Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti"

Transkript

1 Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode, jenž vzniká připojením tuhého těesa hmotnosti m nehmotnou ineární pružinou o tuhosti k se svisou osou k rámu(obr.1). Jestiže uvažujeme posuv hmotnosti po svisici vzniký pouze působením nenuových počátečních podmínek(tzv. voné kmitání), působí na uvoněné těeso, při kótování výchyky od voné déky pružiny, pouze setrvačná sía, vratná eastická sía a vastní tíha těesa(obr.1). Všechny tyto síy mají svisou nositeku, pročež pohybovou rovnici, jakožto siovou podmínku dynamické rovnováhy do svisého směru, můžeme zapsat ve tvaru mẍ+k mg=0. (1) 0 k st y m Obrázek 1: Budeme-i osu pružiny situovat vodorovně(obr.2) dostáváme při zanedbaném tření hmoty na rámu pohybovou rovnici ve tvaru mẍ+k=0. (2) 0 k Obrázek 2: m f = 0 Tíha, jakožto svisá sía, se nyní do směru pohybu nepromítá. Protože obě pohybové rovnice popisují fyzikáně stejný děj, je v rovnici(1) konstantní čen mg navíc. Situace se 1

2 uvede do souadu zavedením nové výchyky y, kterou v případě svisé osy pružiny kótujemeažodtzv.statickérovnovážnépoohy,danéparametrem st (obr.1).zavěsíme-i kpružiněvonédéky 0 atuhosti ktěesohmotnosti manechámeustáit,dojdekjejímukidovémuprotaženíprávěohodnotu st,kdyjevrovnovázevratnásíatakto deformované pružiny s tíhou, tedy kdy patí Zobr.1jepatrno,že mg= k st. (3) = st + y. Protožepode(3)je st konstanta,patí ẍ=ÿ.dosazenímtěchtovýrazůdo(1)za a ẍzískáme mÿ+ k st + ky mg=0. Apikací(3) však odtud dostáváme rovnici(2) ve výchyce y. Je-i tedy osa pružiny jiná než vodorovná, kótujeme výchyku od statické rovnovážné poohy a přísušnou sožku tíhy do rovnováhy si nezahrnujeme. Pohybová rovnice je vždy tvaru(2) a říkáme jí pohybová rovnice voných netumených kmitů. Voné kmity vznikají bez přítomnosti budící síy. Vznikají z nenuových počátečních podmínek. Buď tedy pružinu deformujeme a pustíme z kidu(nenuová poohová počáteční podmínka) nebo hmotu ze statické rovnovážné poohy postrčíme (nenuová rychostní počáteční podmínka), popřípadě provedeme kombinaci obojího. Působí-inahmotunavícbudícísía F(t),mátatovpohybovérovnicizápornéznaménko(obr.1 a 2). S kadným znaménkem ji obvyke převádíme na pravou stranu. Pohybová rovnice má pak tvar mẍ+k=f(t). Jestiže je k pružině paraeně řazen ineární(tzv. viskózní) tumič, působí v něm proti pohybu tumící sía úměrná rychosti pohybu těesa. Pohybová rovnice podéných tumených(obecně buzených) kmitů má pak tvar(obr. 3) mẍ+bẋ+k=f(t). (4) b k 0 k. b m F(t) f = 0.. m Obrázek 3: Konstantu b udáváme v[ns/m] =[kg/s] a nazýváme ji konstantou vazkého tumení. Vivem tumení se mechanická energie mění na energii tepenou. Nastává tzv. disipace energie. Tumič může být skutečně funkční, paraeně připojený k pružině jako na kinematickém schématu na obr.3. Může ae také znázorňovat materiáové tumení drátu, ze kterého je pružina vyrobena. Mode bez tumení je vždy abstrakce, více nebo méně odišná od skutečnosti. V případě materiáového tumení bývá v prai probémem číseně 2

