Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová

Transkript

1 Jihočesá uiverzita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rada Glücsmaová Česé Budějovice, rosiec 7

2 Na tomto místě bych ráda oděovala vedoucímu baalářsé ráce, RNDr. Tomáši Mrvičovi, Ph.D. za jeho trělivost, omoc ři hledáí vhodé literatury a ceé rady a řiomíy. Můj dí atří taé Zdeňu Klučiovi za jeho sychicou odoru a všem, teří mi ři saí ráce jaoliv omohli. Prohlašuji, že jsem baalářsou ráci zracovala samostatě a oužitou literaturu jsem citovala. Prohlašuji, že v souladu s 47b záoa č. /998 Sb. v latém zěí souhlasím se zveřejěím své baalářsé ráce, a to v ezráceé odobě, edagogicou faultou eletroicou cestou ve veřejě řístué části databáze STAG rovozovaé Jihočesou uiverzitou v Česých Budějovicích a jejích iteretových stráách. V Česých Budějovicích 9. rosice 7 Rada Glücsmaová

3 Aotace Úolem této ráce je vyracováí sbíry říladů, vztahujících se jedotlivým ravděodobostím modelům. Zahruty by měly být: záladí disrétí rozděleí, sojitá rozděleí, oužití CLV a aroimace biomicého rozděleí Poissoovým. Ke aždému modelu by mělo být uvedeo ěoli říladů, teré doládají oužití daého modelu v rai, ta aby byl čteář motivová hlubšímu studiu ravděodobostích modelů. Aotatio The objective of this wor is to build a collectio of eamles related to the articular robability models. It should iclude basic discrete distributios, cotiuous distributios, usig of CLT ad aroimatio of biomic distributio by Poisso. Every model should be accomaied by several eamles showig the use of give model i rais, so that the reader is motivated for deeer study of robability models. 3

4 OBSAH. Úvod Úvod do ravděodobosti Nahlédutí ho historie Záladí ojmy Náhodé veličiy Distribučí fuce áhodých veliči Disrétí áhodá veličia Sojitá áhodá veličia Charateristiy áhodých veliči Rozděleí disrétích áhodých veliči Alterativí (ula-jedičové) rozděleí Biomicé rozděleí Hyergeometricé rozděleí Poissoovo rozděleí Aroimace omocí Poissoova rozděleí Geometricé rozděleí Rozděleí sojitých áhodých veliči Rovoměré rozděleí Normálí rozděleí Normovaé ormálí rozděleí Obecé ormálí rozděleí

5 4.3 Eoeciálí rozděleí Cetrálí limití věta Přílady Řešeí Literatura Příloha I

6 . Úvod Práce Pravděodobostí modely olem ás, terá se vám dostává do ruou, odává řehled o záladích rozděleích ravděodobosti. Měla by čteářům uázat, že ravděodobostí modely ejsou je teoreticé věty, vzorečy a důazy, ale že se s imi všichi setáváme v běžém aždodeím životě. Převážá většia říladů je ociováa ta, aby uázala oužití ravděodobostích modelů v situacích, do terých se může dostat aždý z ás. Je určea studetům ři studiu ravděodobosti, dolňuje teoreticé ředášy řadou řešeých i eřešeých říladů. Práce je rozdělea a ěoli částí. V úvodu je ráté ahlédutí do historie teorie ravděodobosti. Za ím ásleduje teoreticá část, de jsou zavedey záladí ojmy z teorie ravděodobosti, teré jsou uté dále ři oužití jedotlivých ravděodobostích modelů. Vlastí ravděodobostí modely jsou rozděley a disrétí a sojité, u aždého rozděleí ravděodobosti je uvedea záladí teorie, ěoli řešeých říladů vztahujících se daému rozděleí a eřešeé řílady určeé rocvičováí. Zařazeí říladů teorii v odstatě dává ávod, terý model a daý řílad aliovat. Proto je za řehledem jedotlivých rozděleí ravděodobosti aitola věovaá ouze říladům. Tyto řílady jsou růzě zřeházey a čteář musí sám řijít a to, terým modelem lze daou situaci osat. V oci ráce jsou uvedey výsledy všech eřešeých říladů, u mohých solečě s ázaem řešeí. V samotém závěru je uvedea literatura, ze teré jsem čerala, a jao říloha tabula hodot distribučí fuce ormovaého ormálího rozděleí. Sažila jsem se vytvořit ráci, terá by svým obsahem studety zaujala a ve terý by ašli možosti aliace ravděodobostích modelů v rai. Doufám, že se mi to odařilo. 6

7 . Úvod do ravděodobosti. Nahlédutí do historie Teorie ravděodobosti stejě jao matematicá statistia sadají do vědího oboru zvaého stochastia. Prví zmíu o í acházíme už v díle Platoa Philebos. Taé idičtí a číští matematiové se řešeím ombiatoricých úloh zabývali již ve starověu. Zálady vlastí teorie ravděodobosti můžeme v Evroě oložit do 6. a 7. století v souvislosti se sahou vybudovat teorii hazardích her. Důvodem ta ozdího zájmu matematiů o áhodu může být fat, že do té doby matematicé zoumáí áhodých jevů ido eotřeboval a utost jejich řesého oisu se objevila až v souvislosti s rozvojem obchodu, demografie, astroomie a moderí fyziy. Prví úlohy vzialy již a očátu ovověu v souvislosti s úlohami a motivy hry v osty. Zabývali se jimi slaví matematici a řírodovědci jao Luca Paciolli (445 54), Niccolo Tartaglia (5 557), Gerolamo (Hieroymus) Cardao (5 576) a Galileo Galilei (565 64), terý se ousil oužít ravděodobostích úvah odhadu chyb ři ozorováí hvězd. Kombiatoricými roblémy a úlohami teorie ravděodobosti se taé zabýval Johaes Keller (57 63). Za vlastí očáte teorie ravděodobosti je ovažováa oresodece fracouzsých matematiů Blaise Pascala (63 66) a Pierra de Fermata (6 665), terou vedli v roce 654 o roblémech, se terými se a Pascala obrátil rytíř de Méré. Šlo o otázu, oli hodů jedou či dvěma ostami je třeba udělat, aby šace, že ade alesoň jedou šesta, resetive dvě šesty, byla adolovičí. Na jejich myšley avázal Christia Huyges (69 695), terý v roce 657 asal rví ihu o očtu ravděodobosti De ratiois i ludo aleae [O výočtech ři hře v osty]. Myšley svých ředchůdců zde osuul od řešeí orétích úloh obecým ojmům a ostuům. 7

8 Velou zásluhu o rozvoj očtu ravděodobosti si zísal švýcarsý matemati Jacob Beroulli (654 75), terý v díle Tractatus de arte coiectadi [Pojedáí o uměí ředvídat] odvodil důležitou větu, zvaou záo velých čísel. Dalšími výzamými ozaty řisěli aglicý matemati fracouzsého ůvodu Abraham de Moivre ( ) a fracouzsý matemati Pierre Simo Lalace (749 87). Moivre ve svém díle Miscellaea aalytica [Růzé roblémy z aalýzy] vyslovil roslulý limití teorém azývaý yí Moivrova-Lalaceova věta. Teorií chyb a metodou ejmeších čtverců se a rozvoji očtu ravděodobosti odílel ěmecý matemati a fyzi Carl Friedrich Gaus ( ). Z dalších stojí jistě za zmíu Augusti Louise Cauchy ( ) a Siméo Deise Poisso (78 84), o ěmž je azváo jedo z ejdůležitějších rozložeí ravděodobosti. V tomto období achází teorie ravděodobosti velmi atuálí ulatěí v řírodích a techicých vědách. U ás se očtem ravděodobosti v miulém období zabýval zvláště Bohuslav Hostisý (884 95), terý dosáhl výzamých výsledů v teorii marovsých řetězců. Počet ravděodobosti atří v současé době výzamým matematicým oborům s rozsáhlými možostmi oužití v matematice samé, v řírodích vědách (ve fyzice, vatové mechaice, chemii, biologii ebo medicíě) i ve vědách solečesých (v eoomii, teorii řízeí, otrole jaosti ebo ligvistice). 8

