TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TEORIE MATIC. Tomáš Vondra"

Transkript

1 TEORIE MATIC Tomáš Vondra

2 2

3 Obsah 1 Opakování Základní operace s maticemi Determinant matice Cauchyův-Binedův vzorec Stopa matice Podobnost matic, Jordanův tvar 9 3 Pozitivní matice a Frobeniova věta Nezáporné pozitivní matice Nezáporné matice Metoda sdružených gradientů Metoda největšího spádu Metoda sdružených gradientů Předpodmínění Normy matic 41 3

4 4 OBSAH

5 Kapitola 1 Opakování Definice 1.1. Matice je soubor m n čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn (1.1) Přitom a ik jsou reálná nebo komplexní čísla. Pro m = 1 resp. n = 1 se jedná o řádkový resp. sloupcový vektor a pro m = n se jedná o čtvercovou matici. Pokud a ik = a, potom se jedná o konstantní matici, pro a ik = 0, jedná se o matici nulovou a pro a ik = δ ik se jedná o matici jednotkovou (značíme E nebo I). Definice 1.2. Mějme matici A = (a ik ). Vyberme podmnožinu M = {i 1,..., i r } z množiny řádkových indexů {1,..., m} a dále podmnožinu N = {k 1,..., k s } z množiny sloupcových indexů {1,..., n}. Potom matici A(M, N) = a i1k 1 a i1k s.. a irk 1 a irk s (1.2) nazýváme podmaticí A (specielně pro po sobě jdoucí indexy se jedná o blok). Definice 1.3. Pokud je A čtvercová matice, potom podmatici A(M, M) nazýváme hlavní podmaticí. 1.1 Základní operace s maticemi 1. sčítání - matice musí mít stejné dimenze, potom ( i, j)(c ij = a ij + b ij ) 2. násobení číslem - α A = (αa ij ) i m,j n 5

6 6 KAPITOLA 1. OPAKOVÁNÍ 3. násobení matic - C = A B pokud A má dimenzi (m, n) a B má dimenzi (r, s) a r = n Pro násobení matic platí následující vlastnosti: 1. není komutativní A B B A 2. je asociativní A (B C) = (A B) C 3. je distributivní A (B + C) = A B + A C 4. existuje matice E tak že E A = A 5. existuje nulová matice Θ tak, že Θ A = A Θ = Θ Čtvercové matice s operací + tvoří grupu, ale čtvercové matice s operací grupu netvoří (musíme vyhodit singulární matice). Definice 1.4. Řekneme, že matice A je regulární právě když existuje matice B tak, že B A = A B 1. regulární matice - det(a) 0, h(a) = n 2. singulární matice - det(a) = 0, h(a) < n, tj. ( x θ)(ax = θ) Definice 1.5. Nechť matice A je matice typu m n, pak hodnost soustavy všech řádkových vektorů je rovna hodnosti soustavy všech sloupcových vektorů. Toto číslo se nazývá hodnost matice h(a). Mezi důležité regulární matice patří například 1. jednotková matice a její nenulové násobky 2. diagonální matice s a ii 0 3. trojúhelníková matice s a ii 0 4. permutační matice 5. Vandermontova matice 6. exp(a) (pro všechna A) Přičemž Vandermondova matice je pro a i a j pro i j definována takto a 0 1 a 1 1 a 2 1 a n 1 1. a 0 2 a 1 2 a 2 2 a n a 0 n a 1 n a 2 n a n 1 n (1.3) Regulární čtvercové matice s operací tvoří grupu a diagonální regulární čtvercové matice tvoří podgrupu. Platí že (M, +, ) je těleso právě tehdy když: 1. (M, +) je grupa 2. (M \ {0}, ) je grupa

7 1.2. DETERMINANT MATICE Determinant matice Definice 1.6. Nechť A je čtvercová matice řádu n a p je permutace množiny ˆn. Potom determinant matice A definujeme takto: det(a) = p σ(p) a 1p(1) a 2p(2) a np(n) (1.4) (tj. sumace přes všechny permutace množiny ˆn) Cauchyův-Binedův vzorec Mějme matice A(m, n), B(n, m), n m. Potom platí det(a B) = det(a(m, N i )) det(b(n i, M)) (1.5) N i kde M = {1,..., n} a N i je množina m čísel. 1.3 Stopa matice Definice 1.7. Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak číslo n i=1 a ii nazýváme stopou matice a značíme st(a), resp. Sp(A) nebo Tr(A). Tvrzení 1.8. Nechť jsou matice A, B čtvercové. Potom 1. Tr(AB) = Tr(BA). 2. Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA) Příklad 1.9. Rozhodněte, zda platí: Tr(ABC) = Tr(CBA) Řešení Aby měly úvahy vůbec nějaký smysl, musí odpovídat rozměry matic, tj. a 11 a 1n b 11 b 1r c 11 c 1k A B C = a n1 a nn b r1 b rr c k1 c kk takže nutně n = r, r = k. Stejně také c 11 c 1k b 11 b 1r a 11 a 1n C B A = c k1 c kk b r1 b rr a n1 a nn

8 8 KAPITOLA 1. OPAKOVÁNÍ a tedy nutně n = r, r = k. Aby tedy oba výrazy ABC, CBA měly smysl, musí platit n = r = k. Podívejme se nyní na součiny podrobněji. Po provedení násobení dostaneme n n A B C = (a ij b jk c kl ) Potom tedy ale platí C B A = Tr(A B C) = Tr(C B A) = k=1 j=1 ( n p=1 s=1 n ) n (a pt b sp c rs ) n i=1 k=1 j=1 n n r=1 p=1 s=1 il rt n (a ij b jk c ki ) n (a pr b sp c rs ) Avšak tyto dva výrazy se obecně nemusí rovnat (stačí si všimnout, které indexy se vždy rovnají v prvním a ne v druhém výrazu). Podívejme se například na matice řádu 2. ( a11 a A = 12 a 21 a 22 ), B = ( b11 b 12 b 21 b 22 ), C = ( ) c11 c 12 c 21 c 22 Tr(A B C) = a 11 b 11 c 11 + a 12 b 21 c 11 + a 11 b 12 c 21 + a 12 b 22 c 21 + a 21 b 11 c a 22 b 21 c 12 + a 21 b 12 c 22 + a 22 b 22 c 22 Tr(C B A) = a 11 b 11 c 11 + a 11 b 21 c 12 + a 21 b 12 c 11 + a 21 b 22 c 12 + a 12 b 11 c a 12 b 21 c 22 + a 22 b 12 c 21 + a 22 b 22 c 22

