Fyzikální korespondenční seminář KTF MFF UK ročník VIII série V
|
|
- Dominik Valenta
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Zadání Úloha V vesmírná atastrofa Tř planety o stejné hmotnost M = 10 6 g jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelnía o straně l = 100 Gm [ggametry]. Nemajíce počáteční rychlost nezbývá jm než padat vstříc jsté záhubě. Určete, za ja dlouho se srazí (rozměry planete zanedbejte). Úloha V.... obvod ze zdrojů Mějme velm jednoduchý obvod složený z n stejných deálních zdrojů o napětí U e sérově zapojených do ruhu o poloměru r. Dráty je spojující mají stejnou délu a měrný odpor ρ na jednotu dély (rozměry zdrojů zanedbejte vůč obvodu ružnce). Jaé bude napětí mez bodem A uprostřed prvního a B uprostřed tého drátu? Na obrázu Obr. A je naresleno zapojení onrétně pro n=1 a =5. Obr. A r A B Úloha V Ondrova stavebnce Malý Ondra je na svůj vě velce zvídavý chlapec a místo hraní s s autíčy studuje Obr. B tařa fyzálně svět. Ve své stavebnc nalezl dřevěnou oul a válec o stejném průměru ze stejného materálu a jal se ω dělat pousy. Vrhnul oul a válec (bez v 0 v roztočení, vz. Obr. B) rychlostí v 0 po F t podlaze a sledoval, na jaé rychlost v se pohyb těles ustálí. Byl velce převapen, dyž zjstl, že jedno z těles je rychlejší než druhé. Rozeberte teoretcy jeho expermentální zjštění a určete onečné rychlost těles. (uvažujte pouze smyové tření s oef. μ, valvé tření zanedbejte) Úloha V ol máme rve? Jednou z metod měření objemu apalny, jejíž objem se obtížně měří standardním metodam, je následující metoda: Pousné osobě vpravíme do těla teutnu o objemu V 1 = 4 cm 3 obsahující radoatvní atomy 4 Na a o celové atvtě A 1 = 500 s -1. Jelož poločas rozpadu sodíu 4 je T = 15 hod, nemusíme se bát o zdraví měřené osoby. Po čase t = 10 hod odebereme vzore rve o objemu V = 10 cm 3 a atvtě A = s -1. Jaé množství rve obsahuje náš pousný objet? Pozn: Poud neznáte význam velčn psaných urzívou, zuste se podívat do nějaé záladní učebnce jaderné fyzy. Úloha V chladnutí apaln Ve fyzce se často zoumají tzv. relaxační procesy, tj. postupné ustálení určté fyzální velčny na nějaé hodnotě. V termodynamce pod pojmem relaxační doba máme na Strana 1
2 mysl čas, za terý nastane mez sledovaným systémem a jeho oolím (s nějaou přesností, danou chybou měření nebo flutuacem) termodynamcá rovnováha. Relaxační doba se samozřejmě mění od procesu, terý sledujeme př vyrovnání tlaů je to as s, př různých chemcých dějích až měsíce č roy. Vaším úolem bude sledovat rychlost chladnutí dvou č více apaln (např. voda a olej) za stejných oolních podmíne. Aby se vaše práce více podobala sutečnému fyzálnímu expermentu, proložte naměřeným hodnotam func f(t) = Ae -Bt + T 0 a zuste nterpretovat vypočtené onstanty nebo alespoň odhadněte, na čem by mohly závset. Pro ty, do neví, co je to lneární regrese, je určen rátý odstavec o této metodě. Příloha zadání Metoda lneární regrese Předpoládejme, že máme dspozc N naměřených hodnot y, x mez nmž teore předpoládá lneární závslost y = ax +. Uazuje se, že podmínou pro to, aby tato b závslost co nejlépe procházela naměřeným hodnotam, je S ( y y) N = mn. Z této podmíny stačí nalézt rovnce pro oefcenty a, b, tomuto postupu se říá metoda nejmenších čtverců. V dalším odvození budu vynechávat meze sumace, sčítáme samozřejmě pro = 1,..., N. Součet S je funcí a, b, nutnou podmínou extrému je, aby parcální