Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky"

Transkript

1 Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michaela Kurková Dvouvýběrový T-test v případě estejých rozptylů Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Ig. Marek Omelka Studijí program: Obecá matematika, Matematická statistika 006

2 Děkuji Ig. Markovi Omelkovi za ceé rady při psaí bakalářské práce, trpělivost a ochotu. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci apsala samostatě a výhradě s použitím citovaých prameů. Souhlasím se zapůjčováím práce a jejím zveřejňováím. V Praze de Michaela Kurková

3 Obsah Úvod 5 Dvouvýběrový t-test 6. Vlastosti testové statistiky T v případě porušeí předpokladu shody rozptylů Testy při erovosti rozptylů Pricip modifikace t-testu pro estejé rozptyly Kokrétí modifikace t-testu 3. Satterthwaiteův test Welchův test Ověřeí Bootstrap 7 6 Závěr 9 Literatura 0 3

4 Název práce: Dvouvýběrový T-test v případě estejých rozptylů Autor: Michaela Kurková Katedra (ústav): Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Ig. Marek Omelka vedoucího: Abstrakt: V této práci se zabýváme problémem testováí shody průměrů dvou ezávislých áhodých výběrů, které mají ormálí rozděleí. Zaměřujeme se především a případ, kdy se rozptyly těchto výběrů eshodují. Zjišt ujeme asymptotické vlastosti daé testové statistiky a a základě toho určujeme, jak je ovlivě výsledek testu, pokud jsou velikosti výběrů estejé a zároveň jsou rozptyly růzé. Popíšeme metodu, a které jsou založey modifikace t-testu, z ichž kokrétě uvedeme Welchův a Satterthwaiteův test. Na závěr uvedeme jedo moderí řešeí, zámé pod pojmem bootstrap. Klíčová slova: dvouvýběrový t-test, Behres-Fisherův problém, Welchův test Title: Two-sample T-test i the case of uequal variaces Author: Michaela Kurkova Departmet: Departmet of Probability ad Mathematical Statistics Supervisor: Ig. Marek Omelka Supervisor s address: Abstract: I this work we are cocered with the problem of testig the equality of the meas from the two idepedet ormally distributed populatios. We cocetrate maily o situatio whe the populatio variaces are uequal. We study the asymptotic characteristics of test criterio T ad o the basis of these results we determie robustess of the two-sample t-test whe the sample size are uequal. I this situatio it is appropriate the Welch test or Satterthwaite test, evetually the bootstrap test, which ca be combied with Welch test. Keywords: two-sample t-test, Behres-Fisher problem, Welch test

5 Kapitola Úvod Řešíme situaci, kdy máme dva ezávislé áhodé výběry o velikosti m,, které mají ormálí rozděleí se středími hodotami µ, µ a rozptyly σ, σ. Za situace, kdy se rozptyly eshodují, testujeme ulovou hypotézu H 0, že µ = µ a předem staoveé hladiě. Teto problém je též zámý jako Behres-Fisherův. Pro dvouvýběrový t-test jsou ezbyté předpoklady ezávislosti, ormality a shody rozptylů, aby byla zaručea spolehlivost testu. Nicméě to se stává v praxi zřídka. Budeme se tedy zabývat otázkou, jak porušeí těchto předpokladů, zejméa shody rozptylů, ovlivňuje spolehlivost dvouvýběrového t-testu. V literatuře se odpovědi a tyto otázky růzí. Můžeme ajít příklady, viz Bradley (980), kdy je test začě erobustí. Nicméě simulace ukazují, že především pro výběry stejých velikostí je t-test dostatečě robustí. Pro případ, kdy ezáme rozptyly, se používají růzé modifikace t-testu. V této práci se budeme blíže zabývat dvěma modifikacemi, zámými jako Satterthwaiteův a Welchův test. Nedoporučuje se rozhodovat, zda použít dvouvýběrový t-test ebo ějakou z jeho modifikací a základě předběžého testu rozptylů (viz Moser, Steves, 99). Nakoec zmííme další ze způsobů, jak testovat ulovou hypotézu. Kombiaci bootstrapové metody s Welchovým testem. 5

