Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Transkript

1 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii Úvod Sumační zápis, manipulace se sumami, aritmetická a geometrická posloupnost, důkaz matematickou indukcí. 2 Zobrazení a funkce 6 Relace, zobrazení, definiční obor, obor hodnot, obraz a vzor množiny, vlastnosti zobrazení, reálná funkce reálné proměnné, spočetnost množiny. 3 Posloupnosti Posloupnosti, limita posloupnosti (definice a výpočet), vybraná posloupnost. 4 Posloupnosti, pokračování 7 Věta o sevřené posloupnosti, Eulerovo číslo, podílové kritérium. 5 Číselné řady 22 Opakování příkladů na limity, číselné řady. 6 Limita funkce 26 Limita funkce; jednostranná limita; eistence limity; výpočet limit. 7 Spojitost a derivace funkce 3 Spojitost funkce; různé případy nespojitosti; derivace; výpočet derivace. 8 Etrémy reálných funkcí 38 Etrémy reálných funkcí; vyšetřování průběhu reálných funkcí. 9 L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta, opakování 44 L Hospitalovo pravidlo; Taylorova věta a její využití k přibližným výpočtům. Neurčitý integrál 49 Primitivní funkce, substituce, per partes. Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT i ZS 24/25

2 Určitý integrál 56 Riemannův určitý integrál; výpočet obsahů ploch ohraničených křivkami; objem a obsah rotačního tělesa; délka křivky. Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT ii ZS 24/25

3 Předmluva Tento dokument slouží jako osnova cvičení k předmětu BI-ZMA. Jeho cílem je pochopení a osvojení si látky probírané na přednáškách. Každá kapitola obsahuje vždy několik typických řešených příkladů na dané téma a další příklady k procvičení či k samostnému počítání. Studentům je dále k dispozici elektronická cvičebnice MARAST. V případě nejasností týkajících se tohoto tetu kontaktuje autora. Podrobné informace o předmětu BI-ZMA lze dále nalézt na jeho EDUXové stránce. tomas.kalvoda@fit.cvut.cz Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT iii ZS 24/25

4 Cvičení č. Určitý integrál Riemannův určitý integrál; výpočet obsahů ploch ohraničených křivkami; objem a obsah rotačního tělesa; délka křivky. Příklad.: Vypočtěte integrál Řešení. π 2 π 2 sin d. sin d = [ cos ] π 2 = cos π 2 + cos =. Příklad.2: Vypočtěte integrál Řešení. arccos d = [ arccos ] + arccos d. { d = sub: t = 2} = t /2 dt =. 2 2 Zamyslete se, proč předchozí dvě úlohy nutně vedly k témuž výsledku. Příklad.3: Vypočtěte integrál Řešení. ln 5 ln 5 e d. e d = [e ] ln 5 = 4. Příklad.4: Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = 2, y 2 =. Řešení. Plocha vymezená křivkami je znázorněna na obrázku.. Její velikost, S, odvodíme z geometrické interpretace Riemannova integrálu: S = 2 d = = 3. Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT 56 ZS 24/25

5 Obrázek.: (, y) : 2 < y < y Příklad.5: Určete plochu kruhové výseče příslušnou středovému úhlu α. Řešení. Uvažujme půlkruh o poloměru R: 2 + y 2 R 2, y. Jeho hranicí jsou grafy funkcí y =, y = R 2 2. Odtud pro jeho plochu, S, pomocí integrace per partes dostaneme: S = R R R 2 2 d = R 2 t 2 dt = R 2 [t t 2 ] + R 2 = R 2 t 2 dt + R 2 t 2 dt = S + R2 π a tedy S = R 2 π/2. Alternativně můžeme použít substituci = R sin t: S = R R R 2 2 d = π/2 π/2 = R 2[ t + ] π/2 2 sin(2t) = R 2 π/2. Plocha výseče je potom R 2 α/2 (lineární závislost). R cos(t) R cos(t) dt = R 2 π 2 t 2 t 2 dt + cos(2t) dt = Připomeňte si obecnou formuli pro výpočet objemu rotačního tělesa. Odvoďte ji jako součet objemů válců infinitezimální výšky d. Vizte obrázek.3. Objem tělesa vzniklého rotací plochy mezi osou a grafem funkce f kolem osy lze vypočíst pomocí vzorce b V = π f() 2 d. a Příklad.6: Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené křivkami kolem osy. y =, y = 2 3 Řešení. Snadno zjistíme, že společné průsečíky křivek jsou body [, ], [, ] a [, ] (viz obrázek.2). Pro objem rotačního tělesa, V, dostaneme: Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT 57 ZS 24/25

6 Obrázek.2: Grafy funkcí y() = a y() = 2 3 y f() y = f() Objem infinitesimálního válce je πf() 2 d. a b Obrázek.3: Objem rotačního tělesa. V = 2π (2 3 ) 2 2 d = π. Příklad.7: Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací kruhu 2 + (y 3) 2 kolem osy. Jedná se tedy o objem jisté pneumatiky. Řešení. Daný kruh má střed o souřadnicích [, 3] a poloměr velikosti. Přitom je ohraničen polokružnicemi y ± () = 3 ± 2,,. Z obecné formule pro objem rotačního tělesa potom plyne [ V = π y + () 2 y () 2] d = 2π 2 d = 6π 2, kde jsme využili výsledku z úlohy.5. Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT 58 ZS 24/25

