aplikací a zdrojů dat. Umožní vytvořit složitý výpočtový systém a řídit tok dat mezi komponentami tohoto

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma Seznam funkcí pro kurz EXCEL I Jaroslav Nedoma 2010 Obsah ÚVOD... 3 SUMA... 4 PRŮMĚR... 6 MIN... 8 MAX... 10 POČET... 12 POČET2... 14 ZAOKROUHLIT... 16 COUNTIF... 18 SVYHLEDAT... 22 2 ÚVOD Autor zpracoval

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata,

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, 5.1.2.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, Zná číslice 1 až 20, umí je napsat a

Více

Android Elizabeth. Verze: 1.1

Android Elizabeth. Verze: 1.1 Android Elizabeth Program pro měření mezičasů na zařízeních s OS Android Verze: 1.1 Naposledy upraveno: 15. února 2013 Aleš Razým Historie verzí Verze Datum Popis 1.0 7.1.2013 Původní verze pro OS Android

Více

MANUÁLNÍ AKTUALIZACE. programu WinDUO. pod Windows 7 / Windows Vista. ČAPEK-WinDUO, s.r.o.

MANUÁLNÍ AKTUALIZACE. programu WinDUO. pod Windows 7 / Windows Vista. ČAPEK-WinDUO, s.r.o. ČAPEK-WinDUO, s.r.o. MANUÁLNÍ AKTUALIZACE programu WinDUO pod Windows 7 / Windows Vista 1) Instalace programu WinDUO 2) Doporučení 3) Co Vás při instalaci mohlo potkat 4) Archivace a rearchivace dat Čapek

Více

Plc Calculator. Nástroj pro automatizovaný návrh aplikace s automaty MICROPEL 8.2010

Plc Calculator. Nástroj pro automatizovaný návrh aplikace s automaty MICROPEL 8.2010 Plc Calculator Nástroj pro automatizovaný návrh aplikace s automaty MICROPEL 8.2010 PLC CALCULATOR PlcCalculator představuje programový nástroj pro automatizované rozmístění IO bodů aplikace na automatech

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Analýza a klasifikace dat

Analýza a klasifikace dat Analýza a klasifikace dat Jiří Holčík Březen 0 Přípava a vydání této publikace byly podpoovány pojektem ESF č. CZ..07/..00/07.038 Víceoboová inovace studia Matematické biologie a státním ozpočtem České

Více

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi 5.3.4 Využití intefeence na tenkých vstvách v paxi Předpoklady: 5303 1. kontola vyboušení bousíme čočku, potřebujeme vyzkoušet zda je spávně vyboušená (má spávný tva) máme vyobený velice přesný odlitek

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

2 Ukládání dat do paměti počítače

2 Ukládání dat do paměti počítače Projekt OP VK Inovace studijních oborů zajišťovaných katedrami PřF UHK Registrační číslo: CZ..7/../8.8 Cíl Studenti budou umět zapisovat čísla ve dvojkové, osmičkové, desítkové a v šestnáctkové soustavě

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC

Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC tabulkový procesor MS EXCEL Zpracoval: mgr. Ježek Vl. Str. 1 MS EXCEL - základy tabulkového procesoru Tyto programy jsou specielně navrženy na

Více

Začínáme pracovat s tabulkovým procesorem MS Excel

Začínáme pracovat s tabulkovým procesorem MS Excel Začínáme pracovat s tabulkovým procesorem MS Excel Nejtypičtějším představitelem tabulkových procesorů je MS Excel. Je to pokročilý nástroj pro tvorbu jednoduchých i složitých výpočtů a grafů. Program

Více

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání Čtvrtek 3. listopadu Makra v Excelu Obecná definice makra: Podle definice je makro strukturovanou definicí jedné nebo několika akcí, které chceme, aby MS Excel vykonal jako odezvu na nějakou námi definovanou

Více

Microsoft Office. Excel vlastní formát buněk

Microsoft Office. Excel vlastní formát buněk Microsoft Office Excel vlastní formát buněk Karel Dvořák 2011 Formát buněk Běžné formáty buněk vybíráme v seznamu formátů ve skupině Číslo. V některých případech potřebujeme formát v trochu jiné podobě,

Více

PREZENTACE 1.22 HYPERTEXTOVÉ ODKAZY

PREZENTACE 1.22 HYPERTEXTOVÉ ODKAZY 1.22 HYPERTEXTOVÉ ODKAZY Při práci s prezentací bývá v některých případech vhodné vzájemně propojit snímky prezentace tak, abychom se mohli pohybovat nejen o snímek vpřed a vzad, ale i tzv. na přeskáčku.

