Zjednodušená deformační metoda (2):

Transkript

1 Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy.

2 Prut s kloubově připojeným koncem Při řešení spojitých nosníků a rámů s neposuvnými styčníky def. metodou uvažujeme jako základní neznámé styčníková pootočení, kterým není bráněno vazbami. Počtu těchto neznámých odpovídá počet rovnic (styčníkových podmínek rovnováhy), které musíme řešit. Počet neznámých a tím i počet rovnic soustavy můžeme snížit uvážením nulových momentů v kloubových styčnících tzv. statickou kondenzací.

3 Prut s kloubově připojeným koncem 1 standardní postup vylepšený postup + =0 =0 + =0 základní neznámé rovnice 1 základní neznámá 1 rovnice

4 Prut s kloubově připojeným koncem Tuhé připojení vlevo, kloub vpravo (VK) M ba = 0 M ab M ba + + =0 = + + = + + = = + = + =, +, =0,, 4

5 Prut s kloubově připojeným koncem =, +, = Např. f L = 1 1, = 1 1, = = = 1 8 5

6 Prut s kloubově připojeným koncem - průhyb Vliv pootočení styčníků na průhyby Řešením dif. rovnice ohybové čáry obdržíme rovnice průhybů pro stav (ϕ), = +, = pro zjednodušení zápisu bezrozměrná souřadnice 6

7 Shrnutí vzorců pro ZDM s neposuvnými styčníky Základní případ prut s tuhým připojením ke styčníkům (VV) = + = + =! = = + 7

8 Shrnutí vzorců pro ZDM s neposuvnými styčníky Prut s tuhým připojením vlevo a kloubovým vpravo (VK),, = = 4 =!, =0, = + = 8

9 Shrnutí vzorců pro ZDM s neposuvnými styčníky Prut s kloubovým připojením vlevo a tuhým vpravo (KV),, =0, = = 4 =!, = = 9

10 Tabulka pro deformační metodu 10

11 Tabulka pro deformační metodu Koncové momenty pro stav (f) Koncové momenty pro stav (f) + (ϕ) 11

12 Příklad rám s pruty KV Zadání f = 60 kn/m Pruty, styčníky, neznámé 4 m 1 KV! =48 MNm =48 10 knm 6 m KV základní neznámá... příslušná podmínka rovnováhy... + =0 1

13 Příklad rám s pruty KV f = 60 kn/m Prut 1-1 KV 4 m Z tabulky DM! =48 MNm =48 10 knm KV 6 m =, +! ( ) = 8 +! = =

14 Příklad rám s pruty KV f = 60 kn/m Prut - 1 KV 4 m Z tabulky DM! =48 MNm =48 10 knm KV 6 m =, +! ( ) =0+! = =

15 Příklad rám s pruty KV f = 60 kn/m Rovnováha styčníku 1 4 m = = m Základní rovnice def. metody + = = =10 = 10 - rad = [mrad] 15

16 Příklad rám s pruty KV 1 f = 60 kn/m 4 m Koncové momenty = 10 - rad = [mrad] = = 48 [knm] =4 10 =48 [knm] 6 m Kontrola rovnováhy styčníku 16

17 Příklad rám s pruty KV f = 60 kn/m Koncové síly prutů 1 = 48 [knm] =48 [knm] 4 m 6 m 17

18 Příklad rám s pruty KV 1 f = 60 kn/m 4 m Koncové osové síly prutů ze silových podmínek rovnováhy styčníku 6 m 18

19 Příklad rám s pruty KV 1 f = 60 kn/m 4 m Průběhy M, V 6 m 19

20 Příklad rám s pruty KV Průběhy M, V M [ knm] V [ kn] 8 0

21 Příklad rám s pruty KV Průběh N 8 N [ kn] 1 1

22 Příklad rám s pruty KV Výpočet posunů (prut -) výpočet posunů kolmých na osu prutu, =, = pro prut - jde o vodorovný posun (kolmý na osu svislého prutu) kladná orientace posunu lokální osa (pro prut -) hodnota vodorovného posunu uprostřed výšky sloupu = 0,5 0,5 = 6 ( 0,75)=,5 mm lokální osa (pro prut -)

23 Příklad rám s pruty KV Deformovaný tvar konstrukce deformovaný tvar [ 00 ]

24 Zanedbání vlivu styčníkových posunů Proč jsme v příkladech brali v úvahu pouze pootočení nepodepřeného styčníku, ale ne jeho posuny?? Použili jsme tzv. zjednodušenou deformační metodu (ZDM), podle které je normálová tuhost považována za nekonečnou, takže nedochází ke změně délky střednice. 4

25 Zanedbání vlivu styčníkových posunů Důsledky použití ZDM s neposuvnými styčníky pro konstrukce Je-li posunutí ve styčníku v důsledku zkrácení sloupu velmi malé... můžeme zanedbat. Vodorovnému posunutí patra nebrání vazby... nelze zanedbat!! 5