3 vyjádřit konstantu b. Lze to zjistit eperimentem a násedným výpočtem-viz téma voné kmitání. Poznámka: Výše popsané pohybové rovnice ze rovněž odvodit apikací Lagrangeovy rovnice(druhého druhu) tvaru d dt ( ) Ek E k q q + E p q + R q = Q. Vtétorovnici E k jekinetickáenergietěesa, E p potenciáníenergiesoustavy, Rjetzv. Rayeighova disipační funkce a Q zobecněná sía přísušející k zobecněné souřadnici q. Protože těeso se posouvá, patí pro kinetickou energii při ibovoném kótovánívýchyky(q=nebo q=y)vztah E k = 1 2 mẋ2 = 1 2 mẏ2.prodisipačnífunkci patí R= 1 2 bẋ2 = 1 2 bẏ2 (poovinavýkonutumícísíy).potenciáníenergiesoustavyje propřípadvýchyky rovna E p = E p k2 mg,kde E p0 jepotenciáníenergie vpooze =0.Propřípadvýchyky yje E p = E p ky2,přičemž E p0jepotenciání energievpooze y=0.vtomtopřípaděnezahrnujemedovýpočtuzměny E p vyvoané změnoupoohytěžištětěesa.prozobecněnousíuzřejměpatí Q=F(t).Prvníčen Lagrangeovy rovnice představuje setrvačnou síu, druhý čen je nuový(pro kmitavé soustavy kinetická energie nezávisí na pooze), třetí čen představuje eastickou a čtvrtý čen tumící síu. Zobecněná sía na pravá straně představuje(nekonzervativní) budící síu. 2. Případy převeditené na zákadní mode a) Tuhé těeso zavěšené na teoreticky nehmotném aně(tyči). Vastnosti ineární pružiny má i prizmatická tyčka(ano) při namáhání na tah(obr.4). Z Hookeova zákona pro tah pyne pro deformaci tyče pod působením osové síy F výraz = F EA, (5) kde jedékaaapochaprůřezunezatíženétyče, Ejemodupružnostivtahumateriáu F Obrázek 4: tyče. Srovnáním(5) s výrazem ineární závisosti vratné síy v pružině na deformaci zjišťujeme, že tuhost tyče je 3

4 k= AE. (6) Poznámka: Pohybová rovnice kmitání tyče(ana) s hmotností m na konci je tvaru(2) nebo(4)protuhostdanouv(6)jenvtompřípadě,kdyhmotnosttyče(stejnějako pružiny) zanedbáme. Zahrnutí hmotnosti pružiny(tyče) do výpočtu, provedeme níže. b) Spiráová pružina namáhaná siovou dvojicí. Mějme spiráovou pružinu jedním koncem vetknutou do rámu. Namáháme-i siovou dvojicí s vektorem momentu M vosepružinyjejívonýkonec,natočíseoúhe ϕ.je-ipružinaineární,vztahmezi momentem M aúhem ϕjepřímáúměrnost M = k t ϕ.konstantu k t,jížudávámev [Nm/rad], nazýváme torzní tuhost pružiny. Jestiže od poohy v nezatíženém stavu kótujeme úhe natočení ϕ kotouče o osovém momentu setrvačnosti I připojeného ke spiráovépružiněotorznítuhosti k t stím,žekotoučzeotáčetpouzekoemosypružiny, je pohybová rovnice tohoto pohybu zřejmě tvaru I ϕ+k t ϕ=0. (7) Tato rovnice vyjadřuje dynamickou rovnováhu siových dvojic k ose pružiny. Dvojice I ϕjesetrvačná(kotoučseotáčíkoemhavnícentráníosysetrvačnosti)advojice k t ϕ je eastická dvojice. Připojíme-i siovou dvojici tumící, modeující materiáové tumení pružiny, a budící dvojici o momentu M(t), je pohybová rovnice tvaru I ϕ+b t ϕ+k t ϕ=m(t). (8) Konstantu b t udávámev[nms/rad]anazývámejikonstantou torzního tumení. Srovnáním(8) a(4) zjišťujeme matematicky stejné diferenciání rovnice s násedující anaogií veičin Podénékmity m b k F(t) Torzníkmity I b t k t M(t) ϕ Rovnice(7) popisuje netumené voné torzní kmity, rovnice(8) obecně tumené, buzené torzní kmity. c) Kotouč na teoreticky nehmotném hřídei. Vastnosti ineární torzní pružiny má i hříde kruhového(mezikruhového) průřezu při namáhání na krut. Z Hookeova zákona pro prostý krut pyne pro deformaci(nakroucení) hřídee pod působením torzního momentu M výraz ϕ= M GJ p, kde jedékahřídee, GmodupružnostijehomateriáuvesmykuaJ p jepoární kvadratickýmomentpochyprůřezuudávanýv[m 4 ].Srovnánímsevztahempro úměrnost eastického momentu s úhem natočení odtud dostaneme pro torzní tuhost hřídee vztah k t = GJ p. (9) Veičina J p jedefinovánajako J p = (A) ρ2 da,kde ρjeprvnípoárnísouřadnicespočátkem v těžišti průřezu. Pro mezikruhový průřez o vnějším pooměru R a vnitřním pooměru r patí 4

