FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1"

Transkript

1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do ) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od ) Autoři textu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (hlvní utor) Doc. RNDr. Jromír BAŠTINEC, CSc. Mgr. Helen DURNOVÁ, Ph.D. Mgr. Mrtin ŘEZÁČ

2 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 1 Obsh 0.1 Oznčení Zákldní pojmy mtemtické logiky teorie množin Zákldní mtemtické pojmy Množin Elementy mtemtické logiky Kvntifikátory Tvrzení, věty, logické symboly Definice, věty, druhy důkzů Číselné množiny Intervly Zákldní vlstnosti komplexních čísel Algebrický tvr komplexního čísl Trigonometrický tvr komplexního čísl Exponenciální tvr komplexního čísl De Moivreov vět Odmocňování komplexního čísl Zvedení pojmu funkce, inverzní funkce, funkce dvou více proměnných Speciální typy funkcí Inverzní funkce Trigonometrické funkce Inverzní trigonometrické funkce Exponenciální logritmické funkce Hyperbolické inverzní hyperbolické funkce Definice funkce komplexní proměnné Mnohočleny rcionální funkce Mtice determinnty. Soustvy lineárních rovnic jejich řešení. 3.1 Mtice Determinnt Hodnost mtice Mticová lgebr Soustvy lineárních rovnic zákldní pojmy Řešení soustv lineárních lgebrických rovnic Gussov eliminční metod Vektorové prostory Vektorový prostor Báze, dimenze, souřdnice Trnsformce souřdnic

3 MATEMATIKA 1 4 Sklární, vektorový smíšený součin Sklární součin Ortogonální průmět Vektorový počet v E 3 - vektorový smíšený součin Anlytická geometrie lineárních kvdrtických útvrů Lineární útvry v E Přímk Rovin Polorovin, polopřímk, úsečk Vzájemná poloh dvou přímek Vzájemná poloh přímky roviny Vzájemná poloh dvou rovin Anlytická geometrie lineárních útvrů Vzdálenost bodu od přímky Příčk mimoběžek Knonické tvry kuželoseček Knonické tvry kvdrik Kuželosečky kvdriky zákldní vlstnosti Diferenciální počet funkcí jedné proměnné ε - okolí Limit funkce Prvostrnná levostrnná limit funkce. Limit zprv zlev Nevlstní limit funkce Dlší přípdy limit Některé věty o limitách Limit složené funkce Některé známé limity Spojitost funkce Některé vlstnosti spojitých funkcí Odstrnitelná nespojitost Klsifikce nespojitostí Funkce spojité n uzvřeném intervlu Tečn ke křivce Derivce Fyzikální význm derivce Okmžitá rychlost Derivce zákldních elementárních funkcí Diferenciál funkce Derivce inverzní funkce Derivce diferenciály vyšších řádů Numerické derivování Derivování s progrmem MAPLE V Tylorovy polynomy

4 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně Tylorův vzorec Inverzní trigonometrické funkce jejich derivce Derivce hyperbolických funkcí Derivce inverzních hyperbolických funkcí Klsifikce funkcí Některé věty o diferencovtelných funkcích Testování monotónnosti funkce Extrémy funkcí Nutné podmínky pro extrémy Konvexnost konkávnost křivky. Inflexní body Asymptoty křivky Obecné schém pro vyšetřování průběhu funkce Některé numerické metody řešení nelineárních rovnic soustv rovnic Metod půlení (Metod rozdělování úsečky n dv stejné díly) Metod proporciálních částí Newtonov metod (Metod tečen) Iterční metod Iterční metod pro soustvu dvou rovnic Přibližný výpočet Řešení rovnic pomocí progrmu MAPLE V Vektorová funkce sklárního rgumentu Vektorová funkce. Hodogrf Limit spojitost vektorové funkce Derivce vektorové funkce Zákldní prvidl pro derivování vektorové funkce Aplikce v mechnice Komplexní funkce reálné proměnné Definice komplexní funkce Derivce komplexní funkce reálné proměnné Diferenciální počet funkcí více proměnných Diferenciální počet funkcí více proměnných Funkce v R n Limit funkce Spojitost funkce Prciální derivce Geometrický význm prciální derivce Grdient Diferenciální počet funkcí více proměnných Prciální derivce vyšších řádů Nezávislost smíšených derivcí n pořdí derivování Diferencovtelná funkce. Totální diferenciál Diferenciály vyšších řádů Rovnice tečné roviny k ploše

5 MATEMATIKA Geometrická interpretce totálního diferenciálu funkce dvou proměnných Aplikce totálního diferenciálu n přibližné výpočty Derivce složené funkce Směrová derivce Tylorův vzorec Implicitní funkce Výpočet derivce vyšších řádů pro implicitní funkce Dlší přípdy pro výpočet derivcí Extrémy funkcí více proměnných Dosttečné podmínky pro extrémy funkcí více proměnných Dosttečné podmínky pro obecný přípd Určení mximální minimální hodnoty funkce n uzvřené oblsti Vázné extrémy Integrální počet funkcí jedné proměnné - Neurčitý integrál Primitivní funkce (ntiderivce) neurčitý integrál Zákldní tbulk integrálů Některé vlstnosti integrálů Integrální počet funkcí jedné proměnné - dvě zákldní integrční metody čsto užívné integrční postupy Substituční integrční metod Integrce po částech (per prtes) Integrce podílu dvou mnohočlenů (rcionálních lomených funkcí) Integrce některých ircionálních funkcí Integrce trigonometrických funkcí Integrální počet funkcí jedné proměnné - určitý integrál jeho plikce Výpočet plochy obrzce omezeného křivkou Určitý integrál Vlstnosti určitého integrálu Odhd určitého integrálu. Vět o střední hodnotě Derivce integrálu vzhledem k horní mezi Newton-Leibnizov vět (Zákldní vzorec integrálního počtu) Integrce per prtes pro učité integrály Metod substituce pro určité integrály Numerické integrování Úvod Obdélníkové prvidlo Lichoběžníkové prvidlo Simpsonovo prvidlo (prbolické prvidlo) Složené kvdrtické formule Odhd chyb kvdrtických formulí Nevlstní integrály

6 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 5 1. Nevlstní integrály vlivem intervlu Nevlstní integrály vlivem funkce Aplikce určitého integrálu Obsh rovinného obrzce Délk oblouku Objem těles Objem rotčního těles Obsh rotční plochy Integrce s progrmem MAPLE V Anlytická integrce s progrmem MAPLE Určité integrály s progrmem MAPLE Dvojrozměrný vícerozměrný integrál (křivkový plošný integrál) Integrální počet funkcí více proměnných Objem křivostěnného válce Definice dvojného integrálu Některé vlstnosti dvojného integrálu Vyčíslení hodnoty dvojného integrálu Trojný integrál Geometrický fyzikální význm trojného integrálu Vyčíslení hodnoty trojného integrálu Křivkové integrály Křivkové integrály práce Nezávislost křivkového integrálu n cestě Greenov vět Důsledek Greenovy věty Obsh plochy Obsh plochy v prvoúhlých souřdnicích Plošné integrály Vět o divergenci Stokesov vět Vícerozměrný integrál II Metod substituce pro dvojné integrály Dvojný integrál v polárních souřdnicích Metod substituce pro trojný integrál Cylindrické souřdnice Sférické souřdnice

