Úvod do Teoretické Informatiky ( UTI)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)"

Transkript

1 Úvod do Teoretické Informtiky ( UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. 25. ledn 2006 Verze Copyright c Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.)

2 Osh 0.1 Předmluv iv I Jzyky Automty 1 1 Úvodní pojmy, jzyky Množiny operce s nimi Orientovné grfy Formální eced jzyk Cvičení: Práce s formálními jzyky Konečné utomty Definice konečného utomtu Jzyk rozpoznávný utomtem Nedeterministické utomty Cvičení: Konstrukce převody utomtů Vyhledávání regulární výrzy Automty vyhledávání v textu Vyhledávání z pohledu progrmátor Regulární operce výrzy Ekvivlence regulárních výrzů jzyků Cvičení: Vyhledávání regulární výrzy Minimlizce omezení utomtů Minimlizce konečného utomtu Neregulární jzyky Vět Myhill Nerod Cvičení: Minimlizce neregulárnost Bezkontextové jzyky ZA Odvození ritmetických výrzů Bezkontextové grmtiky jzyky Zásoníkové utomty Cvičení: Konstrukce ezkontextových grmtik II Složitost Algoritmů 50 6 Mtemtické zákldy složitosti Asymptotické znčení funkcí Rekurentní vzthy Kódování slov prolémů Cvičení: Odhdy funkcí rekurentních vzthů Co je to lgoritmus Turingův stroj RAM model počítče Univerzální lgoritmus neřešitelnost Cvičení: Výpočty n TS RAM modelech ii

3 8 Výpočetní složitost lgoritmů prolémů Délk výpočtu Čsová složitost prolému Některé rychlé lgoritmy Tříd P polynomiální redukce Cvičení: Určení čsové složitosti lgoritmu Zákldy N P-úplnosti Tříd N P Nedeterministický Turingův stroj N P-úplný prolém Cvičení: Polynomiální převody příslušnost do N P N P-úplné prolémy Splnitelnost formulí Grfové prolémy Aritmetické prolémy Cvičení: Dlší N P-úplné prolémy převody III 92 Klíč k řešení úloh 92 Litertur iii

4 0.1 Předmluv Vážení čtenáři, dostává se vám do rukou výukový text pro Úvod do Teoretické Informtiky, který je primárně určený pro studenty informtických oorů (od klářského stupně) n technických vysokých školách. Teoretická informtik nám dává formální teoretické zákldy nezytné pro přesné formulce správná řešení prolémů spojených s informtikou. Teoretická stránk informtiky se počl rozvíjet již s prvními (mechnickými) výpočetními stroji v první polovině 20. století, jk můžeme zmínit npříkld n prcech Turing či jiných. Skutečného rozmchu dosáhl pk v druhé polovině století s prudkým nástupem počítčů do všech olstí život, což vyvollo i nléhvou potřeu teoreticky definovt řešit mnohé zcel nové vědecké otázky spojené s lgoritmizcí prktických prolémů. Náš text vás seznámí s úvodními prtiemi dvou si nejvýznmnějších olstí teoretické informtiky s teorií jzyků konečných utomtů s teorií výpočetní složitosti lgoritmů. Jde o seznámení jen velmi zěžné, neoť podání pouhých úplných zákldů kždé jedné z těchto olstí y vydlo lespoň n jeden semestr výuky. Přesto jsme se pokusili do jednoho celku z kždé části shrnout několik zákldních pojmů pozntků, které y studentům umožnily nhlédnout pod pokličku teoretické informtiky poznt její užitečnost v různých informtických plikcích. Náš výukový text je koncipován jko soěstčný celek, který od čtenáře nevyžduje o mnoho více než ěžné středoškolské mtemtické znlosti, zkušenosti s počítčem chuť do studi. Svým rozshem text odpovídá jednomu semestru ěžné výuky včetně cvičení. Vhodným doplňkem při jeho studiu je odoný výukový text Diskrétní Mtemtik [4] stejného utor. Při příprvě látky vycházíme zčásti ze stávjících výukových mteriálů pro teoretickou informtiku n FEI VŠB TUO od Doc. RNDr. Petr Jnčr, Ph.D., z druhé části z utorových vlstních studijních zkušeností n MFF UK. Proti zěhlým zvyklostem výuky teoretické informtiky uvádíme několik méně ěžných motivů, z nichž z zmínku stojí npříkld nápovědný pohled n nedeterminismus n třídu N P ve výpočetní složitosti. Ve stručnosti se zde zmíníme o struktuře nšeho textu. Přednesený mteriál je dělený do jednotlivých lekcí (kpitol), které zhru odpovídjí oshu týdenních přednášek v semestru. Lekce jsou dále děleny temticky n oddíly. Výkld je strukturován ovyklým mtemtickým stylem n definice, tvrzení, lgoritmy, přípdné důkzy, poznámky neformální komentáře. Nvíc je proložen řdou vzorově řešených příkldů nvzujících n vykládnou látku doplněn dlšími otázkmi úlohmi. Kždá lekce je zkončen zvláštním oddílem určeným k dodtečnému procvičení látky. Správné odpovědi k otázkám úlohám jsou shrnuty n konci textu. Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu udeme potěšeni, pokud se vám náš výukový text ude líit. Jelikož nikdo nejsme neomylní, i v této pulikci zjisté jsou nejsnosti či chyy, proto se z ně předem omlouváme. Pokud chyy ojevíte, dejte nám prosím vědět e-milem Autor iv

5 Pár slov o vzniku Tento učení text vznikl v průěhu let 2004 ž 2005 podle utorových přednášek cvičení předmětu Úvod do teoretické informtiky n FEI VŠB TUO. Jeho zákldní verzi utvořil souor utorových slidů pro přednášky předmětu. Většin přidných řešených příkldů úloh k procvičení pk vychází z náplně skutečných cvičení písemných zápočtů zkoušek v předmětu. Význmné poděkování z vznik tohoto textu ptří doc. Petru Jnčrovi, který nezištně poskytl části svých výukových mteriálů týkjících se teoretické informtiky i pro náš text. Z příprvu některých příkldů zvláště z kontrolu celého textu ptří díky tké cvičícím ývlým i součsným doktorndským studentům Mrtinu Kotovi, Přemyslu Teperovi, Ondřeji Kohutovi, Dušnu Fedorčákovi. v

6 Část I Jzyky Automty 1 Úvodní pojmy, jzyky Úvod Předmět Teoretická informtik poskytuje formální zákldy nástroje pro prktické informtické plikce (jko progrmování či softwrové inženýrství). Jeho si nejdůležitějším úkolem je mtemticky popst různé typy lgoritmických výpočtů, jejich proveditelnost složitost. Přitom pro mtemtický popis zdání (vstupů výstupů) výpočtu je potřené nejprve zvést pojmy ecedy symolů formálních slov nd touto ecedou. Použití symolické ecedy pro vstupy výstupy výpočtů závisí n dohodnuté formě zápisu, v prxi u počítčů se nejčstěji používjí inární zápisy s ecedou {0, 1}, očs hexdecimální s ecedou {0, 1,..., 9,,..., f}, neo nejčstěji lidsky čitelný zápis s ecedou ASCII či nověji UTF-8. Mtemticky můžeme z ecedu povžovt liovolnou (dohodnutou) konečnou množinu symolů, přitom převody zápisů mezi různými ecedmi jsou velmi jednoduché. (Volíme si proto ovykle ecedu, která se nejlépe hodí pro vyřešení dného prolému.) Důležitým teoretickým pojmem je slovo, které znmená liovolný konečný řetězec symolů nd ecedou, přitom mezer zde nemá žádný zvláštní význm. Určená množin slov se nzývá jzykem. Tyto pojmy v úvodní lekci přesně definujeme zároveň zvedeme důležité operce s formálními jzyky. Cíle Z hlvní cíl úvodní části povžujeme jednk správné (víceméně filozofické) pochopení pojmů konečnosti nekonečnosti množin; z druhé nstudování pojmů ecedy, formálního jzyk opercí s nimi. 1.1 Množiny operce s nimi Úvodem si připomeneme známé mtemtické pojmy týkjící se převážně množin jejich konečnosti či nekonečnosti. Zároveň si tkto zvedeme (pro ujednocení) některé zákldní konvence znčení používné dále v textu. Symolik množin Množiny ovykle znčíme velkými písmeny A, B, X, Y,... jejich prvky mlými písmeny,, x, y,..., symol znčí prázdnou množinu. M = {,, c, x} je množin se čtyřmi prvky,, c, x píšeme M, M, le d M. Počet prvků znčíme M = 4. N = {,, x} je podmnožinou M, což píšeme jko N M. Sjednocení množin znčíme A B, jejich průnik A B. Rozdíl množin je definován A \ B = { A : B} symetrický rozdíl je A B = (A \ B) (B \ A) (jko XOR ). Rozšířené znčení sjednocení n i=1 X i průniku n i=1 X i používáme jko u sumy. 1

