1. Základy logiky a teorie množin

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Základy logiky a teorie množin"

Transkript

1 . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické spojky. K dalším tvůrcům booleovské logiky patřil J. Venn (834 93). Predikátová logika a její vznik je pak spojen s německým matematikem G. Fregem (848 95). Frege zavedl v logice pojem kvantifikátoru. Definice.. (intuitivní) Výrok je tvrzení o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Buď A výrok. Je-li A pravdivý, zapisujeme tuto skutečnost symbolicky p(a) =, je-li A nepravdivý, píšeme p(a) = 0. Symboly 0, se nazývají pravdivostní hodnoty. Příklad.. Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků. a) A: i = i. b) B: 5 je prvočíslo. Řešení. a) Zřejmě p(a) =, neboť i = i i = i = i. b) Zřejmě p(b) = 0, neboť 5 = 3 7. Jednotlivé výroky lze spojovat ve složené výroky pomocí logických spojek (funktorů). Předmětem studia výrokové logiky je studium závislosti pravdivostní hodnoty složeného výroku na způsobu spojení a na pravdivostních hodnotách jednotlivých výroků. Výrok se nazývá elementární, nebo též atomární, neobsahuje-li logické spojky. Například výroky A, B jsou atomární. Rozhodování o pravdivosti atomárního výroku přísluší odpovídající vědecké disciplíně, která zkoumá shodu jeho obsahu s objektivní realitou. Definice.3. tabulkou (Logické spojky) Buď A výrok. Výrok A, jehož pravdivostní hodnoty jsou definovány p(a) p(a ) 0 0 se nazývá negace výroku A. Negace mění pravdivostní hodnotu výroku v opačnou. Buďte A, B výroky. Logické spojky, které spojují dva výroky, definujeme tabulkou pravdivostních hodnot vypsáním všech existujících kombinací. Spojky se po řadě nazývají konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, alternativa a Shefferův symbol. (.) p(a) p(b) p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) (.) V následující tabulce uvedeme název spojky, její označení, slovní vyjádření a odpovídající logický význam. název spojky označení slovní vyjádření logický význam konjunkce A B A a současně B současně platí A i B disjunkce A B A nebo B platí aspoň jeden z A, B alternativa A B buď A, nebo B platí právě jeden z A, B implikace A B jestliže A, pak B z A plyne B ekvivalence A B A právě tehdy, když B A a B jsou ekvivalentní Shefferův symbol A B nikoli A a B současně neslučitelnost A a B ÚM FSI VUT v Brně

2 . Základy logiky a teorie množin Studijní text Speciálně pak pro implikaci platí následující terminologie. V implikaci A B se A nazývá postačující podmínka pro B a B nutná podmínka pro A. Implikace B A se nazývá obrácená implikace a B A obměna implikace. Zřejmě všech možných logických spojek, které spojují dva výroky A, B je 6. Systém spojek nazveme úplný, když stačí k definování všech 6-ti spojek. Tzn. stačí k popisu libovolné logické situace. Věta.4. Následující systém logických spojek,,,, je úplný. Lze rovněž dokázat, že k vytvoření úplného systému stačí vzít pouze dvě spojky negaci a libovolnou ze spojek,,. Dokonce lze dokázat, že všechny logické spojky lze popsat pomocí jediné. Touto spojkou je například Shefferův symbol. Analogicky existují logické spojky spojující tři výroky A, B, C. Všeobecně je známa například spojka if A then B else C, používaná v programování. Příklad.5. Určete pravdivostní hodnotu výroku ( ( 3 = 6) (3 4 = ) ) ( < ). Řešení. Jedná se o složený výrok, který je tvořen třemi atomárními výroky A, B, C, kde A : 3 = 6, B : 3 4 ( =, C : <. Určíme jejich pravdivostní hodnoty. Zřejmě p(a) =, p(b) = 0 a p(c) = 0. Odtud (( ) ) plyne p 3 = 6) (3 4 = ) ( < ) = p ( ( 0) 0 ) = p( 0) = 0. Složený výrok je tedy nepravdivý. Poznámka.6. Při vyhodnocování pravdivostní hodnoty složeného výroku budeme zachovávat následující pořadí operací:,,,,. Uzávorkování je tomuto pořadí nadřazeno. Matematické objekty s jednoznačně stanoveným významem, např., π, nazýváme konstanty. Objekty, které nemají jednoznačně stanovený význam, např. x, y, z, nazýváme proměnné. Definice.7. Výroková forma je tvrzení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konstant za proměnné. Příklad.8. Tvrzení A : 3x je sudé, je výroková forma. Volíme-li x =, pak p(a, x = ) = 0, zatímco pro x = je p(a, x = ) =. Z výrokové formy lze utvořit výrok také tak, že všechny proměnné ve formě vážeme nějakou omezující podmínkou, jednoznačně specifikující jejich počet. Tato podmínka se nazývá kvantifikátor. Poznámka.9. V matematice se nejčastěji používají následující dva kvantifikátory:. obecný kvantifikátor, který se označuje a čte se pro každé a. existenční kvantifikátor, který má význam existuje aspoň jeden. Kvantifikátorů existuje nekonečně mnoho. Příkladem dalšího kvantifikátoru je kvantifikátor! s významem existuje právě jeden. Podobně existují kvantifikátory právě dva, právě tři, atd. Nejběžněji používané kvantifikátory využívají slovních spojení aspoň, právě a nejvýše. Poznámka.0. Negací obecného kvantifikátoru je existenční a naopak. Výroková forma, která při dosazení libovolné kombinace pravdivostních hodnot nabývá hodnotu se nazývá tautologie, 0 kontradikce. V ostatních případech se forma nazývá splnitelná. Výrokové formy A, B se nazývají logicky ekvivalentní, což zapisujeme A = B, když je forma A B tautologie. Například formy A B a B A jsou logicky ekvivalentní, platí A B = B A a forma (A B) (B A) je tautologie. ÚM FSI VUT v Brně

3 . Základy logiky a teorie množin Studijní text Příklad.. Šárka a Iva čekají na svoje kamarády Petra, Honzu a Jirku. Šárka tvrdí: Přijde-li Petr a Honza, přijde i Jirka. Iva říká: Já si myslím, že když přijde Petr a nepřijde Jirka, nepřijde ani Honza. Na to povídá Šárka: To ale říkáš totéž co já. Rozhodněte, zda obě skutečně říkají totéž. Řešení. Nejprve provedeme vhodné označení atomárních výroků. Symbolem A označme výrok Petr přijde, symbolem B označme výrok Honza přijde a dále C označme výrok Jirka přijde. V provedeném označení mají výpovědi Šárky a Ivy tvar: X = (A B) C a Y = (A C ) B. Aby Šárka a Iva říkaly totéž musí být X Y tautologie. Sestavíme tabulku pravdivostních hodnot. A B C A B A C X Y X Y Z tabulky pravdivostních hodnot vyplývá, že X Y je tautologie, což znamená, že Šárka a Iva říkají skutečně totéž. Věta.. Následující výrokové formy jsou tautologie:. (A B) (B A ).. ( (A B) (B C) ) (A C). 3. (A B) ( (A B) (B A) ). Poznámka.3. Uvedené tautologie mají zásadní význam. Tvoří základ teorie důkazů. Tvrzení () říká, že důkaz implikace je ekvivalentní důkazu její obměny. Vlastnost () se nazývá tranzitivita implikace. Matematickou indukcí můžeme tvrzení () rozšířit na libovolný konečný počet výrokových proměnných A,..., A n. Odtud plyne, že forma [(A A ) (A n A n )] (A A n ). je tautologie. Důkaz tvrzení rozdělíme na postupné dokazování elementárních kroků. Část (3) říká, že důkaz ekvivalentnosti dvou tvrzení dokážeme důkazem implikace a obrácené implikace. Věta.4. Platí následující vztahy pro negace složených výroků:. A = A.. (A B) = A B. 3. (A B) = A B. 4. (A B) = A B. 5. (A B) = (A B) (A B ). ÚM FSI VUT v Brně 3

4 . Základy logiky a teorie množin Studijní text Definice.5. Buďte dány symboly,. Pak následující zákony nazýváme:. a b = b a... komutativní zákon.. a (b c) = (a b) c... asociativní zákon. 3. a (b c) = (a b) (a c)... distributivní zákon. Věta.6. Pro logické spojky, platí komutativní, asociativní a distributivní zákon. B. Důkazy v matematice Matematická tvrzení mají často tvar implikací, nebo ekvivalencí. Ve větě tvaru A B se A nazývá předpoklad a B tvrzení věty nebo závěr. Existují tři základní možnosti důkazu implikace: přímý, nepřímý a sporem. V krátkosti si nyní vysvětlíme, jaký je logický základ těchto důkazů a v čem spočívají. Přímý důkaz. Chceme-li dokázat implikaci A B přímým důkazem, pak se pokusíme zkonstruovat tzv. řetězec implikací A A, A A,..., A n B. Podle Věty., části () odtud plyne A B. Zápis řetězce implikací je zvykem zapisovat v kratším tvaru A A A A n B. (.3) Nepřímý důkaz. Při nepřímém důkazu využijeme platnost tautologie () z Věty.. Implikaci B A potom dokazujeme přímým důkazem. Důkaz sporem. Vycházíme z předpokladu, že p(a B ) = a konstruujeme řetězec implikací A B A, A A,..., A n S, až dojdeme k výroku S, který logicky popírá původní předpoklad, nebo nějaký evidentně pravdivý výrok. Spor je situace, kdy nějaký výrok a jeho negace mají být současně pravdivé. Uvedené důkazové postupy budeme nyní demonstrovat na příkladu. Příklad.7. Dokažte přímo, nepřímo i sporem, že x N : x 6x + 3 > 3. Řešení. a) Přímý důkaz: Jednotlivé kroky důkazu vyžadují elementární znalosti o vlastnostech nerovností. x 6x 6x + + 6x + 3 6x + 3 > 3. Uvedený řetězec implikací tvoří důkaz tvrzení. b) Nepřímý důkaz: Sestrojíme obměnu původní implikace. x N : 6x x <. Toto tvrzení je logicky ekvivalentní původnímu tvrzení. Obměnu dokážeme přímým důkazem. Zkonstruujeme řetězec implikací 6x x < 0 6x 0 x 0 3 x <. c) Důkaz sporem: Předpokládejme, že dokazované tvrzení neplatí. Pak je ale pravdivá jeho negace. Negace implikace má tvar x N : x 6x Z tohoto předpokladu nyní plyne, že existuje x N takové, že x 6x x 6x 0 x x 0 6, což je spor, neboť žádné x N vlastost x x 0 6 nemá. Předpoklad, z něhož se řetězec implikací odvíjel, je tedy nepravdivý. To ale znamená, že je pravdivá jeho negace. Tato negace je však ekvivalentní původní implikaci. ÚM FSI VUT v Brně 4

5 . Základy logiky a teorie množin Studijní text Speciálním, ale v matematice často používaným důkazem je důkaz pomocí principu matematické indukce. Matematická indukce je věta, která umožňuje provádět důkazy tvrzení týkajících se množiny přirozených čísel N = {,, 3,... }. Důkaz matematické indukce provedeme sporem. Věta.8. (Matematická indukce) Buď V (n) výroková forma proměnné n N. ( p ( V () ) ) ( = k N : p ( V (k) ) ) = p(v (k + )) = n N : p(v (n)) =. (.4) Důkaz. Tvrzení dokážeme sporem. Předpokládejme, že existuje číslo k N, takové, že p ( V (k) ) = 0. Odtud plyne, že množina M = = {k; p ( V (k) ) = 0} je neprázdná a symbolem m označme její nejmenší prvek. Protože p ( V () ) = je m > a protože m / M platí p ( V (m ) ) =. Z indukčního předpokladu ale plyne p ( V (m) ) =, což je spor. Poznámka.9. Důkaz tvrzení n N : p ( V (n) ) = pomocí matematické indukce se skládá ze tří částí:. Dokážeme, že je p ( V () ) =. (Pozn. Obecněji platí, že dokážeme platnost formule pro nejmenší přípustné n a nejčastěji je to právě číslo.). Dokážeme, že platí implikace k N : p(v (k)) = p(v (k + )) =. 3. Odvoláme se na Větu.8 o matematické indukci, podle které je nyní tvrzení V (n) pravdivé pro každé přirozené číslo n. Postup vysvětlíme na příkladu. Příklad.0. Řekneme, že a dělí b a píšeme a b, když existuje číslo c tak, že b = ac. Pomocí matematické indukce dokažte následující tvrzení k N : 7 6 k 8. Řešení. Důkaz provedeme ve třech krocích:. Nejprve dokážeme, že tvrzení je pravdivé pro k =. Výrok V () má tvar = 8. Platí ale 8 = 4 7. Tedy tvrzení pro k = platí.. Předpokládejme nyní, že tvrzení je pravdivé pro libovolné pevně zvolené číslo k a dokažme, že platí rovněž pro k+. Označme V (k+) = 7 6 (k+) 8. Je třeba dokázat, že k N : 7 6 k (k+) 8. Číslo 6 (k+) 8 z výroku V (k + ), jehož dělitelnost číslem 7 máme dokázat, upravíme na tvar 6 (k+) 8 = 6 k+ 8 = 6 6 k 8 = 36 6 k 8 = (6 k 8) k. První člen součtu (6 k 8) k je dělitelný číslem 7 podle indukčního předpokladu, dělitelnost druhého člene je zřejmá, neboť Protože jsou číslem 7 dělitelné oba členy je jím dělitelný i jejich součet a to bylo třeba dokázat. 3. Podle Věty.8 o matematické indukci je tvrzení pravdivé pro každé přirozené číslo n. Deduktivní úvahou nazýváme takovou úvahu, při níž z obecného tvrzení vyvozujeme zvláštní, individuální. Podstata dedukce je tedy v tom, že zvláštní případ zahrnuje pod obecný princip. Matematické úvahy jsou převážně deduktivní. C. Základní množinové pojmy Privilegované postavení mezi matematickými teoriemi zaujímá teorie množin. Za jejího zakladatele je považován německý matematik G. Cantor (845 98). Základní problematikou, kterou se teorie množin zabývala byly otázky týkající se vlastností nekonečna, zejména srovnávání různých velikostí nekonečna. Ukázalo se však, že v teorii množin lze modelovat i jiné matematické teorie a to tak, že se každému matematickému ÚM FSI VUT v Brně 5

6 . Základy logiky a teorie množin Studijní text objektu přiřadí určitá množina, která ho reprezentuje. V tomto smyslu se teorie množin stala základem celé matematiky. S jistou nadsázkou lze říci, že se teorie množin narodila Toho dne totiž G. Cantor nalezl odpověď na otázku, zda lze všechna reálná čísla z nějakého intervalu (a, b) spočítat v tom smyslu, že je lze bijektivně zobrazit na množinu všech přirozených čísel. Ke svému překvapení zjistil, že takové zobrazení neexistuje. Otázku, zda má smysl porovnávat nekonečné systémy podle velikosti, si položil například již v roce 638 jeden z géniů té doby, Galileo Galilei. Ten vypsal řadu čísel,, 3, 4,... a jejich druhých mocnin, 4, 9, 6,... a uvědomil si, že mezi těmito množinami existuje bijekce. To by však znamenalo, že jsou uvedené systémy čísel stejně velké. Tento závěr se mu jevil naprosto absurdní. Popíral totiž jeden ze základních Eukleidových logických axiomů, který říká, že celek je vždy větší než jeho část. Galilei proto dospěl k závěru, že pro nekonečné systémy nemá otázka o jejich velikosti žádný smysl. Na konci svého života sepsal B. Bolzano (78 848) matematicko-filozofické dílo Paradoxy nekonečna. Vyšlo posmrtně v roce 85. V tomto díle dospěl na práh teorie množin. Na přelomu 9. a 0. století se objevily v teorii množin antinomie, které si vynutily novou metodiku výstavby matematických teorií. Nejobvyklejší metodou se stala axiomatická výstavba. Definice.. (intuitivní) Množina je souhrn libovolných navzájem rozlišitelných objektů. Poznámka... Jednotlivé objekty nazveme prvky množiny a shrnování v jeden celek budeme označovat pomocí složených závorek.. Množiny zpravidla označujeme velkými písmeny a jejich prvky malými písmeny. 3. Zápis a A znamená, že objekt a je prvkem množiny A. 4. Negace má tvar a / A. 5. Symbolem označujeme množinu, která nemá žádný prvek (tzv. prázdná množina). 6. Řekneme, že množiny A, B jsou si rovny, když mají tytéž prvky. Pak píšeme A = B. 7. Řekneme, že množina A je podmnožinou množiny B, když každý prvek množiny A je prvkem množiny B. Pak píšeme A B. 8. Symbol se nazývá znak inkluze. 9. Některé často používané množiny mají vlastní stálé označení. 0. Množinu lze zadat výčtem prvků, tj. napsáním seznamu, např. {,, 3} nebo pomocí charakteristické vlastnosti {x N; x 3}. Věta.3. Pro libovolné množiny A, B, C platí:. A.. A A. 3. A B B C A C... tranzitivita inkluze. 4. A B B A A = B. Tvrzení () a () jsou zřejmá a (3) znamená tranzitivitu inkluze. Tvrzení (4) má zásadní význam pro důkazy množinových rovností. Chceme-li dokázat, že A = B, tak postupujeme tak, že dokážeme, že A B a B A. Odtud podle (4) již plyne, že A = B. ÚM FSI VUT v Brně 6

7 . Základy logiky a teorie množin Studijní text Příklad.4. Rozhodněte, které z výroků jsou pravdivé:. Množina { } nemá žádný prvek.. {, } = {}. 3. {} {}. 4. {, } = {, }. Poznámka.5. V množinových závorkách nezáleží na pořadí, v jakém prvky zapíšeme. Nezáleží ani na tom, kolikrát prvek v množině zapíšeme. Proto budeme pro přehlednost zapisovat každý prvek pouze jednou. Russelův paradox (903). Následující úvaha je typickým příkladem, který se objevil na počátku 0. století v souvislosti se třetí krizí matematiky. Buď A libovolná množina. Pak nastane právě jedna z možností buď A A nebo A / A. Všechny množiny rozdělíme do dvou skupin X = {A; A A}, Y = {B; B / B}. Je zřejmé, že žádná množina nemůže patřit do X i Y současně a že X, Y jsou také množiny. Uvažme nyní Y. Protože Y je množina, musí sama ležet v X nebo Y. Připusťme nejprve Y X. Pak ale podle definice X platí Y Y, což je spor, neboť Y nemůže ležet v X i Y. Připusťme tedy, že Y Y. Pak ale z definice Y plyne Y / Y, což je rovněž spor, protože Y nemůže ležet a současně neležet v Y. Vzniká neřešitelná situace na úrovni intuitivní teorie množin. Pojem množiny v intuitivním smyslu se ukázal příliš široký. Problém spočívá ve shrnování v jeden celek. Definice.6. Mezi množinami A, B definujeme následující základní operace:. Průnik A B := {x; x A x B}.. Sjednocení A B := {x; x A x B}. 3. Rozdíl A B := {x; x A x / B}. Speciálním případem rozdílu množin je tzv. množinový komplement. Je-li dána nějaká základní množina Z, vzhledem ke které se vztahují naše úvahy, pak komplement množiny A v množině Z definujeme vztahem A c := Z A. Poznámka.7. Symbolem A := {X; X A} označujeme množinu všech podmnožin množiny A. Věta.8. Pro množinové operace, platí komutativní asociativní a distributivní zákon. Definice.9.. Uspořádanou dvojicí prvků a, b v tomto pořadí nazýváme množinu [a, b] := {{a}, {a, b}}.. Buďte A, B libovolné množiny. Kartézským součinem mezi množinami A, B nazýváme množinu A B := {[a, b]; a A b B}. 3. Místo A A píšeme A. Pro kartézský součin neplatí asociativní zákon. Tj. A (B C) (A B) C. Tato skutečnost je ihned zřejmá, pokud si uvědomíme, že uvedené množiny mají jiné prvky. Příklad.30. Nechť A = {a}, B = {b}, C = {c}. Určete A (B C) a (A B) C. Řešení. Pak A (B C) = {[a, [b, c]]} a (A B) C = {[[a, b], c]}. ÚM FSI VUT v Brně 7

8 . Základy logiky a teorie množin Studijní text Definice.3. Binární relace ρ mezi množinami A, B je libovolná podmnožina množiny A B. Je-li A = B, mluvíme o relaci na množině. Každé binární relaci ρ odpovídají dvě význačné množiny: Dρ := {a A; b B : [a, b] ρ}... definiční obor Dρ Hρ := {b B; a A : [a, b] ρ}... obor hodnot Hρ. Binární relace na množině mohou mít řadu významných vlastností. Nejdůležitější z nich popíšeme v následující definici. Definice.3. Buď ρ binární relace na množině A. Nazveme ji. reflexivní, splňuje-li a A : [a, a] ρ.. symetrická, splňuje-li a, b A : [a, b] ρ [b, a] ρ. 3. antisymetrická, splňuje-li a, b A : [a, b] ρ [b, a] ρ a = b. 4. tranzitivní, splňuje-li a, b, c A : [a, b] rho [b, c] ρ [a, c] ρ. Definice.33. Binární relace ρ A B se nazývá zobrazení z A do B, když pro každé x A existuje nejvýše jedno y B tak, že [x, y] A B. Úmluva: Místo ρ obvykle píšeme f a místo [x, y] ρ píšeme y = f(x). Zobrazení z A do B budeme označovat symbolem f : A B. Je-li Df = A, mluvíme o zobrazení A do B, je-li Hf = B, mluvíme o zobrazení A na B a f nazýváme surjekce (čti syrjekce). Zobrazení f se nazývá prosté nebo též injekce, když a, b A : a b f(a) f(b). Je-li f injekce i surjekce, nazývá se bijekce, nebo též vzájemně jednoznačné zobrazení. ÚM FSI VUT v Brně 8

