Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení"

Transkript

1 Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází s pravděpodobostí p, kde < p < 1, k výskytu jistého áhodého jevu A Úkolem je testovat hypotézu H : p = p, kde p je daé číslo Řešeí Uvažme sérii vzájemě ezávislých realizací pokusu P a ozačme počet těch realizací, při ichž dojde k výskytu jevu A Veličia má rozděleí Bi (,, testujeme tedy hypotézu o parametru p biomického rozděleí Za testovací statistiku pro hypotézu H : p = p budeme považovat přímo veličiu Hypotézu H zamíteme tehdy, jestliže zazameaá hodota veličiy, tj zazameaý počet výskytů jevu A v sérii vzájemě ezávislých realizací pokusu P, je příliš velká, resp příliš malá a to, aby takto velká či malá hodota mohla být za platosti hypotézy H zazameáa s dostatečě velikou pravděpodobostí Formálěji řečeo, hypotézu H zamíteme tehdy, jestliže k1 ebo k2, tj tehdy, jestliže, k ] [ k, ), ( 1 2 kde k 1 a k 2 jsou kritické hodoty, které je třeba objektivě staovit dříve ež přistoupíme k vlastímu testováí Budeme přitom požadovat, aby hladia výzamosti testu (tj pravděpodobost zamítutí hypotézy, která je správá) epřekročila určitou předem zadaou mez α, kde < α < 1 Předpokládejme proto, že hypotéza H je správá, tj že ~ Bi(, p ), a zvolme hodoty k 1 a k 2 tak, aby P k ) < α ( 1 k2 Volba kokrétích hodot k 1 a k 2 závisí a tom, jakou bude mít testovaá hypotéza alterativu Uvažujme ejprve oboustraou alterativu H1 : p p To odpovídá situaci, kdy o hodotě parametru p emáme vůbec žádou předběžou zalost a hypotézu H tudíž zamítáme jak z důvodu příliš malých tak příliš velkých zazameaých hodot veličiy Hodoty k 1 a k 2 volíme proto v tomto případě tak, aby P ( k1 ) < α 2 a P ( k2 ) < α 2 Přirozeě též požadujeme, aby daý test měl co možá ejvětší sílu (zamítal s co ejvětší pravděpodobostí esprávé hypotézy), a proto volíme čísla k 1 a k 2 tak, aby kritická oblast (oblast zamítáí) (, k 1] [ k2, ) pro hypotézu H byla co ejvětší Defiujeme tedy k 1 jako ejvětší ezáporé celé číslo vyhovující podmíce P ( k1 ) < α 2 a k 2 jako ejmeší ezáporé celé číslo vyhovující podmíce P ( k2 ) < α 2 Určeí kritických hodot pro jedostraé alterativy H 1 : p > p a H 1 : p < p probíhá obdobě Z důvodů sazšího vyjadřováí zavedeme pro kritické hodoty biomického rozděleí ásledující ozačeí Ozačeí Nechť p (,1 ) je pevě zadaé číslo Položme p k = p k ) k k ( 1 p 1

2 Pro < α < 1 defiujme kritické hodoty k = k ) a k = k ) rozděleí Bi, p ) takto: k ( ) je ejvětší ezáporé celé číslo takové, že p k k = k2 < α k1 1 1 ( α 2 2 ( α ( 1 α p < α a k ( ) je ejmeší ezáporé celé číslo takové, že k k= Praktická realizace testu hypotézy H : p = p probíhá a základě ásledujících pravidel: (1) Hypotéza H : p = p se zamítá proti alterativě H 1 : p p, jestliže k ( α ) 1 2 ebo k 2 ( α 2) (2) Hypotéza H : p = p se zamítá proti alterativě H 1 : p > p, jestliže k ( α ) 2 (3) Hypotéza H : p = p se zamítá proti alterativě H 1 : p < p, jestliže k ( α ) 1 Hladia výzamosti žádého z výše popsaých testů epřevyšuje číslo α Lze přitom ukázat, že elze zkostruovat žádé jié testy o parametru p biomického rozděleí, které by měly při daé hladiě výzamosti ve srováí s právě uvedeými testy větší sílu Lze tedy tyto testy považovat za ejlepší možé 2 α Příklad 1 Ozačme p pravděpodobost, že při hodu daou hrací kostkou pade šestka Testujme hypotézu H : p = 1 6 proti alterativě H 1 : p 1 6, a to a základě pokusu, v ěmž ze sto dvaceti hodů padla šestka a) dvacet devětkrát, b) dvacet osmkrát, c) devětkrát Řešeí Ozačme zazameaý počet šestek v sérii sto dvaceti hodů Veličia má rozděleí Bi ( 12, Předpokládejme, že hypotéza H je správá, tj že p = 1 6 Pak P ( 12) =,27, P( 11) =,14, P ( 28) =,37, P ( 29) =, 22 To zameá, že k 1 = k1 (,25) = 11 a k 2 = k2 (,25) = 29 jsou kritické hodoty rozděleí Bi ( 12, 1 6), jímž se veličia řídí za předpokladu, že H je správá hypotéza (viz ásledující obrázek),1,8 Pravděpodobost,6,4, Počet šestek Rozhodutí o tom, zda hypotézu zamíteme či ikoliv závisí a empiricky zazameaém počtu šestek v sérii Kokrétě 2