9 Kapitola 2 Podobnost matic, Jordanův tvar Mějme vektorový prostor V n. Nechť x V n a ɛ = {e 1, e 2,..., e n } je báze ve V n. Potom x ɛ značíme reprezentaci x v bázi ɛ (obecně platí x = ɛ x ɛ. Nechť nyní ɛ je jiná báze V n. Potom existuje matice P (tzv. matice přechodu) taková, že ẽ j = i P ij e i (2.1) x = ɛ x ɛ = ɛ x ɛ = ɛ P x ɛ (2.2) x ɛ = P x ɛ (2.3) Nechť A je čtvercová matice a nechť φ je lineární zobrazení definované takto: φ(e j ) = i a ij e i (2.4) Potom tj. φ(ɛ) = ɛ A (2.5) φ(x) = φ(ɛ x ɛ ) = ɛ A x ɛ (2.6) φ(x) ɛ = A x ɛ (2.7) P φ(x) ɛ = A P x ɛ (2.8) φ(x) ɛ = [P 1 A P] (2.9) Definice 2.1. Řekneme, že čtvercová matice B řádu n je podobná matici A pokud existuje regulární matice P taková, že platí B = P 1 A P. 9

10 10 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR Příklad 2.2. Nechť B = ( ) A = ( ) P = ( 1 ) Ověřte, že Řešení takže tvrzení platí. B = P 1 A P B = P 1 A P P B = A P ( ) ( ) P B = A P = Věta 2.3. Nechť platí, že matice B je podobná matici A (tj. A B). Pak 1. det(b) = det(a) 2. Tr(A) = Tr(B) Důkaz 1. det(b) = det(p 1 A P) = det(p 1 ) det(a) det(p) = det(a) 2. Tr(A) = i a ii Tr(B) = Tr(P 1 A P) = i = j,k Věta 2.4. Podobnost je: a jk i P 1 ij P ki = jk 1. reflexivní (A A, protože A E 1 A E) 2. symetrická (A B B A) 3. tranzitivní (A B B C A C) Důkaz 1. zřejmé 2. zřejmé j,k P 1 ij a jk P ki = a jk δ jk = j a jj 3. A B B = P 1 A P B C C = Q 1 A Q takže C = (Q 1 P 1 ) A (P Q)

11 11 Označme [A] třídu matic, které jsou podobné A a [B] třídu matic podobných B. Potom nutně [A] = [B], nebo [A] [B] = (plyne triviálně z tranzitivnosti relace podobnosti). Mohli bychom se zeptat, zda je matice A podobná nějaké diagonální matici, tj. zda do [A] nějaká diagonální matice patří. Odpověď na tuto otázku zní ne vždy. Existuje nicméně poměrně obecný tvar matice, tzv. matice Jordanova, a platí že ke každé matici A existuje Jordanova matice J tak, že A J. Jordanova matice je blokově diagonální, a její obecný tvar je J 1 0 J 2 J 3... (2.10) kde 0 J k λ 1 λ 1 J s = λ λ (2.11) Definice 2.5. Řekneme, že x 0 je vlastním vektorem matice A, pokud existuje číslo λ takové, že Ax = λx. Číslo λ nazýváme vlastním číslem příslušným vektoru x. Vraťme se nyní k otázce, kdy je matice A podobná diagonální matici Λ. Dle definice by muselo platit Λ = P 1 A P tj. P Λ = A P a matice Λ by musela mít tvar λ 1 λ Λ = 2 Označme k-tý sloupec matice P jako p k a vyjádřeme rovnost PΛ = AP podrobněji. λ 1 λ PΛ = ( p 1, p 2,..., p k ) 2 = ( λ 1p 1, λ 2 p 2,..., λ k p k )... λk λ k AP = ( Ap 1, Ap 2,..., Ap k )

12 12 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR takže nutně Ap j = λ j p j To však znamená, že jsme našli jak všechna vlastní čísla matice A, totiž soubor (λ 1,..., λ k ), tak i všechny vlastní vektory (p 1,..., p k ). Poznámka 2.6. Pokud je A podobná nějaké diagonální matici Λ, konkrétně A = P 1 ΛP, potom se na diagonále matice Λ vyskytují vlastní čísla matice A a matici P tvoří odpovídajícím způsobem setříděné vlastní vektory matice A. Věta 2.7. Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom číslo λ je vlastním číslem matice A právě tehdy, když je kořenem polynomu det(a λ E). Polynom P (λ) = det(a λ E) nazýváme charakteristickým polynomem matice A. Důkaz Matice A λ E je podle předpokladu singulární, takže det(a λ E) = 0 Existuje tedy nenulový vektor x takový, že Ax = λx, tj. (A λe)x = 0. Dle předpokladu det(a λ E) = 0, takže matice A λ E je singulární. Existuje tedy nenulový vektor x takový, že Ax = λx. Příklad 2.8. Nechť A = ( 1 2 ) 2 2 Potom ( 1 λ 2 ) 2 2 λ ( ) 1 λ 2 det = (1 λ)( 2 λ) 4 = 2 + λ + λ 2 4 = 2 2 λ Matice A je tedy podobná matici = (λ + 3)(λ 2) = 0 λ { 3; 2} B = ( ) a platí Tr(A) = Tr(B) = 1. Spočtěme ještě vlastní vektory matice A: ( ) 1 λ = 3 (A + 3E)x = θ x = 2 λ = 2 (A 2E)x = θ x = ( ) 2 1 Věta 2.9. Nechť A B, pak charakteristický polynom matice A je roven charakteristickému polynomu matice B.

13 13 Důkaz det(b λe) = det(p 1 AP λe) = det(p 1 AP λp 1 E P) = = det[p 1 (A λe)p] = det(a λe) Poznámka I když jsou pro pobodné matice vlastní čísla stejná, vektory stejné být nemusí! Příklad Nechť A B, a nechť λ je jejich vlastní číslo. Dále nechť Ax = λx a B x = λ x. Potom B x = P 1 AP x = λ x a tudíž x = P x. AP x = λp x 1. Každá matice má alespoň jedno vlastní číslo a nejvýše n vlastních čísel (v oboru C). 2. Pokud uvažujeme násobnost vlastních čísel, pak je jich právě n. 3. V Jordanově tvaru má matice na diagonále všechna vlastní čísla, přičemž každé právě tolikrát, kolik je jeho násobnost. Pro trojúhelníkovou matici platí, že determinant je roven součinu prvků na diagonále, takže: kde k i je násobnost λ i. det(j λe) = (λ 1 λ) k1 (λ 2 λ) k2... Tvrzení Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé. (důkaz indukcí) Definice Nechť A je čtvercová matice, a nechť λ je její vlastní číslo. Potom charakteristickým podprostorem příslušným k vlastnímu číslu λ nazýváme podprostor N λ = {x V n Ax = λx} Poznámka N λ je skutečně vektorový prostor/podprostor. 2. N λ je invariantní vzhledem k násobení vektorů maticí A. Příklad A = má jedno trojnásobné vlastní číslo λ = 7, takže (A λe) = Θ dim(n 7 ) = 3, N 7 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] λ