7 Seznm obrázků A B A B A \ B Komplexní číslo z = x + iy v komplexní rovině z, z - čísl komplexně sdružená Trigonometrický tvr komlexního čísl z 1 + z, z 1 z Řešení z 5 = Funkce rostoucí Funkce klesjící Funkce nerostoucí Funkce neklesjící Funkce lichá Funkce sudá Funkce periodická Funkce inverzní Funkce sinus Funkce cosinus Funkce tngens Funkce cotngens Funkce Arcsin, Arccos Funkce Arctg, Arccotg Funkce exponenciální Funkce logritmická Funkce sinh, cosh Funkce tgh, cotgh Kružnice: (x m) + (y n) = r Elips: (x m) + (y n) = b Hyperbol: (x m) (y n) = b Prbol: (y n) = p(x m) Koule: x + y + z = Elipsoid: x 4 + y + z = Jednodílný hyperboloid: x + y z = Dvojdílný hyperboloid: x + y z =

8 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně Eliptický prboloid: x + y z = Hyperbolický prboloid: x y z = Kuželová ploch: x + y z = Eliptická válcová ploch: x + y = Hyperbolická válcová ploch: x y = Prbolická válcová ploch: y = px Grf funkce sin x Weierstrssov vět Význm Rolleovy věty Význm Lgrngeovy věty Konvergující iterční proces Divergující iterční proces Horní polokoule rotční prboloid Určitý integrál - ploch obrzce Určitý integrál - ploch obrzce Určitý integrál - ploch obrzce Obdélníkové prvidlo Lichoběžníkové prvidlo Simpsonovo prvidlo Ploch obrzce mezi dvěm křivkmi Délk oblouku Objem těles Objem těles - dvojný integrál Objem těles - dvojný integrál

9 Seznm tbulek Knonické tvry koželoseček Knonické tvry kvdrik

10 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně Oznčení N množin přirozených čísel Z množin celých čísel R množin reálných čísel Q množin rcionálních čísel I množin ircionálních čísel C množin komplexních čísel P n (x) polynom n-tého stupně proměnné x A m,n mtice typu m, n (s m řádky n sloupci) A = ( ij ) mtice s prvky ij I jednotková mtice O nulová mtice det A = A determinnt mtice A A 1 mtice inverzní k mtici A dj A mtice djungovná k mtici A A ks lgebrický doplněk prvku ks hod (A) hodnost mtice A (R n, +,.) vektorový prostor všech uspořádných n-tic dim P dimenze prostoru P. sklární součin vektorů, b x norm vektoru x konec důkzu A lineární obl množiny A MA A mtice přechodu od báze A k bázi A b vektor je ortogonální n vektor b f V = g zúžení funkce n podmnožinu A B krtézský součim množin A, B b vektorový součin vektorů, b [, b, c] smíšený součin vektorů, b, c

11 π π π π π π π sin x cos x tgx cotgx rccosx rcsinx rctgx Kpitol 1 rccotgx sinhx coshx Zákldní tghx pojmy tghx mtemtické tghx logiky cotghx cotghx teorie množin x x x cotghx P Sn Definujeme: ξ 0 ξ 1 ξ i 1 Sjednocení (součet) množin ξ i 1 A B: A B (A + B), ξ n 1 Rozdíl množin A B: A ξ\ n 1 B (A B), f(ξ 0 Průnik ) (součin) množin f(ξ A 0 ) B: A B (AB). f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) A f(ξ n 1 ) h h B π sin x cos x tgx cotgx rccosx rcsinx rctgx rccotgx sinhx coshx 3 x 3 x 3 x ( 1 )x ( 1 ( 1 )x ( 1 3 )x ( 1 )x 3 )x ( 1 3 )x log 1.1 x log Zákldní mtemtické x log pojmy x log 3 x log 3 x log 3 x log 1 x log 1 x log 1 x 1. log 1 xmnožin log 1 x log 1 x 3 V sin mtemtice 1 3 nzýváme jkýkoliv sin 1 3 soubor či systém objektů sin 1 x x xmnožin. Můžeme npříkld mluvit α o množině všech stromůα n psece, o množině husα psoucích se n louce či o množině β všech celých čísel. β β f(α) Znčí-li A množinu všech f(α) předmětů x je jeden z těchto f(α) předmětů, říkáme, že x je prvkem f(β) množiny A (x ptří dof(β) A) píšeme x A. f(β) Není-li ξ y prvkem A, píšeme yξ A nebo y A. ξ f() Jestliže pro libovolné x máf() vzth x A vždy z následek f() vzth x B, potom říkáme, žef(b) množin A je obsžen v Bf(b) nzýváme ji podmnožinou f(b) množiny B. V tom přípdě píšeme y = x A B. Relce A = y B= jex speciálním přípdem relce y = x A B. Pltí-li A B tkép S1 B A, pk píšeme A = B. P S1 P S1 PJe S nutné zvést tké pojem Pprázdné S množiny neobshující P S žádné prvky. Tuto množinu znčíme P Si. P Si P Si P Sn ξ 0 ξ 1 f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) A f(ξ n 1 ) h h B π sin x cos x tgx cotgx rccosx rcsinx rctgx rccotgx sinhx coshx P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) A f(ξ n 1 ) h h B Obrázek 1.1.1: A B Obrázek 1.1.: A B Obrázek 1.1.3: A \ B 10

12 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně Elementy mtemtické logiky 1. Kvntifikátory Z zákldní kvntifikátory povžujeme následující dv: Existenční kvnitfikátor: (existuje); npř. x R : x + = 5 Obecný kvntifikátor: (pro všechny, pro kždé); npř. x R : x 1 < x.. Tvrzení, věty, logické symboly Jko tvrzení lze oznčit npř. výrok Knih je bílá. Mtemtická vět, resp. mtemtické tvrzení je prvdivý mtemtický výrok, který má význm v mtemtické teorii. Mtemtickou větu nzýváme tké prvidlo (obshuje-li návod k výpočtu) nebo lemm (jedná-li se o pomocnou větu). Je-li tvrzení prvdivé, říkáme, že výrok pltí, npř. + 3 = 5. O neprvdivém tvrzení (neprvdivé formuli, kontrdikci) mluvíme tehdy, když výrok nepltí, npř. x < 100. Rozlišujeme následující typy výroků: Konjunkce: (, zároveň); npř. (x > 5) (x 6) = 5 < x 6 Disjunkce: (pltí jedno nebo druhé nebo obojí); npř. (x > 5) (x 6) = x R Implikce: = (jestliže... pk); npř x = 1 = x = ±1 Ekvivlence: (tehdy jen tehy); npř. x > 0 x 0 Negce: x > 0 = x Definice, věty, druhy důkzů Důkz přímý: Pro důkz tvrzení P = Q sestvíme řetězec prvdivých implikcí P = P 1 = P =... = P n = Q. Důkz nepřímý: Dokážeme (přímo) obměnu implikce P = Q, tedy Q = P. Důkz sporem: Vyjdeme z negce P dokzovného tvrzení P pomocí prvdivých implikcí odvodíme tvrzení neprvdivé. Tedy původní tvrzení P je prvdivé. Důkz mtemtickou indukcí: Tento důkz používáme pro dokzování tvrzení typu pro všechn n N, resp. pro všechn n n 0 pltí P. Důkz sestává ze dvou částí: v prvním kroku dokážeme tvrzení pro n 0 ve druhém (indukčním) kroku dokážeme, že pltí-li výrok P pro n, pk pltí i pro n + 1.

