Algoritmizace I. Ak. rok 2015/2016 vbp 1. ze 132

Transkript

1 Ak. rok 2015/2016 vbp 1. ze 132

2 Ing. Vladimír Beneš, Ph.D. vedoucí katedry Petrovický K101 katedra informatiky a kvantitativních metod vbenes@bivs.cz Telefon: , Konzultační hodiny: středa 15:45 17:45 Ak. rok 2015/2016 vbp 2. ze 132

3 Hodinová dotace Prezenční studium 1 semestr 1/2 KZ 6 kreditů Kombinované studium 1 semestr 12/4 KZ 6 kreditů Ak. rok 2015/2016 vbp 3. ze 132

4 Požadavky ke klasifikovanému zápočtu Prezenční studium Kombinované studium Kompletní vypracování dané úlohy (přihlášení v ISu) Analýza úlohy Algoritmizace (Odladěný zdrojový kód programu v jazyce C++) Ak. rok 2015/2016 vbp 4. ze 132

5 Studijní literatura Literatura základní HEROUT, Pavel. Učebnice jazyka C. České Budějovice : Kopp, ISBN BENEŠ, Vladimír. Programování I. Elektronická studijní opora. Praha : BIVŠ, PRATA, Stephen. Mistrovství v C++. Brno : Computer Press, ISBN Literatura doporučená KADLEC, Václav. Učíme se programovat v jazyce C. Praha : Computer Press, ISBN MILKOVÁ, E. a kol. Algoritmy, základní konstrukce v příkladech a jejich vizualizace. Hradec Králové : Gaudeamus, KNUTH, Donald, E. Umění programování.1. díl, Základní algoritmy. Brno : Computer Press, 2008,. ISBN Ak. rok 2015/2016 vbp 5. ze 132

6 Obsah Algoritmus Datové struktury Odvozené datové struktury Třídění Ak. rok 2015/2016 vbp 6. ze 132

7 ALGORITMUS Ak. rok 2015/2016 vbp 7. ze 132

8 Algoritmus Algoritmus je základní matematický pojem. Nelze jej tedy definovat. Musíme se tedy uchýlit pouze k opisu. V případě PROGRAMOVÁNÍ jde o transformaci množiny vstupních dat na množinu výstupních dat. Ak. rok 2015/2016 vbp 8. ze 132

9 Algoritmus Opisná DEFINICE Je to postup, jak řešit danou úlohu pomocí počítače. Sestává z posloupnosti jednoduchých předem stanovených kroků (ekementárních operací, instrukcí) a vede od vstupních měnitelných údajů až k žádaným výstupním údajům (výsledku). Ak. rok 2015/2016 vbp 9. ze 132

10 Vlastnosti algoritmu Je ELEMENTÁRNÍ Skládá se z konečného počtu jednoduchých (snadno realizovatelných) činností, které označujeme jako kroky. Ak. rok 2015/2016 vbp 10. ze 132

11 Vlastnosti algoritmu Je DETERMINOVANÝ Po každém kroku lze určit, zda popisovaný proces skončil. Pokud neskončil, pak musí být dáno, kterým krokem má pokračovat. Ak. rok 2015/2016 vbp 11. ze 132

12 Vlastnosti algoritmu Je KONEČNÝ Počet opakování jednotlivých kroků je vždy konečný. Algoritmus tedy musí skončit po konečném počtu kroků. Poznámka: příklad s instrukcí 1 GOTO 1 Ak. rok 2015/2016 vbp 12. ze 132

13 Vlastnosti algoritmu Je REZULTATIVNÍ Vede ke správnému výsledku. Ak. rok 2015/2016 vbp 13. ze 132

14 Vlastnosti algoritmu Je HROMADNÝ Algoritmus můžeme použít k řešení celé (velké) skupiny (třídy) podobných úloh. Poznámka: např. řešení kvadratické rovnice, soustavy lineárních algebraických rovnic Ak. rok 2015/2016 vbp 14. ze 132

15 Poznámka 1. Pojem algoritmus se dá formalizovat např. pomocí matematické konstrukce označované jako Turingův stroj procesorová jednotka, tvořená konečným automatem, program ve tvaru pravidel přechodové funkce, pravostranně nekonečné páska pro zápis mezivýsledků. Churchova teze Ke každému algoritmu existuje ekvivalentní Thuringův stroj. Ak. rok 2015/2016 vbp 15. ze 132

16 Poznámka 1. Konečný automat = velice jednoduchý počítač, který může být v jednom z několika stavů, mezi kterými přechází na základě symbolů, které čte ze vstupu Ak. rok 2015/2016 vbp 16. ze 132

17 Poznámka 2. Pojem algoritmus se dá formalizovat také např. pomocí teorie parciálně rekurzivních funkcí v teorii vyčíslitelnosti se takto označují funkce v jistém smyslu složitější než tzv. primitivně rekurzivní funkce Ak. rok 2015/2016 vbp 17. ze 132

18 Metoda SHORA DOLŮ a ZDOLA NAHORU 1. Daný problém musíme vyřešit. 2. Známe-li řešení, potřebujeme jej zapsat jako algoritmus 3. Postup řešení rozkládáme na jednodušší operace elementární kroky tj. metoda SHORA DOLŮ Poznámka: řešení kvadratické rovnice (analýza a řešení) Ak. rok 2015/2016 vbp 18. ze 132

19 Metoda SHORA DOLŮ a ZDOLA NAHORU Kromě metody SHORA DOLŮ se setkáváme i s metodou ZDOLA NAHORU: Postupně z elementárních kroků vytváříme prostředky, které umožní zvládnout daný problém Vytváříme nový procesor tím, že ho učíme nové operace Použijeme vyšší programovací jazyk (procedury, knihovna procedur nebo systém pro vytváření programů (CASE)) Ak. rok 2015/2016 vbp 19. ze 132

20 Základní složky (konstrukce) algoritmu Posloupnost (sekvence) tvořena jedním nebo několika kroky (provedou se právě jednou v daném pořadí) nemusí jít o kroky elementární dalším zjemňováním se mohou rozpadnout na součásti, které samy tvoří posloupnosti, cykly nebo podmínky Ak. rok 2015/2016 vbp 20. ze 132