14 14 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR 2. A = má jedno trojnásobné vlastní číslo λ = 7, takže (A λe) = dim(n 7 ) = 2, N 7 = [(1, 0, 0), (0, 0, 1)] λ 3. A = má jedno trojnásobné vlastní číslo λ = 7, takže (A λe) = dim(n 7 ) = 1, N 7 = [(1, 0, 0)] λ Věta Nechť A je čtvercová řádu n. Potom dimenze prostoru N λ je nejvýše rovna násobnosti čísla λ jakožto kořene charakteristivkého polynomu matice A. Poznámka Pokud λ je vlastní číslo matice A, potom dim(n λ ) Každá metice je podobná nějaké Jordanově matici, ale nemusí být podobná nějaké matici diagonální. Věta Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: 1. A je podobná diagonální matici 2. V prostoru C n existuje báze λ vlastních vektorů matice A. 3. Pro každé λ je dim(n λ ) rovna násobnosti λ jakožto kořene charakteristického polynomu. Důkaz Platí A Λ, potom tedy (1) (2), protože Λ = P 1 A P P Λ = A P a P je tvořena z vlastních vektorů matice A (viz výše). Protože P je regulární matice, jsou její sloupce LN, a tvoří tedy bázi prostoru C n.

15 15 (2) (3): Označme jako n j násobnost vlastního čísla λ j, dim(n λj ) označme jako ñ j, a h(a) jako n. Víme, že existuje báze z vlastních vektorů matice A, takže k ñ j = n j=1 a n j ñ j (viz. předchozí věta). Potom ale nutně n j = ñ j (3) (2): Nechť x je vlastní vektor příslušný k λ. V každém N λ vytvoříme bázi, čímž dostaneme n LN vektorů, které jsou navíc vlastními vektory. Tím jsme však důkaz dokončili. Poznámka Postup pro vytvoření Λ a P pokud A Λ, kde Λ je diagonální matice 1. Nalezneme charakteristický polynom a jeho kořeny (i s násobnostmi). 2. Ověříme, zda jde dim(n λ ) rovna násobnosti vlastního čísla λ jako kořene polynomu (tj. hledáme řešení (A λe)x = θ, x θ 3. Vytvoříme Λ a P. Poznámka dim(n λ ) = k h(a λe) = n k Věta Nechť A je řádu n a nechť charakteristický polynom matice A má n různých kořenů. Pak A je podobná diagonální matici. Důkaz(triviálně) Existuje n LN vlastních vektorů a n různých vlastních čísel. Z konstrukce matic Λ a P je diagonálnost matice zřejmá. Definice Nechť A je řádu n a nechť λ je její vlastní číslo. Konečnou posloupnost různých vektorů a 1, a 2,..., a k nazveme řetězcem příslušným k vlastnímu číslu λ, pokud platí (A λe)a 1 = 0 (A λe)a k = a k 1 pro k > 1 Příklad Nechť (A λe) = potom vektory tvoří řetězec délky 3 p 1 = 0 0 p 2 = p 3 = 1 0 0

16 16 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR Věta Nechť A je čtvercová matice řádu n, a nechť p 1,..., p k je řetězec příslušný k vlastnímu číslu λ. Potom p 1,..., p k jsou LN. Důkaz(indukcí) 1. p 1 je LN protože p sporem: Nechť je p 1,..., p k LZ. Potom tedy existuje netriviální kombinace k j=1 c jp j = 0. Potom ale (A λe)( k c j p j ) = 0 j=1 Dle předpokladu ale pro k 1 platí, že p 2,..., p k je LN, a tudíž c 2 = = c k = 0. Zároveň ale musí platit c 1 = 0 (aby k j=1 c jp j = 0). To je však spor s existencí netriviální nulové lineární kombinace. Věta Nechť A je čtvercová matice řádu n a nechť λ je její vlastní číslo. Pak vektor x C n je k-tým členem řetězce příslušným k vlastnímu číslu λ právě tehdy, když platí 1. (A λe) k x = 0 2. a přitom (A λe) k 1 x 0 Důkaz 1. Máme řetězec p 1,..., p k 1, x(= p k ). Potom (A λe)x = p k 1 (A λe) 2 x = p k 2 (A λe) 3 x = p k 3. (A λe) k 1 x = p 1 (A λe) k x = 0 2. Vektor x tvoří řetězec příslušný k λ, protože (A λe) k 1 x, (A λe) k 2 x,..., (A λe)x, x tvoří řetězec příslušný k λ. Definice Nλ k = {x C n (A λe) k x = 0} Poznámka N λ = {x C n (A λe)x = 0}

17 17 2. W λ λ N 1 λ N 2 λ N k λ 3. Nechť p 1,..., p k je řetězec příslušný k λ. Potom p 1, p 2,..., p k N k λ p 1 N 1 λ, N 2 λ,..., N k λ a 2 N 2 λ,..., N k λ. a k N k λ Věta Nechť A je matice řádu n a λ její vlastní číslo, které má násobnost j. Pak v prostoru N j λ existuje báze z řetězců příslušných k λ. (bez důkazu) Věta Nechť A je matice řádu n a λ její vlastní číslo s násobností j. Potom dim(n j λ ) = j. (bez důkazu) Poznámka To neznamená, že existuje řetězec délky k! 2. LN řetězců existuje právě tolik kolik existuje LN vlastních vektorů (včetně řetězců délky 1). 3. Nechť k vlastnímu číslu λ přísluší k vlastních vektorů, a nechť dim(n λ ) = k dim(n 2 λ) = k + l dim(n 3 λ) = k + l + m. přičemž nutně musí platit (l k). Potom l řetězců má délku alespoň 2, m řetězců má délku alepoň 3, atd. 4. Nechť má vlastní číslo λ násobnost k. Potom v prostoru Nλ k z řetězců příslušných k λ, takže dim(nλ k) = k. existuje báze Věta Nechť A je matice řádu n a λ 1, λ 2,..., λ k její vlastní čísla s násobnostmi j 1,..., j k. Potom C n = N j1 λ 1 N j2 λ 2... N j k λ k Důkaz Důkaz je důsledkem předchozích tvrzení. Stačí pouze dokázat, že řetězce příslušné k různým vlastním číslům jsou LN. Poznámka Počet řetězců, které tvoří bázi v N j λ je roven dim(n j λ ) (neboli počtu LN vlastních vektorů příslušných k λ).