13 MATEMATIKA Číselné množiny Definujeme následující číselné množiny: N množin přirozených čísel; N = {1,, 3,... } Z množin celých čísel (celá čísl); Z = N {0, 1,, 3,... } Q množin rcionálních čísel; { m n }, m, n Z, n 0 Q + množin ircionálních čísel (npř., e (zákld přirozeného logritmu), π (Ludolphovo číslo), log 5,... ) R množin reálných čísel C množin komplexních čísel {(, b) : R, b R}, i komplexní jednotk, i = 1, z = + ib C. Pltí: R = Q Q +, N Z Q R C. 1.5 Intervly Budeme interpretovt čísl jko body (celočíselné nebo reálné osy) nopk body přímky jko čísl. Množin čísel x splňujících nerovnosti x b (resp. < x < b) se nzývá uzvřený (resp. otevřený) intervl s koncovými body b. Anlogicky definujeme intervly polootevřené, polouzvřené nekonečné: uzvřený intervl: [, b] nebo <, b >, x b otevřený intervl: (, b) nebo ], b[, < x < b polootevřený (polouzvřený) intervl: [, b), x < b ( (, b], < x b) nekonečné intervly: (, ), (, ], (, ), (, ), [, ). 1.6 Zákldní vlstnosti komplexních čísel 1. Algebrický tvr komplexního čísl Číslo z = x + iy, kde x y jsou libovolná reálná čísl i je imginární jednotk, se nzývá lgebrický tvr komplexního čísl. Pk x se nzývá reálná y imginární část komplexního čísl z.

14 P Si sin x Fkult elektrotechniky komunikčních P Sn cos x technologií VUT v Brně 13 ξ 0 tgx ξ cotgx 1 ξ i 1 rccosx Im(z) ξ n 1 rcsinx f(ξ 0 ) rctgx f(ξ 1 ) rccotgxy z f(ξ i 1 ) sinhx f(ξ n 1 ) coshx tghx h h cotghx x Re(z) x Obrázek 1.6.1: Komplexní číslo z = x + iy v komplexní rovině 3 x ( 1 )x Podle definice jsou si dvě( 1 3 komplexní )x čísl rovn tehdy jen tehdy, jsou-li si rovny jejich reálné imginární části. log xpotom je rovnost log 3 x log x 1 + iy 1 = x + iy 1 x ekvivlentní dvěm rovnostem log 1 x 3 sin 1 x 1 = x y 1 = y. α Komplexní číslo z = x + iy lze zobrzit β jko bod v rovině xy, n jejíž ose x je znázorněn reálná část z n ose y imginární f(α) část z (viz. obr.1.6.1). Pro účely tohoto zobrzení se os x nzývá reálná os os f(β) y se nzývá imginární os, rovin Oxy se pk nzývá komplexní rovin. ξ Komplexní číslo si lze předstvit f() tké jko vektor, jehož počátek je totožný s počátkem soustvy souřdnic konec s f(b) bodem, n nějž se zobrzí dné komplexní číslo. Souřdnice vektoru n osách x y znázorňují y = x reálnou imginární část komplexního čísl z. Je-li y = 0, pk komplexní číslo P S1 z = x+i0 = x je reálné číslo znázorněné bodem reálné osy; je-li nopk x = 0, číslo z P= S 0 + iy = iy se nzývá ryze imginární je znázorněno bodem (0, y) ležícím n imginární ose. P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h z z Obrázek 1.6.: z, z - čísl komplexně sdružená Číslo komplexně sdružené (viz. obr.1.6.) s dným komplexním číslem z = + ib znčíme z je definováno jko z = ib.

15 cotgx MATEMATIKA 1 rccosx rcsinx 14 rctgx rccotgx Operce odčítání je definován sinhx jko operce inverzní ke sčítání; tj. z = + ib se nzývá rozdíl mezi komplexními coshxčísly z 1 = 1 + ib 1 z = + ib, pltí-li = 1 nd b = b 1 b. tghx Operce dělení komplexních cotghxčísel je definován jko operce inverzní k operci násobení. Komplexní číslo z = + ib x se nzývá kvocientem komplexních čísel z 1 = 1 + ib 1 z = + ib, pltí-li z 1 = z 3 x z. Řešením této rovnice (z předpokldu, že z 0) dostáváme z = z 1 = ( ib ( 1 1 ib = 1 + b 1 b z + ib ib + + i b 1 1 b 3 )x b +. log b x log 3 x. Trigonometrickýlogtvr 1 x komplexního čísl log 1 x 3 Jelikož je komplexní číslo definováno jko dvojice čísel reálných, je přirozené zobrzovt sin 1 komplexní číslo z = + ib jkox bod v rovině xy s krtézskými souřdnicemi x = y = b. Tuto rovinu nzveme komplexní α rovinou; os x se nzývá reálná os, os y se nzývá imginární os komplexní β roviny. Je tké možné definovt pozici bodu v rovině f(α) pomocí polárních souřdnic (ρ, ϕ), kde ρ je vzdálenost bodu od počátku souřdnic ϕ f(β) je úhel, který svírá vektor průvodič s kldnou poloosou osy x. Kldný směr pro měření úhlu ϕ je směr proti pohybu hodinových ξ ručiček. Využijeme-li vzthu mezi krtézskými f() polárními souřdnicemi f(b) x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, y = x dostáváme tkzvný trigonometrický (nebo polární) tvr zápisu komplexního čísl: P S1 P S P Si z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 b z ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h ϕ ρ Obrázek 1.6.3: Trigonometrický tvr komlexního čísl Vzdálenost ρ se nzývá modul nebo bsolutní hodnot z; úhel ϕ se nzývá rgument nebo mplitud z (viz. obr.1.6.3). Obvykle používáme znčení ρ = z, ϕ = Argz. Je-li z = + ib, pk ρ = + b, tg(ϕ) = b.