9 . Relace, zobrazení, operace a algebraické struktury Studijní text. Relace, zobrazení, operace a algebraické struktury Definice.. Předpokládejme, že máme kartézský součin A A n množin A,..., A n (ne nutně různých); n-ární relací potom rozumíme libovolnou podmnožinu tohoto kartézského součinu. Nejčastěji se setkáváme s n =, tzn. s binárními relacemi, a to zejména s případem, kdy jsou podmnožinami kartézského součinu A A téže množiny A. Označíme-li relaci R, píšeme pak případně R A A, apod. R A A n, Zde je namístě se zmínit o relačních databázích, které strukturují data ve formě tabulek: tyto tabulky nejsou ničím jiným, než binární relací R A B, kde A je například množina zaměstnanců, B množina vozidel a relace vyjadřuje, kdo s kterým vozidlem má právo jezdit. Definice.. Zobrazením neboli funkcí z množiny A do množiny B pak je relace, která splňuje pro všechna a A a všechna b, b B (a, b) R, (a, b) R b = b. Místo pak R A B užíváme zápisu a místo (a, b) R píšeme b se potom nazývá obraz prvku a. f : A B b = f(a); Definice.3. Všechna a A, pro které existuje f(a) = b (v relačním zápisu: všechna a, pro něž existuje b tak, že (a, b) R) tvoří množinu, které říkáme definiční obor zobrazení f a značíme ji Domf. Všechna b B, pro které existuje a A takové, že f(a) = b (v relačním zápisu: všechna b, pro něž existuje a tak, že (a, b) R) tvoří množinu, které říkáme obor hodnot zobrazení f a značíme ji Imf. Definice.4. Zobrazení f : A B, které splňuje pro všechna a, ā A a všechna b B b = f(a), b = f(ā) a = ā se nazývá injekce. Dále, zobrazení f : A B, pro nějž je množina všech jeho obrazů rovna B, se nazývá surjekce. Zobrazení f : A B s definičním oborem Domf = A, které je současně injekcí i surjekcí, označujeme slovem bijekce (množin A a B). Definice.5. Inverzní relaci k binární relaci R A B definujeme jako relaci R B A vztahem (a, b) R (b, a) R. Je-li R zobrazení a injekce, je inverzní relace také zobrazení (a také injekce). Nazýváme ho inverzní zobrazení. Další úvahy budeme často provádět pro číselné množiny, a sice pro: ÚM FSI VUT v Brně 9

10 . Relace, zobrazení, operace a algebraické struktury Studijní text množinu přirozených čísel N množinu celých čísel Z množinu racionálních čísel Q množinu reálných čísel R Předpokládáme zde, že tyto množiny již byly zavedeny (pokud nebyly korektně definovány, spokojíme se s běžnou intuitivní představou). Příklad.6. V případě bijekce každému prvku množiny A odpovídá právě jeden prvek množiny B; jsou-li množiny A a B konečné, mají nutně stejný počet prvků; jsou-li nekonečné a existuje-li mezi nimi bijekce, mají také stejně prvků, přesněji říkáme, že mají stejnou mohutnost. Povšimněme si některých množin, které mají stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel N, tedy jejich prvky lze přirozenými čísly oindexovat. Je to je například množina všech kladných sudých čísel množina všech celých čísel Z, 4, 6, 8, 0,..., 0,,,,,..., i všech racionálních čísel Q, což dokážeme takto: racionální číslo zapíšeme ve tvaru p q, kde p, q jsou nesoudělná, p Z, q N, (číslo 0 zapíšeme 0 ). Každému číslu p q nyní přiřadíme tzv. výšku r = p + q a protože je počet racionálních čísel s konkrétní výškou konečný, jejich oindexování definujeme tak, že nejdříve vypíšeme všechna čísla s výškou, pak s výškou, atd.: r = : 0 r = : r = 3 : r = 4 :,,,, 3, 3, 3, 3... (Tedy. např. a 0 = 3.) Nekonečné množiny se stejnou mohutností jako N se nazývají spočetné (množiny konečné a spočetné se dohromady označují termínem nejvýše spočetné). Příklad.7. Existují však i množiny, které mají nekonečně mnoho prvků, ale bijekce s přirozenými čísly neexistuje. Takové množiny nazýváme nespočetné. Dokážeme nyní, že množina všech reálných čísel R je nespočetná. Stačí ovšem, když dokážeme, že je nespočetná nějaká část množiny R, tedy např. interval [0, ). Předpokládejme opak, tzn. že všechna čísla z intervalu [0, ) lze nějak uspořádat do nekonečné posloupnosti a = 0, a a a 3 a 4... a n... a = 0, a a a 3 a 4... a n... a 3 = 0, a 3 a 3 a 33 a a 3n... a 4 = 0, a 4 a 4 a 43 a a 4n a n = 0, a n a n a n3 a n4... a nn (kde a ik je k-tá číslice v desetinném vyjádření čísla a i ). Sestrojme nyní číslo b = 0, b b b 3 b 4... b n... takto: je-li a ii =, klademe b i =, je-li a ii, klademe b i =. Číslo b takto sestrojené je různé od všech čísel a i (od a se liší v první číslici za desetinnou čárkou, od a se liší v druhé číslici za desetinnou čárkou, atd.). Protože ale b [0, ), mělo by být ve vypsaném seznamu, tzn. mělo by být některým z čísel a i, což je spor. Interval [0, ) a tudíž i množina R jsou nespočetné množiny. Pojem zobrazení nám umožňuje korektně (pokud nechceme akceptovat intuitivní definice jako matice je tabulka čísel uspořádaných do řádků a sloupců a funkce je předpis ) zavést řadu dalších pojmů jako ÚM FSI VUT v Brně 0

11 . Relace, zobrazení, operace a algebraické struktury Studijní text reálná matice nebo reálná funkce reálné proměnné: Jde o zobrazení A: {,..., m} {,..., n} R, respektive f : R R. Definice.8. n-ární operací na množině A rozumíme funkci f : A A n A. (Nejde tedy o nic jiného než o speciální (n + )-ární relaci.) Poznámka.9. -ární operací se nazývá unární (například převrácená hodnota reálného čísla), -ární operací se nazývá binární (například součet dvou čísel) 3-ární operací se nazývá ternární, apod. Nejčastěji užívané jsou ovšem operace binární: zde místo (a, a, a) R budeme psát a a = a, přičemž se nahrazuje i jinými vhodnými (a obvyklými) znaky. Definice.0. Algebraickou strukturou rozumíme množinu spolu s nějakými operacemi na ní (daná struktura musí být na tyto operace uzavřená (uzavřenost znamená, že neomezené užití operace nevede nikdy k vyběhnutí z množiny A). Algebra se zabývá vyšetřováním obecných vlastností algebraických struktur. Jde o typický postup matematické abstrakce: abstraktní popis algebraických struktur pak může být implementován v jednotlivých problémech. Například množina A s jednou binární operací se nazývá grupoid; zjištěné vlastnosti grupoidů pak můžeme uplatnit například pro množinu přirozených čísel N s operací sčítání +, která je grupoidem. Důležitější algebraickou strukturou s jednou (užívány jsou ovšem i struktury s více operacemi: např. okruh, pole, aj., těm se zde již nevěnujeme) binární operací je ale grupa, což je množina G s binární operací splňující G I. (Asociativita operace) pro všechna a, b, c G platí (a b) c = a (b c) G II. (Existence neutrálního prvku) existuje prvek e G splňující pro všechna a G platí e a = a e = a G III. (Existence opačného prvku) pro každý prvek a G existuje prvek ā G splňující a ā = ā a = e. ÚM FSI VUT v Brně

12 3. Matice a determinanty Studijní text 3. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl již v roce 693 německý matematik W. G. Leibniz (646 76), ale jeho objev upadl v zapomenutí. V roce 750 dospěl znovu k pojmu determinantu švýcarský matematik G. Cramer (704 75). Všeobecně se začalo v matematice používat determinantů až koncem 8. století. Zasloužili se o to zejména matematici A.-T. Vandermonde ( ) a A. L. Cauchy ( ). Současně s teorií determinantů se rozvíjela teorie matic, jejímž zakladatelem je anglický matematik A. Cayley (8 895). Na dalším rozvoji teorie matic se podíleli zejména G. Frobenius (849 97), J. J. Sylvester (84 897) a K. Weierstrass (85 897). A. Základní maticové pojmy Definice 3.. Matice A = (a ij ) typu m/n nad množinou X je schema složené z m n prvků množiny X zapsaných do m řádků a n sloupců. Přesněji matice A typu m/n nad X je zobrazení množiny {,..., m} {,..., n} do množiny X. Množina X bývá často číselná, tj. X {N, Z, Q, R, C}. Prvky matic mohou být ale i komplikovanější objekty, například algebraické výrazy, nebo funkce. Poznámka 3.. Matici A typu m/n budeme zapisovat ve tvaru a... a n A =..., a m... a mn nebo jen krátce A = (a ij ), kde i je řádkový index a j sloupcový index. Příklad 3.3. Matice A = ( je příkladem matice typu /3 nad množinou N. Platí například, že a 3 = 4, protože prvek a 3 leží ve druhém řádku a třetím sloupci matice A. ) Definice 3.4. a) Je-li m = n, nazývá se matice čtvercová; b) V obecném případě m n obdélníková; c) Množina všech prvků se stejným řádkovým a sloupcovým indexem se nazývá hlavní diagonála matice; d) Nulová matice O je matice, jejíž všechny prvky jsou nuly; e) Jednotková matice E je čtvercová matice, jejíž prvky mimo hlavní diagonálu jsou nuly a prvky na hlavní digonále jsou rovny jedné; f) Matice A se nazývá trojúhelníková matice, (přesněji horní trojúhelníková), pokud pro libovolné dva indexy i, j platí i > j a ij = 0. Horní trojúhelníková matice má nuly pod hlavní diagonálou; g) Analogicky definujeme dolní trojúhelníkovou matici; h) Dvě matice A, B se rovnají, když mají stejný typ a pro libovolné indexy i, j platí a ij = b ij. Pak píšeme A = B. ÚM FSI VUT v Brně

13 3. Matice a determinanty Studijní text Maticová algebra je jednoduchá. B. Operace s maticemi Definice 3.5. (Sčítání matic) Matice A, B lze sečíst, když mají stejný typ m/n. Pak výsledek A + B je matice C = (c ij ) typu m/n, kde c ij = a ij + b ij. (3.) Definice 3.6. (Násobení matice číslem) Každou matici A typu m/n lze vynásobit prvkem c X. Výsledkem ca je matice C = (C ij ) typu m/n, kde c ij = c a ij. (3.) Definice 3.7. (Odečítání matic) Odečítání matic A, B lze pak formálně definovat vztahem A B = A + ( )B. (3.3) Definice 3.8. (Násobení matic) Pro násobení matic platí komplikovanější vztahy. Předně dvě matice A, B lze vynásobit v tomto pořadí, tj. vytvořit součin A B, když typy matic na sebe navazují v následujícím smyslu: pokud typ A je m/k, typ B je k/n, pak typ A B je m/n. Výsledkem násobení je tedy matice C = (c ij ) typu m/n, přičemž pro c ij platí c ij = k a is b sj. (3.4) s= Prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci výsledné matice tedy získáme tak, že procházíme i-tý řádek v matici A a jeho prvky postupně násobíme prvky ležícími v j-tém sloupci matice B a vytvořené součiny posčítáme. Definice 3.9. (Transponování matice) Libovolnou matici A = (a ij ) typu m/n lze transponovat. Výsledkem transpozice je matice A T = (a ji ) typu n/m. Pro operace s maticemi platí všechny typy asociativních zákonů, distributivní zákony A(B+C) = AB+AC a (A + B)C = AC + BC a pro sčítání matic platí i zákon komutativní. Násobení matic ale komutativní není. Jednotková matice E má podobnou vlastnost jako jednička: A E = E A = A. Analogicky pro nulovou matici platí: A O = O A = O. Chování součinu vzhledem k transpozici popisuje vztah (A B) T = B T A T. Nyní demonstrujme algoritmus násobení matic podle vztahu (3.4) na příkladu. Příklad 3.0. Nechť jsou dány dvě matice A = ( 0 3 ) a B = 3 0. Určete součin A B a B A. Zamyslete se nad tím, zda pro násobení matic platí, nebo neplatí komutativní zákon. Řešení. A B = ( 0 3 ) 3 0 = ( ) = ( ). ÚM FSI VUT v Brně 3

14 3. Matice a determinanty Studijní text B A = 3 0 ( 0 3 ) = = Z uvedeného příkladu je ihned patrné, že pro násobení matic obecně neplatí komutativní zákon, tj. A B B A. Výsledné matice mají dokonce úplně odlišné typy.. C. Determinanty Definice 3.. Buď X množina, f : X X bijekce. Pak f se nazývá permutace množiny X. Je-li X = {,..., n}, zapisujeme permutaci symbolicky f = ( )... n i i... i n, přičemž f(s) = is, s =,..., n. Buďte i, j X, i j. Řekneme, že dvojice [i, j] je inverze v f, když i < j f(i) > f(j). Klademe pak sgn(f) = ( ) k, (3.5) kde k je počet inverzí v f. Definice 3.. Determinant čtvercové matice A = (a ij ) typu n/n definujeme vztahem det A = f sgn(f) a f() a nf(n), (3.6) kde součet probíhá všechny permutace f množiny {,..., n}. Poznámka 3.3. Místo det A někdy píšeme A. Sarrusovo pravidlo. Pro n =, 3 lze definiční vztah snadno rozepsat a upravit na tvar a det(a) = det(a) = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a = a a a a (3.7) a = (3.8) = a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 ( a 3 a a 3 + a a a 33 + a a 3 a 3 ). (3.9) Výpočet podle vztahu (3.7) resp. (3.8) nazýváme výpočtem podle Sarrusova pravidla (podle francouzského matematika P. F. Sarruse ( )). Elementární řádkové úpravy. Řádkovými elementárními transformacemi matice nazýváme následující úpravy: a) záměna dvou řádků; b) vynásobení řádku nenulovým číslem; c) přičtení řádku k jinému řádku; d) libovolnou kombinaci úprav a), b), c). ÚM FSI VUT v Brně 4

15 3. Matice a determinanty Studijní text Analogicky definujeme sloupcové elementární transformace. Kombinujeme-li řádkové i sloupcové transformace, nazýváme tyto úpravy elementární transformace matice. Následující věta popisuje vlastnosti determinantu, které jsou důležité pro jeho výpočet. Zejména popisuje, jaký vliv má provedení jednotlivých transformací na hodnotu determinantu. Věta 3.4. (základní vlastnosti determinantů). Transpozicí matice se hodnota determinantu nezmění. Důsledek: Libovolné tvrzení platící pro řádky, platí i pro sloupce a naopak.. Existuje-li v matici nulový řádek nebo nulový sloupec, pak je její determinant roven nule. 3. Existují-li v matici dva stejné řádky, nebo dva stejné sloupce, pak determinant této matice je roven nule. 4. Nechť matice B vznikla z matice A záměnou dvou řádků, nebo sloupců. Pak det(b) = det(a). 5. Nechť matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku, nebo sloupce číslem c. Pak det(b) = c det(a). 6. Determinant matice se nezmění, pokud k nějakému jejímu řádku, (nebo sloupci), přičteme nenulový násobek jiného jejího řádku, (nebo sloupce). 7. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále. 8. Každou matici lze pomocí konečného počtu řádkových transformací převést na trojúhelníkový tvar. Tvrzení obsažená ve Větě 3.4 nám poskytují jednoduchý návod, jak hodnotu determinantu určit. Pomocí elementárních transformací převedeme matici na horní trojúhelníkovou matici. Jednotlivé transformace sice mohou měnit hodnotu determinantu, ale podle Věty 3.4 víme k jakým změnám dojde. Hodnota determinantu je pak podle vlastnosti 7 Věty 3.4 rovna součinu prvků na hlavní digonále. Výpočet determinantu lze provést i pomocí následující metody. Definice Buď A = (a ij ) matice typu m/n. Každá matice B, která vznikne z A vynecháním některých řádků a některých sloupců se nazývá submatice matice A.. Determinant čtvercové submatice se nazývá subdeterminant, nebo též minor matice A. Buď A čtvercová matice typu n/n. 3. Subdeterminant matice vzniklé vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce v matici A označme A ij. Číslo D ij = ( ) i+j A ij nazýváme algebraický doplněk prvku a ij. Věta 3.6. (Laplaceova věta) Buď A = (a ij ) čtvercová matice typu n/n, kde n. Pak a n n det(a) = a ik D ik = ( ) i+k a ik A ik (3.0) k= k= n n det(a) = a kj D kj = ( ) k+j a kj A kj. (3.) k= k= Vztah (3.0) se nazývá rozvoj podle i-tého řádku, vztah (3.) rozvoj podle j-tého sloupce. ÚM FSI VUT v Brně 5

16 3. Matice a determinanty Studijní text Příklad 3.7. Vypočtěte determinant matice A následujícími metodami: a) pomocí Sarrusova pravidla; b) převodem na trojúhelníkovou matici; c) rozvojem podle druhého řádku. Matice A je dána vztahem 3 8 A = Řešení. a) Podle Sarrusova pravidla je det(a) = [ 6 ( 9) + ( 3)( 7)( 5) ] [8 6 ( 5) + 4( 3)( 9) + 4( 7)3] = = ( ) ( ) = = 03. b) Pomocí elementárních transformací a Věty?? platí 3 8 det(a) = = = = = ( 03) = c) Podle Laplaceovy věty 3.6 platí 3 8 det(a) = = ( 4) = = ( 4)(7 3) + 6( ) + 7(8 5) = = 03. D. Inverzní matice Definice 3.8. Buď A = (a ij ) čtvercová matice typu n/n. Čtvercová matice B typu n/n se nazývá inverzní k matici A, když A B = B A = E. Na první pohled není z uvedené definice zřejmé, zda matice B inverzní k A existuje vždy, zda je určena jednoznačně a jak tuto matici vypočítat. K formulaci odpovědí nám pomůže teorie determinantů. Definice 3.9. K matici A = (a ij ) typu n/n vždy existuje matice A = (D ij ) T, tzv. adjungovaná matice k matici A. Vznikne tak, že každý prvek v matici A nahradíme jeho algebraickým doplňkem a matici transponujeme. Věta 3.0. (O inverzní matici) Buď A = (a ij ) čtvercová matice typu n/n. Pak platí a) Inverzní matice k A existuje právě tehdy, když det(a) 0. b) V případě, že inverzní matice existuje, je určena jednoznačně a označuje se A. c) Inverzní matici lze pak vypočítat podle vzorce A = det(a) A (3.) Pro inverzní matici platí řada zákonitostí. Uveďme aspoň dvě nejpoužívanější. ÚM FSI VUT v Brně 6

17 3. Matice a determinanty Studijní text Poznámka 3.. Platí (A ) = A a (A B) = B A. Rovněž existuje alternativní možnost výpočtu inverzní matice. Je založena na teorii elementárních transformací matic. Věta 3.. Nechť [A E] je matice typu n/n vzniklá tak, že za matici A napíšeme jednotkovou matici E, viz Příklad 3.3. Pak existuje posloupnost řádkových elementárních transformací, která převede matici [A E] na matici [E B] a platí B = A. Příklad 3.3. Vypočtěte inverzní matici A k matici A, kde A =. 0 Řešení. Předně zjistíme, zda je matice A regulární. Některou z metod pro výpočet determinantu vypočteme, že det A = 5. Podle Věty 3.0 existuje k matici A matice inverzní. Tuto matici můžeme vypočítat dvěma způsoby. První možnost výpočtu je založena na Větě 3.0. Platí 0 A = det(a) A = 5 0 T = 4 3 = 5 3 Druhá možnost výpočtu je založena na Větě 3.. Platí [A E] = Podle Věty 3. je B = A T = = [E B]. ÚM FSI VUT v Brně 7

18 4. Hodnost matice Studijní text 4. Hodnost matice Definice 4.. Nechť A je matice typu (m, n). Pak hodnost matice A je rovna maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice značíme h(a). Poznámka 4.. Ujasněme si, co rozumíme pod pojmem lineárně nezávislé řádky. Představme si řádky matice A typu (m, n) jako vektory a,..., a m a předpokládejme, že žádný z nich není nulový. Řekneme, že nenulové vektory a,..., a m (tj. řádky matice) jsou lineárně závislé, jestliže existují čísla t,..., t m z nichž alespoň jedno je různé od nuly tak, že t a + + t m a m = o. V opačném případě říkáme, že jsou lineárně nezávislé. Poznámka 4.3. Lineární nezávislost m vektorů lze definovat i takto: nenulové vektory a,..., a m se nazývají lineárně nezávislé, jestliže platí t a + t a + + t m a m = 0 t = t = = t m = 0 pro každé t, t,..., t m R. Dříve než se budeme zabývat praktickým výpočtem hodnosti matice, připomeňme si, jaké jsou elementární řádkové úpravy matice A: Věta 4.4. Nechť A je matice typu (m, n). Pak každá z následujících úprav matice A se nazývá elementární řádková úprava:. libovolná záměna pořadí řádků;. vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem; 3. přičtení lineární kombinace několika řádků k jednomu řádku; Věta 4.5. Provedením libovolné elementární řádkové úpravy se hodnost matice A nezmění. Z předchozích úvah vyplývá, že při praktickém zjišťování hodnosti dané matice bude zřejmě výhodné pomocí elementárních řádkových úprav převést matici na nějaký jednoduchý tvar, z něhož bude hodnost přímo vidět. Tento jednoduchý tvar popisuje následující definice. Definice 4.6. Nechť A je matice typu (m, n). Řekneme, že A je matice ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek. Věta 4.7. tvar. Každou matici lze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na schodovitý Věta 4.8. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 4.9. Určete hodnost matice A.. A = ÚM FSI VUT v Brně 6

19 4. Hodnost matice Studijní text Řešení. Matici převedeme elementárními řádkovými úpravami do schodovitého tvaru h(a) = Příklad 4.0. Určete hodnost matice B.. B = Řešení. Matici převedeme elementárními řádkovými úpravami do schodovitého tvaru h(b) = ÚM FSI VUT v Brně 7