3 a) hypotéza H : p = 1 6 se proti alterativě H 1 : p 1 6 zamítá a hladiě výzamosti α =, 5, b) hypotéza H : p = 1 6 se proti alterativě H 1 : p 1 6 ezamítá a hladiě výzamosti α =, 5, c) hypotéza H : p = 1 6 se proti alterativě H 1 : p 1 6 zamítá a hladiě výzamosti α =, 5 Rčeí, že hypotéza se zamítá a hladiě výzamosti α přitom zameá, že skutečá hladia výzamosti testu, tj pravděpodobost, s íž může dojít k zamítutí správé hypotézy, je meší ež α Hladiu výzamosti emůžeme volit extrémě malou, protože jiak by příslušý test měl je velmi malou sílu Na druhou strau případé zamítutí hypotézy H má mohem větší váhu, jestliže víme, že pravděpodobost zamítutí správé hypotézy je dokoce meší ež, 1 či, 1 Ptejme se proto, zda se hypotéza H zamítá též a hladiě výzamosti α =, 1 V tomto případě jsou kritickými hodotami čísla 9 a 32 Tudíž v případě a) se hypotéza H : p = 1 6 proti alterativě H1 : p 1 6 a hladiě výzamosti α =, 1 ezamítá (přestože se zamítá a hladiě výzamosti α =, 5 ) Tím spíše se pak tato hypotéza ezamítá a hladiě výzamosti α =, 1 v případě b) (Koeckoců se v tomto případě ezamítá ai a hladiě výzamosti α =, 5 ) V případě c) se hypotéza H : p = 1 6 proti alterativě H 1 : p 1 6 a hladiě výzamosti α =, 1 zamítá Pozameejme akoec, že pro hladiu výzamosti α =, 1 jsou kritickými hodotami čísla 7 a 35 Příklad 2 Ozačme p pravděpodobost, že při hodu daou hrací kostkou pade šestka Existuje podezřeí, že je kostka záměrě vyráběa tak, aby šestka padala častěji ež ostatí hodoty Testujme hypotézu, že tomu tak eí, a to a základě pokusu, v ěmž ze sto dvaceti hodů padla šestka dvacet osmkrát Řešeí Nyí testujeme hypotézu H : p = 1 6 proti jedostraé alterativě H 1 : p > 1 6 Zvolme hladiu výzamosti α =, 5 Hypotézu zamíteme tehdy, když zazameaý počet šestek je příliš veliký (větší ež kritická hodota) Malý počet šestek yí důvodem k zamítutí hypotézy eí Kritická hodota k 2 pro test aší hypotézy je ejmeší ezáporé celé číslo takové, že P ( k2 p = 1 6) <,5 Sado ahlédeme, že k 2 = 28 Hypotéza H : p = 1 6 se tedy proti alterativě H : p 1 6 a hladiě výzamosti α =, 5 zamítá, přestože proti oboustraé alterativě 1 > H 1 : p 1 6 by se a této hladiě výzamosti ezamítla Vidíme, že zúžeím oboustraé alterativy a jedostraou se zvýšila síla testu Příklad 3 Pěstujeme hrách s bílými a fialovými květy Podle druhého Medelova zákoa je pravděpodobost p, že rostlia vykvete fialově, rova 3 4 Testujme platost tohoto zákoa a základě pokusu, v ěmž ze čtyřiceti áhodě vybraých rostli jich fialově vykvetlo třicet pět Řešeí,15 Pravděpodobost,1, Počet fialově vykvetlých rostli 3

