Nelineární regrese v chemické kinetice

Transkript

1 Kaedra eoreické a fyzikální chemie, Přírodovědecká fakula MU, rno Nelineární regrese v chemické kineice Miroslav Holík F 457/999

2

3 Obsah Úvod Čás - Regresní rovnice. Lineární regrese. Vícerozměrná lineární regrese 3. Nelineární regrese 4. Saisické esování regresních paramerů Čás Inegrované kineické rovnice. Unimolekulární vraná reakce. imolekulární reakce 3. Enzymově kaalyzovaná reakce Čás 3 Výpočové programy. Nelin: exponenciální regrese s Taylorovým rozvojem. Simpl: exponenciální regrese s modifikovaným simplexem 3. Rada: nelineární regrese s Taylorovým rozvojem 4. Michme: nelineární regrese s Taylorovým rozvojem 3

4 Úvod V chemické kineice se časo sekáváme s rovnicemi, keré, pokud jsou použiy pro regresní odhad paramerů, jsou vzhledem k ěmo paramerům nelineární a nelze edy na ně aplikova posupy lineární regrese. Nejčasější řešení spočívá v ransformaci ěcho rovnic na lineární var buď jejich inverzí nebo zlogarimováním. To ovšem s sebou přináší problémy, keré si běžný uživael akové zlinearizované rovnice řeba vůbec neuvědomuje. Obecně lze regresní rovnici napsa ako: () y f(x,β) + ε kde y jsou naměřené hodnoy zv. vysvělované neboli závislé promměnné, x jsou nasavené (zvolené) hodnoy vysvělující neboli nezávislé proměnné, β jsou neznámé paramenry (koeficieny úměrnosi), keré pomocí regrese odhadujeme ak, aby souče druhých mocnin reziduálů ε byl co nejmenší. Reziduály předsavují náhodné chyby při měření hodno veličiny y a předpokládá se o nich, že mají konsanní rozpyl a nulovou sřední hodnou. () E( ε ) σ E( ε ) Každá nelineární ransformace ransformuje aké yo reziduály, což vede k omu, že předpoklady pro regresi (.j. rovnice ) nejsou splněny. To se může projevi na výsledných hodnoách odhadů paramerů β, keré nejsou z hlediska původní nelineární regrese opimální a hodnoy y calc, vypočíané z hodno x a ěcho odhadů β, se mohou značně liši od hodno y exp získaných měřením. Proo je vhodnější voli pro odhad paramerů β raději někerou z meod nelineární regrese. Někeré z časěji používaných kineických rovnic jsou uvedeny v omo spisku. 4

5 ČÁST. REGRESNÍ ROVNICE. Lineární regrese V praxi se časo sekáváme s případy, kdy měřená veličina je lineární funkcí jedné nebo více nasavielných veličin; nejjednodušší případ nasane ehdy, je-li měřená veličina závislá na jedné veličině nezávislé a úkolem je sanovi míru éo závislosi. (3) y i a + bx i + ε i Experimenálně edy naměříme pro řadu hodno x (i až n) řadu závislých proměnných y (i až n) a výpočem určíme opimální hodnoy paramerů a a b ak, aby souče druhých mocnin reziduálů ε i byl minimální. Vzhledem k omu, že jednolivá měření jsou zaížena chybou, je řeba vyhodnoi věší poče dvojic měření a o minimálně ři na jeden opimalizovaný paramer. Posup výpoču: - pro hodnoy x i a y i vypočíáme arimeické průměry x p a y p (nezaokrouhlujeme!). - hodnoy x i a y i cenrujeme, zn. od každé odečeme odpovídající průměr x ic x i - x p, y ic y i - y p. - vypočíáme součy součinů cenrovaných hodno Σ (x ic ), Σ (y ic ) a Σ (y ic *x ic ) - paramery a a b pak počíáme dle ěcho vzahů: (4) b Σ (y ic *x ic ) / Σ (x ic ) (5) a y p - b*x p - z paramerů a a b a nezávisle proměnných hodno x i vypočíáme vyrovnané hodnoy Y i a reziduály ε i jako rozdíly y-hodno naměřených a vypočených (6) Y i a + b*x i ε i y i - Y i - úspěšnos regresního modelu se esuje pomocí směrodané odchylky regrese (sandard error of esimae) s e a pomocí korelačního koeficienu r; regrese je ím lepší, čím bližší je korelační koeficien číslu ( resp. ). (7) s e [ (y i - Y i ) / (n - )] (8) r Σ (y ic *x ic )/ [Σ (x ic ) * Σ (y ic ) ] - r 5

6 nebo r Σ (y ic *Y ic )/ [Σ (y ic ) * Σ (Y ic ) ] r (9) [ r (n - ) / ( -r )] Korelační koeficien se musí esova ve vzahu k poču experimenálních da.obvykle očekáváme, že bude významný alespoň na.%-ní hladině spolehlivosi,.j. α.. Je-li hodnoa vypočíaná z r věší než kriická hodnoa -rozdělení pro odpovídající poče supňů volnosi,.j. ν n-, lze z 99.9%-ní pravděpodobnosí usoudi, že odpovídající lineární závislos nevznikla náhodou. - ze směrodarné odchylky regrese vypočíáme směrodané odchylky paramerů a a b () s a s E * [ (/n) + x p / Σ (x ic ) ] () s b s E * [ / Σ (x ic ) ] a esujeme podíly a/s a a b/s b pomocí kriických hodno -rozdělení. Je-li vypočená hodnoa věší než abelovaná pro α.5 a odpovídající poče supňů volnosi,.j. ν n-, pak se odpovídající paramer významně liší od nuly. Tabulka kriických hodno -rozdělení ν α.5 α. ν α.5 α ν poče supňů volnosi, α hladina pravděpodobnosi 6

