u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,"

Transkript

1 Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou vetory v bázi { i j, }, P pltí u v = 0, právě dyž u, v jsou olieárí vetory, u v = - ( v u ), vetorový souči je tiomuttiví, 3 u ( v + w ) = u v + u w, 4 α (u v ) = α u v = u α v pro libovolé α R j j = = 0, i j =, Vět: Nechť u, v jsou eulové eolieárí vetory P pltí: Vetorový souči u v je olmý oběm vetorům u, v u v = u v si ϕ, de ϕ je úhel vetorů u, v 3 Soustv vetorů u, v, u v je v tomto pořdí prvotočivá Def: Smíšeým součiem vetorů Vět: Pro smíšeý souči vetorů u u u 3 u, v, w zýváme číslo u ( v w) u, v, w pltí u ( v w) = v w v w v 3 w 3, de u = u i + u j + u 3, v = v i + v j + v 3, Chyb! Chybé propojeí, u ( v w) = v ( w u ) = w( u v ) 3 je ezáporý, právě dyž ásledují vetory u, v, w v ldé orietci, 4 ejsou-li vetory omplárí, je bsolutí hodot jejich smíšeého součiu rov objemu rovoběžostěu sestrojeému z těchto vetorů, 5 jsou-li vetory omplárí, je smíšeý souči rove ule Def: Normál je ždá olmá přím příslušé roviě Normálový vetor je te, terý lze umístit do libovolé ormály dé roviy Rozbor obecé rovice roviy: Je-li d = 0, rovi prochází počátem soustvy souřdic Je-li = 0, rovi je rovoběžá s osou x, obdobě pro b = 0 ebo c = 0 3 Je-li = b =0, rovi je rovoběžá se souřdou roviou xy o rovici z = ost, obdobě = c = 0, resp b = c = 0 4 Rovice z = 0, y = 0, x = 0 vyjdřují postupě souřdé roviy xy, xz, yz

2 Vět: Rovice roviy určeé třemi eolieárími body A = [x, y, z ], B = [x, y, z ], C = [x 3, y 3, z 3 ] má tvr x x y y z z x x 3 x x y y 3 y y z z 3 z z = 0 Pozám: Prmetricá rovice roviy určeé třemi body je X = A + t u + su 3 ebo rozepsé do slože x = x + t (x x ) + s(x 3 x ) y = y + t (y y ) + s(y 3 y ) z = z + t (z z ) + s(z 3 z ), t, s R Vět: Vzdáleost v bodu A = [x, y, z ] od roviy x + by + cz + d =0 je x + by + cz + d v = + b + c Vět: Odchylou dvou rovi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 je ostrý ebo prvý úhel ϕ jejich ormálových vetorů = (, b, c ), = (, b, c ), tz cos ϕ = Def: Svzem rovi zýváme možiu všech rovi procházejících pevou přímou (osou svzu) ebo možiu všech vzájem rovoběžých rovi Vět: Rovici svzu rovi, terý je urče rovimi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 lze zpst ve tvru α ( x + b y + c z + d ) + β ( x + b y + c z + d ) = 0, de α, β jsou libovolá reálá čísl, z ichž spoň jedo je růzé od uly Pozám: Uvžujme tři roviy o rovicích x + b y + c z = d x + b y + c z = d 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Je-li h(a) = h(a r ) = 3, roviy mjí právě jediý společý bod Je-li h(a) = h(a r ) =, roviy ptří témuž svzu 3 Je-li h(a) = h(a r ) =, všechy tři roviy jsou totožé 4 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, roviy se protíjí ve vzájemě rovoběžých průsečicích 5 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, jde o tři růzé vzájem rovoběžé roviy 6 Je-li h(a) =, h(a r ) =, roviy jsou rovoběžé, le dvě z ich splývjí Vět: Pro ostrý ebo prvý úhel ϕ dvou příme se směrovými vetory s p pltí vzth s p cos ϕ = s p