4 Testujeme hypotézu H 3 : p = 4 proti alterativě H 3 1 : p 4 Hypotéza se a hladiě výzamosti α =,5 ezamítá Příklad 4 Při dvaceti hodech hrací kostkou padla šestka právě devětkrát Testujme hypotézu, že šestka padá s pravděpodobostí p = = Řešeí Hypotéza H 1 : p = 6 se proti alterativě H 1 1 : p 6 zamítá a hladiě výzamosti α =,1, ezamítá se však a hladiě výzamostiα =, 1 Pozameejme, že k (,5) 9 ; kritická hodota k 1 (,5 ), a dokoce ai kritická hodota k 1 (,25 ) rozděleí Bi ( 2, 1 6) však eexistuje, eboť p =,26,25 To zameá, že dvacet hodů kostkou je příliš málo a to, aby bylo možo hypo- > tézu H 1 : p = 6 proti oboustraé alterativě H 1 1 : p 6 zamítout z důvodu příliš malého zazameaého počtu šestek v sérii Bylo by ji však možo z tohoto důvodu zamítout a hladiě výzamosti α =,5 proti alterativě H 1 1 : p < 6, avšak pouze v případě, že by žádá šestka při dvaceti hodech kostkou epadla,25,2 Pravděpodobost,15,1, Počet šestek Zamékový test Pro p = 1 2 se test hypotézy H : p = p o parametru p biomického rozděleí azývá testem zamékovým Příklad 5 Při výrobě micí je staovea hmotost mice pět gramů Je podezřeí, že a materiálu se systematicky šetří Testujme hypotézu, že tomu tak eí Použijeme výsledků amátkové kotroly, při íž bylo áhodě vybráo jedeáct micí, a poté zjištěo, že devět z ich je lehčích a dvě těžší oproti staoveé ormě Řešeí Ozačme počet těch vybraých micí, které jsou lehčí ež pět gramů Veličia má rozděleí Bi (,, kde = 11 je počet vybraých micí a p je pravděpodobost, že áhodě vybraá mice je lehčí ež pět gramů Testujeme hypotézu H 1 : p = 2, a to proti jedostraé alterativě H 1 1 : p > 2, eboť možost, že se mice vyrábějí záměrě těžší a priori vylučujeme Zazameaý počet micí lehčích ež pět gramů je devět (z jedeácti), což je též kritický počet pro zamítutí testovaé hypotézy Hypotéza H se tedy a hladiě výzamosti α =, 5 zamítá Nezamítá se ovšem a hladiě výzamosti α =, 1 a rověž tak by se ezamítla a hladiě výzamosti α =, 5 proti oboustraé alterativě (Pozameejme, že kritické hodoty zamékového testu jsou běžě tabelizováy) 4

5 Příklad 6 Při sto hodech micí padl dvaašedesátkrát líc Testujme hypotézu, že rub i líc padá se stejou pravděpodobostí Řešeí Ozačme počet líců Pak ~ Bi(,, kde = 1 je počet hodů a p je pravděpodobost, že pade líc Testujeme hypotézu H 1 : p = 2 proti alterativě H 1 1 : p 2 Kritické skóre pro hladiu výzamosti α =, 5 je 39 : 61; hypotéza H se proto a hladiě výzamosti α =, 5 zamítá Nezamítá se však a hladiě výzamosti α =, 1,8,6 Pravděpodobost,4, Počet líců Další úlohy Točí se a Céčku pivo systematicky pod míru? Hraje Karel teis lépe ež Ja? Premiér Miloš Zema vyjádřil v televizím pořadu 7 čili Sedm dí vysílaém de 24 leda 1999 přesvědčeí, že většia truhlářů v této zemi jsou estraíci Měl pravdu? Dává jistá laboratorí metoda staovující kocetraci určité škodlivé látky v půdě systematicky meší (či větší) hodoty ež jiá metoda? Odhad parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází s pravděpodobostí p, kde < p < 1, k výskytu jistého áhodého jevu A Úkolem je odhadout pravděpodobost p Řešeí Uvažme sérii vzájemě ezávislých realizací pokusu P a ozačme = k počet těch realizací, při ichž dojde k výskytu jevu A Veličia má rozděleí Bi (,, odhadovat pravděpodobost p tedy zameá odhadovat ezámý parametr p biomického rozděleí Dle pricipu statistické stability se hodota veličiy = k vyjadřující relativí četost výskytů jevu A v sérii blíží s rostoucím počtem pokusů k hodotě parametru p Je tedy přirozeé odhadovat parametr p touto veličiou Jde přitom o estraý, kozistetí a maximálě věrohodý odhad Čísla blízká poměru k pak představují takové odhady parametru p, které sice ejsou maximálě věrohodé, jsou však hodě věrohodé Iterval I sestaveý z takových hodě věrohodých odhadů parametru p vytvoří itervalový odhad parametru p Přesá defiice takového itervalu je ásledující Nechť < α < 1 Položme I = { p (,1); hypotéza H p = p se a hladiě výzamostiα ezamítá} : 5