9 . Záladí ojmy Dříve ež se dostaeme vlastím ravděodobostím modelům, je třeba zavést záladí ojmy, teré budou dále oužíváy. V této aitole budou uvedey ouze záladí defiice ojmů, věty o vlastostech a jejich důazy lze ajít ař. v Šráše 99 Teorie ravděodobosti zoumá matematicé modely áhodých ousů. Náhodým ousem zde azýváme jaouoliv čiost, terá se usutečňuje za určitých jedozačě staoveých odmíe a jejíž realizaci za těchto odmíe lze eomezeě mohorát oaovat. Při tomto oaováí edosáheme stejých výsledů, výslede ousu eí staoveými odmíami urče jedozačě, avša systém odmíe určuje rozložeí ravděodobosti a možiě všech možých výsledů. Klasicým říladem áhodých ousů jsou hazardí hry (hod ostou, hod micí, tah sorty aod.), ale i výzamější ousy jao výosost ěstováí lodi, odáí léu acietovi, sotřeba eergie a další. Kromě áhodých ousů eistují ještě ousy determiisticé, teré ři oaováí za staoveých odmíe vedou vždy e stejému výsledu. S těmito ousy se často setáváme v řírodích vědách; ři chemicých reacích (ři dodržeí stejého tlau, teloty, možství láte) ebo ři fyziálích ousech. Z hledisa teorie ravděodobosti vša ejsou determiisticé ousy zajímavé. Každému áhodému jevu můžeme řiřadit číslo, teré azýváme ravděodobostí. Ituitivě aždý z ás tuší, co si od ojmem ravděodobost ředstavit. Při hodu ravidelou ostou ade jedo z čísel až 6. Pravděodobost adutí aždého z ich je. Stejě ta tušíme, že ři arozeí dítěte je 6 ravděodobost, že to bude chlaec, a, že to bude děvče (ve sutečosti je arozeí chlace o ěco málo ravděodobější, asi,55). Tato tvrzeí lyou z ašich zušeostí, aiž bychom věděli, co vlastě ravděodobost je. 9

10 .. Náhodé veličiy Mějme ějaý výslede áhodého ousu. Mohdy ám ejde římo o samotý výslede ousu, ale chceme teto výslede ohodotit číslem. Eistuje tedy reálá fuce X, terá tomuto výsledu ousu ω řiřazuje hodotu X (ω). Tato fuce defiovaá a možiě všech možých výsledů ousu se azývá áhodá veličia. Poud mají výsledy áhodého ousu vatitativí charater (ař. hod ostou, očet telefoích hovorů za jedotu času, měřeí hmotosti acietů, očet vadých výrobů), hodotou áhodé veličiy je římo vlastí výslede ousu. Výsledy ěterých áhodých ousů vša mají valitativí charater (ohlaví arozeého dítěte, barva očí, hod micí). V tomto říadě defiujme áhodou veličiu ta, že aždý možý výslede áhodého ousu ohodotíme určitým reálým číslem. Náhodé veličiy budeme začit velými ísmey od oce abecedy ( X, Y, Z, K), hodoty, terých budou abývat, říslušými malými ísmey (, y, z, K). Náhodé veličiy, se terými se setáváme, mohou být, odle hodot, terých abývají, dvojího tyu: a) disrétí áhodá veličia: je áhodá veličia, terá může abývat hodot ouze z ějaé oečé ebo sočeté možiy. Příladem je očet bodů ři hodu 3 ostami, očet doravích ehod za ro, očet bodů z testu, b) absolutě sojitá áhodá veličia: tato áhodá veličia může abývat všech hodot z určitého itervalu. Nař. doba čeáí a autobus, životost řístroje, výša člověa, K řesým defiicím těchto dvou tyů áhodých veliči otřebujeme ejdříve defiovat ojem distribučí fuce.

11 Kromě uvedeých dvou záladích tyů áhodých veliči se mohou vysytovat i složitější tyy áhodých veliči, jao ař. áhodé veličiy, teré se v ěterých částech itervalu chovají jao disrétí, dežto v jiých jeho částech se chovají jao sojité áhodé veličiy. Taovými áhodými veličiami se vša zabývat ebudeme... Distribučí fuce áhodých veliči K oisu rozděleí ravděodobosti áhodé veličiy zavádíme distribučí fuci áhodé veličiy, terá lě charaterizuje její ravděodobostí chováí. Defiice: Nechť X je áhodá veličia. Distribučí fucí F () áhodé veličiy X azýváme fuci, terá je defiováa vztahem ({ : X ( } ) F ( ) P( X < ) P ω ω) < ro R Hodota distribučí fuce v bodě tedy udává ravděodobost toho, že áhodá veličia X abývá hodoty meší ež. Věta: Nechť F () je distribučí fucí áhodé veličiy X. Pa ro F () latí: ) je elesající; tedy ro libovolé a, b R, a b latí F( a) F( b) ) je zleva sojitá v libovolém bodě ( ; ) 3) lim F( ), lim F( )

12 4) F ( ) ro R 5) má ejvýše sočetě moho bodů esojitosti 6) P( a X < b) F( b) F( a)..3 Disrétí áhodá veličia Defiice: Náhodá veličia X se azývá disrétí (má rozděleí disrétího tyu), jestliže eistuje ejvýše sočetá možia reálých čísel {,,K} aždé i z této možiy je ravděodobost P ( X i ) > a i P ( X ) i taová, že ro Defiice: Nechť X je disrétí áhodá veličia. Pa fuci :( ; ) ; daou ředisem ( ) P( X ) azýváme ravděodobostí fucí disrétí áhodé veličiy X. Pravděodobostí fuce řiřazuje aždému reálému číslu ravděodobost, že áhodá veličia X abude této hodoty. Distribučí fuce disrétí áhodé veličiy X je dáa vztahem F( ) P( X < ) i: < i P( X ) i i: < i ( ) i

13 Distribučí fuce áhodé veličiy disrétího tyu je schodovitá fuce se soy v bodech,, K a je ostatí a itervalech ( ). Veliost sou v bodě je ; + ( ) P( X )..4 Absolutě sojitá áhodá veličia Defiice: Náhodá veličia X se azývá absolutě sojitá (má rozděleí absolutě sojitého tyu), jestliže eistuje ezáorá itegrovatelá fuce f () taová, že latí ( ( ; ) F ) P( X < ) f ( t) dt Fuce f () se azývá hustotou rozděleí ravděodobosti áhodé veličiy X ebo stručěji hustotou áhodé veličiy X. Obsah lochy mezi řivou f () a osou v jaémoliv itervalu je ravděodobost, že X abude hodoty z tohoto itervalu. Věta: (vlastosti hustoty) Nechť X je áhodá veličia absolutě sojitého tyu a f () její hustota. Pa latí: f ro ( ; ) ) ( ) ) f ( ) d d 3) f ( ) F( ) soro jistě d 3

14 b 4) ( a X < b) f ( ) d f ( ) d P f ( ) d ro libovolá reálá čísla a a, b, de a b. b a..5 Charateristiy áhodých veliči Chováí áhodé veličiy je jedozačě osáo jejím rozděleím. Tato iformace o áhodé veličiě je sice úlá, ale často začě eřehledá. Pro řešeí ravděodobostích úloh je roto výhodé shrout iformaci o rozděleí áhodé veličiy do ěolia vhodých číselých charateristi, teré dostatečě výstižě oisují záladí vlastosti tohoto rozděleí. Navíc v říadě, že rozděleí áhodé veličiy ezáme, můžeme omocí těchto charateristi určit alesoň záladí vlastosti áhodé veličiy. Podle vlastosti, terou oisují, můžeme charateristiy rozdělit do ásledujících sui: ) charateristiy olohy: středí hodota, modus, mediá, vatity ) charateristiy variability: roztyl, směrodatá odchyla, růměrá odchyla 3) charateristiy šimosti a šičatosti: oeficiety šimosti a šičatosti Nyí si odroběji defiujeme ouze ejčastěji oužívaé charateristiy, terých budeme dále využívat ři oisu jedotlivých tyů rozděleí ravděodobosti. Defiice: Nechť X je áhodá veličia. Středí hodotou EX áhodé veličiy X azýváme itegrál 4