7 . Vícerozměrná lineární regrese Pokud je vysvělovaná proměnná y lineárně závislá na více vysvělujících proměnných x, např. () y b + b x + b x b p- x p- + ε pak se eno vzah nazývá vícerozměrná lineární regrese. Obecně lze uo regresi vyjádři v maicovém zápisu ako (3) Y mn X mp. pn + Ε mn kde m je poče měření.j. regresních vzahů mezi závisle proměnnou y a nezávisle proměnnými x), p je poče hledaných paramerů b regresní rovnice (.j. poče vysvělujících proměnných x zvěšených o jednu pro konsanní neboli lokalizační člen), n je poče vysvělovaných proměnných Y (běžně je n, ale regresi několika závislých proměnných vysvělovaných sejnými nezávislými proměnnými lze spoji v jednu rovnici,.j. n>) a E je maice reziduálů.j. odchylek naměřených y hodno od hodno vysvělených regresní závislosí y calc. Paramery b se v meodě nejmenších čverců odhadnou pomocí generalizované inverze maice X (4) (X'X) - X'Y V případě silné korelace mezi jednolivými vysvělujícími proměnnými x, mohou při výpoču nasa problémy s inverzí maice X'X, kerá v akovém případě bude kvazisingulární a výsledek může bý zaížen velkou chybou. Poom je lépe počía pomocí.zv. pseudoinverze maice X. Každou maici (např. X) lze rozloži singulárním rozkladem na ři maice charakerisických vlasnosí: (5) X mp U mp. S pp. (V pp )' kde U a V jsou orhonormální maice, pro keré plaí VV'V'VI a U'UI a S je diagonální maice singulárních hodno uspořádaných ak, že s > s >... > s pp. Pseudoinverze X je pak rovna (6) (X mp ) + V pp. (S pp ) -. (U mp )' V případě korelace mezi vekory maice X se maice S upraví před inverzí ak, že se z ní vypusí velmi malé singulární hodnoy, keré by po inverzi dávaly 7

8 příliš velkou váhu málovýznamným vekorům maic U a V. Sejným způsobem se zmenší i odpovídající rozměr u maic U a V. (7) (X mp) + V pq.(s qq ) -.(U mq )' q < p Poom se odhad maice paramerů vypoče podle rovnice (8) pn (X mp)+.y mn q < p Maici paramerů, získanou z da Y a X (.zv. réninkový soubor), lze použí k předpovědi da Y z nových da X nezahrnuých do X, (.zv. esovaný soubor). (9) Y X. Pro zjišění vhodnosi modelu daného maicí X k vysvělení experimenálních hodno Y,.j. k vypočení eoreických hodno Y calc není řeba paramery počía. Sačí použí.zv. 'ha' maici H ke ransformaci Y na Y calc. () Y calc X (X'X) - X'.Y H.Y nebo Y calc X.X +.Y H.Y nebo po dosazení za X ze singulárního rozkladu dosaneme () Y calc U.S.V'.(V.S.U'.U.S.V').V.S.U'.Y U.S.V'. (V.S -.V' ).V.S.U'.Y U.U'.Y nebo Y calc X.X +.Y U.S.V'. V.S -.U'.Y U.U'.Y Ke sejnému výsledku lze dospě i ehdy, když se do regrese použijí míso korelovaných proměnných X orhogonální proměnné U (eno posup je podsaou.zv. regrese s hlavními komponenami (PCR principal componen regression). () Y calc U (U'U) - U'.Y U.U'.Y Vypočíané hodnoy závisle proměnné Y calc lze edy získa projekcí experimenálních hodno Y pomocí projekční maice vyvořené z orhogonálních vekorů po singulárním rozkladu maice X. Přiom se může použí maice U mp celá nebo podobně zredukovaná v rozměru p na q jako při výpoču pseudoinverze X (rovnice 7). 8

9 Při meodě PCR se počíá regrese hodno Y na hlavních komponenách (skórech) C, keré jsou orhogonální, ale nejsou normované (normou je odpovídající singulární hodnoa) a jsou zredukované v rozměru p na q. (3) Y calc X mp. pn U mp.s pp.(v pp )'. pn C mq.(v pq )'. pn C mq. qn Z rovnosi (V pq )'. pn qn plyne, že odhad paramerů neovlivněných korelací mezi proměnnými X se získá jako (4) pn V pq.(v pq )'. pn V pq. qn Projekční maice V pq.(v pq )' převádí maici nesabilních regresních koeficienů pn v maici sabilných (ale vychýlených) regresních koeficienů pn. Z rovnice 3 aké plyne, že paramery regrese X na C (.j. V) a Y na C (.j. ) jsou součásí paramerů regrese Y na X (.j. ). Jak úspěšně lze maici Y vysvěli proměnnými maice X je možno esova pomocí souču čverců rezidulálů (SSR) (5) SSR (Y - UU'Y)'.(Y - UU'Y) respekive pomocí odpovídající reziduální sandardní odchylky (RSD) (6) RSD [ SSR / (n (m-q))] q < p 9

