u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,"

Transkript

1 Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou vetory v bázi { i j, }, P pltí u v = 0, právě dyž u, v jsou olieárí vetory, u v = - ( v u ), vetorový souči je tiomuttiví, 3 u ( v + w ) = u v + u w, 4 α (u v ) = α u v = u α v pro libovolé α R j j = = 0, i j =, Vět: Nechť u, v jsou eulové eolieárí vetory P pltí: Vetorový souči u v je olmý oběm vetorům u, v u v = u v si ϕ, de ϕ je úhel vetorů u, v 3 Soustv vetorů u, v, u v je v tomto pořdí prvotočivá Def: Smíšeým součiem vetorů Vět: Pro smíšeý souči vetorů u u u 3 u, v, w zýváme číslo u ( v w) u, v, w pltí u ( v w) = v w v w v 3 w 3, de u = u i + u j + u 3, v = v i + v j + v 3, Chyb! Chybé propojeí, u ( v w) = v ( w u ) = w( u v ) 3 je ezáporý, právě dyž ásledují vetory u, v, w v ldé orietci, 4 ejsou-li vetory omplárí, je bsolutí hodot jejich smíšeého součiu rov objemu rovoběžostěu sestrojeému z těchto vetorů, 5 jsou-li vetory omplárí, je smíšeý souči rove ule Def: Normál je ždá olmá přím příslušé roviě Normálový vetor je te, terý lze umístit do libovolé ormály dé roviy Rozbor obecé rovice roviy: Je-li d = 0, rovi prochází počátem soustvy souřdic Je-li = 0, rovi je rovoběžá s osou x, obdobě pro b = 0 ebo c = 0 3 Je-li = b =0, rovi je rovoběžá se souřdou roviou xy o rovici z = ost, obdobě = c = 0, resp b = c = 0 4 Rovice z = 0, y = 0, x = 0 vyjdřují postupě souřdé roviy xy, xz, yz

2 Vět: Rovice roviy určeé třemi eolieárími body A = [x, y, z ], B = [x, y, z ], C = [x 3, y 3, z 3 ] má tvr x x y y z z x x 3 x x y y 3 y y z z 3 z z = 0 Pozám: Prmetricá rovice roviy určeé třemi body je X = A + t u + su 3 ebo rozepsé do slože x = x + t (x x ) + s(x 3 x ) y = y + t (y y ) + s(y 3 y ) z = z + t (z z ) + s(z 3 z ), t, s R Vět: Vzdáleost v bodu A = [x, y, z ] od roviy x + by + cz + d =0 je x + by + cz + d v = + b + c Vět: Odchylou dvou rovi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 je ostrý ebo prvý úhel ϕ jejich ormálových vetorů = (, b, c ), = (, b, c ), tz cos ϕ = Def: Svzem rovi zýváme možiu všech rovi procházejících pevou přímou (osou svzu) ebo možiu všech vzájem rovoběžých rovi Vět: Rovici svzu rovi, terý je urče rovimi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 lze zpst ve tvru α ( x + b y + c z + d ) + β ( x + b y + c z + d ) = 0, de α, β jsou libovolá reálá čísl, z ichž spoň jedo je růzé od uly Pozám: Uvžujme tři roviy o rovicích x + b y + c z = d x + b y + c z = d 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Je-li h(a) = h(a r ) = 3, roviy mjí právě jediý společý bod Je-li h(a) = h(a r ) =, roviy ptří témuž svzu 3 Je-li h(a) = h(a r ) =, všechy tři roviy jsou totožé 4 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, roviy se protíjí ve vzájemě rovoběžých průsečicích 5 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, jde o tři růzé vzájem rovoběžé roviy 6 Je-li h(a) =, h(a r ) =, roviy jsou rovoběžé, le dvě z ich splývjí Vět: Pro ostrý ebo prvý úhel ϕ dvou příme se směrovými vetory s p pltí vzth s p cos ϕ = s p