20 5. Soustavy lineárních rovnic Studijní text 5. Soustavy lineárních rovnic Se soustavami lineárních rovnic a jejich řešením je možné se v určitých jednoduchých případech setkat již na střední škole. Ukážeme si jednu praktickou metodu řešení obecných soustav lineárních rovnic a jednu metodu pro čtvercové matice. Definice 5.. Nechť a ij, b i jsou reálná čísla. Pak soustava a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x + + a mn x n = b m se nazývá soustava m lineárních rovnic o n neznámých. Číslo a ij se nazývá koeficient v i-té rovnici u j-té neznámé. Číslo b i se nazývá absolutní člen i-té rovnice. Maticový zápis. Soustavu (5.) lze zapsat i v maticovém tvaru Ax T = b T, kde A se nazývá matice soustavy (5.), x se nazývá vektor neznámých a b se nazývá vektor pravých stran (sloupec absolutních členů). Rozšířená matice soustavy. Při výpočtech je praktické k matici soustavy A připsat i vektor pravých stran b a oddělit jej svislou čárou. Taková matice a a a n b A b T a a a n b =... a m a m a mn b m se nazývá rozšířená matice soustavy (5.) Nyní si uvedeme důležitou větu, která nám umožní rozhodnout o řešitelnosti či neřešitelnosti soustavy lineárních rovnic, aniž bychom hledali její řešení. Věta 5.. (Frobeniova) Soustava lineárních rovnic (5.) je řešitelná, právě když hodnost matice A této soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice A b T této soustavy, tj. h(a) = h(a b T ). Poznámka 5.3. Frobeniova věta je jednoduchým a elegantním kritériem řešitelnosti soustav lineárních rovnic, ovšem v případě řešitelné soustavy neříká nic o počtu řešení ani o tom, jak všechna řešení vypadají. Uvědomme si, že může nastat právě jeden z těchto tří případů: a) soustava nemá žádné řešení (tzn. je neřešitelná); b) soustava má jediné řešení; c) soustava má nekonečně mnoho řešení. Ve speciálním případě, kdy je matice A řádu n (tj. rovnic je stejný počet jako neznámých) a matice A je regulární (tj. A 0) nám k určení řešení poslouží Cramerovo pravidlo uvedené v následující větě. ÚM FSI VUT v Brně 8

21 5. Soustavy lineárních rovnic Studijní text Věta 5.4. (Cramerovo pravidlo) Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých, jejíž matice soustavy A je regulární. Pak soustava má jediné řešení (x, x,..., x n ), přičemž x j = A j, j =,,..., n, A kde A j je matice vzniklá z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem absolutních členů. Poznámka 5.5. Cramerovo pravidlo má spíše teoretický význam, protože je numericky poměrně náročné. Na druhou stranu však umožňuje přímý výpočet jednotlivých neznámých, což může být někdy výhodné. Příklad 5.6. Cramerovým pravidlem určete řešení soustavy. Nejprve ověřte, že je matice A regulární! x 3x + x 3 = 0 x + x x 3 = 3 x + x + x 3 = Řešení. A = 3 = + ( 3) ( ) + ( 3) ( ) = 0, a proto je matice A regulární. Spočtěme si determinanty matic, ve kterých bude sloupec absolutních členů postupně nahrazovat sloupec koeficientů: A = Tedy = 0 + ( 3) ( ) + 3 ( 3) 3 0 ( ) = 4, A = x = A A a soustava má jediné řešení (, 3, 5). 0 3 = 36, A 3 = = 60. = 4 =, x = A = 36 A = 3, x 3 = A 3 = 60 A = 5 Dříve než si uvedeme další metodu řešení soustavy lineárních rovnic, připomeňme si, jaké jsou ekvivalentní úpravy soustavy rovnic (5.), kterými neovlivníme množinu řešení. Věta 5.7. Nechť je dána soustava lineárních rovnic (5.). Pak následující úpravy jsou ekvivalentními úpravami soustavy (5.):. libovolná záměna pořadí rovnic;. vynásobení libovolné rovnice nenulovým číslem; 3. k jedné rovnici přičtení jiné rovnice vynásobené libovolným číslem; 4. vypuštění rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic. Při provádění ekvivalentních úprav dané soustavy lineárních rovnic není nutné stále opisovat celou soustavu i s neznámými, ale zřejmě stačí pracovat s její rozšířenou maticí soustavy. Uvědomme si, že pak provádění úprav. 4. na dané soustavě, je ekvivalentní provádění elementárních řádkových úprav na její rozšířené matici soustavy. ÚM FSI VUT v Brně 9

22 5. Soustavy lineárních rovnic Studijní text Na této úvaze je založena další metoda, jejíž princip spočívá v tom, že danou soustavu lineárních rovnic převedeme na jednodušší soustavu. Její řešení bude možno víceméně ihned vypsat. Gaussova eliminační metoda. Nechť je dána soustava lineárních rovnic (5.). Pak ekvivalentními úpravami z Věty 5.7 převedeme soustavu (5.) na soustavu (5. ), jejíž rozšířená matice soustavy je ve schodovitém tvaru. Nechť soustava (5. ) má nyní s m rovnic. Potom: a) vyskytne-li se v (5. ) rovnice, v níž všechny koeficienty jsou nulové a absolutní člen je od nuly různý (tedy řádek vypadající například takto: ), pak soustava (5. ), a tedy i soustava (5.) nemá řešení; b) má jediné řešení, je-li s = n. Toto řešení spočítáme postupným dosazováním ze soustavy (5. ); c) má nekonečně mnoho řešení, je-li s < n. V tomto případě (opět postupným dosazováním z (5. )) vyjádříme jistých s neznámých pomocí zbývajících (n s) neznámých, které se nazývají volné neznámé. Ilustrujme si nyní Gaussovu metodu řešení soustavy lineárních rovnic na několika typických příkladech. Příklad 5.8. Řešte soustavu lineárních rovnic x + x x 3 + x 4 = x 3x + x 3 3x 4 = x + x x 3 + x 4 = x + x 4 = 3 Řešení. Napíšeme rozšířenou matici této soustavy a pomocí elementárních řádkových úprav ji převedeme na schodovitý tvar. Navíc vypouštíme řádky, které jsou lineární kombinací ostatních řádků (pokud se takové vyskytnou) I když poslední matice ještě není formálně upravena na schodovitý tvar, vidíme, že daná soustava nemá řešení, neboť ve třetím řádku poslední matice jsou všechny koeficienty u neznámých nulové, kdežto absolutní člen je od nuly různý. Příklad 5.9. Řešte soustavu lineárních rovnic x x + x 3 = x + x 3 = x 5x + 4x 3 = 0 x 3x = 4 Řešení Tedy z poslední rovnice plyne, že x 3 = 3, neboli x 3 = 3. Dále z předposlední rovnice dostáváme přímo, že x =. A konečně z první rovnice x = + x x 3 po dosazení za x a x 3 dostaneme, že x =. Daná soustava má tedy jediné řešení: (,, ) 3. Příklad 5.0. Řešte soustavu lineárních rovnic x x + x 3 + x 4 = x x x 3 + x 4 = x x + 3x 3 + x 4 = 6 ÚM FSI VUT v Brně 0

23 5. Soustavy lineárních rovnic Studijní text Řešení ( Tedy dostáváme soustavu, v níž budou dvě volné neznámé (zřejmě kterékoliv dvě z neznámých x, x, x 4, nikoliv však neznámá x 3 ). Zvolíme-li za volné neznámé např. neznámé x, x 4, pak lehce vypočteme, že x 3 =, x = x x 4. Tedy položíme-li x = t, x 4 = s, pak daná soustava má nekonečně mnoho řešení ve tvaru (t s, t,, s), kde t, s jsou libovolná čísla. Poznámka 5.. Má-li soustava lineárních rovnic nekonečně mnoho řešení, pak z Gaussovy eliminační metody vyplývá pouze to, kolik neznámých volíme za volné neznámé, nikoliv však, které neznámé to jsou. Může se totiž stát, že některou neznámou nesmíme volit za volnou neznámou nebo naopak, některou neznámou musíme volit za volnou neznámou. ) Homogenní soustavy lineárních rovnic. Speciálním případem soustav lineárních rovnic jsou soustavy s nulovými absolutními členy na pravé straně. Definice 5.. Nechť a ij jsou reálná čísla. Pak soustava a x + a x + + a n x n = 0 a x + a x + + a n x n = 0. a m x + a m x + + a mn x n = 0 se nazývá homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých. Poznámka 5.3. Protože rozšířená matice soustavy (5.), kterou označíme opět A b T, vznikla z matice A přidáním sloupce skládajícího se ze samých nul, je zřejmě h(a) = h(a b T ), a tedy podle Frobeniovy věty 5. je homogenní soustava (5.) vždy řešitelná. Evidentně je vždy řešením soustavy (5.) uspořádaná n-tice (0, 0,..., 0). Toto řešení se nazývá nulové řešení. Vidíme tedy, že homogenní soustava lineárních rovnic (5.) má buď jediné řešení (nulové) anebo má nekonečně mnoho řešení (tj. kromě nulového i nenulová řešení). Příklad 5.4. Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic x + x + x 3 + x 4 = 0 + x x 3 + x 4 = 0 x + 3x + x 4 = 0 Řešení ( Položíme-li x 3 = t, x 4 = s, pak daná soustava má nekonečně mnoho řešení ve tvaru ( 3t + s, t s, t, s), kde t, s jsou libovolná čísla. ) ÚM FSI VUT v Brně

24 6. Vektorový počet Studijní text 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n =,, 3; nicméně teorie je platná obecně. Prvky R n budeme nazývat body a značit např. A = [a,..., a n ], reálná čísla a,..., a n pak nazýváme souřadnice bodu. Poznámka 6.. Polohu obecného bodu P v R 3 charakterizujeme nejčastěji trojicí souřadnic x, y, z a znázorňujeme jej v pravotočivé soustavě Oxyz, viz. Obrázek 6.. Obr. 6.: Význam trojice souřadnic [x, y, z] charakterizujících polohu bodu P (x, y, z) v trojrozměrné pravotočivé soustavě pravoúhlých souřadnic Oxyz. Definice 6.. Uspořádanou dvojici bodů A, B nazveme vázaný vektor v R n s počátkem v A a s koncem v B. Značíme AB = ([a,..., a n ], [b,..., b n ]). Je zřejmé, že vázaný vektor AB lze zadat i tak, že zadáme bod A a spolu s ním uspořádanou n-tici reálných čísel (b a,..., b n a n ). Samotnou tuto n-tici pak nazýváme volný vektor a značíme u = AB; je ovšem jasné, že u body A, B neurčuje, protože i jiné body C, D mohou vést k témuž volnému vektoru u (přesněji, definujeme zde binární relaci mezi vázanými vektory: řekneme, že dva vázané vektory AB, CD patří do relace R, jestliže (b a,..., b n a n ) = (d c,..., d n c n ); tato relace (protože je ekvivalence) určuje rozklad množiny vázaných vektorů na třídy zvané volné vektory). Dále se budeme zabývat volnými vektory. Poznámka 6.3. Při vyšetřování vztahů mezi vektorovými veličinami s užitím kartézské soustavy souřadnic se zavádějí některé další pojmy a operace. Kolmé průměty vektorové veličiny a do souřadnicových os se značí a x, a y, a z (viz Obr. 6.) a jsou definovány vztahy a x = a cos α, a y = a cos β, a z = a cos γ. (6.) ÚM FSI VUT v Brně

25 6. Vektorový počet Studijní text Obr. 6.: Vyjádření vektorů a a b pomocí jejich složek a x, a y, a z (resp. b x (= 0), b y, b z ) a jednotkových vektorů ı, j, k. V obrázku jsou rovněž vyznačeny úhly, které svírá vektor a se souřadnicovými osami. Tyto veličiny se nazývají rovněž souřadnice vektoru a. Ze vztahu (6.) plyne a x > 0 pro 0 α π/, a x = 0 pro α = π/, a x < 0 pro π/ < α π. Užívá se zápisu a = (a x, a y, a z ). Vektor a a jeho souřadnice mají stejné jednotky. Je-li dán vektor svými souřadnicemi, např. a = (a x, a y, a z ), lze určit jeho velikost a úhly, které svírá se souřadnicovými osami, s užitím vztahů plynoucích z Obrázku 6.: a = a = a x + a y + a z; cos α = a x a, cos β = a y y, cos γ = a z a. Definice 6.4. (Součet a násobení skalárem) Pro volné vektory nyní definujeme operaci součet u + v = w vztahem (w,..., w n ) = (u + v,..., u n + v n ) a operaci násobení skalárem c u = v (c R) vztahem (v,..., v n ) = (cu,..., cu n ). Množinu volných vektorů na R n spolu s těmito operacemi pak nazýváme vektorový prostor a značíme V n (poznamenáváme zde, že vůbec není naším cílem budovat obecnou teorii algebraických struktur zvaných vektorové prostory; název vektorový prostor zde tedy užíváme vědomě jen pro právě uvedený příklad). Povšimněme si, že volné vektory spolu s binární operací sčítání jsou dalším příkladem grupy, která byla definována v tématu Relace, zobrazení, operace a algebraické struktury. Neutrálním prvkem je zde tzv. nulový vektor o = (0,..., 0). Definice 6.5. Řekneme, že vektor v je lineární kombinací vektorů u,..., u k, jestliže ho pro nějaká c,..., c k R lze vyjádřit jako v = c u + + c k u k. Poznámka 6.6. Povšimněme si, že nulový vektor o je vždy triviální lineární kombinací (tj. s c = = = c k = 0) libovolných vektorů u,..., u k. Někdy je také jejich netriviální kombinací, tzn. alespoň jedno z čísel c,..., c k je nenulové (je-li např. k =, u = u a u = u, vztah je splněn pro libovolné c = c = c R). ÚM FSI VUT v Brně 3

26 6. Vektorový počet Studijní text To nás vede k následující definici. Řekneme, že vektory u,..., u k jsou lineárně závislé, pokud je nulový vektor jejich netriviální lineární kombinací. Pokud tomu tak není, tedy nulový vektor lze obdržet pouze jako triviální lineární kombinaci vektorů u,..., u k, nazveme tyto vektory lineárně nezávislé. V prostoru V n lze vybrat nejvýše n lineárně nezávislých vektorů; množina n lineárně nezávislých vektorů se nazývá báze V n. Lze sice vybrat nekonečně mnoho bází V n, jednu však preferujeme: je to tzv. kanonická báze: e = (, 0, 0,..., 0) e = (0,, 0,..., 0) e 3 = (0, 0,,..., 0)... e n = (0, 0, 0,..., ) Povšimněme si, že vektory kanonické báze e,..., e n zapsané jako řádky matice dávají jednotkovou matici E; obecně, vektory libovolné báze představují vždy regulární matici. Poznámka 6.7. Jednotkové vektory ve směru souřadnicových os Ox, Oy, Oz v R 3 budeme obvykle značit ı, j, k. Tyto vektory jsou navzájem kolmé (viz Obrázek 6.) a platí pro ně ı = j = k =. Vektory a x ı, a y j, a z k o velikostech ax, a y, a z se nazývají složky vektoru a v souřadnicových osách. Platí pro ně tzv. semikartézské vyjádření vektoru a a = a x ı + a y j + a z k. Předpokládejme, že vektor u má souřadnice v obvyklé, tedy kanonické bázi. Uvažujme jinou bázi a,..., a n, zapsanou řádkově do matice ji označme A. Vektor u v této bázi budeme označovat u A. Zřejmě platí (vektory u, u A píšeme sloupcově) A u A = E u a tedy u A = A u. Ještě obecněji, předpokládejme, že vektor u B je vyjádřen v bázi (maticově) B a chceme jej vyjádřit v bázi A. Postupem analogickým předchozímu odstavci zjistíme, že u A = A B u B. Matici A B nazýváme matice přechodu od báze B k bázi A (v této důležité úloze aplikujeme tedy jak výpočet inverzní matice, tak součin matic). Definice 6.8. (Skalární součin) Na V n lze zavést další operaci: skalární součin u v = c (c R) definujeme vztahem c = u v + + u n v n. Vektorový prostor V n s takto zavedeným skalárním součinem nazýváme euklidovský prostor a značíme E n (skalární součin lze zavést i jiným způsobem, tomu se ale zde nevěnujeme). Geometrický význam skalárního součinu. Skalární součin a b dvou (libovolných) vektorových veličin a, b je skalární veličina c daná vztahem kde α je dutý nebo přímý úhel sevřený vektory a, b (viz Obrázek 6.3). c(= a b) = ab cos α, (6.) ÚM FSI VUT v Brně 4

27 6. Vektorový počet Studijní text Obr. 6.3: Geometrický význam skalárního součinu a b = a b cos α(= a b b = b a a). Příklad 6.9. Vagón je tažen na přímém úseku délky s = 0 m lanem, které svírá se směrem rychlosti vagonu úhel α = 0 a které je napínáno silou o velikosti F = 800 N. Vyjádřete práci W vykonanou silou F pomocí skalárního součinu a vypočtěte ji. Řešení. Zavedeme vektor s podle Obrázku 6.4. Pak W = F s s = F cos α) s = F s, W = F s = F s cos α = 800 N 0 m cos 0 =, J. Obr. 6.4: K příkladu 6.9. Definice 6.0. (Vektorový součin) Dále, definujme pro n > na V n tzv. vektorový součin jako (n )-ární operaci přiřazující vektorům u = (u,..., u n ),..., u n = (u (n ),..., u (n )n ) vektor w = u u n jako determinant kde e,..., e n jsou vektory kanonické báze. u u... u n u u... u n w =... u (n ) u (n )... u (n )n e e... e n Pro n = jde o unární operaci, která vektoru u = (u, u ) přiřadí vektor w = u (0, ) u (, 0) = ( u, u ). Pro n = 3 jde o binární operaci, která vektorům u = (u, u, u 3 ), v = (v, v, v 3 ) přiřadí vektor w = u v (0, 0, ) + u v 3 (, 0, 0) + u 3 v (0,, 0) u v 3 (0,, 0) u v (0, 0, ) u 3 v (, 0, 0) = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ). Poznámka 6.. Doporučujeme čtenáři hlouběji se seznámit s vlastnostmi operace vektorového součinu (tato operace je mj. pro n = 3 antikomutativní: u v = v u ). Důležitým výsledkem (dokáže se přímým výpočtem) dále je, že skalární součin vektoru w = u u n s libovolným z vektorů u,..., u n je vždy nulový., Geometrický význam vektorového součinu. Vektorový součin a b dvou (libovolných) vektorových veličin a, b je vektorová veličina c, kterou je graficky možno znázornit tak, že oba vektory a, b umístíme do jednoho (libovolného) bodu (bod P v Obrázku 6.5). ÚM FSI VUT v Brně 5

28 6. Vektorový počet Studijní text Pro vektor c = a b platí:. Velikost: Obr. 6.5: Geometrický význam vektorového součinu a b. c = ab sin α, tj. platí, že velikost vektoru c je rovna plošnému obsahu kosodélníka vyšrafovaného v Obrázku 6.5, kde α je tupý nebo přímý úhel sevřený vektory a, b.. Směr je kolmý na rovinu danou vektory a, b tak, že vektory a, b, c (v uvedeném pořadí) tvoří pravotočivý trojhran (nebo: pravotočivý šroub otáčení kolem přímky p od a do b nejkratší cestou, vektor c má směr postupu šroubu) viz Obrázek 6.5. Příklad 6.. Síla F působící na těleso v bodě P vyvozuje vzhledem k počátku souřadnic otáčivý moment M = r F, kde r je polohový vektor bodu P (viz Obrázek 6.6). Obr. 6.6: Příklad užití vektorového součinu: otáčivý moment M síly F působící na těleso v bodě P, jehož polohový vektor je r, je roven M = r F. Příklad 6.3. Na konci tyče délky l působí síla F Ox podle Obrázku 6.7. Určete otáčivý moment síly F vzhledem k počátku O. (Pozn.: symbolem a b vyjadřujeme, že vektory a, b jsou souhlasně rovnoběžné, tj. paralelní. Symbol a b vyjadřuje, že vektory a, b jsou nesouhlasně rovnoběžné, tj. antiparalelní). Řešení. M = r F. Vektor M zakreslíme v bodě O, směr je zřejmý z Obrázku 6.7. Platí M = r F sin 90 = lf. ÚM FSI VUT v Brně 6

29 6. Vektorový počet Studijní text Obr. 6.7: K příkladu 6.3. Definice 6.4. Pro n > na V n definujeme také tzv. vnější součin jako n-ární operaci přiřazující vektorům u = (u,..., u n ),..., u n = (u n,..., u nn ) determinant (tedy číslo) u u... u n u u... u n.... u n u n... u nn Absolutní hodnota vnějšího součinu vyjadřuje objem n-rozměrného rovnoběžnostěnu s vrcholy O (počátek), O + u, O + u + u,..., O + u + u u n. V prostoru V jde o obsah rovnoběžníka. V prostoru V 3 jde o objem rovnoběžnostěnu (pro úplnost ještě uveďme alternativní možnost: pokud v prostoru V 3 vynásobíme dva vektory u, v vektorově a výsledek pak s třetím vektorem w skalárně, obdržíme tzv. smíšený součin tří vektorů; ten splývá s vnějším součinem: tedy jeho absolutní hodnota udává objem rovnoběžnostěnu s hranami představovanými vektory u, v a w ). Definice 6.5. Na E n dále definujeme velikost u vektoru u vztahem u = u u (odmocnina skalárního součinu vektoru se sebou samým). Takto zavedená velikost mj. splňuje tzv. trojúhelníkovou nerovnost u + v u + v. Definice 6.6. pro něž Můžeme dále na E n zavést úhel dvou nenulových vektorů u a v jako číslo φ [0, π), cos φ = u v u v. Zřejmě φ = π nastává právě tehdy, když skalární součin u a v je nulový; takové vektory tedy nazýváme kolmé (a viz nyní znovu Poznámka 6.). Pro vektory u a v v E 3 svírající úhel φ pak např. platí u v = u v sin φ, jak si čtenář může nyní dokázat. ÚM FSI VUT v Brně 7