5 J p = π 2 (R4 r 4 )= π 2 (R2 r 2 )(R 2 + r 2 )= A 2 (R2 + r 2 ). (10) Pohybová rovnice kmitání hřídee s kotoučem na konci má tvar(7) nebo(8), kde torzní tuhostjedánav(9)apoárnímomentv(10)propřípadzanedbanéhmotnostihřídee. d) Reativní kmity dvou izoovaných hmot na pružině. Mějme dvě těesa hmotností m 1 a m 2 (obr.5),kteréjsouspojenypružinoutuhosti k.zřejměsejednáo soustavusedvěmastupnivonostipopsanouzobecněnýmisouřadnicemi 1 a 2 (obr.5). Pohybové rovnice získáme napříkad metodou uvoňování za nepodstatného předpokadu reacemezioběmavýchykaminapříkad 2 > 1.Prokaždétěesojevrovnovázevždy setrvačná sía od posuvu s eastickou siou(obr.5). Pohybové rovnice tedy ze formuovat ve tvaru m 1 ẍ 1 k( 2 1 )=0; m 2 ẍ 2 + k( 2 1 )=0. m m 2 1 k f = m 1 1 k ( ) m 2 2 k ( 2 1 ) Obrázek 5: Tytopohybovérovnicezřejmězůstávajívpatnostiiproopačnoureaci 2 1. Pakjendruhésčítancezměníznaménko.Násobenímprvnírovnicekonstantou m 2,druhé rovnicekonstantou m 1 aodečtenímvznikýchrovniczískáme m 1 m 2 (ẍ 2 ẍ 1 )+k( 2 1 )(m 1 + m 2 )=0. Označíme-i = 2 1 (cožjereativnívýchykahmoty m 2 vůčipozorovateinacházejícímusenahmotě m 1 ),je ẍ=ẍ 2 ẍ 1 apředchozírovnicemátvar Označíme-i jako m hmotnost, pro kterou ẍ+k m 1+ m 2 m 1 m 2 =0. 1 m = 1 m m 2 = m 1+ m 2 m 1 m 2, (11) přepíšeme(po násobení veičinou m) předchozí rovnici na tvar mẍ+k=0, 5

6 což je rovnice(netumeného) voného podéného kmitání soustavy s jedním stupněm vonosti. Hmotnost m je definovaná v(11). Poznámka: Anaogická situace vznikne u dvou kotoučů o osových momentech setrvačnosti I 1 a I 2 vázanýchnehmotnýmhřídeem(obr.6)otorznítuhosti k t.zavedeme-iúhe nakrouceníhřídee ϕ=ϕ 2 ϕ 1 amomentsetrvačnosti Ivztahem 1 I = 1 I I 2,dostáváme pohybovourovnicireativníchkmitůkotouče I 2 vůčikotouči I 1 vetvaru I ϕ+k t ϕ=0. ϕ k 1 t I 1 I 2 ϕ 2 Obrázek 6: Důežitá poznámka: Zahrnutí hmotnosti pružin(tyčí, an, hřídeů). Způsob zahrnutí hmotnosti pružného čenu v soustavě odvodíme pro případ homogenní prizmatické tyče déky (obr.7). Odvození provedeme za patného předpokadu ineárního nárůstu výchyky mezi vetknutím a voným koncem tyče, srovnáním kinetické energie takto se pohybující tyče s kinetickou energií tuhého těesa nacházejícího se na voném konci nehmotné tyče. V místě popsaném poohou z od místa vetknutí(obr.7) vytkneme eement tyčedékydz.jestiževonýkonectyčemávýchyku atyčcekovouhmotnost m t, dz dostávámezauvedenýchpředpokadůprohmotnosttohotoeementuvztahdm=m t aprovýchykutohotoeementuvztah z = z.protožepoohováproměnná znezávisí načase,dostávámeodtudčasovouderivací ẋ z = ẋ z.prokinetickouenergiieementu pak patí z., z dz z Obrázek 7:, ẋ de k = 1 2 dm ẋ2 z= 1 2 m dz t ẋ 2z2 =1 2 2 m ẋ 2 t 3 z2 dz. Integrací po ceé déce tyče odtud pro kinetickou energii ceé tyče získáme E k = de k = 1 2 m ẋ 2 t 3 0 z 2 dz= 1 m t ẋ Odtud pyne, že náhradou hmotnosti tyče na voném konci je tuhé těeso o hmotnosti rovné třetině hmotnosti tyče. Anaogická situace bude pro homogenní hmotné pružiny i homogenní hřídee. 6