3 Vět: Pro odchylu ϕ přímy se směrovým vetorem s roviy s ormálovým vetorem pltí si ϕ = s s Pozám: Vzdáleost bodu A od přímy p určíme jo vzdáleost bodu A od jeho prvoúhlého průmětu A přímu Prvoúhlý průmět A určíme jo průsečí přímy p s roviou olmou přímce p jdoucí bodem A Def: Jestliže 0,,, jsou libovolá reálá, popř omplexí čísl je ezáporé celé číslo, p výrz P(x) = 0 + x+ + x, 0, zýváme (reálým, popř omplexím) polyomem proměé x stupě Rovici P(x) = 0 zýváme lgebricou rovicí stupě Def: Kořeem eboli řešeím lgebricé rovice P(x) = 0 rozumíme ždé číslo c, teré této rovici vyhovuje, tz P(c) = 0 Lieárí dvojčle x c zýváme ořeový čiitel (ftor) lgebricé rovice Záldí vět lgebry: Kždá lgebricá rovice stupě má spoň jede omplexí oře Def: Číslo c se zývá -ásobý oře lgebricé rovice P(x) = 0, právě dyž pro ždé omplexí číslo x pltí P(x) = (x c) Q(x), de Q(c) 0 Vět: Algebricá rovice P(x) = 0 stupě má v tělese omplexích čísel právě ořeů c,, c pltí P(x) = (x c ) (x c ) (x c ) Def: Reálá čísl, terá jsou ořey lgebricých rovic P(x) = 0, de P(x) je libovolý polyom s celočíselými oeficiety se zývjí lgebricá Osttí reálá čísl se zývjí trscedetí Vět: Má-li lgebricá rovice P(x) = 0 s reálými oeficiety imgiárí oře c = u + iv, p má té omplexě sdružeý oře c = u iv Vět: Mezi oeficiety ormové lgebricé rovice x + - x x + 0 = 0 jejími ořey c,, c pltí tzv Viètovy vzthy (symetricé fuce ořeů) c = - = (c + c + + c ) = - = c c + + c c + c c c - c = i -3 = c c c 3 + c c c 4 + c - c - c = 0 = ( ) c c c, c, i c c c j, i c i j Def: Biomicou rovicí zýváme rovici x = 0, de je libovolé omplexí číslo

4 Vět: Biomicá rovice x = 0, 0, má v možiě omplexích čísel růzých ořeů α + π α + π c = (cos + i si ), = 0,,, Pozám: Kždé omplexí číslo růzé od uly má v možiě omplexích čísel od sebe růzých -tých odmoci, tz omplexích čísel c tových, že c = Řešit biomicou rovici x = 0, zmeá jít všechy -té odmociy z 3 Body předstvující obrzy ořeů biomicé rovice x = 0 tvoří vrcholy prvidelého -úhelí Vět: Normová vdrticá rovice x + px + q = 0 má v C dv ořey p ± p x, = 4q, pro teré pltí Viètovy vzthy x + x = p, x x = q Pozám: Kořey vdrticé rovice x + bx + c = 0 s omplexími oeficiety jsou omplexí čísl x, = čísl b 4c b ± b 4c, de b 4c je jed ze dvou druhých odmoci Pozám: Pro ořey rovice x 3 + x + x + 0 = 0 pltí Viètovy vzorce x + x + x 3 = x x + x x 3 + x x 3 = x x x 3 = 0 Def: Triomicou rovicí zýváme rovici x + bx + c = 0 pro 0 Vět: Substitucí x = y převádíme řešeí triomicé rovice řešeí vdrticé rovice dvou rovic biomicých Def: Algebricou rovici x + - x x + 0 = 0, pro jejíž oeficiety, = 0,,,, pltí vzth ) = - zýváme ldě reciproou, b) = - zýváme záporě reciproou Vět: Kždá reciproá rovice má s ořeem c i oře c Vět: Kždá ldě reciproá rovice lichého stupě ždá záporě reciproá rovice sudého stupě má oře Kždá záporě reciproá rovice má oře + Důslede: Po přípdém vytutí ořeových čiitelů x x + lze ždou reciproou rovici převést ldě reciproou rovici sudého stupě Vět: Zvedeme-li do ldě reciproé rovice P(x) = 0 sudého stupě ovou ezámou vzthem y = x + x přejde rovici Q(y) = 0 stupě