6 Kapitola Dvouvýběrový t-test Necht X,...,X m je áhodý výběr z N(µ, σ ) a echt Y,...,Y je áhodý výběr z N(µ, σ ). Necht přitom m,, σ > 0, σ > 0. Předpokládejme, že oba výběry jsou a sobě ezávislé a σ = σ. Ozačme X = S X = S Y = Potom platí, že áhodá veličia m X i, Y = Y i m i= i= m (X i X) m i= (.) (Y i Y ) (.) i= T = X Y (µ µ ) m (m + m ) (m )SX + ( )SY m + má rozděleí t m+ (viz Aděl, 998, str.87). Chceme testovat hypotézu H 0 : µ = µ proti její alterativě H : µ µ. Jestliže je T t m+ (α) zamítáme hypotézu H 0 a zvoleé hladiě α. Je zámo, že test založeý a statistice T je za daých předpokladů ejlepší (přesěji stejoměrě ejsilější estraý), jak uvádí Jurečková (98), str. 80. Optimalita tohoto testu je těsě svázáa s předpokladem ormality a shodosti rozptylů. Zabývejme se yí otázkou, jak se chová T v případě porušeí těchto předpokladů. Poste (98) poukazuje a to, že můžeme v růzé literatuře ajít ejasosti týkající se podmíek, při kterých jsou testy robustí a při kterých e. Například ěkteré čláky ukazují, že dvouvýběrový t-test je zcela robustí vzhledem k odchylkám od ormality i vzhledem k odchylkám od shody rozptylů (zejméa pokud jsou velikosti výběrů stejé ebo téměř stejé). Na druhé straě můžeme ajít případy, kdy je t-test erobustí. Jedá se však o situace, kdy je rozděleí již velmi vzdáleo ormálímu rozděleí. Přes 6

7 tyto výjimky, pokud edojde u áhodých výběrů k extrémím odchylkám od ormality, simulace ukazují, že dvouvýběrový t-test eí příliš citlivý a odchylky od ormality.. Vlastosti testové statistiky T v případě porušeí předpokladu shody rozptylů Pro základí představu o chováí statistiky T v případě estejých rozptylů ejprve zjistíme, jaké rozděleí bude mít asymptoticky. Víme, že X Y (µ µ ) N(0, ) σ + σ m Podle Dupač, Hušková (003), Věta 5.. a Věta 5.9. platí, že SX proto S s.j. X σ. Obdobě S s.j. Y σ. Předpokládejme, že m, a m λ. Potom s.j. σ a (m )S X + ( )S Y m + a dále = (m )S X m + + ( )S Y m + s.j. λ λ + σ + λ + σ σ + σ m m+ m σ + λσ λ + S využitím předchozího a Věty. z Dupač, Hušková (003) dostáváme T = X Y (µ µ ) (m )S X +( )S Y m+ m+ m = X Y (µ µ ) σ d N ( m + σ 0, σ + λσ λσ + σ ) σ + σ m (m )S X +( )S Y m+ m+ m (.3) Z (.3) je patro, že abychom mohli sestavit test, který alespoň asymptoticky dodržuje předepsaou hladiu, stačilo by ám zát poměr rozptylů θ := σ /σ. Tato situace je však v praxi velmi řídká. 7

8 Nyí se zabývejme vlastostmi statistiky T v závislosti a hodotě θ a poměru velikostí výběrů. Asymptotický rozptyl testové statistiky T lze dle (.3) přepsat jako AVarT = θ + λ λθ + Obr.: Asymptotická hladia testu při růzých hodotách λ (λ = m/, α = 0, 05 je předepsaá hladia testu a θ =, (θ = tečkovaě)) Hladia testu lambda Z obrázku vidíme, že pokud je poměr θ blízký, tak se hladia testu i při růzých velikostech výběrů příliš eliší od předepsaé hladiy testu. Pokud je λ = (t.j. m = ), potom AVarT =. Tedy pokud výběry mají stejé velikosti, erovost rozptylů asymptoticky eovlivňuje hladiu testu. Jestliže jsou velikosti výběrů téměř rovy, t-test zachovává asymptoticky předepsaou hladiu testu i pro velké rozdíly rozptylů. Simulace potvrzují, že to platí i pro malé rozsahy výběrů, jak je vidět apř. v tabulce. Tabulka ukazuje maximálí chybu v předpokládáé hladiě testu. Tedy apř. pro m = = 5 a α = 0, 05 maximálí chyba v předpokládaé dosažeé hladiě (0,05) je 0, Proto skutečá dosažeá hladia ebude vyšší o více ež 0,0098 od předpokládáé hladiy, ezávisle a poměru rozptylů θ. 8