15 EX X df() oud teto itegrál eistuje. Poud uvedeý itegrál eí oečý ebo eeistuje, říáme, že středí hodota áhodé veličiy X eeistuje. Pozáma: Defiici můžeme uvést ve dvou růzých tvarech v závislosti a tom, zda se jedá o disrétí ebo o absolutě sojitou áhodou veličiu. a) Nechť X je disrétí áhodá veličia abývající reálých hodot,, K, tedy i ( ). i Pa středí hodota EX áhodé veličiy X je tvaru EX i ( i i ) oud tato řada overguje. b) Nechť X je absolutě sojitá áhodá veličia s hustotou f (). Pa středí hodota áhodé veličiy X je EX f ( ) d oud teto itegrál eistuje. Věta: (vlastosti středí hodoty) Nechť X Y, X, K, X jsou áhodé veličiy, a, b jsou reálé ostaty. Pa latí:, ) EX eistuje eistuje 5

16 ) Jestliže P ( X a) EX a 3) E ( ax + by ) aex + bey 4) oud X Y (tj. ro ω Ω : X ( ω) Y ( ω) ) EX EY 5) Nechť X Y a EY eistuje eistuje EX 6) Nechť P ( X ) EX 7) E X i E( X i ) i i 8) E X i E( X i ), oud jsou áhodé veličiy X, i K, X ezávislé i hodoty. Roztyl je charateristiou odchyle hodot áhodé veličiy od její středí Defiice: Nechť X je áhodá veličia. Potom číslo µ EX azýváme -tým obecým mometem áhodé veličiy X µ E ( X EX ) azýváme -tým cetrálím mometem áhodé veličiy X µ E X azýváme -tým absolutím mometem áhodé veličiy X Defiice: Druhý cetrálí momet µ áhodé veličiy X azýváme roztylem a začíme DX var X σ ( X ) E( X EX ). Číslo ( X ) DX var X σ azýváme směrodatou odchylou áhodé veličiy X. Pozáma: Středí hodota je rví obecý momet. Prví cetrálí momet je vždy 6

17 rove ule, eboť E ( X EX ) EX E( EX ) EX EX Pozáma: Roztyl udává variabilitu áhodé veličiy ve čtvercích jejích jedote, roto se často oužívá směrodatá odchyla, terá měří variabilitu v ůvodích jedotách uvažovaé áhodé veličiy. Věta: (vlastosti roztylu) Nechť X, Y jsou áhodé veličiy s oečými druhými momety; a, b echť jsou daé reálé ostaty. Pa ) DX > ) DX EX (EX ) ; omocí tohoto vzorce se roztyl ejčastěji očítá 3) Jestliže P ( X a), a DX 4) D( a + bx ) b DX 5) Nechť X, Y jsou ezávislé áhodé veličiy. Pa D ( X + Y ) DX + DY. 7

18 3. Rozděleí disrétích áhodých veliči 3. Alterativí (ula jedičové) rozděleí Alterativím rozděleím áhodé veličiy X azýváme taové rozděleí, teré abývá ouze dvou hodot: (úsěch) a (eúsěch). Pravděodobost úsěchu, tedy hodoty X je rova, ravděodobost eúsěchu, hodoty X je q. Pravděodobost úsěchu, < <, azýváme arametrem alterativího rozděleí. Poud má áhodá veličia X alterativí rozděleí ravděodobostí s arametrem, íšeme X ~ A( ). Nechť X ~ A( ). X () P( X () P( X ) q ) Distribučí fuce alterativího rozděleí áhodé veličiy X je dáa výrazem F ( ) ro ro < ro > Věta: Středí hodota alterativě rozděleé áhodé veličiy X je EX, 8

19 roztyl je dá vztahem DX ( ). Důaz: EX + q + ( ) EX + ( ) DX EX ( EX ) ( ) Příladem áhodé veličiy s alterativím rozděleím ravděodobostí je očet šeste, teré adou ři jedom hodu ostou, očet zmetů ři áhodém výběru jedoho výrobu, vybaveí či evybaveí áhodě zvoleé domácosti myčou, atd. Př. 3. : Ve třídě je 7 žáů. Ozačme je áhodě ísmey A až Z. a) Jaá je ravděodobost, že ři rví hodiě si vyučující ozve tabuli žáa s ísmeem A? b) Poud byl žá A zouše v rví hodiě, jaá je ravděodobost, že v dalším ředmětu jiý vyučující oět vyvolá žáa s ísmeem A? c) Poud může být aždý žá zouše v jedé hodiě maimálě jederát, jaá je ravděodobost, že žá A zoušeý jao rví, bude zoušeý i jao druhý? Řešeí: áhodá veličia X žá bude zoušeý. X A 7 a) 7 9

20 b) 7 c) 6 Př. 3.: Určete, teré z ásledujících možostí jsou alterativí ousy: a) házeí micí úsěchem je adutí líce b) áhodý výběr bez vraceí úsěchem je vybráí rvu zvoleého druhu c) áhodý výběr s vraceím úsěchem je vybráí rvu zvoleého druhu d) ohlaví arozeého dítěte v rodiě, de již jsou 3 chlaci úsěchem je arozeí dívy e) aždodeí sledováí očasí během určitého období úsěchem je očasí beze sráže Př. 3.3: Při hodu micí ozačme Ω { L, R} a latí ( ω) X, Y echť zobrazují možiu Ω do R tato: X ( L), X ( R), Y ( L), ( R) Y. P ro ω Ω. Fuce Co můžeme říci o rozděleích áhodých veliči X a Y? Nareslete distribučí fuci, určete středí hodoty a roztyly.

21 3. Biomicé rozděleí Předoládejme, že rovedeme oaováí ezávislého alterativího ousu, řičemž ravděodobost úsěchu v aždém jedotlivém ousu je ostatí a rova, < <. Rozděleí, teré udává celový očet úsěchů (ezávisle a ořadí) v oslouosti ezávislých alterativích ousů, se azývá biomicé rozděleí. Biomicé rozděleí áhodé veličiy X abývá hodot,,, K, s ravděodobostmi ( ) P( X ) ( ) q de q, Biomicé rozděleí má dva arametry a a začíme ho Bi (, ). Náhodá veličia X, X ~ Bi(, ). Tedy X X i i, de X i oud v i tém ousu astal úsěch oud úsěch eastal

22 () Bi ( ;,3),3,5,,5,, Obráze : Pravděodobostí fuce biomicého rozděleí Bi ( ;,3). Distribučí fuce F () biomicého rozděleí je ve tvaru F() ( ) < > Věta: Nechť X je áhodá veličia X ~ Bi(, ). Středí hodota áhodé veličiy X je rova EX a roztyl této áhodé veličiy je DX ( ). Důaz: X je součtem ezávislých veliči rozděleí. Tedy X, K, X, teré mají alterativí EX i DX i ( )

23 3 Pa ( ) EX X E EX í i i i ( ) ) ( DX X D DX í i i i Tyicým říladem áhodé veličiy s biomicým rozděleím je očet rvů určité vlastosti vybraých z ějaého záladího souboru, dyž rovedeme tahů a vybraý rve vždy vracíme zět. Př. 3.4: Kouíme si 5 losů, šace a výhru je u aždého losu 5%. Pomocí distribučí fuce ěterého rozděleí vyjádřete ravděodobost, že alesoň budou vyhrávající. Řešeí: Náhodá veličia X udává očet vyhrávajících losů mezi ěti oueými, tedy 5; ~ Bi X. Potom [ ] [ ] [ ] ( ) + < F X P X P X P, Př. 3.5: Kolia ostami je třeba házet, aby růměrý očet dvoje a hod byl šest?

