4. 5. Pythagorova věta

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. 5. Pythagorova věta"

Transkript

1 4. 5. Pythgoro ět Pythgoro ět - úod Pythgoro ět popisuje zth, který pltí mezi délkmi strn proúhlém trojúhelníku. Vět zní: Geometrická definice: Obsh čterce sestrojeného nd přeponou (nejdelší strnou) proúhlého roinného trojúhelníku je roen součtu obshů čterců nd jeho oděsnmi (děm krtšími strnmi). Formálně Pythgorou ětu yjdřuje ronice c b, kde c oznčuje délku přepony proúhlého trojúhelník délky oděsen jsou oznčeny b. Pythgoro ět umožňuje dopočítt délku třetí strny trojúhelník, jestliže jsou známé délky dou zbýjících strn: Výpočet délky přepony c: Výpočet délky oděsny : Výpočet délky oděsny b: c b c b c b c b b c b c Algebrická definice: V kždém proúhlém trojúhelníku je druhá mocnin délky přepony ron součtu druhých mocnin délek obou oděsen

2 1. Je dán proúhlý trojúhelník KLM se strnmi délek k = 4 cm, l = 5 cm, m = 3 cm. Oěřte pltnost Pythgoroy ěty. Přepon je nejdelší strn, proto musí pltit: l m k. Dosdíme číselné hodnoty: Pythgoro ět pltí. Pythgorou ětu lze použít i obráceně ke zjištění, zd je dný trojúhelník proúhlý. Obrácená Pythgoro ět zní: Jestliže trojúhelníku pltí, že součet obshů čterců sestrojených nd krtšími strnmi je roen obshu čterce sestrojeného nd nejdelší strnou, potom je tento trojúhelník proúhlý.. Rozhodni, zd dné úsečky jsou strnmi proúhlého trojúhelníku: ) 4,5 cm, b 6 cm, c 7,5 cm b) m 0,6 cm, n 9 mm, p 0,11 dm ) b 4,5 6 0, , 5 c 7,5 56, 5 Pltí Pythgoro ět: c b, úsečky jsou strnmi proúhlého trojúhelníku. b) m n c 7,5 56, 5 Nepltí Pythgoro ět: p m + n,úsečky nejsou strnmi proúhlého trojúhelníku. Důkz Pythgoroy ěty: Důkzů je několik, nejnázornější je důkz pomocí obshů. Vezměme d shodné čterce, které mjí stejný obsh. Jejich strn má délku b. Čterec n prním obrázku je rozdělen n čtyři shodné proúhlé trojúhelníky s oděsnmi, b (sětle šedé) n d čterce s obshy b (tmě šedé). Druhý čterec je rozdělen n čtyři shodné proúhlé trojúhelníky s oděsnmi délek (sětle šedé) n čterec se strnou délky c, jehož obsh je c (tmě šedý). Šedé trojúhelníky jsou nzájem shodné, proto jsou si obshy zbylých částí (tmě šedé) rony. Proto pltí: c b. - -

3 N dlším obrázku idíme, že pokud čterce nd oděsnmi (ronormenný proúhlý trojúhelník) rozdělíme n trojúhelníky, lze z nich ytořit čterec nd přeponou s délkou strny ronjící se délce přepony zákldního trojúhelníku. Historie Pythgoro ět byl pojmenoán podle Pythgor ze Smu (si 580 ž 500 př. nším letopočtem, řecký filozof, ědec politik), který zřejmě jko prní tuto ětu dokázl. Vět byl prděpodobně znám i jiných stroěkých ciilizcích dáno před stroěkým Řeckem. V Číně částečně i Egyptě. Pythgorejská čísl jejich ýpočet Pythgorejská čísl jsou tořen trojicí přirozených čísel, b, c, pro které pltí c b. Jsou to tedy přirozená čísl yhoující Pythgoroě ětě. Pythgorejská čísl lze ytořit podle následující ěty: Čísl, b, c jsou pythgorejská práě tehdy, jestliže je lze yjádřit e tru p q, b pq, c p q pro liboolná přirozená čísl p, q, pro která pltí p q. Npř. pro p = 1 q = dostneme trojici = 3, b = 4, c = 5; pro p = q = 5 dostneme trojici = 0, b = 1, c = 9. Hperdonpté npínči ln e stroěkém Egyptě Před íce než lety při stbách egyptských chrámů pyrmid ytyčoli prý úhel npínči ln. N proze uázli 13 uzlů stejně od sebe zdálených. Prní uzel spojili s třináctým proz npnuli do trojúhelníku se strnmi 3, 4, 5 dílů. Z obr. Je zřejmé, že prý úhel leží proti nejdelší strně

4 3. Zjistěte, zd trojúhelník dný těmito strnmi je proúhlý: ) 5 cm, 7 cm, 8 cm b) 0 cm, 4,8 dm, 0,5 m Aby byl trojúhelník proúhlý, musí pro délky jeho strn pltit Pythgoro ět. Přeponou je nejdelší strn. ) = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm c b Trojúhelník není proúhlý, nepltí Pythgoro ět. b) = 0 cm, b = 4,8 dm = 48 cm, c = 0,5 m = 5 cm c b Trojúhelník je proúhlý, Pythgoro ět pltí. 4. Vypočítejte délku přepony proúhlého trojúhelníku, jestliže délky oděsen jsou: ) 6 cm, 8 cm b) 15 mm, cm ) = 6 cm, b = 8 cm, c =? c b c b c c c c 10 cm Délk přepony je 10 cm. b) = 15 mm, b = cm = 0 mm, c =? c b c b c c c c 5 cm Délk přepony je 5 cm

5 5. Vypočítejte délku oděsny proúhlém trojúhelníku, jestliže: ) = dm, c = 5, dm b) = 0,16 m, c = 3,4 dm ) = dm, c = 5, dm, b =? b c b c b b 5, 3,04 b 4,8 dm Délk oděsny je 4,8 dm. b) = 0,16 m = 1,6 dm, c = 3,4 dm, b =? b c b c b b 3,4 1,6 9 b 3 dm Délk oděsny je 3 dm. 6. Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku ABCD, jestliže délky strn AB BC jsou: ) 16 cm, 1 cm b) 4 mm, 0,45 dm ) Úhlopříčk obdélník rozdělí n d proúhlé trojúhelníky. = 16 cm, b = 1 cm, u =? - 5 -

6 u b u b u u u 0 cm Délk úhlopříčky obdélníku je 0 cm. b) = 4 mm =,4 cm, b = 0,45 dm = 4,5 cm, u =? u b u b u u, 4 4,5 6,01 u 5,1 cm Délk úhlopříčky obdélníku je 5,1 cm. 7. Vypočítejte délku úhlopříčky čterce: ) jehož obod je 8 m b) jehož obsh je 5 dm ) Úhlopříčk čterec rozdělí n d proúhlé trojúhelníky. o = 8 m, =?, u =? o 4 o:4 8 : 4 o cm u u u u u 8 u,83 cm Délk úhlopříčky čterce je,83 cm - 6 -

7 b) S = 5 dm, =?, u =? S u S 5 u u 5 cm u 5 u 50 u 7,1 dm Délk úhlopříčky čterce je 7,1 dm 8. Vypočítejte délku strny čterce, jehož úhlopříčk má délku 18 cm. u = 18 cm, =? Délk strny čterce je 1,7 cm. 9. Vypočítejte ýšku ronormenného trojúhelníku, jestliže má zákldn délku 4 cm rmen mjí délku 15 cm. u u u u ,7 cm AB = z = 4 cm, AC = BC = r = 15 cm, =? - 7 -

8 Výšk půlí zákldnu rozdělí ronormenný trojúhelník n d shodné proúhlé trojúhelníky. V trojúhelníku ASC pltí: AS = 4 : = 1 cm, AC = 15 cm AC AS AC AS AC AS 9 cm Výšk ronormenného trojúhelníku má délku 9 cm. 10. Vypočítejte ýšku ronostrnného trojúhelníku, jehož obod je 15 cm. Výšk ronostrnného trojúhelníku půlí strnu ke které je kolmá rozdělí trojúhelník n d shodné proúhlé trojúhelníky. o = 15 cm, =?, =? Výpočet strny : o 3 o o 5 cm Výpočet ýšky : AC AS AC AS 5,5 AC AS 18,75 4,3 cm Výšk ronostrnného trojúhelníku má délku 4,3 cm

9 11. Vypočítej obod obsh obdélníkoé zhrdy, jestliže úhlopříčk měří,6 m jedn strn 1,5 m. = 1,5 m, u =,6 m, b =?, o =?, S =? u b b u b u b, 6 1,5 b,1 m Obod obdélníkoé zhrdy je 7, 4 m obsh je 3,18 m. o b o 1,5,1 o 7,4 m S b S 1,5,1 S 3,18 m 1. Okolo obdélníkoého les 10 m dlouhého 50 m širokého je ozoá cest. O kolik metrů si zkrátí chodec chůzi pěšinou po úhlopříčce tohoto les? Potřebujeme se dostt z bodu A do bodu C. = 10 m, b = 50 m, u =? chůze po úhlopříčce: u b m chůze okolo: + b = = 170 m rozdíl: = 40 m Chodec si zkrátí chůzi pěšinou po úhlopříčce o 40 m

10 13. Deět metrů ysoký strom se bouři přelomil tk, že jeho rcholek se dotýká země 3 m od pty stromu. V jké ýšce se zlomil? ýšk stromu... 9 m zdálenost od pty stromu... 3 m ýšk zlomu... x zniklý trojúhelník nákresu je proúhlý, proto pltí Pythgoro ět: 9 x x x x x 9 18x 7 x 4 m Strom se zlomil e ýšce 4 m. 14. Žebřík dlouhý 9 m je spodním koncem opřen 1,75 m od zdi. Do jké ýšky doshuje n zdi horní konec žebříku? délk žebříku... 9 m zdálenost od zdi... 1,75 m ýšk n zdi... x