dervace podle a a podle b byly nulové. Obdržíme ta dvě rovnce, teré snadno vyřešíme * S a S b = xy a x b x = 0 a= = y a x Nb = 0 b = ( ) ( ) = 1 y x N x y x N x xx y x N x Př výpočtu je samozřejmě vhodné nejprve spočítat přslušné sumy Σx, Σy, Σx y, Σx a potom jednoduše dostaneme oefcenty a, b. f y = a. g x + b, stačí provést Lneární regres lze použít na aždou závslost ( ) ( ) substtuc u = f ( y ) v = g( x ) a máme lneární závslost taových závslostí:, u = av + b. Přílady y = a + b, substtuce u = y, v = 1 ; x x y = Ce ax, substtuce u = ln y, v = x, b = lnc; ( ) y = aln bx, substtuce u = y, v = ln x. Ve statstcé matematce se defnují nejrůznější velčny, teré popsují soubor ξ, pro nás N naměřených hodnot. Nejdůležtější z nch jsou střední hodnota (artmetcý * Symbol a je znaem parcální dervace, což je totéž jao normální dervace funce, dyž považujeme ostatní proměnné (v našem případě b) za onstanty. Strana
3 průměr) defnovaná vztahem μ ξ = 1 1 ξ a rozptyl σ ξ = ( ξ μ ξ). Na těchto N N velčnách je založena celá teore fyzálních měření, tím se tu ale zabývat nebudeme. Co je pro nás podstatné z hledsa leární regrese je, že pomocí střední hodnoty μ a rozptylu σ, resp. směrodatné odchyly σ (rozptyl je druhá mocnna směrodatné odchyly) můžeme nadefnovat tzv. oefcent orelace K, terý nám říá, do jaé míry spolu souvsí naměřené hodnoty y, x. K je defnován tato a po úpravách dostaneme: μ N x y y x xy μ xμ y K = = σ xσ y N x x N y y ( ) ( ) Hodnoty oefcentu orelace leží v ntervalu 0,1, můžeme jej tedy vyjádřt v procentech. I dyž pravděpodobně nechápete plně matematcé pozadí, vůbec nevadí, použjete-l předešlé poznaty jao uchařu na hodnoty y, x prošlé lneární regresí. Spočtete-l ještě sumu Σy, snadno určíte oefcent K, terý říá to, že čím více hodnoty z regrese leží na přímce, tím více se blíží hodnotě 100% a této hodnoty dosáhne, právě dyž bude splněno y = ax + b. Koefcent K olem hodnoty 50% dává náhodnou závslost hodnot y, x. Leží-l hodnota K v ntervalu 80%,100%, můžeme prohlást, že mez naměřeným hodnotam je rozumná lneární orelace. Závěr: Výsledy z lneární regrese mají mít as tuto podobu: Pro hodnoty y, x vychází oefcenty lneární regrese tato: a= ; b= Koefcentem orelace hodnot je % Poznáma: Když jsme s ta rásně nadefnoval střední hodnotu a rozptyl, neodpustím s dodat ještě toto. Předpoládejme, že jsme n rát měřl jednu velčnu X (napřílad hmotnost závaží) a obdržel ta hodnoty x. Zavedeme-l ještě směrodatnou odchylu σ = σ 1, artmetcého průměru (resp. vychází tato z teore měření) jao ( ) x x n můžeme napsat výslede měření tato: Naměřl jsme hodnotu velčny X = μ x ± σ x, de chyba výsledu je směrodatnou odchylou artmetcého průměru. Pozor! Velčna σ x je parametrem popsujícím celý soubor naměřených hodnot, dežto σ x se týá pouze artmetcého průměru (střední hodnoty) měření. Úloha M. 1: (M jao měření) Pro ty z vás, do s myslí, že pochopl metodu nejmenších čtevrců a zároveň umějí dervovat func více proměných, mám následující úol. Odvoďte pro soubor N hodnot y, x vztahy pro oefcenty A, B, C, teré určují tzv. vadratcou regres y = Ax + Bx + C z podmíny S ( y y) N = mn. Součet S chápeme jao func tří parametrů S = S(A,B,C) a podmíny mnmalty lze psát jao S S S = = = 0. A B C Serál na poračování Ja bylo poznamenáno v mnulé sér, Newtonova metoda je schopna onvergovat velce rychle, ale je třeba mít dostatečně dobrý počáteční odhad, jna není úspěch jstý. Navíc musíme znát romě funčních hodnot dervace v aždém bodě. Často vša o = 1 Strana 3