21 Základní složky (konstrukce) algoritmu Cyklus (iterace) část algoritmu, která se opakuje dokud je splněna podmínka opakování cyklus se vždy skládá z podmínky opakování a z těla cyklu (tj. operací, které se opakují) vyhodnocení podmínky může být před provedením (v C while nebo for), resp. po skončení těla cyklu (v C do-while) nebo i uvnitř těla cyklu (podmíněný skok nebo kombinace podmínky a break) Ak. rok 2015/2016 vbp 21. ze 132

22 Základní složky (konstrukce) algoritmu Podmíněná operace (selekce) představuje vždy větvení algoritmu tvořena podmínkou a 1, 2 nebo více výběrovými složkami pokud je jedna ze složek vybrána, provede se jednou v C příkazy if a switch (v kombinaci s příkazem break) Ak. rok 2015/2016 vbp 22. ze 132

23 Základní složky (konstrukce) algoritmu Podprogram opakuje-li se určitá část algoritmu na několika místech (může používat různá data) na elementární kroky ji rozložíme pouze jednou (např. narazíme-li na ni poprvé) na ostatních místech se na ni odvoláme jako na dílčí algoritmus nebo podprogram (procedura, resp. funkce) Ak. rok 2015/2016 vbp 23. ze 132

24 Algoritmus a data struktura vstupních, výstupních, ale i vnitřních dat spoluurčuje strukturu programu posloupnosti datových položek různých druhů odpovídá posloupnost různých příkazů Poznámka: Přirozeným prostředkem pro zpracování rekurzivních datových struktur (stromy nebo seznamy) jsou obvykle rekurzivní algoritmy! Ak. rok 2015/2016 vbp 24. ze 132

25 Časová a paměťová náročnost algoritmů potřebné množství operační paměti doba pro provedení algoritmu rozsah vstupních údajů celkový počet elementárních operací (instrukcí) Poznámka: Ve skutečnosti zpravidla stačí orientovat se podle vybraných skupin instrukcí, které jsou časově nejnáročnější (if)! Ak. rok 2015/2016 vbp 25. ze 132

26 Popis algoritmů Jazyk pro popis programů Program Description Language (PDL) slovní popis algoritmu, dnes velmi častý lehce upravený programovací jazyk, např. Pascal (Pseudopascal) Poznámka: Tradičním jazykem pro popis algoritmů býval Algol 60. Slovní popis programu se může stát základem dobrého komentáře k výslednému programu. Ak. rok 2015/2016 vbp 26. ze 132

27 Popis algoritmů Strukturogramy grafické znázornění algoritmu tvarově i barevně odlišné znázornění (sekvence, iterace, selekce) Poznámka: Základem obdélník; v záhlaví označení algoritmu nebo dílčí operace; uvnitř kroky, které algoritmus tvoří Ak. rok 2015/2016 vbp 27. ze 132

28 Popis algoritmů Vývojové diagramy klasický prostředek (ČSN , ÚNM, Praha 1974) graficky náročné (úpravy hotových VD) Poznámka: Spíše než logickou strukturu programu zdůrazňují druh operací. Ak. rok 2015/2016 vbp 28. ze 132

29 Vývojové diagramy mezní značka (začátek, resp. konec algoritmu) sekvence předem definovaná činnost (podprogram) selekce (rozhodování) Ak. rok 2015/2016 vbp 29. ze 132

30 Vývojové diagramy iterace (začátek, resp. konec iteračního cyklu) vstup, resp. výstup dat spojka komentář (poznámka) Ak. rok 2015/2016 vbp 30. ze 132

31 Vývojové diagramy obrazce (značky) propojeny čarami (svisle, vodorovně) implicitní směr shora dolů, zleva doprava, jinak šipky Ak. rok 2015/2016 vbp 31. ze 132

32 PŘÍKLAD Výpočet kořenů (reálných i komplexních) kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, kde a 0 Vstupní data: a, b, c Výstupní data: x 1, x 2 Ak. rok 2015/2016 vbp 32. ze 132

33 PŘÍKLAD Výpočet kořenů (reálných i komplexních) kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, kde a 0 Vstupní data: a, b, c Výstupní data: x 1, x 2 Ak. rok 2015/2016 vbp 33. ze 132

34 PŘÍKLAD Analýza úlohy Zápis algoritmu (VD) Zdrojový kód v jazyce C++ Odladění programu (testování) Ak. rok 2015/2016 vbp 34. ze 132

35 DATOVÉ STRUKTURY Ak. rok 2015/2016 vbp 35. ze 132

36 Datové struktury Základními kameny, součástí výkladu o algoritmech Souvisejí s algoritmy, které se používají pro práci s nimi Datové struktury rozdělujeme na: základní datové struktury odvozené datové struktury Ak. rok 2015/2016 vbp 36. ze 132

37 Základní datové struktury Algoritmizace I PROMĚNNÁ pojmenované místo v paměti počítače vytváří se na základě deklarace jméno (identifikátor) datový typ Specifikací datového typu určujeme množinu hodnot, které budeme moci do proměnné ukládat množinu operací, které budeme moci s proměnnou provádět velikost proměnné (množství paměti) Ak. rok 2015/2016 vbp 37. ze 132

38 Základní datové struktury DRUHY PROMĚNNÝCH globální proměnné vytvoří se při spuštění programu existují po celou dobu běhu programu v C jde o proměnné deklarované mimo těla funkcí lokální proměnné deklarované v těle podprogramů (funkcí) vznikají při volání PP, zanikají při ukončení PP dynamické proměnné vznikají a zanikají za běhu programu (na základě příkazů) jejich existence není vázána na podprogramy nebo bloky Ak. rok 2015/2016 vbp 38. ze 132

39 Základní datové struktury POLE homogenní datová struktura posloupnost proměnných stejného datového typu (složky) v paměti jsou uložené v nepřetržité řadě (chápány jako celek) v deklaraci určujeme: jméno (identifikátor) pole datový typ složek délku pole (počet složek) se složkami pracujeme pomocí indexů (mapovací funkce) Ak. rok 2015/2016 vbp 39. ze 132