16 cotgx Fkult elektrotechniky komunikčních rccosx technologií VUT v Brně 15 rcsinx rctgx rccotgx Argument komplexního čísl je jednoznčně definován ž n periodu π. Je vhodné oznčit jko rg z hodnotu rgumentu sinhx v intervlu coshx tghxϕ 0 rg z π + ϕ 0, kde ϕ 0 je libovolné pevně zvolené cotghx číslo (npř. ϕ 0 = 0 nebo ϕ 0 = π). Pk x 3 x ( 1 )x Argz = rg z + kπ (k = 0, ±1, ±,... ). Hodnot rg z se nzývá hlvní hodnot rgumentu. V následujícím budeme používt ϕ 0 = 0. ( 1 3 )x Argument komplexního čísllog z = x0 není definován jeho modul je roven nule. Dvě nenulová komplexní čísl log 3 jsou x si rovn tehdy jen tehdy, když jsou si rovny jejich log 1 x moduly hodnoty rgumentů se buďto rovnjí, nebo se liší o násobek π. log 1 x 3 sin 1 x 3. Exponenciální tvr komplexního čísl α Exponenciální tvr (exponenciální β oznčení) komplexního čísl f(α) z = ρe iϕ f(β) lze získt z trigonometrického tvru ξ užitím tzv. Eulerovy formule: f() e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. f(b) Podle prvidel násobení dostáváme pro z 1 = ρ 1 e iϕ 1 z = ρ e iϕ y = x z 1 z = ρ 1 ρ e i(ϕ 1+ϕ ) P S1 (1.6.1) P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.6.4: z 1 + z, z 1 z z 1 z = ρ 1 ρ e i(ϕ 1 ϕ ). z z 1 + z z 1 z z 1 z 1 + z Operce sčítání odčítání komplexních čísel odpovídjí opercím s vektory: součet dvou komplexních čísel (vektorů) z 1 z je vektor z 1 + z. Anlogicky se sestrojí vektor z z 1 jko rozdíl vektorů z z 1. Tk okmžitě dostáváme trojúhelníkové nerovnosti z 1 + z z 1 + z, z 1 z z 1 z.

17 MATEMATIKA De Moivreov vět Ze vzthu (1.6.1) lehce dostáváme tk zvnou De Moivreovu větu: kde n je kldné celé číslo. z n = [ρ(cos ϕ + i sin ϕ)] n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ), 5. Odmocňování komplexního čísl Komplexní číslo z 1 = n z se nzývá n-tou odmocninou komplexního čísl z, jestliže pltí z = z n 1. Je-li z 1 = ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) potom podle De Moivreovy věty (nebo Eulerovy formule) z n 1 = ρ n 1(cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ). Je-li z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), pk ρ = ρ n 1 = ρ 1 = n ρ ϕ = nϕ 1 = ϕ 1 = ϕ n. Jk bylo výše uvedeno, rgument komplexního čísl je definován jednoznčně ž n periodu π. Z toho důvodu dostáváme pro rgument komplexního čísl z 1 ϕ k = ϕ n + πk ; k = 0, 1,..., n 1, n kde ϕ je jedn z hodnot rgumentu komplexního čísl z. Tedy existují různá komplexní čísl která, umocněná n n-tou, jsou rovn témuž komplexnímu číslu z. Moduly těchto komplexních čísel jsou stejné jsou rovny n ρ, jejich rgumenty se liší o násobky π/n. Počet různých hodnot n-tých odmocnin komplexního čísl z je n. Body v komplexní rovině odpovídjící různým hodnotám n-té odmocniny komplexního čísl z leží ve vrcholech prvidelného n úhelník vepsného do kruhu o poloměru n ρ se středem v bodě z = 0. Odpovídjící hodnoty ϕ k získáme tk, že z k dosdíme hodnoty k = 0, 1,..., n 1. Klsická nlýz položil problém rozšíření reálných čísel tkovým způsobem, by výsledkem nejen elementárních opercí sčítání násobení, le tké operce odmocňování bylo číslo z téže (rozšířené) číselné množiny. Jk vidíme, komplexní čísl tento problém řeší. Dostli jsme vzorec n ( z = n ρ cos ϕ + kπ + i sin ϕ + kπ ), n n Příkld 1 Njděte všechny hodnoty i. Řešení. Nechť z = i = e iπ/. Pk z k = cos π/ + kπ k = 0, 1,..., n 1. + i sin π/ + kπ, k = 0, 1

18 sin 1 x Fkult elektrotechniky komunikčních α technologií VUT v Brně 17 β f(α) f(β) ξ z 0 = cos π 4 + i sin π f() 4 = (1 + i), f(b) z 1 cos 5π 4 + i sin 5π y = x 4 = (1 + i). Příkld Grficky znázorněte všechn řešení z 5 = 1. Řešení. P Si 3 P S1 P S P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 z z 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.6.5: Řešení z 5 = 1 z 3 z 4 z Zvedení pojmu funkce, inverzní funkce, funkce dvou více proměnných Nechť D f je číselná množin nechť je dán jistý předpis, podle něhož kždému číslu x D f přiřdíme (jedinou) hodnotu y. Pk říkáme, že n množině D f je definován (jednohodnotová) funkce píšeme: y = f(x), (x D f ). Pk y nzýváme hodnotou funkce (funkcí, závisle proměnnou), x rgumentem (nezávisle proměnnou). D f nzýváme definičním oborem funkce ( domin ), H f nzýváme oborem hodnot funkce ( imge ), y H f, H f = f(d f ). Dále říkáme, že funkce f zobrzuje množinu D f n množinu H f f nzýváme zobrzením. Pojem funkce může být tké chápán geometricky. 1. Speciální typy funkcí Definice 1 Funkce, pro niž pltí: se nzývá prostá. x 1, x D f (x 1 x ) = f(x 1 ) f(x ) Příkld 3 Jsou funkce y = x, y = cos x, y = x 1 jednohodnotové funkce ve svých definičních oborech D f? (Viz grfy funkcí.)

19 logtgx 3 x logtgx 3 x log 1 x log 1 cotgx cotgxx logmatematika 1 x 1 log 1 x rccosx 18 3 rccosx 1 3 rcsinxx rcsinx 1 x rctgx α rctgx α rccotgx Definice β Funkce f(x) je (n intervlu rccotgx I): β sinhx f(α) sinhx f(α) rostoucí, jestliže x 1, x I, x 1 < x : f(x 1 ) < f(x ) coshx f(β) coshx f(β) tghxξ tghxξ klesjící, jestliže x 1, x I, x 1 < x : f(x 1 ) > f(x ) cotghx f() cotghx f() f(b) x nerostoucí, jestliže x 1, x I, x 1 < x f(b) : f(x x 1 ) f(x ) y = 3 x y = 3 x ( 1 )x neklesjící, jestliže x 1, x I, x 1 < x( 1 : )x f(x 1 ) f(x ). P S1 ( 1 3 )x P S P Si P Sn log x log 3 x log 1 x ξ 0 log 1 x 3 ξ sin ξ 1 i 1 x ξ n 1 α β f(ξ 0 ) f(α) f(ξ 1 ) f(ξ f(β) i 1 ) ξ f(ξ n 1 ) f() h f(b) h y = x y f(x) f(x ) f(x 1 ) x 1 x Obrázek 1.7.1: Funkce rostoucí P S1 x P S1 P S P Si ( 1 3 )x log x logp 3Sn x y log 1 x ξ 0 log 1 x 3 ξ sin 1 ξ i 1 x ξ n 1 α f(x 1 ) f(ξ 0 β) f(x) f(α) f(ξ 1 ) f(x ) f(ξ f(β) i 1 ) ξ x 1 x f(ξ n 1 ) f() h f(b) h y = x Obrázek 1.7.: Funkce klesjící P S1 x P S P S P Si P Sn y P Si P Sn y ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h f(x 1 ) f(x ) f(x) x 1 x x ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h f(x ) f(x 1 ) x 1 x f(x) x Obrázek 1.7.3: Funkce nerostoucí Obrázek 1.7.4: Funkce neklesjící Definice 3 Rostoucí klesjící funkce se nzývjí ryze monotónní. Definice 4 Funkce f(x) se nzývá omezená, jestliže M R x D f : f(x) M.

