A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.

Transkript

1 A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic: 1.1. půlení intervalů: najdu dva body kte v jednom to vychází + a v druhém -, spočítám hodnotu ve středním bodě a podle toho změním buď min nebo max, furt dokola 1.2. newtonova metoda (tečen) x 1 = x 0 (f(x 0 ))/(f (x 0 )); konverguje pokud f(x 0 ) f (x 0 ) > metoda prosté inerace musí jít zderivovat, konvergovat, jen pro záporné kořeny. Zadanou rovnici přepíši do tvaru x = g(x). Zvolím počáteční x 0, další x k+1 = g(x k ). 2. Soustavy lineárních rovnic: 2.1. Jacobiho metoda: Funguje pouze pokud v zadání x 1 > x 2 + x 3 ᴧ x 2 > x 1 + x 3 ᴧ x 3 > x 2 + x 1 (je ostře diagonálně dominantní) Pokud nesplňuje, zkusím přeskládat aby splňovala. Z 1. rovnice vyjádřím x1, z 2. x2 a z 3. x3. Pokud nejde vyjádřit, přeskládám aby šlo vyjádřit. Zvolím počátační odhady do tabulky první řádek tabulky. Většinou nuly pokud nemám nic lepšího. Postupně dopočítávám další řádky s použitím předchozích dokud to není dost přesné Gaus-seidlova metoda Stejné jak Jacobiho, ale výsledky používám hned jak je to možné. Ale pokud není ostře diagonálně dominantní, stačí když je pozitivně definitivní, to je pokud má det. všech stupňů > 0. Převod na pozitivně definitivní: K čtvercové matici udělalám transponovanou, a pak Ax = b => A T Ax = A T b (levou I pravou stranu vynásobím transponovanou, záleží na pořadí operandů!), vzniklá matice určitě konverguje pro GS metodu. 3. Soustavy nelineárních rovnic: 3.1. metoda prosté iterace: Soustavu upravíme na tvar x = g 1 (x,y), y = g 2 (x,y). Zvolím počáteční aproximace x 0 a y 0. Počítám další aproximace x k+1 = g 1 (x k,y k ), y k+1 = g 2 (x k,y k ). Skončím až x k+1 - x k < Ɛ y k+1 - y k < Ɛ. Metoda může divergovat a zpravidla také diverguje metoda tečen: Spočítám matici parciálních derivací. Do této matice dosadím počáteční odhady x 0 a y 0. Dostanu levou stranu soustavy. Počáteční odhady dosadím také do zadaných fcí, obrácenou pravou stranu. Vyřeším soustavu. K výsledku přiču x k-1 a y k-1. Dostávám x k a y k. Pokračuju znovu dosazováním a získáváním soustavy. Př. 1: Zadání: f1(x,y) = (x-1)2+y2-4; f2(x,y) = x+(y+1)2-1. Matice derivací: Volím x 0 = 0, y 0 = Krok Dosadím x 0 a y 0 do F a také do zadání, dostávám. Sestavím soustavu s obrácenými F. Vyřeším. => x 1 = x 0 + = = y 1 = y 0 + = = Krok Sestrojím soustavu. Vyřeším: x 2 = x 1 + = = y 2 = y 1 + = = Atd. 4. Aproximace funkcí Jde o to vytvořit přibližný předpis funkcí pro pár zadaných bodů - interpolace Lagrangeův interpolační polynom: Př. 2: Zadání: x i f i Řešení: Mám zadané 4 body, takže polynom bude nejvýše 3. stupně Newtonův interpolační polynom: P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + a n (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ). a 0, a 1.. jsou poměrné diference první řádek tabulky. Při dosazování x zůstává x! x i f i f i, i+1 f i, i+1, i+2 f i, i+1, i+2, i+3 x 0 f 0 = a 0 x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f Spline metoda nejmenších čtverců: Po částech nasekaný polynom, navazující plynule na sebe. Ve společných bodech musí mít stejné derivace (tečny). Př. 3: Zadání: x y Sestrojím tabulku, poslední řádek jsou sumy: x i y i x 2 i x i y i x 3 i x 4 i x 2 i y i