10 3. Nelineární regrese Jak již bylo uvedeno, v regresní rovnici je závisle proměnná y funkcí nezávisle proměnných veličin x a paramerů β: () y n, f( x n,p, β p, ) + ε n, kde n je poče měření a p je poče paramerů β. Je-li alespoň jedna parciální derivace éo funkce podle někerého parameru b, b, b 3,...b p nekonsanní,.j. závislá na jiném b, pak je regresní funkce nelineární. např. pro (7) y b + b. exp(b 3.x) jsou parciální derivace g rovny: g y/ b g y/ b exp(b 3.x) g 3 y/ b 3 b.x.exp(b 3.x) Proože g a g 3 jsou nekonsanní je uvedená rovnice nelineární. Pro jinou funkci, např. y b + b.x + b 3.x g, g x a g 3 x jsou parciální derivace nezávislé na paramerech b a ao rovnice je z hlediska paramerů lineární. V nelineární regresi nelze vypočía paramery b přímo,ale jejich opimální hodnoy se hledají ieraivně,.j. posupným vylepšováním původních odhadù b, b, b 3,...b p. Jedna z časo používaných ieraivních meod využívá linearizaci Taylorovým rozvojem; další, časo používaná meoda se nazývá simplex. LINERIZCE TYLOROVÝM ROZVOJEM První krok: navrhne se model y f(x,b), např. rovnice y b + b. exp(b 3.x), a původní odhad paramerů b i,.j. b, b,... b p, získaný řeba výpočem ze zlogarimovaného modelu. Druhý krok:

11 z derivací g i (i,,..p) funkce y kolem původního odhadu jednolivých paramerů b i se sesaví Jakobiho maice J. (8) [ y/ b i ] bbo n [ g g...g p ] J (n,p), Třeí krok: funkce y se rozvine do Taylorovy řady s ím, že se expanse omezí jen na první derivaci: (9) y y + J. (b - b ).j. z původních odhadů paramerů b a modelové rovnice (7) se vypočíá y a dosadí se jako y do rovnice (9); améž se za y dosadí experimenální hodnoy. Čvrý krok: neznámý vekor paramerů b se vypočíá pomocí pseudo-inverze Jakobiho maice jako první zlepšení pùvodního odhadu paramerů b. (3) b - b ( J'.J ) -.J'.( y - y ) Páý krok: oo první zlepšení paramerù b se nyní označí jako b, vypoče se s jeho pomocí podle rovnice (7) nové y a nové jednolivé vekory g i maice J a podle rovnice (3) se získá druhý zlepšený odhad b. Tyo dva kroky se opakují ak dlouho, pokud se nový odhad liší od předcházejícího o více než předem definovanou hodnou. Jako ao mezní hodnoa se může např. zvoli norma vekoru b - b.. Výpoče inverse maice J'.J může skonči neúspěchem, pokud budou vekory g na sobě lineárně závislé. Proo je vhodné vloži mezi řeí a čvrý krok.zv. vyšeření podmíněnosi maice J a) od Jakobiho maice se vypočíá korelační maice bez cenrování da,.j. čvercová maice L, jejíž prvky jsou: (g i )'.g j (3) L i,j [(g i )'.g i ]. [(g j )'.g j ] b) je-li deerminan maice L <. je maice J španě podmíněná. Důvodem pro španou podmíněnos maice J může bý přeurčený model,.j. v rovnici y f(x,b) je příliš mnoho paramerù, keré nelze samosaně opimalizova. ude-li v rovnici (3) alespoň jedno v i rùzné od nuly, je regresní model přeurčený. (3) p Σ i g i.v i

12 např. pro rovnici (3) y b.exp( b + b 3.x ) jsou parciální derivace g rovny: g y/ b exp( b + b 3.x ) g y/ b b.exp( b + b 3.x ) g 3 y/ b 3 b.x.exp( b + b 3.x) a rovnice Σ g i.v i ( v + v b + v 3 b x ).exp( b + b 3.x ) je splněna např. když v -b, v, v 3 a model (3) je přeurčený. Přeučenos modelu je možno někdy omezi reparamerizací. Např. rovnici (3)] je možno přepsa jako (33) y exp( a + a.x ) kde a ln b + b, a b 3. pak Σ g i.v i ( v + v x ).exp( a + a.x ) neni splněna pro nenulová v a v. Nebo při jiné reparamerizaci (34) y a.exp( a.x ) kde a b.exp( b ), a b 3. Pak rovnos Σ g i v i ( v + v a x ).exp( a.x ) plaí jen jsou-li v i v rovny nule a model není přeurčený. V případě, že se reparamerizací modelu španá podmíněnos maice J'.J nezlepší, je možno maici J'.J upravi podobně jako při zv. hřebenové (ridge) regresi a počía inversi maice (J'.J + αi), kde α se volí podle supně podmíněnosi maice J'.J. Španá podmíněnos může nasa aké v případě, když průměr nezávisle proměnné hodnoy je daleko od nuly. Jednoduchá ransformace - cenrování - ěcho hodno může podmíněnos značně zlepši. To znamená, že rovnici ypu (34) je možno počía v alernaivní formě (35) a hledaná hodnoa parameru a se pak vypoče z a, a a známé prùměrné hodnoy x p (rovnice 36). (35) y a.exp( a ( x-x p )) (36) a a / exp( a.x p ).