18 18 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR 2. Počet řetězců, které mají délku 2 je dim(n 2 λ ) dim(n 1 λ ). 3. Počet řetězců s délkou 3 je dim(n 3 λ ) dim(n 2 λ ). 4. Nechť λ je vlastní číslo matice A a nechť j je jeho násobnost. Pokud dim(n k 1 λ ) j a dim(nλ k ) = j, potom k je délka nejdelšího řetězce. Věta Jordanova věta: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom A je podobná Jordanově matici J A. Matice J A je určena jednoznačně až na pořadí bloků. Přitom: 1. na diagonále každého bloku je vlastní číslo matice A 2. počet bloků, které mají na diagonále vlastní číslo λ je roven dim(n λ ) a součet řádů těchto bloků je roven násobnosti λ jakožto kořene charakteristického polynomu. Důkaz Důkaz provedeme ve dvou krocích: (1) zkonstruujeme matice J A a Q a (2) ověříme že platí QJ A = AQ 1. Nalezneme báze všech prostorů N j1 λ 1,..., N j k λ k, a z báze každého prostoru postupně vyjmeme řetězce s maximální délkou. Q = q 1, q 2,..., q k, λ ) ) ) ((q 1 (q 2 (q k,,...,,... ) λ 1 λ λ J A = kde je znázorněn blok řádu k 2. Nyní tedy ověřme, že Q J A = A Q. Pro první sloupec A Q dostaneme (A Q) 1 = A Q 1 ale zároveň víme, že matice Q se skládá z vlastních vektorů matice A, takže A q 1 = λq 1. Podívejme se nyní na první sloupec matice Q J A. Triviálně platí (čtenář si jistě rád dokáže sám...), že (Q J A ) 1 = λq 1

19 19 Nyní se podívejme na další sloupce. Stejnou úvahou jako v předchozím odstavci dostaneme rovnost A q k = λq k. Podívejme se tedy na (Q J A ) 1 : přitom ale platí (Q J A ) k = λq k + q k 1 takže (A λe)q k = q k 1 Aq k = λq k + q k 1 (Q J A ) k = Aq k Poznámka poznámky k důkazu Jordanovy věty 1. V C n existuje báze z řetězců. Nechť tedy {p 1, p 2,..., p n } je tato báze. 2. (konstrukce J, Q) Vezmeme jedno vlastní číslo λ a jemu příslušný řetězec (např. λ p 1, p 2, p 3 ), do J umístíme blok odpovídající λ a do Q umístíme řetězec. J = λ 1 λ 1 λ... Q = p 1 p 2 p 3 poté vezmeme další vlastní číslo a příslušný řetězec a celý postup opakujeme. 3. Jednoznačnost J plyne z jednoznačnosti délek odpovídajících řetězců v bázi {p 1,..., p n }. 4. Jednoznačnost délek řetězců plyne z jednoznačnosti dimenzí N k λ. 5. Ukážeme J A A, tj. J = Q 1 AQ. Matice Q je regulární ({p 1,..., p n } je báze C n, takže stačí ověřit QJ A = AQ. To provádíme po sloupcích: (a) k-tý sloupec AQ { λp AQ k = k pokud je p k vektor příslušný k λ(1) λp k + p k 1 pokud je p k prvkem řetězce s indexem > 1(2)

20 20 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR (b) k-tý sloupec J pro případ (1): (λ je na k-tém řádku) (c) k-tý sloupec J pro případ (2): 0. 0 λ λ 0. 0 (λ je na k-tém řádku) Příklad Nechť má matice vlastní čísla λ 1 = 7 a λ 2 = 1. Nechť vlastnímu číslu 7 přísluší řetězce {q 1 }, { q 1, q 2, q 3 } a vlastnímu číslu 1 nechť přísluší řetězce {p 1 }, { p 1 }. Potom bude mít Jordanova matice J a transformační matice Q tvar 1 J = Q = p 1 p 1 q 1 q 1 q 2 q 3 Poznámka Na diagonále každého bloku Jordanovy matice J A jsou vlastní čísla matice A. 2. Počet bloků s číslem λ na diagonále je roven dim(n λ ) (k je ná- 3. Dimenze bloků odpovídají délkám řetězců, které tvoří bázi v Nλ k sobnost λ). 4. Součet dimenzí bloků příslušných k λ je k. 5. Transformační matice Q je tvořena příslušně uspořádanými řetězci.

21 21 Příklad A = det(a) = = (1 + λ) takže λ = 1 je trojnásobné vlastní číslo. Potom h(a λe) = h = takže vlastnímu číslu λ = 1 přísluší dva nezávislé vlastní vektory. Protože dim(n λ ) = 2, budou Jordanovu matici tvořit dva bloky s λ = 1, a Jordanova matice tedy bude mít jeden z následujících tvarů: Zároveňto však znamená, že existují dva řetězce délky alespoň 1. Protože (A+E) 2 = , platí dim(nλ 2) = 3, dim(n λ 2) dim(n λ) = 1, a existuje tedy jeden řetězec délky alespoň 2. (Protože zřejmě dim(nλ 3) = 3, dim(n λ 3) dim(nλ 2 ) = 0, je zřejmé že řetrězec delší než 2 neexistuje.) Hledejme nyní druhý vektor z řetězce (A + E)x 0, (A + E) 2 x = 0. Platí Položme nyní potom dim(n 2 1) = 3 přičemž N 2 1 = {x (A + E) 2 x = 0} x = (A + E)x = = J A = Q = Hledáme tedy p tak, aby (A + E)p = 0 a aby p bylo LN s (A + E)p. Nechť tedy p = 0 1 0

22 22 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR Potom Q J A = A Q = Klasifikace dle typu J do dim(a) = 4: 1. n = 1 A je v Jordanově tvaru 2. n = 2 (a) Existují tedy dva LN vlastní vektory (k jednomu nebo dvěma vlastním číslům). ( ) λ J A = µ (b) Existuje pouze jedno vlastní číslo, ale náleží k němu pouze jeden LN vlastní vektor. Existuje tedy řetězec délky 2. ( ) λ 1 J A = λ 3. n = 3 Nechť (A λe)x 0. Potom (A λe)x 0, x je příslušný řetězec. (a) Existují 3 LN vlastní vektory. (b) Existují 2 LN vlastní vektory. J A = λ µ ν i. λ není trojnásobné vlastní číslo, takže existuje řetězec délky 2. J A = λ 1 λ µ Najdeme (A λe)x 0, potom (A λe)x, x tvoří řetězec. K (A λe)x naleznu LN vlastní vektor. ii. λ je trojnásobné vlastní číslo J A = λ 1 λ 1 µ najdeme (A λe) 2 0, potom (A λe) 2 x = 0, (A λe)x, x tvoří řetězec. K (A λe)x naleznu LN vlastní vektor.