9 Tabulka (viz Poste, 98) α = 0, 05 α = 0, 0 α = 0, 05 α = 0, 0 ε ε ε ε 0,095 0, ,0098 0, ,0589 0,03 0 0,007 0,0038 0,09 0,0 5 0,0057 0, ,03 0, ,008 0, ,063 0, ,008 0, ,0 0,0 00 0,00 0, ,09 0, ,0003 0, ,068 0, ,000 0, ,050 0,008 0,0000 0,000 Následující simulace ukazuje, jak se chová t-test, pokud ejsou velikosti áhodých výběrů stejé. Udává maximálí oblasti hodot θ, přes které se skutečá dosažeá hladia eodchyluje od předpokládaé hladiy α o více ež ε. Jestliže je teto rozsah θ velký, potom je v praxi t-test robustí a hladiě ε. Vidíme, že čím více se liší velikosti áhodých výběrů, tím více t-test ztrácí a robustosti. Pokud se liší o více ež 0 procet, musíme být opatrější s použitím t-testu. Problémem také je, jestliže je větší rozptyl přidružeý k meší velikosti výběru. Někdy však již při pláováí experimetu víme, ve kterém souboru je větší rozptyl. Pak můžeme hladiu robustosti výzamě zlepšit tím, že ze souboru s větším rozptylem vybereme více jedotek. Z tabulky můžeme vidět, že apř. pro m = 7, = 33 (tedy pokud se velikosti výběrů liší o 0 procet) je maximálí oblast poměru θ 0,00 36,95. V této oblasti se tedy skutečá dosažeá hladia testu eodchýlí o více ež ε = 0, 03 od předpokládáé hladiy α = 0, 05. Tabulka (viz Poste, 98) α = 0, 05 ε = 0, 03 m θ m θ m θ 5 5 0,0-85,63 6 0,00 -, ,00-9 0,00-8,33 8 0,00-3, ,00-6 0,00-8 0,00-3, ,00-8 0,00-7,58 6 0,00-3, , , ,0-3, , ,00-36, ,03-3, , ,00-0, 3 8 0,06-3, , , ,05-3, 9

10 ε = 0, 0 m θ m θ m θ 5 5 0,09 -,33 6 0,00 -, 0 0 0,00-9 0,00 -,0 8 0, -, ,00-6 0,00-9,3 8 0,6 -, ,00-8 0,00 -,95 6 0,8 -, 5 5 0, ,00-3, ,9 -, , ,00-5, ,30 -, , ,00-5, ,3 -, , ,00-6, ,3 -,5. Testy při erovosti rozptylů V případě erovosti rozptylů se v základích učebicích statistiky doporučuje použít Satterthwaiteův ebo Welchův test, což jsou modifikace dvouvýběrového t-testu. Skutečým problémem ale eí, jestli jsou rozptyly růzé, ale jestli je zámý jejich poměr. Teto poměr je však v praxi je zřídka zám. Při výběru vhodého testu pro testováí shody středích hodot µ a µ se rozhodujeme podle iformací, které máme o rozptylech, a podle velikostí obou áhodých výběrů. Pokud jsou velikosti výběrů stejé, Satterhwaiteův/Welchův test a t-test mají stejé velikosti a téměř stejé síly testu. Kdykoli jsou velikosti výběrů estejé a poměr θ je zámý a blízký, t-test poskytuje velkou sílu testu. Proto je v takovémto případě t-test vhodý. Dále jestliže ejsou velikosti výběrů stejé a poměr θ eí zámý ebo je růzý od je vhodé použít Satterhwaiteův/Welchův test, protože t-test může mít velkou velikost v případě, že θ je růzé od. Z toho také vyplývá, že v případě, že ezáme poměr rozptylů, eí uté provádět předběžý test jejich rovosti, viz Moser a Steves (99). Neježe je takovýto test adbytečý, ale další evýhodou je, že stadardí testy a rovost rozptylů založeé a poměru S X/S Y jsou velice citlivé a odchylky od ormality a avíc ezamítutí hypotézy H 0 u tohoto testu ezameá, že rozptyly jsou opravdu shodé (hlavě pro evelké rozsahy výběru). 0