7 Komentář: Pro názornou ukázku si zvolme npříkld množiny A = {,, c, d}, B = {, c, e, f}. Pk sjednocením těchto dvou množin je A B = {,, c, d, e, f} průnikem je A B = {, c}. Výsledkem rozdílu je A \ B = {, d} symetrického rozdílu A B = {, d, e, f}. Konečné nekonečné množiny Množin je konečná pokud počet jejich prvků je přirozené číslo. Množin je spočetná pokud všechny její prvky lze seřdit do jedné posloupnosti, neoli očíslovt přirozenými čísly. (Může ýt konečná i nekonečná.) Množin je nespočetná pokud není spočetná. (Npříkld množin všech reálných čísel je nespočetná.) Potenciální ktuální nekonečno Pro lepší pochopení pojmu nekonečnosti množiny si připomeňme jeden ze zákldních ntických prdoxů závod Achill se želvou: Achilles ěží 10 rychleji než želv, le želv má 100m náskok. Než Achilles těchto 100m proěhne, želv je dlších 10m před ním, po uěhnutí dlších 10m má želv stále 1m náskok, td... Vždy, když Achilles náskok želvy doěhne, želv se posune ještě o kousek dále. Předěhne Achilles vůec někdy želvu? Tento filozofický prdox vzniká z rozdílných pohledů n pojmy konečné nekonečné velikosti, které stručně shrneme tkto: Omezeně velké uvžujeme množiny/ojekty, jejichž velikost je omezená (jkoukoliv) předem dnou konstntou. Potenciální nekonečno uvžujeme stále ještě konečné množiny/ojekty, le jejich velikost nelze shor omezit univerzální konstntou. Jinými slovy, ke kždému ojektu nlezneme mezi uvžovnými ještě větší ojekt. Tké se říká, že velikost roste nde všechny meze. Aktuální nekonečno uvžujeme skutečně nekonečné množiny v celé jejich šíři. Mtemtická odpověď n Achillův prdox je dán rozdílem mezi chápáním potenciálního ktuálního nekonečn. Při uvedené prdoxní úvze stále přidáváme dlší dlší (zkrcující se) úseky ěhu, le nikdy nevidíme dráhu ěhu v celku (rozdělenou n nekonečně mnoho čím dál menších úseků, tj. jko ktuální nekonečno). Smozřejmě Achilles želvu předěhne ve vzdálenosti m. 1.2 Orientovné grfy S pojmem grfu jsme se doře seznámili v diskrétní mtemtice grf se skládá z množiny vrcholů množiny hrn spojujících dvojice vrcholů. V některých přípdech (jko tře u utomtů) potřeujeme u kždé hrny grfu vyjádřit její směr. To vede n definici orientovného grfu, ve kterém hrny jsou formálně uspořádné dvojice vrcholů. Orientovné grfy odpovídjí relcím, které nemusí ýt symetrické. Znčení: Hrn (u, v) v orientovném grfu D zčíná ve vrcholu u končí ve (míří do) vrcholu v. Tké připouštíme tzv. smyčku (u, u) mířící z u zpět do u. Opčná hrn (v, u) je různá od (u, v)! Příkld kreslení orientovného grfu následuje. 2

8 1.3 Formální eced jzyk Pro zápis zdání výsledků výpočtů je nezytné se domluvit n použití jednotných znků symolů ecedy. Sdělovné informce pk mjí formu řetězců nd těmito znky, které nzýváme prostě slovy. Definice: Aecedou myslíme liovolnou konečnou množinu Σ. Prvky Σ nzýváme symoly (písmen) této ecedy. (Tře Σ = {,}.) Slovem nd ecedou Σ rozumíme liovolnou konečnou posloupnost prvků Σ, npříkld (jko počítčový řetězec). Prázdné slovo je tké slovem znčí se ε. Znčení: Výrzem Σ znčíme množinu všech slov n ecedou Σ. Poznámk: Množin všech slov nd konečnou ecedou je vždy spočetná stčí všechn slov uspořádt nejprve podle délky pk podle ecedy mezi slovy stejné délky. Tím udou všechn slov npsán do jedné posloupnosti, ve které je lze po řdě očíslovt přirozenými čísly. Znčení: Délku slov w, tj. počet písmen ve w, znčíme w. Znčení: Pro zjednodušení zápisu slov někdy používáme exponenty u znků, kde x k znmená k opkování znku x z seou. Npříkld zápis 3 c 4 je zkrtkou pro slovo cccc. Přirozenou opercí se slovy je jejich spojení z seou do jednoho výsledného slov. Definice: Říkáme, že slovo z je zřetězením slov x y, pokud z vzniká zpsáním x y z seou ez mezer. Znčíme z = x y, neo zkráceně z = xy. Nopk někdy potřeujeme slovo zpět rozdělit n jeho počáteční koncovou část. Úsek znků, kterým nějké slovo zčíná, se nzývá předponou, neoli odorně mtemticky prefixem. Odoně se úsek znků, kterým slovo končí, nzývá příponou, odorně sufixem. Definice: Slovo t je prefixem slov z, pokud lze psát z = tu pro nějké slovo u, přitom u je tké nzýváno sufixem. Komentář: Vezměme si npříkld slovo cdcdc. Pk slovo c je jeho prefixem, kdežto c prefixem není. Nopk cdc je sufixem. Prázdné slovo ε je prefixem i sufixem kždého slov. Nkonec přicházíme k důležité formální definici jzyk, který je tvořený jkoukoliv vyrnou množinou slov. Definice 1.1. Jzykem nd ecedou Σ rozumíme liovolnou podmnožinu L Σ množiny Σ všech slov. 3

9 Komentář: N rozdíl od přirozeného jzyk (češtiny) udou nše jzyky ovykle oshovt nekonečně mnoho slov, řečeno slovy nekonečný jzyk. V nlogii s přirozenou mluvou si formální jzyk můžeme předstvit tře jko množinu všech knih, které kdy yly n světe npsány, neo tře jko množinu všech možných knih, které lze grmticky správně v češtině npst. Příkldy formálních jzyků nd ecedou {0, 1} jsou L 1 = {ε, 01, 0011, 1111, }, L 2 = { všechny posloupnosti z {0, 1} mjící stejně 0 jko 1 }, L 3 = { všechny posl. z {0, 1} zpisující inárně číslo dělitelné třemi }. Jzyk L 1 je zde konečný, kdežto zylé dv jsou nekonečné. Slovo ptří do jzyk L 2, le do L 2 neptří, neoť oshuje více nul než jedniček. Slovo 110 inárně vyjdřuje číslo 6, proto ptří do jzyk L 3, kdežto 1000 vyjdřující 8 do L 3 neptří. Některé operce s jzyky Při práci s formálními jzyky používáme nejčstěji následující mtemtické operce: Běžné množinové operce sjednocení K L, průniku K L, neo rozdílu K \ L. Zřetězení dvou jzyků K L = {uv : u K, v L}, tj. jzyk všech slov, které zčínjí slovem z K pokrčují slovem z L. Iterce jzyk L, znčená L, která je definovná rekurentně pomocí zřetězení L 0 = {ε}, L 1 = L, L n+1 = L n L, celkem L = L 0 L 1 L 2 L 3..., tj. jzyk všech slov vzniklých liovolným opkováním slov z jzyk L z seou. Komentář: Dejte si pozor, že operce zřetězení dvou jzyků není komuttivní, tj. oecně nelze změnit pořdí K L L K. Všimněte si, že znčení pro iterci L odpovídá znčení množiny všech slov Σ nd ecedou Σ eced smotná je množinou všech jednopísmenných slov, přitom jejich itercí vzniknou všechn konečná slov. Příkld 1.2. Uveďme si následující ukázky opercí s jzyky nd ecedu {0, 1}: ) Sjednocením jzyk L 0 všech slov oshujících více 0 než 1 jzyk L 1 všech slov oshujících více 1 než 0 je jzyk všech slov mjících počet 1 různý od počtu 0. ) Co vznikne zřetězením L 0 L 1 jzyků z předchozí ukázky ()? Ptří sem všechn možná slov? Všechn slov do tohoto jzyk neptří, npříkld sndno njdeme 10 L 0 L 1. Oecný popis celého zřetězení všk není úplně jednoduchý. Dle definice do tohoto zřetězení ptří všechn slov, která lze rozdělit n počáteční úsek mjící více 0 než 1 zytek mjící nopk více 1 než 0. c) Je prvd, že L 0 L 1 = L 1 L 0 v předchozí ukázce? Není, npříkld, jk už ylo uvedeno, 10 L 0 L 1, le sndno 10 L 1 L 0. d) Co vznikne itercí jzyk L 2 = {00, 01, 10, 11}? Tkto vznikne jzyk L 2 všech slov sudé délky, včetně prázdného slov. Zdůvodnění je sndné, slov v L 2 musí mít sudou délku, protože vznikjí postupným zřetězením úseků délky 2. Nopk kždé slovo sudé délky rozdělíme n úseky délky 2 kždý úsek ude mít zřejmě jeden z tvrů v L 2. Úlohy k řešení (1.3.1) Která slov jsou zároveň prefixem i sufixem slov ? (Njdete všechn tři tková?) 4