2 a 4 b 43 c 27 d 125 e 787 f 75 g Prokládám přímkou: 4 poc_bod a + 5 a b = 4 b 5 a a + 43 c b = 27 d y = a + bx y = x poc_bod = počet bodů které mám zadané Prokládám parabolou: 4 poc_bod a + 5 a b +43 c c = 4 b 5 a a + 43 c b +125 e c = 27 d 43 c a e b f c = 75 g y = a + bx + cx 2 y = -0.57x x Numerické derivování 5.1. Chci dostat zderivovanej předpis: Mám body. Proložím vhodným interpolačním polynomem. Zderivuju polynom Chci dostat derivace v jednotlivých bodech: Musím stanovit krok h. Pak podle vzorce Základní vzorec: Vylepšený vzorec: Další vzorce: Pouze sečna mezi dvěma body: 6. Numerická integrace Používá se tam, kde něco nelze zintegrovat. Používáme Newton-Cotesovy vzorce Obdélníková metoda 6.2. Lichoběžníková metoda hyba: 6.3. Simpsonova metoda ( ) Toto je podobné jako lichoběžníková, ale prokládám křivkou. Potřebuji hodnotu v počátečním, koncovém a středovém bodě Složená lichoběžníková metoda První a poslední bod se násobí ½. Interval <a,b> rozdělím na m dílků délky. Chyba: Prý prakticky nelze určit. Největší možná chyba: Výpočet M 2 : Provedu druhou derivaci. Za x zkouším dosazovat něco z t tak, abych dostal co nejvyšší výsledek. Př. 4: 6.5. Složená Simpsonova metoda

3 Interval <a,b> rozdělím na sudý počet m dílků délky. Chyba: Nejvyšší možná chyba: M 4 spočítám podle stejného principu jako M 2 výše. 7. Diferenciální rovnice Dostanu zadanou y =f(x,y) a musím z toho dostat y(x)=?. Potřebuji PP, aby bylo 1 řešení. Nezískám přesný předpis, ale pouze graf (lomenou čáru) Eulerova metoda Postupně dopočítávám další body, f(x i, y i ) je směrnice a získám ji dosazováním do zadání. Př. 5: Zadání: y = y-2x; y(0) = 1; volím h=1. Toto je pro mě y 0. y 1 = = 2 Na 1 jsem přišel: y = y-2x = = 1 y 2 = = 2 Na 0 jsem přišel: y = y-2x = = 0 y 3 = 2+1 (-2) = 0 Na -2 jsem přišel: y = y-2x = = -2 y 4 = 0+1 (-6) = -6 Na -6 jsem přišel: y = y-2x = = -6 Výsledkem je tabulka + graf První modifikovaná Eulerova metoda i x i y i Druhá modifikovaná Eulerova metoda 7.4. Metoda Rungeho-Kutty 4. řádu Funkce Derivace Funkce Derivace Integrace c (kons.) 0 x 1 x n nx n-1 x α αx α-1 e x e x a x a x ln(a) ln(x) log ax sin(x) cos(x) cos(x) -sin(x) tg(x) cotg(x) arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arccotg(x) sinh(x) cosh(x) cosh(x) sinh(x) tgh(x) cotgh(x) (a f(x) + b g(x)) = a f (x) + b g (x) (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (f[g(x)]) = f [g(x)]g (x)