7 3. Jiné modey vedoucí na popsanou pohybovou rovnici Některé daší fyzikání modey kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti se převádějí na zákadní(netumený) podéně kmitající o pohybové rovnici m r ẍ+k r =0. Přitom déková souřadnice je vhodně zvoená souřadnice, kterou najdeme na fyzikánímmodeusoustavy.redukovanouhmotnost m r získámezbiancekinetickéenergie (E k =) 1 2 m rẋ 2 = i E ki, (12) kde E ki jekinetickáenergie i téhopohybujícíhosečenusoustavy.redukovanou tuhost k r získámezbiancepotenciáníenergiekumuovanévdeformovanýchpružinách (pružných čenech) (E p =) 1 2 k r 2 = j E pj, (13) kde E pj jepotenciáníenergie j téhodeformovanéhopružnéhočenusoustavy. Příkad: Jako příkad sestavme pohybovou rovnici voných(netumených) kmitů soustavypodeobr.8.váecpooměru r,hmotnosti m 1 aosovéhomomentusetrvačnosti I (stěžištěmvesvémstředu)sevaípovodorovnérovině.najehoobvodsenavíjívodorovnénehmotnéano,kněmužjepevněvázánotěesohmotnosti m 2.Tototěesoje připojenovodorovnou(homogenní,ineární)pružinouhmotnosti m p atuhosti kkrámu. Formuujme pohybovou rovnici soustavy. r S ϕ m, 1 I m 2 k, m P P Obrázek 8: Řešení: Déková souřadnice náhradního modeu nechť jest výchyka středu váce. KinetickáenergievaícíhosevácejepodeKönigovyvěty 1 2 (m 1ẋ 2 + I ϕ 2 ),kde ϕjeúhe natočení druhotné rotace při rozkadu pohybu váce v těžišti(středu). Kinematická podmínkavaenídávávztah ϕ= r.zvastnostipóupohybuvácevypývá,žetěeso hmotnosti m 2 mávýchyku2.odtud,přiuváženíhmotnostipružiny,pynebiance kinetické energie ve tvaru Odtud 1 2 m rẋ 2 = 1 ( m 1 ẋ 2 + I ẋ2 2 r 2+(m 2+ m ) p 3 )(2ẋ)2. m r = m 1 + I r 2+4m m p. 7

8 Potenciání energie se kumuuje pouze v deformované pružině o deformaci 2(od voné déky). Biance potenciání energie je proto triviáního tvaru odkud 1 2 k r 2 = 1 2 k(2)2, k r =4k. Pohybová rovnice dané soustavy je potom tvaru Poznámky: m r ẍ+k r =0. 1. Fyzikání mode ze rovněž převést na torzně kmitající zákadní mode s pohybovou rovnicí I r ϕ+k tr ϕ=0, kde úhovou souřadnici ϕ nutno najít na původním fyzikáním modeu. Pro redukovanýmomentsetrvačnosti I r pakpatí (E k =) 1 2 I r ϕ 2 = i E ki a pro redukovanou torzní tuhost patí (E p =) 1 2 k trϕ 2 = j E pj. Součty na pravých stranách jsou stejné jako v rovnicích(12) a(13). 2. Jestiže fyzikání mode obsahuje kromě pružných čenů paraeně řazené tumící čeny,přibývákpohybovýmrovnicímještětumícíčentvaru b r ẋ(resp. b tr ϕ), přičemž redukované tumící parametry určíme ze stejných vzorců jako redukované tuhostní parametry, když místo tuhostí píšeme přísušné tumící konstanty. Jedná se o bianci výkonu tumících účinků. Na obyčejnou diferenciání rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty, která je z hediska matematického modeu charakteristická pro kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti, vedou i jiné fyzikání modey, ve kterých se vůbec nevyskytuje žádný pružný čen. Příkadem může být netumený pohyb bóje. Mějme(komý)váecopošeprůřezu A,hmotnosti m t,kterýpavevevekénádrži skapainouhustoty ρ k vpoozesvodorovnýmipodstavami.jetedyvestatickérovnovážné pooze, kdy jeho tíha je v rovnováze se vztakovou siou kapainy vytačené objemem ponořené části váce(obr.9). Po zatačení váce vnější siou(stejné nositeky jako tíha váce) více do kapainy(nenuová poohová počáteční podmínka) a puštění z kidu dojde k posuvu váce. Zanedbáme-i třecí účinky kapainy, bude při kótování výchyky ze zmíněné statické rovnovážné poohy(obr.9) pohybovou rovnicí siová podmínka dynamickérovnováhysetrvačnéapřídavnévztakovésíy F v (dosviséhosměru).tato podmínka má tvar 8