6 Takto defiovaý iterval zřejmě obsahuje číslo k a pokrývá hodotu parametru p s pravděpodobostí 1 α Meze tohoto itervalu lze přitom vyjádřit aalyticky pomocí kritických hodot rozděleí beta Ozačeí Symbolem Β r, s ( α) budeme ozačovat kritickou hodotu rozděleí Β r, s, tj takovou hodotu, která je veličiou s rozděleím Β r, s překročea s pravděpodobostí α Věta 1 (1) Jestliže < < s pravděpodobostí okrývá hodotu parametru p s pravděpodob- (2) Jestliže > ostí 1 α (3) Jestliže 1 α, pak iterval ( Β ( α ), Β ( α )) 1 α 1 + 1, 2 + 1, 2, pak iterval ( Β ( ),1) okrývá hodotu parametru p 1 + 1, α <, pak iterval (, ( )) + 1, α Β pokrývá hodotu parametru p s pravděpodobostí Příklad 7 Nechť p je pravděpodobost, že při hodu daou hrací kostkou pade šestka Při dvaceti hodech touto kostkou padla šestka právě devětkrát Odhaděte hodotu parametru p Řešeí Maximálě věrohodým odhadem parametru p je číslo 9 2 =, 45 Dále víme dle výsledku příkladu 4, že hypotéza H 1 : p = 6 se proti alterativě H 1 1 : p 6 zamítá a hladiě výzamosti α =,1, a tedy i a hladiě výzamosti α =, 5 Oboustraý 95% iterval spolehlivosti pro parametr p tedy eobsahuje hodotu 1 6 =, 167 Dále lze apř ukázat, že teto iterval eobsahuje hodotu,8, eboť hypotéza H : p, 8 se a hladiě výzamosti α =, 5 zamítá proti alterativě = H 1 : p,8 (ověřte to!) Dolí mez oboustraého 95% itervalu spolehlivosti pro parametr p bude tedy větší ež číslo,16 a jeho horí mez meší ež číslo,8 Dosazeím do vzorců ve větě 1 dostaeme, že iterval (,231;,685) pokrývá hodotu ezámého parametru p s pravděpodobostí,95 a podobě iterval (,259; 1) pokrývá hodotu ezámého parametru p s pravděpodobostí,95 Asymptotická verze testu o parametru p biomického rozděleí Předpokládejme opět, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází s pravděpodobostí p, kde < p < 1, k výskytu jistého áhodého jevu A a testujme hypotézu H : p = p o parametru p Tak jako dříve uvažme sérii vzájemě ezávislých realizací pokusu P a ozačme počet těch realizací, při ichž dojde k výskytu jevu A Předpokládejme přitom, že číslo je hodě veliké Jestliže H je správá hypotéza, pak ~ Bi(, p ), a tudíž dle Moivreovy-Laplaceovy věty má veličia U = p 1 p ) ( pro asymptoticky rozděleí N (,1) Veličiu U lze tedy považovat za testovací statistiku pro hypotézu H Kritéria pro zamítutí hypotézy H jsou přitom ásledující: (1) Hypotéza H : p = p se zamítá proti alterativě H1 : p p, jestliže U u( α 2) (2) Hypotéza H : p = p se zamítá proti alterativě H 1 : p > p, jestliže U u(α ) (3) Hypotéza H : p = p se zamítá proti alterativě H 1 : p < p, jestliže U u(α ) Hladiy výzamosti všech těchto testů jsou asymptoticky rova α 6