3 Vět: Pro odchylu ϕ přímy se směrovým vetorem s roviy s ormálovým vetorem pltí si ϕ = s s Pozám: Vzdáleost bodu A od přímy p určíme jo vzdáleost bodu A od jeho prvoúhlého průmětu A přímu Prvoúhlý průmět A určíme jo průsečí přímy p s roviou olmou přímce p jdoucí bodem A Def: Jestliže 0,,, jsou libovolá reálá, popř omplexí čísl je ezáporé celé číslo, p výrz P(x) = 0 + x+ + x, 0, zýváme (reálým, popř omplexím) polyomem proměé x stupě Rovici P(x) = 0 zýváme lgebricou rovicí stupě Def: Kořeem eboli řešeím lgebricé rovice P(x) = 0 rozumíme ždé číslo c, teré této rovici vyhovuje, tz P(c) = 0 Lieárí dvojčle x c zýváme ořeový čiitel (ftor) lgebricé rovice Záldí vět lgebry: Kždá lgebricá rovice stupě má spoň jede omplexí oře Def: Číslo c se zývá -ásobý oře lgebricé rovice P(x) = 0, právě dyž pro ždé omplexí číslo x pltí P(x) = (x c) Q(x), de Q(c) 0 Vět: Algebricá rovice P(x) = 0 stupě má v tělese omplexích čísel právě ořeů c,, c pltí P(x) = (x c ) (x c ) (x c ) Def: Reálá čísl, terá jsou ořey lgebricých rovic P(x) = 0, de P(x) je libovolý polyom s celočíselými oeficiety se zývjí lgebricá Osttí reálá čísl se zývjí trscedetí Vět: Má-li lgebricá rovice P(x) = 0 s reálými oeficiety imgiárí oře c = u + iv, p má té omplexě sdružeý oře c = u iv Vět: Mezi oeficiety ormové lgebricé rovice x + - x x + 0 = 0 jejími ořey c,, c pltí tzv Viètovy vzthy (symetricé fuce ořeů) c = - = (c + c + + c ) = - = c c + + c c + c c c - c = i -3 = c c c 3 + c c c 4 + c - c - c = 0 = ( ) c c c, c, i c c c j, i c i j Def: Biomicou rovicí zýváme rovici x = 0, de je libovolé omplexí číslo

4 Vět: Biomicá rovice x = 0, 0, má v možiě omplexích čísel růzých ořeů α + π α + π c = (cos + i si ), = 0,,, Pozám: Kždé omplexí číslo růzé od uly má v možiě omplexích čísel od sebe růzých -tých odmoci, tz omplexích čísel c tových, že c = Řešit biomicou rovici x = 0, zmeá jít všechy -té odmociy z 3 Body předstvující obrzy ořeů biomicé rovice x = 0 tvoří vrcholy prvidelého -úhelí Vět: Normová vdrticá rovice x + px + q = 0 má v C dv ořey p ± p x, = 4q, pro teré pltí Viètovy vzthy x + x = p, x x = q Pozám: Kořey vdrticé rovice x + bx + c = 0 s omplexími oeficiety jsou omplexí čísl x, = čísl b 4c b ± b 4c, de b 4c je jed ze dvou druhých odmoci Pozám: Pro ořey rovice x 3 + x + x + 0 = 0 pltí Viètovy vzorce x + x + x 3 = x x + x x 3 + x x 3 = x x x 3 = 0 Def: Triomicou rovicí zýváme rovici x + bx + c = 0 pro 0 Vět: Substitucí x = y převádíme řešeí triomicé rovice řešeí vdrticé rovice dvou rovic biomicých Def: Algebricou rovici x + - x x + 0 = 0, pro jejíž oeficiety, = 0,,,, pltí vzth ) = - zýváme ldě reciproou, b) = - zýváme záporě reciproou Vět: Kždá reciproá rovice má s ořeem c i oře c Vět: Kždá ldě reciproá rovice lichého stupě ždá záporě reciproá rovice sudého stupě má oře Kždá záporě reciproá rovice má oře + Důslede: Po přípdém vytutí ořeových čiitelů x x + lze ždou reciproou rovici převést ldě reciproou rovici sudého stupě Vět: Zvedeme-li do ldě reciproé rovice P(x) = 0 sudého stupě ovou ezámou vzthem y = x + x přejde rovici Q(y) = 0 stupě

5 Def: Nechť,, b,,b jsou dvě báze vetorového prostoru V Nechť P = (p ij ) je tová čtvercová mtice stupě, že pro ždé i =,, pltí b i = p i + p i + + p i P P se zývá mtice přechodu od báze,, bázi b,,b Vět: Nechť P je mtice přechodu od báze libovolý vetor V pltí souřdic vetoru,, bázi b,,b v prostoru V Pro x = x P -, de x je vetor původích x vetor ových Def: Nechť m, jsou přirozeá čísl Zobrzeí A rtézsého součiu,,, m,,, do možiy všech reálých čísel zveme reálou mticí typu (m, ) { } { } Def: Mtici 0 zýváme ulovou, má-li všechy prvy rovy ule Čtvercovou mtici I = ( ij ) stupě zýváme jedotovou, jestliže všechy prvy hlví digoály jsou rovy jedé, tz ii = pro ždé i =,,, všechy osttí prvy jsou rovy ule Def: Mtici A T typu (, m), terá vzie z mtice A typu (m, ) záměou řádů z sloupce (bez změy jejich pořdí) zveme mticí trspoovou mtici A Čtvercová mtice A se zývá symetricá, jestliže A = A T Def: Nechť A = ( ij ), B = (b ij ) jsou mtice téhož typu (m, ) Součet A + B těchto mtic defiujeme jo mtici C = (c ij ) opět typu (m, ), pro terou c ij = ij + b ij pro všech i =,, m, j =,, Vět: Pro libovolé mtice A, B, C stejého typu pltí A + B = B + A omuttivost sčítáí, (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C - socitivost sčítáí Def: Souči reálého čísl mtice A = ( ij ) typu (m, ) defiujeme jo mtici B = (b ij ) typu (m, ), pro jejíž všechy prvy pltí b ij = ij Vět: Pro libovolé mtice A, B stejého typu reálá čísl, pltí ( + ) A = A + A, (A + B) = A + B, 3 ( A) = ( ) A Def: Nechť A = ( ij ) je mtice typu (m, p) b = (b ij ) je mtice typu (p, ) Součiem AB těchto mtic rozumíme mtici C = (c ij ) typu (m, ) tovou, že c ij = i b j Vět: Nechť A, B, C jsou tové mtice, že existují dále uvedeé součiy P pltí (AB) C = A (BC) socitivost ásobeí, (A + B) C = AC + BC prvý distributiví záo, 3 C (A + B) = CA + CB - levý distributiví záo Vět: Mticová rovice A + X = B, de A, B jsou mtice stejého typu, má právě jedo řešeí X = B A, dále pltí A+ X = A X = 0 p =