4 B PRAVĚPODOBNOST 1. Klasická PST Funguje, pokud je pro vše stejná PST. Ω základní prostor všechny možné výsledky náhodný jev libovolná podmožina možných výsledků 5. Podmíněná PST PST jevu za nějaké podmínky Př. 12: 3 kostky. PST, že alespoň 1x dvojka za podmínky součet 5. A součet 5; A = {113, 131, 311, 122, 212, 221}; A = 6 B alespoň 1x dvojka Př. 1: 2x hodím kostkou. Jaká je PST že součet bude 4? Ω = {[1,1], [1,2],, [6,6],}; Ω = 36 A = {[1,3], [2, 2], [3, 1]}; A = 3 Př. 2: 2x hodím kostkou. Jaká je PST 2. hod > 1.hod? Ω = {[1,1], [1,2],, [6,6],}; Ω = 36 B = {[1,2], [1,3],, [5,6]}; A = 15 tady to chce asi umět kombinatoriku Př. 3: 3x hodím kostkou. PST, že nepadne 6? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116,, 666}; Ω = 6 3 = 216 A = {111, 112,, 555}; A = 5 3 = 125 Př. 4: 3x hodím kostkou. PST, že součet max. 5? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116,, 666}; Ω = 6 3 = 216 A = {111, 112,,122}; A = Nezávislé jevy Jev A je na podmínce B nezávislý, pokud přidání B neovlivní PST. Nezávislé: (PST jevu A za podmínky B) 7. Úplná PST Př. 13: švestky od 3 dodavatelů I dodává 50% švestek, z toho je 5% červavých P(AH 1) = 0.05 II dodává 30% švestek, z toho je 8% červavých P(AH 2) = 0.08 III dodává 20% švestek, z toho je 15% červavých P(AH 3) = 0.15 a) Náhodně vyberu švestku. Jaká je PST, že je červavá? H 1 švestka od I P(H 1) = 0.5 H 2 švestka od II P(H 1) = 0.3 H 3 švestka od III P(H 1) = 0.2 P(A) = = b) Vytáhl jsem červavou, jaká je PST, že je od III? Př. 5: 3x hodím kostkou. PST, že 3 různá čísla? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116,, 666}; Ω = 6 3 = 216 A = = Bayesův vzorec ( ) Př. 6: 6 mincí. PST, že 6x líc? Ω = 2 6 = 64 A = {rrrrrr}; A = 1 Př. 7: 6 mincí. PST, že 3x líc, 3x rub? Ω = 2 6 = 64 A = {lllrrr, llrrrl, lrrrll, }; A = = 20 Př. 8: 6 mincí. PST, že lic>rub? Ω = 2 6 = 64 0 líc, 1 rub 2. Diskrétní PST Můžu použít pokud Ω je konečná nebo spočetná množina, a přitom ω i nemusí nastat se stejnou PST. Př. 9: Opakovaně hážu jednou mincí, dokud 2x po sobě nepadne líc. Jaká je PST, že skončím nejpozděj 5. hodem? Ω = {lllll, llllr, llrll, }; Ω = 2 5 = 32 A = {rrll, lrrll, rlrll, rrll, rll, ll, lrll}; 3. Geometrická PST Př. 10: H a M se domluvili, že se sejdou mezi 8 a 9 hod. Každý bude čekat 15 min. Jaká je PST, že se potkají? Spočátím obsah vybarveného / obsah celého čtverce a mám výsledek. 4. Jevové pole Př. 11: 3 kostky. PST, že na dvou stejné číslo? Ω = 6 3, A = 6 2 Př. 14: Nemoc má 15% lidí. Pokud člověk má nemoc, test je pozitivní ve 100% případech. Pokud člověk nemá nemoc, test je pozitivní ve 10% případech. Test je pozitivní, jaká je PST, že jsem nemocný? H 1 člověk má nemoc P(H 1) = 0.15 H 2 člověk má nemoc P(H 2) = 0.85 A test je pozitivní P(AH 1) = 1; P(AH 2) = 0.1 P(A) = = Př. 15: Tahám ze 3 sáčků podle toho co hodím kostkou. Jaká je pst, že vytáhnu bílou? Jaká je PST, že vytáhnu bílou? P(A) = 1/2 P(B) = 1/3 P(C) = 1/6 P(KA) = 1/4 P(KB) = 1/3 P(KC) = 1/2 Př. 16: př. 15 naopak. Vytaháhl jsem bílou. Jaká je PST že je z XXX? Př. 17: 4 dodavatelé. A: dodává 30%, z toho 3% špatná B: dodává 25%, z toho 2% špatná C: dodává 25%, z toho 4% špatná D: dodává 20%, z toho 5% špatná a) Náhodně vyberu. Jaká PST, že je špatná? P(K) = 0.3x x x x0.05 = b) Vytáhl jsem bílou. Jaká PST, že je od D?