10 (1.3.2) Vypište slov ve zřetězení jzyků {110, 0111} {01, 000}. (1.3.3) Njděte dv různé jzyky, které komutují v operci zřetězení, tj. L 1 L 2 = L 2 L 1. (1.3.4) Co vzniká itercí jzyk {00, 01, 1}? Ptří tm všechn slov nd {0, 1}? Rozšiřující studium Pro teoretickou informtiku existuje množství učeních textů knih. (Ovykle ývjí oddělené zvlášť pro utomty jzyky, zvlášť pro výpočetní složitost, tk jko je dělen i náš učení text.) Jk již ylo uvedeno, náš text vychází částečně z učeního textu P. Jnčr [8], le je zjednodušen lépe zpřístupněn studentům klářského studi ez předchozích znlostí informtické teorie. Mimo zmíněného textu [8] pro rozšiřující studium prolemtiky utomtů doporučujeme npříkld [7] [6], či nepřeerné množství nglických textů. Doře zprcovný úvod do prolemtiky složitosti N P-úplnosti především komintorických lgoritmů čtenář njde v knize [9]. 1.4 Cvičení: Práce s formálními jzyky Příkld 1.3. Uvžujme jzyky nd ecedou {0, 1}. Nechť L 1 je jzykem všech těch slov oshujících nejvýše pět znků 1 L 2 je jzykem všech těch slov, která oshují stejně 0 jko 1. Kolik je slov v průniku L 1 L 2? V prvé řdě si uvědomme, že o jzyky jsou nekonečné. Přesto je průnik konečný slovo ptří do oou jzyků jen pokud má nejvýše pět výskytů kždého ze znků 0,1, tj. celkem nejvýše délku 10. (Podle definice L 1 má slovo w L 1 L 2 nejvýše pět znků 1 podle L 2 má stejně znků 0.) Nvíc slovo v průniku L 1 L 2 má sudou délku 2l, kde l 5 je počet výskytů znku 0 i 1. Pro l = 0 máme jediné slovo ε, pro l = 1 jsou dvě slov oecně je v průniku ( 2l) l slov pro kždé l = 0, 1, 2, 3, 4, 5. (Vyíráme pozice znků 1 z 2l písmen ve slově.) V součtu pk je L 1 L 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) 10 = Příkld 1.4. Uvžujme jzyky nd ecedou {, }. Vypište všechn slov ve zřetězení jzyků L 1 = {ε,, } L 2 = {,, }. Postupujeme jednoduše podle definice ereme jedno z druhým slov z L 1 zřetězujeme z ně jedno po druhém slov z L 2. Celkem vyjde L 1 L 2 = {,,,,,,, }. (Všimněte si doře, že výsledek oshuje jen 8 < 3 3 slov. Jk je to možné? To proto, že slovo se ve zřetězeních ojeví dvkrát, jko ε jko.) Příkld 1.5. Uvžujme jzyky nd ecedou {c, d}. Nechť L 0 je jzyk všech těch slov, která oshují různé počty výskytů symolu c výskytů symolu d. Popište slovně zřetězení L 0 L 0. Z prvé si všimněme, že prázdné slovo ε L 0 L 0, neoť ε L 0. Ze stejného důvodu ni jednopísmenná slov c d nejsou v L 0 L 0 pokud y yly složeny ze dvou slov, jedno z nich y ylo ε. Nopk kždé slovo liché délky musí mít různý počet c d, protože dv stejné počty y vynutily sudou délku slov, tudíž náleží do L 0. Kždé neprázdné slovo w sudé délky lze npst jko zřetězení jeho prvního písmene w 1 zylého sufixu 5

11 liché délky w 2... w k, proto je w L 0 L 0. Co všk se slovy w liché délky větší než 1? Pokud v nich njdeme sudý prefix neo sufix, který neoshuje stejně c jko d, máme opět w L 0 L 0. N zákldě výše uvedených úvh odhdneme, že slovo w neptří do L 0 L 0 pouze tehdy, když w = ε neo w je liché délky ve střídvém tvru cdcdc... dc neo dcd... cd. (Je poměrně zřejmé, že tková slov do L 0 L 0 ptřit nemohou.) Nyní zývá nše tvrzení korektně dokázt: Pokud slovo w není ve výše uvedeném vyjímečném tvru, má uď w sudou délku potom w L 0 L 0, jk jsme již uvedli výše, neo w má lichou délku oshuje dv výskyty c z seou neo dv výskyty d z seou. Potom uď z prvním neo z druhým z těchto opkovných znků w rozdělíme n prefix sufix z L 0. Příkld 1.6. Zjistěte, který z následujících dvou vzthů jsou pltné pro všechny jzyky L 1, L 2 : ) (L 1 L 2 ) L 3 = (L 1 L 3 ) (L 2 L 3 )? ) (L 1 L 2 ) = L 1 L 2? Univerzální pltnost () plyne přímo z definice zřetězení, jk si smi sndno ověříte. Nopk vzth () je oecně chyný, neoť sndno njdeme dvojici jzyků nemjící žádné slovo ve svém průniku, le zároveň mjící společné iterce slov. Npříkld pro disjunktní L 1 = {0} L 2 = {00} oě iterce L 1, L 2 oshují slovo 00 neo 0000, td. V dlší části si neformálně přilížíme prktické motivční příkldy vedoucí k (pozdější) definici konečného utomtu. Příkld 1.7. Předstvme si následující elektrický ovod s dvěm přepínči A B. (Přepínče jsou provedeny jko retční tlčítk, tkže jejich polohu zvnějšku nevidíme, le kždý stisk je přehodí do druhé polohy.) N počátku žárovk svítí. Pokusme se schemticky popst, jké posloupnosti stisků A, B vedou k opětovnému rozsvícení žárovky. A B Posloupnosti stisků přepínčů A, B vedoucí k rozsvícení žárovky si můžeme popst formálně jko množinu (tj. jzyk) R jistých slov nd ecedou {A, B}. (Kždý znk A neo B znmená přepnutí příslušného přepínče.) Z zdání je zřejmé, že ε R. Nopk tře A R. Když se n znázorněný ovod líže podíváme, zjistíme, že kždý stisk kteréhokoliv tlčítk změní součsný stv svícení. Schemticky tk pozorovtelné změny v ovodu můžeme znázornit následujícím digrmem, ve kterém levý stv s je počáteční znmená, že žárovk svítí, kdežto v prvém stvu n žárovk nesvítí. (Tento digrm model si v následující lekci mtemticky popíšeme jko tzv. konečný utomt.) 6

12 A B s n B A Všimněme si ještě jedné zjímvosti kždý přechod v nšem digrmu je symetrický, tj. dvojím stiskem téhož tlčítk se dostneme zse zpět. To je dáno fyzickou stvou nšeho ovodu, le vůec to nemusí ýt vlstností jiných systémů (předstvte si tře ovod s cyklickými třístvovými přepínči). Příkld 1.8. Odoně jko v předchozím příkldě si vezměme následující ovod s přepínči A, B, C jednou žárovkou. (Přepínč C má dv společně ovládné kontkty, z nichž je spojený vždy právě jeden.) N počátku žárovk nesvítí. Jké posloupnosti stisků A, B, C vedou k rozsvícení žárovky? A C B Oznčme nyní R množinu (jzyk) všech těch slov nd ecedou {A, B, C}, která rozsvítí žárovku. Nyní ε R, le tře C R AB R. Zmysleme se všk doře nd tím, zd dokážeme chování ovodu plně popst jen dvěm stvy svítí nesvítí. Npříkld z počátečního stvu lze rozsvítit žárovku jediným stiskem C, le ze stvu po přepnutí A již žárovku žádným stiskem C nelze zpnout. Anlýzou této komplikce přijdeme n to, že si ude tře popst více různých vnitřních stvů, které se nvenek projevují jko nesvítí. Máme tedy počáteční stv ovodu n 1, jiný nesvítící stv n 2, do kterého se dostneme přepnutím A, ještě jiný nesvítící stv n 3, do kterého se dostneme přepnutím B (n rozdíl od n 2 z n 3 nelze rozsvítit žárovku stiskem B), nkonec svítící stv s. (V oecnosti i svítících stvů může ýt více než jeden, le to nenstává v nšem ovodě.) Když pochopíme toto rozdělení vnitřních stvů, už nám neude činit potíže doplnit jednotlivé přechody: 7

13 A n 2 B B A C C n 1 s B C C B n 3 A A Úlohy k řešení (1.4.1) Uvžujme jzyky nd ecedou {0, 1}. Vypište všechn slov ve zřetězení {0, 001, 111} {ε, 01, 0101}. (1.4.2) Uvžujme jzyky nd ecedou {0, 1}. Popište (slovně) jzyk vzniklý itercí {00, 111}. (1.4.3) Uvžujme jzyky nd ecedou {0, 1}. Nechť L 1 je jzykem všech těch slov oshujících nejvýše jeden znk 1 L 2 je jzykem všech těch slov, která se čtou stejně zepředu jko zezdu (tj. plindromů). Která všechn slov jsou v průniku L 1 L 2? Návod: Pozor, průnik oou jzyků je nekonečný. (1.4.4) Proč oecně nepltí (L 1 L 2 ) L 3 = (L 1 L 3 ) (L 2 L 3 )? (1.4.5) Nvrhněte ovod s třemi přepínči žárovkou mjící více než jeden vnitřní svítící i nesvítící stv. (1.4.6) Uvžujme jzyky nd ecedou {, }. Nechť L je jzyk všech těch slov, která oshují více než, L je jzyk všech těch slov, která oshují více než. Jký jzyk vznikne zřetězením L L? (1.4.7) Jzyk L 1 oshuje 6 slov jzyk L 2 oshuje 7 slov. Kolik nejméně slov musí oshovt zřetězení L 1 L 2? (1.4.8) Proč ovod s třemi (dvoupolohovými) přepínči žárovkou nemůže mít více než 8 vnitřních stvů? 2 Konečné utomty Úvod První část nšeho kurzu se věnuje především nejjednoduššímu klsickému výpočetnímu modelu konečně-stvovému utomtu, který popisuje procesy s předem omezeným počtem možných stvů. Stručně řečeno, konečný utomt je model systému, který může nývt konečně mnoho vnitřních stvů. Tento stv se mění n zákldě jednoduchého vnějšího podnětu s tím, že pro dný stv dný vstupní podnět je jednoznčně určeno, jký (vnitřní) stv ude následující. 8