9 .. m T F V Obrázek 9: m t ẍ+f v =0. Pro přídavnou vztakovou síu však pode Archimedova zákona patí(s ohedem na veikostnádrže) F v = gρ k A,kde gjegravitačnízrychení.zauvedenýchpodmínek proto pohybová rovnice soustavy je tvaru m t ẍ+gρ k A =0. Tojepohybovárovnicetvaru(2)skonstantoutuhosti k= gρ k A. Poznámka:Pokudbójejehomogennítěesohustoty ρ t,patíprojejíhmotnost m t = = ρ t Ah,kde hjevzdáenostpodstav(výškaváce).podosazenídopohybovérovnice tuto můžeme psát jako ẍ+ g h ρk ρ t. Pohybovou rovnici(2) ze získat rovněž inearizací jiné(neineární) pohybové rovnice, která je patná pro maé výchyky. Jako příkad uveďme pohybovou rovnici tzv. fyzikáního kyvada. A ϕ r T G I A ϕ.. Obrázek 10: Těesohmotnosti msestředemhmotnostivbodě T (obr.10)zavěsímevbodě A, aby AT = r 0. Bez působení vnějších účinků těeso zaujme stabiní rovnovážnou poohu, kdy výchyka ϕ = 0(obr.10). Vychýíme-i těeso z této poohy(nenuová poohová počáteční podmínka) eventuáně mu v této pooze uděíme počáteční úhovou rychost 9

10 (nenuová rychostní počáteční podmínka), začne se pohybovat vratným rotačním pohybem s proměnnou výchykou ϕ(obr.10). Pohybovou rovnicí je momentová podmínka dynamické rovnováhy k bodu závěsu, která má zřejmě tvar I A ϕ+mgrsin ϕ=0, kde I A jeosovýmomentsetrvačnostitěesakose,procházejícíbodemzávěsukomo na rovinu pohybu. Pokud výchyky ϕ budou maé, ze funkci sin ϕ nahradit prvním čenem jejího Tayorova rozvoje v okoí nuy. Náhrada je sin ϕ ϕ, takže inearizovaná pohybová rovnice má formu I A ϕ+mgrϕ=0. Tojepohybovárovnicetvaru(7)skonstantoutorznítuhosti k t = mgr. Poznámky: 1.ZtvaruTayorovarozvojesinuvokoínuy sin ϕ= ( 1) i+1 ϕ 2i 1 i=1 (2i 1)! pyne, že největší možná reativní chyba, jíž inearizací pohybové rovnice uděáme, máveikost ϕ2.budeme-isetedysvýchykamipohybovatvrozmezí ϕ 0.1[rad], 6 bude tato chyba menší než dvě promie. Na maimání výchyce pak tato chyba závisí kvadraticky. 2. Jestiže speciáně zavěšené těeso je homogenní tyč déky zavěšená na svém konci, jezřejmě r= 2 a I A= 1 3 m2.vpohybovérovnicizepakkrátitvýrazem matato dostane formu 3 ϕ+ g 2 ϕ=0. 10

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku. Abstrakt

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku. Abstrakt FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úoha : Měření moduu pružnosti v tahu a ve smyku Datum měření: 9. 10. 009 Jméno: Jiří Sabý Pracovní skupina: 1 Ročník a kroužek:. ročník, 1. kroužek, pátek 13:30 Spoupracovaa:

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

Kmitání struny. Jelikožpředpokládáme,ževýchylkystrunyjsoumalé,budeplatitcosϕ 1,2 1,takže můžeme psát. F 2 F 1 = F 2 u x 2 x.

Kmitání struny. Jelikožpředpokládáme,ževýchylkystrunyjsoumalé,budeplatitcosϕ 1,2 1,takže můžeme psát. F 2 F 1 = F 2 u x 2 x. Kmitání struny 1 Odvození vnové rovnice Vnovou rovnici pro(příčné) vny šířící se na struně odvodíme za předpokadu, že výchykastruny u(x, t)vrovině,vnížstrunakmitá,jemaá,cožnámumožníprovésthned někoik zjednodušení.