40 Základní datové struktury POLE jednorozměrná pole (vektory) vícerozměrná pole pole s n indexy označujeme jako n-rozměrná konkrétně dvojrozměrné pole (matice) třírozměrné pole (kubická matice) mapovací funkce podstatně složitější než u jednorozměrného pole záleží i na uložení vícerozměrných polí v program. jazycích Ak. rok 2015/2016 vbp 40. ze 132

41 Základní datové struktury VÍCEROZMĚRNÉ POLE grafické znázornění dvourozměrného pole PV PV 1 a 11 a a 1n Přístupový vektor PV PV 2 PV 3 a 21 a a 31 a a 2n a 3n PV m-1 a m-11 a m a m-1n PV m a m1 a m2... a mn Řádky pole A Ak. rok 2015/2016 vbp 41. ze 132

42 Základní datové struktury Algoritmizace I VÍCEROZMĚRNÉ POLE Na počítačích, kde je velikost ukazatele rovna 1 (tj. ukazatel zabírá právě jednu adresovatelnou jednotku paměti), znamená použití PV zrychlení výpočtu (odpadá většina násobení). Na počítačích, kde je velikost ukazatele větší než 1, je použití PV stejně náročné jako výpočet mapovací funkce. Ak. rok 2015/2016 vbp 42. ze 132

43 Základní datové struktury ZÁZNAM (STRUKTURA) skupina proměnných chápaná jako jeden celek jde o strukturu nehomogenní (složky jsou různých datových typů) práce s jednotlivými složkami = kvalifikace spolu se jménem proměnné typu záznam uvedeme také jméno složky (relativní adresa vzhledem k počátku proměnné typu záznam) složky jsou uloženy v paměti v pořadí uvedeném v deklaraci velikost záznamu může být větší než součet velikostí jednotlivých složek (překladač může vložit prázdná místa pro přehlednost ) Ak. rok 2015/2016 vbp 43. ze 132

44 Základní datové struktury VARIANTNÍ ZÁZNAM (v C je to UNIE) představuje skupinu proměnných přeložených přes sebe všechny složky začínají na stejné adrese velikost variantní části je rovna velikosti největší složky přístup ke složkám variantního záznamu je totožný s přístupem ke složkám běžného záznamu Ak. rok 2015/2016 vbp 44. ze 132

45 Základní datové struktury OBJEKT definice objektového typu specifikuje: atributy (složky datového typu) metody (funkční a procedurální složky) Poznámka: instance (proměnná objektového typu) obsahuje pouze atributy (atributy instancí) atributy třídy jsou (vlastně) globální proměnné (ukládají se nezávisle na instancích třídy) Ak. rok 2015/2016 vbp 45. ze 132

46 Základní datové struktury OBJEKT Poznámka: pro ukládání atributů instancí platí stejná pravidla jako pro ukládání složek záznamů skryté atributy překladač může (pro zajištění správné funkce objektů) přidat do třídy skryté atributy pro uživatele nejsou tyto atributy přístupné! Ak. rok 2015/2016 vbp 46. ze 132

47 Odvozené (abstraktní) datové struktury SEZNAM (list) struktura představující posloupnost složek složky jsou uspořádány podle určitého klíče dle hodnoty dat uložených ve složkách dle hodnoty funkce vypočítané na základě těchto dat dle pořadí v jakém byly složky do seznamu přidávány Ak. rok 2015/2016 vbp 47. ze 132

48 Odvozené (abstraktní) datové struktury SEZNAM (list) seznam je uspořádaná datová struktura složky ale nemusí být uloženy dle daného pořadí na následující (předchozí) prvek ukazuje ukazatel (pointer, link, spojka) první prvek seznamu = hlava seznamu (head) zbytek seznamu po odtržení hlavy = ohon (tail) seznam může být také prázdný Ak. rok 2015/2016 vbp 48. ze 132

49 Odvozené (abstraktní) datové struktury SEZNAM (list) seznam je dynamická datová struktura v programu deklarujeme pouze ukazatel na hlavu seznamu jednotlivé složky (prvky) seznamu dynamicky alokujeme rušíme seznam je rekurzivní datovou strukturou každá složka (prvek) seznamu obsahuje odkaz na položku stejného typu Ak. rok 2015/2016 vbp 49. ze 132

50 Odvozené (abstraktní) datové struktury JEDNOSMĚRNÝ SEZNAM nejjednodušší varianta seznamu každý prvek obsahuje odkaz na následující prvek při práci s jednosměrným seznamem používáme zarážku poslední prvek seznamu neobsahuje užitečná data poslední prvek seznamu slouží jako zarážka při prohledávání např. v Pascalu NIL, v C NULL uchováváme tedy (kromě ukazatele na hlavu) také ukazatel na tuto zarážku Ak. rok 2015/2016 vbp 50. ze 132

51 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Vytvoření prázdného seznamu 1. Deklarujeme jako proměnné ukazatel na prvek (např. typ uprvek) ukazatel na hlavu seznamu hlava ukazatel na zarážku konec 2. Vytvoříme dynamickou proměnnou typu Prvek její adresu uložíme do proměnných hlava a konec 3. Do složky hlava.další (tj. do složky Další nově vytvořené dynamické proměnné) vložíme hodnotu NIL, resp. NULL Ak. rok 2015/2016 vbp 51. ze 132

52 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Přidání nového prvku na konec seznamu 1. Požadovaná data vložíme do složky zarážky 2. Alokujeme nový prvek (novou dynamickou proměnnou typu Prvek) Její adresu uložíme do složky Další zarážky a do konec. Nově alokovaný prvek převezme roli zarážky. 3. Do složky Další nové zarážky vložíme hodnotu NIL, resp. NULL. Ak. rok 2015/2016 vbp 52. ze 132