11 x 1,75 9 x 813, 065 x 77,9375 x 8,8 m Horní konec žebříku doshuje n zdi do ýšky 8,8 m. 15. Pn Dořák lstní pozemek e tru ronormenného trojúhelníku se strnmi 50 m, 50 m, 60 m. Pn Noák lstní pozemek, který má tr ronostrnného trojúhelníku se strnmi délky 55 m. Kdo z nich má pozemek o ětší rozloze? pn Dořák... ronormenný trojúhelník: 50 m, 50 m, 60 m pn Noák... ronostrnný trojúhelník: = 55 m rozloh pozemku p. Dořák... S 1 rozloh pozemku p. Noák... S ronormenný trojúhelník ronostrnný trojúhelník m z1 S S1 S 900 m ,5 68, 75 47,63 m z S 5547,63 S S 1309,8 m Větší pozemek má pn Noák

12 16. Do jké ýšky shá dojitý žebřík 6 m dlouhý, jsou-li jeho dolní konce od sebe zdáleny 5 m? dojitý žebřík je ronormenným trojúhelníkem jeho ýšk je ýškou žebříku 6,5 9,75 5,5 m Dojitý žebřík doshuje do ýšky 5,5 m. 17. Vypočtěte délku strny čterce jeho obsh, jestliže jeho úhlopříčk má délku 5 cm. u 5 cm, =?, S =? Pltí Pythgoro ět: - 1 -

13 u u u u cm Délk strny čterce je 5 cm. S S 5 S 5 cm Obsh čterce je 5 cm. 18. N těleso působí témže bodě dě síly F 1 = 160 N F = 40 N, které sírjí úhel elikosti Určete elikost ýslednice těchto sil. F 1 = 160 N, F = 40 N, F =? F F F F F F F ,9 N Velikost ýslednice těchto sil je 164,9 N. 19. Nrýsujte úsečku CD, jejíž délk je 10 cm. Sestrojíme proúhlý trojúhelník ABC s prým úhlem při rcholu B, oděsn AB bude mít délku 3 j. d. (jednotkoé délky, npř. 3 cm), oděsn BC bude mít délku 1 j. d

14 (jednotkoou délku, npř. 1 cm), délk přepony AC je potom AC cm. 0. Krbice tru krychle má obsh 384 cm. Určete délku její: ) hrny b) stěnoé úhlopříčky c) tělesoé úhlopříčky ) S 384 cm,? S 6 S 6 S cm Délk hrny krychle je 8 cm

15 b) S 384 cm, 8 cm, u? u u t t u u u t t t t 8 18 u 11,3 cm t Délk stěnoé úhlopříčky krychle je 11 3 cm. c) S 384 cm, 8 cm, u 11,3 cm, u? u u t u u u u t 11, , 69 u 13,8 cm t Délk tělesoé úhlopříčky krychle je 13,8 cm. 1. Vejde se hůl o délce 70 cm do kufru o délce 60 cm, šířce 40 cm ýšce 0 cm? = 60 cm, b = 40 cm, c = 0 cm, u =? (stěnoá úhlopříčk dolní podsty) u b u b u u 500 u 7,1 cm Hůl o délce 70 cm se ejde do kufru, protože délk úhlopříčky dolní podsty je 7,1 cm

16 . Vodoroná zdálenost dou míst je podle plánu 300 m, ýškoý rozdíl činí m. Jká je skutečná zdálenost těchto míst? V proúhlém trojúhelníku pltí Pythgoro ět: x x x x 300,7 m Skutečná zdálenost míst je 300,7 m. 3. Kosočterec má úhlopříčky délky u 1 = 1 cm, u = 16 cm. Vypočítejte: ) délku strny kosočterce b) jeho obsh ) u 1 = 1 cm, u = 16 cm, =? Pro ýpočet délky strny kosočterce yužijeme lstnosti úhlopříček kosočterce, které jsou k sobě kolmé nzájem se půlí. V proúhlém trojúhelníku ASB pltí Pythgoro ět:

17 u1 u u1 u cm Délk strny kosočterce je 10 cm. b) u 1 = 1 cm, u = 16 cm, S =? Úhlopříčky rozdělí kosočterec n 4 shodné proúhlé trojúhelníky. Délky jejich oděsen jsou. Obsh jednoho proúhlého trojúhelníku je u1 u u1 u u1 u 4 u1 u S. Obsh 4 shodných proúhlých trojúhelníků je 8 u1 u u1 u S 4. Obsh čtyřúhelníku lze pomocí úhlopříček ypočítt užitím 8 u1 u 116 zorce S 96 cm. Obsh kosočterce je 96 cm. 4. Vypočítejte obsh pridelného šestiúhelníku s délkou strny = 6 cm. = 6 cm, S =? Obsh pridelného šestiúhelníku ypočítáme jko obsh šesti shodných ronostrnných trojúhelníků, které nám zniknou při sestrojení úhlopříček tohoto šestiúhelníku. Délk strny tohoto ronostrnného trojúhelníku je 6 cm

18 Nejdříe musíme ypočítt ýšku ronostrnného trojúhelníku. Tu ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty z proúhlého trojúhelníku BOS, který znikl sestrojením ýšky ronostrnném trojúhelníku ABS. BS BS , cm S , 93,6 cm Obsh šestiúhelníku je 93,6 cm

19 Užití Pythgoroy ěty plnimetrii stereometrii 1. Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku ABCD o strnách = 70 cm, b = 40 cm. Úhlopříčk obdélník je přeponou proúhlém trojúhelníku s oděsnmi u b u u u ,6 cm. Úhlopříčk má délku přibližně 80,6 cm. b.. Vypočítejte délku úhlopříčky čterce o strně: ) = 5 cm b) = 1 m. ) Úhlopříčk čterce je přeponou proúhlém trojúhelníku s oděsnmi. u u u u ,1 cm. Úhlopříčk má délku přibližně 7,1 cm. b) u u u 1 1 1,4 m. Úhlopříčk má délku přibližně 1,4 m

20 3. Vypočítej ýšku ronostrnného trojúhelníku o strně = 10 dm. Hledná ýšk je oděsnou proúhlém trojúhelníku, jehož druhá oděsn má délku přepon délku ,7 dm. Výšk měří přibližně 8,7 dm. 4. Vypočítej obsh ronostrnného trojúhelníku o strně = 10,4 cm. Nejdří ypočteme ýšku ronostrnného trojúhelníku pomocí Pythgoroy ěty.. S 10, ,4 5, S 81,1 S 46,8 cm. 9 cm. Obsh trojúhelníku je 46,8 cm. 5. Mostní kruhoý oblouk má rozpětí 4 m ýšku 8 m. Vypočítejte poloměr kružnice, jejíž částí je kruhoý oblouk? AB 4 m XB 1 m XY 8 m SX r 8 r SB SY? r r 8 1 r r r r 08 r 13 Poloměr kružnice, jejíž částí je mostní oblouk, je 13 metrů

21 6. Král smrků prlese Boubín (před sým pádem prosinci 1970) rostl šikmo. Vychýlení rcholu od sislé osy činilo 11 m, doshol ýšky 45,9 m. Jká byl délk jeho kmene? délk kmene je přeponou proúhlého trojúhelníku x x x x x 11 45, ,81 7,81 7,81 47, m Délk kmene byl přibližně 47, m. 7. Jké rozměry má obrzok teleizoru o úhlopříčce 60 cm šířce 45 cm? ýšk obrzoky je oděsnou proúhlého trojúhelníku x x cm Rozměry obrzoky jsou 45 cm x 40 cm. 8. Noákoi si koupili teleizor s plochou obrzokou o úhlopříčce 55 cm. Určete délku šířku obrzoky, íte-li, že jsou poměru 4 : 3? délk šířk obrzoky mjí obecně délky 4 x 3 x jsou oděsnmi proúhlého trojúhelníku s přeponou délky 55 cm x x x x x x Rozměry obrzoky budou cm, b cm

22 9. Obdélníkoý obrázek má strny poměru 4 : 3, jeho úhlopříčk má délku 0 cm. Určete jeho rozměry. strny obrázku mjí obecně délky 4 x 3 x jsou oděsnmi proúhlého trojúhelníku s přeponou délky 0 cm x x x x x x Délky strn obdélník budou cm, b cm. 10. Kosočterec má úhlopříčky 4 cm 10 cm. Urči délku jeho strny. Úhlopříčky kosočterci jsou n sebe kolmé nzájem se půlí. Z proúhlého trojúhelníku s oděsnmi 1 cm 5 cm pk určíme délku jeho přepony, která je strnou dného kosočterce. c 1 5 c c c Strn kosočterce má délku 13 cm. - -

23 11. Obod kosočterce je 60 cm. Vypočti délku jeho úhlopříček, jsou-li poměru 3 : 4. Délk strny kosočterce je 60: 4 15 cm. Úhlopříčky kosočterci jsou n sebe kolmé zájemně se půlí. Z Pythgoroy ěty pro proúhlý trojúhelník s oděsnmi 3x 4x, přeponou délky 15 cm určíme neznámou x. 15 3x 4x 9x 16x x x x x Úhlopříčky kosočterce mjí délky u 1= 36 =18 cm, u = 4 6 =4 cm