6 Vět: Pro libovolou čtvercovou mtici A stupě pltí AI = IA = A, de I je jedotová mtice stupě Def: Je-li A čtvercová mtice stupě, p defiujeme A o = I, A = A, A = A - A pro libovolé přirozeé číslo Mticí A zýváme -tou mociou mtice A Def: Čtvercovou mtici zveme ilpotetí, jestliže pro ějé přirozeé číslo pltí A =0 Def: Přirozeé číslo, udávjící mximálí počet lieárě ezávislých řádů (resp sloupců) mtice, zýváme řádovou (resp sloupcovou) hodostí mtice Vět: Řádová sloupcová hodost libovolé mtice se rovjí Hovoříme tedy o hodosti h(a) mtice A typu (m, ), pro terou pltí h(a) mi (m, ) Vět: Hodosti vzájem trspoových mtic jsou stejé Def: Nechť A je čtvercová mtice stupě Jestliže h(a) =, říáme, že mtice A je regulárí Jestliže h(a), říáme, že mtice A je sigulárí Def: Mtice A = ( ij ) typu (m, ) se zývá trojúhelíová, dyž m pro i =,, m je ii 0 ij = 0 pro j i Vět: Hodost trojúhelíové mtice je rov počtu jejích řádů Vět: Mtice A B mjí stejou hodost, jestliže jed ze druhé vzie spoň jedou z těchto úprv: záměou pořdí libovolých řádů, vyecháím ebo přidáím ulového řádu, 3 vyecháím ebo přidáím řádu, terý je lieárí ombicí osttích řádů, 4 ásobeím libovolého řádu číslem růzým od uly, 5 přičteím dému řádu lieárí ombice osttích řádů Def: Uvedeé úprvy mtic ozčujeme jo evivletí příslušé mtice A, B zýváme evivletí Píšeme A ~ B Def: Čtvercovou mtici A zýváme iverzí mticí mtici A stejého stupě, jestliže pltí A A = A A = I Vět: Jestliže čtvercová mtice je regulárí, p í existuje právě jed iverzí mtice Jestliže je čtvercová mtice sigulárí, iverzí mtice í eexistuje Gussov metod iverze mtice Elemetárí úprvou ve čtvercové mtici rozumíme záměu libovolých řádů, vyásobeí ěterého řádu eulovým reálých číslem, 3 přičteí -ásobu jistého řádu jiému řádu Tyto elemetárí úprvy se djí vyjádřit jo souči původí mtice tzv mtice elemetárích úprv, terá vzie z jedotové mtice záměou příslušých řádů, vyásobeím příslušého řádu eulovým reálým číslem,

7 3 přičteím -ásobu příslušého řádu jiému řádu Vět: Jsou-li A, B regulárí mtice stejého stupě, p jejich souči AB je opět regulárí mtice pltí (AB) - = B - A - Vět: Je-li A mtice typu (m, ), B mtice typu (, p), p (AB) T = B T A T Jsou-li A, B mtice stejého typu, p (A+B) T = A T + B T 3 Je-li A regulárí mtice, p (A - ) T = (A T ) - Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (, p) P mticová rovice AX = B má právě jedié řešeí X = A - B Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (m, ) P mticová rovice XA = B má právě jedo řešeí X = BA - Def: Dvojice i, j se zývá iverze v permutci () =,,,, jestliže i j i j Def: Nechť A = ( ij ) je čtvercová mtice stupě Reálé číslo α det A = A = ( ) ( ), de sčítáme přes všechy permutce () čísel,,, α je počet iverzí v permutci (), se zývá determit mtice A Vedoucím čleem determitu rozumíme souči prvů hlví digoále mtice A Lplceov vět o rozvoji determitu: Nechť A je čtvercová mtice stupě P pro ždé i =,,, pltí det A = r= determitu vyecháím i-tého řádu r-tého sloupce i+ r ( ) ir M ir, de M ir je subdetermit vzilý z dého Vět: Pro vzájem trspoové čtvercové mtice pltí det A = det A T Vět (o řdových úprvách determitu): () Násobíme-li libovolou řdu determitu číslem, p se číslem ásobí celý determit (b) Vyměíme-li v determitu dvě rovoběžé řdy, p determit změí zméo (c) Přičteme-li ěteré řdě determitu libovolou lieárí ombici řd s í rovoběžých, p se hodot determitu ezměí Důsledy: Společý čiitel jedé řdy determitu můžeme vytout před determit Jsou-li v determitu dvě rovoběžé řdy stejé, p je determit rove ule 3 Jsou-li rovoběžé řdy determitu lieárě závislé, p je determit rove ule 4 Je-li determit růzý od uly, p jsou jeho řdy lieárě ezávislé op Vět: Je-li čtvercová mtice A = ( ij ) stupě trojúhelíová, p její determit je rove součiu prvů hlví digoále, tj det A = Vět: Čtvercová mtice A je regulárí, právě dyž její determit je růzý od uly Důslede: Mtice je sigulárí, právě dyž je její determit rove ule