30 7. Analytická geometrie Studijní text 7. Analytická geometrie A. Přímka v rovině ϕ n n 0 y s A s ϕ s s B p x s n ϕ = (s, s ) směrový vektor přímky p normálový vektor přímky p směrový úhel přímky p k = tgϕ = s s směrnice přímkyp Definice 7.. Přímka v rovině je množina bodů o souřadnicích [x, y] daná jedním z následujících způsobů: ) ) 3) 4) p = {[x, y] R R ax + by + c = 0, a, b, c R}, kde alespoň jedno z čísel a, b je různé od nuly. p = {[x, y] R R x = a + s t, y = a + s t, t R}, kde A = [a, a ] je bod, kterým přímka prochází a s = (s, s ) je její směrový vektor. p = {[x, y] R R y = kx + q, k, q R} p = {[x, y] R R x p + y q = }, kde p, q jsou úseky, které přímka vytíná na osách x, y. V prvním případě je přímka zadána pomocí své obecné rovnice, v druhém pomocí parametrických rovnic, ve třetím se jedná o směrnicový tvar rovnice přímky a ve čtvrtém o úsekový tvar. Poznámka 7.. Vlastnosti koeficientů obecné rovnice. ) Koeficienty a, b určují souřadnice normálového vektoru n = (a, b) a tím i souřadnice směrového vektoru s = ( b, a). ) Pokud a = 0, je přímka rovnoběžná s osou x. 3) Pokud b = 0, je přímka rovnoběžná s osou y. 4) Pokud c = 0, přímka prochází počátkem souřadné soustavy. Poznámka 7.3. Vlastnosti směrnicového tvaru rovnice přímky. Tento tvar nezahrnuje přímky rovnoběžné s osou y, neboť koeficient u y není nikdy roven 0. Navíc tento způsob zadání odpovídá zadání lineární funkce, jejímž grafem nemůže být přímka rovnoběžná s osou y. Koeficient k se nazývá směrnice přímky, více o směrnicích viz. kapitola Derivace funkce. Koeficient q je úsek, který přímka vytíná na ose y. ÚM FSI VUT v Brně 8

31 7. Analytická geometrie Studijní text Věta 7.4. Vzdálenost bodu od přímky v rovině. Mějme přímku p : ax+by+c = 0 a bod A = [a, a ], který na ní neleží. Pak vzdálenost v bodu A od přímky p je dána vztahem. v = a a + b a + c a + b Definice 7.5. Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme úhel, který je dán a) jako ostrý úhel, který svírají směrové vektory těchto přímek, b) jako rozdíl přímého úhlu (π) a tupého úhlu, který svírají směrové vektory těchto přímek. Věta 7.6. Odchylka dvou přímek. Jsou-li s a, s b směrové vektory přímek a, b, potom pro odchylku ϕ těchto dvou přímek platí cos ϕ = s a s b s a s b, kde v čitateli je skalární součin vektorů. Definice 7.7. Vzájemná poloha přímek v rovině. Mějme přímky p, q dané obecnými rovnicemi p : a x + b y + c = 0, q : a x + b y + c = 0. Pak tyto přímky mohou být a) rovnoběžky splývající, jestliže existuje r R \ {0} takové, že platí a = ra b = rb c = rc. (jedna rovnice je násobkem druhé) b) rovnoběžky různé, jestliže existuje r R \ {0} takové, že platí a = ra b = rb c rc. (normálové resp. směrové vektory jsou lineárně závislé, ale přímky nemají společný bod) c) různoběžky kolmé, jestliže a a + b b = 0. (skalární součin normálových resp. směrových vektorů je roven 0) d) různoběžky (nekolmé), jestliže neplatí ani jedna z předchozích možností. Rovina v prostoru je jednoznačně určena: B. Rovina v prostoru třemi různými body, které neleží na jedné přímce, dvěma různoběžnými přímkami, tj, přímkami, které mají společný právě jeden bod a jejichž směrové vektory jsou lineárně nezávislé, dvěma různými rovnoběžnými přímkami, bodem a přímkou, která daným bodem neprochází. ÚM FSI VUT v Brně 9

32 7. Analytická geometrie Studijní text Následující definice obsahuje i analytické vyjádření roviny v prostoru. Definice 7.8. způsobů: Rovina v prostoru je množina bodů o souřadnicích [x, y, z] daná jedním z následujících ) σ = {[x, y, z] R 3 ax + by + cz + d = 0, a, b, c, d R}, kde alespoň jedno z čísel a, b, c je různé od nuly. ) σ = {[x, y, z] R 3 x = a + s p + r q, y = a + s p + r q, z = a 3 + s 3 p + r 3 q, p, q R}, kde A = [a, a, a 3 ] je bod, který leží v zadané rovině a s = (s, s, s 3 ) a r = (r, r, r 3 ) jsou její směrové vektory. V prvním případě řekneme, že rovina je zadaná pomocí obecné rovnice, ve druhém pomocí parametrických rovnic. Poznámka 7.9. Z parametrických rovnic dostaneme obecnou rovnici vyloučením parametrů, tj. sčítáním vhodných násobků parametrických rovnic. Z obecné rovnice přejdeme k parametrickým snadno volbou dvou proměnných jako parametrů (např. y = p, z = q) a dopočítáním třetí proměnné. Poznámka 7.0. Vlastnosti koeficientů obecné rovnice roviny. ) Koeficienty a, b, c určují souřadnice normálového vektoru n = (a, b, c). Pozor: narozdíl od přímky, normálový vektor k rovině nemůže jednoznačně určit směrový vektor roviny, neboť rovina má směrové vektory dva! ) Pokud a = 0, je rovina rovnoběžná se souřadnou osou x. 3) Pokud b = 0, je rovina rovnoběžná s osou y. 3) Pokud c = 0, je rovina rovnoběžná s osou z. 4) Pokud d = 0, rovina prochází počátkem souřadné soustavy. 5) Pokud jsou dva koeficienty z trojice a, b, c rovny nule, je daná rovina rovnoběžná se souřadnou rovinou určenou osami s nulovými koeficienty, tedy například je-li a = b = 0, je daná rovina rovnoběžná s rovinou xy. Definice 7.. Odchylkou dvou různoběžných rovin rozumíme úhel, který je dán a) jako ostrý úhel, který svírají normálové vektory těchto rovin, b) jako rozdíl přímého úhlu (π) a tupého úhlu, který svírají normálové vektory těchto rovin. Věta 7.. Odchylka dvou rovin. Jsou-li n σ, n ρ normálové vektory rovin σ, ρ, potom pro odchylku ϕ těchto dvou rovin platí cos ϕ = n σ n ρ n σ n ρ, kde v čitateli je skalární součin vektorů. Poznámka 7.3. rovině. Vzájemná poloha dvou rovin v prostoru je analogická vzájemným polohám přímek v ÚM FSI VUT v Brně 30

33 7. Analytická geometrie Studijní text C. Přímka v prostoru Definice 7.4. způsobů: Přímka v prostoru je množina bodů o souřadnicích [x, y, z] daná jedním z následujících ) ) p = {[x, y, z] R 3 x = a + s t, y = a + s t, z = a 3 + s 3 t, t R}, kde A = [a, a, a 3 ] je bod, který leží na zadané přímce a s = (s, s, s 3 ) je její směrový vektor. p = {[x, y, z] R 3 x a s = y a s = z a 3 s 3 }, kde A = [a, a, a 3 ] je bod, který leží na zadané přímce a s = (s, s, s 3 ) je její směrový vektor. V prvním případě se jedná o parametrické rovnice přímky v prostoru, druhý případ se nazývá kanonický tvar rovnice přímky. Poznámka 7.5. Přímku v prostoru lze zadat i jako průsečnici dvou různoběžných rovin p : a x + b y + c z + d = 0 a q : a x + b y + c z + d = 0, tj, jako řešení systému dvou obecných rovnic rovin o třech neznámých: p = {[x, y, z] R 3 a x + b y + c z + d = 0, a x + b y + c z + d = 0, }. Tento tvar se někdy nazývá obecná rovnice přímky v prostoru. Poznámka 7.6. Z kanonických rovnic dostaneme parametrické rovnice snadno tak, že položíme každý z výrazů roven parametru a vypočítáme proměnnou, opačně z každé parametrické rovnice spočítáme parametr, vzniklé výrazy se pak musí rovnat. Poznámka 7.7. Odchylka dvou přímek v prostoru je definována a spočítá se stejně jako odchylka přímek v rovině Narozdíl od rovinné situace, v prostoru máme ještě jednu možnou vzájemnou polohu dvou přímek. Definice 7.8. Dvě přímky v prostoru jsou rovnoběžné splývající, jestliže mají lineárně závislé směrové vektory a nekonečně mnoho společných bodů, rovnoběžné, jestliže mají lineárně závislé směrové vektory a žádný společný bod, různoběžné, jestliže mají lineárně nezávislé směrové vektory a právě jeden společný bod. Je-li navíc skalární součin směrových vektorů roven nule, jsou přímky jimi určené na sebe kolmé. mimoběžné, jestliže mají lineárně nezávislé směrové vektory a žádný společný bod.. Parabola D. Kuželosečky Definice 7.9. Parabolou nazýváme množinu takových bodů [x, y] v rovině, které jsou stejně vzdáleny od pevného bodu F (ohniska) a pevné přímky d (řídící přímka). ÚM FSI VUT v Brně 3

34 7. Analytická geometrie Studijní text y n D V F F d V ohnisko paraboly řídící přímka paraboly = [m, n] vrchol paraboly M V F = V D = p, p je parametr paraboly 0 d m x M libovolný bod na parabole Definice 7.0. Je-li parabola zadána rovnicí y + Ax + By + C = 0,, A, B, C R, A 0, je-li osa paraboly rovnoběžná s osou x nebo x + Ax + By + C = 0,, A, B, C R, B 0, je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y, pak tuto rovnici nazveme obecnou rovnicí paraboly. Definice 7.. Je-li dána parabola s vrcholem V = [m, n], pak její vrcholová rovnice je dána: (y n) = ±p(x m), je-li osa paraboly rovnoběžná s osou x; (x m) = ±p(y n), je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y.. Kružnice y M n r S S = [m, n] střed kružnice r poloměr kružnice M libovolný bod na kružnici 0 m x Definice 7.. Kružnicí nazýváme množinu takových bodů v rovině o souřadnicích [x, y], které jsou od pevného bodu (středu) stejně vzdáleny. Definice 7.3. Je-li kružnice zadána rovnicí x + y + Ax + By + C = 0, A, B, C R, pak se tato rovnice nazývá obecná rovnice kružnice. Definice 7.4. Středová rovnice kružnice je tvaru (x m) + (y n) = r, kde S = [m, n] je střed kružnice a r je její poloměr. ÚM FSI VUT v Brně 3

35 7. Analytická geometrie Studijní text Definice 7.5. Parametrické rovnice kružnice jsou: x = m + r cos t, y = n + r sin t, kde bod S = [m, n] je střed, r je poloměr, x, y jsou souřadnice libovolného bodu na kružnici a t R je parametr. Poznámka 7.6. Parametr t v parametrických rovnicích kružnice udává úhel, který svírá úsečka SM a kladný směr osy x, M je libovolný bod na kružnici. Pro jednoznačně danou kružnici je tedy 0 t π. 3. Elipsa y M M A n 0 E e S b m a F x B E, F ohniska elipsy S = [m, n] střed elipsy a, b hlavní a vedlejší poloosa elipsy M libovolný bod na elipse e = a b excentricita elipsy Definice 7.7. Elipsou nazýváme množinu takových bodů v rovině o souřadnicích [x, y], jejichž součet vzdáleností od dvou pevných bodů E, F (ohnisek) je roven konstantě a je-li a > b nebo b je-li b > a. Definice 7.8. Je-li elipsa zadána rovnicí Ax + By + Cx + Dy + E = 0, A, B, C, D, E R, A > 0, B > 0, A B, pak se tato rovnice nazývá obecná rovnice elipsy. Definice 7.9. Středová rovnice elipsy je tvaru (x m) (y n) a + b =, kde S = [m, n] je střed elipsy a a, b jsou délky jejích poloos. Definice Parametrické rovnice elipsy jsou: x = m + a cos t, y = n + b sin t, kde bod S = [m, n] je střed, a, b jsou délky poloos, x, y jsou souřadnice libovolného bodu na elipse a t R je parametr. ÚM FSI VUT v Brně 33

36 7. Analytická geometrie Studijní text 4. Hyperbola y M E n A 0 x m S B e a b F E, F ohniska hyperboly S = [m, n] střed hyperboly a, b hlavní a vedlejší poloosa hyperboly M libovolný bod na hyperbole e = a + b excentricita hyperboly Definice 7.3. Hyperbolou nazýváme množinu takových bodů v rovině o souřadnicích [x, y], jejichž rozdíl vzdáleností od dvou pevných bodů E, F (ohnisek) je v absolutní hodnotě roven konstantě a. Definice 7.3. Je-li hyperbola zadána rovnicí Ax By + Cx + Dy + E = 0, A, B, C, D, E R, A > 0, B > 0, je-li hlavní osa rovnoběžná s osou x, Ax + By + Cx + Dy + E = 0, A, B, C, D, E R, A > 0, B > 0, je-li hlavní osa rovnoběžná s osou y, pak se tato rovnice nazývá obecná rovnice hyperboly. Definice Středová rovnice hyperboly je tvaru (x m) (y n) a b =, je-li hlavní osa rovnoběžná s osou x, (x m) (y n) a + b =, je-li hlavní osa rovnoběžná s osou y, kde S = [m, n] je střed elipsy a a, b jsou délky jejích poloos. ÚM FSI VUT v Brně 34

37 8. Pojem funkce Studijní text 8. Pojem funkce Funkce (zobrazení) byla již definována v tématu Relace, zobrazení, operace a algebraické struktury. Budeme se ale zabývat pouze funkcemi f : A B, kde A = B = R. Takovým funkcím říkáme reálné funkce (jedné) reálné proměnné a jsou ústředním pojmem matematické analýzy čili kalkulu. Pojem definičního oboru a oboru hodnot byl už také zaveden; připomeňme označení Domf a Imf. (Je mj. zřejmé, že Domf = právě tehdy, když Imf = ; v takovém případě říkáme, že f je prázdná funkce.) Obrazu f(x) říkáme obvykle funkční hodnota v x. Stejně tak už máme definovány a do kalkulu přenášíme pojmy injekce, surjekce, bijekce a inverzní funkce (zobrazení). Tedy zopakujme: je-li funkce f injekcí, máme definovánu inverzní funkci f. Vidíme pak, že Dom(f) = Im(f ), Dom(f ) = Im(f). Poznámka 8.. Funkci zadáme tak, že stanovíme definiční obor a zadáme funkční předpis (v praxi se totiž zabýváme právě funkcemi zadanými nějakým (relativně) jednoduchým předpisem; není ale od věci si uvědomit, že drtivá většina funkcí by se jednoduchým předpisem popsat nedala). Funkčním předpisem se rozumí obvykle buď jeden nebo více explicitních vzorců nebo výčet (tabulka), případně i kombinace obojího. Není-li stanoven definiční obor, rozumí se jím všechny body z R, pro něž mají explicitní vzorce smysl. Pokud definiční obor funkce f není prázdná množina, můžeme získat novou funkci tak, že funkční předpis ponecháme, avšak za definiční obor vezmeme nějakou vlastní podmnožinu U množiny Domf. Vzniklou funkci nazýváme restrikce funkce f a značíme f U. Naopak, pokud je funkce f restrikcí nějaké funkce g (tzn. definiční obor funkce f není R), nazýváme g extenze funkce f. Z dané funkce f získáme tedy g vhodným dodefinováním (tím bývá i rozšíření funkčního předpisu), které obvykle má nějaké námi stanovené vlastnosti. Poznámka 8.. Vezměme nyní funkce f, g : R R. Předpis h(x) = g(f(x)) nyní definuje novou funkci h: R R. Je-li Imf Domg =, je h prázdná funkce. Definice 8.3. Funkci f : R R nazveme sudá, pokud splňuje x Domf x Domf a platí f( x) = f(x). Nazveme ji lichá, pokud splňuje x Domf x Domf a platí f( x) = f(x). Definice 8.4. Funkci f : R R nazveme periodická, jestliže (i) existuje nenulové reálné číslo p takové, že x Domf x + p Domf a platí f(x + p) = f(x) (ii) mezi všemi kladnými čísly p, které splňují (i), existuje nejmenší. Zmíněné nejmenší kladné p pak nazýváme perioda funkce f. ÚM FSI VUT v Brně 35

38 8. Pojem funkce Studijní text Definice 8.5. Funkce f se nazývá zdola omezená na množině U Domf, jestliže existuje číslo a R takové, že pro všechna x U je f(x) a. Funkce f se nazývá shora omezená na množině U Domf, jestliže existuje číslo a R takové, že pro všechna x U je f(x) a. Funkce f se nazývá omezená na množině U Domf, je-li na U současně zdola omezená a shora omezená. Definice 8.6. Funkce f se nazývá rostoucí na množině U Domf, jestliže pro každé dva prvky x, x platí x < x f(x ) < f(x ). Funkce f se nazývá klesající na množině U Domf, jestliže pro každé dva prvky x, x platí x < x f(x ) > f(x ). Funkce f se nazývá nerostoucí na množině U Domf, jestliže pro každé dva prvky x, x platí x < x f(x ) f(x ). Funkce f se nazývá neklesající na množině U Domf, jestliže pro každé dva prvky x, x platí x < x f(x ) f(x ). Funkce f se nazývá konstantní na množině U Domf, jestliže pro každé dva prvky x, x platí x < x f(x ) = f(x ). Má-li f na množině U libovolnou z uvedených vlastností, říkáme, že je na U monotónní. Je-li f na množině U rostoucí nebo klesající, říkáme, že je na U ryze monotónní. Uveďme nyní dva příklady funkcí, které nejsou až tak běžné. Příklad 8.7. Dirichletova funkce χ je definována { pro x racionální χ(x) = 0 pro x iracionální Snadno ověříme, že Domχ = R, Imχ = {0, }, funkce je omezená na R, sudá a není periodická. Příklad 8.8. Riemannova funkce ρ je definována { q pro x racionální vyjádřené ve tvaru p q, kde p, q jsou nesoudělná, q > 0 ρ(x) = 0 pro x iracionální. ÚM FSI VUT v Brně 36

39 9. Základní elementární funkce Studijní text 9. Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) exponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cyklometrické; d) hyperbolické a hyperbolometrické. A. Exponenciální a logaritmické funkce Definice 9.. Exponenciální funkce je funkce f(x) = a x, a R, a > 0, x R. Podívejme se, jak se jednotlivé fukce liší v závislosti na exponentu x: a) x = n, kde n N: a n = } a a {{... a }. n krát b) x = 0: a 0 =. c) x = n, kde n Z: a n = a n. d) x = p q, kde p q Q: a p q = q x p. e) x R \ Q: Zde je problém. Jak definovat například a π, a,...? Pro libovolné x R existuje posloupnost {x n } racionálních čísel taková, že x n x. Pak existuje lim n axn = α, α > 0, která nezávisí na volbě posloupnosti {x n }. Potom definujeme a x = α. f) Jen pro úplnost doplňme přehled o případ, kdy a =. Potom a x = pro x R. y 4 3 f(x) =a x ;a> 0 x f(x) =a x ;0< a< Obr. 9.: Exponenciální funkce f(x) = a x ÚM FSI VUT v Brně 37

40 9. Základní elementární funkce Studijní text Věta 9.. (Vlastnosti exponenciální funkce) Nechť a R, a > 0, a. Potom má exponenciální funkce f(x) = a x tyto vlastnosti: ) Pro x, y R platí: a x a y = a x+y, a x a y = a x y, (a x ) y = a xy. ) D(f) = R, H(f) = (0, ) (viz Obrázek 9.). 3) f je rostoucí pro a >, klesající pro 0 < a < (viz Obrázek 9.). Poznámka 9.3. Speciálním případem je přirozená exponenciální funkce f(x) = e x. Užívá se i značení f(x) =exp(x). Definice 9.4. Nechť a R, a > 0, a. Inverzní funkce k f(x) = a x se nazývá logaritmická funkce o základu a. Značí se f(x) = log a x. Poznámka 9.5. Následující rovnosti jsou tedy ekvivalentní: y = a x x = log a y. y f(x) = log a x;a> 0 x f(x) = log a x;0< a< Obr. 9.: Logaritmická funkce f(x) = log a x Věta 9.6. (Vlastnosti logaritmické funkce) Nechť a R, a > 0, a. Potom má logaritmická funkce f(x) = log a x tyto vlastnosti: ) log a (xy) = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a x y = y log a x, log b x = log a x log a b. b) D(f) = (0, ), H(f) = R (viz Obrázek 9.). c) f je rostoucí pro a >, klesající pro 0 < a < (viz Obrázek 9.). ÚM FSI VUT v Brně 38

41 9. Základní elementární funkce Studijní text Poznámka 9.7. Speciální případy:. a = e, značíme log e x = ln x... přirozená logaritmická funkce. a = 0, značíme log 0 x = log x... dekadická logaritmická funkce Věta 9.8. Pro libovolné a R, a > 0, x R platí a x = e xln a. Důkaz. e xln a = ( e ln a) x = a x. B. Obecné mocninné funkce Definice 9.9. Nechť a R. Funkce f(x) = x a definovaná vztahem x a = e aln x se nazývá obecná mocninná funkce. Podle toho, jak je zvolena hodnota a, se liší definiční obor této funkce a lze jej někdy rozšířit i mimo kladná čísla. Na Obrázku 9.3 jsou uvedeny grafy některých mocninných funkcí. y 3 a> a = 0< a< a = 0 a< x Obr. 9.3: Obecná mocninná funkce f(x) = x a Věta 9.0. (Vlastnosti obecných mocninných funkcí) Nechť a R. Potom má obecná mocninná funkce f(x) = x a tyto vlastnosti: ) (xy) a = x a y a, ( ) a x y = x a y, a b) D(f) = H(f) = (0, ) (viz Obrázek 9.3). c) f je rostoucí pro a > 0, klesající pro a < 0 (viz Obrázek 9.3). d) V některých speciálních případech má funkce definiční obor širší než (0, ). Např. f(x) = x 3 má D(f) = R. ÚM FSI VUT v Brně 39