14 Přitom pro vnějšího pozorovtele je viditelné pouze, zd ktuální vnitřní stv utomtu je tzv. přijímcí neo není. Konkrétní konečný utomt se čsto zdává digrmem ohodnoceným orientovným grfem, který tké nzýváme stvovým digrmem či grfem utomtu (kde šipky přechodů jsou oznčeny vstupními podněty). Pro příkldy nemusíme chodit dleko, již jsme si je ukzovli v předechozím cvičení při popisu chování ovodů s přepínči žárovkou. Jinou ukázkou je toto: Cíle Úkolem této lekce je přesně zvést pojem konečného utomtu, jeho deterministickou nedeterministickou vrintu. Jsou zde uvedeny zákldní pozntky o utomtech definován pojem regulárního jzyk. Ukázán je převod oecného utomtu n deterministický utomt. 2.1 Definice konečného utomtu Konečný utomt je model systému, který může nývt konečně mnoho (ovykle ne příliš mnoho ) vnitřních stvů. Tento stv se mění n zákldě jednoduchého vnějšího podnětu (možných podnětů tké není příliš mnoho ) s tím, že pro dný stv dný vstupní podnět je jednoznčně určeno, jký vnitřní stv utomtu ude následující (tj. do jkého stvu systém přejde). Vnější pozorovtel přitom vnitřní stvy utomtu nevidí, vnímá z utomtu pouze jednoduchou dvoustvovou informci zd se utomt právě nchází v tzv. přijímjícím stvu neo v nepřijímjícím. Přirozeným způsoem vizulizce konečného utomtu je použití orientovného (multi)grfu, kde vrcholy reprezentují jednotlivé vnitřní stvy ohodnocené orientovné hrny (šipky) ukzují přechody mezi stvy pro jednotlivé vstupní podněty. Stvy utomtu ovykle číslujeme zčínáme v předepsném počátečním stvu. Vstupní podněty ovykle reprezentujeme symoly zvolené ecedy celé posloupnosti podnětů pk zpisujeme jko slov nd touto ecedou. Mtemticky konečný utomt popíšeme následovně: Definice 2.1. Konečný utomt (zkráceně KA) je uspořádná pětice (tzn. je dán pěticí prmetrů) A = (Q, Σ, δ, q 0, F ), kde Q je konečná neprázdná množin stvů, Σ je konečná neprázdná množin zvná (vstupní) eced, δ : Q Σ Q je přechodová funkce, q 0 Q je počáteční (iniciální) stv F Q je neprázdná množin přijímjících (koncových) stvů. Komentář: Význm množin Q Σ v definici je jsný. Přechodová funkce δ má dv rgumenty δ(q, x), které mjí následující význm: Pokud se utomt právě nchází ve stvu q čte ze 9

15 vstupu znk x, musí přejít do stvu δ(q, x) (ten může ýt jiný i stejný jko q). Důležité je, že pro kždý stv kždý vstupní podnět musí ýt definováno, km utomt přejde. Počáteční stv q 0 musí ýt určen jednoznčně, le utomt může mít více přijímjících stvů, tře i všechny. Přijímjícím stvům se tké čsto říká koncové, le vůec to neznmená, že y v těchto stvech měl výpočet vždy končit. (N rozdíl od pozdější definice Turingov stroje.) Znčení: Grfem utomtu (neoli stvovým digrmem) rozumíme orientovný ohodnocený grf, ve kterém vrcholy jsou stvy utomtu, tj. množin Q, počáteční stv (q 0 ) je vyznčený příchozí šipečkou koncové stvy (F ) dvojitým kroužkem, hrn z u do v je oznčená výčtem všech písmen ecedy, které stv u převádějí n v, tj. {x Σ : δ(u, x) = v}. Hrny nekreslíme pro dvojice vrcholů mezi kterými není přechod žádným písmenem ecedy. Pokud se z vrcholu u přechází zpět do u, kreslí se smyčk. Komentář: Zde vidíme ukázku grfu jednoduchého třístvového utomtu:, c 2 c 1, c 3 V ukázce je Q = {1, 2, 3} Σ = {,, c}. Přechodová funkce npříkld říká, že δ(1, ) = δ(1, c) = 2 neo δ(2, c) = 2, δ(2, ) = 1, td. Počáteční stv je 1 přijímjící stv je tké jediný 3. Pokud n vstupu ude slovo cc, stne se následující: Automt zčne v 1, přejde čtením do 2, pk čtením c dvkrát zůstává v 2, čtením se vrátí do stvu 1 dlším přejde do stvu 3, kterým celé slovo přijme. Poznámk: Mnozí utoři dávjí přednost zápisu konečného utomtu pomocí tulky přechodové funkce δ. (Jedním z důvodů zjisté je i to, že tulku zpíšeme n počítči sndněji než nkreslíme orázek grfu utomtu.) Grf utomtu je všk mnohem názornější sndněji uchopitelný. Proto v nšem textu udeme důsledně dávt přednost zkreslení utomtu jeho grfem. Znčení: Přechodovou tulkou utomtu rozumíme tulku s řádky oznčenými stvy utomtu sloupci oznčenými symoly ecedy, ve které políčko n řádku q sloupci udává stv δ(q, ). Počáteční stv je znčený přijímjící. Komentář: Npříkld výše zkreslený utomt má přechodovou tulku: c Formálně si postup výpočtu utomtu definujeme tkto: 10

16 Definice: Výpočet konečného utomtu n vstupním slově s proíh následovně. Zčne v počátečním stvu q 0 n zčátku slov s. Přečte ktuální písmeno x slov s přejde do stvu určeného δ(q, x), kde q je součsný stv utomtu. Zároveň se jeho vstup přesune n následující písmeno slov s. Předchozí od se opkuje, dokud nejsou přečten všechn písmen v s. Pokud je poslední stv utomtu přijímjící (q F ), pk je slovo s přijto, v opčném přípdě je s odmítnuto. Říkáme tké, že jsme dosáhli / nedosáhli přijímjící stv. Komentář: Výpočet utomtu A n slově w si tké můžeme předstvit jko sled v grfu A, který zčíná v počátečním stvu q 0 znky jeho hrn tvoří posloupnost písmen slov w. Tento sled se může liovolně cyklit opkovt hrny i stvy, jen musí ýt konečný. Slovo w je přijto, pokud jeho sled výpočtu končí v množině F. Příkld 2.2. Nvrhněme utomt nd jednoznkovou ecedou {} přijímjící právě t slov mjící sudou délku. To je velmi jednoduché utomt ude oshovt jeden cyklus délky 2, který ude počítt pritu délky vstupního slov: q s Neoli, vždy, když je utomt ve stvu q l, poslední přečtená je lichá pozice slov, ve stvu q s je to sudá pozice. Komentář: Pro více (řešených) příkldů n jednoduché konečné utomty doporučujeme čtenáři se podívt do Cvičení 2.3. Definice: Říkáme, že stv q utomtu A je dosžitelný slovem w, pokud výpočet A se po přečtení (celého) slov w zství ve stvu q. Komentář: Uvědomme si, že v utomtu mohou ýt stvy, do kterých nevede žádný sled z počátku q 0. Tkové stvy jsou očividně zytečné nzývjí se nedosžitelné. Je nší přirozenou snhou se tkových stvů zvit. q l Normovný tvr utomtu Jeden utomt lze prezentovt mnoh různými způsoy, proto nás tké zjímá nějká jeho jednoznčná normovná prezentce. Definice: Automt A je v normovném tvru jestliže jeho stvy jsou očíslovné 1, 2,... v ecedním pořdí nejmenších slov, kterými tyto stvy lze dosáhnout. Poznámk: Touto definicí tké utomticky vyloučíme nedosžitelné stvy stvy, do kterých nevede žádná orientovná cest z počátečního stvu. Komentář: Uvedená definice je sice mtemticky přesná, neposkytuje všk žádný rozumný přímý postup pro nlezení normovného tvru. Když se všk nd tímto prolémem hlouěji zmyslíme, uvidíme, že je velmi podoný hledání nejkrtší cesty v grfu prosté prohledávání grfu do šířky jej dokáže vyřešit. (Viz. přednášky Diskrétní mtemtiky [4, Lekce 6,8].) Metod 2.3. Převod KA do normovného tvru (přečíslováním stvů) provede následující jednoduchý lgoritmus. Počáteční stv oznčíme 1. 11