53 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Vyhledání prvku v seznamu (např. hledáme hodnotu dd) 1. Do pomocné proměnné p typu uprvek vložíme ukazatel na hlavu seznamu. 2. Do zarážky vložíme hledanou hodnotu, tj. přiřadíme konec.d = dd. 3. Prohledáváme postupně seznam. Platí-li p.d = dd, skončíme. Jinak do p uložíme adresu následujícího prvku seznamu. 4. Obsahuje-li po skončení p adresu zarážky, seznam hledaný prvek neobsahuje. V opačném př. obsahuje p adresu hledaného prvku. Ak. rok 2015/2016 vbp 53. ze 132

54 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Vložení nového prvku za daný prvek seznamu Předpokládejme: známe adresu p prvku, za který chceme vložit do jednosměrného seznamu nový prvek využijeme pomocnou proměnnou q typu uprvek Ak. rok 2015/2016 vbp 54. ze 132

55 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Vložení nového prvku za daný prvek seznamu 1. Alokujeme novou proměnnou typu Prvek a uložíme do ní potřebná data. Adresa nové proměnné je uložena v pomocné proměnné q. 2. Do q.další uložíme adresu prvku, který bude v seznamu následovat, tj. obsah proměnné p.další. 3. Do p.další uložíme adresu nově vloženého prvku, tj. obsah proměnné q. Ak. rok 2015/2016 vbp 55. ze 132

56 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Vymazání prvku za daným prvkem seznamu Chceme ze seznamu odstranit prvek, který následuje za prvkem s adresou uloženou v proměnné p. K tomu potřebujeme pomocnou proměnnou q. Ak. rok 2015/2016 vbp 56. ze 132

57 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Vymazání prvku za daným prvkem seznamu 1. Do q uložíme p.další (to je adresa mazaného prvku). 2. Do p.další uložíme p.další.další (to je adresa prvku, který leží za mazaným prvkem). 3. Zrušíme prvek, na který ukazuje q. Ak. rok 2015/2016 vbp 57. ze 132

58 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Smazání daného prvku seznamu Chceme smazat prvek, na který ukazuje ukazatel p. To je složitější, neznáme prvek před tím, který chceme smazat. Jak napojit předcházející a následující prvek? Umíme smazat prvek, který leží za označeným prvkem. Na datech v mazaném prvku nezáleží. Přesuneme do něj tedy obsah prvku následujícího a ten pak smažeme. Ak. rok 2015/2016 vbp 58. ze 132

59 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Smazání daného prvku seznamu 1. Přesuneme obsah p.další.d do p.d (nyní prvky p a p.další obsahují stejná data). 2. Smažeme prvek s adresou p.další. Ak. rok 2015/2016 vbp 59. ze 132

60 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Smazání celého seznamu Seznam nepotřebujeme (nepoužíváme): je třeba jej smazat, tj. uvolnit dynamicky přidělenou paměť Seznam je: prázdný skládá se z hlava + ohon Algoritmus mazání je rekurzivní. Ak. rok 2015/2016 vbp 60. ze 132

61 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S JEDNOSMĚRNÝM SEZNAMEM Smazání celého seznamu 1. Je-li seznam prázdný, tedy konec. Jinak ulož adresu hlavy do pomocné proměnné. 2. Do ukazatele na hlavu vlož adresu hlavy ohonu. Smaž hlavu. 3. Smaž ohon, tj. seznam, který zbyl po smazání hlavy. Ak. rok 2015/2016 vbp 61. ze 132

62 Odvozené (abstraktní) datové struktury JINÉ TYPY SEZNAMŮ Dvousměrný seznam (double-linked list) každý prvek obsahuje odkaz nejen na následující prvek, ale i na předcházející prvek dvousměrný seznam lze procházet v obou směrech od hlavy k poslednímu prvku od posledního prvku k hlavě Ak. rok 2015/2016 vbp 62. ze 132

63 Odvozené (abstraktní) datové struktury JINÉ TYPY SEZNAMŮ Kruhový seznam (cyklický) může být jednosměrný i dvousměrný obvykle se nepoužívá zarážka poslední prvek odkazuje na první prvek pokud jde o seznam dvousměrný, pak i první prvek odkazuje na prvek poslední Ak. rok 2015/2016 vbp 63. ze 132

64 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM rekurzivní datová struktura Abstraktní definice stromu se základním typem T je rekurzivní: Strom se základním typem T je buď prázdná struktura nebo prvek typu T, na který je připojen konečný počet disjunktních stromových struktur se základním typem T (označujeme je jako podstromy). Ak. rok 2015/2016 vbp 64. ze 132

65 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM prvky stromu se označují jako vrcholy, resp. uzly vrchol, ke kterému není připojen žádný podstrom označujeme jako koncový vrchol, resp. list vrchol, který sám není připojen k žádnému jinému vrcholu označujeme jako kořen kořen spolu se všemi podstromy, které jsou k němu připojeny, tvoří celý strom prvky, které nejsou listy, označujeme jako vnitřní vrcholy stromu Ak. rok 2015/2016 vbp 65. ze 132

66 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Je-li G kořen podstromu připojeného k uzlu C, říkáme také, že G je (přímým) následovníkem C a C je (přímým) předchůdcem G. A B C D E F G H I J K L M N O Ak. rok 2015/2016 vbp 66. ze 132

67 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Kořen je vrchol, který nemá žádného předchůdce. A List je vrchol, který nemá žádného následovníka. B C D E F G H I J K L M N O Ak. rok 2015/2016 vbp 67. ze 132

68 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Dodatek k definici stromu: Nechť počet podstromů připojený k libovolnému z vrcholů daného stromu nepřesáhne n. Potom takový strom označujeme jako n-ární. Nejčastěji: n = 2 binární strom n = 3 ternární strom Číslo n ( -aritu ) označujeme jako typ stromu. Ak. rok 2015/2016 vbp 68. ze 132

69 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Příklad: A Ternární strom B C D E F G H I J K L M N O Ak. rok 2015/2016 vbp 69. ze 132

70 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Pojmy: kořen stromu je na první úrovni uzly, následovníci kořene, jsou na druhé úrovni obecně: je-li uzel R na úrovni i a uzel S je následovníkem R, pak uzel S je na úrovni i+1 Ak. rok 2015/2016 vbp 70. ze 132