24 Řešeí: Počet dvoje má Bi ;, 6 tedy 6 tj Př. 3.6: Četost výsytu rooviy rsu u že je asi z. Vybereme áhodě 3 žey. Určete rozděleí ravděodobosti rozvoje raoviy rsu u těchto vybraých že (3). Řešeí: ~ Bi ( 3 ;,) X. Ozačme,,, 3 ravděodobosti, že z vybraých že žádá, rávě jeda, rávě dvě, všechy tři oemocí raoviou rsu. 3 3 [ ] (,) (,9), 79 P X 3 [ ] (,) (,9) 3,,8, 43 P X 3 [ ] (,) (,9) 3,,9, 7 P X [ 3] (,) (,9), 3 P X Př. 3.7: Poud by se u všech 3 že ze 3 vybraých rozviula raovia rsu, čím by bylo možé tuto situaci vysvětlit? Řešeí: a) jede říad z tisíce b) model ředoládá,. Výsyt oemocěí může být četější 4

25 c) eáhodý výběr Př. 3.8: Pravděodobost arozeí chlace je,55. Určete taový očet dětí, aby ravděodobost, že mezi imi bude alesoň jede chlaec, byla větší ež,95. Řešeí: Ozačme X veličiu udávající očet chlaců mezi dětmi. Rozděleí veličiy X je X ~ Bi ( ;,55). Hledáme taové, aby ( X > ) >, 95 Použitím ravděodobostí fuce biomicého rozděleí P. P 485 ( X > ) P( X ) P( X ) (,55) (,55), Z odmíy P ( X > ) >, 95 dostáváme,485 >,95,5 >,485 l,5 > l,485 l,5 > l,485 l,5 > 4,4 l,485 Je otřeba mít alesoň 5 dětí. Př. 3.9: Dva basetbalisti mají o třech hodech a oš. Prví zasáhe oš ři aždém hodu s ravděodobostí,6, druhý s ravděodobostí,7. Určete ravděodobost, že o všech šesti hodech 5

26 a) budou mít oba stejý očet zásahů b) rví zasáhe vícerát ež druhý. Př. 3.: Pravděodobost, že madelia o ostřiu zahye je madelie v růměru zahye z deseti ostříaých? 3. Koli 4 Př. 3.: Předoládejme, že 68% dosělé oulace chodí a ravidelé revetiví rohlídy zubímu léaři. Oslovíme v růzumu áhodě 5 osob. Jaá je ravděodobost, že alesoň 3 z ich chodí a ravidelé revetiví zubí rohlídy? Př. 3.: Vítěz závodu ve střelbě má ravděodobost zásahu,98. Určete ravděodobost, že ze ra alesoň jederát mie terč. Př. 3.3: Curova se vysytuje u řibližě % seiorů. Vybereme áhodě 5 seiorů. Veličia X echť udává očet diabetiů mezi vybraými. a) Jaá je ravděodobost, že mezi vybraými ebude žádý diabeti? b) Bude řevaující, dyž mezi vybraými budou rávě diabetici? Př. 3.4: Pravděodobost toho, že jev astae alesoň jedou ve čtyřech ezávislých ousech, je rova,59. Jaá je ravděodobost výsytu jevu ři jedom ousu, jestliže je tato ravděodobost ři aždém ousu stejá? 6

27 3.3 Hyergeometricé rozděleí S ředchozím biomicým rozděleím úzce souvisí rozděleí hyergeometricé. Mějme oečý soubor N jedote, z ichž M jedote má sledovaou vlastost a zbývajících N M jedote tuto vlastost emá. Z tohoto souboru vybereme ajedou ebo ostuě jedote, řičemž žádý vybraý rve evracíme zět. Ptáme se, jaá je ravděodobost, že mezi vybraými je určitý očet jedote se zmíěou vlastostí. Náhodá veličia X, terá ozačuje očet jedote se sledovaou vlastostí mezi vybraými ři výběru bez vraceí, má hyergeometricé rozděleí ravděodobosti; X ~ Hg( N, M, ). Náhodá veličia,,, KM s ravděodobostmi M ( ) P( X ) X mající hyergeometricé rozděleí abývá hodot N M N ro ma ( ; M N + ) mi ( M ; ), < N, M < N. () Hg ( ; 6 ; ),3,5,,5,, Obráze : Pravděodobostí fuce hyergeometricého rozděleí Hg ( ; 6 ; ). 7

28 Distribučí fuce F () hyergeometricého rozděleí má otom tvar F() M N M N ro ma (; M N + ) ro ma ( ; M N + ) mi ( M ro > mi ( M ; ) ; ) Středí hodota a roztyl áhodé veličiy X, X ~ Hg( N, M, ) jsou EX M, N DX M M N N N N de zlomu Středí hodota je zřejmě totožá se středí hodotou ro rozděleí Bi (, ), M N N. N. Roztyl je rove součiu roztylu ro zmíěé biomicé rozděleí a N Protože N, je roztyl v říadě hyergeometricého rozděleí zravidla meší ež roztyl ro odovídající biomicé rozděleí. Tato sutečost má výzam ro matematicou statistiu, eboť z í lye, že úsudy vytvořeé a záladě výběru bez vraceí jsou řesější ež ty, teré jsou založey a výběru s vraceím. Hyergeometricé rozděleí se ulatňuje ředevším ve statisticé otrole jaosti. Když ze série N výrobů, mezi imiž je M zmetů, vybereme áhodě usů, udává toto rozděleí ravděodobost toho, že mezi vybraými usy bude rávě zmetů. Setáme se s ím taé u Sorty a odobých her. 8

29 Př. 3.5: Zahradí si ouil v obchodě semea oury. V balíču je jich 8, všecha vyadají stejě, ale 3 z ich jsou už stará a evylíčí. Zahradí zasadil 3 semea. Najděte rozděleí a středí hodotu očtu rostlie, teré vyrostou z vybraých seme. Řešeí: Počet valitích seme mezi 3 vybraými má Hg (8;5;3). Pravděodobost o, že mezi žádá rostlia evyroste [ ] P X Pravděodobost, že mezi vybraými semey je rávě jedo valití 56 [ ] P X Pravděodobost, že mezi vybraými semey budou valití 5 56 [ ] P X Pravděodobost 3, že ze všech 3 vybraých seme vyroste rostlia 5 8 [ 3] P X 5 8 Středí hodota očtu rostli, teré vyrostou z vybraých seme, je EX M N 5 5 3,

30 Př. 3.6: V suermaretu je vysládáo celem 37 ozerv s jahodovým omotem, mezi imiž je s rošlou dobou miimálí trvalivosti. Nevědomý záazí aouí 4 omotové ozervy. Jaou má šaci, že si evybere žádou s rošlou trvalivostí? Řešeí: Hg ( 37;; 4) P [ X ], 657 Př. 3.7: V aceláři racuje 5 mužů a 8 že. Z ich se mají vybrat 3 zástuci, teří ojedou a víedové šoleí. Výběr je rovede losem. Jaá je ravděodobost, že a šoleí ojedou a) samí muži b) samé žey c) ejvýše jede muž d) alesoň žey Př. 3.8: Na volejbalový turaj se řihlásilo 8 družstev, z toho 5 rofesioálích. Družstva jsou rozlosováa do dvou sui o devíti družstvech. Jaá je ravděodobost, že všecha rofesioálí družstva budou hrát v jedé suiě? Př. 3.9: Ve hře Mates bylo ozačeo 5 z 35 čísel a vylosováo 5 čísel. Určete ravděodobost výhry. ořadí. 3

31 3.4 Poissoovo rozděleí hodot Poissoovo rozděleí je taové rozděleí áhodé veličiy X, terá abývá,,, K s ravděodobostmi ( ) P( X ) e λ λ! Číslo λ > je arametrem Poissoova rozděleí, roto ro áhodou veličiu X mající Poissoovo rozděleí ravděodobosti oužíváme ozačeí X ~ Po( λ). Distribučí fuce má tvar F() λ j λ e j j! ro ro < < Po (λ),3,5 (),,5, Po (4) Po (), Obráze 3: Pravděodobostí fuce Poissoova rozděleí. 3

32 Věta: Nechť X je áhodá veličia, X ~ Po( λ). Středí hodota EX áhodé veličiy X je rova arametru λ, stejě ta roztyl áhodé veličiy X je rove arametru λ. Důaz: EX λ λ λ λ λ λ λ e e λ e λ e! ( )! ( )! j! j λ j λ Aalogicy odvodíme EX λ + λ DX EX (EX ) λ + λ λ λ. Poissoovým rozděleím se řídí áhodá veličia, terá udává očet výsytů sledovaého jevu v určitém časovém itervalu dély t, jestliže uvažovaý jev slňuje ásledující odmíy: a) jev může astat v terémoliv časovém oamžiu b) očet výsytů jevu během časového itervalu závisí je a jeho délce a e a jeho očátu ai a tom, olirát jev astal řed jeho očátem c) ravděodobost, že jev astal více ež jedou v itervalu dély t, overguje ule rychleji ež t d) středí hodota očtu výsytů jevu za časovou jedotu je rova λ. Podobě, je-li ravděodobost výsytu jevu a malé loše s obsahem úměrá obsahu této lošy a vysytují-li se jedotlivé jevy ezávisle jede a druhém, a očet X výsytů jevu a daé loše má Poissoovo rozděleí ravděodobosti. Příladem áhodé veličiy, terá má Poissoovo rozděleí je očet telefoích voláí, očet záazíů v rodejě, očet doravích ehod během určitých časových 3

