PŘÍKLAD 6: Řešení: Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29. Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34

Transkript

1 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29 PŘÍKLAD 6: Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34 Chceme-li vypočítat hodnotu výrazu za daného předpokladu, pak dosadíme jednotlivé hodnoty z a), b), c) na pravou stranu rovnice. Poté počítáme rovnici dle předchozích pravidel. a) 8x 6 = 6 Zkouška: 8x = x = 0 /: 8 x = 0 L = 8x 6 L = P = 6 L = 6 b) 8x 6 = 0 8x = 6 /: 8 x = 6 8 = 3 4 L = P Zkouška: L = 8x 6 L = P = 0 L = L = 6 6 L = 0 L = P c) 8x 6 = 34 8x = x = 40 /: 8 x = 5 Zkouška: L = 8x 6 L = P = 34 L = 40 6 L = 34 L = P

2 32 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 2.2 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých metoda sčítací Soustavy lineárních rovnic rovnice ve tvaru ax + by = c, za podmínky a 0; b 0 se nazývá lineární rovnice o dvou neznámých a, b, c jsou reálná čísla x, y jsou neznámé řešením lineární rovnice je uspořádaná dvojice reálných čísel x a y; značíme [x; y] po dosazení x, y do rovnic musí platit rovnost pravé a levé strany při řešení uplatňujeme ekvivalentní úpravy není-li uvedeno jinak, provádíme vždy zkoušku obou rovnic při řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými rozlišujeme 3 možné výsledky: 1. Soustava má právě jedno řešení (uspořádaná dvojice čísel). 2. Soustava má nekonečně mnoho řešení. 3. Soustava nemá řešení. Metoda sčítací Rovnice soustavy vynásobíme takovými čísly (různými od nuly), abychom po sečtení upravených rovnic získali jednu lineární rovnici jen s jednou neznámou. PŘÍKLAD 1: Vyřešte v R soustavu rovnic o dvou neznámých a proveďte zkoušku. x + 3y = 15 x + y = 5 Druhou rovnici vynásobíme 1. x + 3y = 15 x + y = 5 / ( 1) x + 3y = 15 x y = 5 Rovnice sečteme a vypočítáme neznámou y. 0x + 2y = 20 /: 2 y = 10 Vypočítané číslo y = 10 dosadíme do jedné z původních rovnic soustavy a vypočítáme druhou neznámou. (V našem případě dosadíme do první rovnice.) x + 3y = 15 x + 3 ( 10) = 15 x 30 = 15 x = 15

3 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 45 PŘÍKLAD 2: Žáci základní školy ve Ptení se každoročně zúčastňují přírodovědného pochodu za krásami Moravského krasu. Pochodu se zúčastnilo celkem 77 žáků prvního až třetího ročníku základní školy. Kolik žáků z prvního ročníku se pochodu zúčastnilo, jestliže žáků třetího ročníku bylo o 13 méně než žáků prvního ročníku a současně bylo žáků druhého ročníku dvakrát více než žáků třetího ročníku? počet žáků prvního ročníku x počet žáků druhého ročníku (x 13) počet žáků třetího ročníku x 13 celkový počet žáků Na základě vyjádření všech tří ročníků můžeme sestavit rovnici o jedné neznámé: x + 2(x 13) + x 13 = 77 x + 2x 26 + x 13 = 77 4x = x = 116 /: 4 x = 29 První ročník základní školy navštěvuje celkem 29 žáků. PŘÍKLAD 3: Rodina Veselých zaplatí měsíčně za všechny kroužky svých dětí Kč. Děti navštěvují současně kroužek juda, plavání a hry na housle. Kolik korun rodiče zaplatí za jednotlivé kroužky, jestliže hra na housle je dvakrát dražší než judo a za plavání zaplatí o 600 Kč více než za judo? judo x housle x plavání x celkem Kč x + 2x + x = x = x = /: 4 x = judo hra na housle = 800 plavání = Rodina Veselých měsíčně zaplatí za kroužek juda 400 Kč, za hru na housle 800 Kč a za kroužek plavání Kč.

4 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 101 PŘÍKLAD 4: V grafu jsou výsledné známky deváté třídy z matematiky na konci školního roku. Určete průměrnou známku a počet žáků ve třídě, pokud víte, že známku 1 mělo 18 žáků ve třídě. a) počet žáků ve třídě známka 1 = 18 žáků % celkem žáků x x = x = 30 žáků Devátou třídu navštěvuje 30 žáků. b) průměrná známka známka 1 18 žáků známka 2 30 % 100 % 100 % žáků 30 % x žáků x = x = 9 žáků má známku 2 známka 3 10 % 100 % žáků 10 % x žáků x = x = 3 žáci mají známku 3 Známku 4 a 5 nemá nikdo. Sečteme všechny známky a součet vydělíme počtem žáků, tj. 30. S = (18 1) + (9 2) + (3 3) = = 45 x = 45 : 30 = 1,5 Průměrná známka žáků deváté třídy je 1,5.