71 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Pojmy: Nechť x je úroveň vrcholu X. Chceme-li projít stromem od kořene k vrcholu X, musíme projít x hran (včetně hrany, která vstupuje do kořene). Pak místo o úrovni vrcholu často hovoříme o délce vnitřní cesty daného vrcholu. Ak. rok 2015/2016 vbp 71. ze 132

72 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Pojmy: Součet délek cest všech uzlů v daném stromě se nazývá délka vnitřní cesty stromu. Průměrná délka vnitřní cesty stromu je dána vztahem P i = 1 n i=1 n n i i n i je počet uzlů na i-té úrovni stromu Ak. rok 2015/2016 vbp 72. ze 132

73 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM A Pojmy: Zvláštní vrcholy D B E F G C H I J K L M N O Ak. rok 2015/2016 vbp 73. ze 132

74 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Pojmy: D B E F A G C H I J K L M N O Délka vnější cesty stromu = součet délek cest všech zvláštních vrcholů. Průměrná délka vnější cesty stromu: m i = počet zvláštních vrcholů na i-té úrovni (m je celkový počet zvl. vrcholů) Ak. rok 2015/2016 vbp 74. ze 132

75 Odvozené (abstraktní) datové struktury STROM Pojmy: Stromy nejčastěji reprezentujeme jako dynamické datové struktury. Vrcholy stromu mohou být např. záznamy: obsahují ukazatele na kořeny připojených podstromů (nebo NULL, není-li podstrom připojen) užitečné informace jsou uloženy ve složce typu data (podobně jako u seznamu) Ak. rok 2015/2016 vbp 75. ze 132

76 Odvozené (abstraktní) datové struktury BINÁRNÍ STROMY Ke každému vrcholu jsou připojeny dva podstromy (jeden nebo oba mohou být prázdné) Jeden označujeme jako levý, druhý jako pravý podstrom Ak. rok 2015/2016 vbp 76. ze 132

77 Odvozené (abstraktní) datové struktury BINÁRNÍ STROMY Nejčastěji se setkáváme s binárními stromy s následujícím uspořádáním dat: Pro každý vrchol U platí, že všechny údaje, uložené v levém podstromu, připojenému k U, jsou menší, než je údaj uložený v U, a všechny údaje, uložené v pravém podstromu, připojenému k U, jsou větší, než je údaj uložený v U. Binární strom je přístupný pomocí ukazatele na kořen. Vrcholy alokujeme dynamicky. Ak. rok 2015/2016 vbp 77. ze 132

78 Odvozené (abstraktní) datové struktury BINÁRNÍ STROMY Při procházení binárního stromu využíváme některou z metod: přímé zpracování (preorder) (zpracujeme data v kořeni, pak levý podstrom, poté pravý podstrom) vnitřní zpracování (inorder) (projdeme levý podstrom, pak kořen, nakonec pravý podstrom) zpětné zpracování (postorder) (zpracováváme v pořadí levý podstrom, pravý podstrom, kořen) Ak. rok 2015/2016 vbp 78. ze 132

79 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Vytvoření binárního stromu Vytvoříme prázdný binární strom strom se skládá ze záznamů (struktur) typu vrchol musíme mít ukazatel na kořen stromu musíme mít proměnnou typu ukazatel na vrchol Vytvoření prázdného stromu = přiřazení hodnoty NULL této proměnné typu ukazatel na vrchol Ak. rok 2015/2016 vbp 79. ze 132

80 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Zrušení binárního stromu Je-li strom, na který t (ukazatel na kořen) ukazuje, prázdný, skončíme Smažeme levý podstrom připojený k vrcholu, na který ukazuje t Smažeme pravý podstrom připojený k vrcholu, na který ukazuje t Smažeme vrchol, na který ukazuje t Ak. rok 2015/2016 vbp 80. ze 132

81 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Vložení nového vrcholu Máme data dd a chceme je zařadit do stromu Pokud tam takový údaj ještě není, přidáme do stromu nový vrchol; jinak není třeba dělat nic Přidáváme-li vrchol do prázdného stromu, alokujeme pro něj paměť Uložíme do něj potřebná data a adresu vrcholu uložíme do ukazatele na kořen Ak. rok 2015/2016 vbp 81. ze 132

82 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Vložení nového vrcholu V nedprázdném stromě vyjdeme od kořene a porovnáme dd s hodnotou v něm je-li dd menší než uložená hodnota zařadíme nový vrchol do levého podstromu jinak jej zařadíme do pravého podstromu Ak. rok 2015/2016 vbp 82. ze 132

83 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Vyhledání údaje ve stromu 1. Je-li strom prázdný, hledaný údaj v něm není; konec 2. Jinak porovnáme dd s hodnotou v kořeni; jsou-li si rovny, nalezli jsme hledaný údaj; konec 3. Jinak je-li dd menší než hodnota uložená v kořeni, prohledáme levý podstrom připojený ke kořeni; Provedeme s ním tento algoritmus a skončíme 4. Jinak prohledáme pravý podstrom a skončíme Ak. rok 2015/2016 vbp 83. ze 132

84 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Zrušení vrcholu 1. Rušíme list. V takovém případě uvolníme dynamickou paměť přidělenou tomuto uzlu a odstraníme odkaz na rušený vrchol v jeho předchůdci (nebo ukazatel na kořen, jestliže měl strom jen jeden vrchol) 2. Rušíme vrchol, který má jen jednoho následovníka (analogie rušení prvku seznamu). Adresu rušeného prvku uložíme do pomocné proměnné; odkaz v předchůdci upravíme tak, aby ukazoval na následovníka a vrchol zrušíme. Ak. rok 2015/2016 vbp 84. ze 132

85 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Zrušení vrcholu 3. Rušíme vrchol, který má dva následovníky. Nastává problém, čím zrušený vrchol nahradit. Kromě hodnoty dd, která nás již nezajímá, obsahuje také odkazy na své následovníky, které je třeba uchovat. Výsledkem této operace musí být opět uspořádaný binární strom. Ak. rok 2015/2016 vbp 85. ze 132