13 OPTIMLIZCE SIMPLEXEM Simplex je prosorový úvar, kerý má pro p opimalizovaných paramenrů p+ vrcholů pravidelného mnohosěnu; pro dva paramery je o rovnosranný rojúhelník, pro ři paramery je o pravidelný čyřsěn ad. Souřadnice vrcholů simplexu předsavují odhady opimalizovaných paramenrů. Ze všech p+ odhadů se vypočíají odpovídající hodnoy y calc a zjisí se nejhorší shoda s y exp, např. pomocí sandardní odchylky. Nejhorší případ se vyřadí a nový vrchol simplexu se vypočíá z odhadů paramerů získaných reflexí rovinou zbývajících p bodů. Znovu se posoudí všechny y calc a nejhorší výsledek se opě vyřadí. Teno posup se opakuje ak dlouho,až se nový vrchol simplexu neliší od předcházejícího o více než zadanou oleranci. V případě dvou paramerů se edy sesrojí rojúhelníkový simplex ako: jako první vrchol se umísí do počáku souřadné sousavy,.j. bod, odhad paramerů získaný např. z odpovídající ineární regrese. další vrcholy simplexu se získají vynásobením vhodně zvoleného kroku číslem uvedeným v následující abulce. Vrchol Poče fakorů simplexu Trojúhelníkový simplex vypadá edy např. ako: 3

14 Je-li nejhorší shoda vypočených a naměřených hodno y při paramerech, provede se nový výpoče za podmínek D; v případě nejhoršího výsledku při paramerech je nový výpoče nasměrován do polohy D. Jesliže se přesáhne reálný rozsah opimalizovaného parameru, může se vzdálenos bodu po reflexi zmenši. Zkracování, prodlužování nebo zkracování s inverzí vzdálenosi po reflexi (.j. modifikovaných simplex) se používají k rychlejšímu získání opimalizovaných hodno paramerů. 4

15 4. Saisické esování regresních paramerů Pro posouzení kvaliy proložení vypočíáné funkce eperimenálními body (goodnes of fi) se používá korelační koeficien, r, a sandardní odchylka regrese (sandard error of esimae), s e. Jinou, důležiou charakerisikou při regresi je sandardní odchylka měřených da,.j. s y. Jednak umožňuje posoudi, jak jsou daa rozpýlena od průměru (lze předpokláda, že regrese založená na věším rozsahu experimenálních da bude významnější než a, kerá využívá jen da velmi blízkých průměru) a jednak napomáhá při rozhodování, zda někerou experimenální hodnou lze považova za vychýlenou nebo ne. Známe-li kerékoliv dvě z ěcho ří hodno, u řeí lze snadno dopočía ze vzahu (37) pro korelační koeficien (samozřejmě je řeba zná i poče měření, n, a opimalizovaných paramerů, p). (37) r se n p s n y SR SY Při hodnocení korelačního koeficienu (.j. jeho saisické odlišnosi od nuly) se počíá jeho F es (38), kerý se někdy považuje za es spolehlivosi regrese jako akové; o nemusí bý pravda pro malé směrnice regrese,.j. při malé hodnoě s y. r n p SY SR n p (38) F F (.5, p, n p) r p SR p Ke zjišění saisické významnosi jednolivých paramenrů b ve více-rozměrné lineární nebo nelineární regresi je řeba zná jejich sandardní odchylky s b. Ty se vypočíají ze sandardní odchylky regrese, s e, a z odmocniny odpovídajících diagonálních elemenů maice V. (39) V (Z' Z) - kde Z [ g g g 3...g p ] a g jsou derivace funkce y podle jednolivých paramenrů b. Pro lineární regresi se maice Z rovná maici X. (4) s b s e ( diag (V)) Saisická významnos se pak zjisí Sudenovým -esem ak, že se vypočená hodnoa (4) porovná s hodnoou kriickou, abelovanou (viz kapiola ) pro hladinu spolehlivosi (věšinou.5,.j. 95%) a poče supňů volnosi (n-p): je-li splněna nerovnos (4), pak esovaný rozdíl (b - β) je saisicky významný. 5

16 b β (4) (.5, n p) sb Je-li β, pak se esuje saisická významnos odpovídající proměnné (resp. odchylka příslušného paramenru od nuly), v případě, že β, lze ako esova významnos odchylky odpovídající směrnice od jedné. Saisická významnos přidání další proměnné do regresní závislosi se dá aké esova pomocí parciálního F-esu (4). F SR SR p p+ n p F, SRp+ (4) ( ) (.5, n p) kde SR p je souče čverců reziduálů z regrese s p paramenry a SR p+ je oéž pro regresi s p+ paramery. Vypočíaná hodnoa F se srovnává s kriickou hodnoou abelovanou pro zvolenou hladinu saisické významnosi a odpovídající poče supňů volnosi: je-li splněna nerovnos (4), pak přidání další proměnné je saisicky významné. Jiným esem pro ocenění kvaliy v případě lineárního regresního modelu je analýza reziduálů, ε y exp -y calc. K zvýraznění reziduálů, keré mohou paři podezřelému odlehlému měření, se reziduály převádějí na.zv. 'jackknife' reziduály (43). Teno přepoče simuluje výpoče reziduálů s vynecháním konkreního měření,.j. jisé měření y exp se vynechá, regresní paramery se vypočíají ze zbylých měření y, z ěcho paramerů a z odpovídajících hodno vysvělujících proměnných, x, se vypočíá y calc a porovná s experimenální hodnoou: ε jk y exp y calc. (43) n p ε jk εn kde n p ε n ε n s h e ε i a h i je odpovídající diagonální elemen ransformační maice HX(X'X) - X'. Jeli ε jk >. (n-p), pak se y i považuje za měření podezřelé z odlehlosi a regrese by se měla zopakova bez něho. Zjisí-li se, že nové paramenry se neliší od dřívějších o více než jednu sandardní odchylku s b, nebo že se při nové regresi zvýšila sandardní odchylka experimenálních da od průměru, s y (.j. v důsledku snížení poču supňů volnosi ve jmenovaeli), pak můžeme podezření z odlehlosi opusi. 6