5 Def: Nechť,, b,,b jsou dvě báze vetorového prostoru V Nechť P = (p ij ) je tová čtvercová mtice stupě, že pro ždé i =,, pltí b i = p i + p i + + p i P P se zývá mtice přechodu od báze,, bázi b,,b Vět: Nechť P je mtice přechodu od báze libovolý vetor V pltí souřdic vetoru,, bázi b,,b v prostoru V Pro x = x P -, de x je vetor původích x vetor ových Def: Nechť m, jsou přirozeá čísl Zobrzeí A rtézsého součiu,,, m,,, do možiy všech reálých čísel zveme reálou mticí typu (m, ) { } { } Def: Mtici 0 zýváme ulovou, má-li všechy prvy rovy ule Čtvercovou mtici I = ( ij ) stupě zýváme jedotovou, jestliže všechy prvy hlví digoály jsou rovy jedé, tz ii = pro ždé i =,,, všechy osttí prvy jsou rovy ule Def: Mtici A T typu (, m), terá vzie z mtice A typu (m, ) záměou řádů z sloupce (bez změy jejich pořdí) zveme mticí trspoovou mtici A Čtvercová mtice A se zývá symetricá, jestliže A = A T Def: Nechť A = ( ij ), B = (b ij ) jsou mtice téhož typu (m, ) Součet A + B těchto mtic defiujeme jo mtici C = (c ij ) opět typu (m, ), pro terou c ij = ij + b ij pro všech i =,, m, j =,, Vět: Pro libovolé mtice A, B, C stejého typu pltí A + B = B + A omuttivost sčítáí, (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C - socitivost sčítáí Def: Souči reálého čísl mtice A = ( ij ) typu (m, ) defiujeme jo mtici B = (b ij ) typu (m, ), pro jejíž všechy prvy pltí b ij = ij Vět: Pro libovolé mtice A, B stejého typu reálá čísl, pltí ( + ) A = A + A, (A + B) = A + B, 3 ( A) = ( ) A Def: Nechť A = ( ij ) je mtice typu (m, p) b = (b ij ) je mtice typu (p, ) Součiem AB těchto mtic rozumíme mtici C = (c ij ) typu (m, ) tovou, že c ij = i b j Vět: Nechť A, B, C jsou tové mtice, že existují dále uvedeé součiy P pltí (AB) C = A (BC) socitivost ásobeí, (A + B) C = AC + BC prvý distributiví záo, 3 C (A + B) = CA + CB - levý distributiví záo Vět: Mticová rovice A + X = B, de A, B jsou mtice stejého typu, má právě jedo řešeí X = B A, dále pltí A+ X = A X = 0 p =

6 Vět: Pro libovolou čtvercovou mtici A stupě pltí AI = IA = A, de I je jedotová mtice stupě Def: Je-li A čtvercová mtice stupě, p defiujeme A o = I, A = A, A = A - A pro libovolé přirozeé číslo Mticí A zýváme -tou mociou mtice A Def: Čtvercovou mtici zveme ilpotetí, jestliže pro ějé přirozeé číslo pltí A =0 Def: Přirozeé číslo, udávjící mximálí počet lieárě ezávislých řádů (resp sloupců) mtice, zýváme řádovou (resp sloupcovou) hodostí mtice Vět: Řádová sloupcová hodost libovolé mtice se rovjí Hovoříme tedy o hodosti h(a) mtice A typu (m, ), pro terou pltí h(a) mi (m, ) Vět: Hodosti vzájem trspoových mtic jsou stejé Def: Nechť A je čtvercová mtice stupě Jestliže h(a) =, říáme, že mtice A je regulárí Jestliže h(a), říáme, že mtice A je sigulárí Def: Mtice A = ( ij ) typu (m, ) se zývá trojúhelíová, dyž m pro i =,, m je ii 0 ij = 0 pro j i Vět: Hodost trojúhelíové mtice je rov počtu jejích řádů Vět: Mtice A B mjí stejou hodost, jestliže jed ze druhé vzie spoň jedou z těchto úprv: záměou pořdí libovolých řádů, vyecháím ebo přidáím ulového řádu, 3 vyecháím ebo přidáím řádu, terý je lieárí ombicí osttích řádů, 4 ásobeím libovolého řádu číslem růzým od uly, 5 přičteím dému řádu lieárí ombice osttích řádů Def: Uvedeé úprvy mtic ozčujeme jo evivletí příslušé mtice A, B zýváme evivletí Píšeme A ~ B Def: Čtvercovou mtici A zýváme iverzí mticí mtici A stejého stupě, jestliže pltí A A = A A = I Vět: Jestliže čtvercová mtice je regulárí, p í existuje právě jed iverzí mtice Jestliže je čtvercová mtice sigulárí, iverzí mtice í eexistuje Gussov metod iverze mtice Elemetárí úprvou ve čtvercové mtici rozumíme záměu libovolých řádů, vyásobeí ěterého řádu eulovým reálých číslem, 3 přičteí -ásobu jistého řádu jiému řádu Tyto elemetárí úprvy se djí vyjádřit jo souči původí mtice tzv mtice elemetárích úprv, terá vzie z jedotové mtice záměou příslušých řádů, vyásobeím příslušého řádu eulovým reálým číslem,