8 Vět: Neulová mtice A typu (m, ) má hodost h, právě dyž z í lze vybrt spoň jede eulový determit řádu h všechy determity řádu většího ež h vybré z mtice A jsou rovy ule Vět: Jestliže A B jsou čtvercové mtice stejého stupě, potom det AB = det A det B Vět: Je-li A regulárí mtice, p det A - = det A Vět: Je-li A = ( ij ) regulárí mtice stupě, potom iverzí mtice mtici A se dá zpst ve tvru A A A A - A A A = det A, A A A de A ij je lgebricý doplě prvu ij T Defiice: Soustvou m lieárích rovic s ezámými x,, x rozumíme soustvu x + x + + x = b x + x + + x = b m x + m x + + m x = b m, de ij, i =,, m, j =,, b,, b m jsou reálá čísl Mtice A = m m m se zývá mtice soustvy Mtice m m m b b b m se zývá rozšířeá mtice soustvy Vět: Je-li čtvercová mtice A regulárí, p soustv lieárích rovic A x = b má právě jedié řešeí x = A - b

9 Frobeiov vět: Soustv lieárích rovic má řešeí, právě dyž je hodost mtice soustvy rov hodosti rozšířeé mtice soustvy Vět: Nechť soustv lieárích rovic s ezámými má řešeí Jestliže h(a) =, p má soustv právě jedo řešeí Jestliže h(a), p má soustv eoečě moho řešeí, přičemž z h ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Pozám: Nechť má soustv lieárích rovic eoečě moho řešeí Vzth popisující pomocí prmetrů všech řešeí soustvy, se zývá obecé řešeí soustvy Dosdíme-li z volitelé ezámé orétí reálá čísl, dostáváme tzv prtiulárí řešeí soustvy Prtiulárí řešeí soustvy, ve terém jsou volitelé ezámé rovy ule, se zývá záldí řešeí soustvy Def: Mjí-li dvě soustvy lieárích rovic o ezámých tutéž možiu řešeí, zývjí se evivletí Gussov elimičí metod řešeí soustvy lieárích rovic: Rozšířeou mtici dé soustvy uprvíme trojúhelíový tvr Této trojúhelíové mtici přiřdíme soustvu, terou řešíme odspodu Jordov metod řešeí soustv lieárích rovic (metod úplé elimice): Rozšířeou mtici soustvy převedeme trojúhelíový tvr V trojúhelíové mtici logicy odspodu vyulujeme prvy d hlví digoálou 3 N hlví digoále tto zísé mtice vytvoříme jedičy 4 Výsledé mtici přiřdíme soustvu Def: Homogeí soustvou zýváme soustvu lieárích rovic, v íž všech čísl prvých strách rovic jsou uly Vět: Homogeí soustv lieárích rovic s ezámými má vždy řešeí Je-li h(a) =, p má jedié řešeí x = (0,, 0) Je-li h(a), p má eoečě moho řešeí, přičemž z h(a) ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Vět: Obecé řešeí homogeí soustvy lieárích rovic je lieárí prostor dimeze h, de je počet ezámých h hodost mtice soustvy Vět: Nechť ehomogeí soustv lieárích rovic má řešeí P obecé řešeí ehomogeí soustvy je rovo součtu libovolého prtiulárího řešeí ehomogeí soustvy obecého řešeí odpovídjící homogeí soustvy Vět (Crmerovo prvidlo): Jestliže mtice A soustvy lieárích rovic o ezámých x,, x je regulárí, p má tto soustv právě jedo řešeí, teré se dá zpst ve tvru det A j x j =, j =,,,, de A j je mtice, terá vzie z mtice A áhrdou j-tého det A sloupce sloupcem prvých str rovic soustvy