Více

FYZIKA I. Kyvadlový pohyb. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Kyvadlový pohyb. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STRONÍ FYZIKA I Kyvadový pohyb Prof. RNDr. Viém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Haváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Haváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí základních poznatků V celé řadě konstrukcí se setkáváme s případy, kdy o nosnosti nerozhoduje pevnost materiálu, ale stabilitní stav rovnováhy. Tuto problematiku souhrnně nazýváme stabilita

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).

Více

Měření momentu setrvačnosti

Měření momentu setrvačnosti Měření momentu setrvačnosti Úkol : 1. Zjistěte pro dané těleso moment setrvačnosti, prochází-li osa těžištěm. 2. Zjistěte moment setrvačnosti daného tělesa k dané ose metodou torzních kmitů. Pomůcky :

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

2 i i. = m r, (1) J = r m = r V. m V

2 i i. = m r, (1) J = r m = r V. m V Měření momentu setrvčnosti 1 Měření momentu setrvčnosti Úko č. 1: Změřte moment setrvčnosti obdéníkové desky přímou metodou. Pomůcky Fyzické kyvdo (kovová obdéníková desk s třemi otvory), kovové těísko

Více

ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD

ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD Šroubové spoje patří mezi rozebíratelné spoje s tvarovým stykem (lícovaný šroub), popřípadě silovým stykem (šroub prochází součástí volně, je zatížený pouze silou působící kolmo k

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Univerzita omáše Bati ve Zíně LABORAORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Název úohy: Měření tíhového zrychení reverzním a matematickým kyvadem Jméno: Petr Luzar Skupina: I II/1 Datum měření: 3.října 007 Obor: Informační

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ INFRAM a.s., Česká republika VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU Řešitel Objednatel Ing. Petr Frantík, Ph.D. Ústav stavební

Více

Tuhost mechanických částí. Předepnuté a nepředepnuté spojení. Celková tuhosti kinematické vazby motor-šroub-suport.

Tuhost mechanických částí. Předepnuté a nepředepnuté spojení. Celková tuhosti kinematické vazby motor-šroub-suport. Tuhost mechanických částí. Předepnuté a nepředepnuté spojení. Celková tuhosti kinematické vazby motor-šroub-suport. R. Mendřický, M. Lachman Elektrické pohony a servomechanismy 31.10.2014 Obsah prezentace

Více

I Mechanika a molekulová fyzika

I Mechanika a molekulová fyzika Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I Mechanika a molekulová fyzika Úloha č.: XVII Název: Studium otáčení tuhého tělesa Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12

Více

Pohyb elektronu ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli a stanovení měrného náboje elektronu

Pohyb elektronu ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli a stanovení měrného náboje elektronu Úloha 1 Pohyb elektronu ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli a stanovení měrného náboje elektronu 1.1 Úkol měření 1.Změřtezávislostanodovéhoproudu I a naindukcimagnetickéhopoleprodvěhodnotyanodovéhonapětí

Více

Clemův motor vs. zákon zachování energie

Clemův motor vs. zákon zachování energie Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí zákadních poznatků V případech příčných deformací přímých prutů- nosníků se zabýváme deformací jejich střednice, tj. spojnice těžiště příčných průřezů. Tuto deformovanou křivku nazýváme průhybová

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

Elastické deformace těles

Elastické deformace těles Eastické eformace těes 15 Na oceový rát ék L 15 m a průměru 1 mm zavěsíme závaží o hmotnosti m 110 kg přičemž Youngův mou pružnosti ocei v tahu E 16 GPa a mez pružnosti ocei σ P 0 Pa Určete reativní prooužení

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Václav Čibera 12. února 2009 1 Motivace Na obrázku 1 máme znázorněný mechanický systém, který může představovat

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

4 Spojovací a kloubové hřídele

4 Spojovací a kloubové hřídele 4 Spojovací a kloubové hřídele Spojovací a kloubové hřídele jsou určeny ke stálému přenosu točivého momentu mezi jednotlivými částmi převodného ústrojí. 4.1 Spojovací hřídele Spojovací hřídele zajišťují

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

Přednáška 10, modely podloží

Přednáška 10, modely podloží Statika stavebních konstrukcí II.,.ročník kaářského studia Přednáška, modey podoží Úvod Winkerův mode podoží Pasternakův mode podoží Nosník na pružném Winkerově podoží, řešení OD atedra stavební mechaniky