17 ČÁST. INTEGROVNÉ RYCHLOSTNÍ ROVNICE. Unimolekulární vraná reakce k k Rychlos éo reakce υ je možno vyjádři např. jako úbyek reakanu s časem: υ d d k + k Z výpočeních důvodů je vhodné, nahradi dvě proměnné veličiny, a,.j. koncenrace reakanu a reakanu v čase jednou pomocnou proměnnou x, kerá předsavuje zreagované množsví v čase a nazývá se rozsah reakce (angl. conversion variable) d dx d x - - poom ( k + k ) x + k k kx + m d x dx d ln m kx m kx m k nechť m F k poom po odlogarimování F x exp( k F ) a po dosazení za x dosaneme rovnice pro pokles koncenrace a nárus koncenrace s časem. F + Fexp( k ) () + F Fexp( k ) Rovnovážná konsana reakce je (čas dosažení rovnováhy je označen ): () K k k + F F proože F K K + 7

18 Variana : Pro případ, že K, což nasane např. při racemizaci: a rovnice () se změní ako: F (3) exp( k ) exp( k ) Jesliže se racemizace sleduje polarimericky, pak naměřená opická oáčivos je úměrná rozdílu koncenrací složek a,.j. : (4) α ( ) α exp( k ) exp( k ) Pro nelineární regresi je vhodné doplni rovnici (4) o konsanní paramer a, kerý předsavuje sysemaickou chybu měření (nepřesné vynulování přísroje) a o ε, což je reziduál neboli náhodná chyba měření. (5) α a + α exp( k ) + ε Variana : Pro případ, kdy počáeční koncenrace reagenu je nulová,,.j. vychází se z čisého reagenu, není řeba zavádě do výpoču pomocnou proměnnou x. d d k + k Pak se za dosadí z rovnice + - d d ( k + k ) + k k + m 8

19 m k po odlogarimování F exp( k F ) pro F Po dosazení z rovnice - (6) F ( F F + ( F )exp( k ) )exp( k ) proože F k je rovnovážná konsana k + k K + K F F Je-li v omo případě + K pak exp( k ) F exp( k ) a podobně jako v předcházející varianě exp( k ) resp. α α exp( k ) Variana 3: Jiný případ nasane, když rychlosní konsana zpěné reakce,.j. k, je nulová, nebo vzhledem ke k zanedbaelně malá. Poom reakční rychlos υ je dána d dx υ k k ( x ) d d.j. d k d ln ln k (7) exp( k ) resp. x ( exp( k )) kde x je přírusek koncenrace produku (.j. ) a rovnice (7) jsou shodné s rovnicemi (6) pro F. 9

20 . imolekulární reakce Při éo reakci se mohou výchozí koncenrace a liši, nebo mohou bý sejné; podle oho dosáváme odpovídající kineické rovnice. Variana : Pro > a x, x ( )( ) x x k k d dx ( )( ) x x x M kde d k x M x M x x dx ; po inegraci: k x x + ln ln ( )k x x. ln nechť V ( ) ( ) E k x x V exp pak ( ) ( ) E E V x E x E V x V (8) ( ) ( ) + + k E V V x exp + P

21 Variana : Pro P po inegraci d d k d kd k + k (9) + k a + a + a Je vhodné rozšíři rovnici o člen a a po výpoču esova jeho saisickou významnos. 3. Enzymově kaalyzovaná reakce E + k M k P + E k - Rychlos reakce,.j. rychlos vzniku produku P závisí na koncenraci meziproduku M a rychlosní konsaně k. υ dp d k M Koncenrace meziproduku v čase je dána dm d k E k M k M

22 Předpokládá se, že v usáleném savu je koncenrace meziproduku malá a prakicky s časem neměnná; proo je možno položi dm /d. Celková (.j. původní) koncenrace enzymu je v čase rozdělena mezi enzym volný E a enzym v meziproduku M. M E E + Poslední dvě rovnice se vyjádří maicově ako: ( ) + E M E k k k Koncenraci meziproduku M pořebnou pro výpoče reakční rychlosi vypočíáme pomocí inverze čvercové maice: Její deerminan ( ) k k k D + ( ) + E k k k D M E ( ) k k k E k k D E k M + + υ Po dosazení K M (k - +k )/k a V M k E dosaneme rovnici Michaelisovu- Menenové: M M K V + υ kde V M je maximální rychlos reakce a K M je Michaelisova konsana (.j. koncenrace subsráu, při níž dosahuje reakční rychlos polovinu rychlosi maximální). Pro nelineární regresi je vhodné uo rovnici upravi do varu: x a x a a y + +

23 ČÁST 3. VÝPOČTOVÉ PROGRMY. Nelin: exponenciální regrese s Taylorovým rozvojem % nelin.m clc disp('program nelin.m verze ') if exis('h'), clear h; if exis('x'), clear x; if exis('y'), clear y; disp('pro vypoce parameru nelinearni regrese') disp('.model: y b*exp(b*x) ') disp('.model: y b + b*exp(b3*x) ') wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved sloupcovy vekor x '); yinpu('zaved vekor ampliud y '); unones(size(y)); mdlengh(x); X[un x]; if y()<y(md) cceil(y(md)); if cy(md) cc+e-6; yec-y; else yey; ainv(x'*x)*x'*log(ye); aexp(a()); aa(); if y()<y(md) yya*(-exp(a*x)); else yya*exp(a*x); RSSa(ye-yy)'*(ye-yy); RSSRSSa; figure() plo(x,ye,'ko',x,yy),grid,pure,ile(['rssa ' numsr(rssa)]); pause(e-6) if wm b[a a]'; 3