20 log 1 x cotgx log 1 x log 1 x rccosx log 1 x Fkult 3 elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 19 sin 1 3 rcsinx sin 1 x x rctgx α rccotgx α β Příkld 4 Jsou funkce f(x) = x β, f(x) = sin x omezené? f(α) sinhx f(α) f(β) coshx Definice 5 Funkce f(x) se nzývá: f(β) tghx ξ ξ f() lichá, jestližecotghx x D f : f(x) = f( x), f() f(b) x f(b) sudá, jestliže x 3 x D f : f(x) = f( x), y = x ( 1 periodická, jestliže )x ω > 0, ω R, x P S1 D f : f(x + ω) = f(x). y = x P S1 P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h ( 1 3 )x log x log 3 x Obrázek 1.7.5: Funkce lichá y log 1 log 1 3 x x sin 1 x α β f(α) f(β) ξ f() f(b) y = x P S1 P S f(x) x P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.7.6: Funkce sudá y f(x) x P Si P Sn y ξ 0 ξ 1 ξ i 1 f(x) ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h x Obrázek 1.7.7: Funkce periodická 1.8 Inverzní funkce Uvžujme libovolnou funkci y = f(x) definovnou n množině E oznčme E 1 = f(e) obrz E. Přiřďme kždému y E 1 množinu všech x E, pro něž y = f(x). Dostáváme funkci x = ϕ(y) definovnou n E 1. Funkce ϕ(y) se nzývá funkce inverzní k f(x).

21 ( 1 3 )x MATEMATIKA 1 log x 0 log 3 x log 1 x log 1 x Budeme předpokládt, 3 že inverzní funkce je jednohodnotová. Tkto dostáváme zřejmé identity: ϕ[f(x)] = x, sin 1 x E f[ϕ(y)] = y, y E 1. Někdy je pohodlné oznčit funkci inverzní k f symbolem fα 1. Pk f 1 f(x) = x, x E ff 1 (y) = y, y E 1. β f(α) f(β) Příkld 5 f(x) = x, f 1 (x) = x, (y = x, x = y), x 0 ξ f() y = kx, k 0, k R, y = f(b) 1x, k y = x y = rccos x je inverzní k y = cos x n [0, π]. P S1 P S P Si P Sn y x ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h x x Obrázek 1.8.1: Funkce inverzní Vět Grfy inverzních funkcí f(x), f 1 (x) jsou symetrické podle osy y = x. Důkz. Nechť y = f(x), y = g(x) f[g(x)] = x. Je-li b = f(), pk g(b) = body [, b], [b, ] jsou symetrické podle osy y = x. 1.9 Trigonometrické funkce Funkce sinus: sin α, Funkce kosinus: cos α, Funkce tngens: tgα, funkce kotngens: cotgα.

22 sin f(α) x sin f(α) x cos f(β) Fkult x elektrotechniky komunikčních technologií cos f(β) x VUT v Brně 1 tgx ξ ξ cotgx f() f() rccosx f(b) rccosx f(b) rcsinx y = x rcsinx y = x rctgx rctgx P S1 P S1 rccotgx rccotgx P S P S sinhx P Si sinhx P Si coshx P Sn y coshx P Sn y tghx tghx ξ ξ cotghx sin x cotghx 0 ξ 1 ξ i 1 x ξ n 1 3 x ( 1 )x f(ξ 0 ) ( 1 3 )x f(ξ 1 ) log x f(ξ i 1 ) log 3 x log 1 x f(ξ n 1 ) log h 1 x 3 h 1 sin 1 x Obrázek α 1.9.1: Funkce sinus β f(α) f(β) ξ f() f(b) y = x P S1 P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 π y tgx π x ξ 1 ξ i 1 x ξ n 1 3 x ( 1 )x f(ξ 0 ) ( 1 3 )x f(ξ 1 ) log x f(ξ i 1 ) log 3 x log 1 x f(ξ n 1 ) log h 1 x 3 h 1 cos x sin 1 x Obrázek α 1.9.: Funkce cosinus β f(α) f(β) ξ f() f(b) y = x P S1 P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 π y cotgx π x ξ i 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) π π x ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) π π x f(ξ i 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.9.3: Funkce tngens Obrázek 1.9.4: Funkce cotngens

23 3 x ( 1 )x MATEMATIKA 1 ( 1 3 )x ( 1 3 )x log x log x log x log 1 x log Inverzní trigonometrické 3 x log 1 x funkce log 1 x log 1 x 3 sin 1 3 y = rcsin x (rkus sinus) je inverzní k sin funkci y = sin x; x x rcsin(sin x) x, sin(rcsin x) x, x D f = [ 1, 1]. α α β y = rccos x (rkus kosinus) je inverzní kβ funkci y = cos x; f(α) rccos(cos x) x, cos(rccos x) x, x f(α) D f = [ 1, 1]. f(β) f(β) ξ y = rctg x (rkus tngens) je inverzní k ξfunkci y = tg x; f() rctg(tg x) x, tg(rctg x) x, x Df() f = (, + ), f(b) f(b) y = x y = rccotg x (rkus kotngens) je inverzní y = x k funkci y = cotg x; P S1 rccotg(cotg x) x, cotg(rccotg x) x, P S1 x D f = (, + ). P S P S P Si P Si P Sn y P Sn y ξ 0 π ξ 0 π ξ 1 ξ 1 rccotgx rccosx ξ i 1 ξ i 1 π ξ n 1 rcsinx ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h π π π x 3 x ( 1 )x f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h 0 π rctgx x Obrázek : Funkce Arcsin, Arccos Obrázek 1.10.: Funkce Arctg, Arccotg 1.11 Exponenciální logritmické funkce y = x (exponenciální funkce), D f = R, > 0, R, y = log x (logritmická funkce) D f = (0, ) je inverzní k exponenciální funkci. y = x x = log y. Definice 6 y = log x jestliže y = x; > 0, 1, x > 0. Následující vzorec je užitečný: log β α = log γ α log γ β Je-li = 10, pk log 10 x = log x; je-li = e, pk log e x = ln x.