10 Def: Kždou podmožiu R rtézsého součiu A B zveme biárí relcí mezi možimi A, B V přípdě A = B hovoříme o biárí relci v možiě A Def: Relcí evivlece v možiě A rozumíme ždou relci R v A, terá je reflexiví, tj pro všech x A je [x, x] R, symetricá, tj [x, y] R [y, x] R, 3 trzitiví, tj [x, y] R [y, z] R [x, z] R Def: Rozldem možiy A zveme ždý systém moži ϕ P(A), ϕ = { A } tový, že Ø ϕ, A A l = Ø pro l, 3 A = A, de A ϕ Def: Nechť R A B je libovolá relce Iverzí relcí relci R rozumíme tovou relci R - B A, pro terou pltí [y, x] R -, právě dyž [x, y] R Def: Složeou relcí R = R o R relcí R, R v možiě A zýváme tovou relci R v možiě A, jejímiž prvy jsou právě všechy uspořádé dvojice [x, y] A, pro teré existuje prve z A tový, že [x, z] R [z, y] R Vět: ) (R o S) - = S - o R - b) (R o S) o T = R o (S o T) socitivost sládáí Def: Biárí relci U A B zveme zobrzeím z možiy A do možiy B, právě dyž e ždému x A existuje ejvýše jedo y B tové, že [x, y] U V přípdě A = B hovoříme o zobrzeí v možiě A Def: Je-li O (U) = A říáme, že U je zobrzeím možiy A do B Je-li O (U) = B říáme, že U je zobrzeím z možiy A B (surjetiví zobrzeí eboli surjece) 3 Říáme, že zobrzeí U z možiy A do B je prosté zobrzeí z A do B, právě dyž pro ždé dvě dvojice [x, y ] U, [x, y ] U pltí x x y y (ijetiví zobrzeí eboli ijece) 4 Prosté zobrzeí U možiy A B zýváme vzájemě jedozčé zobrzeí A B (bijetiví zobrzeí eboli bijece) Vět: Nechť U je zobrzeí z možiy A do B Relce U - je iverzí zobrzeí U, právě dyž U je prosté zobrzeí z A do B Vět: Nechť U je zobrzeí z A do B, V zobrzeí z B do C P relce U o V je zobrzeí z A do C Def: Uárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí možiy A do A Biárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí A A do A

11 Def: Uspořádá -tice reálých čísel se zývá -čleý (-rozměrý) ritmeticý vetor Vět: Pro libovolé vetory, b, c R pltí + b = b + - omuttivost sčítáí ( + b ) + c = + ( b + c ) - socitivost sčítáí =, de 0 = (0,, 0) je tzv ulový vetor (eutrálí prve pro sčítáí) 4 pro ždý vetor existuje právě jede vetor b t, že pltí + b = 0 (opčý vetor b = vzhledem ) Def: Nechť R, = (,, ) R Vetor = (,, ) R zýváme -ásobe vetoru Vět: Pro libovolá čísl, R vetory, b, c R pltí: ( + b ) = + b, ( + ) = + - distributiví záoy pro ásobeí vetoru číslem ( ) = ( ) socitiví záo pro ásobeí vetoru číslem 3 = Def: Moži T mjící spoň dv prvy spolu s opercemi +, se zývá těleso, jestliže pltí: + b = b +, (+b) + c = + (b + c) =, tz existece eutrálího prvu vzhledem e sčítáí (ulový prve) 4 pro ždé existuje právě jedo b t, že + b = 0 (b = - ) 5 b = b 6 (b)c = (bc) 7 =, tz existece eutrálího prvu vzhledem ásobeí (jedotový prve) 8 pro ždé 0 existuje právě jedo b t, že b = (b = - = ) 9 ( + b) c = c + bc Def: Nechť V je eprázdá moži, teré je defiová operce + echť T je těleso Řeeme, že V je lieárí (vetorový) prostor d T, jestliže pltí: V spolu s opercí + má vlstosti 4 z defiice těles Je defiová operce ásobeí prvů z V prvy těles T t, že pltí vlstosti z předchozí věty Prvy lieárího (vetorového) prostoru zýváme vetory Vět: Pro t 0 má v libovolém vetorovém prostoru rovice + t x = b právě jedié řešeí Def: Nechť (W,, ) (V, +, ) jsou vetorové prostory d tělesem T Řeeme, že (W,, ) je vetorovým podprostorem prostoru (V, +, ), jestliže pltí W V b = + b, =, pro ždé, b W ždé T

