20. Eukleidovský prostor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "20. Eukleidovský prostor"

Transkript

1 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude v dalším výkladu začit těleso reálých čísel Naším cílem bude studium tzv metrických vlastostí tj vzdáleostí úhlů apod což je umožěo právě přítomostí skalárího součiu a uitárím prostoru 201 Defiice Afií prostor A(( V g)) ad -rozměrým uitárím prostorem ( V g) azýváme -rozměrým eukleidovským prostorem a začíme E ebo E( V ) Ve smyslu pozámky 1413 budeme v dalším výkladu zpravidla předpokládat že skalárí souči g a prostoru V je pevě dá a tedy budeme místo g( uv ) psát je uv 202 Defiice Soustava souřadic S { a u1u2 u } eukleidovského prostoru E( V ) kde { u1u2 u } je ortoormálí báze uitárího prostoru V se azývá kartézská soustava souřadic Úhlem dvou eulových vektorů rozumíme ostrý úhel takový že uv V cos uv u v Vzdáleostí dvou bodů ab EV ( ) rozumíme číslo a b a b tj ormu vektoru 203 Pozámka Abychom si co ejvíce zjedodušili zápis učiíme úmluvu že místo u V budeme prostě psát u E Z kotextu je totiž vždy zcela zřejmé kdy jde o body a kdy o vektory Uvědomme si že podle Cauchyovy erovosti 1414 (a) je vždy cos 1 takže každé dva eulové vektory svírají ějaký ostrý úhel Nakoec pozameejme že je-li S ějaká kartézská soustava souřadic v E a bc E jsou dva body o souřadicích {} b S ( x1x 2 x)

2 Eukleidovský prostor 207 {} c ( y y y ) vzhledem k soustavě S je podle věty 1911 S 1 2 { bc} ( x y x y x y ) a tedy vzdáleost b c bodů b a c je S podle pozámky 1419 rova ( ) 2 x i 1 i y i 204 Defiice Buď S kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E 3 a buďte uv E3 dva vektory Jestliže { u } S ( x1x2x3) { v } S ( y1y2y3) pak vektor w E3 takový že { w } S ( x2y3 x3y2x3y1 x1y3x1y2 x2y1) azýváme vektorovým součiem vektorů uv (v tomto pořadí!) a začíme uv 205 Pozámka Vektorový souči vektorů v eukleidovském prostoru E 3 jsme defiovali pomocí jeho souřadic vzhledem k předem daé kartézské soustavě souřadic S Aby takto zavedeý pojem měl vůbec ějaký praktický výzam je zapotřebí aby se choval rozumě při přechodu od daé soustavy S k jié kartézské soustavě souřadic V ásledující části si předě ukážeme že vektorový souči se sice při změě kartézské soustavy souřadic změí ale tak že ejvýše změí zaméko o tedy v podstatě zameá že předchozí defiicí je jedozačě urče směr uv vektorového součiu vektorů uv a jeho velikost Nicméě je teto pojem v praxi velmi důležitý eboť jak brzy uvidíme vektor uv je buď vektor ulový ebo je kolmý k oběma vektorům u a v Přitom uv 0 právě když u v takže pro lieárě ezávislé vektory u v je uv ortogoálí doplěk podprostoru uv ve V Pozámka Vraťme se ještě jedou k defiici vektorového součiu 204 a podívejme se jak si lze sado výraz pro souřadice vektorového součiu zapamatovat Buď a ( a a a ) R vektor a vyšetřujme 3 determiat x x x { u} S{ v} Sa y1 y2 y3 a a a Bezprostředě je patré že i-tá souřadice w i i 123 vektorového součiu uv je rova algebraickému doplňku i-tého prvku třetího řádku Odtud pak u v a plyou dvě skutečosti Předě determiat {} S {} S aw 1 1 aw 2 2 aw 3 3