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

Mechatronické systémy s krokovými motory

Mechatronické systémy s krokovými motory Mechatronické systémy s krokovými motory V současné technické praxi v oblasti řídicí, výpočetní a regulační techniky se nejvíce používají krokové a synchronní motorky malých výkonů. Nejvíce máme možnost

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Diferenciální geometrie křivek

Diferenciální geometrie křivek Diferenciání geometrie křivek Poární souřadnice Kartézské souřadnice Poární souřadnice. y y M r M f x x rcosf y r sin f, r r x x y y f arctan x 1 Spiráy Archimedova spiráa r af r ae Logaritmická spiráa

Více

3.9. Energie magnetického pole

3.9. Energie magnetického pole 3.9. nergie agnetického poe 1. Uět odvodit energii agnetického poe cívky tak, aby bya vyjádřena poocí paraetrů obvodu (I a L).. Znát vztah pro energii agnetického poe cívky jako funkci veičin charakterizujících

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Theory Česky (Czech Republic)

Theory Česky (Czech Republic) Q1-1 Dvě úlohy z mechaniky (10 bodíků) Než se pustíte do řešení, přečtěte si obecné pokyny ve zvláštní obálce. Část A. Ukrytý disk (3,5 bodu) Uvažujeme plný dřevěný válec o poloměru podstavy r 1 a výšce

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

Základy podmíněné matematické optimalizace

Základy podmíněné matematické optimalizace Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě

Více

ZÁKLADY ŘÍZENÍ ENERGETICKÝCH STROJŮ

ZÁKLADY ŘÍZENÍ ENERGETICKÝCH STROJŮ INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 1. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 ZÁKLADY ŘÍZENÍ ENERGETICKÝCH STROJŮ

Více

Technická univerzita v Liberci

Technická univerzita v Liberci Technická univerzita v Liberci Fakulta strojní Marek Holík Měření obráběcích sil a tuhosti konstrukce prototypu CNC stroje Bakalářská práce 2010 Technická univerzita v Liberci Fakulta strojní Katedra výrobních

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

1.7 Magnetické pole stacionárního proudu

1.7 Magnetické pole stacionárního proudu 1.7 Magnetické poe stacionárního proudu Pohybující se e. náboje (e. proud) vytvářejí magnetické poe. Naopak poe působí siou na pohybující se e. náboje. 1.7.1 E. proud, Ohmův zákon v diferenciáním tvaru

Více

Světlo v multimódových optických vláknech

Světlo v multimódových optických vláknech Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý

Více

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní snímače průtoku Rychlostní snímače průtoku vyhodnocují průtok nepřímo měřením střední rychlosti proudu tekutiny v STŘ. Ta závisí vzhledem k rychlostnímu

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3, 4, 5, 7), M. Jarešová (6)

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3, 4, 5, 7), M. Jarešová (6) Řešení úoh 1. koa 60. ročníku fyzikání oympiády. Kategorie B Autoři úoh: J. Thomas (1, 2, 3, 4, 5, 7), M. Jarešová (6) h 1.a) Protože vzdáenost bodů K a O je cos α, je doba etu kuičky z bodu K do bodu

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI 2009 Tomáš BOROVIČKA B.11

MOMENT SETRVAČNOSTI 2009 Tomáš BOROVIČKA B.11 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta biomedicínského inženýrství LABORATORNÍ PRÁCE MOMENT SETRVAČNOSTI 2009 Tomáš BOROVIČKA B.11 Obsah ZADÁNÍ... 4 TEORIE... 4 Metoda torzních kmitů... 4 Steinerova

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Únosnosti stanovené níže jsou uvedeny na samostatné stránce pro každý profil.

Únosnosti stanovené níže jsou uvedeny na samostatné stránce pro každý profil. Směrnice Obsah Tato část se zabývá polyesterovými a vinylesterovými konstrukčními profily vyztuženými skleněnými vlákny. Profily splňují požadavky na kvalitu dle ČSN EN 13706. GDP KORAL s.r.o. může dodávat

Více

= T = 2π ω = 2π 12 s. =0,52s. =1,9Hz.