7 3 přičteím -ásobu příslušého řádu jiému řádu Vět: Jsou-li A, B regulárí mtice stejého stupě, p jejich souči AB je opět regulárí mtice pltí (AB) - = B - A - Vět: Je-li A mtice typu (m, ), B mtice typu (, p), p (AB) T = B T A T Jsou-li A, B mtice stejého typu, p (A+B) T = A T + B T 3 Je-li A regulárí mtice, p (A - ) T = (A T ) - Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (, p) P mticová rovice AX = B má právě jedié řešeí X = A - B Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (m, ) P mticová rovice XA = B má právě jedo řešeí X = BA - Def: Dvojice i, j se zývá iverze v permutci () =,,,, jestliže i j i j Def: Nechť A = ( ij ) je čtvercová mtice stupě Reálé číslo α det A = A = ( ) ( ), de sčítáme přes všechy permutce () čísel,,, α je počet iverzí v permutci (), se zývá determit mtice A Vedoucím čleem determitu rozumíme souči prvů hlví digoále mtice A Lplceov vět o rozvoji determitu: Nechť A je čtvercová mtice stupě P pro ždé i =,,, pltí det A = r= determitu vyecháím i-tého řádu r-tého sloupce i+ r ( ) ir M ir, de M ir je subdetermit vzilý z dého Vět: Pro vzájem trspoové čtvercové mtice pltí det A = det A T Vět (o řdových úprvách determitu): () Násobíme-li libovolou řdu determitu číslem, p se číslem ásobí celý determit (b) Vyměíme-li v determitu dvě rovoběžé řdy, p determit změí zméo (c) Přičteme-li ěteré řdě determitu libovolou lieárí ombici řd s í rovoběžých, p se hodot determitu ezměí Důsledy: Společý čiitel jedé řdy determitu můžeme vytout před determit Jsou-li v determitu dvě rovoběžé řdy stejé, p je determit rove ule 3 Jsou-li rovoběžé řdy determitu lieárě závislé, p je determit rove ule 4 Je-li determit růzý od uly, p jsou jeho řdy lieárě ezávislé op Vět: Je-li čtvercová mtice A = ( ij ) stupě trojúhelíová, p její determit je rove součiu prvů hlví digoále, tj det A = Vět: Čtvercová mtice A je regulárí, právě dyž její determit je růzý od uly Důslede: Mtice je sigulárí, právě dyž je její determit rove ule

8 Vět: Neulová mtice A typu (m, ) má hodost h, právě dyž z í lze vybrt spoň jede eulový determit řádu h všechy determity řádu většího ež h vybré z mtice A jsou rovy ule Vět: Jestliže A B jsou čtvercové mtice stejého stupě, potom det AB = det A det B Vět: Je-li A regulárí mtice, p det A - = det A Vět: Je-li A = ( ij ) regulárí mtice stupě, potom iverzí mtice mtici A se dá zpst ve tvru A A A A - A A A = det A, A A A de A ij je lgebricý doplě prvu ij T Defiice: Soustvou m lieárích rovic s ezámými x,, x rozumíme soustvu x + x + + x = b x + x + + x = b m x + m x + + m x = b m, de ij, i =,, m, j =,, b,, b m jsou reálá čísl Mtice A = m m m se zývá mtice soustvy Mtice m m m b b b m se zývá rozšířeá mtice soustvy Vět: Je-li čtvercová mtice A regulárí, p soustv lieárích rovic A x = b má právě jedié řešeí x = A - b