42 9. Základní elementární funkce Studijní text C. Goniometrické funkce a cyklometrické funkce Definice 9.. Goniometrické funkce úhlu x v intervalu 0, π definujeme pomocí jednotkové kružnice (viz Obrázek 9.4) takto: Značí-li B bod na jednotkové kružnici, který obdržíme tak, že na tuto kružnici naneseme od bodu A[, 0] oblouk délky x v kladném směru (tj. proti směru oběhu hodinových ručiček) pro x 0, resp. v záporném směru (tj. po směru oběhu hodinových ručiček) pro x 0, tak první souřadnici bodu B prohlásíme za cos x a druhou souřadnici za sin x. Tedy B[cos x, sin x]. Obr. 9.4: Jednotková kružnice Z Obrázku 9.4 lze vyčíst i hodnoty dalších goniometrických funkcí úhlu x, tj. tg x a cotg x, které je také možno vyjádřit vztahy: tg x = sin x cos x, cos x cotg x = sin x. y y x x Obr. 9.5: f(x) = sin x Obr. 9.6: f(x) = cos x Poznámka 9.. Úhel x může být zadán ve stupňové nebo v obloukové míře. Připomeňme si vzájemnou vazbu: 80 o = π, o = π 80,... Tedy hovoříme-li o oblouku délky x, například pro x = 30 o = π 6, nanášíme na jednotkovou kružnici od bodu A[, 0] délku π. 6 = 0,53 v záporném směru a získáme tak bod B [ [ 3 ] cos ( π 6 ), sin( π 6 )] =,. ÚM FSI VUT v Brně 40

43 9. Základní elementární funkce Studijní text y x y x Obr. 9.7: f(x) = tg x Obr. 9.8: f(x) = cotg x Věta 9.3. (Vlastnosti goniometrických funkcí) ) sin x + cos x =, připomeňme, že platí: sin x = (sin x), tg x cotg x =, sin x = sin x cos x, cos x = cos x sin x. b) D(sin x) = D(cos x) = R, H(sin x) = H(cos x) =, (viz Obrázky 9.5 a 9.6). c) D(tg x) = R { π + kπ, k Z}, D(cotg x) = R {kπ, k Z}, H(tg x) = H(cotg x) = R (viz Obrázky 9.7 a 9.8). Definice 9.4. Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Ve všech případech musíme zúžit definiční obor původní goniometrické funkce na interval, ve kterém je prostá: sin x je prostá na π, π, inverzní funkci značíme arcsin x, cos x je prostá na 0, π, inverzní funkci značíme arccos x, tg x je prostá na ( π, ) π, inverzní funkci značíme arctg x, cotg x je prostá na (0, π), inverzní funkci značíme arccotg x. Poznámka 9.5. Pro x π, π jsou rovnosti y = arcsin x a x = sin y ekvivalentní. Pro další goniometrické a cyklometrické funkce platí analogické vztahy. Věta 9.6. (Vlastnosti cyklometrických funkcí) a) Pro x, platí arcsin x + arccos x = π, pro x R platí arctg x + arccotg x = π. b) D(arcsin x) = D(arccos x) =,, H(sin x) = π, π, H(arccos x) = 0, π (viz Obrázky 9.9 a 9.0), D(arctg x) = D(arccotg x) = R, H(arctg x) = ( π, π ), H(arccotg x) = (0, π) (viz Obrázky 9. a 9.). ÚM FSI VUT v Brně 4

44 9. Základní elementární funkce Studijní text y y 3 0 x 0 3 x Obr. 9.9: f(x) = arcsin x Obr. 9.0: f(x) = arccos x y 4 3 y x x 3 4 Obr. 9.: f(x) = arctg x Obr. 9.: f(x) = arccotg x ÚM FSI VUT v Brně 4

45 0. Polynomy a racionální lomenné funkce Studijní text 0. Polynomy a racionálně lomenné funkce A. Polynomy Definice 0.. Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n x n + + a 0, kde a,..., a n R, a n 0, která každému komplexnímu číslu x přiřazuje komplexní číslo p(x). a 0,..., a n se nazývají koeficienty. a 0 je absolutní člen. x je proměnná. n je stupeň polynomu. Polynom, který má za koeficienty a 0,..., a n komplexní čísla, se nazývá komplexní polynom. Připouštíme-li hodnoty za proměnnou x z reálného oboru (tj. x R), mluvíme o reálném (případně komplexním) polynomu v reálném oboru. Připouštíme-li hodnoty za proměnnou x z komplexního oboru (tj. x C), mluvíme o reálném (případně komplexním) polynomu v komplexním oboru. Definice 0.. Každé číslo α (reálné i komplexní, podle oboru v jakém pracujeme) takové, že splňuje p(α) = 0 se nazývá kořen polynomu p(x). Poznámka 0.3. Každý kořen je tedy řešením rovnice které říkáme algebraická rovnice n-tého stupně. a n x n + a n x n + + a 0 = 0, Příklad 0.4. Výraz p(x) = x +3x 5 je reálný polynom. stupně. Rovnice x +3x 5 = 0 je algebraická rovnice. stupně (kvadratická rovnice). Poznámka 0.5. Je tedy jasné, že graf funkce p(x) protíná osu x v bodech, které jsou reálnými kořeny polynomu p(x). Toho se dá s výhodou využít například při řešení kvadratických nerovnic grafickou cestou. Příklad 0.6. Určete kořeny polynomu p(x) v komplexním oboru: a) p(x) = x + x ; b) p(x) = x 4 ; c) p(x) = x 3 +. Řešení. a) Polynom si zapíšeme ve tvaru algebraické rovnice, tj. x + x = 0, což je obyčejná kvadratická rovnice, kterou vyřešíme. Nalezneme dva reálné (což znamená, že jsou zároveň i komplexní) kořeny α = a α =. b) Řešíme algebraickou rovnici x 4 = 0. Tu upravíme na tvar (x + )(x ) = 0. Odtud již snadno získáme kořeny α =, α =, α 3 = ı, α 4 = ı. ( c) p(x) = x 3 + = (x + )(x x + ) = (x + ) x ı 3 ) ( x + ı 3 ). ÚM FSI VUT v Brně 43

46 0. Polynomy a racionální lomenné funkce Studijní text Otázkou tedy je, zda existuje nějaký univerzální algoritmus na hledání kořenů polynomu? Již v 6. století byly známy vzorce pro polynom stupně,, 3 a 4. Dlouhou dobu se potom matematikové snažili nalézt podobné vzorce pro kořeny polynomů stupně 5. Teprve v polovině 9. století bylo dokázáno, že takové vzorce pro polynomy většího nebo rovného pěti neexistují. Při odhadování racionálních a celočíselných kořenů u polynomů s celočíselnými koeficienty a nenulovým absolutním členem nám výrazně pomůže následující věta. Upozorněme však na podstatný detail. Tvrzení věty nám dává pouze nutnou, nikoli však postačující podmínku pro to, aby číslo r s bylo kořenem polynomu. Věta 0.7. Nechť číslo r s, kde r Z a s N je kořenem polynomu f(x) = a nx n + + a x + a 0, kde a 0,..., a n Z a a 0 0. Pak platí r a 0 s a n. Poznámka 0.8. Pro ověřování, zda je číslo kořenem polynomu se s výhodou používá Hornerovo schema. Pomocí něj se také snadno zjišťuje násobnost kořene. Příklad 0.9. Nalezněte všechny racionální a celočíslené kořeny polynomu g(x) = 4x 3 8x x 3. Řešení. Podle Věty 0.7 si vytipujeme čísla r a s takto: Dále si vypíšeme všechny možné hodnoty r s. r 3 = r =,, 3, 3; s 4 = s =,, 4. r s :,,,, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3 4, 3 4. Ověření, zda se jedná o kořeny polynomu g(x) provedeme Hornerovým schematem, podle něhož zjistíme, že je dvojnásobným kořenem a 3 je kořenem jednoduchým. Věta 0.0. Nechť r s, kde r Z a s N je kořenem polynomu f(x) = a nx n + + a x + a 0, kde a 0,..., a n Z a a 0 0. Potom pro libovolné celé číslo m platí: (r ms) f(m). Speciálně tedy: (r s) f(), resp. (r + s) f( ). Příklad 0.. Rozhodněte, které vytipované kořeny polynomu g(x) = 4x 3 8x x 3 z předchozího příkladu nemá smysl vyšetřovat Hornerovým schématem. Řešení. Určíme funkční hodotu g() = = 8 a g( ) = = 4. Podíváme se na vytipované hodnoty r s : r s :,,,, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3 4, 3 4 r + s : g( ) = 4 r s g() = 8 Z této tabulky je zřejmé, že Hornerovým schématem není nutno vyšetřovat tyto hodnoty,, 4, 4, 3, 3 4,, 3, 3, 3 4. r s : Je tedy vidět, že počet potenciálních kořenů se nám výrazně zredukoval a k ověření Hornerovým schématem zůstavají pouze tito adepti:, 3. Věta 0.. (Bézoutova věta) Nechť p(x) = a n x n + a n x n + + a 0 je libovolný polynom stupně n. Potom číslo α je kořenem p(x) p(x) = (x α)q(x), kde q(x) je polynom stupně n. ÚM FSI VUT v Brně 44

47 0. Polynomy a racionální lomenné funkce Studijní text Následující věta měla pro celou algebru opravdu základní význam v dobách, kdy se algebra zabývala studiem číselných struktur. Platnost této věty tušili již italští matematikové v 6. století, ale první její správný a úplný důkaz nalezl teprve K. F. Gauss v roce 799. Věta 0.3. (Základní věta algebry) Každý nekonstantní komplexní polynom má v komplexním oboru alespoň jeden kořen. Věta 0.4. (D Alembertova věta o rozkladu na kořenové činitele v oboru komplexních čísel) Pro každý polynom p(x) = a n x n + a n x n + + a 0 stupně n existuje právě n komplexních čísel α, α,..., α n (která od sebe nemusejí být různá) takových, že p(x) = a n (x α )(x α ) (x α n ). (0.) Uvědomme si jen, že všechna čísla α,..., α n jsou kořeny polynomu p(x). Poznámka 0.5. Pokud v rozkladu (0.) vystupuje stejný činitel (x α i ) právě k-krát, řekneme, že α i je k-násobným kořenem polynomu p(x). Příklad 0.6. Určete kořeny (i jejich násobnost) polynomů v komplexním oboru: a) p(x) = x x + ; b) p(x) = x 4 + x 3 ; c) p(x) = x +. Řešení. a) p(x) = x x + = (x ), tedy je dvojnásobným kořenem. b) p(x) = x 4 + x 3 = x 3 (x ), tedy 0 je trojnásobným kořenem a jednoduchým kořenem. c) p(x) = x + = (x + ı)(x ı), tedy jednoduchými kořeny jsou čísla ı a ı. Věta 0.7. Má-li reálný polynom p(x) komplexní kořen α = a + bı, pak má i komplexně sdružený kořen α = a bı. Násobnosti obou kořenů jsou stejné. Příklad 0.8. Určete rozklad reálného polynomu p(x) = x + x + v komplexním oboru. Řešení. Přepíšeme polynom p(x) = x + x + jako algebraickou rovnici x + x + = 0. Ta má diskriminant D = 3, a proto jsou jejím řešením dva kořeny x = +ı 3 a x = ı 3 ( ) ( ). Rozklad polynomu vypadá následovně: p(x) = x + x + = x +ı 3 x ı 3. Příklad 0.9. Určete polynom nejnižšího stupně tak, aby α = 0 byl jednoduchý kořen, α = byl dvojnásobný kořen, α 3 = ı a α 4 = ı. Řešení. p(x) = ( x 0 )( x ( ) ) ( x ı )( x ( ı) ) = x(x + ) (x ı)(x + ı) = x 5 + x 4 + x 3 + x + x. Poznámka 0.0. Pokud máme určit rozklad reálného polynomu pouze reálném oboru, tak kvadratické trojčleny x + px + q se záporným diskriminantem nerozkládáme. ÚM FSI VUT v Brně 45

48 0. Polynomy a racionální lomenné funkce Studijní text Věta 0.. (O rozkladu reálného polynomu v reálném oboru) Nechť p(x) = a n x n + a n x n a 0 je reálný polynom stupně n. Nechť α,..., α r jsou všechny jeho reálné kořeny, každý s násobností k i, i =,..., r. Pak rozkladem reálného polynomu v reálném oboru rozumíme vztah p(x) = a n (x α ) k (x α r ) kr (x + p x + q ) l (x + p s x + q s ) ls, (0.) kde x + p j x + q j, j =,..., s jsou nerozložitelné kvadratické trojčleny se záporným diskriminantem, které odpovídají komplexním kořenům. Platí k + + k r + l + + l s = n. Příklad 0.. Rozložte polynomy v reálném oboru: a) a(x) = x 4 ; b) b(x) = 6x 4 9; c) c(x) = x + x + 5; d) d(x) = x 3 + ; e) e(x) = x 4 + ; f) f(x) = x 5 + x 4 + x 3 x x. Řešení. a) a(x) = x 4 = (x + )(x ) = (x + )(x + )(x ). b) b(x) = 6x 4 9 = 6 ( x 4 9 6) = 6 ( x + 3 4) ( x 3 4) = 6 ( x + 3 4) ( x + 3 ) ( x 3 c) c(x) = x + x + 5 nelze v reálném oboru rozložit, protože příslušná kvadratická rovnice má D < 0. d) d(x) = x 3 + = (x + )(x x + ). e) e(x) = x 4 + = x x x = (x + ) x = (x + x )(x + + x ). f) f(x) = x 5 + x 4 + x 3 x x = x (x 3 ) + x(x 3 ) + x 3 = (x 3 )(x + x + ) = = (x )(x + x + )(x + x + ) = (x )(x + x + ). ). B. Funkce reálná racionální lomená Definice 0.3. funkce Nechť p(x) je reálný polynom stupně m a q(x) nenulový reálný polynom stupně n. Pak se nazývá reálná racionální lomená funkce. r(x) = p(x) q(x) Je-li m < n, pak mluvíme o ryze racionální lomené funkci. Je-li m n, pak mluvíme o neryze racionální lomenéfunkci. Příklad 0.4. a) x + x 3 x b) x4 +x x x je ryze racionální lomená funkce (krátce: ryze lomená). je neryze racionální lomená funkce (krátce: neryze lomená). Poznámka 0.5. Každá neryze racionální lomená funkce se dá zapsat jako součet polynomu a ryze racionální lomené funkce ve tvaru r(x) = p(x) s(x) = h(x) + q(x) t(x). Příklad 0.6. Vyjádřete racionální funkce jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce: a) r(x) = 4x +0x x 3x+6 ; b) r(x) = x5 x 4 +3x x+ x x+4. ÚM FSI VUT v Brně 46

49 0. Polynomy a racionální lomenné funkce Studijní text Řešení. Polynomy vydělíme tak, jak jsme zvyklí ze střední školy a výsledek dělení zapíšeme ve tvaru: a) r(x) = x x 3x+6 ; b) r(x) = x 3 + 3x x 3 + 9x+53 x x+4. Definice 0.7. Zlomky tvaru A (x α) k a Mx + N (x + px + q) l, kde p 4q < 0 nazýváme parciální zlomky. Věta 0.8. (Rozklad ryze racionální lomené funkce na parciální zlomky) Každou ryze racionální lomenou funkci r(x) = p(x) q(x) lze rozložit na součet parciálních zlomků.. Jmenovatel q(x) rozložíme v reálném oboru: q(x) = a n (x α ) k (x α r ) kr (x + p x + q ) l (x + p s x + q s ) ls.. Pak každému faktoru (x α i ) ki, i =,..., r odpovídá skupina k i zlomků ve tvaru A (x α i ) + A (x α i ) + + A ki (x α i ) ki a faktoru (x + p j x + q j ) lj, j =,..., s odpovídá skupina zlomků ve tvaru M x + N M x + N x + + p j x + q j (x + p j x + q j ) + + M l j x + N lj (x + p j x + q j ). lj 3. Funkci r(x) zapíšeme pomocí součtu odpovídajících skupin zlomků, kterému se říká rozklad na parciální zlomky. Na příkladu si ukážeme, jakým způsobem vypočítáme příslušné konstanty A k, M l a N l. Příklad 0.9. Rozložte na parciální zlomky funkci r(x) = x x 4 x 3 +x. Řešení. Funkce r(x) je ryze lomená racionální funkce.. Rozložíme jmenovatel v reálném oboru, tj. q(x) = x 4 x 3 + x = x (x x + ), kde kvadratický výraz x x + má záporný diskriminant.. Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar: x x 4 x 3 + x = A x + A x + M x + N x x +. (0.3) 3. Určíme konstanty A, A, M, N. Vynásobíme rovnici (0.3) společným jmenovatelem x (x x + ). Dostaneme x = A x(x x + ) + A (x x + ) + (M x + N )x. (0.4) Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné x na levé a pravé straně rovnice (0.4) dostáváme tuto soustavu rovnic: A + M = 0 A + A + N = A A = 0 A =, ze které je přímo vidět, že A =, A =, M =, N = 0. Tedy rozklad na parciální zlomky má tvar x x 4 x 3 + x = x + x + x x x +. Příklad Rozložte na parciální zlomky funkci r(x) = x3 4x +x x 4 x 3 +x x+. ÚM FSI VUT v Brně 47

50 0. Polynomy a racionální lomenné funkce Studijní text Řešení. r(x) = x x + (x ). Příklad 0.3. Rozložte na parciální zlomky funkci r(x) = x4 x 3 +3x x+ x 5 +x 3 +x. Řešení. r(x) = x (x +) x + + x. ÚM FSI VUT v Brně 48

51 . Limita a spojitost funkce Studijní text. Limita a spojitost funkce A. Limita Podobně jako tomu bylo u posloupností, kde nás zajímalo chování posloupnosti {a n } pro n, zaměříme svou pozornost na chování funkcí v okolí bodů, které jsou z nějakého důvodu zajímavé. Mohou to být body, ve kterých funkce není definovaná, nebo se v nich funkce chová zvláštně a podobně. U posloupností bylo jasně dáno, že nás zajímá lim a n, u limit funkcí to může být mnohem zajímavější. n Podívejme se na následující obrázky: Obr..: Posloupnost { } n Obr..: Funkce y = x Než přejdeme k samotné definici limity funkce je třeba uvést následující pojmy. Definice.. Okolí bodu x 0, kde δ > 0, je interval (x 0 δ, x 0 + δ) = O(x 0 ), viz Obr..3. Ryzí okolí bodu x 0, je množina O(x 0 ) {x 0 }, viz Obr..4. Obr..3: Okolí bodu x 0 Obr..4: Ryzí okolí bodu x 0 Definice.. Pravé (resp. levé) okolí bodu x 0 je interval x 0, x 0 + δ), resp. (x 0 δ, x 0, viz Obr..5 a.6. Pravé (resp. levé) ryzí okolí bodu x 0, je interval (x 0, x 0 + δ), resp. (x 0 δ, x 0 ), viz Obr..7 a.8. Obr..5: Pravé okolí bodu x 0 Obr..6: Levé okolí bodu x 0 Definice.3. Okolí bodu (resp. ), je každý interval (K, ) (resp. (, L)), kde K, L R. Viz Obrázek.9. ÚM FSI VUT v Brně 49

52 . Limita a spojitost funkce Studijní text Obr..7: Pravé ryzí okolí bodu x 0 Obr..8: Levé ryzí okolí bodu x 0 Obr..9: Okolí Podobně jako u posloupností lze očekávat, že limita funkce f(x) bude buď reálné číslo, nebo ±, nebo vůbec neexistuje. Abychom definici limity funkce mohli uvést co nejobecněji, rozšiřme reálná čísla o + a. Zavedeme označení R + = R {, + }. Definice.4. Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x 0 R + limitu a R + právě když platí O(a) O(x 0 ) : x O(x 0 ) {x 0 } platí f(x) O(a). Tento matematický zápis čteme takto: Pro každé okolí bodu a existuje okolí bodu x 0 takové, že pro všechna x z ryzího okolí bodu x 0 platí, že funkční hodnota v bodě x leží v okolí bodu a. Označení: lim x x 0 f(x) = a. Poznámka.5. Je nesmírně důležité si uvědomit podstatný detail této definice. K tomu, aby měla funkce f(x) v bodě x 0 limitu není nutné mít funkci v tomto bodě definovánu. Uvědomme si, že podstatné je, že pouze funkční hodnoty z ryzího okolí bodu x 0 musí padnout do okolí čísla a, které je limitou. Uveďme si názorný příklad, jak to tedy je s tím ryzím okolím. Příklad.6. Odhadněte limitu následujících funkcí v bodě x 0 = 0: a) f(x) = { x 3 + ; x b) g(x) = 3 +, pro x 0,, pro x = 0. Řešení. Namalujme si grafy těchto funkcí: y 3 y 3 Obr..0: f(x) = x 3 + Obr..: g(x) = x 3 + pro x 0 Odpověď na otázku, 0 jaká je tedy limita x těchto funkcí v bodě 0 mnohé jistě 0 překvapí, ale jde x jen o to, ujasnit si definici limity a pojem ryzí okolí bodu. ÚM FSI VUT v Brně 50