86 Odvozené (abstraktní) datové struktury OPERACE S BINÁRNÍMI STROMY Zrušení vrcholu V tomto případě se používá následujícího triku: 1. Najdeme nejpravější vrchol levého podstromu připojeného k rušenému vrcholu (označíme jej Q; to je vrchol, v němž je uložena největší z hodnot menších než v rušeném vrcholu). Nalezený vrchol má nejvýše jednoho následovníka (jinak by nemohl být nejpravější). 2. Hodnotu z vrcholu Q přeneseme do vrcholu, který chceme zrušit. 3. Zrušíme vrchol Q. Analogicky nejlevější vrchol pravého podstromu, Ak. rok 2015/2016 vbp 86. ze 132

87 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) datová struktura podobná stromu vrcholy tohoto stromu se nazývají stránky Ak. rok 2015/2016 vbp 87. ze 132

88 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) Pro b-strom řádu n platí: kořenová stránka obsahuje alespoň jednu položku každá stránka obsahuje maximálně 2n položek (ulož. údajů) každá stránka (kromě kořenové) obsahuje minimálně n položek Ak. rok 2015/2016 vbp 88. ze 132

89 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) Pro b-strom řádu n platí: Každá stránka je buď listovou stránkou (nemá žádné následovníky), nebo má m+1 následovníků, kde m je počet položek v ní uložených. Všechny listové stránky jsou na stejné úrovni. Ak. rok 2015/2016 vbp 89. ze 132

90 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) B-stromy 1. řádu: stránky obsahují 1 nebo 2 položky Takové b-stromy se často nazývají 2-3-stromy: každá stránka kromě listů má 2-3 následovníky. Takové stromy se nazývají také binární b-stromy, resp. bb-stromy. Ak. rok 2015/2016 vbp 90. ze 132

91 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) B-strom 2. řádu (jeho stránky tedy obsahují 2 4 údaje) Ak. rok 2015/2016 vbp 91. ze 132

92 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) Přidání údaje do b-stromu (1) a) Vyhledáme listovou stránku, do které nový údaj patří; pokud je v ní místo, (obsahuje méně než 2n údajů), vložíme nový údaj a skončíme. b) Je-li stránka zaplněná, obsahovala by 2n+1 údajů; údaj zařadíme na správné místo a takto vzniklou přeplněnou stránku rozdělíme na dvě po n údajích a prostřední údaj přesuneme do předchůdce (když stránka předchůdce nemá, vytvoříme ho). Ak. rok 2015/2016 vbp 92. ze 132

93 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) Přidání údaje do b-stromu (2) V předchůdci se může situace opakovat. Z toho plyne: b-strom roste pouze tak, že se rozdělí kořenová stránka. Ak. rok 2015/2016 vbp 93. ze 132

94 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) Odstranění údaje z b-stromu a) Odstraňovaný údaj neleží v listové stránce Vyhledáme nejbližší menší údaj (nejpravější prvek v levém podstromu připojeném k tomuto prvku). b) Tedy: Odstraňujeme-li m-tý prvek ve stránce S, vyhledáme největší prvek v (m - 1)-tém podstromu, připojeném k S. Tento náhradní prvek bude ležet v listovní stránce. Jeho hodnotu přeneseme na místo mazaného prvku a smažeme náhradní prvek v listu. Ak. rok 2015/2016 vbp 94. ze 132

95 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) Odstranění údaje z b-stromu b) Odstranění prvku z listu Poté, co prvek z listu S vyjmeme, musíme se přesvědčit, kolik prvků v něm zůstalo (žádná stránka kromě kořene nesmí mít méně prvků než n). Pokud v listu S zůstalo alespoň n prvků, skončíme. Ak. rok 2015/2016 vbp 95. ze 132

96 Odvozené (abstraktní) datové struktury B-STROM (b-tree) Odstranění údaje z b-stromu b) Odstranění prvku z listu Pokud bude list S obsahovat n-1 prvků, pokusíme se vypůjčit si potřebný prvek ze sousední stránky (se společným předchůdcem). Ta musí mít n+1 prvků. Pokud má pouze n prvků (nemůžeme si od ní půjčit ), musíme tyto dvě stránky sloučit (to můžeme, neboť obě tyto listové stránky mají dohromady pouze 2n-1 prvků). Atd. Ak. rok 2015/2016 vbp 96. ze 132

97 Odvozené (abstraktní) datové struktury ZÁSOBNÍK (stack) Jde o datovou strukturu, do které odkládáme data v průběhu zpracování. Data ze zásobníku odebíráme v obráceném pořadí, než jsme data vkládali: poslední uloženou položku musíme vyjmout jako první předposlední uloženou položku musíme vyjmout jako druhou atd. Ak. rok 2015/2016 vbp 97. ze 132

98 Odvozené (abstraktní) datové struktury ZÁSOBNÍK (stack) vložení další položky vyjmutí položky vrchol zásobníku dno zásobníku Ak. rok 2015/2016 vbp 98. ze 132

99 Odvozené (abstraktní) datové struktury ZÁSOBNÍK (stack) Položku, která neleží na vrcholu zásobníku, nelze vyjmout. Známe-li její polohu, můžeme ji přečíst (získat její hodnotu, aniž byla ze zásobníku vyjmuta). Implementace zásobníku: pomocí pole (musíme si neustále pamatovat index posledně vloženého prvku, který je na vrcholu zásobníku) pomocí seznamu (definujeme hlavu seznamu jako vrchol zásobníku) Ak. rok 2015/2016 vbp 99. ze 132

100 Odvozené (abstraktní) datové struktury FRONTA Datová struktura podobná zásobníku. Má odlišnou vnitřní strukturu: prvky do fronty vkládáme na jedné straně (konec) prvky z fronty vybíráme na druhém konci (čelo) prvky ve frontě uloženy dle pořadí vložení prvky z fronty vybíráme ve stejném pořadí prvek lze z fronty vyjmout jen je-li na řadě (na čele fronty) Ak. rok 2015/2016 vbp 100. ze 132

101 Odvozené (abstraktní) datové struktury FRONTA Frontu reprezentujeme pomocí pole, resp. seznamu (jako zásobník) vyjmutí položky vložení položky čelo fronty konec fronty Ak. rok 2015/2016 vbp 101. ze 132