4 zoumané func známe velm málo a výpočet dervace může být dost nejstý a pracný. Proto s uvedeme ještě jednu jednoduchou metodu nazývanou prostá terace. Ta, jao jsme mohl aždou úlohu převést do tvaru f(x)=0, můžeme tento požadave změnt na tvar g(x)=x. Poud nás nenapadne nc lepšího, můžeme tedy postupovat prostě ta, že novou hodnotu x n+1 dostaneme prostým výpočtem hodnoty této funce g v bodě x n. Tento postup povede cíl (tj. metoda bude onvergovat) za podmíny, terou formuluje tzv. Banachova věta o ontrac: Na jstém ntervalu I = a, b nechť je funce g(x) spojtá, zobrazuje nterval do sebe (tj. pro x I je opět g(x) I ) a navíc je zde tzv. ontratvní, t.j. pro aždé x a y z ntervalu I platí gx gy < qx y (*) pro nějaé 0< q 1. ( ) ( ) Pa exstuje v I (jedné) řešení g(λ)=λ a posloupnost {x n } daná předpsem x n+1 = g(x n ) němu onverguje. Důaz přenecháme matematům (věta platí doonce obecně v různých vícerozměrných metrcých prostorech). Podstatné pro nás je dosáhnout toho, aby byly podmíny věty splněny, tj. aby na dostatečném oolí přesného řešení platla ontratvta. To je g x, což je vlastně lmta výrazu evvalentní podmínce, že dervace ( ) gx ( ) gy ( ) x y ( ) ( ) pro y se blížící x, byla na celém ntervalu (v absolutní hodnotě) menší než 1. Toho lze dosáhnout vhodným zavedením fce g(x) vycházíme-l původně z podmíny ve tvaru f(x)=0, lze volt g(x) = f(x)+x a parametrem můžeme měnt dervac výsledné fce. V našem problému se soanem funce f(x) v oolí hledaného řešení lesá, dervace je záporná, taže volíme jao malé ladné číslo. q Taé je pro nás zajímavé tvrzení, že chyba té terace je x q x x λ 1 1 máme tedy souvslost mez sutečnou chybou a naším odhadem z rozdílu následujících terací, terý jsme používal např. v metodě tečen. Dosadíme-l s ve výrazu (*) za y gx λ < qx λ, že tato metoda onverguje ořen λ, snadno ověříme z nerovnost ( ) lneárně (s poměrem q). Nabízí se pa (podobně jao v mnulých metodách) použít Atnův proces, terý (až na vyjímečné případy) zvýší rychlost onvergence na vadratcou. (Abychom uvedl věc na pravou míru, je třeba poznamenat, že teprve nyní je použtí tohoto procesu zcela oprávněné pouze v případě, že se naše řada blíží řešení monotónně, tj. preczněj (x λ) nemění znaméno, lze zaručt spolehlvé chování vzorce pro Atnovo urychlení. V předchozích metodách totž mohla terace přesočt z jedné strany ořene na druhou a potom jsme často dostal extrapolací odhad mmo původní nterval. To, že jsme nezřída dosáhl dobrého urychlení, bylo dáno ja vhodným průběhem zoumané funce, ta poztvním vlvem narušení přílš pomalé a jednotvárné onvergence např. metody regula-fals. Nyní jž vša dává Atnův vzorec spolehlvé výsledy zejména v blízost řešení. Program s použtím této metody vznne trvální úpravou (spíše zjednodušením) předchozích, taže ho nebudeme uvádět. Věnujme se raděj ještě chvíl problému naznačeném v úvodu serálu. Máme více rovnc (obecně n) obsahující taé n neznámých proměnných x 1 x n. Společné řešení těchto rovnc pa hledáme jao n tc čísel ( x 1 x n ), terou můžu chápat jao vetor x r r o n r r složách a soustavu rovnc psát jao fx ( ) = 0(f jao vetor znamená, že první rovnce r r f 1 0 f x = 0 atd.). To nám pomůže rozhodnout, ja blízo je složa ( x ) =, druhá ( ) Strana 4