53 . Limita a spojitost funkce Studijní text Tedy lim x 0 f(x) = i lim x 0 g(x) =. Poznámka.7. Chceme-li nadefinovat pojem limita v bodě x 0 zprava, resp. zleva, tak v definici stačí nahradit ryzí okolí O(x 0 ) {x 0 } ryzím pravým okolím (x 0, x 0 + δ), resp. levým okolím (x 0 δ, x 0 ). Označení: f(x), resp f(x). lim x x + 0 lim x x 0 Věta.8. Funkce f(x) má v bodě x 0 R limitu a R + právě když lim f(x) = lim f(x) = a. x x + 0 x x 0 Věta.9. Libovolná funkce má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu. Věta.0.. Nechť lim x x 0 f(x) = 0 a g(x)je ohraničená na nějakém ryzím okolí bodu x 0. Pak lim x x 0 ( f(x) g(x) ) = 0.. Nechť x 0 R. Pak lim f(x) = a, kde a R lim x x 0 x x Nechť lim f(x) = lim x x 0 x x f(x) = 0. 0 f(x) = lim f(x) = a. x x 0 4. Nechť lim f(x) = 0 a zároveň f(x) 0 pro x O(x 0 ) {x 0 } lim x x 0 x x f(x) =. 0 Poznámka.. Zapamatujte si tyto důležité limity: sin x e x lim =, lim =. x 0 x x 0 x B. Spojitost Definice.. Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě x 0 R právě když lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Příklad.3. Podívejme se, jak to vypadá se spojitostí funkcí z Příkladu.6. Už z obzázku je patrné, že funkce f(x) je v bodě x 0 = 0 spojitá a funkce g(x) je v bodě 0 nespojitá (tj. funkční hodnota g(0) lim x 0 g(x)). Věta.4. (. Weierstrassova) Nechť f(x) je spojitá na a, b f(x) je na a, b ohraničená. Věta.5. (. Weierstrassova) Nechť f(x) je spojitá na a, b f(x) nabývá na a, b své největší a nejmenší hodnoty. ÚM FSI VUT v Brně 5

54 . Limita a spojitost funkce Studijní text Věta.6. f(c) = 0. (Bolzanova) Nechť f(x) je spojitá na a, b a f(a) f(b) < 0 c (a, b) takové, že Poznámka.7. Praktickou ukázkou užitečnosti Bolzanovy věty je odhadování řešení rovnice metodou půlení intervalů. Příklad.8. Metodou půlení intervalů určete přibližné řešení rovnice x 3 +5x x+3 = 0 s přesností 0, 07. Řešení. Odhadneme interval, ve kterém by kořen polynomu f(x) = x 3 + 5x x + 3 měl ležet: f( 5) = 8 a f( 6) = 7. Tedy podle Bolzanovy věty interval ( 6, 5) obsahuje kořen. Půlíme intervaly tak dlouho, až odhadneme, že kořen leží v intervalu, který má délku menší, než požadovaná přesnost. V tomto příkladu je výsledným intervalem ( 5.5, 5.875). ÚM FSI VUT v Brně 5

55 . Derivace funkce Studijní text. Derivace funkce Dříve než přistoupíme k vlastní definici pojmu derivace, podívejme se na obrázek.. Na křivce y = f(x) je pevně zvolený bod A[x 0, f(x 0 )]. Kousek od něj si zvolme bod B[x, f(x)]. Sečna AB vyjádřená ve směrnicovém tvaru jako přímka y = k s x + q má směrnici k s = tg α = f(x) f(x0) x x 0. Limitním přechodem (tj. bod B f(x) f(x volíme nekonečně blízko bodu A) se sečna změní v tečnu, pro niž je směrnice k t = lim 0) x x x x 0. 0 Obr..: Grafické znázornění derivace Definice.. Nechť f je funkce a x 0 R. Existuje-li vlastní limita f(x) f(x 0 ) lim, x x 0 x x 0 nazýváme tuto limitu derivací funkce v bodě x 0 a značíme ji f (x 0 ). V ostatních případech, tj. limita je rovna ±, nebo neexistuje, řekneme, že funkce f derivaci v bodě x 0 nemá. Z matematického hlediska pod pojmem derivace funkce v bodě tedy vidíme směrnici tečny ke grafu funkce f(x). Z fyzikálního hlediska jde o změnu sledované veličiny nejčastěji v čase. Proto se ve fyzice k označení derivace podle času t používá značení f(t). Poznámka.. Směrnice přímky y = kx + q (tj. číslo k) je definována jako tangenta úhlu α, který tato přímka svírá s kladným směrem osy x. Hodnotu měřenou proti směru otáčení hodinových ručiček považujeme za kladnou, hodnotu měřenou po směru otáčení hodinových ručiček považujeme za zápornou. Tak například hodnoty 0 a 50 udávají směr stejné přímky. Podívejte se na příklady na Obrázku.. Obr..: Směrnice přímky ÚM FSI VUT v Brně 53

56 . Derivace funkce Studijní text Podobně, jako tomu bylo u limit, definujeme derivaci v bodě zprava a zleva. Označujeme je f (x + 0 ) a f (x 0 ). Definice.3. Nechť f(x) je funkce a M D(f) množina bodů x 0, v nichž má f(x) derivaci. Pak funkce, která každému x 0 přiřadí hodnotu derivace v bodě x 0 se nazývá derivací funkce f(x) a značí se f (x). Věta.4. Funkce f(x) má v bodě x 0 D(f) derivaci f (x 0 ) právě když má derivaci zprava i zleva a platí f (x + 0 ) = f (x 0 ). Věta.5. Má-li funkce f(x) v bodě x 0 derivaci, pak je v x 0 spojitá. Jasnou představu o důležitosti této věty si uděláme z obrázku.3. Obr..3: Existence derivace ve vztahu ke spojitosti Věta.6. Základní vzorce pro derivování. (c) = 0, c R;. (x n ) = n x n, a R, x > 0; 3. (a x ) = a x ln a, a > 0, x R; 4. (e x ) = e x ; 5. (ln x) = x, x > 0; 6. (log a x) = x ln a, x > 0, a > 0, a ; 7. (sin x) = cos x, x R; 8. (cos x) = sin x, x R; 9. (tg x) = ( ) sin x cos x = cos x, 0. (cotg x) = sin x, x 0 + kπ; x π + kπ;. (arcsin x) = x, x (, );. (arccos x) = x, x (, ); 3. (arctg x) = +x, x R; 4. (arccotg x) = +x, x R. ÚM FSI VUT v Brně 54

57 . Derivace funkce Studijní text Málokdy se stane, že derivujeme přímo základní funkci. Většinou potřebujeme zderivovat součin nebo podíl dvou funkcí, nejčastěji však složenou funkci. Uveďme základní pravidla pro derivování. Věta.7. Základní pravidla pro derivování. (c f(x)) = c f (x), c R;. (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x); 3. (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x), (derivace součinu); 4. ( f(x) g(x) ) = f (x) g(x) f(x) g (x) (g(x)), (derivace podílu); 5. (f[ϕ(x)]) = f [ϕ(x)] ϕ (x), (derivace složené funkce); 6. ( f(x) g(x)) = ( e g(x) ln f(x) ). Poznámka.8. Platí: sin x = (sin x) ; cos x = cos(x ); x = x ; x = x. Definice.9. Provedeme-li n-krát derivaci funkce f(x) (tedy pokaždé znovu zderivujeme získanou derivaci), dostaneme derivaci n-tého řádu. Označení: f (n) ; derivace nižších řádů značíme f (x), f (x), f (x). Celou dobu máme na paměti, derivace v bodě se týká směrnice tečny ke grafu funkce v tomto bodě. Uveďme tedy jeden z možných způsobů vyjádření tečny a normály ke grafu funkce f(x). Poznámka.0. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě T [x 0, y 0 ]: t : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). Rovnice normály ke grafu funkce y = f(x) v bodě T [x 0, y 0 ]: n : y y 0 = f (x 0) (x x 0). ÚM FSI VUT v Brně 55

58 3. L Hospitalovo pravidlo Studijní text 3. L Hospitalovo pravidlo Markýz de l Hospital (též l Hôpital), celým jménem Guillaume Francois Antoine žil v letech Zabýval se matematickou analýzou a geometrií. V roce 696 publikoval učebnici diferenciálního počtu Analýza nekonečně malých veličin. Ve zmíněné knize je poprvé uveřejněno tvrzení, které je v současné době známé jako l Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit. Je paradoxní, že autorem tohoto tvrzení je l Hospitalův učitel Johann Bernoulli I. Věta 3.. (l Hospitalovo pravidlo) Nechť a R {, } a nechť jsou splněny tyto podmínky: Funkce f, g jsou diferencovatelné v nějakém ryzím okolí bodu a a buď lim f(x) = lim g(x) = 0, nebo lim g(x) = +. x a x a x a Pak je f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x), existuje-li limita vpravo. Analogická tvrzení platí pro limitu zprava v bodech a < + a zleva v bodech a >. A. l Hospitalovo pravidlo pro limitu funkce typu 0 0. Základní metodický postup je následující. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, má tvar zlomku. Určíme nejprve limitu čitatele a limitu jmenovatele. Tyto limity často zjistíme pouhým dosazením. Je-li limita čitatele i jmenovatele rovna nule, lze aplikovat l Hospitalovo pravidlo. Při výpočtu je pak mnohdy nuté provést aplikaci pravidla vícekrát po sobě. Pravidlo lze rovněž použít pro výpočet jednostranných limit. Postup nyní demonstrujme na příkladech. Příklad 3.. Spočtěte následující limity: cos x a) lim x 0 x. e b) lim x e x x 0 sin x. x sin x c) lim x 0 x. 3 e d) lim x x x 0 sin 3x. Řešení. cos x a) lim x 0 x = 0 0 = lim sin x x 0 x = 0 0 = lim e b) lim x e x x 0 sin x x sin x c) lim x 0 x 3 e d) lim x x x 0 sin 3x = 0 0 = lim x 0 = 0 0 = lim e x ( )e x x 0 cos x cos x 3x = 0 0 = lim x 0 x 0 = lim = 0 0 = lim cos x =. e x sin 3x cos 3x 3 = lim x 0 e x +e x x 0 cos x = + sin x x 0 6x = 0 0 = lim x 0 (e x ) 3 sin 6x =. cos x 6 = 6. = 0 0 = lim x 0 4 e x 8 cos 6x = 4 8 = 9. B. l Hospitalovo pravidlo pro limitu funkce typu. Postup při výpočtu je analogický jako v případě limit typu 0 0. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, je ve tvaru zlomku. Určíme limitu absolutní hodnoty jmenovatele. Je-li tato limita rovna, lze aplikovat l Hospitalovo pravidlo. Při výpočtu je v řadě případů opět nuté provést aplikaci pravidla vícekrát po sobě. Zdůrazněme skutečnost, že limita čitatele ani jmenovatele nemusí sama o sobě existovat. Dále připomeňme, že výraz a = 0 pro libovolné reálné číslo a. ÚM FSI VUT v Brně 56

59 3. L Hospitalovo pravidlo Studijní text Příklad 3.3. Spočtěte následující limity: x a) lim x 3. x ln sin x b) lim x 0 + ln tg x. c) lim x 0 + d) lim x π/ ln x cotg x. cotg x tg x. Řešení. x a) lim x 3 = x = lim x x ln sin x b) lim x 0 + ln tg x = = lim x 0 + ln x c) lim x 0 + cotg x = = lim x 0 + d) lim cotg x x π/ tg x = = lim = lim x π/ 3 x ln 3 = = lim x π/ sin x =. cos x sin x tg x x sin x cos x = lim x = lim x 0 + sin x x 0 + x 3 x ln 3 = cos x sin x cos x sin x cos x ln 3 = 0. = lim x 0 + cos x =. = lim x 0 + sin x = 0. sin x cos = lim x = lim cos x x π/ sin x x π/ cos x 4 cos x sin x = C. Další typy limit. Nejprve zjistíme, jakého je limita typu. Typ určíme většinou snadno dosazením, nebo krátkým výpočtem. Potom volbou vhodné úpravy podle typu převedeme výpočet zadané limity na výpočet limity, při němž lze l Hospitalovo pravidlo použít. Na l Hospitalovo pravidlo jsou převoditelné následující typy limit: Pro typ 0 používáme nejčastěji jednu z úprav 0,, 0 0, 0,. f(x) lim f(x)g(x) = lim x a x a = lim g(x) x a, g(x) f(x) která výpočet převede na typ 0 0 nebo. Pro limitu typu lze použít úpravy lim f(x) g(x) = lim x a x a g(x) f(x) f(x)g(x) V řadě případů lze u typu postupovat jinou cestou. V případě, že funkce f(x) a g(x) mají tvar zlomků, stojí za pokus provést jejich rozdíl převedením na společného jmenovatele. V jiných případech lze realizovat vytknutí některé části a převést limitu rozdílu na limitu součinu funkcí. U limit typu 0 0, 0, lze použít následující úpravy: lim f(x)g(x) = lim e g(x) ln f(x) = e lim g(x) ln f(x) x a. x a x a. Příklad 3.4. Spočtěte následující limity: a) lim xln x = 0. x 0 + b) lim (π arctg x) ln x. x ( ln (x+) c) lim x 0 x(x+) x ). d) lim x ex x. e) lim x x. x )tg x f) lim. x 0 + ( x ( g) lim + x x)x. ÚM FSI VUT v Brně 57

60 3. L Hospitalovo pravidlo Studijní text Řešení. a) lim x 0 + xln x = 0 = lim ( x 0 x(x+) c) lim ln x x 0 + x = = lim x 0 + ln (x+) x ) = = lim x 0 x x π arctg x b) lim (π arctg x) ln x = 0 = lim x x ln x = lim xln x x x + = = lim ln x+xln x x x x = lim ln x x x = lim x x = 0. ln (x + ) x = lim x 0 x x(x + ) ln (x + ) x 3 (x + ) ln (x + ) = lim x 0 + ( x) = 0. = 0 0 = lim x x + xln x ln = lim x+ln x x x = lim (ln x x x + x ) = x(x + ) ln (x + ) x(x + ) x x = lim x(x + ) ln (x + ) x 0 x 3 + x 4 = 0 0 = lim x (x + ) ln (x + ) x 0 x + x 3 = x + ln (x + ) (x + ) = lim x 0 x 3x d) lim x ex x = = lim x ( ex x x e) lim x x = lim x x x x x = e = e 0 =. = 0 = lim x e = e lim x ( f) lim )tg x tg x ln x 0 + x = 0 = lim e x 0 + = e lim ln x x 0 + cotg x = = e 0 = e 0 =. = e lim x 0 + ( g) lim + x x)x ln ( + = = lim x ex = e lim x x ln ( + x ) lim x = e x 3 lim x = e x(x + ) = = e lim x ln (x + ) = lim x 0 x 3x ) = lim x lim ( ex x x x x ln x = 0 = e lim x x = lim = = = 0 0 = lim x + x 0 6x =. ) = lim x lim x x ex = =. ln x x = = e lim x x = e tg x ln x = e lim tg x ln x x 0 + = x 0 + x sin x = e lim sin x x 0 + x = e lim sin x sin x lim x 0 + x 0 + x = ln ( + x ) x x ) = e lim x x ln ( + x ) = = 0 0 = e lim x + x x 3 x 3x 4x + = e lim 6x x 4 = e =. lim = e x x(x+) x 3 = ÚM FSI VUT v Brně 58

61 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojmy rostoucí, klesající a konstantní používáme k popisu chování funkce na nějakém intervalu (po kterém se pohybujeme zleva doprava, jak je přirozené). Intuitivní představu těchto pojmů si každý udělá z Obrázku 4.. Obr. 4.: Rostoucí, klesající a konstantní funkce Nyní tyto pojmy definujme precizněji a definici ilustrujme na Obrázku 4.. Definice 4.. Nechť funkce y = f(x) je definovaná na nějakém intervalu I. Nechť x, x jsou hodnoty z tohoto intervalu. Potom řekneme, že a) f(x) je rostoucí na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) < f(x ). b) f(x) je klesající na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) > f(x ). c) f(x) je konstantní na intervalu I, jestliže pro libovolné x, x platí f(x ) = f(x ). Obr. 4.: Růst a klesání podle definice Poznámka 4.. Nechť funkce y = f(x) je definovaná na nějakém intervalu I. Nechť x, x jsou hodnoty z tohoto intervalu. Potom řekneme, že a) f(x) je neklesající na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) f(x ). b) f(x) je nerostoucí na intervalu I, jestliže pro každé x < x platí f(x ) f(x ). ÚM FSI VUT v Brně 59

62 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text Podívejme se na funkci rostoucí, klesající a konstantní z hlediska derivací. Konkrétně nás budou zajímat znaménka derivací v bodech funkce. Hodnota derivace funkce y = f(x) v bodě x 0 udává směrnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0. Názorně je situace uvedena na Obrázku 4.3, a proto nás nepřekvapí následující věta. Věta 4.3. Nechť y = f(x) je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b a diferencovatelná na otevřeném intervalu (a, b). a) Je-li f (x) > 0 pro všechna x (a, b), potom je f(x) rostoucí na a, b. a) Je-li f (x) < 0 pro všechna x (a, b), potom je f(x) klesající na a, b. a) Je-li f (x) = 0 pro všechna x (a, b), potom je f(x) konstantní na a, b. Obr. 4.3: Růst a klesání znaménka derivací Poznámka 4.4. Směrnice přímky y = kx + q (tj. číslo k) je definována jako tangenta úhlu α, který tato přímka svírá s kladným směrem osy x. Hodnotu měřenou proti směru otáčení hodinových ručiček považujeme za kladnou, hodnotu měřenou po směru otáčení hodinových ručiček považujeme za zápornou. Tak například hodnoty 0 o a 50 o udávají směr stejné přímky. Podívejte se na příklady na Obrázku 4.4. Obr. 4.4: Směrnice přímky Příklad 4.5. Určete intervaly, ve kterých jsou následující funkce rostoucí, a ve kterých jsou klesající. Namalujte nejprve obrázek, z něj vyčtěte řešení a výsledek potvrďte výpočtem. a) f(x) = x 4x + 3, b) f(x) = x 3. ÚM FSI VUT v Brně 60

63 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text Řešení. a) Z grafu funkce f(x) na Obrázku 4.5 vidíme, že funkce je klesající pro x a rostoucí pro x. Pro určení řešení výpočtem potřebujeme derivaci funkce f(x), tj. f (x) = x 4 = (x ). Odtud vyplývá, že f (x) < 0 pro < x <, a proto podle Věty 4.3 je funkce klesající na (,. f (x) > 0 pro < x <, a proto je funkce rostoucí na, ). b) Z grafu funkce f(x) na Obrázku 4.3 vidíme, že funkce je rostoucí pro všechna x (, ). Spočtěme derivaci funkce f(x), tj. f (x) = 3x. Odtud vyplývá, že f (x) > 0 pro < x < 0, f (x) > 0 pro 0 < x <, a proto je funkce rostoucí na (, ). y x Obr. 4.5: f(x) = x 4x + 3 y 4 0 x Obr. 4.6: f(x) = x 3 Příklad 4.6. a) Za pomoci grafu (viz Obrázek 4.6) funkce f(x) = 3x 4 + 4x 3 x + odhadněte, ve kterých intervalech je funkce rostoucí a kdy klesající. b) Užitím Věty 4.3 potvrďte váš odhad. Řešení. a) Z grafu funkce f(x) na Obrázku 4.6 vidíme, že funkce je klesající pro x, rostoucí pro x 0, klesající pro 0 x a rostoucí pro x. y x Obr. 4.7: f(x) = 3x 4 + 4x 3 x + ÚM FSI VUT v Brně 6

64 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text b) Derivací funkčního předpisu dostáváme f (x) = x 3 + x 4x = x(x + x ) = x(x + )(x ). Analyzujme nyní znaménka jednotlivých členů (tj. jednotlivých závorek ) a odtud odvoďme znaménko pro f (x). interval (x)(x + )(x ) znaménko f (x) závěr x < ( )( )( ) f(x) je na (, klesající < x < 0 ( )(+)( ) + f(x) je na, 0 rostoucí 0 < x < (+)(+)( ) f(x) je na 0, klesající x > (+)(+)(+) + f(x) je na, ) rostoucí B. Lokální extrémy funkce Definice 4.7. Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R lokální maximum (resp. lokální minimum) právě když existuje ryzí okolí O(x 0 ) {x 0 } takové, že O(x 0 ) {x 0 } D(f) a zároveň pro x O(x 0 ) {x 0 } platí f(x) f(x 0 ), resp. f(x) f(x 0 ). Analogicky definujeme ostré lokální maximum, pro které platí f(x) < f(x 0 ) a ostré lokální minimum, pro které platí f(x) > f(x 0 ). Definice 4.8. Nechť funkce f má v bodě x 0 R derivaci f (x 0 ). Body, pro které platí f (x 0 ) = 0 nazveme stacionární body. Jinými slovy můžeme říci, že stacionární body jsou body, podezřelé z etrému. Lokální extrém v nich nasat může, ale také nemusí. Bylo by jistě nepraktické, kdybychom lokální extrémy vyšetřovali pomocí funkčních hodnot v jejich ryzím okolí. Přesto je to možné, pokud si uvědomíme vazbu na růst a klesání funkce a tím pádem i na znaménko první derivace (tj. sgnf (x)). Velký pozor si ovšem musíme dát na body, ve kterých první derivace neexistuje. I to jsou potenciální adepti na extrém. C. Konvexní a konkávní funkce Znaménko derivace funkce f(x) nám prozradí, kde je graf funkce rostoucí a kde klesající. Ovšem nic nám neřekne o způsobu zakřivení. Podívejme se například na Obrázek 4.8. Graf je rostoucí vlevo i vpravo od vyznačeného bodu. Ovšem vlevo leží nad tečnou a vpravo pod tečnou sestrojenou v tomto bodě. Obr. 4.8: Konvexní nad tečnou, konkávní pod tečnou Definice 4.9. Leží-li graf funkce f(x) na nějakém okolí bodu B nad tečnou sestrojenou v tomto bodě, řekneme, že f(x) je konvexní v bodě B. Leží-li graf funkce f(x) pod tečnou, řekneme, že f(x) je konkávní v bodě B. ÚM FSI VUT v Brně 6