11 Kapitola 3 Pricip modifikace t-testu pro estejé rozptyly Připomeňme, že předpokládáme, že X,...,X m mají ormálí rozděleí N(µ, σ), Y,...,Y mají ormálí rozděleí N(µ, σ) a oba áhodé výběry jsou a sobě ezávislé. Testujeme hypotézu H 0 : µ = µ proti alterativě H : µ µ. Je přirozeé založit test a X Y. Teto rozdíl má za hypotézy H 0 rozděleí N(0, σ + σ m ). Nestraým a kozistetím odhadem σ + σ m je S = m S X + S Y, (3.) kde SX a SY je defiováo v (.) a (.). Zdá se tedy přirozeé použít testovou statistiku T = X Y. Nezáme S však přesé rozděleí statistiky T za H 0 a proto ejsme schopi určit kritické hodoty pro tuto statistiku. Dále astííme myšleku, jak toto rozděleí aproximovat. Přepíšeme-li T do tvaru T = X Y S = pak má čitatel N(0, ) rozděleí. X Y σ + σ m K, kde K = S σ +, (3.) σ m Satterthwaite (96) avrhl aproximovat rozděleí statistiky K pomocí rozdě-leí áhodé veličiy r s Z rs, kde Z rs má χ -rozděleí o r s stupích volosti. Sado ahlédeme, že E(K) = a E( r s Z rs ) =. Počet stupňů volosti áhodé veličiy Z rs volíme tak, aby ( ) vark = var rs rsz (3.3)

12 Pro výpočet pravé a levé stray v (3.3) připomeňme, že jestliže áhodá veličia U má rozděleí χ o r stupích volosti, pak var U = r. Levá straa (3.3) se tedy rová var Z rs = r s r s = r s Pro výpočet pravé stray (3.3) využijeme toho, že (m )S X σ má rozděleí χ m (3.) ( )S Y σ má rozděleí χ Pro jedoduchost zápisu si ozačme ξ := ( ) σ m + σ (3.5) Počítejme var K = var S σ + σ m = var S ξ = ( ξ S mvar X + ) var S Y = ( ( S ξ m var X (m ) σ ) σ m = ( ξ m σ m + ) σ + var ( S Y ( ) σ σ )) Porováím vark a var ( r s Z rs ) dostaeme, že počet stupňů volosti áhodé veličiy Z rs by měl splňovat r s = ( ) σ m + σ σ m (m ) + σ ( ) (3.6) Tedy statistika K má podle aší aproximace přibližě (/r s )χ r s rozděleí a tudíž T má přibližě t rozděleí o r s stupích volosti. Ve vzorci (3.6) se ale vyskytují ezámé rozptyly σ a σ. Následující testy jsou vpodstatě je růzými ávrhy, jak teto teoreticky optimálí počet stupňů volosti r s odhadout.

13 Kapitola Kokrétí modifikace t-testu. Satterthwaiteův test Jelikož víme, že E SX = σ a E SY = σ, SX s.j. σ a SY s.j. σ, avrhl Satterthwaite ahradit ezámé σ, σ ve vzorci (3.6) jejich estraými a kozistetími odhady SX, SY r s = S SX m (m ) + SY ( ) Satterhwaiteův test zamítá H 0 v případě, že T t rs (α). Welchův test Welchův test využívá ásledujícího odhadu r s : r s = S SX m (m + ) + SY ( + ) (.) Teto odhad sice eí tolik ituitiví jako Satterthwaiteův, ale jeho odvozeí je ásledující. Přepišme r s = ( S X S Y S m (m + ) + ( + ) SX m (m + ) + SY ( + ) ) (.) Ukážeme, že čitatel (.) je estraý odhad čitatele z (3.6) a jmeovatel (.) je estraý odhad jmeovatele z (3.6). 3

14 Ze zalosti středí hodoty a rozptylu χ -rozděleí, z (3.) a ze zámé rovosti EX = var X + (EX) vyplývá, že ES X = E ( S X (m ) σ = σ (m + ) (m ) σ ) = m σ (m ) ( (m ) + (m ) ) (.3) Obdobě získáme ES Y = σ ( + ) ( ) Ozačme středí hodotu čitatele (.) jako A a středí hodotu jmeovatele (.) jako B. Pak ( A = E m S X + ) ( S S X Y E m (m + ) + ( S = E X m + S XS ) ( Y m + S Y SX E m (m + ) + ( σ = (m + ) m (m ) + σ ) ( σ m + σ ( + ) ( ) = σ = m + σ σ m + σ ( ) σ m + σ SY ) ( + ) S Y ( + ) ) σ m (m ) + σ ( ) ) B = σ m (m ) + σ ( ) Počet stupňů volosti r s z (3.6) se tedy vskutku rová A B..3 Ověřeí Nyí se pokusíme ukázat, že aproximace rozděleí statistiky T pomocí t-rozdělí s r s stupi volosti, které jsou dáy pomocí (3.6), má opodstatěí. Toto ověřeí je ale pouze heuristikou (bylo by třeba ještě ukázat, že E SX σ 3 = O ( /m 3/) a E SY σ 3 = O ( / 3/) ). Máme Pomocí (.3) vypočteme T = X Y S, kde S = SX m + S Y E(S X σ ) = ES X ES Xσ + σ = E(S X) σ = σ (m )