3 208 Eukleidovský prostor a{ uv } S je rove skalárímu součiu vektorů a a { uv } S v uitárím prostoru ( R ) (viz pozámku 142) Dále zvolíme-li za a postupě jedotkové 3 vektory e1e2e 3 je uvedeý determiat postupě rove složkám w 1 w 2 w 3 souřadic vektorového součiu { uv } S Jiými slovy wi { u} S{ v} Se i i Defiice Buďte S { au 1u2 u } a S { au1u2 u } dvě (kartézské) soustavy souřadic v eukleidovském prostoru E Maticí přechodu od soustavy S k soustavě S rozumíme matici přechodu od báze { u1u2 u } k bázi { uu u } Defiice Čtvercová matice A ( aij ) R se azývá ortogoálí jestliže její řádkové vektory tvoří ortoormálí bázi uitárího prostoru ( R ) 209 Pozámka Připomeňme si že v pozámce 142 jsme ověřili že zobrazeí defiovaé pro u ( x1x 2 x ) a v ( y1y 2 y ) z R předpisem ( uv ) x y je skalárí souči a aritmetickém vektorovém prostoru i1 i i R Ortogoálost matice A ve smyslu předchozí defiice ezameá tedy ic jiého ež že její řádkové vektory jsou avzájem kolmé a mají ormu 1 v uitárím prostoru ( R ) Jak uvidíme ortogoálí matice jsou právě matice pře- chodu mezi ortoormálími bázemi uitárího prostoru Zároveň ukážeme že sloupce ortogoálí matice tvoří rověž ortoormálí bázi prostoru ( R ) tj že matice traspoovaá A je rověž ortogoálí a rová se A Věta Buď A R ortogoálí čtvercová matice stupě Pak 1 det A 1 matice A je regulárí A A a matice A je ortogoálí aa ij ( ) 1 ik kj 1 ik jk k k i j ij Důkaz Ozačíme-li C( c ij ) AA je c a a a a kde a1a2 a jsou řádkové vektory matice A Vidíme tedy že C E je 1 jedotková matice Podle důsledku 85 je matice A regulárí a A A Dále podle věty 73 a podle věty o ásobeí determiatů 721 máme 1 dete det det (det ) 2 A A A takže det 1 A Nakoec z rovosti AA E

4 Eukleidovský prostor 209 dostáváme ortogoálí což zameá že matice A je ij a 1 ika k kj a k 1 kia kj 2011 Věta Buď ( V g) uitárí prostor a M M buďte dvě ortoormálí báze tohoto prostoru Pak matice přechodu od báze M k bázi M je ortogoálí Obráceě je-li M { u1u2 u } ortoormálí báze uitárího prostoru ( V g) a A ( ) je ortogoálí matice pak možia M 1 2 a ij i a j 1 ji j { u u u } kde u u i 12 je ortoormálí báze prostoru ( V g) Důkaz Je-li M { u1u2 u } a M { u1 u2 u } pak Dále je g ( ) ui u j = g a 1 ki k a k l1 lj l aa k1 l1 ki lj kl = u u = aa ( ) k 1 ki kj b ib j kde b 1 b 2 i a k 1 ki k u u a ( ) 1 1 kia k l lj g u k u l = b jsou sloupcové vektory matice A Je-li yí M ortoormálí báze ve ( V g) je g( uiu j) ( bib j) ij a matice A a tedy podle předchozí věty i matice A jsou ortogoálí Obráceě je-li matice A ortogoálí je ortogoálí i traspoovaá matice A takže ( bibj) g( uiu j) ij a M je ortoormálí báze uitárího prostoru ( V g) 2012 Pozámka Ve větě 410 a pozámce 411 jsme ukázali že ásobit matici B maticí A zleva zameá totéž jako provádět lieárí kombiace a řádky matice B a to tak že i-tý řádek součiu AB dostaeme jako lieárí kombiaci řádků matice B s koeficiety v i-tém řádku matice A Vzhledem k tomu že této skutečosti použijeme dvakrát v ásledujícím důkazu proveďme tuto úvahu poěkud podroběji Buď tedy A ( a ij ) matice typu ( m ) s řádkovými vektory a i i 12 m a B ( b ij ) matice typu ( k ) s řádkovými vektory b j j 12 Pak CAB ( ) je matice typu ( mk ) s řádkovými vektory c i c ij a i jako a matici typu i 12 m Pohlížíme-li jako obvykle a vektor (1 ) je souči matic aib rove i-tému řádku c i matice C AB Jiými slovy matice AB má řádky a1b a2b amb Speciálě jsou-li A B čtvercové matice