9 Frobeiov vět: Soustv lieárích rovic má řešeí, právě dyž je hodost mtice soustvy rov hodosti rozšířeé mtice soustvy Vět: Nechť soustv lieárích rovic s ezámými má řešeí Jestliže h(a) =, p má soustv právě jedo řešeí Jestliže h(a), p má soustv eoečě moho řešeí, přičemž z h ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Pozám: Nechť má soustv lieárích rovic eoečě moho řešeí Vzth popisující pomocí prmetrů všech řešeí soustvy, se zývá obecé řešeí soustvy Dosdíme-li z volitelé ezámé orétí reálá čísl, dostáváme tzv prtiulárí řešeí soustvy Prtiulárí řešeí soustvy, ve terém jsou volitelé ezámé rovy ule, se zývá záldí řešeí soustvy Def: Mjí-li dvě soustvy lieárích rovic o ezámých tutéž možiu řešeí, zývjí se evivletí Gussov elimičí metod řešeí soustvy lieárích rovic: Rozšířeou mtici dé soustvy uprvíme trojúhelíový tvr Této trojúhelíové mtici přiřdíme soustvu, terou řešíme odspodu Jordov metod řešeí soustv lieárích rovic (metod úplé elimice): Rozšířeou mtici soustvy převedeme trojúhelíový tvr V trojúhelíové mtici logicy odspodu vyulujeme prvy d hlví digoálou 3 N hlví digoále tto zísé mtice vytvoříme jedičy 4 Výsledé mtici přiřdíme soustvu Def: Homogeí soustvou zýváme soustvu lieárích rovic, v íž všech čísl prvých strách rovic jsou uly Vět: Homogeí soustv lieárích rovic s ezámými má vždy řešeí Je-li h(a) =, p má jedié řešeí x = (0,, 0) Je-li h(a), p má eoečě moho řešeí, přičemž z h(a) ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Vět: Obecé řešeí homogeí soustvy lieárích rovic je lieárí prostor dimeze h, de je počet ezámých h hodost mtice soustvy Vět: Nechť ehomogeí soustv lieárích rovic má řešeí P obecé řešeí ehomogeí soustvy je rovo součtu libovolého prtiulárího řešeí ehomogeí soustvy obecého řešeí odpovídjící homogeí soustvy Vět (Crmerovo prvidlo): Jestliže mtice A soustvy lieárích rovic o ezámých x,, x je regulárí, p má tto soustv právě jedo řešeí, teré se dá zpst ve tvru det A j x j =, j =,,,, de A j je mtice, terá vzie z mtice A áhrdou j-tého det A sloupce sloupcem prvých str rovic soustvy