26 ZDM s posuvnými styčníky Lze použít zjednodušenou deformační metodu (t.j. uvažovat normálovou tuhost prutů ) i v případě, kdy posunutí styčníků není bráněno vazbami? Ano, ale posunutí styčníků v důsledku ohybu prutů je třeba zohlednit =9...posunutí patra = 8...posunutí sloupu Styčníkové posuny ve směru osy prutu nejsou nezávislé, ale jsou vázány podmínkou nestlačitelnosti prutu (patra nebo sloupu). Pro řešení těchto posunů použijeme silové podmínky rovnováhy patra nebo sloupu. Pro sestavení těchto podmínek budeme potřebovat koncové síly prutů. 6

27 ZDM s posuvnými styčníky Koncové momenty a síly prutu Vztahy pro koncové síly a momenty nejprve vyjádříme v lokální souřadnicové soustavě prutu. Jsou považovány za kladné, pokud styčník působí na prut v kladném smyslu. a b a b 7

28 ZDM s posuvnými styčníky Výpočet koncových momentů a sil Pro výpočet koncových sil a momentů prutu použijeme superpozici tří pomocných stavů () () () () Stav () pouze skutečné zatížení prutu, nulové pootočení a posuny styčníků () () () () Stav () pouze pootočení styčníků (=) (=) (=) (=) Stav () pouze posunutí styčníků 8

29 Koncové síly prutu v lokální souř. soustavě Koncové síly a momenty od zatížení prutu - stav() () () () > () () () / / () () Řešením dif. rovnice jsme dříve odvodili = 1 = 1 = > 8 = > 8 Z podmínek rovnováhy prutu () = () = () > = () = > 9

30 Koncové síly prutu v lokální souř. soustavě Koncové síly a momenty od koncových pootočení - stav() () () () () =! Řešením dif. rovnice jsme dříve odvodili = + = + Z podmínek rovnováhy prutu = + = + = + = + 0

31 Koncové síly prutu v lokální souř. soustavě Koncové síly a momenty od koncových posunutí - stav() Řešením dif. rovnice AA =0 =B +B +B +B C 0 =... B C = A 0 =0... B =0 = A =0 E... B = ( ) B = ( ) = ( ) ( ) + 1

32 Koncové síly prutu v lokální souř. soustavě Koncové síly a momenty od koncových posunutí - stav (w) = ( ) ( ) + =! =! ( ) =! 6 =! ( ) 6 = ( ) 6

33 Koncové síly prutu v lokální souř. soustavě Koncové síly a momenty od koncových posunutí - stav (w) (=) (=) (=) ()= ( ) 6 G = A = ( ) 6 (=) = = 0 = ( ) = = = ( ) = = G 0 = 6 ( ) = =G = 6 ( )

34 Koncové síly prutu v lokální souř. soustavě Koncové síly a momenty ohybové účinky koncových přemístění () () () () (=) () (=) = + (=) (=) (=) (=) (=) () (=) = + (=) () (=) = + (=) () (=) = + 4

35 Koncové síly prutu v lokální souř. soustavě Koncové síly a momenty ohybové účinky koncových přemístění = = + + = = + + (=) = + + (=) (=) (=) (=) (=) = + + 5

36 ZDM s posuvnými styčníky Globální a lokální souřadnicové soustavy Při použití ZDM pro konstrukce s posuvnými styčníky budeme používat jako základní neznámé pootočení a patrové/sloupové posuny 9, vztažené ke globální souřadnicové soustavě. x, u x, u z, w z, w V globální souřadnicové soustavě budeme také sestavovat silové podmínky rovnováhy. z, Z x, X 1 4 6

37 ZDM s posuvnými styčníky Vztahy pro koncové síly a momenty prutu jsme ale odvodili vzhledem k lokální souřadnicové soustavě 7

38 ZDM s posuvnými styčníky Transformace mezi souřadnicovými soustavami pro pravoúhlé rámy Doporučená volba lokání souřadnicové soustavy lokální osa je orientovaná dolu nebo doprava, např x globální soustava x z z lokální soustava prutu 8

39 ZDM s posuvnými styčníky Doporučená volba lokání souřadnicové soustavy lokální osa je orientovaná dolu nebo doprava, např globální soustava x, u, X 1 4 Svislý prut, např. 7- z, w, Z =9 =I H 9 10 Vodorovný prut, např. - =9 H =I H = = = = 9

40 ZDM s posuvnými styčníky Základní neznámé a rovnice ZDM Styčníkové pootočení Momentová podmínka styčníku Posunutí patra nebo sloupu Silová podmínka rovnováhy patra nebo sloupu (tzv. patrová nebo sloupová rovnice) 40

41 ZDM s posuvnými styčníky Základní neznámé a rovnice ZDM - příklady 1 4 I +I C => J 41

42 ZDM s posuvnými styčníky Základní neznámé a rovnice ZDM - příklady C + 8K => L

43 ZDM s posuvnými styčníky Základní neznámé a rovnice ZDM - příklady

44 ZDM s posuvnými styčníky Základní neznámé a rovnice ZDM - příklady

45 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Autor srdečně děkuje kolegům prof. Milanovi Jiráskovi a doc. Jitce Bittnarové za to, že mu laskavě poskytli své přednáškové materiály jako zdroj nejen inspirace, ale i některých formulací, obrázků a příkladů. Datum poslední revize