5 210 Eukleidovský prostor stupě můžeme větu o ásobeí determiatů 721 iterpretovat také takto: det C=c1c2 ca1ba2b ab = a1 a2 a detb det AdetB 2013 Věta Buďte S { au 1u2u 3} a S { au1u2u 3} dvě kartézské soustavy souřadic v eukleidovském prostoru E 3 uv E3 buďte dva vektory Ozačíme-li w vektorový souči vektorů u v vzhledem k soustavě S a w jejich vektorový souči vzhledem k S pak w wdetb kde B je matice přechodu od soustavy S k soustavě S Důkaz Ozačíme-li { w } S ( w1w2w3) a { w } S ( w1w2w3) a uvědomíme-li si že { u } e i 12 3 dostaeme podle pozámky 206 že w i = i S i { u} S{ v} Se i = { } S{ } S{ i} S u v u Použitím věty 1014 (a) předchozí pozámky věty o ásobeí determiatů 721 a věty 73 postupě máme wi { u} S{ v} S{ u i} S= { u} SB { v} SB { ui} SB = { u} S{ v} S{ ui} SdetB {} u S{} v S{ ui} S detb Nyí podle vět 1014 (b) a 2010 je B matice přechodu od soustavy souřadic S k soustavě S a tedy { u i} S ( b1ib2ib3i) ( bi1bi2 bi3) odkud podle pozámky 206 plye wi ( bi1w1bi2w2bi3w3)detb eboli { w} S { w} SB detb podle předchozí pozámky Na druhé straě věta 1014 (a) dává { w} S { w} SB odkud porováím a vyásobeím zprava maticí B iverzí k B podle věty 2010 dostaeme { w} S { w} SdetB { wdet B } S Protože podle věty 102 (b) je zobrazeí w { w } S izomorfismus je w wdetb 2014 Věta Buď S { au1u2u 3} kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E 3 a buďte uv E3 dva vektory Ozačíme-li uv vektorový souči těchto vektorů vzhledem k soustavě S platí: a) uv ( vu) ( v) u v( u ); b) uv 0 právě když jsou vektory u a v lieárě závislé; c) ( uv) u ( uv) v ; d) uv u v si kde je úhel vektorů u a v pokud u a v jsou eulové; { u} { v} { uv } 0 přičemž rovost astává právě když uv 0 e) S S S tj právě když vektory u a v jsou lieárě závislé