10 Def: Kždou podmožiu R rtézsého součiu A B zveme biárí relcí mezi možimi A, B V přípdě A = B hovoříme o biárí relci v možiě A Def: Relcí evivlece v možiě A rozumíme ždou relci R v A, terá je reflexiví, tj pro všech x A je [x, x] R, symetricá, tj [x, y] R [y, x] R, 3 trzitiví, tj [x, y] R [y, z] R [x, z] R Def: Rozldem možiy A zveme ždý systém moži ϕ P(A), ϕ = { A } tový, že Ø ϕ, A A l = Ø pro l, 3 A = A, de A ϕ Def: Nechť R A B je libovolá relce Iverzí relcí relci R rozumíme tovou relci R - B A, pro terou pltí [y, x] R -, právě dyž [x, y] R Def: Složeou relcí R = R o R relcí R, R v možiě A zýváme tovou relci R v možiě A, jejímiž prvy jsou právě všechy uspořádé dvojice [x, y] A, pro teré existuje prve z A tový, že [x, z] R [z, y] R Vět: ) (R o S) - = S - o R - b) (R o S) o T = R o (S o T) socitivost sládáí Def: Biárí relci U A B zveme zobrzeím z možiy A do možiy B, právě dyž e ždému x A existuje ejvýše jedo y B tové, že [x, y] U V přípdě A = B hovoříme o zobrzeí v možiě A Def: Je-li O (U) = A říáme, že U je zobrzeím možiy A do B Je-li O (U) = B říáme, že U je zobrzeím z možiy A B (surjetiví zobrzeí eboli surjece) 3 Říáme, že zobrzeí U z možiy A do B je prosté zobrzeí z A do B, právě dyž pro ždé dvě dvojice [x, y ] U, [x, y ] U pltí x x y y (ijetiví zobrzeí eboli ijece) 4 Prosté zobrzeí U možiy A B zýváme vzájemě jedozčé zobrzeí A B (bijetiví zobrzeí eboli bijece) Vět: Nechť U je zobrzeí z možiy A do B Relce U - je iverzí zobrzeí U, právě dyž U je prosté zobrzeí z A do B Vět: Nechť U je zobrzeí z A do B, V zobrzeí z B do C P relce U o V je zobrzeí z A do C Def: Uárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí možiy A do A Biárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí A A do A

11 Def: Uspořádá -tice reálých čísel se zývá -čleý (-rozměrý) ritmeticý vetor Vět: Pro libovolé vetory, b, c R pltí + b = b + - omuttivost sčítáí ( + b ) + c = + ( b + c ) - socitivost sčítáí =, de 0 = (0,, 0) je tzv ulový vetor (eutrálí prve pro sčítáí) 4 pro ždý vetor existuje právě jede vetor b t, že pltí + b = 0 (opčý vetor b = vzhledem ) Def: Nechť R, = (,, ) R Vetor = (,, ) R zýváme -ásobe vetoru Vět: Pro libovolá čísl, R vetory, b, c R pltí: ( + b ) = + b, ( + ) = + - distributiví záoy pro ásobeí vetoru číslem ( ) = ( ) socitiví záo pro ásobeí vetoru číslem 3 = Def: Moži T mjící spoň dv prvy spolu s opercemi +, se zývá těleso, jestliže pltí: + b = b +, (+b) + c = + (b + c) =, tz existece eutrálího prvu vzhledem e sčítáí (ulový prve) 4 pro ždé existuje právě jedo b t, že + b = 0 (b = - ) 5 b = b 6 (b)c = (bc) 7 =, tz existece eutrálího prvu vzhledem ásobeí (jedotový prve) 8 pro ždé 0 existuje právě jedo b t, že b = (b = - = ) 9 ( + b) c = c + bc Def: Nechť V je eprázdá moži, teré je defiová operce + echť T je těleso Řeeme, že V je lieárí (vetorový) prostor d T, jestliže pltí: V spolu s opercí + má vlstosti 4 z defiice těles Je defiová operce ásobeí prvů z V prvy těles T t, že pltí vlstosti z předchozí věty Prvy lieárího (vetorového) prostoru zýváme vetory Vět: Pro t 0 má v libovolém vetorovém prostoru rovice + t x = b právě jedié řešeí Def: Nechť (W,, ) (V, +, ) jsou vetorové prostory d tělesem T Řeeme, že (W,, ) je vetorovým podprostorem prostoru (V, +, ), jestliže pltí W V b = + b, =, pro ždé, b W ždé T