17 Dále, npř. v přípdě ecedy {, }, zjistíme stv q, do něhož utomt přejde ze stvu 1 symolem ; když q není oznčen, oznčíme jej 2. Pk zjistíme stv q, do něhož utomt přejde ze stvu 1 symolem ; když q není dosud oznčen, oznčíme jej nejmenším dosud nepoužitým číslem. Tkto jsme vyřídili stv 1, pokrčujeme vyřízením 2 td..., dokud nezískáme všechny dosžitelné stvy. Jedná se vlstně o procházení grfu do šířky při seřzení hrn podle ecedy. Příkld 2.4. Stvy následujícího utomtu seřďte tk, jk mjí ýt číslovány v normovném tvru. q 1 q 2 q 3 q 4 q 5, Podle Metody 2.3 očíslujeme stv q 1 číslem 1. Znkem z q 1 se dostneme do nového stvu q 2, kterému přiřdíme číslo 2. Znkem z q 1 zůstneme v již očíslovném stvu q 1. Z druhého stvu q 2 přejdeme znkem do q 4, kterému dáme číslo 3, znkem do q 3, kterému dáme číslo 4. Ze třetího stvu q 4 se přes dostneme do již očíslovného q 3 přes do nového q 5, který dostne číslo 5. Výsledný normovný tvr tk vyjde,, , Úlohy k řešení (2.1.1) Nvrhněte konečný utomt přijímjící všechn t slov nd ecedou {, }, která oshují lichý počet výskytů. (2.1.2) Nvrhněte konečný utomt přijímjící všechn t slov nd ecedou {}, jejichž délk dává zytek 2 po dělení 3. (2.1.3) Jká všechn slov přijímá utomt z úvodu lekce n strně 9? (2.1.4) Jká všechn slov přijímá utomt z Příkldu 2.4? (2.1.5) Které z těchto dvou utomtů nd ecedou {, } přijímjí nějké slovo délky přesně 100? q 3 q,, 3 q 1 q 2, q 1 q 2 (2.1.6) Nkreslete konečný utomt přijímjící právě všechn slov nd {, }, ve kterých je třetí znk stejný jk první. (2.1.7) Nkreslete konečný utomt přijímjící právě všechn slov nd {,, c}, ve kterých se první znk ještě spoň jednou zopkuje. (2.1.8) Mějme konečný utomt A. Jk (jednoduše) sestrojíte utomt A přijímjící právě všechn slov, která A nepřijímá? (Tj. opk A.), 12

18 2.2 Jzyk rozpoznávný utomtem Jzyk rozpoznávný (neoli přijímný, kceptovný) konečným utomtem A je množinou všech těch slov, které utomt přijímá, tj. těch slov, kterými utomt A dosáhne některý z přijímjících stvů. Mnohem formálněji (le tké nepřehledněji) lze definovt tento pojem následovně: Definice: Přechodovou funkci utomtu A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) zoecníme n funkci δ : Q Σ Q touto induktivní definicí: 1. δ (q, ε) = q, 2. δ (q, w) = δ(δ (q, w), ). Pk jzykem L(A) rozpoznávným (přijímným) utomtem A je množin slov L(A) = {w Σ : δ (q 0, w) F }. Komentář: Zoecněná přechodová funkce δ (q, w) nám vlstně udává, km konečný utomt přejde ze stvu q přečtením slov w. Definice: Jzyk L Σ je regulární právě když jej lze rozpoznt konečným utomtem nd ecedou Σ, tj. existuje konečný utomt A, že L = L(A). Poznámk: Nepleťme si ztím regulární jzyky s regulárními výrzy, které si znáte u počítčů, tře v příkzu grep. I když, rzy si už ukážeme, že regulární výrzy popisují právě regulární jzyky. Zákldní pozntky o jzycích rozpoznávných utomty jsou uvedeny zde. Lem 2.5. Pro konečný utomt A s n stvy je jzyk L(A) neprázdný právě tehdy, když existuje slovo w L(A) délky menší než n (tj. w < n). Důkz: Jzyk je neprázdný právě když existuje orientovný sled, tedy i cest, v grfu utomtu A z počátku do některého přijímjícího stvu. Nejkrtší tková cest má jistě méně než n hrn. Lem 2.6. Pro konečný utomt A s n stvy je existuje w L(A) splňující n w < 2n. L(A) nekonečný právě tehdy, když Důkz (náznk): Pokud existuje sled v grfu utomtu A z počátku do některého přijímjícího stvu o délce spoň n, pk je tento sled někde zcyklený (vrcí se do stejného vrcholu) tento cyklus můžeme liovolně krát zopkovt, tj. vygenerovt liovolné množství přijímných slov. Nopk v nekonečném jzyce existuje liovolně dlouhé přijímné slovo. Sled výpočtu tkového slov (myslíme tím sled v grfu utomtu A) může mít mnoho cyklů, le kždý z jeden těchto cyklů je délky menší než n, proto lze postupným vypouštěním cyklů nkonec získt přijímjící sled délky mezi n 2n. Definice: Dv konečné utomty A 1, A 2 přijímjící shodné jzyky, tj. L(A 1 ) = L(A 2 ), se tké nzývjí (jzykově) ekvivlentní. 13

19 Sjednocení průnik jzyků Pro ukázku, které jzyky lze rozpoznávt konečnými utomty, si ukážeme konstrukci utomtů pro sjednocení průnik regulárních jzyků. (Později si ukážeme i jiné zjímvé užitečné operce, které zchovávjí regulritu jzyk.) Vět 2.7. Jestliže jzyky L 1, L 2 Σ jsou regulární, pk tké jzyky L 1 L 2 L 1 L 2 jsou regulární. Důkz nejprve pro sjednocení: Nechť L 1 = L(A 1 ), L 2 = L(A 2 ) pro konečné utomty A 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 01, F 1 ), A 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 02, F 2 ). Definujme utomt A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) tž. Q = Q 1 Q 2, δ( (q 1, q 2 ), ) = ( δ 1 (q 1, ), δ 2 (q 2, ) ) pro všechn q 1 Q 1, q 2 Q 2, Σ, q 0 = (q 01, q 02 ), F = (F 1 Q 2 ) (Q 1 F 2 ). Je očividné (exktně lze ukázt npř. indukcí podle délky w ), že pro liovolné q 1 Q 1, q 2 Q 2 w Σ, je δ ( (q 1, q 2 ), w ) = ( δ1 (q 1, w), δ2 (q 2, w) ). Jinými slovy, kždým vstupním slovem w utomt A přejde do stvu (q 1, q 2 ), kde q 1 je stv utomtu A 1 dosžený slovem w odoně q 2 je příslušný stv utomtu A 2. Z toho sndno plyne, že L(A) = L 1 L 2. Pro průnik je důkz téměř stejný, jen výsledná množin přijímjících stvů je F = F 1 F 2. Komentář: Konstrukci uvedenou ve Větě 2.7 si můžeme sndno vizuálně předstvit utomt A vypdá jko mřížk, jejíž sloupce předstvují utomt A 1 řádky předstvují utomt A 2. Přechody se přitom dějí jk po sloupcích, tk po řádcích zároveň. Přijímjící stvy jsou ty, které jsou přijímjící spoň v jednom z utomtů A 1 A 2. Podívejme se n orázek: PSfrg replcements 0 r q 1 q 2 r A 1 A 2 1 r PSfrg replcements (q 1, r 1) (q 1, r 2) (q 1, r 3) (q 2, r 1) (q 2, r 2) (q 2, r 3) A 1 A 2 1 Úlohy k řešení (2.2.1) Lze konečným utomtem rozpoznávt jzyk všech slov nd ecedou {, }, ve kterých je součin počtů výskytů znků sudý? 14

20 (2.2.2) Lze konečným utomtem rozpoznávt jzyk všech slov nd ecedou {, }, ve kterých je součet počtů výskytů znků sudý? (2.2.3) Lze konečným utomtem rozpoznávt jzyk všech slov nd ecedou {, }, ve kterých je součet počtů výskytů znků větší než 100? (2.2.4) Nvrhněte utomt rozpoznávjící všechn t slov nd {, }, která zčínjí znkem končí znkem. 2.3 Nedeterministické utomty Při konstrukci konečných utomtů je v mnoh přípdech velmi výhodné ponecht utomtu možnost se rozhodovt mezi více přechody, tj. povolit nedeterminismus. Co všk je tou utoritou, která mezi více přechody rozhodne? Jk pk jednoznčně poznáme, která slov jsou přijt? Příkld 2.8. Sestrojme utomt přijímjící všechn slov nd {0, 1}, ve kterých je třetí znk od konce 1. Sestrojit tkový utomt podle Definice 2.1 si neude lehké. Jk máme poznt dopředu, který znk ude třetí od konce? Asi nejjednodušším (třeže zvánějícím podvodem) řešením je ponecht rozhodnutí n vyšší moc, která vidí slovo dopředu. Proto nvrhneme následující utomt, který setrvává při čtení 0 i 1 ve stvu q 1, ž dosáhne třetí znk od konce slov. Pokud je ten 1, utomt může přejít do stvu q 2. Z něj již jenom přečte následující (dle předpokldu poslední) dv znky slovo přijme. 0, 1 1 0, 1 0, 1 q 1 q 2 q 3 q 4 Stvy q 3 q 4 jsou v utomtu proto, ychom si ověřili, že z vyrným znkem 1 skutečně následují dlší dv znky konec. Co se stne ve stvu q 4, pokud ještě konec slov není dosžen? Žádný dlší přechod z q 4 není definován, proto zde výpočet selže tkové slovo není přijto. Komentář: Nyní zývá njít mtemtickou definici, která y způso utomtového výpočtu nznčeného v Příkldě 2.8 přesně formlizovl. Pochopitelně zde nemůžeme mluvit o žádné vyšší moci, le to lze nhrdit poždvkem přijetí všech těch slov, pro která existuje lespoň jeden přijímjící výpočet. Jink řečeno, místo vyšší moci si lze velmi doře předstvit vševědoucí pomocnou nápovědu, která nám pomáhá vyrt přechody vedoucí k přijetí (pokud to vůec je možné). Definice 2.9. (Zoecněný) Nedeterministický konečný utomt je uspořádná pětice A = (Q, Σ, δ, I, F ), kde Q je konečná neprázdná množin stvů, Σ je konečná neprázdná množin zvná vstupní eced, δ : Q (Σ {ε}) 2 Q je (nedeterministická) přechodová funkce, I Q je neprázdná množin počátečních stvů F Q je množin přijímjících (koncových) stvů. (ZNKA) Komentář: Rozdíl proti ěžnému utomtu z Definice 2.1 je v této definici n dvou místech: V dném stvu máme při čtení vstupního znku možnost přechodu do více stvů, neo tké prázdnou možnost přechodu. Dokonce můžeme přecházet po hrnách znčených symolem ε ez čtení ze vstupního slov tzv. ε-přechody. 15