24 f() f() sin f(b) x sin f(b) x Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 3 cos y = x cos y = x tgx P S1 tgx P S1 cotgx P S cotgx P S P Si y P rccosx rccosx Si y P Sn P rcsinx rcsinx Sn rctgx ξ 3 x 0 rctgx ξ ( 1 ξ 0 log x rccotgx 3 )x 1 rccotgx ξ 1 ξ i 1 ξ sinhx i 1 1 log 3 x ξ n 1 ξ 3 coshx n 1 tghx f(ξ ( 1 x 0 ) x )x f(ξ 0 ) cotghx f(ξ 1 ) f(ξ 1 ) 1 f(ξ i 1 ) 1 log 1 x f(ξ 3 i 1 ) x x log 1 x f(ξ n 1 ) 3 h x ( 1 )x h ( 1 3 )x f(ξ n 1 ) 3 x h x ( 1 )x h ( 1 3 )x log x log x log Obrázek : Funkce exponenciální Obrázek 1.11.: Funkce logritmická 3 x log 3 x log 1 x log 1 x log 1 x log 1 x 3 3 sin 1 sin 1 x x αdefinice 7 α β sinh x = ex e β x (hyperbolický sinus), f(α) f(α) f(β) cosh x = ex +e x f(β) (hyperbolický kosinus), ξ ξ f() tgh x = sinh x e x (hyperbolickýf() tngens), cosh x e x +e f(b) x f(b) y = x cotgh x = cosh x +e x (hyperbolický y = kotngens). x sinh x e x e x P S1 P S1 P S P S P Si y P Si y P Sn π P Sn π cotghx ξ 0 coshx ξ Hyperbolické inverzní hyperbolické funkce ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h sinhx π π 1 π 0 π x ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h π π tghx π x Obrázek 1.1.1: Funkce sinh, cosh Obrázek 1.1.: Funkce tgh, cotgh

25 MATEMATIKA 1 4 Inverzní hyperbolické funkce: y = rgsinh x (je funkce inverzní k y = sinh x) y = rgcosh x (je funkce inverzní k y = cosh x) y = rgtgh x (je funkce inverzní k y = tgh x) y = rgcotgh x (je funkce inverzní k y = cotgh x) Některé vzorce: cosh x sinh x = 1, cosh x = cosh x + sinh x, sinh x = sinh x cosh x, cosh 1 x = 1 tgh x, sinh x = tgh x 1 tgh x Definice funkce komplexní proměnné Předpokládejme, že je dán vektorová funkce sklárního rgumentu, jejíž průmět n osu z je identicky roven nule pro všechny hodnoty prmetru t. Pk A(t) = x(t) i + y(t) j (1.13.1) křivk r = A(t) leží celá v rovině Oxy. V tomto přípdě je příhodné povžovt vektor r = x i + y j z geometrickou reprezentci komplexního čísl z = x + iy mluvit místo o vektorové funkci r(t) = x(t) i+y(t) j o komplexní funkci z(t) = x(t)+iy(t) reálné proměnné t. Vektor i není totožný s imginární jednotkou. Definice 8 Jestliže je kždé hodnotě prmetru t přiřzeno určité komplexní číslo z(t) = x(t) + iy(t), (1.13.) kde x(t) y(t) jsou funkce nbývjící reálných hodnot, z(t) se nzývá komplexní funkce reálného rgumentu t. Prmetr t nbývá hodnot z dného intervlu. Grf komplexní funkce z(t) = x(t) + iy(t) je, podle definice, křivk s prmetrickými rovnicemi x = x(t), y = y(t); tedy, hodogrfy vektorové funkce (1.13.1) komplexní funkce (1.13.) jsou shodné. Příkld 6 Pro funkci z(t) = t + it, t (, + ) máme x = t y = t. Hodogrfem je prbol y = x. Pokud t nbývá hodnot od do +, body prboly se pohybují tk, že kldná část osy y zůstává vždy vlevo.

26 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně Mnohočleny rcionální funkce Definice 9 Polynomem n-tého stupně proměnné x nzveme výrz P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0, kde n N n,..., 1, 0 jsou libovolná reálná či komplexní čísl, přičemž n 0. Polynomu může být zpsán i ve tvru P n (x) = x + + n 1 x n 1 + n x n. Podle toho, z jké množiny bereme koeficienty i, i = 1,,..., n, mluvíme o polynomu celočíselném, reálném, rcionálním, komplexním, td. Polynomy můžeme sčítt, násobit číslem, násobit mezi sebou dělit. Nechť pro n m máme P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0, potom Q m (x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0, P n (x) + Q m (x) = ( 0 + b 0 ) + ( 1 + b 1 )x + + ( m + b m )x m + m+1 x m n x n, kde Pro n m pltí αp n (x) = (α n )x n + (α n 1 )x n (α 1 )x + (α 0 ), P n (x) Q m (x) = c n+m x n+m + + c 1 x + c 0, c k = i+j=k i b j, i = 0, 1,..., n, j = 0, 1,..., m. P n (x) Q m (x) = S n m(x) + R k(x) Q m (x), kde R k (x) je zbytek stupně k < m, což můžeme zpst ve tvru P n (x) = S n m (x)q m (x) + R k (x). Definice 10 Polynom D(x), který dělí beze zbytku polynomy P n (x) Q m (x) se nzývá společným dělitelem polynomů P n (x) Q m (x). Polynom D(x), který má ze všech společných dělitelů nejvyšší stupeň, se nzývá největší společný dělitel polynomů P n (x) Q m (x). Eukleidův lgoritmus Nechť jsou dány nenulové polynomy P, Q, stupeň P = st (P ) > st (Q). Polynom P vydělíme polynomem Q dostneme částečný podíl S zbytek R 1, st (R 1 ) < st (Q): P = QS + R 1.

27 MATEMATIKA 1 6 Nyní vydělíme polynom Q zbytkem R 1 získáme částečný podíl S 1 zbytek R, st (R ) < st (R 1 ), Q = R 1 S 1 + R. Vydělíme polynom R 1 zbytkem R dostneme R 1 = R S + R 3. Pokrčujeme dále, ž v k-tém kroku dostneme R k = R k 1 S k 1 + R k. Protože st (R k ) < st (R k 1 ) < < st (R ) < st (R 1 ) < st (Q) < st (P ), po konečném počtu t kroků dostneme R t = R t 1 S t 1 + R t, R t 1 = R t S t + 0. Z poslední rovnosti plyne, že polynom R t je dělitelem polynomu R t 1. Doszením do předposlední rovnosti dostneme R t = R t S t S t 1 + R t = R t (S t S t 1 + 1), neboli R t je i dělitelem polynomu R t tk můžeme pokrčovt dále ukázt, že všechny polynomy R j, j < t jsou dělitelné polynomem R t, tedy i P Q jsou dělitelné R t. Obráceně, nechť je polynom D společným dělitelem polynomů P Q. Potom D bude dělitelem polynomu R 1. Jestliže D dělí Q R 1, potom dělí i R. Jestliže dělí R 1 R, dělí i R 3, td., polynom D tedy musí dělit i R t. R t je tedy největším společným dělitelem polynomů P Q. Definice 11 Číslo α je kořenem polynomu P n (x), jestliže pltí P n (α) = n α n + n 1 α n α + 0 = 0. Vět Zákldní vět lgebry Kždý polynom s reálnými nebo komplexními koeficienty stupně n 1 má spoň jeden kořen, obecně komplexní. Vět Bézoutov Číslo α je kořenem polynomu P n (x) stupně n 1 právě tehdy, když P n (x) = (x α)q n 1 (x), kde Q n 1 (x) je vhodný polynom stupně n 1. Důsledek 1 Kždý polynom P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0, stupně n 1 s (komplexními) kořeny α 1, α,..., α n, přičemž kořeny nemusí být nvzájem různé, se dá rozložit n součin kořenových činitelů P n (x) = n (x α 1 )(x α )... (x α n ).