33 itervalů, očet vadých výrobů ve velé sérii (je-li ravděodobost vadého výrobu velmi malá), očet oruch řístroje za směu, očet orgaismů v jedotce ůdy, očet rvie v zorém oli mirosou aod. Př. 3.: Určitou rodeju avštíví v růměru záazíů za hodiu. Prodavača si otřebuje a 5 miut odsočit z obchodu. Jaou má ravděodobost, že během této doby eřijde žádý záazí? Řešeí: Počet záazíů během 5 miut: Po( λ) X ~ ; λ P λ 3 [ X ] e e, 889 Př. 3.: Pravděodobost, že bude vyrobeo šatě izolující termosa, je za ormálích výrobích odmíe,5. Jaá je ravděodobost, že mezi 8 vyrobeými termosami budou 4, teré ebudou řádě izolovat? Př. 3.: Bylo statisticy zjištěo, že a m určité taiy řiadá v růměru 5 azů. Pro dodávu do maloobchodu bylo řiraveo 5 stometrových balíů této taiy. Jaý očet bezvadých balíů můžeme očeávat? 3.4. Aroimace omocí Poissoova rozděleí Poissoova rozděleí se taé využívá ři aroimaci biomicého rozděleí ravděodobosti. Lze ho oužít v těch říadech, dy jsou slěy ásledující 33

34 34 ředolady: a) 3 > b), c) souči je ostata v itervalu ; Poissoova věta: Jestliže a ravděodobost λ je blízá ule, řejde záo biomicého rozděleí áhodé veličiy X v záo Poissoova rozděleí tvaru! ) ( e λ λ téže áhodé veličiy X, řičemž λ Důaz: Pro λ z biomicého rozděleí dostáváme + ) (! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K + ) ( ) ( ) (! K λ λ! K λ λ λ Pro latí λ λ e lim lim λ Proto! ) ( lim e λ λ

35 Př. 3.3: Podíl zmetů v určité sérii výrobů čií,5%. Určete ravděodobost, že mezi 6 áhodě vybraými výroby - ebude žádý zmete - budou ejvýše 3 zmety Řešeí: Protože odíl zmetů je velmi malý (,5), oužijeme Poissoovo rozděleí ro λ,5 6, 3. λ,3 [ ] e e, 748 P λ! 3 λ 3!,3,3 6 3 P λ,3 [ 3] e + λ + + e +,3 + +,

36 3.5 Geometricé rozděleí Předoládejme, že rovádíme ezávislé ousy a že ravděodobost úsěchu je ro všechy ousy stejá a rova, ( ;). Náhodou veličiou X echť je očet eúsěšých ousů, teré ředcházejí rvímu úsěšému ousu. Rozděleí taovéto áhodé veličiy X se azývá geometricé rozděleí, X ~ Ge( ). Náhodá veličia X s geometricým rozděleím abývá hodot,,, K s ravděodobostmi ( ) P ( X ) ( ) Distribučí fuce F ( ) geometricého rozděleí je tvaru F() ro ( ) ro > () Ge (,7),8,7,6,5,4,3,, Obráze 4: Pravděodobostí fuce geomerticého rozděleí Ge(,7). 36

37 37 Věta: Pro číselé charateristiy veličiy X s geometricým rozděleím latí EX ( ) X D Důaz: Ze vzorce ro součet geometricé řady q q lze derivováím odle q odvodit ( ) q q a ( ) ( ) 3 q q Potom tedy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EX ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X EX ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Odtud lye ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EX EX X EX X D + +

38 Název tohoto rozděleí vylývá ze sutečosti, že s rostoucím hodoty ravděodobostí fuce ( ) lesají geometricou řadou. Př. 3.4: Házíme ostou. X echť ozačuje, oli hodů ředcházelo hozeí šesty. Jaé má X rozděleí? Řešeí: Vzhledem ezávislosti hodů, je P 5, 6 [ X ] P [ rát ezávisle ešesta a šesta] 6 což je geometricé rozděleí Ge. 6 Př. 3.5: hráči střídavě házejí ostou. Vyhrává te, do rví hodí šestu. Jaá je ravděodobost, že vyhraje te, terý začíal? Př. : Lovec má 5 atro a ravděodobost zásahu,4. Střílí, doud etrefí (a doud má čím). Určete rozděleí, středí hodotu a roztyl očtu výstřelů. 38

39 4. Rozděleí sojitých áhodých veliči 4. Rovoměré rozděleí Říáme, že áhodá veličia X má rovoměré sojité rozděleí a itervalu ( a, b), de a,b jsou reálá čísla, a < b, jestliže ro její hustotu latí f () b a ro a < < b ro ostatí Distribučí fuce je F() b a a a d b a ro a ro a < < b ro b X Pro áhodou veličiu X s rovoměrým rozděleím oužíváme ozačeí ~ Ro( a, b), eboť určujícími arametry tohoto rozděleí jsou hraice itervalu, a terém je tato veličia defiováa. 39

40 Ro ( ; 5) f(),9,8,7,6,5,4,3,, Ro ( ; 5) F(),,8,6,4, a) b) Obráze 5: Hustota (a) a distribučí fuce (b) rovoměrého rozděleí Ro( ; 5). Věta: Nechť áhodá veličia X má rovoměré rozděleí a itervalu a ; b, X ~ Ro( a, b). Pa středí hodota je EX a + b a roztyl této áhodé veličiy je rove DX ( b a). Důaz: EX b a b b a ( b a) ( b + a) d b a b a d b a a b a a + b EX b a b a b d b a b a ( b a) b a a + ab + 3 DX b + ab + a ( a + b) 4b + 4ab + 4a 3a 6ab 3b EX ( EX ) 3 4 4

41 b ab + a ( b a) Náhodými veličiami s rovoměrým rozděleím jsou ař. doba čeáí do astoueí určitého jevu, terý se oauje v ravidelých itervalech, ebo chyby ři zaorouhlováí v umericých výočtech. Zaorouhlují-li se čísla a desetiých míst, lze chybu ze zaorouhlováí ovažovat a áhodou veličiu s rovoměrým rozděleím a itervalu 5 ; 5. Př. 4.: Prodeja očeává dodávu ového zboží určitý de v době od 8 do hodi. Podle sděleí dodavatele je usutečěí dodávy stejě možé dyoliv během tohoto časového itervalu. Jaá je ravděodobost, že zboží bude dodáo v době od ůl deváté do tři čtvrtě a devět? Řešeí: Ro ( 8;) P 8,75 8,75 8,5 [ 8,5 X 8,75], 5 d 8,5 Př. 4.: Náhodá veličia X má rovoměré rozděleí. Jaá je její hustota, jestliže EX, DX 3? Př. 4.3: Dělí obsluhuje v dílě 4 stroje. U rvího stroje stráví miut, u druhého 5 miut, u třetího 5 miut a u čtvrtého miut, oté se oět vrací rvímu stroji. Určete ravděodobost, že řijdeme-li do díly v áhodý oamži, zastiheme ho u třetího stroje. 4

42 4. Normálí rozděleí Nejrve se budeme zabývat seciálím tyem ormálího rozděleí, tzv. ormovaým ormálím rozděleím. 4.. Normovaé ormálí rozděleí Říáme, že áhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí, jestliže ro její hustotu latí f ( ) e π ro < <. Distribučí fuce ormovaého ormálího rozděleí se začí ísmeem Φ. Φ t e ( ) π dt < < Graf hustoty áhodé veličiy X s ormovaým ormálím rozděleím se azývá Gaussova řiva. Tato řiva je symetricá olem uly a v bodě abývá svého maima. V bodech ± jsou ifleí body Gaussovy řivy. π 4

43 N ( ;) N ( ; ) f(),5, F(),4,3,8,6,,4, , a) b) Obráze 6: Hustota (a) a distribučí fuce (b) ormovaého ormálího rozděleí N (;). Věta: Nechť áhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí. Pa středí hodota je EX a roztyl D ( X ) Důaz: Fuce e π je v R lichá, roto EX e π d D ( X ) EX ( EX ) EX e d π π e d eboť e je a itervalu ( ) ; sudou fucí. 43