15 σ ( ). Obdobě dostaeme E(SY σ) = Ozačme H(t) distribučí fukci áhodé veličiy T (viz (3.)). Potom: H(t) = P(T t) = E S P(T t S) = E S P(X Y ts S) = E S P X Y ts ts = E σ S Φ t = E S Φ + σ m SX m + S Y σ + σ m σ m + σ S oz. = g(s X, S Y ), σ + σ m kde Φ(t) je distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí. Ozačme ξ stejě jako v (3.5). Fukci g(s X, S Y ) rozvieme v Taylorovu řadu kolem bodu (σ, σ ): { t H(t) = E S Φ(t) + ϕ(t) ξ m (S X σ) + ϕ(t) t ξ (S Y σ) + ϕ (t) t (ξ) m (S X σ) ϕ(t) t (ξ) m (S X σ) + ϕ (t)t ϕ(t)t (ξ) m (S X σ)(s Y σ) + ϕ (t)t ϕ(t)t (ξ) (S Y σ ) + O( S X σ 3 + S Y σ 3 ) } = Φ(t) ϕ (t)t ϕ(t)t 8ξ m σ m ϕ (t)t ϕ(t)t 8ξ σ + O ( = Φ(t) (t3 + t)ϕ(t) m 3 ( σ m + σ ) σ m (m ) + σ ( ) ) ( ) + O 3 ( ) ( ) + O + O m 3/ 3/ Tedy H(t) = Φ(t) (t3 + t)ϕ(t) ( ) ( ) + O + O, (.) r s m 3/ 3/ kde ϕ(t) je hustota ormovaého ormálího rozděleí. Ve výpočtu jsme využili toho, že ϕ (t) = t ϕ(t). 5

16 Necht áhodá veličia Z v má t rozděleí o v stupích volosti. Pak obdobým postupem dostaeme P(Z v t) = Φ(t) (t3 + t)ϕ(t) Porováme-li (.) a (.5) v případě, že v = r s, pak ( ) v + O. (.5) v 3/ ( ) ( ) P(T t) P(Z rs t) = O + O. m 3/ 3/ 6

17 Kapitola 5 Bootstrap Jako posledí uvedeme jedu z moderích, ale výpočetě áročých, metod. Mějme stejou situaci jako v úvodu kapitoly 3 s testovou statistikou T a výběrovými rozptyly SX, SY a testujme ulovou hypotézu H 0 : µ = µ proti její alterativě H : µ µ a hladiě α. Jelikož za ulové hypotézy záme rozděleí X Y ( N(0, σ + σ m )), můžeme bez újmy a obecosti předpokládat, že µ = µ = 0. Pokud bychom zali rozptyly σ a σ, postupovali bychom podle ásledujícího bootstrapového algoritmu:. pro i =,...,B a. ageeruj výběr X,...,Xm z N(0, σ) a Y,...,Y z N(0, σ) b. spočti statistiku Ti podle T i = X Y S X m kde S X = m + S Y m i=. odhadi P-hodotu pomocí, (Xi X ), SY = p = + B i= I{ T i > T } B + 3. zamíti ulovou hypotézu, pokud p α. (Yi Y ) i= Pro B dostatečě velké získáme velmi přesé řešeí. Protože ale většiou rozptyly ezáme, ahradíme je ám zámými odhady SX, SY. A tudíž v bodě.a. geerujeme výběr X,...,Xm z N(0, SX) a obdobě výběr Y,...,Y z N(0, SY ). Dá se dokázat (viz Bera, 988), že teto test je ve smyslu dodržeí předepsaé hladiy stejě přesý jako test Welchův ebo Satterthwaitův. 7