24 1. Nádob tru hrnolu s podstou tru kosočterce má jednu úhlopříčku podsty 0 cm hrnu podsty 6 cm. Hrn podsty je k ýšce hrnolu poměru : 3. Vypočtěte, kolik litrů ody se ejde do nádoby? Úhlopříčky kosočterci jsou n sebe kolmé nzájem se půlí. Z Pythgoroy ěty pro u1 u proúhlý trojúhelník s oděsnmi =10 cm, přeponou délky 6 cm určíme délku úhlopříčky u 1. u1 u u u 48 cm Pomocí délek úhlopříček ypočteme obsh podsty hrnolu: S S S p p p u 1.u cm Z poměru určíme ýšku hrnolu: 6 : = : 3 = 39 cm Určíme objem nádoby: V = S. p V = V = cm 3 18,7 l Do nádoby se ejde 18,7 litrů ody - 4 -

25 13. Stožár je uchycen pomocí 4 stejných ln. Vypočtěte, jké ýšce je lno uchyceno, je-li délk ln 7 m zdálenost kolíku ln od pty stožáru je 4 m? Ukotení ln toří proúhlý trojúhelník KPV podle nákresu x 9 5 x x x ,48 m Lno je ukoteno přibližně e ýšce 7,5 m. 14. Vypočtěte délku žebříku opřeného o zeď domu e zdálenosti 3,5 m e ýšce 7 m od země. Délk žebříku je přeponou proúhlého trojúhelníku s oděsnmi délek 3,5 7. c 3,5 7 c c c 1, ,5 7,8 m Žebřík měří přibližně 7,8 metru. 15. Rozhodněte, zd dosáhne žebřík dlouhý 3 metry n zeď ysokou,8 m, musí-li být kůli stbilitě jeho spodní konec 70 cm od zdi? Pro délku žebříku musí pltit 3 x, kde x je přeponou proúhlého trojúhelníku z nákresu x,8 0, 7 x x x 7,84 0, 49 8,33,89 m Žebřík bude opřen o hrnu zdi bude nd zeď přečnít

26 16. Průměr kmene stromu je 30 cm. Lze z něj yříznout trám s příčným řezem e tru čterce o strně 0 cm? Hrn čtercoého trámu je oděsnou ronormenného proúhlého trojúhelníku s přeponou délky 30 cm podle nákresu , cm Můžeme yříznout čtercoý trám s hrnou ž 1 cm. 17. Cheopso pyrmid Egyptě má čtercoou podstu o hrně si 7 m ýšku přibližně 140 m. Vypočítejte: ) délku úhlopříčky její podsty b) délku boční hrny pyrmidy ) Úhlopříčk podsty pyrmidy je přeponou ronormenného proúhlého u trojúhelníku se strnou délky 7 m. 7 7 u u u m Úhlopříčk podsty pyrmidy měří 31 m. b) Hrn pyrmidy je přeponou proúhlého trojúhelníku s oděsnmi 140 m (ýšk pyrmidy) 160,5 m (poloin úhlopříčky podstě pyrmidy) h ,5 h ,5 h ,5 h 13 m Hrn pyrmidy má délku přibližně 13 m

27 18. Podstou pridelného trojbokého hrnolu je ronostrnný trojúhelník se strnou délky 6 cm. Vypočítejte porch objem tohoto hrnolu, jestliže jeho ýšk je 16 cm. pomocné ýpočty: - ýšk podsty hrnolu je oděsnou proúhlého trojúhelníku podle nákresu 6 3 p 7 p p p p 5, cm - obsh podsty hrnolu (obsh trojúhelníku) S S.p 6. 5, 15,6 cm p Porch hrnolu: S =.S strnmi 6 cm 16 cm) S =. 15, S = 319, cm p S (plášť hrnolu toří 3 obdélníky se pl Objem hrnolu: V = S., kde = 16 cm (ýšk hrnolu) V = 15,6. 16 V = 49,6 cm 3 p 3 Porch hrnolu je 319, cm objem hrnolu je 49,6 cm

28 19. V ronormenném lichoběžníku ABCD se zákldnmi AB CD, je = 80 mm, b = 5 mm, c = 40 mm. Určete ýšku lichoběžník ypočtěte jeho obsh. V ronormenném lichoběžníku pltí: x c : x : 0 V proúhlém trojúhelníku AD D podle Pythgoroy ěty pltí: d x d x Výšk lichoběžník je 48 mm. Výpočet obshu lichoběžník: c S S 48 S 880 mm Obsh lichoběžník je 880 mm. 0. Vypočítejte, jk dleko jsou od sebe hroty ručiček hodin 15:00? (Hrot hodinoé ručičky je od středu ciferníku zdálen 8 cm hrot minutoé ručičky 11 cm.) podle Pythgoroy ěty pltí: x m h x 11 8 x 185 x 13,6 cm Vzdálenost hrotů ručiček je přibližně 13,6 cm

29 1. V kružnici ks ; 8,4cm je těti AB zdálen od středu S 1, cm. Vypočítej elikost této tětiy. podle Pythgoroy ěty pro SS B ( BS = 8,4, BS = x, SS = 1,) pltí: 8,4 1, x x x 70,56 1, 44 69,1 8,3 cm x AB. x 16,6 cm Velikost tětiy AB je přibližně 16,6 cm.. Je dán kružnice ks ; 1,6 cm její dě nzájem ronoběžné tětiy AB CD, AB 19, cm, CD 8,4 cm. Vypočítej zdálenost těti. 1.. podle Pythgoroy ěty pro CS S ( CS =1,6, CS = CD :, SS = x ) pltí: 1,6 4, podle Pythgoroy ěty pro AS S ( AS =1,6, AS = AB :, SS = x ) pltí: 1,6 9,6 x x 158, 76 17, 64 x1 141,1 x 11,9 cm x x x x 158, 76 9,16 66,6 8, cm 1 1.řešení: S S x x 1 1.řešení: S S x x 1 1 0,1 cm 3,7 cm - 9 -

30 3. Vypočítejte ýměru čtercoého pozemku hektrech, má-li chodník spojující npříč pozemkem jeho protější rohy délku 00 metrů? podle Pythgoroy ěty pro trojúhelník z náčrtku pltí: 00 x x x / : x x ,4 m S x x. 141, m. (Ale pozor při ýpočtu druhé odmocniny jsme délku strny pozemku zokrouhloli!) Je hodné pro ýpočet použít délku strny e tru odmocniny: S x. x m h Skutečná ýměr pozemku je h

31 4. Jký musí být nejmenší průměr kruhu, by se z něj dl uříznout pridelná šestiúhelníkoá podložk, která má zdálenost ronoběžných strn 10 cm? Pridelný šestiúhelník lze rozdělit n 6 shodných ronostrnných trojúhelníků (iz. náčrtek) podle Pythgoroy ěty pro trojúhelník z náčrtku pltí: r r 5 r r r 5 / r 4 5 / r 3 r r ,8 cm d 11,6 cm Průměr kruhu musí být přibližně 11,6 cm

32 5. Vypočítejte obsh pridelného šestiúhelníku epsného do kružnice, která má průměr 11,6 cm. Obsh pridelného šestiúhelník lze rozdělit n 6 shodných ronostrnných trojúhelníků (iz. náčrtek), kde pro ABS pltí: BS d : 5,8 cm, BS BS :,9 cm, SS je ýškou ABS. 1 1 Podle Pythgoroy ěty pro trojúhelník z náčrtku pltí: 5,8,9 / -,9 33,64 8,41 5,3 5 cm Obsh pridelného šestiúhelník ypočteme: S 6.S, kde S 5,8 5 S 6 S 87 cm AB. Obsh pridelného šestiúhelník je 87 cm. 6. Ppíroý drk je upoután n proze o délce 50 metrů znáší se nd místem zdáleném 1 m. Vypočítejte, jké ýšce se drk znáší? Výšk, e které se drk znáší je oděsnou proúhlého trojúhelníku z nákresu. Podle Pyth.ěty pltí: ,5 m Drk se znáší e ýšce 48,5 m

33 7. Vypočítejte obsh proúhlého trojúhelník, jestliže jeho krtší oděsn měří 7 cm poloměr kružnice opsné tomuto trojúhelníku je 5 cm. Z nákresu je zřejmé, že střed kružnice opsné proúhlému trojúhelníku leží e středu jeho přepony, proto přepon má délku c 10 cm. Podle Pyth.ěty pltí: 7 b 10 b b b ,14 cm 77,14 S S 4,99 cm Obsh dného trojúhelník je přobližně 5 cm. Pythgoro ět cičení I 1. Vypočítejte k následujícím dojicím čísel, b tkoé číslo c, že pltí ) 6, 8 b) 1, 16 c) 16, 30 d) 14, 48 ) c c = 10 b) c c = 0 c) c c = 34 d) c c = 50 c b :

34 . Sestrojte k uedeným trojicím čísel, b, c trojúhelníky o strnách délky, b, c změřte kždém z nich úhel proti strně c. (délky strn jsou dány milimetrech) : Podle ěty sss sestrojíme trojúhelníky. Trojúhelníky ), b) jsou proúhlé, le c) není proúhlý. ) b) c) 3. Rozhodněte, zd je trojúhelník proúhlý, mjí-li jeho strny délky milimetrech: ) 4,, 3 b) 4, 3, 5 c) 4, 5, 6 d) 4, 11, 1 e) 5, 1, 13 f) 6, 13, 14 g) 4, 6, 8 h) 5, 7, 9 i) 6, 8, 10 ) + b = 3 =13 c 4 16 trojúhelník není proúhlý + b c b) + b = 3 4 =5 c 5 5 trojúhelník je proúhlý + b c c) + b = 4 5 =41 c 6 36 trojúhelník není proúhlý + b c