23 23 4. n = 4 (a) Existují 4 LN vlastní vektory. λ J A = µ ν ρ (b) Existují 3 LN vlastní vektory. J A = λ 1 λ µ ν Obdobně jako pro 3(b). (c) Existují 2 LN vlastní vektory. Potom (d) J A = λ 1 λ µ 1 µ (A λe)x 0, (A λe) 2 x = 0 (A µe)y 0, (A µe) 2 y = 0 J A = λ 1 λ λ 1 λ (A λe)x 0, (A λe) 2 x = 0 (A λe)y 0, (A λe) 2 y = 0 a máme dva řetězce (A λe)x, x, (A λe)y, y. Tento postup však není optimální, protože pro x y může nastat (A λe)x = (A λe)y. Najděme tedy dva LN vlastní vektory p 1, q 1. V principu bychom mohli řešit soustavy (A λe)p 2 = p 1 (A λe)q 2 = q 1 Soustavy sice nejsou příjemné, tato cesta k cíli vede, nicméně existuje jednodušší řešení. Doplňme vektory p 1, q 1 do báze v prostoru C 4, čímž dostaneme {v 1, v 2, p 1, q 1 } a vytvořme řetězce (A λe)v 1, v 1, (A λe)v 2, v 2. Tyto vektory jsou LN.

24 24 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR (e) Existuje řetězec délky 3. J A = λ 1 λ 1 λ µ (f) (g) Najdeme (A λe) 2 x 0. Potom (A λe) 2 x, (A λe)x, x tvoří řetězec. Musíme ale ověřit, že (A λe) 3 x = 0. takže J A = λ 1 λ 1 λ (A λe) 2 Θ dim(n 1 λ) = 2 dim(n 2 λ) = 3 dim(n 3 λ) = 4 µ h((a λe) 2 ) = 4 3 = 1 Potom (A λe) 2 x, (A λe)x, x je řetězec a stačí nám najít ještě jeden LN vektor. J A = λ 1 λ 1 λ 1 µ (A λe) 4 = Θ (A λe) 3 Θ Potom (A λe) 3 x, (A λe) 2 x, (A λe)x, x je řetězec délky 4. Poznámka Toto vše jsme řešili v C. Jestliže je A reálná, a λ je její vlastní číslo, které reálné není, potom je i λ také vlastní číslo matice A. Nechť q 1, q 2,..., q k je řetězec příslušný k λ, potom řetězec q 1, q 2,..., q k je LN a přísluší k λ. Nechť A je čtvercová matice řádu n, a nechť A D, kde D je diagonální matice. Hledejme nyní matici B takovou, že B 2 = A (ozn. B = A). Víme, že A = Q 1 D Q

25 25 kde λ 1 λ D = 2... λk D = λ1 λ2... λk tj. Potom ale A Q 1 D Q. Nechť nyní f(x) = a k x k Potom platí Zároveň platí f(a) = f(a) = k=0 a k A k k=0 [ ] a k (Q 1 D Q) k = Q 1 a k D k Q k=0 D k = Odtud ale plyne, že k=0 a kλ k 1 f(a) = Q 1 λ k 1 f(λ 1 ) f(a) = Q 1 λ k 2 k=0 a kλ k 2 f(λ 2 ) k=0... λ k n... k=0 a kλ k n... f(λn) Q Q Pro Jordanovu matici triviálně platí λ 1 λ... J n (λ) =... 1 λ

26 26 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR a tedy λ 2 2λ 1 λ 2 2λ... J 2 n(λ) = λ λ λ 2 Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Nechť λ je její v absolutní hodnotě největší vlastní číslo. Potom λ nazýváme spektrálním poloměrem matice A a označíme λ = ρ(a) O vztahu mezi A, f(a) a ρ(a), f(ρ(a)) pojednává následující věta. Věta Oldenburger: tehdy když ρ(a) < 1. Nechť A je řádu n. Potom lim k A k = 0 právě Důkaz 1. (triviálně): pokud λ < 1, potom nutně J k n(λ) 0 2. sporem: stačí dokázat pro diagonální matici - pokud by λ 1, potom λ k nebude konvergovat k nule (spor) Věta Nechť A je čtvercová matice řádu n a nechť platí ρ(a) < 1. Pak řada E + A + A A k konverguje a je rovna (E A) 1. Důkaz 1. konvergence je zřejmá na základě předchozí věty 2. existence (E A) 1 B je regulární ( i ˆn)(λ n 0). Matice (E A) má vlastní čísla ve tvaru 1 λ i, kde λ i jsou vlastní čísla A, takže ( i)( λ i ρ(a) < 1). Potom tedy ( i)(1 λ i 0) a matice (E A) je tedy regulární. Odtud již tedy plyne existence matice inverzní. 3. rovnost nastává právě tehdy když (E A) 1 = E + A + A E = (E A)(E + A + A ) = E A k+1 A protože A k 0, rovnost platí. Věta Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom λ je jednoduché vlastní číslo matice A právě tehdy, když

27 27 1. existuje jediný LN vlastní vektor v matice A příslušný vlastnímu číslu λ a jediný LN vlastní vektor u matice A T příslušný k λ 2. u v 0 Důkaz 1. z (1) dostáváme, že v Jordanově matici existuje nejvýše jeden s λ na diagonále. Zároveň platí, že jestliže A J potom A T J T, protože J = Q 1 A Q J T = Q T A T Q 1 T Z (2) potom vyplývá, že tento blok v Jordanově matici musí mít řád 1, protože pokud ( ) ( ) λ2 1 A = A T λ2 0 = 0 λ 2 1 λ 2 potom ( ) ( ) 1 0 p 1 = p 0 2 = 1 ( ) ( ) λ2 1 Ap 1 = Ap 0 2 = = p 1 + λ 2 p 2 a řetězec je tedy p 1, p 2. Současně ale ( ) ( ) A T λ2 p 1 = A T 0 p 1 2 = a řetězec je tedy p 2, p 1 (tj. v opačném pořadí). Platí tedy p 1 p 2 = 0. Uvažujme nyní p 1 λ pro J a p 2 λ pro J T. Potom platí: p 1 p 2 = 0 pokud platí jedno z následujících tvrzení (a) existuje více vlastních vektorů LN příslušných k λ (b) existuje řetězec délky > 2 λ 2 λ 2

28 28 KAPITOLA 2. PODOBNOST MATIC, JORDANŮV TVAR

29 Kapitola 3 Pozitivní matice a Frobeniova věta 3.1 Nezáporné pozitivní matice Definice 3.1. Řekneme, že matice A je nezáporná (ozn. A 0), pokud pro každý prvek a ij matice A platí a ij 0. Definice 3.2. Řekneme, že matice A je nezáporná (ozn. A 0), pokud pro každý prvek a ij matice A platí a ij > 0. Poznámka Pokud jsou A, B nezáporné a stejného typu (rozměru), potom je i A + B nezáporná. 2. Pokud jsou A, B nezáporné, čtvercové, potom je i A B nezáporná. Tvrzení 3.4. Nechť jsou x, y sloupcové vektory typu (n, 1), pro které x y 0, a nechť A je matice typu (m, n), A 0. Potom Pokud navíc x > y, A > 0, potom platí Důkaz(triviální) Ax Ay Ax > Ay Ax Ay A(x y) 0 A 0 (x y) 0 29