65 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text Potřebujeme ovšem nějaký spolehlivý nástroj, který lze snadno použít při výpočtech. Ten nám dává následující věta. Věta 4.0. Nechť je funkce f(x) dvakrát diferencovatelná na nějakém intervalu I. a) Je-li f (x) > 0 na I, pak je f(x) konvexní na intervalu I. b) Je-li f (x) < 0 na I, pak je f(x) konkávní na intervalu I. Příklad 4.. Najděte intervaly, na kterých jsou funkce konvexní, a na kterých jsou konkávní. a) f(x) = x 4x + 3, b) f(x) = x 3, c) f(x) = x 3 3x +. Řešení. a) Výpočtem prvních dvou derivací získáme f (x) = x 4 a f (x) =. Vzhledem k tomu, že f (x) > 0 pro všechna x, je funkce f(x) konvexní na (, ). To souhlasí se situací na Obrázku 4.5. y 7 y x Obr. 4.9: f(x) = x 4x x 3 4 Obr. 4.0: f(x) = x 3 b) Výpočtem prvních dvou derivací získáme f (x) = 3x a f (x) = 6x. Vidíme, že f (x) < 0 pro x < 0 a f (x) > 0 pro x > 0. Tedy funkce f(x) je konkávní na (, 0 a konvexní na 0, ). To souhlasí se situací na Obrázku 4.3. c) Výpočtem prvních dvou derivací získáme f (x) = 3x 6x a f (x) = 6x 6 = 6(x ). Vidíme, že f (x) < 0 pro x > a f (x) > 0 pro x <. Tedy funkce f(x) je konkávní na (, a konvexní na, ). To souhlasí se situací na Obrázku x y 3 Obr. 4.: f(x) = x 3 3x + ÚM FSI VUT v Brně 63

66 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text Věta 4.. Nechť x 0 je stacionární bod funkce f(x).. Platí-li f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) > 0, pak je v bodě x 0 ostré lokální minimum.. Platí-li f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0, pak je v bodě x 0 ostré lokální maximum. D. Globální (absolutní) extrémy funkce Definice 4.3. Nechť f(x) je funkce a M D(f). Jestliže existuje bod x 0 M tak, že pro všechna x M platí f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )), pak řekneme, že funkce f(x) nabývá v bodě x 0 globálního maxima (resp. globálního minima) na množině M. Někdy se místo pojmu globální minimum nebo maximum používá pojem absolutní minimum nebo maximum. Věta 4.4. Je-li f(x) spojitá na a, b, pak na a, b nabývá globálních extrémů a to buď v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu. Poznámka 4.5. Při vyšetřování globálních extrémů na uzavřeném intervalu se postupuje tak, že vyšetříme nejprve lokální extrémy a určíme i jejich funkční hodnoty. Tyto funkční hodnoty pak porovnáme s funkčními hodnotami v krajních bodech intervalu. Nejvyšší funkční hodnota určí bod, ve kterém nastává globální maximum a nejnižší funkční hodnota určí bod, ve kterém nastává globální minimum. Pozor, globální extrém může nastat současně ve více bodech. E. Inflexní body Bodům, ve kterých graf přechází z konvexního na konkávní a naopak, budeme věnovat zvláštní pozornost. Definice 4.6. Přechází-li graf spojité funkce f(x) v bodě B = [x 0, f(x 0 )] z jedné strany tečny na druhou, říkáme, že f(x) má v bodě B (tj. pro x 0 ) inflexní bod. Viz Obrázek 4.. Obr. 4.: Inflexní body podle definice Příklad 4.7. Například funkce f(x) = x 3 má inflexní bod pro x = 0, tj. v bodě [0, 0] (viz Obrázek 4.3). Funkce f(x) = x 3 3x + má inflexní bod pro x =, tj. v bodě [, ] (viz Obrázek 4.4). Funkce f(x) = x 4x + 3 nemá žádné inflexní body (viz Obrázek 4.5). ÚM FSI VUT v Brně 64

67 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text y 4 0 x Obr. 4.3: f(x) = x x 3 y Obr. 4.4: f(x) = x 3 3x + y x Obr. 4.5: f(x) = x 4x + 3 y x Obr. 4.6: f(x) = 3x 4 + 4x 3 x + Příklad 4.8. Použijte Obrázek 4.6 k hrubému odhadu souřadnic inflexních bodů funkce f(x) = 3x 4 + 4x 3 x + a zkontrolujte své odhady výpočtem. Řešení. Graf přechází z konvexního na konkávní někde mezi a, řekněme zhruba pro x =, 5 a z konkávního na konvexní někde mezi 0 a, řekněme pro x = 0, 5. Pro přesný výpočet inflexního bodu potřebujeme druhou derivaci funkce f(x). f (x) = x 3 + x 4x a f (x) = 36x + 4x 4 = (3x + x ). Položíme druhou derivaci rovnu nule, tj. 3x + x = 0. A zjistíme body, kde se mění funkce z konvexní na konkávní, nebo naopak. To nastává pro x = 7 3, a pro x = , 55. Pro úplnost výpočet doplníme tabulkou. interval znaménko f (x) závěr x < f(x) je na (, 7 3 konvexní 7 3 < x < f(x) je na 7 3, konkávní x > f(x) je na + 7 3, ) konvexní ÚM FSI VUT v Brně 65

68 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text Příklad 4.9. Najděte inflexní bod funkce f(x) = sin x na intervalu 0, π. Na závěr výsledky porovnejte s grafem Řešení. Výpočtem prvních dvou derivací obdržíme f (x) = cos x a f (x) = sin(x). Tedy f (x) < 0 pro 0 < x < π a f (x) > 0 pro π < x < π. Což implikuje, že graf je konkávní pro 0 < x < π a konvexní pro π < x < π, a tedy inflexní bod je pro x = π 3, 4, tj. v bodě [π, 0]. To souhlasí s Obrázkem 4.7. y y x Obr. 4.7: f(x) = sin x, 0 x π 0 x Obr. 4.8: f(x) = x 4 Poznámka 4.0. V předchozích příkladech inflexní body funkce f(x) splňovaly podmínku f (x) = 0. Pokaždé však z f (x) = 0 neplyne, že by v daném bodě musel být inflexní bod. Ukažme si to na následujícím příkladu. Příklad 4.. Najděte inflexní bod (pokud vůbec existuje) funkce f(x) = x 4. Řešení. Výpočtem prvních dvou derivací obdržíme f (x) = 4x 3 a f (x) = x. Tedy f (x) > 0 pro každé x (, ), proto je funkce konvexní na (, ) a tudíž nemá žádné inflexní body. Upozorněme na skutečnost, že pro x = 0 sice platí, že f (x) = 0, ale o inflexní bod nejde, viz Obrázek 4.8. Dosud jsme o inflexních bodech mluvili jen v souvislosti se změnou funkce z konvexní ne konkávní a naopak. Uvědomme si, že inflexní body jsou body na křivce, ve kterých se mění směrnice tečen. Je-li funkce konvexní, směrnice, tečen narůstá a je-li konkávní, tak směrnice tečen klesá. (Viz Obrázek 4.9.) Ukažme si to na příkladu z fyziky. Obr. 4.9: Konvexní a konkávní podle směrnic tečen ÚM FSI VUT v Brně 66

69 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text Příklad 4.. Předpokládejme, že voda je nalitá do lahve, která má tvar jako na Obrázku 4.0 a její objem narůstá konstantní rychlostí. Pozorujme, jak při této rychlosti narůstá výška hladiny y vzhledem k času t. Zpočátku se bude výška hladiny y zvyšovat pomalu, protože láhev má širokou podstavu. Se zužováním láhve se bude výška hladiny y zvyšovat rychleji až do nejužšího místa, kterým je hrdlo. Od té chvíle se bude výška hladiny y zvyšovat pomaleji, protože se láhev opět rozšiřuje. Tudíž hrdlo je bodem, ve kterém se mění rychlost změny výšky hladiny y v závislosti na čase t z rostoucí na klesající. Obr. 4.0: Výška hladiny v láhvi v závislosti na čase Při vyšetřování průběhu funkce je třeba mít v ruce snadný rozhodovací aparát. Tím je následující věta. Věta 4.3. Je-li f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0, pak je x 0 inflexní bod. Poznamenejme, že inflexní body může funkce f(x) mít buď v bodech, kde f (x 0 ) = 0 nebo v bodech, kde f (x) neexistuje. F. Asymptoty Názorně si pod pojmem asymptota představujeme přímku, ke které se graf funkce f(x) nekonečně blíží. Při bližším pohledu si uvědomíme, že tyto přímky můžeme rozdělit na dva případy:. Buď přímka, která je asyptotou směrnici nemá (např. asymptoty funkce f(x) = tg x).. Nebo přímka asymptotu má (například u hyperboly). Poznámka 4.4. Přímka, která směrnici nemá (tj. přímka bez směrnice) má rovnici x = x 0, kde x 0 R. Graf přímky bez směrnice je přímka kolmá k ose x (tzn. je rovnoběžná s osou y). Definice 4.5. Přímka x = x 0 se nazývá asymptota bez směrnice právě když funkce f(x) má nevlastní limitu (tj. ± ) v bodě x 0 zleva nebo zprava. Poznámka 4.6. Body na ose x, které jsou podezřelé z toho, že jimi prochází asymptota bez směrnice jsou body vyřazené z definičního oboru D(f). Například je-li pro nějakou funkce f(x) definičním oborem D(f) = R { }, pak při vyšetřování asymptot bez směrnice počítáme tyto dvě jednostranné limiy lim f(x) =..., x + lim f(x) =... x Pokud alespoň jedna z nich vyjde + nebo, pak je přímka x = asymptotou bez směrnice. ÚM FSI VUT v Brně 67

70 4. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce Studijní text Poznámka 4.7. Asymptot bez směrnice může být nekonečně mnoho, viz graf funkce f(x) = tg x. Definice 4.8. Nechť u je přímka, která není rovnoběžná s osou y. Nechť d(x) značí vzdálenost bodu [x, f(x)] od této přímky. Řekneme, že přímka u je asymptota se směrnicí právě když d(x) = 0 nebo lim d(x) = 0. x lim x Poznámka 4.9. Libovolná funkce f(x) může mít maximálně dvě asymptoty se směrnicí. Při vyšetřování asymptot se směrnicí u funkce f(x) hledáme ve skutečnosti přímku y = kx+q. Při výpočtu směrnice a posunutí využijeme následující tvrzení. Věta Přímky y = k x + q a y = k x + q jsou asymptotou se směrnicí funkce f(x) právě když existují vlastní čísla k, a q, (tj. čísla různá od ± ) taková, že platí a q, = k, = f(x) lim x ± x (4.) lim f(x) k,x (4.) x ± ÚM FSI VUT v Brně 68

71 5. Průběh funkce Studijní text 5. Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru.. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani jednu z uvedených vlastností. 3. Nalezení průsečíků s osou x (tzv. nulové body) a určení znaménka f(x). 4. Výpočet limit pro x jdoucí k ±. 5. První derivace funkce: a) Nalezení stacionárních bodů (tj. bodů podezřelých z extrémů). b) Nalezení intervalů, kde je funkce rostoucí, nebo klesající. c) Nalezení lokálních extrémů. 6. Druhá derivace funkce: a) Nalezení intervalů, kde je funkce konkávní, nebo konvexní. b) Nalezení inflexních bodů. 7. Vyšetření asymptot: a) Bez směrnice, tj. přímek x = x 0, kde x 0 jsou případné body nespojitosti. b) Se směrnicí, tj. přímek y = kx + q. 8. Načrtnutí grafu. Proveďme stručnou rekapitulaci pojmů a upozorněme na úskalí, která mohou nastat. Definiční obor. Správné určení definičního oboru je nezbytné. Body, které vyřadíme z definičního oboru jsou horkými kandidáty na to, že jimi bude procházet asymptota bez směrnice. Sudá, lichá, nebo periodická funkce. Potvrzení některé z těchto vlastností nám výrazně usnadní vykreslení průběhu funkce, protože budeme vědět o určité symetričnosti. Připomeňme, že funkce: sudá má graf osově souměrný podle osy y a platí f( x) = f(x) pro všechna x D(f). lichá má graf středově souměrný podle počátku a platí f( x) = f(x) pro všechna x D(f). periodická s periodou p splňuje pro všechna x D(f) podmínku f(x) = f(x + p). Nulové body a průsečík s osou y. Body na ose x mají y-ovou souřadnici rovnu nule. Stačí tedy vyřešit rovnici f(x) = 0. Abychom věděli, kdy bude graf funkce f(x) probíhat pod osou x a nad ní, potřebujeme určit znaménko f(x) (tzv. sgn f(x)). Výpočet limit pro x jdoucí k ±. Počítáme lim f(x) a lim f(x). x x První derivace, stacionární body, monotonnost, extrémy. Připomeňme nejprve geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 - číslo f (x 0 ) je směrnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě x 0. Jestliže sestrojíme tečnu ke grafu funkce f v jejím lokálním extrému (tj. v lokálním minimu nebo lokálním maximu), tato tečna bude rovnoběžná s osou x a tudíž její směrnice bude rovna nule. Hledání extrémů odpovídá nalezení bodů, ve kterých je směrnice tečny ke grafu rovna nule. Stacionární body (tj. body podezřelé z extrémů) jsou jsou kořeny rovnice: f (x) = 0 ÚM FSI VUT v Brně 69

72 5. Průběh funkce Studijní text Pozor, ne každý bod, kde směrnice tečny je rovna nule musí být extrém. Ještě stále může jít o tzv. inflexní bod, což je bod, kde se průběh funkce mění z konvexního na konkávní nebo naopak. Pozor, ne všechny lokální extrémy zachytíme tím, že položíme f (x) = 0. Je třeba si pohlídat body, ve kterých první derivace vůbec neexistuje! O tom, jestli je stacionární bod bodem lokálního minima, lokálního maxima, nebo inflexním bodem rozhodneme podle intervalů, na kterých funkce roste, nebo klesá. Funkce rostoucí na nějakém intervalu splňuje podmínku, že f (x) > 0 pro všechna x z tohoto intervalu. Funkce klesající na nějakém intervalu splňuje podmínku, že f (x) < 0 pro všechna x z tohoto intervalu. Proto nás bude zajímat znaménko první derivace (tzv. sgn f (x)). Druhá derivace, konvexnost, konkávnost, inflexní body. Funkce konvexní leží v daném intervalu nad tečnou a platí f (x) > 0 pro všechna x z tohoto intervalu. Funkce konkávní leží v daném intervalu pod tečnou a platí f (x) < 0 pro všechna x z tohoto intervalu. Proto nás bude zajímat znaménko druhé derivace (tzv. sgn f (x)). Inflexní bod je bod, pro který platí f (x) = 0 a ve kterém se průběh funkce mění z konvexního na konkávní, nebo naopak. Poznamenejme, že pokud jsme z nějakého důvodu nedokázali rozhodnout, jaký extrém nastává u bodů, které podezříváme již od první derivace, druhá derivace nám může pomoci. Platí totiž: Je-li f (x) = 0 a zároveň f (x) > 0, pak je v x lokální minimum. Je-li f (x) = 0 a zároveň f (x) < 0, pak je v x lokální maximum. Poznamenejme, že pokud jsme z nějakého důvodu nedokázali rozhodnout pomocí konvexnosti a konkávnosti o inflexním bodu, pomohla by nám třetí derivace. Asymptoty bez směrnice, asymptoty se směrnicí. Adepty na asymptoty bez směrnice jsou body vyřazené z definičního oboru, označme jeden z nich x 0. K tomu, abychom prohlásili přímku x = x 0 za asymptotu bez směrnice nám stačí, když se ukáže, že alespoň jedna jednostranná limita lim f(x) nebo lim f(x) x x + 0 x x 0 je nevlastní (tj. ± ). Asymptoty se směrnicí, tj. přímky y = kx + q, získáme (pokud vůbec existují) výpočtem těchto limit a f(x) k = lim x x, q ( = lim f(x) k x ) x k = f(x) lim x x, q ( = lim f(x) k x ). x Graf funkce. Pokud dobře rozumíme jednostlivým vlastnostem a známe vazby mezi nimi, je již celkem snadné zakreslit předchozí poznatky do souřadného systému. ÚM FSI VUT v Brně 70

73 6. Diferenciál funkce a Taylorův polynom Studijní text 6. Diferenciál funkce a Taylorův polynom A. Diferenciál funkce Pojem diferenciálu funkce y = f(x) v bodě a lze nejnázorněji vysvětlit pomocí Obrázku 6.. Jde o přírůstek funkční hodnoty na tečně. To vlastně znamená, že funkce je v okolí bodu a aproximována tečnou a k přibližnému stanovení funkční hodnoty v bodě blízko bodu a nám stačí určit hodnotu na tečně. Obr. 6.: Diferenciál funkce y = f(x) v bodě a Definice 6.. Nechť funkce y = f(x) má v bodě a spojitou derivaci (tj. existuje f (a)). Diferenciálem funkce f(x) v bodě a při přírůstku h R nazýváme číslo df(a)(h) = f (a)h. (6.) Poznámka 6.. Z Obrázku 6. je zřejmé, že platí tg α = f (a) = df(a) h df(a)(h) = f (a)h. Poznámka 6.3. f(a) je diference funkce f(x) mezi body a a a + h, tj. přírůstek funkční hodnoty. Poznámka 6.4. h je přírůstek proměnné x, který bývá zvykem značit h = x a = dx. (6.) Definice 6.5. Nechť funkce y = f(x) má v bodě a spojité derivace až do řádu n včetně (tj. existují f (a), f (a),..., f (n) (a)). Diferenciálem řádu n funkce f(x) v bodě a při přírůstku h R nazýváme číslo d n f(a)(h) = f (n) (a)h n. (6.3) ÚM FSI VUT v Brně 7

74 6. Diferenciál funkce a Taylorův polynom Studijní text Poznámka 6.6. Diferenciály (i vyšších řádů) bývá na základě Poznámky 6.4 zvykem značit df(a)(h) = f (a)h = f (a)dx = f (a)(x a). (6.4) Poznámka 6.7. určité chyby a platí Pokud pro výpočet funkční hodnoty v bodě a + h použijeme diferenciál, dopustíme se R(h) = f(a) df(a)(h) R(h) lim = 0. h 0 h Příklad 6.8. Pomocí diferenciálu spočtěte přibližně arctg 0, 97. Řešení. Zvolíme vhodnou funkci f(x) a vhodný bod a, ve kterém se snadno počítá funkční hodnota a je dostatečně blízko bodu 0, 97. Uvažujme tedy f(x) = arctg x a a =. Vypočteme si přírůstek h = x a = 0, 97 = 0, 03. Chceme tedy spočítat f(0, 97). Vypočtěme nejprve diferenciál df()( 0, 03) pomocí vztahu (6.) následovně f (x) = + x, f () =, df()( 0, 03) = ( 0, 03). Nyní stačí jen přičíst funkční hodnotu v bodě a = a získáme f(0, 97). = f() + df()( 0, 03) = π 4 Příklad 6.9. Vypočtěte diferenciál funkce f(x) = sin x. 0, 03. = 0, 77. Řešení. Vzhledem k tomu, že nebyl zadán ani bod a, ani přírůstek h, bude výpočet naprosto obecný f (x) = cos x, df(x) = f (x)dx = cos xdx. B. Taylorův polynom V předchozí kapitole jsme funkční hodnotu v bodě a + h nahrazovali pomocí přírůůstku na tečně ke grafu funkce y = f(x) v bodě a. Je zřejmé, že se tím dopouštíme určité nepřesnosti, která je ovšem vyvážena snadností výpočtu. Pokud bychom chtěli mít výpočet f(a + h) přesnější, jistě by nás napadlo aproximovat graf funkce y = f(x) v okolí bodu a ne těčnou (tj. polynomem. stupně), ale polynomem vyššího stupně. To je hlavní myšlenkou aproximace funkce f(x) pomocí Taylorova polynomu. Věta 6.0. (Taylorova věta) Nechť má funkce f(x) v intervalu a, a+h (resp. v a+h, a pro h záporné) spojité derivace až do řádu n včetně a v (a, a + h) (resp.v (a + h, a)) spojitou derivaci (n + )-řádu. Pak f(a + h) = f(a) + f (a)! h + f (a)! kde tzv. Taylorův zbytek R n+ lze zapsat například v Lagrangeově tvaru h + + f (n) (a) h n + R n+, (6.5) n! R n+ = f (n+) (a + ϑh) h n+, kde 0 < ϑ <. (6.6) (n + )! ÚM FSI VUT v Brně 7

75 6. Diferenciál funkce a Taylorův polynom Studijní text Poznámka 6.. Píšeme-li přírůstek h ve tvaru h = x a, dostaneme často používaný tvar rovnice (6.5) f(x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! (x a) + + f (n) (a) (x a) n + R n+. (6.7) n! Chceme-li danou funkci f(x) nahradit v okolí bodu a polynomem, použijeme tzv. Taylorův polynom. Definice 6.. Taylorovým polynomem stupně n v bodě a nazýváme polynom T n (x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! (x a) + + f (n) (a) (x a) n. (6.8) n! Poznámka 6.3. Je-li a = 0, pak se polynom (6.8) nazývá Maclaurinův polynom a má vyjádření M n (x) = f(0) + f (0)! x + f (0)! x + + f (n) (0) x n. (6.9) n! Příklad 6.4. Napište Maclaurinův polynom stupně n = 4 funkce e x. Řešení. Je třeba si určit funkční hodnotu v bodě 0 a první 4 derivace a jejich hodnoty v bodě 0. Získané hodnoty dosaďme do vztahu (6.9) f(0) = e 0 = f (x) = e x f (0) = e 0 =, f (x) = e x f (0) = e 0 =, f (x) = e x f (0) = e 0 =, f (4) (x) = e x f (4) (0) = e 0 =. e x M 4 (x) = +! x +! x + 3! x3 + 4! x4 = + x! + x! + x3 3! + x4 4!. Příklad 6.5. Nahraďte funkci y = cos x v okolí počátku (např. v intervalu 0, ; 0, ) polynomem čtvrtého stupně a odhadněte chybu. Řešení. Je třeba si určit funkční hodnotu v bodě 0, prvních 5 derivací. Tedy f(0) = cos 0 = f (x) = sin x f (0) = sin 0 = 0, f (x) = cos x f (0) = cos 0 =, f (x) = sin x f (0) = sin 0 = 0, f (4) (x) = cos x f (4) (0) = cos 0 = f (5) (x) = sin x. cos x x! + x4 4! + R 5. Nyní se zabývejme odhadem chyby R 5, kterou lze pomocí vztahu (6.6) zapsat ve tvaru R 5 = sin(ϑx) x 5, kde 0 < ϑ <. 5! Vzhledem k tomu, že sin x, bude pro všechna x z intervalu 0, ; 0, platit R 5 0, 5 5! = ÚM FSI VUT v Brně 73