5 Př. 18: Test má 4 otázky, každá 3 varianty. 10% studentů to umí, 90% tipuje. Test je zcela správně. Jaká je PST, že to uměl (je z 10%)? P(A) = 0.1 P(KA) = 1 P(B) = 0.9 P(KB) = P(K) = 0.1x x = Náhodné veličiny (diskrétní) náhodná veličina = fce. Př. 20: 4x hodím mincí. PST, že padne X rubů. Na toto jsem přišel tak, že jsem si vypsal všechny možnosti a spočítal to. P(0) = P(X=0) = 1/16 P(3) = P(X=3) = 2/16 P(1) = P(X=1) = 7/16 P(4) = P(X=4) = 1/16 P(2) = P(X=2) = 5/16 Graf: Histogram: Distribuční fce: Př. 24 Loterie, vyhává každý 5. los (20%). Koupím 15 losů, x=počet vyhrávajících. a) PST, že žádný nevyhrává? X~Bi(15,1/5) b) PST, že alespoň 3 vyhrávají? = 1 p(0) p(1) p(2) = p(1,2) spočítím přesně stejně jak p(0) Poissonovo rozdělení X počet událostí za jednotku času, průměrně nastává λ událostí za jednotku času. X~Po(λ) EX = λ; DX = λ Př. 23 Dilema úředníka, lidi chodí náhodně. V průměru za 4lidi/1h. a) Jaká je PST, že během 20 min nepřijde nikdo? Nejprve musím určit lambda Distribuční FCE F(x) = P(X < x); F = součet předchozích, jsou to stoupající schody 8.2. Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny jakási průměrná hodnota Př. 20 pokračování: X = počet lidí/20min; X~Po(4/3) b) PST, že během 20 min příjde 3 a více lidí. Př. 24 Porodnice, událost narození. V průměru 13 dětí/8hodin. X~Po(λ) a) PST, že během 1h 0 dětí. λ = 13/ Rozptyl Př. 20 pokračování: b) PST, že během 1/2h 2 děti. λ = 13/ Směrodatná odchylka 8.5. Rozdělení PST Geometrické rozdělení Mnoho opakování, stejné podmínky, opakuju dokud je úspěch. X ~ Ge(p); p(k) = p k (1-p); k = 0,1, Exponenciální rozdělení X doba mezi dvěma výskyty události, λ počet událostí za jednotku času. Podmínka: pro kladná x: Normální rozdělení Př. 21 Hážu kostkou dokud nepadne 6. a) Jaká PST, že 6 padne max 2. hodem? P(0) + P(1) b) Jaká je střední hodnota? 1 5 úspěch, p = 5/6 x počet úspěšnýcho hodů; X = Ge(5/6) Převod na standardizované normální rozdělení Př. 25: Zadání: μ = 998[g]; σ = 6 [g]. Balení je v normě pokud má g. Náhodně vyberu, jaká je PST, že je v normě? X~No(998,6 2 ) Binomické rozdělení X~Bi(n,p) EX = np DX = np(1-p) Př. 22 5x hodím kostkou. a) EX =?; b) PST, že padla 2x 6? X~Bi(5,1/6) a) EX = 5x(1/6) = 5/6 b) Př. 26: Zadání: plním 2l lahev. μ = 1992[ml], σ = 8.5[ml], X=No(1992, ) a) PST, že náhodná lahev má <= 2000 ml? b) PST, že náhodná lahev má ml?