Více

V předmětu Matematika je realizován obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, oboru Matematika a její aplikace.

V předmětu Matematika je realizován obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, oboru Matematika a její aplikace. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu V předmětu Matematika je realizován obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, oboru Matematika a její aplikace. Žáci v ní mají získat početní

Více

1. Terminálová aplikace. 2. Instalace. 3. Nastavení. HARRACHOV CARD Instalace, nastavení a používání terminálové aplikace

1. Terminálová aplikace. 2. Instalace. 3. Nastavení. HARRACHOV CARD Instalace, nastavení a používání terminálové aplikace 1. Terminálová aplikace Kartový systém Harrachov Card sestává ze 3 částí: - Veřejných webových stránek na adrese www.harrachovcard.cz, kde mohou zákazníci i poskytovatelé najít informace o systému, zobrazit

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Hromadná korespondence

Hromadná korespondence Kapitola dvanáctá Hromadná korespondence Učební text Mgr. Radek Hoszowski Hromadná korespondence Hromadná korespondence Představíme si jednoduchý nástroj, který nám může ušetřit velké množství práce. Je

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Excel a externí data KAPITOLA 2

Excel a externí data KAPITOLA 2 Excel a externí data KAPITOLA 2 V této kapitole: Připojení databáze Microsoft Access Data z webových stránek a z textových souborů Data z databází Program Microsoft Query Práce se soubory typu XML Velkou

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

Zkušenosti s realizací testu teplotní odezvy ve vrtech pro tepelná čerpadla

Zkušenosti s realizací testu teplotní odezvy ve vrtech pro tepelná čerpadla Acta Montanistica Slovaca Ročník 11 (006), mimoiadne číslo 1, 149-153 Zkušenosti s ealizací testu teplotní odezvy ve vtech po tepelná čepadla Jiří Ryška 1 Expeiences with pefoming a themal esponse test

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Petr Kulhánek, Milan Červenka

Petr Kulhánek, Milan Červenka A S T R O F Y Z I K A V P Ř Í K L A D E C H Pet Kulhánek, Milan Čevenka Paha 01 FEL ČVUT OBSAH I. ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 1. Pasek 3. Poxima Centaui 4 3. Magnituda 4 4. Pogsonova ovnice 5 5. Absolutní magnituda

Více

Uživatelský manuál aplikace. Dental MAXweb

Uživatelský manuál aplikace. Dental MAXweb Uživatelský manuál aplikace Dental MAXweb Obsah Obsah... 2 1. Základní operace... 3 1.1. Přihlášení do aplikace... 3 1.2. Odhlášení z aplikace... 3 1.3. Náhled aplikace v jiné úrovni... 3 1.4. Změna barevné

Více

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení 1. Průběh funkce K zobrazení průběhu analytické funkce jedné proměnné potřebujeme sloupec dat nezávisle proměnné x (argumentu) a sloupec dat s funkcí argumentu y = f(x) vytvořený obvykle pomocí vzorce.

Více

Pracujeme s programem Excel (interní učební text pro potřeby školy) (verze 1.0)

Pracujeme s programem Excel (interní učební text pro potřeby školy) (verze 1.0) SSOŠ A SOU BEAN, ČESKOBRODSKÁ 32a, 190 01 PRAHA 9 Pracujeme s programem Excel (interní učební text pro potřeby školy) (verze 1.0) Ing. Cyril Kotulič 2003-2004 Excel učební text Tento učební text jenom

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

IPFW. Aplikace pro ovládání placeného připojení k Internetu. verze 1.1

IPFW. Aplikace pro ovládání placeného připojení k Internetu. verze 1.1 IPFW Aplikace pro ovládání placeného připojení k Internetu verze 1.1 Popis aplikace Aplikace IPFW (IP Firewall) je určen k řízení placeného připojení k Internetu ve spojení s elektronickým mincovníkem

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Michal Musílek, 2009 michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Grafické násobení pomocí průsečíků přímek Algoritmus gelosia a Napierovy kostky Objev logaritmů, přirozený a dekadicky log Logaritmické

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

2. Umístíme kurzor kamkoliv do tabulky, otevřeme nabídku Data Filtr a potvrdíme myší příkaz Rozšířený filtr.

2. Umístíme kurzor kamkoliv do tabulky, otevřeme nabídku Data Filtr a potvrdíme myší příkaz Rozšířený filtr. Rozšířený filtr Kromě automatického filtru existuje v MS Excel ještě rozšířený filtr. V čem se oba filtry liší? Pokud u automatického filtru nadefinujeme podmínky pro více sloupců, platí mezi nimi vždy

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více