102 Odvozené (abstraktní) datové struktury FRONTA Fronta s prioritami Priorita prvku je funkce hodnoty v prvku uložené. Fronta s prioritami: prvky vkládáme v pořadí, ve kterém přišly prvky vybíráme v pořadí závislém na jejich prioritě Prioritu lze uplatnit i při vkládání. Fronty s prioritami se implementují pomocí seznamů. Ak. rok 2015/2016 vbp 102. ze 132

103 Odvozené (abstraktní) datové struktury FRONTA Fronta kruhová Např. pole Q[0, 1, 2,, n-1] a po prvku Q[n-1] bude následovat prvek Q[0]. Pro obsluhu kruhové fronty potřebujeme ukazatel f na čelo fronty ukazatel r na konec fronty Ak. rok 2015/2016 vbp 103. ze 132

104 Odvozené (abstraktní) datové struktury FRONTA Fronta kruhová [n-1] [0] [1] [2] Ak. rok 2015/2016 vbp 104. ze 132

105 Odvozené (abstraktní) datové struktury FRONTA Fronta kruhová Při každé operaci vkládání, resp. výběru kontrolujeme, zda f = r. rovnost nastane po výběru prvku, pak je fronta prázdná. rovnost nastane po vložení prvku, pak je fronta již plná. Ak. rok 2015/2016 vbp 105. ze 132

106 Odvozené (abstraktní) datové struktury TABULKA Tabulka symbolů je datová struktura umožňující rychle zjistit, zda se v ní někde daný prvek vyskytuje. Umožňuje: snadno prvek vložit snadno prvek vyjmout Takové tabulky se využívají v kompilátorech při lexikální analýze (např. zda již byl daný identifikátor deklarován). Ak. rok 2015/2016 vbp 106. ze 132

107 Odvozené (abstraktní) datové struktury TABULKA Tabulka symbolů Roli tabulky symbolů mohou hrát binární stromy. Nemáme-li žádné apriorní informace o statistickém rozdělení vkládaných prvků, nebudou vytvořené stromy příliš optimální. Proto se obvykla používají hešové tabulky: souvislá oblast paměti pro ukládání prvků hesel tabulka je rozdělena na tzv. koše (např. K(1), K(2),, K(k)) v každém z košů může být s hesel (každý koš má s pozic, často se volí s=1). Ak. rok 2015/2016 vbp 107. ze 132

108 Odvozené (abstraktní) datové struktury GRAFY Orientovaný graf G definujeme jako dvojici G = {U,H}, kde U je množina uzlů, H UxU je množina orientovaných hran. O orientované hraně e = <i, j>, kde i a j jsou uzly, říkáme, že jde z uzlu i do uzlu j. Orientovaný graf může také obsahovat hranu <i, i>. Někdy též zapisujeme i j, resp. i i. Ak. rok 2015/2016 vbp 108. ze 132

109 Odvozené (abstraktní) datové struktury GRAFY Ztotožníme-li hranu <i, j> s hranou <j, i>, jde o neorientovaný graf. Definujeme-li zobrazení h: H R, které jednotlivým hranám přiřadí číselné hodnoty, pak hovoříme o ohodnoceném grafu. Posloupnost orientovaných hran <i, i 1 >, <i 1, i 2 >,, <i k, j> označujeme jako cestu z uzlu i do uzlu j. Cesta, jejíž počáteční uzel je roven uzlu koncovému, je cyklus. Ak. rok 2015/2016 vbp 109. ze 132

110 Odvozené (abstraktní) datové struktury GRAFY Orientovaný graf Neorientovaný graf Ak. rok 2015/2016 vbp 110. ze 132

111 Odvozené (abstraktní) datové struktury MNOŽINY Množiny s prvky ordinálních typů Ordinálními typy mohou být znaky, intervaly, výčtové typy, (seznamy objektů). Ak. rok 2015/2016 vbp 111. ze 132

112 Třídění TŘÍDĚNÍ Ak. rok 2015/2016 vbp 112. ze 132

113 Třídění Pojmy: Třídění = uspořádání dané posloupnosti dat podle určitého klíče v neklesající, resp. nerostoucí pořadí. Prvky tříděné posloupnosti budou stejného datového typu. Obecně jde o záznamy (struktury). Klíčem bude: některá ze složek záznamu funkce vypočítaná na základě celého záznamu Ak. rok 2015/2016 vbp 113. ze 132

114 Třídění Pojmy: Vnitřní třídění známe počet prvků posloupnosti všechny prvky posloupnosti jsou uloženy ve vnitřní paměti počítače Vnější třídění neznáme počet prvků posloupnosti všechny prvky posloupnosti jsou uloženy ve vnější paměti se sekvenčním přístupem (magnetická páska, disk) Ak. rok 2015/2016 vbp 114. ze 132

115 Vnitřní třídění TŘÍDĚNÍ PŘÍMÝM VÝBĚREM 1. Ve zdrojové posloupnosti najdeme prvek s nejmenším klíčem. 2. Vyměníme tento prvek s prvkem na první pozici. 3. Nyní máme na první pozici prvek s nejmenším klíčem. Máme-li utřídit zbytek posloupnosti, opakujeme tyto kroky se zbylými n-1 prvky, dokud je n > 1. Ak. rok 2015/2016 vbp 115. ze 132

116 Vnitřní třídění TŘÍDĚNÍ PŘÍMÝM VÝBĚREM Příklad: neutříděno plně utříděné Ak. rok 2015/2016 vbp 116. ze 132

117 Vnitřní třídění TŘÍDĚNÍ BUBLINKOVÉ (bublesort) 1. Opakovaně procházíme polem 2. Porovnáváme dva sousední prvky 3. Pokud relace nevyhovuje, prohodíme je Při prvním průchodu vyplave nejlehčí prvek na hladinu, při druhém průchodu vyplave 2. nejlehčí prvek, atd. Ak. rok 2015/2016 vbp 117. ze 132

118 Vnitřní třídění TŘÍDĚNÍ BUBLINKOVÉ (bublesort) Vylepšení algoritmu při průchodu polem registrujeme uskutečněné výměny prvků v okamžiku, kdy při průchodu polem nenastala žádná výměna, je pole uspořádané Ak. rok 2015/2016 vbp 118. ze 132