30 30 KAPITOLA 3. POZITIVNÍ MATICE A FROBENIOVA VĚTA Definice 3.5. Dvě matice A = (a ij ), B = (b ij ) stejného typu mají stejnou strukturu nenulových prvků, pokud platí: ( i, j)(a ij 0 b ij 0) Definice 3.6. Booleovská matice je matice jejíž prvky jsou 0 nebo 1. Lze definovat operace sčítání, násobení číslem a násobení matic tak, že operace sčítání matic a násobení číslem se provádějí booleovsky (0+0 = 0, 0+1 = 1+0 = 1+1, 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1). Každé číselné matici A = (a ik ) potom můžeme přiřadit booleovskou matici A B = (α ik ), kde α ik = 1 pro a ik 0 a α ik = 0 pro a ik = 0. Matici A B nazýváme booleovská reprezentace matice A. Věta 3.7. Struktura nenulových prvků součtu resp. součinu dvou nezáporných matic závisí jen na strukturách nenulových prvků obou sčítanců resp. činitelů. Přitom platí (pro A 0, B 0): 1. (A + B) B = A B + B B 2. (A B) B = A B B B (kde ovšem operace sčítání a násobení napravo jsou booleovské). 3.2 Nezáporné matice Definice 3.8. Řekneme, že čtvercová matice A je rozložitelná, pokud má tvar ( ) A1 B 0 A 2 nebo pokud ji lze na tento tvar převést simultánní permutací řádek a sloupců. Poznámka 3.9. Matice je nerozložitelná pokud není rozložitelná (překvapivě). Příklad a a a a Věta Nechť je A nerozložitelná a nezáporná matice řádu n a nechť k 0, k 1,..., k n 1 jsou kladná čísla. Potom matice k 0 E + k 1 A + k 2 A k n 1 A n 1 > 0.

31 3.2. NEZÁPORNÉ MATICE 31 Příklad A = A = A = A 4 = E Definice Nechť A = (a ij ) je matice. Matici m(a) = ( a ij ) nazveme modul matice A. Věta Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n a nechť m(a) B. Potom ρ(a) ρ(b). (Specielně platí ρ(a) ρ(m(a)).) Důkaz(sporem) Nechť m(a) B a zároveň nechť ρ(a) > ρ(b). Potom nutně existuje s R tak, že ρ(a) > s > ρ(b). Definujme tedy (A) = 1 s A. Potom ale Věta Nechť A je čtvercová a nezáporná matice, z je nezáporný vektor a nechť existuje η R takový, že Az > ηz. Potom ρ(a) > η Důkaz Nechť ρ 0, z 0 a nechť existuje ɛ > 0 tak, že Az(η + ɛ). Definujme à = 1 ɛ + η A Potom à > z à > Az z Tvrzení Peron: Nechť A je čtvercová kladná matice. Potom ρ(a) je vlastním číslem A a tomuto vlastnímu číslu přísluší jediný LN vlastní vektor, který lze zvolit kladný. Důkaz Existují λ, v tak, že Av = λv a přitom

32 32 KAPITOLA 3. POZITIVNÍ MATICE A FROBENIOVA VĚTA Věta Perronova - Frobeniova Nechť A je čtvercová nezáporná nerozložitelná matice n tho řádu (n > 1). Potom ρ (A) je jednoduché vlastní číslo matice A a tomuto vlastnímu číslu odpovídá kladný vlastní vektor. Žádnému jinému vlastnímu číslu A už neodpovídá nezáporný vlastní vektor.

33 Kapitola 4 Metoda sdružených gradientů Nechť A je reálná, symetrická a positivně definitní (existují i ekvivalentní metody pro složitější matice), a nechť Ax = b. Budeme zkoumat chování funkce F (x) = 1 2 (Ax, x) bx (tj. funkce v prostoru R n). Tato funkce má právě jedno (globální) minimum v bodě řešení Ax = b. Vzorec pro přírůstek je: F (x + αx) F (x) = α(ax b, v) α2 (Av, v) přičemž Ax b nazýváme reziduum. Věta 4.1. Nechť x p je přesné řešení Ax = b. Funkce F (x) má v bodě x p minimum a jiná lokální minima nemá. Důkaz 1. v x p je minimum: F (x p + αv) F (x p ) = α2 (Av, v) > 0 pro α 0, v 0 takže v x p je skutečně minimum 2. F nemá jiná lokální minima: F (x + αv) F (x) = α(ax b, v) α2 (Av, v) pro malá α je α(ax b, v) > 1 2 α2 (Av, v) a pro +α, α dostaneme opačná znaménka přírůstku. Pro všechny body a pro všechna jejich okolí existují x 1, x 2 tak, že F (x 1 ) > F (x) > F (x 2 ) 33

34 34 KAPITOLA 4. METODA SDRUŽENÝCH GRADIENTŮ Při iteračním využití této metody počítám x 1, x 2 = x 1 + α 1 v 1, x 3 = x 2 + α 2 v 2,..., x i+1 = x i + α i v i. Přitom chci minimalizovat rozdíl F (x i+1 ) F (x i ) = F (x i + α i v i ) F (x i ) = α i (Ax i b, v i ) α2 i (Av i, v i ) takže volím potom α i = (Av i b, v i ) (Av i, v i ) x i+1 = x i (Av i b, v i ) (Av i, v i ) Otázkou však je, jak volit směr postupu v dalším kroku (totiž vektory v i ). Běžně používané metody jsou: 1. Gauss-Seidlova metoda (beru cyklicky e 1, e 2,...) 2. metoda největšího spádu (viz. dále) 3. metoda sdružených gradientů (viz. dále) 4.1 Metoda největšího spádu Nechť v i = 1 a zkoumejme F (x + αv i ) F (x) α(r i, v i ) lim = lim α2 (Av i, v i ) = (r i, v i ) α 0 α α 0 α Spád je zřejmě největší pro a tak v i = r i r i x i+1 = x i (r i, r i ) (Ar i, r i ) r i Věta 4.2. Metoda největšího spádu konverguje při libovolné volbě počátečního přiblížení x 1 k přesnému řešení rovnice Ax = b. Důkaz F (x i ) F (x p ) = F (x p + ɛ i ) F (x p ) = (r i, ɛ i ) + 1/over2(Aɛ i, ɛ i ) F (x i+1 ) F (x p ) = 1 2 (Aɛ i+1, ɛ i+1 ) F (x i+1 ) F (x i ) = F (x i + α i v i ) F (x i ) = α i (r i, v i ) α2 i (Av i, v i ) = = (r i, r i ) 2 (Ar i, r i ) + 1 (r i, r i ) 2 2 (Ar i, r i ) = 1 (r i, r i ) 2 2 (Ar i, r i )