44 Metodou er artes určíme π e d e π + + e d π π Veličiu ( ;) X mající ormovaé ormálí rozděleí zravidla ozačujme X ~ N. Toto ozačeí vyjadřuje, že jde o ormálí rozděleí s arametry EX a σ ( X ) D( X ). Distribučí fuce Φ ( ) áhodé veličiy ~ N( ;) X se azývá Lalaceova fuce. Je to tzv. seciálí fuce, terou elze vyjádřit omocí elemetárích fucí a její hodoty jsou tabelováy. Hodota Lalaceovy fuce Φ ( ) X abývá udává odle defiice ravděodobost, že áhodá veličia ~ N( ;) hodoty z itervalu ( ; ). Záladí vlastosti Lalaceovy fuce jsou: ) Φ( ) Φ( ) ) P ( < X < ) Φ( ) Φ( ) Výzam má ředevším v souvislosti s užitím cetrálí limití věty (CLV). 4.. Obecé ormálí rozděleí Řeeme, že áhodá veličia X má ormálí rozděleí s arametry µ a σ, jestliže ro její hustotu latí ( ) ( µ ) σ f e < < πσ 44

45 de µ a σ jsou reálé arametry. Distribučí fuci F ( ) ( tµ ) σ πσ e dt < < lze vyjádřit taé omocí fuce Φ jao µ Φ. σ Věta: Nechť áhodá veličia X má ormálí rozděleí. Pa středí hodota je EX µ a roztyl D ( X ) σ Normálí rozděleí je tedy jedozačě určeo středí hodotou µ a roztylem σ, roto je zvyem ho ozačovat ( µ ;σ ) N. Důaz: Mezi áhodou veličiou ~ N ( µ ; σ ) vztah µ T X eboli X µ + σ T σ Potom tedy T latí X a áhodou veličiou ~ N( ;) EX µ + σ ET µ D ( X ) σ D( T ) σ 45

46 a) N (µ ; σ ) f(),8 µ, σ,7,6 µ, σ,5 µ, σ,5,4,3,, , b) N (µ ; σ ) F(),9,8,7,6,5,4,3,, µ, σ µ, σ,5 µ, σ Obráze 7: Hustota (a) a distribučí fuce (b) ormálího rozděleí N (µ ; σ ). Tvar ormálí řivy rozděleí ( µ ;σ ) směrodaté odchyly σ D( X ) tím je říslušá řiva ižší a rotáhlejší. N se měí v závislosti a veliosti. Je vidět, že čím je směrodatá odchyla σ větší, Normálím rozděleím se řesě řídí je málo áhodých veliči. Jsou to ředevším áhodé chyby měřeí, tj. chyby zůsobeé velým očtem ezámých a vzájemě ezávislých říči. Výzam ormálího rozděleí sočívá zejméa v tom, že za jistých odmíe dobře aroimuje řadu jiých (i disrétích) rozděleí. Normálí rozděleí velmi dobře aroimuje ař. biomicé rozděleí ro velé hodoty arametru. V rai se často ředoládá, že sledovaá áhodá veličia má ormálí rozděleí, ačoliv její sutečé rozděleí má je odobý tvar (je jedovrcholové a řibližě symetricé). Taový ostu velmi usadňuje teoreticé řešeí moha roblémů i raticý výočet hledaých charateristi. 46

47 Př. 4.4: Výroby jsou ovažováy za rvotřídí, oud odchyla od ředesaé dély eřeročí 3,6 mm. Jestliže odchyla má rozděleí N ( ; 9) lze čeat mezi výroby? Řešeí:, oli rvotřídích výrobů 3,6 3,6 [ X 3,6] P U P[, U,] Φ (, ) Φ (, ) P 3 3 Φ (,) ( Φ (,) ) Φ (, ),88493, Mezi výroby lze očeávat 77 rvotřídích. Př. 4.5: Vyučující dá studetům eohlášeý test. Výsledy tohoto testu mají ormálí rozděleí s růměrem 53% a směrodatou odchylou 4%. Jaá je ravděodobost, že a) studet test eudělá, tj. bude mít méě ež 4%? b) studet test aíše a výborou, tj. bude mít alesoň 8%? Řešeí: a) P [ X < 4 ] P U < Φ (,93) Φ (,93),838, b) P [ X 8] P[ X < 8] P U < Φ (, 93),973,68 Př. 4.6: Jaý roztyl mají ormálě rozděleá měřeí, terá se s ravděodobostí,4 eodchylují od srávé hodoty o více ež 4 m? 4 σ 4 σ Řešeí:,4 P [ X EX < 4] P U < Φ 47

48 ,4 + 4 Φ σ u, 4 4 σ σ 4 u,4 4, m Př. 4.7: Déla obytu v emocici má řibližě ormálí rozděleí s růměrem 4 dů a směrodatou odchylou 3 dy. Jaá je ravděodobost, že aciet stráví v emocici a) ejvýše dí b) více ež 8 dí c) až 8 dí d) Určete, oli maimálě dí stráví v emocici 3 4 acietů. Řešeí: X ~ N ( 4 ; 3) 4 3 a) P [ X ] Φ Φ (,33) Φ (, 33) a,984, b) [ > ] [ ] Φ c P X 8 P X 8 (,33),984, 976 Φ c) P[ X 8] P[ X 8] P[ X < ] d,976,976,

49 P U < D 4 D 4 Φ 3 3 d) [ ],75 P X < D D 4 3 u,75 3, , D u 6,5 Př. 4.8: Životost svíčy v m má ormálí rozděleí s růměrem a směrodatou odchylou 3. Jeá je ravděodobost, že během láovaé cesty dlouhé 4 3 m ebude třeba měit žádou ze 4 svíče? Př. 4.9: Výša jedeáctiletých chlaců se řídí ormálím rozděleím se středí hodotou 46 cm a směrodatou odchylou 8 cm. Jaou výšu mají,5% ejvyšších chlaců? Př. 4.: Při studiu Alzheimerovy choroby bylo zjištěo, že hmotost mozu se řídí ormálím rozděleím s růměrem 76,8 gramu a směrodatou odchylou 5,76g. a) Jaá je ravděodobost, že v říadě Alzheimerovy choroby bude moze vážit méě ež 9 g? b) Jaá je ravděodobost, že bude vážit více ež g? Př. 4.: Výsledy měřeí jsou zatížey je ormálě rozděleou áhodou chybou se směrodatou odchylou 3 mm. Jaá je ravděodobost, že ři 3 měřeích bude asoň jedou chyba v itervalu ( ;,4)? 49

50 4.3 Eoeciálí rozděleí Říáme, že áhodá veličia X má eoeciálí rozděleí s arametry A a δ, δ >, jestliže ro její hustotu latí f () δ e δ ( A) ro > A ro A Distribučí fuce veličiy s eoeciálím rozděleím má tvar F() e δ ( A) ro ro > A A Sutečost, že áhodá veličia X má eoeciálí rozděleí s arametry A a δ začíme X ~ E ( A;δ ). Náhodou veličiou X bývá obvyle čas, v ěmž astae sledovaý jev, a A je očátečí doba, během íž jev astat emůže. V rai se častěji oužívá seciálího tvaru tohoto rozděleí, dy očátečí doba A je rova ule ( A ), tj. tvaru δ e f () δ ro > ro 5

51 E ( ; ) f(),,8,6,4, E ( ; ) F(),,8,6,4, a) b) Obráze 8: Hustota (a) a distribučí fuce (b) eoeciálího rozděleí E (;). Věta: Středí hodota áhodé veličiy X s eoeciálím rozděleím je rova EX A +, δ δ roztyl je D ( X ) Důaz: EX δ e d δ + δ δ e A A d A + δ δ ( A) A δ ( A) Aalogicy lze odvodit EX + A A δ + δ Tedy D A ( X ) EX ( EX ) A + + A + δ δ δ δ 5