7 Připomeňte si obecnou formuli pro výpočet povrchu rotačního tělesa. Odvoďte ji jako součet povrchů plášťů válců výšky + y () 2 d (tzv. element délky křivky). Příklad.8: Spočtěte povrch tělesa z úlohy.7. Řešení. Povrch spočítáme jakožto součet dvou povrchů, jednoho vzniklého rotací křivky y + a druhého vzniklého rotací křivky y, tedy S = 2π = 2π y + () + y +() 2 d + 2π y () + y () 2 d (y + () + y ()) d = 2π 2 2 d = 2π2. Příklad.9: Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací částí křivky y = ležící nad osou. Řešení. Průsečíky paraboly s osou jsou a 2, její vrchol leží nad osou, takže (při výpočtu je poměrně efektivní použít per partes) 2 V = π ( ) 2 2 d = π ( + ) 2 ( 2) 2 d = 2 = π 2 ( + )( 2) 3 d = π = π [( 2) 5] = 8π. 2 ( 2) 4 d = Na přednášce byla křivka v rovině zavedena jako zobrazení F : t ( f(t), g(t) ) definované na intervalu a, b takové, že f a g jsou spojité reálné funkce na a, b. Pokud jsou f a g navíc spojitě diferencovatelné, vypočteme délku křivky pomocí vzorečku L = b a f (t) 2 + g (t) 2 dt. Příklad.: Vypočtěte obvod kruhu o poloměru R. Řešení. Vhodnou parametrizací kruhu je například F (t) = ( R cos(t), R sin(t) ), t, 2π. Proto pro obvod kruhu O platí O = 2π Příklad.: Vypočtěte délku křivky F (t) = Řešení. Podle vzorce 4 ( ) 2 ( ) 2π 2 R sin(t) + R cos(t) dt = R dt = 2πR. ( t, ), t, 4. [ ] 4 4 t + dt = t = 2 =. Což není překvapivé, protože se jedná o úsečku spojující body (, ) a (2, ). Příklad.2: Spočtěte délku části grafu funkce y = pro 4. Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT 59 ZS 24/25

8 Řešení. L = 4 ( ) d = d = 4 9 y dy = ( 2 3 ) 3 ( 3/2 ). Diskutujte obecný vztah pro délku grafu funkce, tedy parametrizaci grafu funkce f na a, b pomocí F (t) = ( t, f(t) ), t a, b. Domácí cvičení.3: Vypočtěte určité integrály a) b) c) d) e) f) g) h) 2 π/4 b a 3 π ( + 2t 3 ) 2 dt, t + t 2 dt, tg d, ln() d, kde < a < b, e d, sin 3 ()d, + d, 2 2 d. a) 22 7, b) 2 ln 5, c) ln 2, d) a b + ln bb a a, e) 4e 3, f) 4 3, g) 5 3 ln 4, h) π 6. Domácí cvičení.4: Vypočtěte plochy následujících útvarů: a) elipsa se středem v bodě [, ], hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b. (Návod: a > b >, Počítejte obsah jen části v prvním kvadrantu, využijte integraci per partes.) b) parabolických dveří výšky 5 a šířky jednoho křídla 2. Vizte Obrázek.4. c) plochy ohraničené křívkami y = 2 a y = 2 d) plochy ohraničené křivkami y = a y = a) πab, b) 4 3, c) , d) 3. Domácí cvičení.5: Odvoďte vzorec pro výpočet povrchu a objemu rotačního kužele o poloměru podstavy R > a výšce h >. π 3 R2 h. Domácí cvičení.6: Vypočtěte objem a povrch koule o poloměru R >. Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT 6 ZS 24/25

9 y y b a 2 2 Obrázek.4: Vlevo: Parabolické dveře výšky 5 a šířky křídla 2. Křivka ohraničující tento útvar je parabola. Vpravo: Kruh o poloměru r a se středem [, ]. y Obrázek.5: Plocha z Domácího cvičení.4 c). V = 4 3 πr3, S = 4πR 2. Domácí cvičení.7: Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochy ohraničené křivkami y = a y = sin() na intervalu, π /2. π 2 24 (π2 6). Domácí cvičení.8: Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací části paraboly y = 2 okolo osy nad intervalem,. V = π 5. Domácí cvičení.9: Nalezněte obsah plochy vzniklé rotací části křivky y = 3 okolo osy nad intervalem,. ) S = π 27 ( 3/2. Domácí cvičení.2: Vypočtěte délku části křivky F (t) = body (, /3) a ( /8, ). ( ) t 2 2, 3 ( 2t)3 /2, spojující Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT 6 ZS 24/25

10 Prvnímu bodu odpovídá hodnota parametru t = a druhému t = 2. Takže l = /2 t 2 + 2t dt = 3 8. Cvičení BI-ZMA, FIT ČVUT 62 ZS 24/25