28 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 7 Definice 1 Násobností kořene α rozumíme počet, kolikrát se α vyskytuje v rozkldu n kořenové činitele. Důsledek Kořen α polynomu P n (x) má násobnost k, jestliže P n (x) je dělitelný polynomem (x α) k, le není dělitelný polynomem (x α) k+1. Vět Hornerovo prvidlo Pro výpočet hodnoty polynomu P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0 v bodě x = α nebo pro určení koeficientů b i polynomu Q n 1 (x) = b n 1 x n b 1 x + b 0 vzniklého dělením polynomu P n (x) členem (x α) používáme tohoto postupu: x = α n n b n 1 b n... b 1 b 0 r, kde pltí b n 1 = n, b n = b n 1 α + n 1, b 1 = b α +, b 0 = b 1 α + 1, r = b 0 α + 0 = P n (α) Důsledek 3 Jestliže při použití Hornerov prvidl dostneme r = 0, potom je α kořenem polynomu P n (x). Vět Vietovy vzorce Mezi koeficienty kořeny polynomu pltí vzthy P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0 = n (x α 1 )(x α )... (x α n ) n 1 = n (α 1 + α + + α n ), n = n (α 1 α + α 1 α α α α n 1 α n ), = ( 1) n n (α 1 α... α n ). Důsledek 4 Kždý kořen dělí bsolutní člen.

29 MATEMATIKA 1 8 Vět Mějme polynom s celočíselnými koeficienty P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0. Celé číslo α může být kořenem, jestliže α dělí bsolutní člen 0. Rcionální číslo p (kde p je celé číslo q je přirozené číslo nesoudělné s p) může být q kořenem polynomu P n (x), jestliže p dělí bsolutní člen 0 q dělí koeficient u nejvyšší mocniny n. Definice 13 Nechť P n (x) Q m (x) jsou polynomy. Jejich podíl R(x) = P n(x) Q m (x) nzveme rcionální funkcí lomenou. Je-li n < m, mluvíme o rcionální funkci ryze lomené. Vět Kždá rcionální neryze lomená funkce R(x) se dá jednoznčně vyjádřit ve tvru R(x) = F (x) + G(x), kde F (x) je polynom stupně n m G(x) je rcionální funkce ryze lomená. Vět O rozkldu n prciální zlomky Mějme reálnou ryze lomenou rcionákní funkci R(x) = P n(x) Q m (x), n < m, s rozkldem jmenovtele n kořenové činitele nd R Q m (x) = m (x α 1 ) k 1 (x α ) k... (x α r ) kr (x +p 1 x+q 1 ) s 1 (x +p x+q ) s... (x +p v x+q v ) sv, kde α i, i = 1,,..., r jsou reálné kořeny násobnosti k i kvdrtický trojčlem x + p j x + q j j = 1,,..., v, p j 4q j < 0, reprezentuje dvojici komplexně sdružených kořenů s násobností s j. Potom + v j=1 R(x) = r i=1 ( ) Ai1 (x α i ) + A i (x α i ) + + A iki + (x α i ) k i ( Mj1 x + N j1 (x + p j x + q j ) + M jx + N j (x + p j x + q j ) + + M ) js j x + N jsj, (x + p j x + q j ) s j kde všechny koeficienty A ik, M js, N js jsou reálná čísl.

30 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 9 Příkld 7 Rozložte n prciální zlomky rcionální lomenou funkci R(x) = 6x + 7x + 4 x 3 + 3x 1. Řešení: Rozložíme jmenovtele n součin kořenových činitelů (nejlépe pomocí Hornerov schémtu). ( x 3 + 3x 1 = x 1 ) (x + 1). Máme jeden prostý reálný kořen x = 1 jeden reálný kořen x = 1, který má násobnost. Dosdíme podle předchozí věty dostneme: 6x + 7x + 4 x 3 + 3x 1 = A x 1 + B x C (x + 1). Neznámé koeficienty určíme tk, že celou rovnici vynásobíme jmenovtelem rcionální funkce (t.j. polynomem x 3 + 3x 1) uprvíme: 6x + 7x + 4 = A(x + 1) + B(x 1 )(x + 1) + C(x 1 ), 6x + 7x + 4 = A(x + x + 1) + B(x 1)(x + 1) + C(x 1), 6x + 7x + 4 = A(x + x + 1) + B(x + x 1) + C(x 1). Srovnáním koeficientů polynomů n obou strnách rovnice dostneme soustvu rovnic: 6 = A + B 7 = 4A + B + C 4 = A B C Soustv má jediné řešení Rozkld n prciální zlomky má proto tvr A =, B = 1, C = 1. 6x + 7x + 4 x 3 + 3x 1 = x x (x + 1). Příkld 8 Rozložte n prciální zlomky rcionální lomenou funkci F (x) = 16x3 15x + 6x + 5 (x 1) (x + x + 5). Řešení: Jmenovtel má jeden reálný kořen x = 1 násobnosti dvojici komplexně sdružených kořenů. Rozkld n prciální zlomky bude mít tvr: 16x 3 15x + 6x + 5 (x 1) (x + x + 5) = A x 1 + B ( ) x 1 + Cx + D x + x + 5.

31 MATEMATIKA 1 30 Po vynásobení společným jmenovtelem dostneme ( 16x 3 15x +6x+5 = 4A x 1 ) ( (x +x+5)+4b(x +x+5)+4(cx+d) x 1. ) Po úprvě dostneme soustvu rovnic, která má řešení Rozkld n prciální zlomky má tedy tvr A = 0, B = 1, C = 4, D = x 3 15x + 6x + 5 (x 1) (x + x + 5) = 1 (x 1) + 4x x + x + 5. Vět Mějme reálnou ryze lomenou rcionální funkci jejíž jmenovtel má pouze prosté kořeny R(x) = P n(x) Q m (x), n < m, Q m (x) = m (x λ 1 )(x λ )... (x λ m ), Potom kde R(x) = L 1 (x λ 1 ) + L (x λ ) + + L m (x λ m ), L i = P n(λ i ), i = 1,,..., m. Q m(λ i ) Příkld 9 Rozložte n prciální zlomky rcionální lomenou funkci R(x) = x + 1 (x 1)(x + x 6). Řešení: Rozložíme jmenovtele n součin kořenových činitelů. (x 1)(x + x 6) = (x + 1)(x 1)(x + 3)(x ). Všechny kořeny jsou reálné prosté. Rozkld bude mít tvr x + 1 (x 1)(x + x 6) = A x B x 1 + C x Po vynásobení rovnice jmenovtelem (x 1)(x + x 6) dostneme D x. x + 1 = A(x 1)(x + 3)(x ) + B(x + 1)(x + 3)(x ) + C(x + 1)(x 1)(x )+ +D(x + 1)(x 1)(x + 3).