12 Vět: Nechť W V, W Ø, de V je vetorový prostor d tělesem T (W, +, ) je vetorový podprostor V, právě dyž pro libovolá, b W libovolé t T pltí + b W, t W (W je uzvřeá vzhledem e sčítáí i ásobu) Def: Řeeme, že vetor je lieárí ombicí vetorů,, reálá čísl λ,, λ tová, že pltí = λ + + λ, právě dyž existují Def: Řeeme, že vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž existují reálá čísl λ,, λ, z ichž spoň jedo je růzé od uly, tová, že pltí λ + + λ Řeeme, že vetory,, jsou lieárě ezávislé, ejsou-li lieárě závislé = 0 Vět: Vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž spoň jede z ich je lieárí ombicí osttích Vět: Nechť,,, jsou vetory lieárího prostoru V d tělesem T Nechť W je moži všech lieárích ombicí vetorů,,, z V je lieárí podprostor prostoru V Potom W spolu s opercemi Def: Říáme, že podprostor W z předchozí věty je vytvoře vetory,,,,, ebo že je systém geerátorů podprostoru W Podprostor W se zývá lieárí obl možiy vetorů M = {,, } zčíme ho (M) Def: Nechť V je vetorový prostor moži vetorů M V M se zývá báze vetorového prostoru V, jestliže pltí ) (M) = V, b) M je moži lieárě ezávislých vetorů Vět: Systém vetorů e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e = (0, 0,, ) je báze vetorového prostoru R Vět: Nechť V je vetorový prostor d tělesem T, terý má oečou bázi Potom ždé dvě báze prostoru V mjí stejý počet prvů Def: Nechť V je vetorový prostor mjící oečou bázi Počet prvů báze se zývá dimeze prostoru V Řeeme, že prostor má eoečou dimezi, jestliže emá oečou bázi Vět: Kždý prve vetorového prostoru lze jedozčě vyjádřit jo lieárí ombici prvů dé báze tohoto prostoru Def: Tvoří-li vetory,, bází vetorového prostoru V je-li prve b V vyjádře ve tvru b = x + + x vzhledem bázi,,, říáme, že čísl x,, x jsou souřdice vetoru b

13 Def: Dv lieárí prostory V V se zývjí izomorfí, existuje-li mezi imi vzájemě jedozčé zobrzeí tové, že odpovídá-li prvu V prve V prvu b V prve b V, potom ) prvu + b V odpovídá prve + b V, b) prvu λ V odpovídá prve λ V, de λ R (obecě prve těles T) Vět: Průi, resp součet, dvou podprostorů W, W lieárího prostoru V je opět jeho podprostorem Def: Podprostor W lieárího prostoru V zýváme diretím součtem W = W W podprostorů W, W, jestliže W = W + W W W je triviálí podprostor Vět Dimeze prostoru W W je rov součtu dimezí prostorů W W Def: Říáme, že v dém lieárím prostoru je defiová slárí souči, jestliže je ždé dvojici, b prvů lieárího prostoru přiřzeo reálé číslo (, b ) tové, že pltí (, b ) = ( b, ), ( + b, c ) = (, c) + ( b, c), 3 (, b ) = (, b ), 4 (,) 0, (,) = 0 = 0 Def: Lieárí prostor se zvedeým slárím součiem zýváme eulidovsý prostor Def: Normou (bsolutí hodotou, veliostí, délou) prvu eulidovsého prostoru se zývá reálé číslo = Jedotovým prvem zýváme prve eulidovsého prostoru, jehož orm je rov jedé Vět (Schwrzov erovost): Nechť P pltí (, b ) b Vět (trojúhelíová erovost): Pro libovolé dv prvy + b + b Vět: Pro libovolé prvy 0, = 0 = 0, λ = λ, 3 + b + b Def: Vzdáleostí dvou prvů ρ (, b ) = b = ( b, b), b jsou dv libovolé prvy eulidovsého prostoru, b eulidovsého prostoru pltí, b eulidovsého prostoru libovolé reálé číslo λ pltí, b eulidovsého prostoru se zývá číslo