7 Příklad 8 Při sto dvaceti hodech hrací kostkou padla devětadvacetkrát šestka Testujme hypotézu, že šestka padá s pravděpodobostí p 1 = 6 Řešeí Ozačme p pravděpodobost, s íž padá šestka Testujeme hypotézu H : p = p proti alterativě H1 : p p Celkový počet hodů je = 12, z toho bylo zazameáo = 29 šestek Tudíž U = 2,2 Jelikož U 1,96 = u(,25), testovaá hypotéza se zamítá a hladiě výzamosti α =,5 (Porovejte teto výsledek s výsledkem příkladu 1) Příklad 9 Je zámo, že smrky po styku s jistým patogeem oemocí s pravděpodobostí p =, 2 O určitém ekotypu smrku se však tvrdí, že je odolější, a aším cílem je ověřit, zda tomu tak skutečě je Bylo proto zcela áhodě vybráo sto stromů zkoumaého ekotypu, přičemž se ukázalo, že při styku s patogeem oemocělo právě čtráct z ich Vziká otázka, zda lze a základě provedeého šetřeí usoudit, že zmíěý ekotyp je výzamě odolější? Řešeí Nechť p je pravděpodobost, že smrk přiáležející zkoumaému ekotypu při styku s patogeem oemocí Je třeba testovat hypotézu H : p, 2 proti alterativě H : p, 2 Vyjde = < U = 1,5 < 1,645 = u(,5), což zameá, že hypotézu H elze zamítout ai a hladiě výzamosti α =, 5 Nepodařilo se tedy a základě provedeého šetřeí prokázat, že smrky zkoumaého ekotypu jsou při styku s patogeem odolější Asymptotická verze zamékového testu Pro p 1 2 abývá statistika U speciálího tvaru U = ( 2 ) = Příklad 1 Při sto hodech micí padl dvaašedesátkrát líc Testujme hypotézu, že rub i líc padá se stejou pravděpodobostí Řešeí Ozačme p pravděpodobost, s íž padá líc Testujeme hypotézu H 1 : p = 2 proti alterativě H 1 1 : p 2 Celkový počet hodů je = 1, z toho bylo zazameáo = 62 líců Tudíž U = 2,4 Jelikož U 1,96 = u(,25), testovaá hypotéza se zamítá a hladiě výzamosti α =,5 (Porovejte teto výsledek s výsledkem příkladu 6) Úloha 1 a) Dvaáct studetů lesické fakulty zašlo do bufetu a pivo Osmi z ich bylo atočeo pivo pod míru, zbývajícím čtyřem ad míru Zameá to, že výčepí a pivu systematicky šetří? b) Řešte tutéž úlohu a základě celoměsíčího průzkumu, kdy z 125 piv bylo atočeo 65 ad míru a 6 pod míru Přibližý vzorec pro itervalový odhad parametru p biomického rozděleí ( ) Předpokládejme, že áhodá veličia má rozděleí Bi (, Veličia = p( 1 p(1 má pak pro asymptoticky rozděleí N (,1) Lze ukázat, že tutéž vlastost má i veličia 7

8 1 kterou obdržíme modifikací veličiy ( ) tak, že parametr p ve výrazu pod odmociou ahradíme jeho kozistetím odhadem To zameá, že pro velké hodoty parametru s pravděpodobostí přibližě rovou 1 α platí: u ( α 2) < < u( α 2) 1 Jiak vyjádřeo, s pravděpodobostí přibližě rovou, 1 α je Odtud pak vyvodíme ásledující závěr < u( ) 1 α 2 Věta 2 (1) Iterval ± u( α ) 2 1 pokrývá hodotu parametru p s pravděpodobostí přibližě rovou 1 α (2) Iterval (D, 1), kde a rověž tak iterval (, H ), kde D = 1 u( α ), 1 H = + u( α ), pokrývá hodotu parametru p s pravděpodobostí přibližě rovou 1 α Důsledek Je-li číslo hodě veliké, pak iterval 1 ± pokrývá hodotu parametru p s pravděpodobostí alespoň,95 Důkaz Stačí si uvědomit, že kritická hodota u (,25) je přibližě rova dvěma a že výraz eabude ikdy hodoty větší ež