24 bb; if y()<y(md) gexp(b()*x); g-g; g-b()*(x.*g); else gexp(b()*x); gb()*(x.*g); Z[g g]; yb()*g; nymd-; elseif wm if y()<y(md) b[a -a a]'; else b[ a a]'; bb; gun; gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); Z[g g g3]; yb()+b()*g; nymd-3; % vyšeření podmíněnosi původní maice pod.; LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['puvodni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['puvodni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) n; h; while n>. hh+; disp(h) if h>; break; figure() plo(x,y,'k*',x,y),grid,pure,ile(['rss ' numsr(rss)]); 4

25 pause(e-6) if wm if y()<y(md) gexp(b()*x); g-g; g-b()*(x.*g); else gexp(b()*x); gb()*(x.*g); Z[g g]; yb()*g; nymd-; elseif wm gun; gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); [u s v]svd(z,); izv*inv(s)*u'; iz*(y-y); nnorm(); h(h,:)[' b']; bb+; if wm if y()<y(md) gexp(b()*x); g-g; g-b()*(x.*g); else gexp(b()*x); gb()*(x.*g); Z[g g]; yb()*g; elseif wm gun; gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); 5

26 Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); disp([' linearni odhad a ' numsr(a)]); disp([' linearni odhad a ' numsr(a) '; RSS ' numsr(rssa)]); if wm disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b())]); disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b()) '; RSS ' numsr(rss)]); elseif wm disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b())]); disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b())]); disp(['nelinearni odhad b3 ' numsr(b(3)) '; RSS ' numsr(rss)]); % vyšeření podmíněnosi poslední maice LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['posledni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['posledni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) serss/ny; sesqr(se); disp(['se ' numsr(se)]) FIIiZ*iZ'; sbsqr(se*diag(fii)); bsbabs(b./sb); disp(' b sb bsb'); forma long disp([b sb bsb]); forma shor ssuden(ny); disp(['je-li bsb vesi nez ' numsr(s) ', zamia se nulova hypoeza']); % funcion y korr(x) [m,n] size(x); if (m ) m n; x x.'; c x' * x / m; 6

27 d diag(c); y c./sqr(d*d'); funcion y suden(x) z44.549/x; z3(.6+z4)/x; z(3.6+z3)/x; z(.35+z)/x; y.96+z; 7

28 Prookol z výpoču programem Nelin.m Daa uložená pod názvem "bradam" pocházejí z polarimerického sledování roační enaniomerace 3-brom-,4,6-rimehylfenyladamanyl keonu (dosud nepublikováno). /s α/mdeg /s α/mdeg /s α/mdeg Program nelin.m verze z pro vypoce parameru nelinearni regrese.model: y b*exp(b*x).model: y b + b*exp(b3*x) vyber model wm zaved sloupcovy vekor x zaved vekor ampliud y alfa puvodni model neni spane podmineny: de(ll).556 linearni odhad a linearni odhad a -.973; RSS nelinearni odhad b 3.75 nelinearni odhad b nelinearni odhad b ; RSS posledni model neni spane podmineny: de(ll).637 se.474 b sb bsb je-li bsb vesi nez.683, zamia se nulova hypoeza program nelin.m verze z pro vypoce parameru nelinearni regrese.model: y b*exp(b*x).model: y b + b*exp(b3*x) vyber model wm 8

29 zaved sloupcovy vekor x zaved vekor ampliud y alfa puvodni model neni spane podmineny: de(ll) linearni odhad a linearni odhad a -.973; RSS nelinearni odhad b nelinearni odhad b -.354; RSS posledni model neni spane podmineny: de(ll) se b sb bsb je-li bsb vesi nez.636, zamia se nulova hypoeza lineární odhad nelineární odhad 9

30 . Simpl: exponenciální regrese s modifikovaným simplexem % simpl.m clc disp('program simpl.m verse ') if exis('b'),clear b; global x y md ny wm b RSS smo disp('simplex (NELDER.M) na exponencialni rovnici ') disp('.model: yexp(b+b*x)') disp('.model: yb+exp(b+b3*x)') wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved vekor x '); yinpu('zaved vekor y '); [md nd]size(x); unones(md,); X[un x]; ainv(x'*x)*x'*log(y); if wm ba; bb; yexp(b()+b()*x); elseif wm b[;a]; bb; yb()+exp(b()+b(3)*x); plo(x,y,'ko',x,y,'k-') wkb; wknelder('simpla',wk,.); disp(' '); disp(b') disp(b') disp(['rss ' numsr(rss)]) disp(['smo ' numsr(smo)]) funcion fnsimpla(wk) global x y md ny wm b RSS smo bwk; if wm yyexp(b()+b()*x); nymd-; elseif wm yyb()+exp(b()+b(3)*x); 3

31 nymd-3; RSS(y-yy)'*(y-yy); smosqr(rss/ny); plo(x,y,'ko',x,yy,'k-'),ile(['rss ' numsr(rss)]) pause(.) fnsmo; funcion x nelder('simpla',x,ol) % Nelderův-Meadův simplexový algorimus pro minimalizaci % nelineární funkce několika proměnných. % 'simpla' je jméno funkce, kerá má bý minimalizována, % x je vekor, kerý se opimalizuje na nový vekor % minimalizující funkci 'simpla'. % ol je olerance na zasavení opimalizace (normálně.) [n,m] size(x); if m > n x x'; n m; if nargin < 3, ol.e-3; v.9*x; f feval(f,v); for j :n y x; if y(j) ~ y(j).*y(j); else y(j).; v [v y]; f [f feval(f,y)]; [f,j] sor(f); v v(:,j); while es ; for j :n+, es max(es,norm(v(:,j)-v(:,),)); if es < ol, break, [v,f,how] neldsep(f,v,f); x v(:,); 3