6 Eukleidovský prostor 211 Důkaz Nechť { u } S ( x1x2x3) { v } S ( y1y2y3) a { uv } S ( w1w2w3) 3 a) Podle pozámky 206 wi { u} S{ v} Se i kde e i R je jedotkový vektor i 12 3 Ozačíme-li { } S ( w1 w2w3) w { v} { u} e = v u je i S S i { u} S{ v} Se i = wi podle věty 76 a zbytek tvrzeí je zřejmý b) Jsou-li vektory u v lieárě závislé jsou lieárě závislé i vektory { u } S { v } S a wi { u} S{ v} Se i 0 pro každé i 12 3 podle věty 718 Předpokládejme tedy aopak že uv 0 a ukažme že vektory u v jsou lieárě závislé Zvolme libovolě vektor zuv Podle pozámky 206 je {} u S{} v S{} z S {} z S { uv } S 0 takže vektory { u } S { v } S a { z } S jsou lieárě závislé podle věty 718 Protože zobrazeí u { u } S je podle věty 102 (b) izomorfismus jsou vektory u v z lieárě závislé podle věty 920 takže existuje etriviálí lieárí kombiace ru sv tz 0 Pro t 0 dostáváme r s z u t v t u v což jest spor s volbou vektoru z Je tedy utě t 0 lieárí kombiace rusv 0 je etriviálí a vektory u v jsou tudíž lieárě závislé c) Podle pozámky 206 a věty 78 je { u} S { uv} S { u} S{ v} S{ u } S 0 a { v} S { uv} S { u} S{ v} S{ v } S 0 Podle věty 1418 je zobrazeí ( u ) { u } S uitárí takže uu ( v) vu ( v ) 0 d) Podle pozámky 1419 je x y ) ( x y x y ) = u v x2xyy = u v ( uv ) = 2 w1 w2 w3 2 u v = ( x y x y ) ( x y x1 y1 x2y2 x3y3 2x1x2y1y2 2x1x3y1y3 u 2 2 v 2 ( uv) 1 u v 2 2 = u v (1 cos ) = u v si a tedy uv u v si { u} { v} { uv } = { uv} { uv } e) Podle pozámek 206 a 1419 je S S S 2 uv = w w w a jsme hotovi S S 2015 Pozámka Přihlédeme-li k pozámce 206 můžeme pojem vektorového součiu rozšířit a eukleidovské prostory E pro 2 Buď S kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E Jsou-li u 1 u 2 u 1 vektory

7 212 Eukleidovský prostor z E pak rozvojem determiatu { 1} S{ 2} S { 1} S u u u a kde a ( a1a 2 a ) R podle posledího řádku dostaeme číslo aw i1 i i Vektor w takový že { w } ( w1w 2 w ) se azývá vější souči vektorů S u u u Aalogicky jako u vektorového součiu čteář sado sám ověří že platí: a) při změě kartézské soustavy souřadic změí vější souči ejvýše zaméko; b) je-li S 1 libovolá permutace pak vější souči vektorů u (1) u (2) u ( 1) dostaeme z vějšího součiu vektorů u1u2 u 1 vyásobeím číslem z ; c) vější souči je rove ulovému vektoru právě když jsou vektory u1u2 u 1 lieárě závislé; d) vější souči je kolmý ke všem vektorům u1u2 u 1; e) { u1} S{ u2} S { u 1} S{ w } S 0 přičemž rovost astae právě když vější souči w je rove ulovému vektoru 2016 Věta Buď S kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E 3 a buďte uvu v čtyři vektory z E 3 Pak platí: uu vu ( uv)( uv) ( uu)( vv) ( vu)( uv) uv vv Důkaz Jsou-li vektory u v lieárě závislé v ru pak podle věty 2014 (b) je uu ruu uv 0 takže ( uu) r( uv) r( uu)( uv) 0 uv ruv Nechť tedy vektory u v jsou lieárě ezávislé Z věty 148 plye že můžeme zvolit kartézskou soustavu souřadic S { au1u2u 3} tak aby uu 1 a vu1 u 2 Přitom vhodou volbou zaméka u vektoru u 3 můžeme dosáhout toho aby determiat matice přechodu od soustavy S k soustavě S byl rove jedé Podle věty 2013 jsou pak vektorové součiy uv a uv vzhledem k oběma soustavám souřadic S a S stejé Přitom { u } ( x100) S