12 Vět: Nechť W V, W Ø, de V je vetorový prostor d tělesem T (W, +, ) je vetorový podprostor V, právě dyž pro libovolá, b W libovolé t T pltí + b W, t W (W je uzvřeá vzhledem e sčítáí i ásobu) Def: Řeeme, že vetor je lieárí ombicí vetorů,, reálá čísl λ,, λ tová, že pltí = λ + + λ, právě dyž existují Def: Řeeme, že vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž existují reálá čísl λ,, λ, z ichž spoň jedo je růzé od uly, tová, že pltí λ + + λ Řeeme, že vetory,, jsou lieárě ezávislé, ejsou-li lieárě závislé = 0 Vět: Vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž spoň jede z ich je lieárí ombicí osttích Vět: Nechť,,, jsou vetory lieárího prostoru V d tělesem T Nechť W je moži všech lieárích ombicí vetorů,,, z V je lieárí podprostor prostoru V Potom W spolu s opercemi Def: Říáme, že podprostor W z předchozí věty je vytvoře vetory,,,,, ebo že je systém geerátorů podprostoru W Podprostor W se zývá lieárí obl možiy vetorů M = {,, } zčíme ho (M) Def: Nechť V je vetorový prostor moži vetorů M V M se zývá báze vetorového prostoru V, jestliže pltí ) (M) = V, b) M je moži lieárě ezávislých vetorů Vět: Systém vetorů e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e = (0, 0,, ) je báze vetorového prostoru R Vět: Nechť V je vetorový prostor d tělesem T, terý má oečou bázi Potom ždé dvě báze prostoru V mjí stejý počet prvů Def: Nechť V je vetorový prostor mjící oečou bázi Počet prvů báze se zývá dimeze prostoru V Řeeme, že prostor má eoečou dimezi, jestliže emá oečou bázi Vět: Kždý prve vetorového prostoru lze jedozčě vyjádřit jo lieárí ombici prvů dé báze tohoto prostoru Def: Tvoří-li vetory,, bází vetorového prostoru V je-li prve b V vyjádře ve tvru b = x + + x vzhledem bázi,,, říáme, že čísl x,, x jsou souřdice vetoru b

13 Def: Dv lieárí prostory V V se zývjí izomorfí, existuje-li mezi imi vzájemě jedozčé zobrzeí tové, že odpovídá-li prvu V prve V prvu b V prve b V, potom ) prvu + b V odpovídá prve + b V, b) prvu λ V odpovídá prve λ V, de λ R (obecě prve těles T) Vět: Průi, resp součet, dvou podprostorů W, W lieárího prostoru V je opět jeho podprostorem Def: Podprostor W lieárího prostoru V zýváme diretím součtem W = W W podprostorů W, W, jestliže W = W + W W W je triviálí podprostor Vět Dimeze prostoru W W je rov součtu dimezí prostorů W W Def: Říáme, že v dém lieárím prostoru je defiová slárí souči, jestliže je ždé dvojici, b prvů lieárího prostoru přiřzeo reálé číslo (, b ) tové, že pltí (, b ) = ( b, ), ( + b, c ) = (, c) + ( b, c), 3 (, b ) = (, b ), 4 (,) 0, (,) = 0 = 0 Def: Lieárí prostor se zvedeým slárím součiem zýváme eulidovsý prostor Def: Normou (bsolutí hodotou, veliostí, délou) prvu eulidovsého prostoru se zývá reálé číslo = Jedotovým prvem zýváme prve eulidovsého prostoru, jehož orm je rov jedé Vět (Schwrzov erovost): Nechť P pltí (, b ) b Vět (trojúhelíová erovost): Pro libovolé dv prvy + b + b Vět: Pro libovolé prvy 0, = 0 = 0, λ = λ, 3 + b + b Def: Vzdáleostí dvou prvů ρ (, b ) = b = ( b, b), b jsou dv libovolé prvy eulidovsého prostoru, b eulidovsého prostoru pltí, b eulidovsého prostoru libovolé reálé číslo λ pltí, b eulidovsého prostoru se zývá číslo

14 Def: Nechť E je eulidovsý vetorový prostor W jeho podmoži P ortogoálím doplňem možiy W zýváme možiu W = { E; pro všechy b W je b } Vět: Nechť W, V jsou podmožiy eulidovsého prostoru E P W je podprostor vetorového prostoru E, je-li W V, p V W, 3 součet dimezí vzájem ortogoálích doplňů v -rozměrém prostoru E je rove Vět: Nechť W je podprostor eulidovsého prostoru oečé dimeze P existuje ortoormálí báze podprostoru W Důz: Nechť,, je báze podprostoru W Iducí lze doázt, že existují eulové ortogoálí vetory b,, b, pro teré pltí b = b = + λ b b 3 = 3 + λ3 b + λ 3 b b = + λ b + + b λ Pro libovolé vyásobíme rovost b = + λ b + λ b + + λ b postupě vetory b,, b - využijeme jejich ortogolitu Dosteme pro ždé j =,, - postupě (b, b j) = (, b j ) + λ j (b j, b j ) prvou část rovosti položíme rovu ule, protože chceme, by vetory b, b j byly ortogoálí Tím dosteme rovici, z íž jedozčě vyjádříme λ j Tto lezeme všechy oeficiety λ,, λ -, tím i vetor b Zísé vetory b,, b tvoří ortogoálí bázi podprostoru W Abychom dostli hledou bi ortoormálí bázi c,, c, stčí položit c i = pro i =,, b Pozám: Předcházející důz je ostrutiví Uvedeý postup se zývá Schmidtov ortogolizčí metod V ždém -rozměrém eulidovsém vetorovém prostoru existuje moho ortoormálích bází Ortogolizčí proces báze,, vetorů, čímž zísáme růzé ortoormálí báze i lze zčít od růzých Vět: Nechť W je libovolý podprostor -rozměrého eulidovsého prostoru E Potom libovolý vetor c E se dá pst ve tvru c = + b, de W, b W Vetor se zývá ortogoálí projecí vetoru c do podprostoru W Důz: Je-li c W, p stčí položit c = c + 0, protože 0 W Je-li c W vetory c, c tvoří ortoormálí bázi podprostoru W, p vetory c, c,, c jsou lieárě ezávislé podle Schmidtovy ortogolizčí metody existují čísl λ +,, λ + t, že vetor b = c + λ + c + + λ c je ortogoálí vetory c,, c, což zmeá b W Tedy + c = + b, de W b W