32 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 31 Do poslední rovnice postupně doszujeme jednotlivé kořeny. Pro x 1 = 1 dostneme po doszení: ( 1) + 1 = A( 1 1)( 1 + 3)( 1 ) + B( 1 + 1)( 1 + 3)( 1 ) + C 0 + D 0, Pro x = 1: Pro x = 3: = A( )()( 3), A = = A(1 1)(1 + 3)(1 ) + B(1 + 1)(1 + 3)(1 ) + C 0 + D 0, = B()(4)( 1), B = 1 4. ( 3) + 1 = A 0 + B 0 + C( 3 + 1)( 3 1)( 3 ) + D 0, 10 = C( )( 4)( 5), C = 1 4. Pro x = : + 1 = A 0 + B 0 + C 0 + D( + 1)( 1)( + 3), 5 = D(3)(1)(5), D = 1 3. Konečný rozkld má tedy tvr x + 1 (x 1)(x + x 6) = 1 6(x + 1) 1 4(x 1) 1 4(x + 3) + 1 3(x ).

33 Kpitol Mtice determinnty. Soustvy lineárních rovnic jejich řešení..1 Mtice Definice 14 Nechť m, n jsou přirozená čísl. Jestliže kždé uspořádné dvojici (i, j) {1,,..., m} {1,,..., n} přiřdíme prvek ij R, obdržíme reálnou mtici typu (m, n) nd R. Čísl i, j jsou indexy, i je řádkový j je sloupcový index. Mtice zpisujeme jko n 1... n A = ( ij ) =.... m1 m... mn Mtice budeme oznčovt velkými písmeny. Speciální typy mtic: Mtice řádková B = ( 1,,..., n ). Mtice sloupcová C = 1. n Mtice digonální ij = 0 i j, D = mm. 3

34 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 33 Prvky ii i = 1,,..., min(m, n) tvoří hlvní digonálu. Mtice D je typu (m, m), obecně může mít digonální mtice buď ještě dlší sloupce, v nichž budou smé nuly, nebo dlší řádky, v nichž budou opět smé nuly. Jestliže m = n, potom mluvíme o čtvercové mtici řádu m Mtice jednotková I = Mtice jednotková je tedy čtvercová digonální mtice, která má n hlvní digonále smé jedničky. Mtice nulová O = ( ij ), ij = 0 i, j m1 Mtice trnsponovná A T 1... m =.... 1n n... mn. Mtice symetrická ij = ji i, j. Mtice téhož typu (m, n) nd R budeme znčit R m,n. Definice 15 Mtice A = ( ij ) je rovn mtici B = (b kl ), jsou-li obě mtice stejného typu stejnolehlé prvky se sobě rovnjí, tj. A R m,n, B R m,n, ij = b ij, i {1,,..., m}, j {1,,..., n}. Definice 16 Součtem dvou mtic A, B R m,n je mtice C R m,n tková, že c ij = ij + b ij. Číselným násobkem α R mtice A R m,n je mtice B R m,n tková, že b ij = α ij. Lineární kombincí mtic A 1, A,..., A k R m,n s koeficienty λ 1, λ,..., λ k nzveme mtici A = λ 1 A 1 + λ A + + λ k A k. Definice 17 Mějme rovnost λ 1 A 1 + λ A + + λ k A k = O (.1.1) kde O je nulová mtice. Mtice A 1, A,..., A k nzveme lineárně závislé, pokud λ i 0, i = 1,,..., k rovnost (.1.1) pltí. Mtice A 1, A,..., A k nzveme lineárně nezávislé, pokud rovnost (.1.1) pltí tehdy jen tehdy, když λ i = 0 pro i = 1,,..., k. Důsledek 5 Jsou-li A 1, A,..., A k lineárně závislé, potom lespoň jedn z nich je lineární kombincí zbývjících. Je-li některá z mtic A 1, A,..., A k lineární kombincí zbývjících, jsou mtice A 1, A,..., A k lineárně závislé. Je-li některá z mtic A 1, A,..., A k nulová, jsou mtice A 1, A,..., A k lineárně závislé.

35 MATEMATIKA 1 34 Příkld 10 Mtice A 1 = 1 0 0, A = závislé, protože pltí A 1 + A A 3 = O , A 3 = Příkld 11 Určete lineární závislost či nezávislost mtic 1 A 1 = 0, 1 A =, A 3 = 0 0 Řešení: Sestvíme si lineární kombinci těchto vektorů podle definice 17: Dosdíme λ λ 1 A 1 + λ A + λ 3 A 3 = + λ 1 0 λ 1 + λ λ + λ 3 λ 3 + λ 3 = =. Srovnáním stejnolehlých prvků dostneme soustvu rovnic λ 1 + λ = 0, λ + λ 3 = 0, λ 3 = 0, , 1 0 jsou lineárně která má řešení λ 1 = λ = λ 3 = 0. Podle definice 17 jsou mtice A 1, A, A 3 lineárně nezávislé.. Determinnt Definice 18 Permutce je zobrzení množiny {1,,..., n} n sebe. Definice 19 Inverzí v permutci (i 1, i,..., i n ) rozumíme kždý výskyt tkové dvojice čísel, že větší stojí před menším, tj. vlevo od něj. Příkld 1 Permutce (, 3, 1) má dvě inverze

36 Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 35 Definice 0 Determinnt čtvercové mtice A řádu n je číslo n 1... n det A = A = = ( 1) t(j).... 1j1 j... njn, (j 1,j,...,j n) n1 n... nn kde sčítáme přes všechny permutce (j 1, j,..., j n ) množiny {1,,..., n} t(j) je rovno počtu inverzí v permutci (j 1, j,..., j n ). Příkld 13 Křížové prvidlo pro výpočet determinntu mtice druhého řádu: b c d = d bc. Příkld 14 Srrusovo prvidlo pro výpočet determinntu mtice třetího řádu: b c d e f = ek + bfg + cdh ceg fh bdk. g h k Poznámk 1 Pro determinnty mtic vyšších řádů podobný vzorec neexistuje. Vět..1 Vlstnosti determinntů: 1. V definičním vyjádření determinntu mtice A se vyskytuje člen ( i1 j 1 i j... inj n ) se znménkem (+) pokud mjí permutce (i 1, i,..., i n ), (j 1, j,..., j n ) součsně sudý počet inverzí nebo součsně lichý počet inverzí; se znménkem ( ) pokud má jedn permutce sudý druhá lichý počet inverzí.. det A = det (A T ), t.j. ekvivlence řádků sloupců. 3. Záměnou dvou sloupců mtice A se hodnot determinntu změní n opčnou. 4. Determinnt mtice, která má dv stejné sloupce, je roven nule. 5. Společný násobek všech prvků sloupce se může vytknout před determinnt. 6. Nechť prvky s-tého sloupce mtice A jsou lineární kombince prvků tvru is = βb is + γc is, potom A = β A b + γ A c, kde mtici A b získáme z mtice A nhrzením s-tého sloupce prvky b is ponecháním osttních beze změny mtici A c získáme obdobně nhrzením s-tého sloupce mtice A prvky c is ponecháním osttních beze změny. 7. Jestliže některý sloupec mtice A je lineární kombincí zbývjících, potom A = Hodnot determinntu se nezmění, pokud přičteme k jednomu sloupci lineární kombinci zbývjících.

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2 Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jko přehled mtiky k mturitě, tkže jeho form odpovídá rozshu mého učiv mým poždvkům. Docel se mi osvědčilo už během roku, bylo mi nvrženo, bych ho dl k dispozici n

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010 právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2. A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné 1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Tém 9 Těžiště Těžiště rovinných čr Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště složených rovinných orců Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerit

Více