32 funcion [v,f,how] neldsep(f,v,f) % funkce používaná simplexovým algorimem NELDER; % v je simplex (je o n,n+ maice); hodnoy funkce jsou: % f(j) fun(v(:,j)), j :n+, wih f() <... < f(n+) % F 'simpla'; výsledkem je nový simplex v % how popisuje krok, kerý se právě koná alpha ; bea /; gamma ; [n,np] size(v); vbar mean(v(:,:n)')'; vr ( + alpha)*vbar - alpha*v(:,n+); fr feval(f,vr); vk vr; fk fr; how 'reflec '; if fr < f(n) if fr < f() ve gamma*vr + (-gamma)*vbar; fe feval(f,ve); if fe < f() vk ve; fk fe; how 'expand '; else v v(:,n+); f f(n+); if fr < f v vr; f fr; vc bea*v + (-bea)*vbar; fc feval(f,vc); if fc < f(n) vk vc; fk fc; how 'conrac'; else for j :n v(:,j) (v(:,) + v(:,j))/; f(:,j) feval(f,v(:,j)); vk (v(:,) + v(:,n+))/; fk feval(f,vk); how 'shrink '; v(:,n+) vk; f(:,n+) fk; [f,j] sor(f); v v(:,j); 3

33 % konfi.m verze clc disp('program konfi.m-pocia inerval spolehlivosi,.j. ± c') disp('pro paramery nelinearni rovnice') disp('.model: y b + b*exp(b3*x)') disp('.model: y b + exp(b+b3*x)') wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved vekor promennych x '); binpu('zaved vekor parameru [b] '); smoinpu('zaved res.smer.odchylku smo '); xx(:); mdlengh(x); gones(size(x)); if wm gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); elseif wm gexp(b()+b(3)*x); g3x.*exp(b()+b(3)*x); Z[g g g3]; IZinv(Z'*Z); VV(diag(IZ)*(smo^)); sbvv.^(/); krisuden(md-3); ckri*sb; disp(' ') disp(' b sb b /sb ± c ') disp(' ') disp([b sb abs(b)./sb c]); disp(['kri ' numsr(kri)]); % 33

34 Prookol z výpoču programem Simpl.m Daa pro závislos rychlosní konsany na eploě: J.Sandsröm, Dynamic NMR Specroscopy, cademic Press, 98, sr. 55. ka/s - T/K it/ -3 K Program simpl.m verse simplex (NELDER.M) na exponencialni rovnici.model: yexp(b+b*x).model: yb+exp(b+b3*x) vyber model wm zaved vekor x it zaved vekor y ka linearni odhad b a b: nelinearni odhad b a b: RSS smo Program simpl.m verse simplex (NELDER.M) na exponencialni rovnici.model: yexp(b+b*x).model: yb+exp(b+b3*x) vyber model wm zaved vekor x it zaved vekor y ka 34

35 linearni odhad b a b3: nelinearni odhad b, b a b3: RSS smo.635 program konfi.m - pocia inerval spolehlivosi,.j. +-c pro paramery nelinearni rovnice.model: y b + b*exp(b3*x).model: y b + exp(b+b3*x) vyber model wm zaved vekor promennych x it zaved vekor parameru [b] b zaved res.smer.odchylku smo smo b sb b /sb +-c e+3 * kri.33 Hodnocení: paramer b není saisicky významný Model, bez konsanního členu 35

36 3. Rada: nelineární regrese s Taylorovým rozvojem % rada.m clc % verse if exis('h'), clear h; if exis('x'), clear x; if exis('y'), clear y; disp('program rada.m pro reseni rovnice (/)(/o)+k') disp('jako nelinearni rovnice a+(a+a3*)^(-)'); inpu('zaved casy mereni '); inpu('zaved odezvy v case '); x; y; mdlengh(x); unones(size(y)); yaun./y; X[un x]; ainv(x'*x)*x'*ya; disp(['linearni odhad ' numsr(/a())]); disp(['linearni odhad ka ' numsr(a()/)]); b[; a(); a()]; bb; gun; gub()+b(3)*x; g(-)*gu.^(-); g3g.*; Z[g g g3]; yb()+gu.^(-); RSSa(y-y)'*(y-y); pod.; LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['puvodni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['puvodni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) n; h; RSSRSSa; while n>. hh+; disp(h) 36

37 if h>; break; figure() plo(x,y,'ko',x,y),grid,pure,ile(['rss ' numsr(rss)]); pause(e-6) gun; gub()+b(3)*x; g(-)*gu.^(-); g3g.*; Z[g g g3]; yb()+gu.^(-); RSS(y-y)'*(y-y); [u s v]svd(z,); izv*inv(s)*u'; iz*(y-y); nnorm(); h(h,:)[' b']; bb+; gun; gub()+b(3)*x; g(-)*gu.^(-); g3g.*; Z[g g g3]; yb()+gu.^(-); RSS(y-y)'*(y-y); bb(); b3b(3); disp(['nelinearni odhad ' numsr(/b)]); disp(['nelinearni odhad ka ' numsr(b3/) '; RSS ' numsr(rss)]); LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['posledni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['posledni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) serss/(md-3); sesqr(se); disp(['se ' numsr(se)]) FIIiZ*iZ'; sbsqr(se*diag(fii)); bsbabs(b./sb); disp(' b sb bsb'); 37

38 forma long disp([b sb bsb]); forma shor ssuden(md-3); disp(['je-li bsb vesi nez ' numsr(s) ', zamia se nulova hypoeza']); % 38