35 4.1. METODA NEJVĚTŠÍHO SPÁDU 35 F (x i+1 ) F (x i ) = 1 2 (Aɛ i+1, ɛ i+1 ) 1 2 (Aɛ i, ɛ i ) = 1 2 = 1 (r i, r i ) 2 2 (Ar i, r i ) (Aɛ i+1, ɛ i+1 (Aɛ i, ɛ i ) = 1 (r i, r i ) 2 (Ar i, r i )(Aɛ i, ɛ i ) ɛ i+1 A je A-norma ɛ i+1. Dokážeme nerovnost c 2 ɛ i+1 ɛ i+1 A c 1 ɛ i+1 A má všechna vlastní čísla kladná, a nechť m je nejmenší a M je největší vlastní číslo. Potom m ɛ i+1 2 ɛ i+1 A M ɛ i+1 2 (r i, r i ) 2 = r i 4 (Ar i, r i ) M r i 2 ɛ i = x i x p Aɛ i = Ax i b Ax p + b = r i (přičemž Ax p b = 0) Protože A je PD a symetrická, existuje úplný systém ortogonálních vlastních vektorů. x = α 1 p 1 + α 2 p α n p n (x, x) = α αn 2 Ax = λ 1 α 1 p 1 + λ 2 α 2 p λ n α n p n (Ax, x) = λ 1 α1p λ 2 α2p λ n αnp 2 n M(x, x) (Ax, x) m(x, x) kde m = min{λ i } a M = max{λ i }. (Aɛ i, ɛ i ) = (r i, A 1 r i ) 1 2 r i 2 Přitom matice A 1 má nejmenší vlastní číslo 1/M a největší vlastní číslo 1/m. Potom (Aɛ i+1, ɛ i+1 ) (Aɛ i+1, ɛ i+1 ) = 1 (r i, r i ) 2 (Ar i, r i )(Aɛ i, ɛ i ) 1 r i 4 M r i 2 1 m r i = M m 2 M 1 takže ( ) i 1 M m ɛ A ɛ 1 A M

36 36 KAPITOLA 4. METODA SDRUŽENÝCH GRADIENTŮ 4.2 Metoda sdružených gradientů Metoda největšího spádu má jednu nepřjemnou vlastnost - numusí nutně skončit po konečném počtu kroků. Modifikujme ji tedy tak, abychom tento nedostatek odstranili: x 1 přičemž a tedy x 2 = x 1 + α 1 v 1 x 3 = x 2 + α 2 v 2 = x 1 + α 1 v 1 + α 2 v 2. n 1 x n = x 1 + α i v i i=1 x n+1 = x p x p x 1 = n α i v i i=1 A(x p x 1 ) = Ax p b Ax 1 + b = α i = (r 1, v i ) (Av i, v i ) n α i Av i Tím jsme dostali sadu v i, která má následující vlastnost - pokud i j, potom A(v i, v j ) = 0 a v i, v j jsou tedy navzájem ortogonální. Potom bude metoda konvergovat a skončí po konečném počtu kroků. Musíme najít taková v i, že tvorba v i 1. vezmeme r 1, v 1 = r 1 2. vypočteme x 2, r 2 v 2 atd. i 1 v i = r i + β ij v j j=1 β ij = (Ar i, v j ) (Av j, v j ) i=1 i 1 (Av i, v k ) = (Ar i, v k ) + β ij (Av j, v k ) j=1 0 = (Ar i, v k ) + β ik (Av k, v k )

37 4.2. METODA SDRUŽENÝCH GRADIENTŮ 37 Tvrzení 4.3. Platí (r i, v j ) = (r 1, v j ) pro i j (r i, v j ) = 0 Důkaz x i+1 = x i + α i v i / A zleva protože 1. k i 2. k > i Tvrzení 4.4. r i+1 = r i + α i Av i i 1 r i = r 1 + α j Av j j=1 i 1 (r i, v k ) = (r 1, v k ) + α j (Av j, v k ) j=1 (Av j, v k ) = 0 (r i, v k ) = (r 1, v k ) (r i, v k ) = (r 1, v k ) + α k (Av k, v k ) α = (r 1, v k ) (Av k, v k ) (r i, v k ) = 0 (Av k, r j ) = 0 pro k > j (Av k, r k ) = (Av k, v k ) Důkaz i 1 v i = r i + β ik v k k=1 i 1 r i = v i β ik v k k=1 i 1 (Av j, r i ) = (Av j, v i ) β ik (Av j, v k ) = 0 pro j > i k=1 j 1 (Av j, r j ) = (Av j, v j ) β jk (Av j, v k ) = (Av j, v j ) pro i = j k=1 Věta 4.5. Vektory r k jsou navzájem ortogonální. Důkaz

38 38 KAPITOLA 4. METODA SDRUŽENÝCH GRADIENTŮ 1. r 1 0 (r 1, r 1 ) 0 (r 2, r 1 ) x 2 = x 1 + α 1 v 1 k 1 x k = x 1 + α j v j j=1 k 1 r k = r 1 + α j Av j j=1 α j = (r j, v j ) (Av j, v j ) (r 1 + α 1 Av 1, r 1 ) = (r 1, r 1 ) = 0; 2. s s + 1 (r s+1, r k ) = 0 s > k r s+1 = r 1 + j = 1 s α j Av j = r s + α s Av s (r s + α s Av s, r k ) = (r s, r k ) + α s (Av s, r + k) kde dle předpokladu a kvůli LZ platí také (r s, r k ) = 0 (Av s, v k ) = 0 3. s = k (r k+1, r k ) = (r k, r k ) + α k (Av k, r k ) = (r k, r k ) (r k, v k ) (Av k, v k ) (Av k, v k ) = k 1 = (r k, r k ) (r k, v k ) = (r k, v k ) = (r k, r k ) r k, r k + β kj v j j=1 LZ : (Av j, r i ) = 0 pro j > i Poznámka 4.6. Důsledek a nenulové je pouze β i,i 1 β ij = (Ar i, v + j) (Av j, v j ) = r i, rj+1 r j α (Av j, v j ) r j+1 = r j + α j Av j Av j = r j+1 r s α j