15 Def: Úhlem dvou eulových prvů terý cos ϕ = (, b) b, b eulidovsého prostoru zýváme úhel ϕ, pro Def: Dv eulové prvy eulidovsého prostoru zýváme ortogoálí, jestliže jejich slárí souči je rove ule Jsou-li všechy prvy báze eulidovsého prostoru po dvou ortogoálí, hovoříme o ortogoálí bázi Jsou-li víc všechy prvy báze jedotové, hovoříme o ortoormálí bázi

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1.

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1. 4 4 = 8 8 8 = 5 + 19 1 = 4 = 11 : 1 k > 0 k 4k x 1 x x k + (1 x) 4k = k x + 4 4x = x = x 1 x = 1 = : 1. v h h s 75 v 50 h s v v 50 s h 75 180 v h 90 v 50 h 180 90 50 = 40 s 65 v 80 60 80 80 65 v 50 s 50

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

ú Í ŤÍ ď š ě ě ř šť Á Š É Š Ě š ě Č Č š ě é éř Í ě éč éř É šť ř é ě ý é Ž ů ů ň Č Č Č Š ř ý Ó ý š ě ý ř é ě ý Í ž š é š ě ě š ě é é ý é ě ý Ž éř Ž Š Ž ř Šť éř Í ř Č Č Č ě ý éř Í Ž ě ě ý éř Í ř šť ěř é

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

ř ě ě š ř ů ř ěž ú ěž ú ú Č ě Ú š ž ú ž ě ě ř ž ě ú ů ě ř š ž ú ě š ž ě ů š ě ř ě Ú ř ě ř ě ř ě ě ř š ž ž ř ě ť ř ě ů š ř š ě ě ř š ď ů ř ř ž Ž ř ě ž ř ě ř š ř ě ř ř ů ř ž ř ř ř ě ě š ž ř ě ě ž ž ř ž š

Více

í ý á ř ů ř ě í Ď ě ě ě á ě á ří ý ě í á ř ů ň á ó Š á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á íí ý í á á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á ří ý ě í Ó ří á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á ří ý á ř ů ř ě í ř ý ří í á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á ý ě

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

É ř ď ý Ě ý Č š ž ň ó ř ř š ž ž š š ž š š š š ž ž ž š ó Ž ž ť ž ž ň ž ó Č š ž ž š ž ž ž ž š ž ž ó ó š ž ž š š š ž ž ž ď ď ž ž šž ž š ž ž ž š š š ž š ž šť š ž š š ž š š š š š š ž š ž ž ú Ú ň š š š š š š

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Á Í Č Ě Č ň ť Š Č Ť ň ň ď Ť Ú ť Č ň ď ť Č Š Ž Ú Ť Ť Ť Ť ň Ť Ť ť Ť Ť Á Ť Ť Ť ď Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť ň ďť Ť Ť Ť Š Š Š ď ň Č Š ň Š ť Š ň Š Š Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ú Š ň ť ť Š ň Š Ž ť ť ť ň Š Č Š Š Í

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Í Ř á ž á ž á ž š á ě Ž Í š á č č ť š š ě ě áč ě Ť áš Ž č Í Č ě Ž Ž č á š ě á á ě á áš č š ě á č ě Ť š á ě á Ě š ě Ť ě š ě š Ť áž ě č á ě ě áč Č ě č á Š á Ž á Ť ě á ť ě ž ě Č š á á ě č ěť č á č ě š š Ž

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Ú č ší ž čá ů í í č í á á ší á š í ž š ž žá éž é á š ý ší ř ě čá š í ě í í á í š šíč á ř í é ý ž í í í á ž ří ě ž ýč ýč ě á ě ý á í íš ž ř í á ší á í ě é ů ě í ší é í í š šíí ě é ž Š í ý č ý ý ě é ří š