5 136 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 8.2 Zjednodušení výrazů zjednodušení výrazů znamená sloučení jednotlivých členů s proměnnou a všech členů bez proměnné 3x 2 + 4x 1 = 7x 3 2x + 2y x + 4y = x + 6y 2ab 3b + 4 2ab + 3 = 3b + 7 x 3x² = x 3x² 1 PŘÍKLAD 1: Zjednodušte výraz: (7x 4y) + (8 2x + y) (4x + y 1) + x 10y Odstraníme všechny závorky v zadání; minus před závorkou mění všechna znaménka v závorce v opačná. 7x 4y + 8 2x + y 4x y x 10y = Sloučíme všechna x, všechna y a všechny členy bez neznámé. (7x 2x 4x + x) + ( 4y + y y 10y) + (8 + 1) = 2x 14y + 9 PŘÍKLAD 2: Zjednodušte výraz: 2[3 4 (2b + 6) + (3a + 4b) 15a + b] 2[3 8b a + 4b 15a + b] = 2[ 21 3b 12a] = 42 6b 24a PŘÍKLAD 3: Zjednodušte výraz: (4x² 2x²y 8) (9 + x²y yx²) (6x² + 9x 7y) 4x² 2x²y 8 9 x²y + yx² 6x² 9x + 7y = (4x² 6x²) + ( 2x²y x²y + yx²) + ( 8 9) 9x + 7y = 2x² 2x²y 17 9x + 7y

6 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 165 PŘÍKLAD 2: Ze dvou druhů kávy se má připravit 10 kg směsi za cenu 252 Kč/kg. První druh kávy stojí 220 Kč/kg, druhý druh stojí 300 Kč/kg. Kolik kilogramů každého druhu kávy je potřeba smíchat? cena: rovnice: levnější káva Kč/kg dražší káva celkem počet kilogramů: 300 Kč/kg 252 Kč/kg levnější káva x (kg) dražší káva x (kg) celkem kilogramů kg 220x + 300(10 x) = x x = x 300x = x = 480 /: ( 80) x = 6 kg levnější káva 10 6 = 4 kg dražší káva Ve směsi bude smícháno 6 kg levnější kávy a 4 kg dražší kávy. PŘÍKLAD 3: Paní prodavačka Květa jako každý rok připravuje bonbónové kornouty pro nové školáky. Do každého kornoutu dává cola bonbóny, které stojí 120 Kč za kilogram a ovocné bonbóny za 90 Kč za kilogram. Kolik kterých bonbónů se v kornoutové směsi nachází, pokud víme, že kornout váží 3 kg a maminky za jeden kilogram směsi zaplatí 95 Kč. cena: cola ovocné celkem počet kilogramů: cola ovocné celkem Kč/kg 90 Kč/kg 95 Kč/kg x (kg) 3 x (kg) 3 kg

7 176 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika Víme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je : 15 = 12 jedna jednotka je 12 Číslem 12 vynásobíme všechny hodnoty poměru, které odpovídají úhlům v daném pořadí. α = 5 12 = 60 β = 8 12 = 96 γ = 2 12 = 24 Kontrola správnosti: = 180 PŘÍKLAD 9: Vypočítejte velikost úhlu α v trojúhelníku ABC (viz obrázek). Velikost součtu vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 = α = α = α = ÚLOHY K PROCVIČENÍ: 1. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, víme-li, že vnější úhly mají velikost: α = ; β = α = 90 ; β = α = ; β = Rovnoběžky a a b protínají různoběžky c a d (viz obrázek). Velikost úhlu α = 96 ; velikost úhlu β = 65. Vypočítejte velikost úhlu γ. c a b d

8 Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 225 TEST 2 1. Vytkněte a rozložte užitím vzorce. 20a² 20ab + 5b² = 2. Řešte rovnici a proveďte zkoušku. 3 x 2 4 x 1 2 = 2 3. Rodina Nových platí měsíční zálohu na elektřinu 950 Kč. V tabulce je uvedena skutečná spotřeba za rok rok pololetí 2. pololetí spotřeba v kwh Cena za 1 kwh je 4,90 Kč. a) Jakou částku měli Novákovi zaplatit za 1. a 2. pololetí celkem? b) Kolik korun rodina doplácela (popř. jim bylo vráceno) po ročním zúčtování? 4. Odstraňte závorky a zjednodušte: (3 4a)² 4(4 3a) = 5. V kružnici k na obrázku je vyznačen průměr kružnice AB. Zároveň víme, že délka stran AC = CS = 7 cm. k A α S C B a) Určete velikost úhlu α. b) Určete vzdálenost bodů BS. 6. Na měřítku mapy 1 : jsou dvě místa vzdálena 6 cm. a) Jaká je vzdálenost těchto dvou míst ve skutečnosti? b) Za jak dlouho ujedeme tuto vzdálenost, jestliže jedeme rychlostí 60 km/h.