39 Prookol z výpoču programem Rada.m Daa pro závislos vodivosi vodného rozoku NaOH na posupu hydrolýzy ocanu ehylnaého: E..Guggenheim, J.E.Prue, Physicochemical Calculaions, Inerscience Publishers Inc., New York, 955, sr.43 (ruský překlad 958). /s κ(rel) Program rada.m pro reseni rovnice (/)(/o)+k jako nelinearni rovnice a+(a+a3*)^(-) zaved casy mereni zaved odezvy v case kp linearni odhad.465 linearni odhad ka.7885 puvodni model je spane podmineny: de(ll).864 nelinearni odhad. nelinearni odhad ka.345; RSS 5.45e-5 posledni model neni spane podmineny: de(ll).4689 se.5 b sb bsb je-li bsb vesi nez.365, zamia se nulova hypoeza 39

40 4. Michme: nelineární regrese Taylorovým rozvojem % michme.m verze clc if exis('x'), clear x; if exis('y'), clear y; if exis('h'), clear h; disp('program michme.m') disp('nelinearni vypoce parameru rovnice Michaelisovy-Menenove') disp('.model: y b*x/(b+x) '); disp('.model: y b + b*x/(b3+x) '); wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved sloupcovy vekor x '); yinpu('zaved vekor ampliud y '); [md nd]size(x); unones(md,); ivun./y; isun./x; X[un is]; ainv(x'*x)*x'*iv; yyx*a; rracorr([iv yy]); rarra(,); RSSa(iv-yy)'*(iv-yy); RSSRSSa; figure() plo(is,iv,'k*',is,yy) ile(['rssa ' numsr(rssa)]); xlabel('linearni prolozeni') pause figure() plo(x,y,'*',x,un./yy) ile(['rssa ' numsr(rssa)]); xlabel('nelinearni prolozeni') pause aa(); aa(); if wm b[/a a/a]'; bb; gx./(b()+x); g-(b()*x)./((b()+x).^); Z[g g]; 4

41 yb()*g; elseif wm b[ /a a/a]'; bb; gun; gx./(b(3)+x); g3-(b()*x)./((b(3)+x).^); Z[g g g3]; yb()+b()*g; % vysereni podminenosi puvodni maice pod.; LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['puvodni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['puvodni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) n; h; while n>. hh+; figure(3) plo(x,y,'k*',x,y,x,un./yy,'o') ile(['rss ' numsr(rss)]); if wm gx./(b()+x); g-(b()*x)./((b()+x).^); Z[g g]; yb()*g; elseif wm gun; gx./(b(3)+x); g3-(b()*x)./((b(3)+x).^); Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); inv(z'*z)*z'*(y-y); nnorm(); h(h,:)[' b']; bb+; 4

42 if wm gx./(b()+x); g-(b()*x)./((b()+x).^); Z[g g]; yb()*g; elseif wm gun; gx./(b(3)+x); g3-(b()*x)./((b(3)+x).^); Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); rrbcorr([y y]); rbrrb(,); disp(['linearni odhad V (/a) ' numsr(/a) '; ra ' numsr(ra)]); disp(['linearni odhad K (a/a) ' numsr(a/a) '; RSS 'numsr(rssa)]); if wm disp(['nelinearni odhad V (b) ' numsr(b()) '; rb ' numsr(rb)]); disp(['nelinearni odhad K (b) ' numsr(b()) '; RSS ' numsr(rss)]); nymd-; elseif wm disp(['nelinearni odhad (b) ' numsr(b()) '; rb ' numsr(rb)]); disp(['nelinearni odhad V (b) ' numsr(b()) '; rb ' numsr(rb)]); disp(['nelinearni odhad K (b3) ' numsr(b(3)) '; RSS ' numsr(rss)]); nymd-3; % vysereni podminenosi posledni maice LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['posledni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['posledni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) serss/ny; sesqr(se); disp(['se ' numsr(se)]) izzinv(z'*z); sbsqr(se*diag(izz)); bsbabs(b./sb); disp(' b sb bsb'); 4

43 forma long disp([b sb bsb]); forma shor ssuden(ny); disp(['je-li bsb vesi nez ' numsr(s) ', zamia se nulova hypoeza']); 43

44 Prookol z výpoču programem Michme.m Daa nasimulovaná a zaížená náhodnou chybou. program michme.m nelinearni vypoce parameru rovnice Michaelisovy-Menenove.model: y b*x/(b+x).model: y b + b*x/(b3+x) vyber model wm zaved sloupcovy vekor x xi zaved vekor ampliud y yr xi yr xi yr puvodni model je spane podmineny: de(ll).985 linearni odhad V (/a).393; ra.9993 linearni odhad K (a/a).354; RSS.3584 nelinearni odhad (b) -.794; rb.9967 nelinearni odhad V (b).3989; rb.9967 nelinearni odhad K (b3).395; RSS.49 posledni model je spane podmineny: de(ll) se b sb bsb je-li bsb vesi nez.96, zamia se nulova hypoeza 44

45 program michme.m nelinearni vypoce parameru rovnice Michaelisovy-Menenove.model: y b*x/(b+x).model: y b + b*x/(b3+x) vyber model wm zaved sloupcovy vekor x xi zaved vekor ampliud y yr puvodni model neni spane podmineny: de(ll).3443 linearni odhad V (/a).393; ra.9993 linearni odhad K (a/a).354; RSS.3584 nelinearni odhad V (b).3966; rb nelinearni odhad K (b).38; RSS.449 posledni model neni spane podmineny: de(ll) se.4855 b sb bsb je-li bsb vesi nez.7, zamia se nulova hypoeza 45