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu Apliace margiálích áladů Oceňováí ztrát v distribučím rozvodu Učebí text předmětu MES Doc. Ig. J. Vastl, CSc. Celové ročí álady a ztráty N P ( T ) z z sj z wj Kč de N z celové ročí álady a ztráty *Kč+

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

ý á ř é é č ř á ě Č é á ž é é čě á í é čě říš ý á é á á číš ě ú ú á á ý ýš í Ž čě é č é á í áš ýš ý ř ř á ě ě é ž í á š ě č ž é ú š ě úž é í ě á á ý ó í ýš ďé ěě řá říš ý á ó š žá š ý ř ú ř ú á š í ě ď

Více

š ý ě á úář Ú á ď š ř ú á ěž ý ář é ě ě ý ú á é ž á é š ě ď é š ě ý ě ř š é ď ůž ř š ů ě á ě Š ú Č á ý ě ě ř á á ů á é ě ř Š ě ř é á ř á š Č Š ý ář é é á á á ů ář ý é á ý ě á á ř úř á á á á á úř ř á á

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

č Ú ť é á č š é ň č á é á č á ňí á ň á é č á Š š ň Í áč ť ň áž á é á á á á ň é á č é é ň š č Ť é ňí é Ž ň š é á č á é á č á ň á á é á é é á é č é Ó ň é é é é é á é á ů č š š š Ť é é á á é áň á Ť á č š

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Á Ž í é á ž é ří íší ě é ý á ě ý ž ů ý íší ě é ř ě ší ší ří ě ší é ě é ý ž á í ří ň ó ň ě ž ě ý á á ž á á é čá í í í í ší í čí íý é ř í á ř ž ž č ě ě ů é í í í á ě á é í é é ř á ý á í ý ů í ý í ů á é é

Více

ů š š Č Ě Í ř ě á ě ý š é ž ý é ú ů é á ě č ě š é Ž ý ý ť č š ý Ž á ě é š ě ě á ř é é ó ó Í Ďá é ý á Ž é é Í Ž á ř á á ť á Í é ř é é ř é á Í Í ř ó é Ó ř č é č ě č č é ě éť ř Í Í á Í á ř á á É š Í š ř á

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Ť Ú Ž Ý Ý ě ě ě ý ů ě ů ů ě ů ů ř č ě č ď č ň ý š ě ž ř ě ý ě š ř š ž ý ý š š ý ě Ú ř ž ď ě ř ž ý ř š ý ČČ Č č ý ČČ Č Č Č Č ý Č Č Č Č Č Č Č ý č Ř š ř č ě ě Á ž Ž ě ě ě Šý ě ž ř ě ů č ž ě š š ý č ý ČČ

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

ě ě ú ě ě ě ě ě ň ě ň ů ě ů Ý ě ě ů ň ě Í ě ň ě ě Ž ě ň ě ě ú ů ú ě ě ě ú ě ě ě ě ě ě ů ě ů ě ě ú ů ě ě ě Ž ů ě ě ú Ž Ž Ú ě ě ě ě Ž Ž ě ť Ž Í ě Ž ě Ž Ž ů ěž ů ěž ě Í Ú ů ě ů ě Ž Ž Ž ě ě ě ů ě ě ě ě ě ů

Více

ř ú ú Š Í Á É ř ř ř é é ř ř š é ř ř š ř é ž é ž š é š é é ř ů ž ž ř é ř ů é é ž é ř é é ř é ú é é ž é é š ň é ř š é š é Ť é ř ů ž ž ď ř é é é ž ř é Š ů é ř é ř é Š ú ř Í ž ž ř ř Í é š ž é ř Ť š ř ř ř š

Více

ň ý ě ý ý ý ě ň ý ě ý Ú ú ň ň ý ě ý ó ž ý ň ě ě ě ú ú Ř ň ň ý ě ý ě ě ž ý ž ě ý ě ý ě ě ů ě Ů Č Í Ě Á Á Í ě ě ě ě Ž Ů ú ě ě ě Ú ě ů ě ý ě ě ú ň ý ě Ů ž ů ž ě ý ý ý ý ě Č Č ě Č ě ů ý ě ý ý ž ě ě ž ů ž ě

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil 3.3.3 Rová soustava s a oetů s Předpoady Všechy síy soustavy eží v edé rově. Všechy oety sou oé a tuto rovu. *) Souřadý systé voíe ta, že rova - e totožá s rovou s. y O *) Po.: Sový oet ůžee ahradt dvocí

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Přehled vzorců z matematiky

Přehled vzorců z matematiky ) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Á Š ř á ář Á É Í á š Ř ÁŘ á é ř č á ž é ř š ů ř á é ě š ď ř š šč Č á ě ý č ář é ď ý ý ř ě č ě ý Č Á Ě Ý Č ř ě ý č á š ž áš ě ž š ž č ě é č ě č éř ř š ý š ž á é áš č á ů á š š ř éž ř ý č á á ě ř á á ý ř

Více