5 přesnému řešení jsme velost vetoru x r x r 1, stejně jao x r x r přes, se musí blížt 0. Problém je ovšem s použtím něterých metod např. u metody sečen nebo regula fals nám z výchozích bodů a r a b r r dá aždá rovnce f jný průsečí s 0. Nejsnazší je vyjít z právě popsané metody prosté terace. Převedeme funce f na g, pro teré by mělo platt r ( r r gx) = x, a předpoládejme, že jsou splněny podobné podmíny r r gx gy r r < q x r y r. ontratvnost jao v prvním případě: ( ) ( ) Potom naše metoda spolehlvě onverguje cíl. Ilustrujme s to na příladu dvou rovnc o dvou neznámých: r(x, y)=0 a s(x, y)=0 převedeme na požad. tvar např. u(x, y)= r(x, y)+x, v(x, y)=s(x, y)+y (případně zvolíme vhodné oefcenty u r a s). Požadovanou přesnost výsledu budeme srovnávat s r r x x x x + y y. +1 = ( ) ( ) Pár slov řešení mnulých dvou úloh. V první šlo o snadnou varac na téma rozebírané mnule, věnujme se tedy raděj druhé z nch, ve teré jste měl analyzovat výsledy dosažené v předchozích metodách v závslost na dosažené přesnost. Něteří z řeštelů se něco taového pooušel jž v mnulých úlohách (možná jm nebylo jasné, co se od nch žádá). Uveďme napřed strohé výsledy: metoda bsece: hrubý počát. nterval (0,1;10) jemný počát. nterval (0,8;1,0) číslo řád dosažená hodnota číslo řád dosažená hodnota rou chyby rou chyby 7 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , metoda sečen: hrubý počát. nterval (0,1;10) jemný počát. nterval (0,8;1,0) číslo. řád ch. dosažená hodnota číslo. řád ch. dosažená hodnota 1 1 0, , , , , , , , Strana 5
6 14 8 1, , , , , , , , , , metoda tečen: hrubý počát. nterval (0,1;10) jemný počát. nterval (0,8;1,0) číslo. řád ch. dosažená hodnota číslo. řád ch. dosažená hodnota 9 1 1, , , , , , , , , , , Graf A znázorňuje obsah předchozích tabule počet roů řád přesnost bsece h. bsece j. sečny h. sečny j. tečny h. tečny j. Metoda regula-fals není zde zahrnuta: ja bylo poznamenáno dříve, onverguje v našem případě velm pomalu (hůře než bsece), doud nedosáhne dostatečného přblížení hledanému řešení. Proto by ležela v grafu něde vysoo nad vyneseným čaram. Ja je nejlépe patrno z grafcého znázornění, metoda bsece je rásně lneární, u druhých dvou metod není těžé proložt zísanou závslostí parabolu (abychom tento předpolad ověřl, musel bychom počítat do podstatně vyšších řádů přesnost, na což nám nedostačují výpočetní prostředy.) Úloha S. 5: (obyčejná) Sestavte program pro terační metodu a zvolte vhodnou onst. pro fc g., abyste dostal vhodný nterval oolo 1 splňující ontratvnost. Ověřte lneární onvergenc a zuste zjstt míru zrychlení př užtí Atnova procesu. Strana 6
7 Úloha S. 6: (prémová pro náročné - zvláštní dotace 5 bodů) Chceme-l demonstrovat metodu řešení soustavy rovnc na našem soanov, budeme muset přdat další podmínu: dejme tomu, že první dopad na prno se mu zdál přílš tvrdý; rozhodl se tedy rozývat prno natol (změnt ampltudu mtů), aby druhá sráža s prnem proběhla se zanedbatelnou vzájemnou rychlostí. Tedy ja hodnota Funce, ta Dervace (uvedená v mnulém díle) byla v oamž srážy rovna nule. Vašm úolem je najít potřebnou ampltudu A n a dobu druhého sou T n (odráží se opět dole ). Strana 7