8 Eukleidovský prostor 213 {} v S ( y1y20) { u } S ( x1 x2 x3) { v } S ( y1 y2 y3) { uv } S (00 x1y 2) a tedy ( uv)( uv ) x1y2( x1y2 x2y1) Na druhé straě máme uu x1x 1 vv yy 1 y2y2 uv x1 y1 vu yx 1 1 yx 2 2 odkud dostáváme ( uu)( vv ) ( vu)( uv ) xx 1 1( yy 1 1 y2 y2) xy 1 1( yx 1 1 yx 2 2) x1 y2( x1 y2 x2 y1) a jsme hotovi 2017 Defiice Buď aw adrovia eukleidovského prostoru E Podle věty 147 je ortogoálí doplěk podprostoru W ve V jedorozměrým podprostorem u ve V Směr u (ebo pro jedoduchost stručě každý eulový vektor z u ) azýváme směrem ormály adroviy Každou přímku v o směru u azýváme ormálou adroviy E 2018 Věta Buď ax i 1 i i b rovice adroviy eukleidovského prostoru E vzhledem k ějaké kartézské soustavě souřadic S (viz věta 1915) Pak směr u kde { u } ( a1a 2 a ) je směrem ormály adroviy S Důkaz Buď v libovolý vektor z adroviy a a buď libovolý bod Položme cav a echť {} a S ( x1x 2 x) {} c S ( y1y 2 y) Podle věty 1911 je { v } { ca} ( y1x1y2 x 2 y x ) Přitom podle věty 1915 je ax i 1 i i b S S i1 ay i i b takže i1 a ( y x ) 0 o však zameá že i i i uv 0 vektor u je kolmý ke každému vektoru adroviy a u je tedy vektor ormály této adroviy Ve zbytku tohoto odstavce se budeme věovat jedak úhlům jedak dvěma hlediskům vzdáleosti v eukleidovském prostoru Předě probereme vzdáleost dvou rovoběžých podprostorů a poté se budeme zabývat vzdáleostí dvou mimoběžek Připomeňme že studium těchto pojmů je umožěo díky skalárímu součiu a že ěco podobého elze provádět v prostoru afiím 2019 Lemma Buď úhel dvou eulových vektorů u a v v eukleidovském prostoru E Jestliže u ru a v sv kde rs 0 pak úhel vektorů u a v je rověž rove Důkaz Ozačíme-li úhel vektorů u a v pak podle defiice 202 je

9 214 Eukleidovský prostor uv ( ru)( sv) rsuv cos cos u v ru sv rs u v takže vzhledem k tomu že úhly a jsou ostré 2020 Defiice Úhlem směrů u v eukleidovského prostoru úhel vektorů u v Úhel dvou přímek a u a b v v E rozumíme E je úhel směrů u a v Úhel přímky a u a adroviy v E je doplěk úhlu směru u a směru ormály adroviy (připomeňme že úhel je doplňkem úhlu jestliže ) Koečě úhlem dvou adrovi rozumíme úhel směrů jejich 2 ormál 2021 Věta Nechť a W b W W W jsou dva rovoběžé podprostory euklidovského prostoru E Pak platí: a) pro každý bod cb W se podprostory c W a a W protíají v jediém bodě; b) ozačíme-li F() c průsečík podprostorů z tvrzeí (a) je F izometrické afií zobrazeí podprostoru b W a podprostor F( b) W prostoru a W vytvořeé idetickým automorfismem 1 W vektorového prostoru W ; c) pro každé dva body b1b2b W je b1 F( b1) b2 F( b2) ; d) je-li cf( b) W libovolý bod pak c b F( b) b přičemž rovost platí právě když c F( b) Důkaz a) Podle věty 147 (a) je W W V takže acw W a podprostory c W a a W jsou růzoběžé podle věty 1919 Přitom se tyto podprostory protíají v jediém bodě eboť v opačém případě by existovala přímka d u ( cw ) ( aw) což by vedlo ke sporu 0 u W W 0 b) Podle (a) existují vektory u 1 W a u 2 W takové že Fb ( ) bu 1 a u 2 Pro každé u W pak je Fb ( ) u bu1 u au2 u (( bu ) W ) ( aw) a tudíž Fb ( u) Fb ( ) u Vidíme tedy že F je afií zobrazeí vytvořeé idetickým automorfismem prostoru W a zbývá ukázat že F je izometrie Jsou-li b 1 b v 1 b2 b v 2 dva body z b W je