35 d) + b = 4 11 =137 c trojúhelník není proúhlý + b c e) + b = 5 1 =169 c trojúhelník je proúhlý + b c f) + b = 6 13 =05 c trojúhelník není proúhlý + b c g) + b = 4 6 =5 c 8 64 trojúhelník není proúhlý + b c h) + b = 5 7 =74 c 9 81 trojúhelník není proúhlý + b c i) + b = 6 8 =100 c trojúhelník je proúhlý + b c 4. Rozhodněte, je-li trojúhelník proúhlý, jestliže jeho strny mjí délky: ) 80 mm, 100 mm, 160 mm b) 80 cm, 150 cm, 170 cm c) 50 m, 40 m, 30 m d) 50 cm, 40 cm, 60 cm Řešení ) + b = =16400 c trojúhelník není proúhlý + b c b) + b = =8900 c trojúhelník je proúhlý + b c c) + b = =500 c trojúhelník je proúhlý + b c d) + b = =4100 c trojúhelník není proúhlý + b c

36 5. Rozhodněte, zd jsou trojúhelníky se strnmi těchto délek proúhlé: ) 4,8 cm; 9 cm; 10,4 cm b) 3,5 cm; 84 mm; 9,1 cm c) 1,3 dm; 1 cm; 50 mm d),4 m; 10 dm; 60 cm e) 0,1 m; 8 cm; 60 mm f) 1 m; 3 dm; 40 cm ) + b = 4,8 9 =104,04 c 10, 4 108,16 trojúhelník není proúhlý + b c POZOR: Délky strn musíme nejpre přeést n stejné jednotky! b) 3,5 cm; 8,4 cm; 9,1 cm + b = 3,5 8,4 = 8,81 c 9,1 8,81 trojúhelník je proúhlý + b c c) 13 cm; 1 cm; 5 cm + b = 1 5 = 169 c trojúhelník je proúhlý + b c d) 4 dm; 10 dm; 6 dm + b = 4 10 = 676 c trojúhelník je proúhlý + b c e) 10 cm; 8 cm; 6 cm + b = 8 6 = 100 c trojúhelník je proúhlý + b c f) 10 dm; 3 dm; 4 dm + b = 10 3 = 69 c trojúhelník není proúhlý + b c 6. Zjisti, zd PQR: p = 13 cm, q = 14 cm, r = 19 cm je proúhlý. p + q = =365 r Trojúhelník PQR není proúhlý

37 7. Zjisti, zd MNO: m = 1 cm, n = 16 cm, o = 0 cm je proúhlý. m + n = 1 16 =400 o Trojúhelník MNO je proúhlý. 8. Vypočítejte délku přepony proúhlého trojúhelníku, jsou-li dány jeho oděsny: ) 9 cm 56 mm b) 18 cm 0,8 m ) + b = c c = 9 5,6 c c 11,36 11,36 c 10,6 cm. Délk přepony je 10,6 cm. b) + b = c c = c c c 8 cm. Délk přepony je 8 cm. 9. Vypočítejte délku druhé oděsny proúhlém trojúhelníku, znáte-li délku přepony délku jedné oděsny: ) 6 cm 10 cm b) 18,5 mm 14,8 mm ) + b = c b = c b = 6 10 b b b 4 cm. Délk druhé oděsny je 4 cm

38 b) + b = c b = c b = 18,5 14,8 b 13, 1 b 13, 1 b 11,1 mm. Délk druhé oděsny je 11,1 mm. 10. Vypočítejte délku přepony proúhlého trojúhelníku ABC, jsou-li dány jeho oděsny: ) b11 cm; c6, cm b),5 m; b1, m ) b + c = POZOR: strn je přeponou trojúhelníku! = 11 6, 159, , 44 1,6 cm. Délk přepony je přibližně 1,6 cm. b) + b = c c =,5 1, c 6,505 c 6,505 c,55 m. Délk přepony je,55 m. 11. Vypočítejte délku oděsny proúhlém trojúhelníku s přeponou c: ) c165 cm; 1 cm b) b16, 4 m; c4,5 m ) + b = c b = c b = b 1341 b 1341 b 111,1 cm. Délk druhé oděsny je přibližně 111,1 cm

39 b) + b = c = c b = 4,5 16,4 331, 9 331, 9 18, m. Délk druhé oděsny je přibližně18, m. 1. Je dán proúhlý trojúhelník ABC s prým úhlem u rcholu C. Vypočítejte délku chybějící strny, je-li: ) 3 cm; b4,5 cm b),5 cm; c 7,5 cm c) 0,8 cm; b,5 cm d) b 34,5 cm; c 50,5 cm ) + b = c c = 3 4,5 c 9,5 c 9,5 c 5,4 cm. Délk přepony je přibližně 5,4 cm. b) + b = c b = c b = 7,5,5 b 51,1875 b 51,1875 b 7, cm. Délk druhé oděsny je přibližně 7, cm. c) + b = c c = 0,8,5 c 6,89 c 6,89 c,6 cm. Délk přepony je přibližně,6 cm. d) + b = c = c b = 50,5 34, ,9 m. Délk druhé oděsny je přibližně 36,9 m

40 13. Sestrojte prý úhel, máte-li k použití proázek, který je rozdělen uzlíky n 30 stejných dílů Proúhlý trojúhelník se strnmi 5, 1, 13 dílů Pythgoro ět cičení II 1. Oěřte, zd může mít obdélník: ) délky strn 8 cm, 15 cm délku úhlopříčky 17 cm; b) délky strn 36 mm, 38 mm délku úhlopříčky 40 mm; c) délky strn 8 dm, 6 dm délku úhlopříčky 1 m; d) délky strn 1,1 cm,,4 cm délku úhlopříčky,7 cm e) délky strn,4 dm, 3,4 dm délku úhlopříčky 4,4 dm f) délky strn 0,15 dm, 0 mm délku úhlopříčky,5 cm Sousední strny obdélník b toří spolu s úhlopříčkou u proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + b = u. ) + b = 8 15 = = 89 u b u jedná se o obdélník b) + b = = = 740 u b u není splněn podmínk pro obdélník c) nejpre šechny délky přeedeme n decimetry + b = 8 6 = = 100 u b u jedná se o obdélník d) + b = 1,1,4 = 1,1 + 5,76 = 6,97 u,7 7,9 + b u není splněn podmínk pro obdélník e) + b =,4 3,4 = 5,76 +11,56 =17,3 u 4, 4 19,36 + b u není splněn podmínk pro obdélník f) nejpre šechny délky přeedeme n centimetry + b = 1,5 =,5 + 4 = 6,5 u,5 6, 5 + b u jedná se o obdélník

41 . Rozhodněte podle Pythgoroy ěty, který z trojúhelníků zdných délkmi strn je proúhlý: ) 3 ; 4 ; 5 b) ; 4 ; 6 c) 3 ; ; 5 d) 3 ; 4 ; e) 7 ; 7 ; 7 f) ; ; g) x; 4x; 6x h) 3x; 4x; 5x i) 4x; 5x; 6x j) 1 ; 1 ; k) ; ; 3 l) ; ; 8 m) 0,6; 0,8; 1 n) 3 ; 4 ; o) 0,5; 1,; 1,3 5 5 trojúhelník není proúhlý + ) + b = 3 4 = = 7 c b c b 6 6 trojúhelník je proúhlý + b) + = 4 = + 4 = 6 c b c 5 5 trojúhelník není proúhlý + c) + b = 3 = = 7 c b c d) + b = = + = c trojúhelník je proúhlý + b c

42 e) Pozor, přeponou c je prní z čísel b = = + = c 5 trojúhelník není proúhlý + b c f) + b = = + = c trojúhelník je proúhlý + b c 7 49 g) + b = x 4 x = 4 x + 16 x = 0x 6 36 trojúhelník není proúhlý + c x x b c h) + b = 3x 4 x = 9 x + 16 x = 5x 5 5 trojúhelník je proúhlý + c x x b c i) + b = 4x 5 x = 16 x + 5 x = 41x 6 36 trojúhelník není proúhlý + c x x b c j) + b = 1 1 = trojúhelník je proúhlý + c b c k) + b = = = trojúhelník není proúhlý + c b c l) + b = = = trojúhelník je proúhlý + c b c m) + b = 0,6 0,8 = 0,36 + 0,64 = 1 c 1 1 trojúhelník je proúhlý + b c n) + b = = + = c 1 1 trojúhelník je proúhlý + b c o) + b = 0,5 1, = 0,5 + 1,44 = 1,69 c 1,3 1, 69 trojúhelník je proúhlý + b c - 4 -

43 3. Jk dlouhá je úhlopříčk obdélníku, který má délky strn: ) 8 cm; 1,5 dm b) 1,5 cm; 36 mm c) 33 mm; 0,56 dm d) 15 mm; 3 cm e) 96 cm; 11 dm f) 1,8 m; 7 dm Sousední strny obdélník b toří spolu s úhlopříčkou u proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + b = u. Nejdří přeedeme obě délky n stejné jednotky pk ypočteme délku přepony proúhlého trojúhelník. ) 8 cm, b15 cm u + b u + b u u u cm b) 15 mm, b 36 mm u + b u + b u u u mm c) 3,3 cm, b5, 6 cm u + b u + b u u 10,89 31,36 4,5 u 6,5 cm