9 Příklad 11 Ozačme p pravděpodobost, s íž při hodu daou hrací kostkou padá šestka Při sto dvaceti hodech touto kostkou padla šestka právě třicetkrát Chceme odhadout hodotu parametru p Řešeí Celkový počet hodů je = 12, z toho bylo zazameáo = 3 šestek Bodovým odhadem parametru p je tedy číslo 3 12 =, 25, zatímco přibližý 95% iterval spolehlivosti pro teto parametr je tj,25 ±, 8 eboli (,17;,33),25 (1,25),25 ± 1,96, 12 Úloha 2 Klíčivost seme defiujeme jako pravděpodobost p, že semeo vyklíčí Z áhodě vybraého možství jedoho tisíce seme jich vyklíčilo osm set Určete 95% iterval spolehlivosti pro klíčivost Výsledek:,8 ±, 25 Příklad 12 Ozačme p pravděpodobost, s íž při hodu daou hrací kostkou padá šestka Provedeme hodů; počet hodů, při ichž pade šestka, ozačme Ptáme se, jak veliký musí být počet hodů, aby chyba odhadu parametru p veličiou epřevýšila s pravděpodobostí alespoň 95% hodotu, 1? Řešeí Číslo bude muset být zajisté velmi veliké V takovém případě má veličia p( 1 rozděleí N (,1), což zameá, že s pravděpodobostí o ěco málo větší ež,95 je p(1 Jelikož však výraz p( 1 eabude ikdy hodoty větší ež 1 4, je s alespoň 95% pravděpodobostí < 1 Podmíka úlohy je proto splěa pokud 1, 1 (srovej s důsledkem za větou 3) Odtud plye, že 1 Příklad 13 (průzkum veřejého míěí) Z dvaácti set áhodě vybraých respodetů se jich tři sta vyslovilo pro legalizaci marihuay Úkolem je odhadout se spolehlivostí 95%, jaká část dotazovaé populace si přeje legalizaci marihuay Řešeí Nechť p je pravděpodobost, že respodet áhodě vybraý z dotazovaé populace je pro legalizaci marihuay Tato pravděpodobost je zřejmě totožá s relativí četostí těch osob (v populaci), kteří si legalizaci přejí Ozačme = 12 počet všech respodetů a počet těch z ich, kteří jsou pro legalizaci Předpokládejme, že počet respodetů je relativě velmi malý vzhledem k velikosti zkoumaé populace a že respodeti byli vybrái zcela áhodě Pak ~ Bi(,, eboť při postupém vybíráí respodetů zůstává ve zbytku zkoumaé populace relativí četost těch, kteří jsou pro legalizaci prakticky ezměěa Na druhou strau je počet respodetů dost veliký a to, aby < 2 9

10 bylo možo rozděleí Bi (, ahradit rozděleím ormálím a pro odhad parametru p užít asymptotického vzorce 1 ± u( α ) 2 Dosazeím = 12, = 3, α =, 5 obdržíme pro relativí četost osob, kteří si přejí legalizaci, odhad, 25 ±, 25 Úloha 3 (odhad relativí četosti emocých stromů v porostu) Odhaděte relativí četost emocých stromů v porostu a základě áhodého výběru dvou set stromů, jestliže v tomto výběru bylo zazameáo právě devadesát emocých stromů Výsledek:,45 ±, 7 1

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Interakce světla s prostředím

Interakce světla s prostředím Iterakce světla s prostředím světlo dopadající rozptyl absorpce světlo odražeé světlo prošlé prostředím ODRAZ A LOM The Light Fatastic, kap. 2 Light rays ad Huyges pricip, str. 31 Roviá vla E = E 0 cos

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Vmnohaaplikacíchseomezujemenamaloumnožinučíselapřivyskočenísedonívracímecyklicky,takjakto dělámeběžněuhodin.zdesenatopodívámepořádněamatematicky.