119 Vnitřní třídění TŘÍDĚNÍ BUBLINKOVÉ (bublesort) Vylepšení algoritmu zapamatujeme si i index prvku, kterého se týkala poslední výměna za tímto prvkem již nebyly žádné další výměny tj. prvky jsou již uspořádány tento úsek již nemusíme procházet Ak. rok 2015/2016 vbp 119. ze 132

120 Vnitřní třídění TŘÍDĚNÍ BUBLINKOVÉ (bublesort) Vylepšení algoritmu evidentně záleží na směru pohybu v tříděném poli pohyb zleva doprava nejtěžší prvek vybublá nejrychleji pohyb zprava doleva nejlehčí prvek vybublá nejrychleji kombinujme (střídejme) tedy oba směry pohybu v tříděném poli třídění PŘETŘÁSÁNÍM Ak. rok 2015/2016 vbp 120. ze 132

121 Vnitřní třídění SHELLOVO TŘÍDĚNÍ (Shellsort) Příčina neefektivnosti předchozích algoritmů vyměňujeme pouze sousední prvky nejmenší prvek např. na konci pole potřebujeme n výměn preferujme výměnu prvků na velké vzdálenosti Ak. rok 2015/2016 vbp 121. ze 132

122 Vnitřní třídění SHELLOVO TŘÍDĚNÍ (Shellsort) Donald L. Shell ( ), americký počítačový vědec Myšlenka přeuspořádejme pole tak, že vezmeme-li každý h-tý prvek, dostaneme setříděné pole (pole setříděné s krokem h) pole setříděné s krokem h představuje h proložených nezávislých polí Ak. rok 2015/2016 vbp 122. ze 132

123 Vnitřní třídění SHELLOVO TŘÍDĚNÍ (Shellsort) Myšlenka při Shellově třídění třídíme nejprve s krokem h 1 pak s krokem h 2 (h 2 < h 1 ), atd. nakonec třídíme s krokem h n = 1 (dostaneme plně setříděné pole) při každém z průchodů třídíme pole, které je již částečně utříděné můžeme očekávat, že bude třeba jen málo výměn Ak. rok 2015/2016 vbp 123. ze 132

124 Vnitřní třídění RYCHLÉ TŘÍDĚNÍ (quicksort) (třídění rozdělováním) Myšlenka nejefektivnější je výměna prvků v poli na velké vzdálenosti mějme pole seřazené v opačném pořadí potřebujeme jen n/2 výměn porovnáme prvky na obou koncích pole a vyměníme je pak postoupíme o jedno pole ke středu a zopakujeme porovnání Ak. rok 2015/2016 vbp 124. ze 132

125 Vnitřní třídění RYCHLÉ TŘÍDĚNÍ (quicksort) (třídění rozdělováním) Myšlenka pokud pole není seřazené v obráceném pořadí, nemůže být náš postup tak přímočarý vyjdeme z principu Rozděl a panuj zvolíme náhodně prvek x uspořádáme pole tak, aby vlevo od x byly menší prvky a vpravo od x byly větší prvky máme 3 části vlevo jsou prvky menší než x prvek x je už na svém místě vpravo jsou prvky větší než x Ak. rok 2015/2016 vbp 125. ze 132

126 Vnitřní třídění RYCHLÉ TŘÍDĚNÍ (quicksort) (třídění rozdělováním) Myšlenka pokud pole obsahuje pouze 3 prvky za x volíme prostřední (pokud jde o velikost, tj. medián) předeslaným procesem získáme uspořádané pole pokud pole obsahuje pouze 2 prvky za x volíme kterýkoli z nich a je to Ak. rok 2015/2016 vbp 126. ze 132

127 Vnitřní třídění RYCHLÉ TŘÍDĚNÍ (quicksort) (třídění rozdělováním) Algoritmus 1. Zvolíme x a rozdělíme popsaným způsobem tříděné pole na úseky a1,, as,, an Platí, že a i <= x pro i=1, 2,, s-1 a s = x a i >= x pro i=s+1,, n Ak. rok 2015/2016 vbp 127. ze 132

128 Vnitřní třídění RYCHLÉ TŘÍDĚNÍ (quicksort) (třídění rozdělováním) Algoritmus 2. Proces rozdělení opakujeme pro úseky a 1,, a s a s+1,, a n 3. Dále pak pro jejich části, až dospějeme k úsekům délky A ty už budou automaticky utříděné Ak. rok 2015/2016 vbp 128. ze 132

129 Vnitřní třídění RYCHLÉ TŘÍDĚNÍ (quicksort) (třídění rozdělováním) Algoritmus rozdělení pole na dvě části 1. Vyjdeme od prvního prvku pole a budeme hledat prvek, který je větší než x. 2. Zároveň budeme pole prohledávat od konce, až narazíme na prvek, který je menší než x. 3. Tyto dva prvky zaměníme. 4. Až se oba směry prohledávání setkají uprostřed pole, skončíme. Ak. rok 2015/2016 vbp 129. ze 132

130 Některé základní algoritmy 1. Záměna dvou daných prvků 2. Seřazení tří daných prvků dle velikosti 3. Nalezení dané hodnoty v daném poli jednorozměrné pole dvourozměrné pole 4. Nalezení extrémní velikosti prvku a jeho polohy v daném poli jednorozměrné pole dvourozměrné pole 5. Součet, resp. součin prvků daného číselného pole (vektor, matice) Ak. rok 2015/2016 vbp 130. ze 132

131 Některé základní algoritmy Algoritmizace I 6. Záměna minimálního a maximálního prvku v daném poli 7. Součet, resp. součin matic 8. Záměna dvou řádků matice 9. Matice převlečená naruby (s využitím algoritmu v úloze 8) 10. Nalezení v absolutní hodnotě maximálního prvku v řádku (resp. sloupci) matice a jeho záměna s prvkem diagonálním Ak. rok 2015/2016 vbp 131. ze 132

132 Programování I Děkuji za pozornost Ak. rok 2015/2016 vbp 132. ze 132