44 d) 1,5 cm, b3 cm u + b u + b u 46, u 1486, 5 u 38,55 cm e) 96 cm, b 110 cm u + b u + b u u u cm f) 18 dm, b7 dm u + b u + b u u 1053 u 3,45 cm 4. Vypočítejte délku druhé strny obdélník, je-li dán jeho strn délk úhlopříčky: ) 1,7 dm; 15 cm b) 34 cm; 3 dm c) 15 cm;,5 dm d) 0,56 m; 6,5 dm e) 11 cm; 146 mm f) 15 mm; 39 mm Sousední strny obdélník b toří spolu s úhlopříčkou u proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + b = u. Nejdří přeedeme obě délky n stejné jednotky pk ypočteme délku oděsny proúhlého trojúhelník

45 ) 15 cm, u 17 cm u + b b u b 89 5 b b 64 8 cm b) 30 cm, u 34 cm u + b b u b b b cm c) 15 cm, u 5 cm u + b b u b 65 5 b b cm d) 5,6 dm, u 6,5 dm u + b b u b 4, 5 31,36 b b 10,89 3,3 dm e) 110 mm, u 146 mm u + b b u b b 916 b 96 mm

46 f) 15 mm, u 39 mm u + b b u b 1515 b b mm 5. Vypočítejte délku úhlopříčky čterce, je-li délk strny: ) 4 cm b) 3,6 dm c) 400 mm d) 70 cm e) x cm f) x cm Strny čterce spolu s úhlopříčkou u toří proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + = u. Po úprě ýrzu dostneme: u, u ) 4 cm u u u.4 3 5,7 cm b) 3,6 dm u u u. 3,6 5,9 5,1 dm c) 400 mm = 4 dm Přeedeme n hodnější jednotku! u u u.4 3 5,7 dm d) 70 cm = 7 dm Přeedeme n hodnější jednotku! u u u ,9 dm

47 e) x cm u. x u x cm f) x cm u u u. x. 4x 8x u x 8 cm = x cm Po částečném odmocnění 6. Vypočítejte elikost ýšky ronostrnném trojúhelníku se strnou délky: ) 4 cm; b) 60 mm; c) 0,08 m; d) 10 cm; e) 1, dm; f) 0 cm ) 4 cm 4 1 3,46 cm Výšk ronostrnného trojúhelníku je oděsnou proúhlého trojúhelníku podle nákresu b) 60 mm = 6 cm , cm

48 c) 0,08 m = 8 cm ,93 cm d) 10 cm ,66 cm e) 1, dm = 1 cm ,39 cm f) 0 cm ,3 cm 7. Vypočítejte délku strny ronostrnného trojúhelníku, má-li jeho ýšk délku: ) 4 cm; b) 60 mm; c) 0,08 m; d) 10 cm; e) 1, dm; f) 0 cm

49 Po doszení: ) = 4 cm Výšk ronostrnného trojúhelníku je oděsnou proúhlého trojúhelníku podle nákresu. Strnu určíme pomocí Pythgoroy ěty pro tento trojúhelník. / / / ,6 cm 3 3 b) = 60 mm = 6 cm ,9 cm 3 3 c) = 0,08 m = 8 cm , cm d) = 10 cm ,5 cm 3 3 e) = 1, dm = 1 cm ,9 cm 3 3 = 0 cm ,1 cm

50 8. Vypočítejte poloměr kružnice opsné obdélníku o rozměrech: ) 6 cm 3 cm b) 45 dm 3 m c) 6 cm 11 mm d) 1,3 dm 37 cm e) x cm 3x cm Hledný poloměr kružnice je poloinou úhlopříčky obdélník, kterou ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty podle obrázku. u b u b Potom poloměr kružnice r = u : ) 3 cm, b6 cm u r 45 : 3,4 cm b) 3 m = 30 dm, b45 dm (Rozměry obdélník přeedeme n stejné jednotky.) u r 95 : 7 dm c) 11 mm, b6 cm = 60 mm (Rozměry obdélník přeedeme n stejné jednotky.) u r 371 : = 30,5 mm d) 1,3 dm = 13 cm, b37 cm (Rozměry obdélník přeedeme n stejné jednotky.) u r 1538 : 39, cm e) x cm, b 3 x cm u x 3x 4x 9x 13 x x. 13 r ( x. 13 ): 1,8 x cm

51 9. Vypočítejte poloměr kružnice opsné čterci se strnou délky: ) 10 cm b) 0,04 m c) 3,6 dm d) 70 mm e) x cm f) x cm ) 10 cm u r : 7,07 cm b) 0,04 m = 4 cm u r :,83 cm c) 3,6 dm = 36 cm u r : 5,46 cm d) 70 mm = 7 cm u r e) x cm : 4,95 cm u x x.. Hledný poloměr kružnice je poloinou úhlopříčky čterce, kterou ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty podle obrázku. u u r ( x. ) : = x 0,71 x cm f) x cm u. x.4x x. r ( x. ) : = x. 1,41 x cm Potom poloměr kružnice r = u :

52 10. Ronostrnného ABC je epsný do kružnice o průměru 1 cm. Vypočtěte: ) délku jeho strny b) obsh tohoto trojúhelníku Výšk = AP je ronostrnném trojúhelníku roněž i těžnicí, proto pltí: AS AP. 3 Je-li AS = 6 cm, pk AP = 9 cm = Délku strny lze určit pomocí Pythgoroy ěty z proúhlého APB: / / / Po doszení: ,4 cm 3 Obsh ABC ypočteme: S 10,4 9 Po doszení: S 46,8 cm - 5 -

53 Pythgoro ět cičení III 1. Z kmene stromu je ytesán trám obdélníkoého průřezu o rozměrech 50 mm 10 mm. Jký nejmenší průměr musel mít kmen? = 50 mm = 5 cm, b = 10 mm = 1 cm, d =? Nejmenší průměr kmenu je délkou úhlopříčky obdélníku: d b Nejmenší průměr kmenu je 13 cm.. Z kmenů boroic byly yřezány trámy, které měly n příčném řezu tr čterce se strnou dlouhou 17 cm. Jké nejmenší průměry musely mít kmeny boroic? = 17 cm, d =? Nejmenší průměr kmenu je délkou úhlopříčky čterce: d Kmeny boroic musely mít nejmenší průměr 4 cm

54 3. Čterci o strně 5 cm je opsán epsán kružnice. Urči poloměry obou kružnic. = 5 cm, r 1 = poloměr kružnice epsné,r = x poloměr kružnice opsné Poloměr kružnice opsné je roen poloině délky strny čterce: r 1 =,5 cm. Poloměr kružnice epsné je roen poloině délky úhlopříčky čterce: S x,5 cm.,5 cm Poloměr kružnice opsné je 3,54 cm poloměr kružnice epsné je,5 cm. 4. Automobil jel z bodu A 0 km seerním potom 30 km ýchodním směrem. Zstil se bodě B. Jká je přímá zdálenost bodů A B? Vzdálenost bodů AB je 36,06 km

55 5. Vypočítejte obsh ronostrnného trojúhelníku s délkou strny 6 cm. 6 cm S x cm Obsh ronostrnného trojúhelníku: S C Výpočet ýšky ronostrnného trojúhelník: A S / B Obsh ronostrnného trojúhelníku je 15,6 cm. 6. Vypočítejte obsh ronormenného trojúhelníku s délkou zákldny 6 cm délkou rmene 8 cm. Obsh trojúhelníku: S z z Výpočet ýšky ronormenného trojúhelník: z z r Obsh ronormenného trojúhelníku je, cm

56 7. Určete délku tělesoé úhlopříčky krychle o hrně 10 cm. = 10 cm u 1 =? ( stěnoá úhlopříčk) u =? ( tělesoá úhlopříčk) u 1 = + u 1 = u 1 = u 1 = u 1 = u 11 = 14,14 cm u = u 1 + u = u = u = u = 17,3 cm Délk tělesoé úhlopříčky krychle je 17,3 cm. 8. V kádru je délk tělesoé úhlopříčky 60 cm ýšk kádru 0 cm. Určete délku úhlopříčky podsty. u = 60 cm = 0 cm x =? Úhlopříčk podsty x je oděsnou proúhlého trojúhelníku pltí: Úhlopříčk podsty má délku 56,57 cm

57 9. V proúhlém trojúhelníku ABC je součet délky oděsny přepony 19, cm délk druhé oděsny je 1,6 cm. Vypočítejte délky zbýjících strn. b = 1,6 cm + c = 19, cm =? c =? Pltí Pythgoro ět: Zbýjící strny mjí délky 5,5 cm, c 13,7 cm. 10. Vypočítejte obod ronormenného lichoběžníku ABCD, je-li D c C d b o b c d A x X Y x B o 1 3,6 8 3,6 Obod lichoběžníku je 7, cm

58 11. Vypočítejte obsh ronormenného lichoběžníku ABCD, je-li AB 1 cm CD 8 cm BC 3,6 cm D c C d b A x X Y x B Obsh lichoběžníku je 30 cm

59 1. Vypočítejte obsh štítu domu tru ronormenného trojúhelníku, je-li: AB 9,6 m, AC 5,6 m.. S Výšk trojúhelníku rozdělí ronormenný trojúhelník n d shodné proúhlé trojúhelníky. Z proúhlého trojúhelníku BSC yjádříme ýšku pomocí Pythgoroy ěty: C 31,36 3,04 8,3,88 m A S B. S 9, 6.,88 S S 13,8 m Obsh štítu domu je si 13,8 m

60 13. Vypočítejte obsh kosočterce ABCD, je-li AC e 9 cm, AB 5 cm. e = 9 cm = 5 cm S =? Využijeme lstnosti úhlopříček kosočterce, které jsou k sobě kolmé nzájem se půlí. V proúhlém trojúhelníku ASB pltí Pythgoro ět: D f e C e f e f 9 f 5 A e/ S f/ B 9 5 f f,18 cm f 4,36 cm e f S 94,36 S 19,6 cm Obsh kosočterce je 19,6 cm