10 Eukleidovský prostor 215 F( b ) F( b) v bu v i 12 a podle lemmatu 196 máme i i 1 i F( b2) F( b1) ( bu1 v2) ( bu1 v1) ( bv2) ( bv 1) b2 b1 c) Při stejém ozačeí jako v předchozí části je b1 F( b1) ( bv1) ( bu1 v1) u 1 a b2 F( b2) ( bv2) ( bu1 v2) u 1 d) Buď cf() b u bu1 u kde u 1 W a u W W Protože u u 1 je Fb ( ) 1 1 b u u u u = (( u u) u)(( u u) u) u u u u u = u1 u u u1 u cb Přitom rovost astae právě když u 0 tj právě když c F( b) Defiice Nechť a W b W W W jsou dva rovoběžé podprostory eukleidovského prostoru E Vzdáleostí těchto podprostorů rozumíme číslo b F( b) kde F je zobrazeí z předchozí věty 2023 Věta Buď r cw příčka mimoběžek p a u a q b v v eukleidovském prostoru E 3 Pak r je ejkratší příčka mimoběžek p a q právě když w u a w v tj právě když uv w Důkaz Bez újmy a obecosti můžeme předpokládat že r p a rq b Buď w u w v Protože uv je uv w podle věty 147 (b) takže příčka r cw mimoběžek p a q ve směru w existuje podle věty 1926 Abychom dokázali že tato příčka je ejkratší potřebujeme zjevě ověřit že pro každou příčku rcw mimoběžek p q takovou že p r a qr b je ab a b přičemž rovost astává právě když a a a b b Protože a p b q je a a u a b b v pro ějaká reálá čísla Dále vektor a b leží ve w tedy a b w odkud vzhledem k tomu že wu w v pomocí lemmatu 196 dostáváme 2 ab ( a u ) 2 2 ( b v) w u v = w uv ab Přitom rovost zřejmě platí právě když uv 0 tj právě když 0 vzhledem k tomu že vektory u v jsou lieárě ezávislé o je však ekvivaletí s tím že a a a b b

11 216 Eukleidovský prostor 2024 Defiice Buďte pau a q bv dvě mimoběžky v eukleidovském prostoru E 3 Je-li r cw ejkratší příčka mimoběžek p a q taková že r p a a r q b pak číslo a b se azývá vzdáleost mimoběžek p a q 2025 Příklady 1 V eukleidovském prostoru příčku a spočtěme vzdáleost mimoběžek E alezěme ejkratší 3 3 ER ( ) x 1 y 8 z a x y z p q Ř e š e í: Podle pozámky 1912 je p a a (18 11) u (236) b (83 13) a v (6112) vektory a b u a q b v kde Sado se ověří že u v jsou lieárě ezávislé takže přímky p a q jsou skutečě mimoběžé podle důsledku 1920 Směr w kolmý k oběma vektorům u v můžeme podle věty 2014 (c) alézt pomocí vektorového součiu w uv ( ) Musíme tedy ejprve alézt příčku mimoběžek p a q o směru w (362) Podobě jako v odstavci 1928 proložíme roviu přímkou p a směrem w Směr ormály roviy je urče vektorovým součiem uw ( ) takže rovia má podle věty 2018 rovici 6x 2y3z k kde pravou strau k spočteme dosazeím složek bodu a k 23 Dále průsečík c přímky q b tv s roviou spočteme opět dosazeím Máme 6(8 6 t) 2(3 t) 3(13 12 t) t6 2t39 36t23 0 odkud t 1 a c (24 1) Hledaá příčka tedy je r cw (241) (362) Ke staoveí vzdáleosti mimoběžek p a q potřebujeme ještě spočítat průsečík d r p a poté vzdáleost c d Pro průsečík d musí platit (1811) t(236) (241) s(36 2) při vhodých hodotách parametrů ts Po rozepsáí do složek dostaeme soustavu tří rovic která jak se sado zjistí má řešeí t 2 s 1 edy d (52 1) a c d ( 362) což je vzdáleost mimoběžek p a q 4 2 V eukleidovském prostoru E4 ER ( ) určeme vzdáleost rovoběžých rovi (1 201) (411 1) (4221) a (6734) ( ) ( )