21 Je povolen více než jeden počáteční stv. Poznámk: Pro dné vstupní slovo tk díky nedeterminismu může existovt mnoho (i nekonečně) různých výpočtů toho smého ZNKA. Definice: Slovo s Σ je přijímáno nedeterministickým utomtem A, pokud lespoň některý z možných výpočtů A nd s vede do přijímjícího stvu, tj. při vhodné volě z nedeterminovných možností. (Možné výpočty nevedoucí do přijímjícího stvu nás přitom nezjímjí.) Převod n deterministické utomty Čtenář si nejspíše teď klde přirozenou otázku, o kolik silnější je nedeterministický utomt oproti deterministickému. Odpověď je docel překvpivá o nic! Jk nyní dokážeme, kždý ZNKA lze jednoduchým postupem převést n ekvivlentní deterministický utomt. Vět Pro kždý zoecněný nedeterministický konečný utomt A existuje ekvivlentní (deterministický) konečný utomt A, tj. rozpoznávjící stejný jzyk L(A) = L(A ). Důkz: Nechť A = (Q, Σ, δ, I, F ). Sestrojíme KA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ), kde Q = 2 Q je množin všech podmnožin stvů Q q 0 = I Q, F Q oshuje všechny podmnožiny původních stvů Q, které oshují některý stv z F neo se z nich dá jen po ε-hrnách přejít do F. Přechodová funkce δ : Q Σ Q kždé podmnožině původních stvů P Q písmenu x Σ přiřdí podmnožinu R Q těch stvů utomtu A, do kterých se lze v A dostt z některého stvu v P přechodem po jedné hrně oznčené x po liovolném počtu hrn (před i po) oznčených ε. Není těžké nyní zdůvodnit, že nový utomt A přijímá stejná slov w jko původní A po kždém kroku výpočtu deterministického A ktuální stv q předstvuje podmnožinu těch stvů A, které lze dosáhnout různými (nedeterministickými) větvemi výpočtu A n w. (I stv prázdná množin má svůj význm, neoť výpočet nedeterministického A nemusí mít definovný žádný přechod nd určitým znkem.) Metod Konstrukce determin. utomtu z nedeterministického. Postup konstrukce přímo vyplývá z důkzu Věty Uvědomme si, že sestrojovný utomt A má ž exponenciální velikost vzhledem k A, le v prxi nám stčí sestrojit pouze dosžitelné stvy A, kterých ovykle neývá tk mnoho. Neoli následovně: Zčneme se stvem reprezentujícím množinu I počátečních stvů nedeterministického utomtu A. Dokud máme v sestrojovném utomtu A stvy s nedefinovnými přechody, vyereme si jeden tkový q znk x. Pro všechny stvy reprezentovné q njdeme všechny možnosti přechodu znkem x v A shrneme je v nové množině stvů q (t již v nšem utomtu může ýt sestrojená). Když nový stv reprezentuje množinu, která protíná neo ze které se v A dá dostt ε-přechody do F, oznčíme jej jko přijímjící. Poznámk: Bohužel ne vždy deterministický utomt sestrojovný z nedeterministického n- stvového utomtu má rozumnou velikost, jsou přípdy, kdy musí mít nejméně 2 n/2 stvů, což už může ýt prkticky nezvládnutelné. 16

22 Příkld Sestrojte k tomuto nedeterministickému utomtu ekvivlentní deterministický:, 3, 1 2, Postupujeme přesně podle Metody Tento utomt má jediný nedeterministický přechod znkem ze stvu 3, le přesto udeme muset použít všech 7 stvů odpovídjících neprázdným podmnožinám. Pro jednoduchost množiny stvů z 1, 2, 3 vepisujeme do kroužků ez závorek čárek, jko 123. Zčneme v množině stvů {1} zlev doprv sestrojíme následující utomt:, 13, ,,, Poznámk: Závěrem se krátce zmíníme o tzv. chyovém stvu utomtu. V prktických příkldech konstrukce utomtů se ovykle stává, že po přečtení některých nechtěných posloupností znků utomt přechází do stvu, který není přijímjící ve kterém už nvždy zůstává. Tkovému stvu se pk přirozeně říká chyový. Ve zjednodušených zorzeních utomtu se pk tkový chyový stv vynechává přechody do něj nejsou definovány. To je zcel v souldu s definicí nedeterministického utomtu, neoť nedefinovné přechody znmenjí nepřijetí slov. Tkový utomt všk rozhodně není deterministický ve smyslu nšich definic, přestože tře všechny osttní přechody deterministické jsou. Pokud máte z úkol sestrojit deterministický utomt, pk ten musí oshovt i přípdný chyový stv! (Pokud y zkreslení chyového stvu uděllo utomt příliš nepřehledný množstvím šipek, musíte spoň jsně slovně poznment, že všechny zylé šipky vedou do tohoto chyového stvu.) Úlohy k řešení (2.3.1) Kdy utomt z následující Úlohy přijímá slovo složené ze smých písmen? (2.3.2) Sestrojte ekvivlentní deterministický utomt k tomuto:, (2.3.3) Kdy utomt z Úlohy přijímá slovo složené ze smých písmen?, (2.3.4) Uměli yste slovně ( názorně) popst jzyk přijímný utomtem z Úlohy 2.3.2? (2.3.5) Nvrhněte ZNKA přijímjící jzyk všech těch slov nd {, }, které končí sufixem neo sufixem., 17

23 Rozšiřující studium Čtenářům, kteří chtějí lépe vidět, jk vlstně konečný utomt prcuje, vřele doporučujeme shlédnutí počítčových nimcí, které jsou přílohmi skript [8]. Tyto nimce jsou pro vás extrhovné n we stránkách výuky [5]. 2.4 Cvičení: Konstrukce převody utomtů Příkld Existuje konečný deterministický utomt se dvěm stvy rozpoznávjící jzyk všech těch neprázdných slov nd ecedou {,, c}, která oshují lespoň jeden znk? Pokud no, příslušný utomt zde nkreslete. Existuje, stčí se po prvním přečtení znku přesunout do přijímjícího stvu, ve kterém už zůstneme., c,, c 1 2 Příkld Existuje konečný deterministický utomt se třemi stvy rozpoznávjící jzyk všech těch neprázdných slov nd ecedou {,, c}, která neoshují žádný znk? Pokud no, příslušný utomt zde nkreslete. (Nezpomeňte, že přijímná slov mjí ýt neprázdná.) N první pohled y se mohlo zdát, že stčí vzít utomt z předchozího příkldu přehodit přijímjící stv. To všk není tk jednoduché, neoť tkový utomt y přijíml i prázdné slovo. Náš utomt má vypdt tkto:, c,, c 1 2 3, c Příkld Jk poznáme, že dv konečné utomty A 1 A 2 přijímjí shodné jzyky, tj. zd L(A 1 ) = L(A 2 )? Asi není schůdnou cestou kontrolovt všechn slov přijímná jedním z těchto utomtů, může jich ýt nekonečně mnoho. Přesto již znáte dost, ychom mohli popst jednoduchý konečný postup pro rozhodnutí dné otázky. Nejprve ověříme, zd L(A 1 ) L(A 2 ): Podle Úlohy sestrojíme utomt A 2 přijímjící opk (doplněk) jzyk L(A 1 ). Poté sestrojíme podle Věty 2.7 utomt B přijímjící průnik jzyků L(A 1 ) L( A 2 ). Elementární pozntky teorie množin nám říkjí, že L(A 1 ) L(A 2 ) právě když L(A 1 ) L( A 2 ) =. Tkže nám stčí ověřit, že utomt B nepřijímá žádné slovo, neoli že v grfu B nevede žádná orientovná cest z počátečního do přijímcího stvu. (Pokud y nopk B přijíml nějké slovo w, pk y w rozlišovlo nše dv utomty.) Symetricky si pk ověříme, zd L(A 2 ) L(A 1 ). Pokud to opět vyjde, celkově dojdeme k závěru, že L(A 1 ) = L(A 2 ). 18

24 Příkld Sestrojte ekvivlentní deterministický utomt k tomuto:, Postupujeme přesně podle Metody 2.11 utomt tentokrát vyjde mlý: ε,, ,, Všimněme si, že výsledný utomt vlstně jenom počítá pritu délky vstupního slov vůec nezáleží n tom, který ze znků, přijde n vstup. Příkld Je deterministický utomt sestrojený v Příkldě 2.16 nejmenší možný pro svůj jzyk? Není, sndno je vidět, že počáteční stv 1 lze sloučit se stvem 12. (Později si uvedeme více o tzv. minimlizci utomtu.) Příkld Následující zoecněný nedeterministický konečný utomt převeďte n deterministický ez nedosžitelných stvů., 3 ε 1 2, Pozor, všimněme si nejprve, že dný utomt má dv počáteční stvy, tkže počáteční stv deterministického utomtu ude tvořen množinou {1, 3}. Dlším odem k zmyšlení je hned přechod znkem z {1, 3} přímými přechody se lze dostt do stvů 2 1, le nvíc se můžeme dostt i do stvu 3 přechodem z 3 nejprve po ε následně po. Dlší přechody odvodíme odoně ,, 12 N závěr si všimněme, že ze stvu 2 není přechod definován, proto v deterministickém utomtu příslušný přechod povede do stvu, ve kterém již utomt zůstne nvždy (to je někdy nzýváno chyovým stvem). 19