39 4.3. PŘEDPODMÍNĚNÍ 39 Poznámka 4.7. Schéma: zvolíme x 1, vypočítáme r i = Ax i b, potom β i 1 = (Ar i, v i 1 ) (Av i 1, v i 1 ) i > 1, i = 1, β 0 = 0 přičemž r 1 = v 1. Potom v i = r i + β i 1 v i 1 α i = (r i, v i ) (Av i, v i ) x i+1 = x i + α i v i Poznámka 4.8. Metoda sdružených gradientů (Av i, v j ) = δ ij ({v i } je například báze z vlastních vektorů). Možnost volby báze: 1. tečné vektory 2. normály na nadplochu (kolmé na všechny ostatní) 4.3 Předpodmínění Před iterací můžeme matici A vylepšit pomocí metody nazývané předpodmínění. Hledáme matici C C 1 Ax = C 1 b a chceme aby matice C 1 A měla co nejlepší vlastnosti. Za matici C je často volena hlavní diagonála z A nebo její násobek, aby šlo lehce najít C 1. Je naprosto nelogické volit E (tím nic nezískáme), nebo A (protože po nalezení A 1 už bychom měli úlohu vyřešenu, ale chceme to udělat lépe než hledáním inverzní matice A). Přitom platí ( ) C 1 2 AC 1 2 C 1 2 = C 1 A C 1 2 AC 1 2 C 1 A C 1 2 Zaveďme značení  x = b, tak, že  = C 1 2 AC 1 2 x = C 1 2 b = C 1 2 b Potom tedy r i =  x i b ( ) = C 1 2 AC 1 2 xi b = C 1 2 ri ) (C 1 2 AC 1 2 r i, v i 1 β i 1 = ) (C 12 AC 12 v i 1, v i 1

40 40 KAPITOLA 4. METODA SDRUŽENÝCH GRADIENTŮ C 1 2 vi 1 v i = r i + β i 1 v i 1 Nechť nyní C 1 2 vi = C 1 2 ri + C 1 2 βi 1 v i 1 = C 1 r i + β i 1 C 1 2 vi α i = ( r i, v i ) (A v i, v i ) w i = C 1 2 vi Postup řešení je nyní následující: ŵ i = s i = C 1 r i x 1, r 1 = Ax 1 b, v 1 = r 1, α 1 r i = Ax i b β i 1 = (As i, w i 1 ) (Aw i 1, w i 1 ) w i = s i + β i 1 w i 1 ) (C 1 2 r i, v i ( C 1 2 AC 1 2 v i, v i ) = (r i, w i ) (Aw i, w i ) x i+1 = x i + αα i ŵ i C 1 2 xi+1 = C 1 2 xi + α i C 1 2 vi x i+1 = x i + α i w i

41 Kapitola 5 Normy matic Definice 5.1. Zobrazení g(x) : R n R, resp. g(x) : C n R je norma, právě když: 1. ( x R n (C n )) (g(x) 0) 2. g(x) = 0 x = 0 3. g(x + y) g(x) + g(y) 4. g(αx) = α g(x) Poznámka 5.2. Takzvané L p normy mají předpis tj. například g p (x) = g 1 (x) = ( n i=1 x i p ) 1 p n x i i=1 ( n ) g 2 (x) = x i 2 i=1 g (x) = max x i i Pro matice A typu (m, n) normy předepisujeme takto: g(a) = max x 0 Ověřme že se skutečně jendá o normu: 1. platí triviálně díky vlastnostem g(x) 41 g(ax) g(x)

42 42 KAPITOLA 5. NORMY MATIC g(a) = 0 max x 0 g (A + B) = max x 0 = max x 0 g (Ax) g(x) g(ax) g(x) = 0 g(ax) = 0 x Ax = 0 x A = Θ g ((A + B) x) g(x) + g (Bx) g(x) g (αa) = max x 0 = α max x 0 = max x 0 = g (A + B) g (Aαx) g(x) g (Ax) g(x) Normou generovanou nazýváme normu = max x 0 g (Ax) g(x) = max x 0 g (Ax) + g (Bx) g(x) + max x 0 α g (Ax) g(x) = α g (A) g αβ (A) = max g β =1 g α (Ax) = g (Ax) g β (x) 1. ( x R n )(g α (Ax) g αβ (A) g β (x) 2. ( x 0 R n )(g α (Ax) = g αβ (A) g β (x) Potom g 11 (A) = g 1 (A) = max k g 1 (A) = max i g (Bx) g(x) m a ik tj. maximální sloupcový součet i=1 n a ik tj. maximální řádkový součet k=1 g 2 (A) = ρ (A A) kde A je hermitovská, tj. A = ĀT Důkaz g 1 je generovaná norma 1. g 1 (A) = max k a ik a nechť y = Ax, tj. y i = k a ikx k. Potom m m n g 1 (Ax) = g 1 (y) = y i = a ik x k i=1 i=1 k=1 i k ( ) max a ik x k = max a ik g(x) k k k i i i = = =

43 43 2. existuje alespoň jeden nenulový vektor (x 0 ) tak, že g 1 (Ax) = max a ik g(x 0 ) k totiž vektor e = (0,..., 0, 1, 0,..., 0). g je generovaná norma i 1. max i k g (Ax) = max k a ik x k max i y i = max k k a ik max k a ik x k k a ik = g (A) g (x) i 2. ( x 0 ) (g (A) = g (A) g (x)) tj. všechny nerovnosti musí přejít v rovnosti g 2 (A) = (ρ(a A) g 2 (x) = i ˆx i x i takže g 2 ( x x ) (ˆx 1, ˆx 2,..., ˆx n ) x 1 x 2. x n = x x g 2 (Ax) = (Ax, Ax) = (A Ax, x) λ max (A A) g 2 (x) = = ρ (A A)g 2 (x) ( ( x 0 R n ) g 2 (Ax 0 ) = ) ρ (A A)g 2 (x 0 ) x 0 je vlastní vektor matice A A příslušný k λ, kde λ = ρ (A) Tvrzení 5.3. (Ax, Ax) = (A Ax, x) Důkaz nápověda (x, x) = Tr (x x) = Tr (xx ) Definice 5.4. Schurovu normu definujeme jako m n N (A) = a ij 2 i=1 j=1

44 44 KAPITOLA 5. NORMY MATIC Platí protože: Pro libovolné γ platí: g 2 (A) N (A) (N (A)) 2 = Tr (A A) (A Ax, x) = (Ax, Ax) 0 g αβ (AB) g αγ (A) g γβ (B) kde A je typu (m, n), B je typu (n, p), takže AB je typu (m, p). Platí také N (AB) N (A) N (B) g 2 (A) N (A) N (AB) g 2 (A) N (B) N (AB) g 2 (B) N (A)

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn

Více

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Lineární systémy se speciálními maticemi Diplomová práce květen 2006 Jaroslava Benáčková Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. AHP - její silné a slabé stránky

DIPLOMOVÁ PRÁCE. AHP - její silné a slabé stránky UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE AHP - její silné a slabé stránky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jana Talašová,

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

Numerické metody pro nalezení

Numerické metody pro nalezení Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová Poděkování V úvodu bych ráda

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Studijní program: matematika Studijní obor: obecná

Více

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1.

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1. 4 4 = 8 8 8 = 5 + 19 1 = 4 = 11 : 1 k > 0 k 4k x 1 x x k + (1 x) 4k = k x + 4 4x = x = x 1 x = 1 = : 1. v h h s 75 v 50 h s v v 50 s h 75 180 v h 90 v 50 h 180 90 50 = 40 s 65 v 80 60 80 80 65 v 50 s 50

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více