6 9.2. Distribuční funkce neklesající, spojitá c) PST, že náhodná lahev má >= 2010 ml? e) Jaký objem překlročí 1% lahví? obráceně P(X > α) = 0.01 α=? 9. Spojité náhodné veličiny Př. 27 V sáčku je 5 kuliček. 3 bílé a 2 černé. 3 náhodně vytáhnu. Jaká je PST, že mám X bílích? Pro X=1,2,3. p(x) = P(X=x) F(x) = P(X<x) A = {( b c c),( c b c),( c c b)} 9.3. Střední hodnota Nemusím počítat s nekonečnem, ale pouze tam kde je FCE nenulová Rozptyl 9.5. Směrodatná odchylka 10. Moive-Laplaceova věta převod Bi na No Př. 28: 100 kostek, PST, že 6 padne 15-25x? X~Bi(100; 1/6) P(15<=x<=25) = P(15)+P(16)+ NA DLOUHO X~No(μ,σ 2 ); μ=np; σ 2 = np(1-p) 11. Testování hypotéz H 0 náhoda, H 1 není náhoda, α určuje co je náhoda, T kritická hodnota kterou potřebuju spočítat Př. 29: zářivky. Průměrná životnost 950h = μ, σ = 80h. X~No(950, 80 2 ). Zlepšovák: 1100h, zkouším 1 kus. Distribuční FCE: 9.1. Hustota PST je nezáporná f(x), taková že: Př. 29: děti. Průměrná výška 138cm = μ, σ = 4,5cm (směr. od.) => rozptyl = 4,5 2. X~No(138, ) 6 dětí: 138, 142, 145, 168, 149, 150 cm. náhoda? Hledám zlomovou výšku T ( ) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) 0,00 0, ,30 0, ,60 0, ,90 0, ,20 0, ,50 0, ,80 0, ,10 0, ,40 0, ,01 0, ,31 0, ,61 0, ,91 0, ,21 0, ,51 0, ,81 0, ,11 0, ,41 0, ,02 0, ,32 0, ,62 0, ,92 0, ,22 0, ,52 0, ,82 0, ,12 0, ,42 0, ,03 0, ,33 0, ,63 0, ,93 0, ,23 0, ,53 0, ,83 0, ,13 0, ,43 0, ,04 0, ,34 0, ,64 0, ,94 0, ,24 0, ,54 0, ,84 0, ,14 0, ,44 0, ,05 0, ,35 0, ,65 0, ,95 0, ,25 0, ,55 0, ,85 0, ,15 0, ,45 0, ,06 0, ,36 0, ,66 0, ,96 0, ,26 0, ,56 0, ,86 0, ,16 0, ,46 0, ,07 0, ,37 0, ,67 0, ,97 0, ,27 0, ,57 0, ,87 0, ,17 0, ,47 0, ,08 0, ,38 0, ,68 0, ,98 0, ,28 0, ,58 0, ,88 0, ,18 0, ,48 0, ,09 0, ,39 0, ,69 0, ,99 0, ,29 0, ,59 0, ,89 0, ,19 0, ,49 0, ,10 0, ,40 0, ,70 0, ,00 0, ,30 0, ,60 0, ,90 0, ,20 0, ,50 0, ,11 0, ,41 0, ,71 0, ,01 0, ,31 0, ,61 0, ,91 0, ,21 0, ,51 0, ,12 0, ,42 0, ,72 0, ,02 0, ,32 0, ,62 0, ,92 0, ,22 0, ,52 0, ,13 0, ,43 0, ,73 0, ,03 0, ,33 0, ,63 0, ,93 0, ,23 0, ,53 0, ,14 0, ,44 0, ,74 0, ,04 0, ,34 0, ,64 0, ,94 0, ,24 0, ,54 0, ,15 0, ,45 0, ,75 0, ,05 0, ,35 0, ,65 0, ,95 0, ,25 0, ,55 0, ,16 0, ,46 0, ,76 0, ,06 0, ,36 0, ,66 0, ,96 0, ,26 0, ,56 0, ,17 0, ,47 0, ,77 0, ,07 0, ,37 0, ,67 0, ,97 0, ,27 0, ,57 0, ,18 0, ,48 0, ,78 0, ,08 0, ,38 0, ,68 0, ,98 0, ,28 0, ,58 0, ,19 0, ,49 0, ,79 0, ,09 0, ,39 0, ,69 0, ,99 0, ,29 0, ,59 0, ,20 0, ,50 0, ,80 0, ,10 0, ,40 0, ,70 0, ,00 0, ,30 0, ,60 0, ,21 0, ,51 0, ,81 0, ,11 0, ,41 0, ,71 0, ,01 0, ,31 0, ,70 0, ,22 0, ,52 0, ,82 0, ,12 0, ,42 0, ,72 0, ,02 0, ,32 0, ,80 0, ,23 0, ,53 0, ,83 0, ,13 0, ,43 0, ,73 0, ,03 0, ,33 0, ,90 0, ,24 0, ,54 0, ,84 0, ,14 0, ,44 0, ,74 0, ,04 0, ,34 0, ,00 0, ,25 0, ,55 0, ,85 0, ,15 0, ,45 0, ,75 0, ,05 0, ,35 0, ,20 0, ,26 0, ,56 0, ,86 0, ,16 0, ,46 0, ,76 0, ,06 0, ,36 0, ,40 0, ,27 0, ,57 0, ,87 0, ,17 0, ,47 0, ,77 0, ,07 0, ,37 0, ,60 0, ,28 0, ,58 0, ,88 0, ,18 0, ,48 0, ,78 0, ,08 0, ,38 0, ,80 0, ,29 0, ,59 0, ,89 0, ,19 0, ,49 0, ,79 0, ,09 0, ,39 0, ,00 0,