61 14. Do kružnice k o poloměru r = 6,5 cm je epsán obdélník ABCD s krtší strnou b = 4 cm. Určete délku delší strny. Velikost delší strny ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty z proúhlého trojúhelník ABC s přeponou elikosti r D k C b S A B Delší strn obdélníku má délku 1,37 cm. 15. Jk dleko jsou od sebe zdáleny konce písmene L, jestliže odoroná úsečk je dlouhá 8 mm kolmá úsečk 1,5 cm? Vzdálnost konců písmen je přepon proúhlého trojúhelník, jhož oděsny toří odoroná kolmá úsečk, tořící písmeno L Pltí Pythgoro ět: Konce písmene L jsou od sebe zdáleny 17 mm

62 16. Hlní stožár cirkusoého stnu je upoután n smém rcholu oceloým lnem dlouhým 39 m, jež je připeněno k zemi e zdálenosti 15 m od pty stožáru. Jk ysoký je hlní stožár stnu? Výšk stožáru je oděsnou proúhlého trojúhelník 39 m 15 m Hlní stožár stnu je ysoký 36 m. 17. Jk dlouhou kládu potřebují dobytelé hrdu, by ji mohli opřít o rchol hrdeb? Hrdby jsou ysoké 8 m jsou obehnány odním příkopem širokým 6 m. Délk klády je přeponou proúhlého trojúhelník: = 8 m d =? p = 6 m Dobytelé potřebují kládu dlouhou minimálně 10 m

63 Goniometrické funkce ostrého úhlu V proúhlém trojúhelníku ABC popisujeme jednotlié strny zhledem k dnému úhlu následujícím způsobem: AB - přepon nejdelší strn BC- protilehlá oděsn zhledem k úhlu AC přilehlá oděsn zhledem k úhlu Poznámk: názy strn se mění podle toho, ke kterému z úhlů oděsny zthujeme. AB - přepon nejdelší strn BC- přilehlá oděsn zhledem k úhlu AC protilehlá oděsn zhledem k úhlu Pro ýpočty proúhlém trojúhelníku kromě Pythgoroy ěty použíáme mimo jiné i goniometrické funkce ostrého úhlu proúhlém trojúhelníku sinus úhlu kosinus úhlu tngens úhlu Kotngens úhlu sin c b cos c tg b b cotg protilehlá oděsn sin přepon přilehlá oděsn cos přepon protilehlá oděsn tg přilehlá oděsn přilehlá oděsn cotg protilehlá oděsn Poměr elikosti oděsny protilehlé k úhlu přepony Poměr elikosti oděsny přilehlé k úhlu přepony Poměr elikosti oděsny protilehlé k úhlu oděsny přilehlé k úhlu Poměr elikosti oděsny přilehlé k úhlu oděsny protilehlé k úhlu Protože se le mění názy úhlů i strn proúhlém trojúhelníku, je nutné si pmtot třetí sloupec tbulky, nikoli zorce z druhého sloupce

64 Hodnoty goniometrických funkcí ostrého úhlu hledáme n klkulčce. npř: sin 300,5 cos150,9659 tg00,3639 Jedná se o čísl reálná, proto je třeb při ýpočtech zolit hodné zokrouhlení těchto čísel. Hledáme-li nopk úhel k hodnotě goniometrické funkce, použíáme tktéž klkulčku, musíme šk zolit hodný přepínč ( SHIFT, ndf ) npř: sin 0,4987 = 9,914 = 9 54 cos 0,8795 = 8,418 = 8; 5 tg 1,485 = 56,047 = 56 Funkce kotngens n klkulčce není, protože lze změnit z přerácenou hodnotu funkce tngens. cičení: 1. Vypočítej: ) sin 35 f) tg 8 40 b) sin g) sin 78 1 c) cos 45 h) cos 6 44 d) cos i) tg e) tg 60 j) sin 1 58 ) sin 35 = 0,5736 f) tg 8 40 = 0,5467 b) sin = 0,9670 g) sin 78 1 = 0,9789 c) cos 45 = 0,7071 h) cos 6 44 = 0,4581 d) cos = 0,3665 i) tg = 1,5359 e) tg 60 = 1,7305 j) sin 1 58 = 0,

65 . Urči úhel, pro který pltí: ) sin = 0,453 f) tg = 0,7833 b) sin = 0,9785 g) sin = 0,4471 c) cos = 0,445 h) cos = 0,5 d) cos = 0,8457 i) tg =,3154 e) tg = 5,341 j) sin = 0,999 ) sin = 0,453 = 6 53 f) tg = 0,7833 =38 4 b) sin = 0,9785 = 78 5 g) sin = 0,4471 = 6 33 c) cos = 0,445 = h) cos = 0,5 = 60 d) cos = 0,8457 =3 15 i) tg =,3154 = e) tg = 5,341 =79 11 j) sin = 0,999 = Urči sin, cos, tg pro úhel ) = 5 15 b) = c) = 78 5 d) = 9 11 e) = Řešení ) = 5 15 sin = 0,466 cos = 0,9045 tg = 0,4716 b) = sin = 0,5771 cos = 0,8166 tg = 0,7067 c) = 78 5 sin = 0,981 cos = 0,1931 tg = 5,0814 d) = 9 11 sin = 0,1596 cos = 0,987 tg = 0,

66 e) = sin = 0,9848 cos = 0,1739 tg = 5, Je dáno: sin = 0,5443, cos = 0,81. Vypočítej: ) cos f) sin ( - ) b) sin ( + ) g) tg ( + ) c) tg d) cos e) cos ( + ) h) tg i) sin j) cos sin = 0,5443 = 3 58 cos = 0,81 = ) cos 3 58 = 0,8390 b) sin ( ) =sin = 0,8961 c) tg = tg 71 = 4,678 d) cos = cos = 0,4078 e) cos ( + ) = cos =0,3641 f) sin ( - ) g) tg ( + ) h) tg = tg 16 9 = 0,959 i) sin = sin = 0,306 j) cos = cos 16 9 = 0,

67 Geometrické úlohy řešené pomocí goniometrických funkcí 1. Vypočítej délku přepony proúhlém Δ ABC je-li dáno: = 6 cm, = 30. A b c C B sin c c sin 6 c sin 30 c 1 cm Přepon má délku 1 cm.. Vypočítej elikost strny b proúhlém Δ ABC, je-li dáno: = 6 cm, = 30. A b c C B tg b b tg 6 b tg30 b 10,34 cm Strn b má délku 10,34 cm

68 3. Vypočítej délku strny proúhlém Δ ABC, je-li dáno: c = 6 cm, = 60. C sin c csin b 6sin 60 5, cm A c B Strn má délku 5, cm. 4. Vypočítej délku strny b proúhlém Δ ABC, je-li dáno: c = 9 cm, = C b cos c bccos b b 9cos630 b 4,16 cm A c B Strn b má délku 4,16 cm. 5. Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno = 8 cm, b = 5 cm. b C tg b 8 tg 5 58 A Úhel má elikost 58. c B

69 6. Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno = 6 cm, b = 1 cm. A b c C B b tg 1 tg Úhel má elikost Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno = 8,4 cm, c = 11, cm. A b c C B sin c 8,4 sin 11, 4835 Úhel má elikost Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno: b = 0,7 dm, c = 16 cm. C b 0,7 dm 7, cm b cos c b 7, cos A c B Úhel má elikost

70 9. Vypočítej délku ýšky k přeponě proúhlém Δ ABC, je-li dáno: = 60, b = 5 cm. sin C b bsin bsin 60 b 4,33 cm A c B Výšk k přeponě má délku 4,33 cm. 10. Vypočítej délku ýšky k přeponě proúhlém Δ ABC, je-li dáno: β = 60, c = 15 cm. A b c C B cos c ccos 15cos30 13 cm sin sin 13sin 30 6,5 cm Výšk k přeponě má délku 6,5 cm

71 11. Vypočítej elikost zákldny ronormenném Δ ABC, je.li dáno. =1 cm, = 38. C tg c c tg c tg b c 1 tg38 c 18,75 cm A c S B Zákldn ronormenného Δ ABC má délku 18,75 cm. 1. Vypočítej elikost úhlu při zákldně rr Δ ABC, je-li dáno c = 6 cm, = 8 cm. b C tg c 8 tg A c S B Velikost je

72 13. Vypočítej elikost úhlu při hlním rcholu rr Δ ABC, je-li dáno: c = 6 cm, = 8 cm. C c tg 3 tg 8 b A c S B Úhel má elikost V ronormenném Δ ABC je dán ýšk k zákldně = 10, cm úhel při hlním rcholu je = 40. Vypočítej délku rmene tohoto trojúhelník. b C cos b b 10, b cos 0 b 10,85 cm A c S B Délk rmene ronormenného Δ ABC je 10,85 cm

73 15. V ronormenném Δ ABC je dán ýšk k zákldně = 10, cm úhel při hlním rcholu je = 40. Vypočítej délku zákldny tohoto trojúhelník. b C c tg c tg c 10, tg0 c 7, 4 cm A c S B Zákldn ronormenném Δ ABC má délku 7,4 cm. 16. Obdélník má strny =10 cm, b = 6 cm. Vypočítej odchylku jeho úhlopříček. D A S e Odchylk úhlopříček je C b B b tg e 3 tg