8 Řešení Úloha III zasněžená (maxmum počtu bodů 5; řešlo 40 studentů) Uvažujme nejprve element dráhy Δs (vz Obr. C). Průmět síly F do směru pohybu je zřejmě Obr. C F = m g f cosα + m g snα. Element práce ΔW vyonané podél této dráhy je pa ΔW = F Δs, nebol v našem případě máme ΔW = ( m g f cosα + m g snα ) Δs. Jelož Δs Δy cosα = Δx / Δs a snα = Δy / Δs, dostáváme ΔW = m g f Δx + m g Δy. Po sečtení všech α příspěvů W = m g f x + m g y. Práce potřebná Δx na vytažení sáně tedy nezávsí na tvaru opce, ja většna z vás spávně uvedla. Nejčastější chybou bylo nesprávné použtí vztahu W = F s, terý platí pouze tehdy, mál síla stejný směr jao dráha s. Obecně platí W = F. s = F s cosβ, de β je úhel mez F a s. Jaroslav Hamrle Úloha III.... osta (maxmum počtu bodů 3, bonusu 1; řešlo 33 studentů) Po vhození hexaedru do vody se vznlé vlnění šíří podle Huygensova( Fresnelova) prncpu. Znamená to, že chceme-l znát novou vlnoplochu, zonstruujeme j jao vnější tečnou obálu tzv. elementárních vlnoploch. Tyto mají ruhový tvar a vycházejí ze všech bodů vlnoplochy staré (stuac lustruje Obr. D). Vlnoplocha po vhození hexaedru bude tedy vypadat as jao na Obr. E.Z obrázu je taé patrné, ja bude vlnoplocha vypadat ve velé vzdálenost bude se Obr. D Obr. E blížt ružnc. Sutečný obráze stuace je poněud složtější. Z expermentu bychom zjstl, že ruhový tvar vlnoplochy zpozorujeme mnohem dříve, než by mělo odpovídat naší představě. Část vlnoplochy vznlá od hrany bude pochoptelně mnohem výraznější než část vznlá od vrcholu, elementární vlnoplochy se tedy budou šířt převážně od Strana 8
9 hranové část vlnoplochy. Počítačovým modelem lze shodu této představy s realtou ověřt. Mchal Hvězda Úloha III polytropa (maxmum počtu bodů 5, bonusu 1; řešlo 3 studentů) Nejprve stanovíme závslost počtu sráže N S za jednotu času na stavových velčnách p,v a T. Jedna částce se za jednotu času srazí průměrně x rát, přčemž x = v / l, de v je střední rychlost atomu a l je střední déla dráhy mez srážam ( tzv. střední volná dráha ). Střední rychlost v závsí pouze na teplotě T, je úměrná T ( v T ). Střední volnou dráhu spočteme za zjednodušujícího předpoladu, že všechny ostatní atomy stojí. Bude-l průměr atomu D, pa se srazí s první částcí, jejíž střed bude ve válc s podstavou o poloměru D a s osou ve směru pohybu atomu. Střední volná dráha je pa taová výša válce, př teré se v něm náchází právě jedna částce, nebol n l π D = 1, de n je počet atomů v jednotce objemu. Pro počet sráže částce x ta dostáváme x = v π D n =(v π D N) / V, de N je celový počet atomů a V celový objem plynu. Poud bychom chtěl započítat pohyb ostatních atomů, musel bychom místo střední rychlost atomu v uvažovat střední vzájemnou rychlost mez částcem, což by se naonec projevlo pro náš účel nepodstatným fatorem. Mez celovým počtem sráže N S a počtem sráže jedné částce x platí jednoduchý vztah N S = 0,5N.x ( máme N částc, z nchž aždá se za jednotu času srází x rát, fator 0,5 je tam proto, abychom nezapočítával srážu dvarát ). Jestlže počet částc N zůstává během děje onstantní, dostáváme pro závslost celového počtu sráže N S na stavových velčnách N S T / V. Má-l se zachovávat celový počet sráže, pa T / V = K 1, taže T = K 1 V. Po dosazení do stavové rovnce pv = K K 1 V obdržíme pv -1 = K 3, de K 1, K, K 3 jsou nějaé onstanty. V případě b) je tedy α = 1. Počet sráže v jednotce objemu je zřejmě N S / V T / V. Obdobným postupem dostaneme T / V = L 1 ; T = L 1 V 4 ; pv = L L 1 V 4 ; pv -3 = L 3, de L 1, L, L 3 jsou opět onstanty. V případě a) vyšlo α = 3. Spousta z vás uvažovala, že tla je úměrný počtu sráže N S. Tato přímá souvslost exstuje pouze pro počet nárazů částc na stěnu. Počet těchto sráže je vša př běžných podmínách zanedbatelný