52 Eoeciálí rozděleí je vhodým modelem doby čeáí do astoueí určitého jevu. Poisuje se jím doba životosti ěterých zařízeí, doba trváí určitých ací aod. Toto rozděleí úzce souvisí s Poissoovým rozděleím. Jestliže totiž Poissoovo rozděleí modelovalo očet ějaých událostí v čase, eoeciálí rozděleí se oužívá modelováí doby do výsytu říslušé události. Eoeciálí rozděleí bývá ědy azýváo rozděleí bez aměti. Pravděodobost, že zařízeí, teré racovalo bez oruchy o dobu a, bude racovat bez oruchy ještě alesoň dalších hodi, je rova ravděodobosti, že zařízeí, teré dosud ebylo v rovozu, bude racovat alesoň hodi. Iformace o tom, že událost eastala o dobu a hodi, eměí ravděodobost výsytu události v říštích hodiách. Eoeciálí rozděleí oisuje dobře rozděleí doby života zařízeí, u terých dochází oruše ze zcela áhodých (vějších) říči a ioliv v důsledu mechaicého ootřebeí, úavy materiálu atd. Př. 4.: Doba oravy televizoru má eoeciálí rozděleí. Určete středí dobu oravy, jestliže do 6 miut je oraveo 3% televizorů. λ6 Řešeí:,3 P [ X < 6] e λ l 6 (,3),5944 EX 68, λ Př. 4.3: Nechť životost výrobů se řídí eoeciálím rozděleím se středí hodotou 5 let. Jaou záručí dobu osyte výrobce záazíům, emá-li očet 5

53 relamovaých výrobů řeročit %? P X,. Řešeí: Záručí dobu ozačíme. Žádáme, aby ravděodobost [ ] Předoládáme, že A a tedy X ~ E ; 5, F 5 ( ) e ( l,9) ( 5) 5 (,536 ), 568 Př. 4.4: Středí doba čeáí záazía a obsluhu v určité rodejě je miuta, řičemž doba čeáí se řídí eoeciálím rozděleím. Jaá je ravděodobost, že áhodý záazí bude obslouže v době ratší ež 4 seud? 53

54 5. Cetrálí limití věta V souvislosti s áhodým výběrem se často racuje se součtem ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči. Za určitých dosti obecých odmíe má taový součet asymtoticy ormálí rozděleí. Cetrálí limití věta osravedlňuje ředolad o ormálím rozděleí áhodých veliči, teré vziají jao výsledice velého očtu taových áhodých fatorů, že vliv aždého z ich je sám o sobě zaedbatelý. Věta (Moivreova-Lalaceova věta): Nechť X,, K je oslouost ezávislých áhodých veliči, teré mají alterativí rozděleí s arametrem. Pa oslouost áhodých veliči X Y ( ) X i i overguje v distribuci áhodé veličiě s rozděleím N ( ;). Věta (Lidebergova-Lévyova věta): Nechť X,, K je oslouost ezávislých áhodých veliči, teré mají stejé rozděleí, stejé středí hodoty a stejé roztyly, taže E ( ) µ ( ) σ X X Pa oslouost áhodých veliči X D,, K Y X σ i i µ overguje v distribuci áhodé veličiě s rozděleím N ( ;). 54

55 Pozáma: Cetrálí limití věta osravedlňuje aroimaci ěterých disrétích rozděleí ormálím rozděleím. Nechť áhodá veličia Poissoovo ebo hyergeometricé rozděleí a echť ( ) 9 X má biomicé, D X > (v říadě hyergeometricého rozděleí echť je avíc <, ). Pa ro ezáorá celá čísla a < b lze oužít aroimaci P [ a X b] b + EX a Φ Φ D de Φ je distribučí fuce rozděleí N ( ;). N EX, ( ) ( ) X D X Př. 5.: Člověu, terý o sobě rohlašuje, že má routařsé schoosti, ředložíme dvojic zarytých ádob, v jedé je vždy voda a druhá ve rázdá. Člově rozlišil srávě 6 dvojice ádob. Má oravdu schoosti, o terých mluví, ebo je to je áhoda? Řešeí: Y ~ Bi ( ) P ; 6,5,5,5 [ Y > ] P[ 6] Φ Φ (, 4) 6 Y,998,8 Pravděodobost, že ouze áhodou určí srávě 64 dvojice ádob, je meší ež %, tedy je téměř emožé toho dosáhout ouhým hádáím. Př. 5.: Zaměstaec jistého závodu jezdí do zaměstáí i zět metrem. Vla metra jezdí v třímiutových itervalech. Jaá je ravděodobost, že celová doba čeáí za jede měsíc ( racovích dí) bude ebude delší ež 7 miut? Řešeí: Náhodá veličia, i,, K, 4, doba čeáí a říjezd metra ři i -té X i 55

56 cestě, má rovoměré rozděleí R ( ;3). Hustota tohoto rozděleí je rova 3 ro < < 3, rova ule ro ostatí. EX i b a 3 DX i ( b a) P ,5 [ X 7] Φ Φ Φ (,5), Př. 5.3: Zatížeí letadla se 48 místy emá řeročit 3 g. Jaá je ravděodobost, že ři lém obsazeí bude tato hodota řeročea, má-li hmotost cestujícího středí hodotu 87 g a směrodatou odchylu g? 56

57 6. Přílady Př. 6.: Určete, teré z ásledujících áhodých roměých jsou disrétího a teré sojitého tyu: očet vyléčeých z 5 acietů růměrá záma ze zoušy z ravděodobosti doba čeáí a autobus MHD, terý jezdí v ravidelých itervalech orodí váha ovorozeců v jedé orodici očet acietů, teří avštíví léaře během jedoho de Př. 6.: s arametrem. Určete středí hodotu a roztyl veličiy s alterativím rozděleím Př. 6.3: Při ousu astává úsěch s ravděodobostí. Náhodá veličia X echť udává očet úsěchů o ezávislých oaováích taového ousu. Určete její distribučí fuci, středí hodotu a roztyl. Jaé má áhodá veličia X rozděleí? Př. 6.4: a arametrem λ. Určete středí hodotu a roztyl veličiy s Poissoovým rozděleím Př. 6.5: -rát vytáheme artu z lého (3 aret) důladě zamíchaého balíču aret (artu vracíme a vždy důladě romícháme). Pomocí distribučí fuce ěterého rozděleí určete ravděodobost, že alesoň jedou vytáheme eso. 57

58 Př. 6.6: Určitý druh léčby má 9% úsěšost. Jaá je ravděodobost, že u obou dvou áhodě vybraých acietů tato léčba selže? Př. 6.7: V očítačové hře jde o sestřeleí eřátelsého letadla. Hráč má 8 střel a ravděodobost zásahu je stále rova,. Určete, s jaou ravděodobostí hráč eřátelsé letadlo sestřelí, jestliže je tomu otřeba alesoň zásahů. Př. 6.8: Studet jde a ísemou zoušu. Zouša robíhá formou testu, má otáze a u aždé otázy jsou a výběr 4 možosti, z ichž rávě jeda je srává. Ke složeí zoušy je otřeba odovědět srávě alesoň a oloviu otáze. Studet se a zoušu vůbec eřiravoval a odovědi tedy volí arosto áhodě. a) Jaá je ravděodobost, že zoušu udělá? b) Jaá je ravděodobost, že bude mít srávě maimálě jedu odověď? Př. 6.9: V lobouu je 3 obále s lísty do tomboly. V ěti obálách je líste, a terý oamžitě vyhráváte ějaou ceu, v ostatích lísty ostuující do dalšího losováí. Určete ravděodobost, že ři oui 3 obále bude alesoň v jedé líste vyhrávající ihed. Př. 6.: Kihova uomíala čteáře o dvě ihy ze sedmi vyůjčeých. Čteář vša uomíu ztratil a vrátil áhodě vybraou dvojici ih. Jaá je ravděodobost, že vrátil ty, o teré byl uomíá? Př. 6.: Ve řírodě se ohybuje ebezečá šelma, terou je otřeba řevézt. Střelec s usávací istolí má v těžém teréu ravděodobost zásahu rovu,4. Jaá je ravděodobost, že šelma uie, oud má střelec disozici 7 atro? 58