18 Podle Bera (988) zlepšíme předchozí metodu kombiací s Welchovým testem. Algoritmus takového testu by pak byl:. pro i =,...,B a. ageeruj výběr X,...,X m z N(0, σ ) a Y,...,Y m z N(0, σ ) b. spočti statistiku T i a odhad stupňů volosti h i c. spočti P-hodotu p i = [ G h i ( T i )], kde G h je distribučí fukce t-rozděleí o h stupích volosti (h je z (.)). odhadi skutečou P-hodotu pomocí p = + B i= I{p i < p T }, B + kde p T = [ G rs ( T i )] 3. zamíti ulovou hypotézu, pokud p α. Výsledky malé umerické studie provedeé v Bera (988) však eazačují, že by teto druhý postup, i když je teoreticky asymptoticky přesější, přiesl ějaké podstaté zlepšeí. Důvodem však je, jak azačují četé umerické studie, že Welchův, Satterthwaiteův či bootstrapový test již fugují velmi dobře. 8

19 Kapitola 6 Závěr Rozebrali jsme ěkteré z možostí, jak řešit Behres-Fisherův problém. Zjistili jsme, jak erovost rozptylů áhodých výběrů z ormálího rozděleí ovlivňuje spolehlivost t-testu a jak se a spolehlivosti odráží růzé velikosti výběrů. Citovaé simulace potvrzují, že pro stejé velikosti výběrů je t-test dostatečě spolehlivý a zachovává asymptoticky předepsaou hladiu testu i při velkých rozdílech rozptylů a oproti svým modifikacím je v tomto případě t-test silější. Jestliže se ale velikosti výběrů výzaměji liší, je již vhodé použít ěkterou z modifikací t-testu, popř. v posledí kapitole uvedeý bootstrapový test ebo kombiaci bootstrapového testu s testem Welchovým. Tyto testy sice emají takovou sílu testu jako t-test, ale velmi dobře dodržují předepsaou hladiu i při růzých rozptylech. Dobrý test by však kromě dodržováí předepsaé hladiy měl mít velkou sílu. Dle ašich současých zalostí však výsledky tohoto typu v literatuře bud chybějí ebo alespoň ejsou sado objevitelé. Bylo by jistě zajímavé srovat avržeé testy dle jejich síly. To je však již ad rámec této práce. 9

20 Literatura [] Aděl J.: Statistické metody, Matfyzpress, Praha, 998. [] Bera R..: Prepivotig test statistics: A bootstrap view of asymptotic refiemets, J. Amer. Statist. Assoc. 83 (988), [3] Bradley J. V.: Norobustess i classical tests o meas ad variaces: a large scale study, Bulleti of the Psychoomic Society 5 (980), [] Dupač V., Hušková M.: Pravděpodobost a matematická statistika, Nakladatelství Karolium, Praha, 003. [5] Jurečková J.: Testy parametrických hypotéz, SPN, Praha, 98. [6] Moser B. K., Steves G. R.: Homogeeity of Variace i the Two- Sample Meas Test, The America Statisticia 6 (99), 9. [7] Poste H. O.: Robustess of the Two-Sample T-Test, Robustess of statistical methods ad oparametric statistics, Reidel VEB Deutscher Verlag der Wisseschafte, Dordrecht, 98, [8] Satterthwaite F. E.: A Approximate Distributio of Estimates of Variace Compoets, Biometrics Bulleti (96), 0. [9] Welch B. L.: The Sigificace of the Differece Betwee Two Meas whe the Populatio Variaces are Uequal, Biometrika 9 (938),

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kateřia Jaoušková Dvouvýběrové testy Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4 Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v raze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ RÁCE avel ejřimovský rofilová věrohodost Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce : Studijí program : Studijí

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Testy homoskedasticity v lineárním modelu

Testy homoskedasticity v lineárním modelu Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE

FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT OF MATHEMATICS FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

VaR analýza citlivosti, korekce

VaR analýza citlivosti, korekce VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Přednáška II. Lukáš Frýd

Přednáška II. Lukáš Frýd Předáška II Lukáš Frýd ҧ ҧ Statistické vlastosti odhadu pomocí metody ejmeších čtverců b 1 iid(μ, σ ) ε~iid(0, σ ) b 1 = β 1 + σ i=1 x i x. ε x i xҧ σ i=1 Var b 1 = Var β 1 + σ i=1 x i x. ε i x i xҧ σ

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

PoznÁmky k přednášce

PoznÁmky k přednášce NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje

Více