12 Eukleidovský prostor 217 Ř e š e í : Nejprve ověřme že roviy a jsou skutečě rovoběžé tj že při ašem obvyklém začeí je W W Protože zřejmě dimw dimw 2 stačí ám ukázat že dim ( W W) 2 Jest odkud je již rovoběžost rovi a zřejmá Podle věty 2021 yí potřebujeme alézt ortogoálí doplěk W a spočítat průsečík Fb ( ) ( bw ) ( a W) Uvědomíme-li si že W W tvoří posledí dva řádky matice vlevo matici homogeí soustavy rovic jejíž řešeí je W Vidíme tedy ihed že W (1004) (0110) Z rovosti (6734) (10 04) (0110) (12 01) (411 1) (422 1) dostaeme ehomogeí soustavu lieárích rovic a máme edy a Fb ( ) (531 0) Nakoec spočteme vzdáleost rovi a Jest b F( b) (14 44) Určeme úhel přímky p daé soustavou rovic x y3z 0 x yz 0 s roviou daou rovicí 2x y z 1 Ř ešeí: Řešeím soustavy rovic které určují přímku p dostaeme že p má směr u kde u (12 1) a prochází bodem (00 0) Podle věty 2018 je vektor v (211) vektorem ormály roviy Pro úhel vektorů uv platí cos takže o 30 o 60 a hledaý úhel je podle defiice 2020

13 218 Eukleidovský prostor Metodami popsaými v tomto odstavci můžeme řešit ejrůzější další geometrické úlohy Pro ilustraci uvedeme ásledující příklad 4 Bodem b ( 11 1) veďme v roviě o rovici x y z 1 přímku kolmou k přímce p daé soustavou rovic y z 1 x 2y 0 Ř e š e í: Dosazeím složek bodu b do rovice roviy sado ověříme že bod b v roviě leží a úloha má tedy smysl Hledaá přímka q bu musí procházet daým bodem b a vektor u musí být kolmý ke směrovému vektoru v přímky p a protože přímka q má ležet v roviě musí být vektor u kolmý k vektoru ormály w roviy Řešeím soustavy rovic pro p dostaeme p (001) ( 211) takže v ( 2 1 1) a w (111) podle věty 2018 Vektor u kolmý jak k v tak k w dostaeme jako vektorový souči u = vw (033) Hledaá přímka tedy je q ( 1 1 1) (0 1 1) ebo parametricky x 1 y1 z

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

GEOMETRIE I. Pavel Burda

GEOMETRIE I. Pavel Burda GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

Vmnohaaplikacíchseomezujemenamaloumnožinučíselapřivyskočenísedonívracímecyklicky,takjakto dělámeběžněuhodin.zdesenatopodívámepořádněamatematicky.

Vmnohaaplikacíchseomezujemenamaloumnožinučíselapřivyskočenísedonívracímecyklicky,takjakto dělámeběžněuhodin.zdesenatopodívámepořádněamatematicky. Diskrétí matematika 7a. Kogruece, počítáí modulo phabala 2012 7. Počítáí modulo V této kapitole se podíváme a téma, bez kterého se eobejde žádá diskuse o fugováí počítačů, akoec skočíme u Iteretu. Tato

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Příčíme. Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy. Příčíme. Jiří Přibyl UJEP

Příčíme. Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy. Příčíme. Jiří Přibyl UJEP Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy Příčíme Jiří Přibyl UJEP Úloha první Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy Úkol Určete příčku mimoběžek p a q, která je dána vektorem w(1, 1, 2), a

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu MĚŘENÍ INDEXU LOMU REFRAKTOMETREM Jedou z charakteristických optických veliči daé látky je absolutím idexu lomu. Je to podíl rychlosti světla ve vakuu c a v daém prostředí v: c (1) v Průchod světla rozhraím

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Interakce světla s prostředím

Interakce světla s prostředím Iterakce světla s prostředím světlo dopadající rozptyl absorpce světlo odražeé světlo prošlé prostředím ODRAZ A LOM The Light Fatastic, kap. 2 Light rays ad Huyges pricip, str. 31 Roviá vla E = E 0 cos

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici,

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více