= T = 2π ω = 2π 12 s. =0,52s. =1,9Hz. XIII Mechanicé itání Příad 1 Těeso itá haronicy s periodou 0,80 s, jeho apituda je 5,0 c a počátečnífáze nuová Napište rovnici itavého pohybu /y = 0,05 sin, 5πt) / Stručné řešení: Patí T = 0,8 s = ω =

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu

plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu Úloha 4: Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 2.11.2009 Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 11 Ročník

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

OVMT Měření základních technických veličin

OVMT Měření základních technických veličin Měření základních technických veličin Měření síly Měření kroutícího momentu Měření práce Měření výkonu Měření ploch Měření síly Hlavní jednotkou síly je 1 Newton (N). Newton je síla, která uděluje volnému

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících se materiálu

Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících se materiálu ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická katedra řídicí techniky Technická 2, 166 27 Praha 6 13. listopadu 2009 Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících

Více

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch 1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Funkce pružiny se posuzuje podle průběhu a velikosti její deformace v závislosti na působícím zatížení.

Funkce pružiny se posuzuje podle průběhu a velikosti její deformace v závislosti na působícím zatížení. Teorie - základy. Pružiny jsou konstrukční součásti určené k zachycení a akumulaci mechanické energie, pracující na principu pružné deformace materiálu. Pružiny patří mezi nejvíce zatížené strojní součásti

Více

VLIV TUHOSTI PÍSTNÍHO ČEPU NA DEFORMACI PLÁŠTĚ PÍSTU

VLIV TUHOSTI PÍSTNÍHO ČEPU NA DEFORMACI PLÁŠTĚ PÍSTU 68 XXXIV. mezinárodní konference kateder a pracovišť spalovacích motorů českých a slovenských vysokých škol VLIV TUHOSTI PÍSTNÍHO ČEPU NA DEFORMACI PLÁŠTĚ PÍSTU Pavel Brabec 1, Celestýn Scholz 2 Influence

Více

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako

Více

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D. Dosazením do rovnice(1) a úpravou dostaneme délku vlaku

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D. Dosazením do rovnice(1) a úpravou dostaneme délku vlaku Řešení úoh koa 49 ročníku fyzikání oympiády Kategorie D Autořiúoh:JJírů(,3,4,5,6,),TDenkstein(), a) Všechny uvažované časy jsou měřené od začátku rovnoměrně zrychené pohybu vaku a spňují rovnice = at,

Více

Teoretickámechanika. Jiří Langer a Jiří Podolský. Studijní text k přednášce NOFY003

Teoretickámechanika. Jiří Langer a Jiří Podolský. Studijní text k přednášce NOFY003 Teoretická mechanika Jiří Langer a Jiří Podoský Studijní text k přednášce NOFY3 Teoretickámechanika Ústav teoretické fyziky Matematicko-fyzikání fakuta Univerzita Karova v Praze istopad 213 c Jiří Langer,

Více

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Řešení úoh 1 koa 49 ročníku fyzikání oympiády Kategorie A Autořiúoh:JJírů(1),PŠedivý(,,4,5,7),BVybíra(6) 1a) Při vobě směrů proudů pode obrázku sestavíme pode Kirchhoffových zákonů rovnice: R U e1 = R

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem Odděení fyzikáních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. úohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem Pracova: Lukáš Ledvina stud.skup.14 dne:16.10.2009 Odevzdadne: Možný počet

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA .5. OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA.5. ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB Fz F Z výsednce zrychujících s F m.a n m a t a n r z F Zrychující moment M F. r F. r z z z m.a t r6,5cm ρ r ω,ε r

Více

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace.

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné

Více

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2 Fyzikální sekce přírodovědecké faklty Masarykovy niverzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikm 2 Zpracoval: Jakb Jránek Naměřeno: 24. září 2012 Obor: UF Ročník: II Semestr: III Testováno: Úloha

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

excentrický klikový mechanismus, vyvažování klikového mechanismu, torzní kmitání, vznětový čtyřválcový motor

excentrický klikový mechanismus, vyvažování klikového mechanismu, torzní kmitání, vznětový čtyřválcový motor ABSTRAKT, KLÍČOVÁ SLOVA ABSTRAKT Cílem diplomové práce je vyhodnocení vlivu excentricity klikového mechanismu na síly působící mezi pístem a vložkou válce pro zadaný klikový mechanismu. Následně je vyšetřen

Více

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS

Více

3.2. Elektrický proud v kovových vodičích

3.2. Elektrický proud v kovových vodičích 3.. Elektrický proud v kovových vodičích Kapitola 3.. byla bez výhrad věnována popisu elektrických nábojů v klidu, nyní se budeme zabývat pohybujícími se nabitými částicemi. 3... Základní pojmy Elektrický

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více