25 Příkld Sestrojme nedeterministický utomt (ZNKA) rozpoznávjící jzyk všech těch slov nd ecedou {,, c}, která neoshují žádný znk, neo počet výskytů znku je sudý neo počet výskytů znku c dává zytek 2 po dělení třemi. Poždovný utomt jednoduše poskládáme z opku utomtu v Příkldě 2.13 z utomtů v Příkldě 2.2 v Úloze Budeme mít jeden nový počáteční stv (který ude přijímjící, neoť prázdné slovo je v nšem jzyce) z něj ε-přechody do počátků těchto tří vyjmenovných utomtů., c,, c ε ε ε, c, c,,, c c c Dokážete tento utomt převést n deterministický? Úlohy k řešení (2.4.1) Nvrhněte konečný deterministický utomt přijímjící právě t slov nd ecedou {,, c, d}, které nezčínjí, druhý znk nemjí, třetí znk nemjí c čtvrtý znk nemjí d. (Včetně těch s délkou < 4.) (2.4.2) Nvrhněte konečný deterministický utomt přijímjící právě t slov nd ecedou {,, c, d}, které nezčínjí neo druhý znk nemjí neo třetí znk nemjí c neo čtvrtý znk nemjí d. (2.4.3) Sestrojte deterministický konečný utomt přijímjící všechn t slov délky spoň 4 nd ecedou {, }, ) ve kterých jsou druhý, třetí čtvrtý znk stejné ) ve kterých jsou třetí poslední znk stejné. (2.4.4) Sestrojte deterministický konečný utomt přijímjící všechn t slov délky spoň 2 nd ecedou {, }, ve kterých nejsou poslední dv znky stejné. (2.4.5) Njděte liovolné slovo nd ecedou {, }, které neptří do jzyk přijímného tímto nedeterministickým utomtem se dvěm počátečními stvy: 3 4, Návod: Pozor, přestože všechny stvy jsou přijímjící, odpověď není tk triviální. (2.4.6) Njděte liovolné slovo nd ecedou {, }, které neptří do jzyk přijímného tímto nedeterministickým utomtem se dvěm počátečními stvy: 20

26 3 4, (2.4.7) Následující zoecněný nedeterministický konečný utomt převeďte n deterministický ez nedosžitelných stvů., 3 1 2, (2.4.8) Následující zoecněný nedeterministický konečný utomt převeďte n deterministický ez nedosžitelných stvů., 3 ε 1 2, (2.4.9) Slovně popište jzyk přijímný následujícím nedeterministickým utomtem Vyhledávání regulární výrzy Úvod Význmnou olstí plikcí konečných utomtů je vyhledávání vzorků (slov) v textu. Jistě ude čtenář souhlsit, že s tkovou úlohou se při počítči potkává téměř kždodenně. N vyhledávání existují stndrdní softwrové nástroje, které jsou ovykle přímo zudovány do systému neo do textových editorů. Předstvme si všk, že tkový nástroj nemáme chtěli ychom v rozsáhlém souoru nlézt slovo PES. Jk n to? Nivní progrmátorský přístup y ylo z kždé pozice v souoru zkontrolovt, zd se v následujících třech ytech ncházejí znky P, E S. Co je všk nevýhodou tkového přístupu? Ke znkům souoru zytečně přistupujeme třikrát. (A ylo y to ještě horší, pokud ychom hledli dlouhá slov.) Copk y to nešlo rychleji? Pokud se nd prolémem hlouěji zmyslíme, vidíme, že n kždém místě souoru nám mimo ktuálního znku stčí 21

27 si pmtovt dv předchozí. To y přece měl zvládnout i konečný utomt. * P P E S * (Pro vysvětlení, náš utomt hledá po soě znky P,E,S, přitom při výskytu jiných znků se vrcí zse n zčátek.) Co je důležité, utomty umí v textu vyhledávt nejen fixní slov, le i proměnlivé vzorky textu podle popsné struktury. Přesněji řečeno, konečným utomtem lze vyhledávt v dném textu všechny výskyty slov z nějkého regulárního jzyk. A tto plikce nás pk přímo přivádí k otázce, jk ychom dokázli symolicky (textově) zpst nějký regulární jzyk. K tomu účelu si popíšeme tzv. regulární výrzy, se kterými jste se již mohli dříve setkt n všem počítči (tře u příkzu grep). Cíle Nšim cílem je ukázt teoretický zákld lgoritmů pro vyhledávání vzorků v textu tké formálně zvést tzv. regulární výrzy pro symolický zápis celým tříd slov (právě regulárních jzyků, jk uvidíme). Čtenář y měl pochopit sílu regulárních výrzů nučit se je používt v prxi. P 3.1 Automty vyhledávání v textu Nvrhnout utomt přijímjící právě jedno dné slovo s je sndné. Uvědomte si všk, že vyhledání slov v textu je úplně jiný úkol předstvme si jej jko utomt, který čte vstupní text projde n konci kždého výskytu hledného slov přijímjícím stvem. Formálně řečeno, tento utomt má přijímt právě všechn slov mjící hledné slovo s jko sufix (n konci). Příkld 3.1. Nvrhněte konečný utomt přijímjící právě t slov nd ASCII ecedou, která mjí z sufix PAPA. Je docel zřejmé, že zákldem nšeho utomtu ude posloupnost přechodů P, A, P, A vedoucí do přijímjícího stvu. Co všk uděláme, pokud vstupu nlezneme jiný znk? Většinou se vrátíme do počátečního stvu. Ne všk vždy! A A P P P P A P A * * Npříkld znk P n chyném místě utomt pošle do stvu 2, což je nutné, y tento znk yl tké zpočítán jko první v možném sufixu PAPA. Dokonce ze stvu 5 musí při dlším znku P utomt přejít rovnou do stvu 4, neoť z prvním PAPA může hned následovt dlší (s překryvem výskytu) jko PAPAPA. Souhrnem těchto úvh získáme výše nkreslený výsledný utomt. 22

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE

ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE MUDr. Mgdlen Koťová, Ph.D. ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE Recenzent: Prof. MUDr. Jiří Mzánek, DrSc. Grd Pulishing,.s., 2006 Fotogrfie z rchivu utorky. Perokresy podle návrhů utorky nkreslil

Více

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012 Ulice Agentur sociální práce, o. s. Účetní závěrk z rok 2012 Osh: I. OBECNÉ INFORMACE... 2 1. POPIS ÚČETNÍ JEDNOTKY... 2 2. ZAMĚSTNANCI A OSOBNÍ NÁKLADY... 2 3. POSKYTNUTÉ PŮJČKY, ZÁRUKY ČI JINÁ PLNĚNÍ...

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI FAKULTA PEDAGOGICKÁ Ktedr sociálních studií speciální pedgogiky Studijní progrm: Studijní oor: Kód ooru: Sociální práce Sociální prcovník 7502R022 Název klářské práce: NÁHRADNÍ

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Word praktická cvičení

Word praktická cvičení Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: Informční.. Ing. Andre komunikční (podle ooru Květen 03 Modrovská tehnologie změření) Název zprovného elku: Textový proesor Word prktiká vičení Word prktiká vičení Tento

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT

SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT POLICEJNÍ AKADEMIE ČESKÉ REPUBLIKY V PRAZE AKADÉMIA POLICAJNÉHO ZBORU V BRATISLAVE pořádjí ČTVRTOU VIRTUÁLNÍ VĚDECKOU KONFERENCI s mezinárodní účstí SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT PRAHA

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

Podmínky externí spolupráce

Podmínky externí spolupráce Podmínky externí spolupráce mezi tlumočnicko překldtelskou genturou Grbmüller Jzykový servis předstvující sdružení dvou fyzických osob podniktelů: Mrek Grbmüller, IČO: 14901820, DIČ: CZ6512231154, místo

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek Sírk příkldů do IFJ Petr Zemek 11. ledn 2012 Osh Předmluv 1 1 Aeedy, řetěze jzyky 3 2 Úvod do překldčů 5 3 Modely regulárníh jzyků 6 4 Speiální konečné utomty 8 5 Lexikální nlýz 10 6 Modely ezkontextovýh

Více

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR Aktuální informce Ústvu zdrvotnických informcí sttistiky České repuliky Prh 8.1.2004 1 Zhouný novotvr ledviny mimo pánvičku v ČR Počet hlášených onemocnění zhouným novotvrem ledviny mimo pánvičku (dg.