59 Př. 6.: Ze zušeosti víme, že ři srávém chodu stroje je v růměru,% výrobů vadých. Ke stroji astouil ový racoví. Z 5 usů, teré vyrobil během týde, bylo zmetů. Vziá otáza, zde je jeho ráce vyhovující, tz. eí -li očet zmetů vyšší, ež lze odůvodit áhodou. Př. 6.3: Trolejbusy městsé doravy odjíždějí ze staice v ětimiutových itervalech. Cestující řišel e staici v libovolý oamži. Určete středí hodotu a roztyl doby jeho čeáí a odjezd ze staice. Př. 6.4: Předoládejme, že růměrá doba zracováí zaázy je miut a doba zracováí se řídí eoeciálím rozděleím. a) Určete ravděodobost, že zaáza bude zracováa do čtvrt hodiy. b) Určete dobu, do íž bude zaáza s ravděodobostí,9 zracováa. Př. 6.5: Klidový te srdce u zdravé oulace má řibližě ormálí rozděleí s růměrem 7 úderů za miutu a směrodatou odchylou úderů. Jaá část zdravé oulace má srdečí te vyšší ež 8 úderů za miutu? Př. 6.6: Bylo zjištěo, že rocetí odíl rachu ve vagóu dodaého uhlí je áhodá veličia s ormálím rozděleím s růměrem 6,99% a směrodatou odchylou,66%. Za jaou hraici rocetího odílu rachu v říštím vagóu se lze zaručit s ravděodobostí, 95? Př. 6.7: Ve třídě je 5 díve a chlaců. Třída si má zvolit ředsedu, jeho zástuce a oladía. Jaá je ravděodobost, že mezi imi budou 59

60 a) samé dívy? b) dívy a chlaec? Př. 6.8: Jaá je ravděodobost, že áhodě vybraý člově bude aroze a) 8. úora b) 9. úora c) 8. ebo 9. úora Př. 6.9: Do autooravy řivezli motorů. Ví se, že třetia z ich bude otřebovat geerálí oravu. Pět motorů ředali rovou a dílu. Jaá je ravděodobost, že dva z ich budou otřebovat geerálí oravu? Př. 6.: Je-li % leváů, jaá je ravděodobost, že mezi lidmi budou a) rávě 4 leváci b) alesoň 4 leváci Př. 6.: Déla výrobu v mm má N ( 68,3 ;,4) áhodě odebraého výrobu bude mezi 68 a 69 mm?. Jaá je ravděodobost, že déla Př. 6.: Při jedé otáčce radarové atéy je osmicý objet objeve s ravděodobostí,. Určete ravděodobost, že objet bude objeve až o osmi otáčách atéy. 6

61 Př. 6.3: Závodí ve střelbě ze sortoví istole vyhraje, oud ze tří výstřelů zísá alesoň 8 bodů. Maimálí očet bodů a teči je a ravděodobost toho, že dosáhe 3 bodů, je,8. Je zámo, že ři jedom výstřelu zísá závodí 8 bodů s ravděodobostí,5 a méě ež 8 bodů s ravděodobostí,4. Určete šace závodía a výhru. Př. 6.4: Číselý záme má otouče s číslicemi o obvodu, jeho otevřeí je otřeba astavit současě a aždém otouči jediou srávou číslici. Který záme je bezečější, se čtyřmi otouči a ěti číslicemi o obvodu aždého z ich ebo s ěti otouči a čtyřmi číslicemi o obvodu aždého z ich? Př. 6.5: Pravděodobost výhry a jede los je,. Koli losů musíme ouit, chceme-li mít 95% ravděodobost, že alesoň a jede z ich ěco vyhrajeme? Př. 6.6: Pravděodobost arozeí chlace je,55. Jaá je ravděodobost, že mezi ovorozeci bude stejě ebo více děvčat ež chlaců? Př. 6.7: Studet si u zoušy losuje tři otázy z deseti. Dobře řirave je a ět otáze. Jaá je ravděodobost, že mezi vylosovaými jsou alesoň dvě, a teré je řirave, a zoušu tedy udělá? Př. 6.8: 3 mafiái hrají rusou ruletu. Bubíový revolver má 7 omor, šest z ich je rázdých, v jedé je áboj. Prví zatočí bubíem a stise soušť. Když revolver evystřelí, oračuje druhý, o ěm třetí a zovu od rvího. Jaé je ravděodobost, že rvím zastřeleým bude druhý mafiá a to ve třetím ole rusé rulety? Jaá je ravděodobost, že hra bude trvat déle ež ět ol? 6

62 Př. 6.9: Bylo zjištěo, že růměrá životost lamy do rojetoru je hodi. Výrobce chce v rámci své roagace garatovat dobu, během íž erase více ež 5% lam. Za jaou dobu se může zaručit? Př. 6.3: Počet orgaismů ve vzoru odebraém z roudící vody má ormálí rozděleí se středí hodotou orgaismů v jedom litru vody a směrodatou odchylou orgaismy. a) Určete, jaý odíl vzorů bude obsahovat více ež 5 orgaismů. b) Určete hraici H očtu miroorgaismů ve vodě ta, aby v 9% vzorů byl očet miroorgaismů od touto hraicí. Př. 6.3: Důležitá objedáva, terou je otřeba ihed začít vyřizovat, může být doručea do firmy dyoliv v době od 7 do 9 hodi. Určete ravděodobost, že ebude doručea během oledí auzy, tj. mezi. a 3. hodiou. Př. 6.3: V ošíu je greů, červeých a 8 bílých. Vyjmeme áhodě grey. Která ze 3 možých ombiací je ejravděodobější? Př. 6.33: Jaou ravděodobost zásahu musí mít střelec, aby s ravděodobostí,99 zasáhl cíl alesoň jedou z ěti ra? Př. 6.34: Prevalece astmatu v dětsé oulaci je z. Náhodě vybereme dětí. a) Najděte rozděleí ravděodobosti očtu astmatiů ve vybraém vzoru a určete jeho arametry. b) Jaá je ravděodobost, že žádé z vybraých dětí etrí astmatem? 6

63 c) Jaá je ravděodobost, že rávě jedo z vybraých dětí má astma? d) Jaá je ravděodobost, že maimálě jedo z vybraých dětí má astma? e) Jaá je ravděodobost, že ejméě děti mají astma? Př. 6.35: Hledám člověa, terý slaví arozeiy ve stejý de jao já (stejý de a měsíc, řestué roy zaedbáváme). Kolia lidí se musím zetat, aby ravděodobost alezeí alesoň jedoto taového byla. 3 Př. 6.36: Auto v mrazu astartujeme ři jedom otočeí líčem v zaalováí s ravděodobostí,75. Jaá je ravděodobost, že motor chyte a átý ous? Př. 6.37: Počet chyb a jedé straě tetu má středí hodotu 8 a roztyl 4. Jaá je ravděodobost, že a straách tetu bude méě ež 75 chyb? Př. 6.38: Dělí obsluhuje v dílě 4 stroje. U rvího stroje stráví miut, u druhého 5 miut, u třetího 5 miut a u čtvrtého miut, oté se oět vrací rvímu stroji. Určete ravděodobost, že řijdeme-li do díly v áhodý oamži, zastiheme ho u třetího stroje. Př. 6.39: Hoejista se ři samostatých ájezdech strefí do bray s ravděodobostí,6. Určete, jaý je ejravděodobější očet vstřeleých brae, oud absolvuje 9 samostatých ájezdů. Př. 6.4: V rodejě je regál s 5 CD, mezi terými je 6 vadých. Vyberete si 5 CD. Jaou máte ravděodobost, že všecha vybraá CD budou v ořádu? 63

64 Př. 6.4: Pevost jistého druhu ocelových la je áhodá veličia s ormálím rozděleím ( g g ; 5 ) g N. Norma staoví miimálí evost 9. Určete, cm cm oli ocelových la z usů slňuje daou ormu? cm Př. 6.4: Letadlo ese jedu raetu, terou vystřelí a eřátelsý cíl. Pravděodobost zásahu je,75. Koli letadel je otřeba vyslat, aby byl eřátelsý cíl ziče s ravděodobostí,99? Př. 6.43: studety. Podíl uřáů a studetsých olejích je %. Vybereme áhodě a) Určete ravděodobostí fuci očtu uřáů ve vybraém vzoru. b) Jaá je ravděodobost, že oba vybraí studeti budou uřáci? Př. 6.44: Na sezamu dětí arozeých během jedoho měsíce v určité orodici je 9 chlaců a děvčat. Jaá je ravděodobost, že a rvích 5 místech jsou chlaci a 3 děvčata? Př. 6.45: Výsledy radarového měřeí jsou zatížey ormálě rozděleou áhodou chybou s ulovou středí hodotou, terá s ravděodobostí,95 eřesahuje ± m. Určete směrodatou odchylu měřeí. Př. 6.46: Střílí se z bodu O odél římy O. Středí vzdáleost doadu střely se rová m. Za ředoladu, že vzdáleost H místa doadu střely má ormálí rozděleí a směrodatou odchylu σ 4 m, určete, jaý rocetí odíl střel doade 6-8 m za cíl? 64