74 17. Úhlopříčky obdélníku o délce 1 cm sírjí úhel = 60. Vypočítej obod obdélníku. D A S e Obod obdélník je 3,8 cm. C b B b e sin besin b 1sin 30 b 6 cm cos e ecos 1cos30 10, 4 cm o b 16, 4 3,8 cm 18. Vypočítej obsh obdélníku je-li dáno b = 8 cm, úhel BSC = 80, S je průsečík úhlopříček. D S e C b b tg b tg A B b tg 8 tg40 9,53 cm S b 9,538 76, cm Obsh obdélníku je 76, cm

75 19. V obdélníku KLMN známe úhel KML o elikosti 30 strně LM o elikosti 4 cm. Je jeho obsh ětší než 7 cm? N M k tg l k ltg k 4 tg30 k 1,66 cm K k L Obsh obdélníku je menší než 7 cm. S k l 1,66 4 6,64 cm 0. Obdélník ABCD má obsh 64 cm. Vypočítej délku jeho strn, sírjí-li jeho úhlopříčky úhel 45. D A S e C b B S b 64 b 64 b b tg b tg 64 tg,5 64 tg,5 1, 43 cm 64 b 5,14 cm 1, 43 Strny mjí délky 1,43 cm 5,14 cm

76 1. V kosočterci ABCD známe délky úhlopříček e = 10 cm, f = 8 cm. Vypočítej elikost nitřních úhlů. A D S e f B Vnitřní úhly kosočterce mjí elikost C f tg e 4 tg V kosočterci ABCD známe úhlopříčku e 16,7cm, elikost úhlu DAB 68. Vypočítej délku druhé úhlopříčky. A D S e f B C f tg e f e tg f e tg f f 16, 7 tg34 11, 6 cm Druhá úhlopříčk kosočterce má délku 11,6 cm

77 3. Vypočítej obod kosočterce s úhlopříčkou e = AC = 18 cm, je-li elikost úhlu ABC 10. A D S e f B C sin e e sin esin 18sin 30 9 cm e sin e sin 9 sin 60 10,4 cm S 10,49 93,6 cm Obsh kosočterce je 93,6 cm

78 4. Lnok spojuje místo A, které je e ýšce 63 m nd mořem s místem B, jehož ndmořská ýšk je 113 m. Jk dlouhá bude trs lnoé dráhy spojující obě míst, jestliže její trs sírá s odoronou roinou úhel 5. A C P SP m BP sin AB BP AB sin 500 AB sin 5 AB 1183,15 m Trs lnoé dráhy má délku 1183,15 m. 5. Jk ysoký je sloup nesoucí dráty elektrického edení, jestliže jej e zdálenosti 50 m idíme pod úhlem V AP 50 m 650 tg VP AP VP AP tg A P VP VP 50tg650 6 m Výšk sloupu je 6 m

79 5. Jestliže bychom k hrdní zdi opřeli pod úhlem 35 žebřík dlouhý 11 m, bude ho n rcholu zdi půl metru přečnít. ) Jk ysoká je hrdní zeď? b)pod jkým úhlem musíme tento žebřík umístit, by se horní konec dotkl okrje zdi? ) Jk ysoká je hrdní zeď? A Hrdní zeď má ýšku 6,0 m. B P Q 35 AP AQ 0,5 10,5 m BP sin AP BP AP sin BP 10,5sin BP 6,0 m b) Pod jkým úhlem musíme tento žebřík umístit, by se horní konec dotkl okrje zdi? P Q BQ sin AQ 6,0 sin A B Žebřík musíme opřít pod úhlem

80 6. Tečny edené z bodu A ke kružnici k o středu S sírjí úhel 60. Úsečk SA protíná kružnici k bodě B tk, že pltí AB = 4 cm. Vypočítej poloměr kružnice k. T k X S B A BX sin BA BX BA sin BX 4sin 30 BX BA AS cm BX ST 4 r 4 r 4r r 4 r 4 cm Poloměr kružnice je 4 cm

81 7. Kružnice opsná proúhlému trojúhelníku má poloměr 13 cm. Jedn oděsn měří 1 cm. Vypočtěte elikosti nitřních úhlů tohoto trojúhelníku. A C S B AB r 6 cm AC 1 cm 1 cos Vnitřní úhly mjí elikosti Určete obsh ronoběžníku, jestliže strny o elikostech 8 cm 10 cm sírjí úhel 50. A b D B C 10 cm b 8 cm 50 sin AD AD sin 8sin 50 6,18 cm S 106,18 61,8 cm Obsh ronoběžníku je 61,8 cm

82 9. Těžnice ýšk n strnu c rozdělí trojúhelník ABC n tři trojúhelníky, jejichž obshy oznčíme S 1, S, S 3. Vypočtěte tyto obshy, je-li SC = t = 4,1 cm; = 80, = 35, = 10. C S1 S S3 t A P S B AP S1 PS S BS S3 sin t sin 80 4,1 sin 80 4,1 4 cm AP : tg : AP AP tg AP tg43 AP 4, 9 cm S S S S AP 4, 9 4 8,58 cm PS : PS cos t PS cos t PS cos80 4,1 PS 0,71 cm S S S S : PS 0,714 1, 4 cm Protože bod S je středem úsečky AB pltí: SB AP PS SB 4, 9 0,71 SB 5 cm S S S S : BS cm Obsh S 1 je 8,58 cm, obsh S je 1,4 cm S 3 je 10 cm. Protože SB = AP + PS ýšk je společná pro trojúhelník ASC trojúhelník SBC, musí pltit, že obshy troj

83 úhelníků ASC SBC jsou si rony. Tohoto lze yužít ke kontrole spránosti. Obsh trojúhelník ASC je roen součtu obshů trojúhelníků APC PSC, tedy: S 1 + S = (8,58 + 1,4) =10 cm. Obsh trojúhelníku SBC je roněž 10 cm. 30. Vypočtěte délku tětiy příslušné středoému úhlu 65 30, je-li poloměr kružnice 9 cm. k B SB r 9 cm 6530 S O OA sin SB OA SB sin A OA OA AB 9sin 345 4,87 cm OA 4,87 9,74 cm Délk tětiy je 9,7 cm. 31. V kružnici k (S, r = 6 cm) je těti dlouhá 4,9 cm. Vypočtěte elikost středoého úhlu příslušného k tětiě. S k B O A SB r 6 cm 4,9 AB 4,9 cm OA OA sin SB,45 sin Středoý úhel má elikost

84 3. Jký je poloměr kružnice, jestliže středoému úhlu přísluší těti dlouhá 18,4 cm? k B AB 18,4 cm AO 9, cm 7530 S O A AO sin r AO r sin 9, r sin 3745 r 15,03 cm Poloměr kružnice je 15,08 cm. 33. Rotční kužel má průměr podstného kruhu 0 cm jeho strn sírá s roinou podsty úhel 5. Jký je objem rotčního kužele? Výsledek zokrouhlete n 1 desetinné místo. V S B AB 0 cm AS 10 cm 5 VS VS tg AS VS AS tg VS 10 tg5 VS 4,66 cm A 1 V r 3 1 V 10 4, cm 3 3 Objem kužele je přibližně 488 cm

85 34. Objem rotčního kužele je 9,4 cm, ýšk = 10 cm. Jký úhel sírá strn kužele s roinou podsty? V B 1 3 3V r 39,4 r 10 r 0,95 cm V r S A V tg r 10 tg 0, A r S Strn kužele sírá s roinou podsty úhel

86 35. Hromd písku má tr rotčního kužele o průměru m. Jk elká je strn této hromdy, jestliže sírá s ýškou úhel = Výsledky zokrouhlete n 1 desetinné místo. V B AB m AS 1 m AS sin AV AS AV sin AV 1 sin 150 AV,7 m A S Strn hromdy má délku,7 m. 36. Vypočítej odchylku tělesoé úhlopříčky krychle od roiny podsty H G DH E D e u F C DB tg 1 tg 3516 A B Odchylk tělesoé úhlopříčky od roiny podsty je

87 37. Je dán pridelná čtyřboký hrnol ABCDEFGH, e kterém AB = 3 cm, elikost úhlu BAC = Určete objem porch hrnolu. Výsledky zokrouhlete n jedno desetinné místo. E A H D F c B b G C BAC 59 BEF d 6930 AB 3 cm c tg ctg c 3 tg6930 c 8,0 cm b tg btg b 3 tg59 b 4,99 cm V bc V 38,04,99 10 cm S b c bc S 38,0 3 4,99 4,998,0 158 cm Objem hrnolu je 10 cm 3, porch 158 cm

88 38. Je dán pridelný čtyřboký jehln ABCDV se čtercoou podstou = 4 cm. Určete jeho porch objem, jestliže úhel V KV má elikost 69 10, kde K je střed strny BC V je střed čterce ABCD. Výsledky zokrouhlete n 1 desetinné místo. A D V V B k C 6910 VK tg tg tg6910 5, 5 cm V , 5 8 cm Objem jehlnu je 8 cm Vypočítej odchylku tělesoých úhlopříček krychle. H G DF BH 3 E F S D C A B

89 B F O S sin 3 sin 3 sin Odchylk úhlopříček je

90 4. Pythgoro ět... 1 Pythgoro ět - úod... 1 Užití Pythgoroy ěty plnimetrii stereometrii Pythgoro ět cičení I Pythgoro ět cičení II Pythgoro ět cičení III Goniometrické funkce ostrého úhlu Geometrické úlohy řešené pomocí goniometrických funkcí

P Y T H A G O R O V A V T A V P R O S T O R U (2 hodiny)

P Y T H A G O R O V A V T A V P R O S T O R U (2 hodiny) P Y T H A G O R O V A V T A V P R O T O R U hodiny V této ýkoé hodin si zksíš nkolik málo úloh n žití Pythgoroy ty tlesech. Doosd znáš dobe oze tto tles kádr, krychle jso to lstn tyboké hrnoly, trojboký