14 Def: Nechť E je eulidovsý vetorový prostor W jeho podmoži P ortogoálím doplňem možiy W zýváme možiu W = { E; pro všechy b W je b } Vět: Nechť W, V jsou podmožiy eulidovsého prostoru E P W je podprostor vetorového prostoru E, je-li W V, p V W, 3 součet dimezí vzájem ortogoálích doplňů v -rozměrém prostoru E je rove Vět: Nechť W je podprostor eulidovsého prostoru oečé dimeze P existuje ortoormálí báze podprostoru W Důz: Nechť,, je báze podprostoru W Iducí lze doázt, že existují eulové ortogoálí vetory b,, b, pro teré pltí b = b = + λ b b 3 = 3 + λ3 b + λ 3 b b = + λ b + + b λ Pro libovolé vyásobíme rovost b = + λ b + λ b + + λ b postupě vetory b,, b - využijeme jejich ortogolitu Dosteme pro ždé j =,, - postupě (b, b j) = (, b j ) + λ j (b j, b j ) prvou část rovosti položíme rovu ule, protože chceme, by vetory b, b j byly ortogoálí Tím dosteme rovici, z íž jedozčě vyjádříme λ j Tto lezeme všechy oeficiety λ,, λ -, tím i vetor b Zísé vetory b,, b tvoří ortogoálí bázi podprostoru W Abychom dostli hledou bi ortoormálí bázi c,, c, stčí položit c i = pro i =,, b Pozám: Předcházející důz je ostrutiví Uvedeý postup se zývá Schmidtov ortogolizčí metod V ždém -rozměrém eulidovsém vetorovém prostoru existuje moho ortoormálích bází Ortogolizčí proces báze,, vetorů, čímž zísáme růzé ortoormálí báze i lze zčít od růzých Vět: Nechť W je libovolý podprostor -rozměrého eulidovsého prostoru E Potom libovolý vetor c E se dá pst ve tvru c = + b, de W, b W Vetor se zývá ortogoálí projecí vetoru c do podprostoru W Důz: Je-li c W, p stčí položit c = c + 0, protože 0 W Je-li c W vetory c, c tvoří ortoormálí bázi podprostoru W, p vetory c, c,, c jsou lieárě ezávislé podle Schmidtovy ortogolizčí metody existují čísl λ +,, λ + t, že vetor b = c + λ + c + + λ c je ortogoálí vetory c,, c, což zmeá b W Tedy + c = + b, de W b W

15 Def: Úhlem dvou eulových prvů terý cos ϕ = (, b) b, b eulidovsého prostoru zýváme úhel ϕ, pro Def: Dv eulové prvy eulidovsého prostoru zýváme ortogoálí, jestliže jejich slárí souči je rove ule Jsou-li všechy prvy báze eulidovsého prostoru po dvou ortogoálí, hovoříme o ortogoálí bázi Jsou-li víc všechy prvy báze jedotové, hovoříme o ortoormálí bázi

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

2. Matice a determinanty

2. Matice a determinanty Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

4 Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka

4 Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka 4 Mříž tvořená body, mřížová funce její Fourierov trnsformce, reciproá mříž Reciproé vetory bázi reciproých vetorů používl již olem r 880 J W Gibbs ve svých přednášách o vetorové nlýze [], str 0, 83 Do

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM 00/00 CIFRIK Záí: Vyšetřete všem probrým prostřeky polyom 0 0 Vyprcováí: Pole věty: Rcoálí kořey. Nechť p Q je koře polyomu

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

9. Číselné posloupnosti a řady

9. Číselné posloupnosti a řady 9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

2.5.10 Přímá úměrnost

2.5.10 Přímá úměrnost 2.5.10 Přímá úměrost Předpoklady: 020508 Př. 1: 1 kwh hodia elektrické eergie stojí typicky 4,50 Kč. Doplň do tabulky kolik Kč stojí růzá možství objedaé elektrické eergie. Zkus v tabulce ajít zajímavé

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZIT PLCKÉHO V OLOMOUCI PŘÍROOVĚECKÁ FKULT KTER LGEBRY GEOMETRIE OSVĚTLENÍ VE STŘEOVÉM PROMÍTÁNÍ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVĚ Bakalářká práce Vedoucí práce: RNr. Leka Juklová, Ph.. Rok odevdáí 202 Vypracovala:

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

Goniometrické funkce obecného úhlu

Goniometrické funkce obecného úhlu 0 Goniometrické funkce oecného úhlu V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce,, tg, cotg liovolného úhlu tkto: α α tg α cotg α Význmné hodnoty gon. funkcí 0 0 60 90 α 0 α 0 tg α 0 nedef. cotg

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

13 Analytická geometrie v prostoru

13 Analytická geometrie v prostoru Anlytická geometrie v rostoru Nyní se změříme n tříimenzionální rostor využijeme vlstností, které ze ltí ozor v rovině neltí.. Poznámk: Okování u = (u,u,u ), v = (v,v,v ) - vektory sklární součin vektorů

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více