76 7. Křivky Studijní text 7. Křivky Rovinnou křivku chápeme jako množinu bodů v rovině. Lze ji popsat různými způsoby, např.:. Explicitně rovnicí y = f(x), např. f : y = x, y = x,.... Implicitně rovnicí g(x, y) = 0, např. x + y 9 = 0, x y = 0, Parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t a, b např. přímka k : x = + t, y = 3 3t, t R A. Parametrické vyjádření rovinné křivky Definice 7.. Nechť funkce ϕ(t) a ψ(t) jsou spojité na intervalu I (kde I je nejčastěji α, β nebo (, )) a mají v I spojité nebo po částech spojité derivace ϕ(t) a ψ(t). Pak množinu C bodů v rovině, jejichž kartézské souřadnice x a y jsou dány rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t I, (7.) nazýváme rovinná křivka daná parametricky, kde t je parametr. Poznámka 7.. Derivace ϕ(t) znamená derivaci funkce ϕ(t) podle proměnné t, která se dá zapsat také jako ϕ(t) = dϕ(t). dt Uveďme si některé důležité vlastnosti rovinných křivek. Uvažujme interval I = α, β. Za počáteční bod křivky považujeme bod [ϕ(α), ψ(α)] a za koncový bod [ϕ(β), ψ(β)]. Uzavřená křivka. Jestliže platí [ϕ(α), ψ(α)] = [ϕ(β), ψ(β)] (tzn. počáteční a koncový bod jsou totožné), pak křivku C nazveme uzavřenou (viz Obrázek 7. a)). Otevřená křivka. Jestliže má křivka C krajní body, tzn. počáteční bod je různý od koncového, pak ji nazveme otevřenou křivkou (viz Obrázek 7. b)). Obr. 7.: a) Uzavřená křivka, b) Otevřená křivka Hladká křivka. Jsou-li funkce ϕ(t) a ψ(t) spojité v I, pak jde o hladkou křivku. Lépe si tuto vlastnost představíme následovně: otevřená křivka je hladká, jestliže v každém jejím bodě dokážeme udělat tečnu ÚM FSI VUT v Brně 74

77 7. Křivky Studijní text Obr. 7.: a), b), c) Hladké křivky, d) Křivka, která hladká není Obr. 7.3: a), b) Po částech hladká křivka a u uzavřené křivky nám nevadí, jestliže tečna neexistuje v počátečním bodě, který splývá s koncovým (viz Obrázek 7. a), b), c)). Po částech hladká křivka. Jestliže je křivka složená z hladkých úseků, které na sebe navazují, tak je po částech hladká (viz Obrázek 7.3). Jednoduchá křivka. Jestliže otevřená křivka neprotíná sebe sama, pak jde o jednoduchou křivku. Tzn. pro t t platí ϕ(t ) ϕ(t ) ψ(t ) ψ(t ). U uzavřených křivek platí stejná podmínka, která se ovšem nevztahuje na počáteční bod, který je totožný s koncovým bodem (viz Obrázek 7.4 a), b)). Obr. 7.4: a), b) Jednoduchá křivka, c) Křivka, která jednoduchá není Poznámka 7.3. Jedna křivka může mít více různých parametrických vyjádření. Příklad 7.4. Vyjádřete parametricky parabolu y = x pro x, (viz Obrázek 7.5). Řešení. Jedno z mnoha možných řešení je (ϕ(t) =) x = t, (ψ(t) =) y = t, t,. Jiné správné řešení je (ϕ(t) =) x = t, (ψ(t) =) y = t 4, t, 4. ÚM FSI VUT v Brně 75

78 7. Křivky Studijní text Obr. 7.5: Parabola y = x pro x, Příklad 7.5. Načrtněte křivku danou parametricky rovnicemi x = t, y = t 4, t R. Řešení. Nejlepší představu si uděláme vynesením několika bodů do kartézského grafu (x, y). Sestrojme nejprve tabulku, ve které libovolně vhodně volme hodnoty t a na základě zadaných rovnic dopočítejme souřadnice bodů [x, y] hledané křivky. Získané hodnoty jsou zobrazeny na Obrázku??. t x y Obr. 7.6: Křivka daná parametricky rovnicemi x = t, y = t 4, t R Poznámka 7.6. t I kde ϕ(t) 0. Derivace funkce y = f(x) dané parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), y = dy dx = ψ(t) ϕ(t), (7.) y = d dx (y ) = d dt (y ) dt dx = ψ(t) ϕ(t) ψ(t) ϕ(t) [ ϕ(t)] 3, (7.3) ÚM FSI VUT v Brně 76

79 7. Křivky Studijní text Příklad 7.7. Určete derivace první a druhou derivaci funkce y = f(x), která je dána parametrickými rovnicemi x = 6t + t 3, y = t t, t R. Řešení. Chceme určit y a y. Zkusme si výpočet trochu rozepsat a nedosazovat přímo do vzorců (7.) a (7.3). y = dy dy dx = dt = ψ(t) ϕ(t) = t 6 + 3t. y = d dx (y ) = dy dt dx dt = dx dt dy dt ϕ(t) = dy dt d ϕ(t) = ( ) t 6+3t dt = ( 6 + 3t ) (t )6t (6 + 3t ) 6 + 3t t = B. Rovinné křivky dané polárně Speciálním případem parametrického vyjádření křivky C v rovině je její vyjádření pomocí polárních souřadnic. Výhodu tohoto vyjádření oceníme například při integraci. Polohu bodu M, ležícího na křivce C vyjádříme polárními souřadnicemi ϱ, ϕ. Souřadnice ϱ je vzdálenost bodu M od počátku souřadnic O. Souřadnice ϕ je orientovaný úhel, který svírá úsečka OM s kladným směrem osy x. Platí, že ϱ 0 a 0 ϕ π. Situace je znázorněna na Obrázku 7.7. Obr. 7.7: Polární souřadnice Poznámka 7.8. Křivku C zadáváme předpisem, který dává do souvislosti ϱ a ϕ a intervalem přípustných hodnot ϕ. Pak jsou souřadnice bodů [x, y] křivky C dány vztahy x = ϱ(ϕ) cos ϕ, y = ϱ(ϕ) sin ϕ, ϕ a, b, (7.4) které nazýváme polární souřadnice. Příklad 7.9. Křivka je dána polárně rovnicí ϱ = ϕ, ϕ 0, ). Načrtněte graf této funkce. Řešení. Křivku chceme zakreslit v souřadném systému (y, x). To znamená, že nás zajímají souřadnice x a y několika bodů na křivce. Sestavme si proto tabulku, ve které budeme vhodně volit hodnoty ϕ v prvním řádku a ve druhém vypočítáme podle zadaného předpisu ϱ. Ve třetím a čtvrtém řádku budou souřadnice x a y ÚM FSI VUT v Brně 77

80 7. Křivky Studijní text Obr. 7.8: Křivka daná polárně ϱ = ϕ (Archimédova spirála) spočítané podle rovnic (7.4). Na Obrázku 7.8 jsou vyneseny tyto body a je jimi proložena hledaná křivka, kterou je Archimédova spirála. π 3 ϕ 0 π π π ϱ = ϕ 0 π π 3π 4π x = ϱ cos ϕ 0 0 π 0 4π y = ϱ sin ϕ 0 π 0 3π 0 Poznámka 7.0. Derivace funkce y = f(x), která je dána polárně rovnicí ϱ = g(ϕ) v polárních souřadnicích (7.4) ( ) y = f (x) = dy d dx = dϕ g(ϕ) sin ϕ ( ). (7.5) g(ϕ) cos ϕ d dϕ Příklad 7.. Napište parametrické rovnice funkce y = f(x) dané polárně rovnicí ϱ = ϕ, ϕ 0, π a určete její derivaci f (x). Řešení. Do rovnic (7.4) dosadíme zadané vyjádření pro ϱ a získáme parametrické vyjádření x = ϕ cos ϕ, y = ϕ sin ϕ, ϕ 0, π, kde ϕ je parametr. Derivaci f (x) vypočteme f (x) = dy sin ϕ + ϕ cos ϕ = dx cos ϕ ϕ sin ϕ. ÚM FSI VUT v Brně 78

81 8. Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrály Studijní text 8. Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrály A. Základní pojmy Definice 8.. Říkáme, že F (x) je v intervalu (a, b) primitivní funkcí k funkce f(x), jestliže pro všechna x (a, b) platí F (x) = f(x). Věta 8.. Ke každé funkci f(x) spojité na (a, b) existuje v (a, b) primitivní funkce. Je jich dokonce nekonečně mnoho. Je-li F (x) jedna z nich, pak všechny ostatní mají tvar F (x) + C, kde C je integrační konstanta, která je libovolná. Poznámka 8.3. Používáme formální zápis f(x) dx = F (x) + C, f(x) dx znamená množinu všech primitivních funkcí k funkce f(x) a nazývá se neurčitý integrál funkce f(x). Poznámka 8.4. Je zvykem pracovat se symbolem f(x) dx jako s jednou z primitivních funkcí a ve výsledku připsat integrační konstantu C. Platí: (F (x) + C) = f(x) F (x) = f(x) dx. Příklad 8.5. (sin x + 5) = cos x; (sin x 6) = cos x. Tedy cos x dx = sin x + C. Věta 8.6. Přehled základních integračních vzorců. x n dx = xn+ n+. x dx = ln x + C, x e x dx = e x + C. + C, x > 0, n R, n. 4. a x dx = ax ln a + C, a > 0, a. 5. sin x dx = cos x + C. 6. cos x dx = sin x + C. 7. dx = cotg x + C, x kπ, k Z. sin x 8. cos x dx = tg x + C, x π + kπ, k Z. 9. +x dx = arctg x + C = arccotg x + C. 0. x dx = arcsin x + C = arccos x + C, x (, ).. x +a dx = ln ( x + x + a ) + C, a > 0.. x +a dx = a arctg x a + C, a f (x) f(x) dx = ln f(x). ÚM FSI VUT v Brně 79

82 8. Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrály Studijní text Poznámka 8.7. Přestože ke každé spojité funkci existuje primitivní funkce, nelze v mnoha případech tuto primitivní funkci vyjádřit pomocí elementárních funkcí. B. Integrační metody Věta 8.8. Existují-li k funkcím f (x), f (x), f(x) primitivní funkce, pak. (f (x) ± f (x)) dx = f (x) dx ± f (x) dx.. k f(x) dx = k f(x) dx, kde k je konstanta. Jednou z integračních metod je přímá integrace. Příklad 8.9. Spočtěte integrály:. 5x 3 x dx.. ( ) 3x x + x dx x cos x 5 cos x 4. cotg x dx. 5. x4 ++x 4 x 3 6. xln x dx. dx. dx. 7. x(x )(x 3) dx. Další možností je řešení integrálů substituční metodou. Tu si ukážeme na následujících příkladech. Příklad cos(5x + 6) dx.. xln x dx. 3. sin x cos x dx. 4. x x + dx arctg x +x dx. 6. sin x 3 + cos x dx. 7. x 3 ln dx. x Počítáme-li integrály sin x dx, cos x dx, tak před vlastní integrací nejprve pou- Poznámka 8.. žijeme úpravu: sin x = cos x, cos x = + cos x. ÚM FSI VUT v Brně 80

83 8. Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrály Studijní text Příklad 8.. sin x dx. Velmi užitečná je i integrace per partes. Věta 8.3. Metoda per partes (po částech) Mají-li funkce u(x) a v(x) v intervalu (a, b) spojitou derivaci, pak v intervalu (a, b) platí u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx. (8.) Důkaz. Stačí si uvědomit, jak se derivuje součin funkcí u v: (u v) = u v + uv. Nyní obě strany rovnice zintegrujeme: (u v) dx = u v dx + uv dx. Odtud: u v = u v dx + uv dx, což je dokazované tvrzení. Poznámka 8.4. tvaru Z důkazu je jasně vidět, že integrace per partes může být zapsána v ekvivalentním u (x) v(x) dx = u(x) v(x) u(x) v (x) dx. Poznámka 8.5. Typické příklady, kdy je vhodné použít integraci per partes (p n (x) je polynom stupně n). Značení používáme ze vztahu (8.): pn (x) e x dx, pn (x) sin x dx, zde volíme za funkci kterou budeme derivovat polynom p n(x) = v(x). pn (x) cos x dx, pn (x) ln x dx, pn (x) arcsin x dx, pn (x) arctg x dx, Příklad ( + x)e x dx.. xe x dx. 3. arctg x dx. 4. ln x dx. 5. cos(ln x) dx. zde volíme za funkci kterou budeme integrovat polynom p n(x) = u (x). Pokud integrujeme racionálně lomenou funkci R(x) = P (x) Q(x), pak ji nejprve převedeme na parciální zlomky a ty již snadno zintegrujeme. Příklad x 4 +6x +x x 4 x 3 dx.. x (x )(x+) dx (x 3) 7 dx. 4. x +x 33 x 3 dx. ÚM FSI VUT v Brně 8

84 8. Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrály Studijní text Integrujeme-li goniometrické funkce, tj. R(sin x, cos x), pak nejčastěji postupujeme substitucí. O vhodné volbě substituce rozhodneme až u konkrétního příkladu. Určitá pravidla ovšem platí obecně: R(sin n x, cos m x), kde m je sudé číslo a n je liché číslo... substituce sin x = t; R(sin n x, cos m x), kde m je liché číslo a n je sudé číslo... substituce cos x = t; Ve všech případech R(sin n x, cos m x), kde m je liché číslo a n je liché číslo... substituce tg x = t. lze využít tzv. univerzální substituci tg x = t. Příklad sin 3 x dx;. cos 5 x sin 4 x dx; 3. sin x cos x sin x+ cos x dx; 4. sin x +cos x dx. ÚM FSI VUT v Brně 8

85 9. Určitý (Riemannův) integrál Studijní text 9. Určitý (Riemannův) integrál Myšlenka integrování pochází z geometrických požadavků - zjišťování povrchů, objemů a délek geometrických útvarů. To znamená, že se omezujeme jen na nějakou část (pozn. tím máme na mysli interval) funkce, která je základem geometrického útvaru. Pojmy potřebné k zavedení Riemannova integrálu. Nechť je dána funkce y = f(x), která je spojitá v uzavřeném intervalu a, b (viz Poznámka 9.).. Rozdělme interval a, b body x < x <... < x n na n podintervalů x, x,..., x n, které nemusí mít stejnou délku. Viz Obrázek. Toto dělení označme d. Délky těchto podintervalů označme stejně, tj. x, x,..., x n. Obr. 9.: Zavedení Riemannova integrálu. Protože f(x) je spojitá v a, b, nabývá v něm své maximální hodnoty M a minimální hodnoty m. f(x) je ovšem spojitá také v každém podintevalu x i a nabývá v něm své maximální hodnoty M i a minimální hodnoty m i (pro i =,,..., n ). Platí m m i M i M. 3. Sestrojme k zavedenému dělení d tzv. horní integrální součet S(d) a dolní integrální součet s(d) S(d) = s(d) = n M i x i i= n m i x i. i= Na Obrázku je vidět, že S(d) je součet plošných obsahů modrých a s(d) je součet plošných obsahů červených obdélníků. 4. Poznamenejme, že hodnota S(d) a s(d) závisí na zvoleném dělení d. Zaveďme horní integrál z funkce f(x) na intervalu a, b jako infimum množiny všech horních součtů při všech možných děleních d inf d S(d) = b a f(x)dx ÚM FSI VUT v Brně 83

86 9. Určitý (Riemannův) integrál Studijní text a dolní integrál z funkce f(x) na intervalu a, b jako supremum množiny všech dolních součtů při všech možných děleních d sup s(d) = d b a f(x)dx. Poznámka 9.. Požadavek, aby byla funkce f(x) spojitá v a, b je zbytečně tvrdý, stačilo by předpokládat, že funkce f(x) je v a, b ohraničená. Pak by se místo maxim a minim uvažovala suprema a infima. Definice 9.. Je-li b a f(x)dx = b a f(x)dx, pak společné hodnotě těchto integrálů říkáme integrál z funkce f(x) v intervalu a, b a o funkci f(x) říkáme, že je v a, b integrovatelná (tj. integrace schopná) ve smyslu Riemannovy definice. Věta 9.3. Je-li f(x) integrovatelná v a, b a je-li a < c < b, pak f(x) je integrovatelná v a, c a v c, b a platí b f(x)dx = c f(x)dx + b a a c f(x)dx. (9.) Poznámka 9.4. Z předchozí věty je vidět, že k tomu, aby bylo možné funkci f(x) integrovat, nemusí být f(x) v intervalu a, b spojitá. Stačí, aby byla po částech spojitá, tzn. měla konečně mnoho bodů nespojitosti. Definice 9.5. Pro b < a je integrál definován takto b f(x)dx = a a b f(x)dx. Uveďme ještě jednu často používanou nerovnost. Věta 9.6. (Schwarzova nerovnost) ( b f(x)g(x)dx) b f (x)dx b a a a g (x)dx. (9.) Nyní se dostáváme k vztahu, který má při výpočtech zásadní význam. Věta 9.7. (Newtonova-Leibnizova formule) je-li f(x) spojitá v a, b a je-li F (x) libovolná funkce k ní primitivní v a, b a spojitá v a, b, pak b a f(x)dx = [F (x)] b a = F (b) F (a). (9.3) Příklad 9.8. Spočtěte následující určité integrály. a) π cos xdx. 0 b) 3 x dx. c) e +ln x x dx. ÚM FSI VUT v Brně 84

87 9. Určitý (Riemannův) integrál Studijní text Řešení. a) π 0 cos xdx = [sin x] π 0 = sin ( ) π sin 0 = 0 =. b) Při hledání primitivní funkce k funkci x na intervalu 3, bude nutno přistoupit k rozdělení tohoto intervalu na dvě části. Dělícím bodem bude bod 0. Potom 3 x dx = 0 3 xdx + 0 xdx = ] 0 [ x + 3 [ x ] 0 ) = 0 ( ( 3) + ( ) 0 = 9 + = 5. c) Je vidět, že tento integrál je poněkud komplikovanější. Pokusíme se ho zjednodušit substitucí, kdy od proměnné x přejdeme k proměnné t. Tím pádem ovšem musíme přepočítat i meze určitého integrálu, které byly zadány vzhledem k původní proměnné x. e + ln x dx = substituce: ln x = t 0 x xdx = dt e = ( + t) dt = 0 [ ] = t + t = + 0 (0 + 0) = 3. ÚM FSI VUT v Brně 85

88 0. Nevlastní integrál Studijní text 0. Nevlastní integrál Poznámka 0.. Dosud jsme se zabývali Riemannovým integrálem, který je definován pro ohraničenou funkci f(x) na uzavřeném intervalu a, b. Tento určitý integrál jsme zapisovali vyřešit, jak definovat: a) b a f(x) dx, kde funkce f(x) není ohraničená. Viz Obrázek 0.. b a f(x) dx. Nyní potřebujeme b ) a f(x) dx nebo b Obr. 0.: Nevlastní integrál vlivem funkce f(x) dx, tj. integrál z funkce na otevřeném intervalu. Viz Obrázek 0.. Obr. 0.: Nevlastní integrál vlivem meze A. Nevlastní integrál vlivem funkce Definice 0.. Nechť funkce f(x) je integrovatelná v každém intervalu a, t kde a < t < b a nechť je f(x) neohraničená v levém okolí bodu b (viz Obrázek 0.3). Existuje-li vlastní limita lim integrál b a f(x) dx konverguje. Pak pokládáme Pokud limita lim t t b a b a t t b a f(x) dx, říkáme, že t f(x) dx = lim t b f(x) dx. (0.) a f(x) dx neexistuje nebo je nevlastní, pak říkáme, že integrál diverguje ÚM FSI VUT v Brně 86

89 0. Nevlastní integrál Studijní text Obr. 0.3: Funkce neohraničená v levém okolí bodu b Poznámka 0.3. Bodu b, pro který platí, že v jeho levém okolí je funkce f(x) neohraničená a konverguje říkáme singulární bod. b a f(x) dx Poznámka 0.4. Je-li singulárním bodem bod a(tj. f(x) je neohraničená v pravém okolí bodu a a konverguje), je definice analogická a píšeme b a b a f(x) dx b f(x) dx = lim t a + f(x) dx. (0.) t Příklad x dx. Příklad 0.6. xln x dx. 0 Poznámka 0.7. Pokud jsou oba krajní body intervalu a, b singulární a funkce f(x) je integrovatelná na (a, b), pak rozdělíme interval libovolným bodem c (viz Obrázek 0.4) a spočteme b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx = lim t a + c t f(x) dx + lim t b t c f(x) dx. Poznámka 0.8. Pokud se singularita vyskytne uvnitř intervalu a, b, pak integrál rozdělíme právě v tomto bodě c (viz Obrázek 0.5) a spočítáme b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx = lim t c t a f(x) dx + lim t c + b t f(x) dx. Příklad 0.9. x dx. ÚM FSI VUT v Brně 87

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 61 DATABÁZE - ACCESS. (příprava k vykonání testu ECDL Modul 5 Databáze a systémy pro zpracování dat)

DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 61 DATABÁZE - ACCESS. (příprava k vykonání testu ECDL Modul 5 Databáze a systémy pro zpracování dat) DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 61 DATABÁZE - ACCESS (příprava k vykonání testu ECDL Modul 5 Databáze a systémy pro zpracování dat) DATABÁZE A SYSTÉMY PRO UCHOVÁNÍ DAT 62 Databáze a systémy pro uchování

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více