Více

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM. STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

3. Mocnina a odmocnina. Pythagorova věta

3. Mocnina a odmocnina. Pythagorova věta . Mocnina a odmocnina. Pythagorova věta 7. ročník -. Mocnina, odmocnina, Pythagorovavěta.. Mocnina... Vymezení pojmu Součin stejných činitelů můţeme napsat v podobě mocniny. Například : součin...... můţeme

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

6. Jehlan, kužel, koule

6. Jehlan, kužel, koule 6. Jehlan, kužel, koule 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 6. Jehlan ( síť, objem, porch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstau taru n-úhelníku. Podle počtu rcholů n-úhelníku má jehlan náze. Stěny toří

Více

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r. 7. Kruh, kružnice, válec 7. ročník - 7. Kruh, kružnice, válec 7.1 Kruh, kružnice 7.1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Projekt: Digitální učení mteriály e škole registrční číslo projektu CZ.1.07/1..00/4.07 Příjeme: Střední zdrotniká škol Vyšší odorná škol zdrotniká Huso 71 60 České Budějoie Náze

Více

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Stereometrie pro učební obory

Stereometrie pro učební obory Variace 1 Stereometrie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Vzájemná poloha prostorových

Více

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometie RND. Yett Btákoá Gymnázium, OŠ VOŠ Ledeč nd ázou Objemy pochy těles komolá těles VY INOVACE_05 9_M Gymnázium, OŠ VOŠ Ledeč nd ázou Objemy pochy těles A) Komolý jehln - je těleso, kteé znikne půnikem

Více

Otázky z kapitoly Stereometrie

Otázky z kapitoly Stereometrie Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

8. Stereometrie 1 bod

8. Stereometrie 1 bod 8. Stereometrie 1 bod 8.1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného válce je 4 : π b) : π c) : π d) : π e) 4 : π. 8.. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

Stereometrie 03 (povrch a objem těles)

Stereometrie 03 (povrch a objem těles) teeometie 0 (oh ojem těles) Geometiké těleso je ostooý omezený souislý geometiký út. Jeho hnií nzýnou tké ohem je uzřená loh.. Pidelný n-oký kolmý hnol Poh je tořen děm shodnými odstmi (idelnými n-úhelníky)

Více

POVRCH A OBJEM HRANOLU A JEHLANU

POVRCH A OBJEM HRANOLU A JEHLANU Projekt ŠABLONY NA GM Gymnázim elké Meziříčí registrční číslo rojekt: CZ..07/.5.00/.098 I- Inoce zklitnění ýky směřjící k rozoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol PORCH A OBJEM HRANOLU A JEHLANU

Více

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie RNDr. Yetta Bartákoá Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou Objemy a porchy těles koule, kuloá plocha a jejich části VY INOVACE_05 9_M Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou Objemy a porchy těles

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0

Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0 Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre http://www.foitsoftwre.com For elution onl. Kuželosečk I. Kuželosečk zákldních polohách posunuté to prtie je opkoání látk obkle probírné n střední škole. Kružnice

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

I. kolo kategorie Z9

I. kolo kategorie Z9 58. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z9 Z9 I Do tří prázdných polí na obrázku patří taková přirozená čísla, aby součin tří čísel na každé straně trojúhelníku byl stejný. 42 6 72 Jakénejmenšíajakénejvětšíčíslomůžebýtzatétopodmínkyvepsánodošeděvybarveného

Více

Úlohy. b) číslo 0,8 o 35% d) číslo 220 o 22 % 1 % ze z 10,80 Kč č 10,80 Kč 103,5 = 1117,80 Kč

Úlohy. b) číslo 0,8 o 35% d) číslo 220 o 22 % 1 % ze z 10,80 Kč č 10,80 Kč 103,5 = 1117,80 Kč 2. Obnos 1080 Kč představuje základ z, ze kterého počítáme procentovou část č, odpovídající počtu procent p 3,5; vypočítanou procentovou část pak přičteme k základu. 1. způsob: z 1080 Kč p 103,5 č... Kč

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

5.2.7 Odchylka přímky a roviny

5.2.7 Odchylka přímky a roviny 57 Odchylk přímky roiny Předpokldy: 50, 506 Jk odchylk přímky roiny? o by měl definice splňot: podobně jko u osttních ěcí ji musíme přeést n něco co už umíme (si odchylku dou přímek), měl by být jednoznčná,

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Goniometrické funkce obecného úhlu

Goniometrické funkce obecného úhlu 0 Goniometrické funkce oecného úhlu V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce,, tg, cotg liovolného úhlu tkto: α α tg α cotg α Význmné hodnoty gon. funkcí 0 0 60 90 α 0 α 0 tg α 0 nedef. cotg

Více

Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm.

Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. 8 cm u s = 11,3137085 cm pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ABC u t = 13,85640646 cm opět pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ACA'

Více

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

( ) ( ) Pythagorova věta, Euklidovy věty II. γ = 90, je-li dáno: c = 10, c = 6. Předpoklady: 3205

( ) ( ) Pythagorova věta, Euklidovy věty II. γ = 90, je-li dáno: c = 10, c = 6. Předpoklady: 3205 3..6 Pythgoro ět, Euklidoy ěty II Předpokldy: 305 V kždém proúhlém trojúhelníku s oděsnmi, přeponou pltí: =, =, =, kde je ýšk n přeponu, jsou úseky přepony přilehlé ke strnám,. Kždou z předhozíh ět je

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od roiny zdálenost roin zdálenost bodu od přímky zdálenost bodu od roiny zdálenost roin 5..8 zdálenost bodu od přímky ředpokldy: 507 edgogická poznámk: Tříd počítá

Více

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q.

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 7. průzkum bojem 1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 2)Jsou dány vektory u = (5;-3), v = (-6;4), f = (53;-33). Určete čísla k,l R taková, že k.u + l.v

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Přijímačky nanečisto - 2011

Přijímačky nanečisto - 2011 Přijímačky nanečisto - 2011 1. Vypočtěte: 0,5 2 + (-0,5) 2 (- 0,1) 3 = a) 0,001 b) 0,51 c) 0,499 d) 0,501 2. Vypočtěte: a) 0,4 b) - 0,08 c) 2 3 d) 2 3. Určete číslo s tímto rozvinutým zápisem v desítkové

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117 STEREOMETRIE Odchylky přímky a roviny Mgr. Jakub Němec VY_3_INOVACE_M3r0117 ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této

Více

MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 MA1ACZMZ06DT MATEMATIKA 1 didaktický test Testový sešit obsahuje 18 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů

Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů 1) Zapiš matematickými symboly: bod A leží na přímce p bod M leží v průsečíku přímek k, m 2) Je dána přímka p, bod K

Více

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková VY_42_INOVACE_MA1_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace a zkvalitnění

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_15 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

Planimetrie. Obsah. Stránka 668

Planimetrie. Obsah. Stránka 668 Obsh 3. Plnimetrie... 669 3.. Úhel... 669 3.. Prvidelné mnohoúhelníky... 67 3.3. Pythgorov vět Eukleidovy věty konstruke úseček... 678 3.4. Euklidovy věty, prvoúhlý trojúhelník... 683 3.5. Obvody obshy

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

M - Řešení pravoúhlého trojúhelníka

M - Řešení pravoúhlého trojúhelníka M - Řešení pravoúhlého trojúhelníka Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1.

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1. 4 4 = 8 8 8 = 5 + 19 1 = 4 = 11 : 1 k > 0 k 4k x 1 x x k + (1 x) 4k = k x + 4 4x = x = x 1 x = 1 = : 1. v h h s 75 v 50 h s v v 50 s h 75 180 v h 90 v 50 h 180 90 50 = 40 s 65 v 80 60 80 80 65 v 50 s 50

Více

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny 5..9 zdálenost bodu od roiny ředpokldy: 508 Opkoání z minulé hodiny (definice zdálenosti bodu od přímky): Je dán přímk p bod. zdáleností bodu od přímky p rozumíme zdálenost bodu od bodu, který je ptou

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPO

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPO Stereometrie je mtemtiká ění isiplin zýjíí se prostoroými útry jejih zthy. Je to geometrie prostoru. 1. HRANOL ) kolmý hrnol pětioký hrnol trojoký hrnol kár Horní post hrnolu Boční stěny toří plášť hrnolu

Více

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204 3..5 ythgoro ět, Euklidoy ěty I ředpokldy: 1107, 304 roúhlý trojúhelník = trojúhelník s nitřním úhlem 90 (s prým nitřním úhlem) prý úhel je z nitřníh úhlů nejětší (zýjíí d musí dát dohromdy tké 90 ) strn

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. procvičování obsahu a objemu prostorových těles

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. procvičování obsahu a objemu prostorových těles METODICKÝ LIST DA55 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Prostorová tělesa VII. slovní úlohy Astaloš Dušan Matematika šestý/sedmý

Více

vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace

vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace Přehled příkladů 1) Valiý pohyb, zákon zachoání energie ) Těžiště tělesa nebo moment setračnosti ýpočet integrací - iz http://kf.upce.cz/dfjp/momenty_setracnosti.pdf Nejčastější chyby: záměna momentu setračnosti

Více

POHYBY V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ

POHYBY V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ Předmět: Ročník: Vytořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 9. 9. 01 Náze zpracoaného celku: POHYBY V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ Jde o pohyby těles blízkosti porchu

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí.

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. . Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. Vyjádřete zlomkem, jakou část druhého obdélníku tvoří zatmavená plocha..

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku METODICKÝ LIST DA39 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná Astaloš Dušan Matematika šestý

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více