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

Test studijních předpokladů Varianta B2 FEM UO, Brno 2014 1

Test studijních předpokladů Varianta B2 FEM UO, Brno 2014 1 Test studijních předpokladů Varianta B2 FEM UO, Brno 2014 1 Příklad 1. Z uvedených možností vyerte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Jestliže v sootu neude pěkně, koncert se

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING CO JE TO SMARTSELLING SmartSelling je první kompletní nástroj n[ českém [ slovenském trhu, který pod jednou střechou spojuje všechny nezbytné nástroje moderního online

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

Budova mateřské školy je řešena jako sendvičová

Budova mateřské školy je řešena jako sendvičová 42 Sendvičová dřevěná stv s jednoduchým půdorysem Stv Mteřské školy Sklníkov v Mriánských Lázních-Úšovcích je příkldem použití dřevěné konstrukční áze pro udovu očnského vyvení. Proszení tkovéto stvy stále

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. "Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE pro zjednodušené podlimitní řízení n služby v rámci projektu Hospodárné odpovědné město Klimkovice, reg. č. CZ.1.04/4.1.01/89.00121, který bude finncován ze zdrojů EU "Pordenství

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Staveništní malty a suché maltové směsi při obnově památek

Staveništní malty a suché maltové směsi při obnově památek Společnost pro technologie ochrny pmátek Národní technické muzeum Stveništní mlty suché mltové směsi při onově pmátek odorný seminář 18. dun 2013 Národní technické muzeum Kostelní 42, Prh 7 1 Stveništní

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu Studijní informční systém Elektronický zápis předmětů rozvrhu V odoí elektronického zápisu předmětů proíhá tzv. předěžný zápis. Student má předměty zpsné ztím pouze předěžně může je po celé odoí elektronického

Více

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Uživtelská příručk pro Windows Řešení prolémů s instlcí Kontrolní seznm pro řešení ěžných prolémů při instlci. Zákldní informce o tiskárně Informce o částech tiskárny softwru

Více

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie Pržská vysoká škol psychosociálních studií, s.r.o. Temtické okruhy ke státní mgisterské zkoušce Psychologická metodologie NMgr. oor Psychologie 1 Vědecká teorie vědecká metod Vědecké vysvětlení, vědecký

Více

Český jazyk a literatura

Český jazyk a literatura Český jzyk litertur Chrkteristik předmětu Předmět je rozdělen n tři disciplíny literární výchovu, jzykovou výchovu ční slohovou výchovu, které tvoří svébytné celky, le zároveň jsou ve výuce čsto propojovány.

Více

ROZVAHA. ke dni... Roset s.r.o. 31. 12. 2011. Raisova 1004 Strakonice 386 01

ROZVAHA. ke dni... Roset s.r.o. 31. 12. 2011. Raisova 1004 Strakonice 386 01 Minimální závzný výčet informcí podle vyhlášky č. 500/2002 S. ROZVAHA ke dni... 31. 12. 2011 jednotky: 1000 Kč Rok Měsíc IČ 2011 1 2 28065280 Ochodní firm neo jiný název účetní jednotky Roset s.r.o. Sídlo

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění GRAFY SOUVĚTÍ AUTOR Mgr. Jn Piklová OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí jejich grfických znázornění FORMA VZDĚLÁVACÍHO MATERIÁLU prcovní list pro žák POMŮCKY ppír kopírk OBSAH 1. Prcovní list s grfy

Více

SINEAX C 402 Hlásič mezních hodnot

SINEAX C 402 Hlásič mezních hodnot pro stejnosměrné proudy neo stejnosměrná npětí Použití SINEAX C 402 (or. 1) se používá především k sledování mezních hodnot při měřeních s proudovými neo npěťovými signály. Signlizce se přitom provádí

Více

ROZVAHA. ke dni... BAB mont s.r.o. Klíčovská 805/11 Praha 9 190 00 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0

ROZVAHA. ke dni... BAB mont s.r.o. Klíčovská 805/11 Praha 9 190 00 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 Minimální závzný výčet informcí podle vyhlášky č. 500/2002 S. Písemnost yl podán elektronicky dne: 20.6.2012 Podcí : 2172526 Heslo zjištění stvu: c3d895fe Stv podání: vyřízeno ROZVAHA ke dni... 3 1. 1

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Národní centrum výzkumu polárních oblastí

Národní centrum výzkumu polárních oblastí Národní centrum výzkumu polárních oblstí Dohod o spolupráci při výzkumu polárních oblstí Země Msrykov univerzit Žerotínovo nám. 9, 601 77 Brno, IČ 00216224, zstoupená rektorem Prof. PhDr. Petrem Filou,

Více

ď ž Č č č ě Ů š ž Ů Ů Ů ě Ů Ů ě ů Úč ě ě š Š ů Ů ú Ů ěž Ů ě ě Ů č ě Ů ÚČ Č ě č Úč č č š ě Ů ě ě úč č š č Č č Ů č č ÚČ ž š č ů č č Ž ň ž č ě ž ÚČ Č č č č š č ě Ú úč Ů ž ě š Ů ě Ů č š Ů č Í Ů č Ů ě č č ů

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM Ing. Michl Sedláček, Ph.D. ko-k s.r.o., Thákurov 7, Prh 6 Sptil erth pressure on circulr shft The pper present method for estimtion sptil erth pressure

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Referenční příručka pro instalační techniky

Referenční příručka pro instalační techniky Referenční příručk pro instlční techniky Tepelné čerpdlo země/vod Dikin Altherm Referenční příručk pro instlční techniky Tepelné čerpdlo země/vod Dikin Altherm češtin Osh Osh 1 Všeoecná ezpečnostní optření

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Využití shlukové analýzy a metody hlavních komponent při identifikaci faktorů ovlivňující přijetí IFRS pro SME

Využití shlukové analýzy a metody hlavních komponent při identifikaci faktorů ovlivňující přijetí IFRS pro SME Trendy ekonomiky mngementu / Trends Economics nd Mngement Využití shlukové nlýzy metody hlvních komponent při identifikci fktorů ovlivňující přijetí IFRS pro SME The Use of Cluster Anlysis nd Principl

Více

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla Dobývání znlostí z dtbází (MI-KDD) Přednášk číslo 4 Asociční prvidl (c) prof. RNDr. Jn Ruch, CSc. KIZI, Fkult informtiky sttistiky VŠE zimní semestr 2011/2012 Evropský sociální fond Prh & EU: Investujeme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ŘEŠENÍ OBVODŮ S TRANSIMPEDANČNÍMI OPERAČNÍMI ZESILOVAČI POMOCÍ GRAFŮ SIGNÁLOVÝCH TOKŮ

ŘEŠENÍ OBVODŮ S TRANSIMPEDANČNÍMI OPERAČNÍMI ZESILOVAČI POMOCÍ GRAFŮ SIGNÁLOVÝCH TOKŮ ŘEŠENÍ OBVODŮ S ANSMPEDANČNÍM OPEAČNÍM ESLOVAČ POMOÍ AFŮ SNÁLOVÝH OŮ ÚVOD Dlior Biolek, VA Brno rnsimpenční operční zesilovče (O) jsou perspektivní tegrovné ovoy, které jsou svými přenosovými vlstnostmi

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence:

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence: Konvence Integrovného doprvního systému Libereckého krje (IDOL) Účstníci Konvence: KORID LK, spol. s r.o. Liberecký krj Město Česká Líp Město Jblonec nd Nisou Sttutární město Liberec Město Turnov České

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td

Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td Budoucnost zvzuje Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td Nový senzor, odolný proti kondenzci s technologií sol-gel Nejvyšší poždvky n tlkový vzduch Monitorování zbytkové vlhkosti předchází poškození

Více

HOBBY PREZENTACE inels. www.elkoep.cz

HOBBY PREZENTACE inels. www.elkoep.cz HOBBY PREZENTACE inels www.elkoep.cz Chytré ŘÍZENÍ DOMU Chytrý dům s jeden DŮM jeden SYSTÉM jeden OVLADAČ n VŠE Technologie v domě si rozumí Technologie prcují z Vás Přináší mximální užitek Čsové finnční

Více

Á Í Ě č ě š č č ž ě ě š č ě ě ě š ů ě ě š ů č ě ě ě ě š ů ě š ě ě ě š ů ě Ž Í ě ž ň ů úč ě Č č ž š ě ě ž ň ů ů č ě ď č č č č ú š ě č č Í Š ě č ť ě ě ů š č ů č ů ů ů ů ě ů ů ě ě š ů úč č š ě č ě ě ň š ě

Více

5. Učební osnovy. 5. 1 Vzdělávací oblast Jazyk a jazyková komunikace

5. Učební osnovy. 5. 1 Vzdělávací oblast Jazyk a jazyková komunikace 5. Učební osnovy 5. 1 Vzdělávcí oblst Jzyk jzyková komunikce 5. 1. 1 Chrkteristik vzdělávcí oblsti Vzdělávcí oblst Jzyk jzyková komunikce je relizován v povinných vyučovcích předmětech český jzyk litertur,

Více

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II 1.3.5 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů II Přepokly: 1304 Pegogiká poznámk: Ieální je poku tto hoin vyje n vičení. Postup stuentů je totiž velmi iniviuální ěljí velké množství hy, oěht elou tříu

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Rozvaha a změny rozvahových položek. Rozvahové a výsledkové účty. Podvojný účetní zápis. Syntetické a analytické účty.

Rozvaha a změny rozvahových položek. Rozvahové a výsledkové účty. Podvojný účetní zápis. Syntetické a analytické účty. Rozvaha ZÁKLADY ÚČETNICTVÍ 5 5 ZÁKLADY ÚČETNICTVÍ Rozvaha a změny rozvahových položek. Rozvahové a výsledkové účty. Podvojný účetní zápis. Syntetické a analytické účty. 5.1 Rozvaha 5.1.1 Aktiva a pasiva

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám

Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jink moderně zábvněji Číslo název šblony II/2 Inovce zkvlitnění výuky cizích jzyků n středních školách

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více