Vmnohaaplikacíchseomezujemenamaloumnožinučíselapřivyskočenísedonívracímecyklicky,takjakto dělámeběžněuhodin.zdesenatopodívámepořádněamatematicky. Diskrétí matematika 7a. Kogruece, počítáí modulo phabala 2012 7. Počítáí modulo V této kapitole se podíváme a téma, bez kterého se eobejde žádá diskuse o fugováí počítačů, akoec skočíme u Iteretu. Tato

Více

Vážeí zákazíci, dovolujeme si Vás upozorit, že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To zameá, že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø

Více

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu MĚŘENÍ INDEXU LOMU REFRAKTOMETREM Jedou z charakteristických optických veliči daé látky je absolutím idexu lomu. Je to podíl rychlosti světla ve vakuu c a v daém prostředí v: c (1) v Průchod světla rozhraím

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

VÝMĚNA VZDUCHU A INTERIÉROVÁ POHODA PROSTŘEDÍ

VÝMĚNA VZDUCHU A INTERIÉROVÁ POHODA PROSTŘEDÍ ÝMĚNA ZDUCHU A INTERIÉROÁ POHODA PROSTŘEDÍ AERKA J. Fakulta architektury UT v Brě, Poříčí 5, 639 00 Bro Úvod Jedím ze základích požadavků k zabezpečeí hygieicky vyhovujícího stavu vitřího prostředí je

Více

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU

HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU Ja SKOLIL 1*, Štefa ČORŇÁK 2*, Ja ULMAN 3 1* Velvaa, a.s., 273 24 Velvary, Česká republika 2,3 Uiverzita obray v Brě, Kouicova

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

cenný papír, jehož koupí si investor zajistí předem definované peněžní toky, které obdrží v budoucnosti

cenný papír, jehož koupí si investor zajistí předem definované peněžní toky, které obdrží v budoucnosti DLUHOPISY ceý papír, jehož koupí si ivestor zajistí předem defiovaé peěží toky, které obdrží v budoucosti podle doby splatosti ~ 1 rok dlouhodobé dluhopisy Pokladičí poukázky

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Systémové vodící stěny a dopravní zábrany

Systémové vodící stěny a dopravní zábrany Vyvíjíme bezpečost. Systémové vodící stěy a dopraví zábray Fukčí a estetické řešeí v dopravě eje pro města a obce. www.deltabloc.cz CITYBLOC Více bezpečosti pro všechy účastíky siličího provozu Jediečá

Více

2. Parametrický model pozorovaných dat. Házíme opakovanì mincí a sledujeme, zda padne rub, oznaèený èíslem 0, èi líc, oznaèený èíslem 1.

2. Parametrický model pozorovaných dat. Házíme opakovanì mincí a sledujeme, zda padne rub, oznaèený èíslem 0, èi líc, oznaèený èíslem 1. O bayesovském uèeí EORIE PRO PRAXI Iva Nagy, Petr Nedoma, Miroslav Kárý, Leka Pavelková, Pavel Ettler Èláek podává základí iormace o bayesovském pøístupu k idetiikaci systémù, o tzv. bayesovském uèeí.

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY 6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé

Více

DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)

DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II) DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Úkol měření. Použité přístroje a pomůcky. Tabulky a výpočty

Úkol měření. Použité přístroje a pomůcky. Tabulky a výpočty Úkol měřeí ) Na základě vějšího fotoelektrického pole staovte velikost Plackovy kostaty h. ) Určete mezí kmitočet a výstupí práci materiálu fotokatody použité fotoky. Porovejte tuto hodotu s výstupími

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Doporučená dávka je 5 mg solifenacin sukcinátu jednou denně. Pokud je to nutné, dávka může být zvýšena na 10 mg solifenacin sukcinátu jednou denně.

Doporučená dávka je 5 mg solifenacin sukcinátu jednou denně. Pokud je to nutné, dávka může být zvýšena na 10 mg solifenacin sukcinátu jednou denně. sp.z. sukls132863/2014 sukls87952/2014 SOUHRN ÚDAJŮ O PŘÍPRAVKU 1 NÁZEV PŘÍPRAVKU Setacuri 5 mg potahovaé tablety 2 KVALITATIVNÍ A KVANTITATIVNÍ SLOŽENÍ Setacuri 5 mg potahovaé tablety: Jeda tableta obsahuje

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více