vůč počtu sráže mez atomy. Saša Kupčo Úloha III odpor 4 rozměrné rychle (maxmum počtu bodů 5; řešlo 8 studentů) Odpor čtyřrozměrné rychle rychle byl pro vás snadnějším úolem než jsem čeal. Téměř Obr. F všchn jste jej určl správně a většna z vás se pousla s větším č menším úspěchem výslede zobecnt na n rozměrů. Nyní jž e správnému řešení. Čtyřrozměrnou rychl je možno vzhledem symetr úlohy přereslt do evvalentního zapojení podle Obr. F. V té vrstvě je m odporů a aždým teče proud I/ m, úbyte napětí na dané vrstvě je RI/ m. Celový odpor proto bude (vrstev máme n = dm) n R cel R1 odporů ve vrstvě. = 1 Strana 9
10 Jedným úolem zůstává určení m. Následující způsob řešení byl nejčastější. Mějme n rozměrný prostor, pravoúhlou soustavu souřadnou. Vrcholy rychle leží v bodech se souřadncem (0,0,...,0) až (1,1,..,1) (záps souřadnce bodu může obsahovat pouze 1 nebo 0). Defnujme vzdálenost vrcholu od počátu jao mnmální počet hran, přes teré musíme projít. Pro počet v d vrcholů vzdálených d od počátu platí vztah v d = n. Z vrcholu ve vzdálenost d vede (n-d) odporů vrcholům ve vzdálenost d+1. Počet odporů v té (mez vrcholy n vzdálené a +1 od počátu ) vrstvě je proto dán vztahem m = (n-d). Celový odpor n 1 bude R R ( n d) n cel = 1 d d. Pro n=4 dostáváme R cel =/3R a třeba pro n=5 = 1 R cel =8/15R. Pro velá n tato řada onverguje jao R cel =. R/n, což znamená, že pro n : R 0. Vladmír Slaví Úloha III grant strýča Srblía (maxmum počtu bodů 6, bonusu 3; řešlo studentů) Tuto úlohu vypracovalo as 0 řeštelů, z toho as 1/4 stále neví, co to znamená expermentální úloha! Jestlže navrhnete řešení, ale experment, ať jž z jaéhoolv důvodu neprovedete, nemůžete bohužel dostat více než 1/ možných bodů. Ale zpět příladu, celem nám došly 4 způsoby řešení: a) Prvním (nevyužívalo se zde napovězeného prověšeného provázu, ale to nebylo nutností) bylo řešení pomocí páy vytvořené z pravíta. Na jedné straně zavěšena lžíce, na druhé závaží. Posouváním po pravítu se hledala rovnováha. Celé nejdříve ve vzduchu, poté s ponořenou lžící ve vodě. Zde problém nebyl. b) Druhou metodou bylo přvázání provázu jednomu hřebíu a přehození Obr. G přes druhý jao ladu, vz Obr. G. Jeden z předmětů pa byl navázán na onc A B provázu, druhý zavěšen na úseu mez hřebíy. Soustava se vyrovnala ta, že rozlad m L vyrovnala m Z. Stačlo změřt např. DC. Totéž pa pro jedno ze závaží ponořené ve vodě. Zde bylo jednodušší m Z posunout závaží m Z do středu (jsté zjednodušení slového rozladu). m L Problémem bylo jstě tření mez provázem a hřebíem, teré jste řešl mazáním provázu č použtím oleča. I výsledy této metody vycházely v mezích normy. c) Třetí (oprot ostatním as nejméně přesnou) metodou bylo měření prodloužení ntě př zavěšení závaží známé hmotnost, lžíce ve vzduchu a ve vodě (dle Hooova záona). Bohužel hlníová lžíce není dostatečně těžá, aby toto prodloužení bylo rozumně měřtelné, z čehož plynula značná chyba měření. d) Čtvrtou a poslední metodou byla tzv. metoda ntových váže. Zde s řada řeštelů s tímto zařízením nepohrála a měřla zbytečně mnoho parametrů, potl se se slovým rozlady atp. Proto tuto metodu blíže rozebereme: Vycházelo se z provázu prověšeného mez hřebíy. Na prováze se zavěsla lžíce a závaží o známé hmotnost. Vz. Obr. I d d Strana 10
11 Nyní se posunovalo závažím (č lžící, č obojím) ta, aby se prováze mez lžící a závažím (CD) stal vodorovným (rovnoběžným s EF). Vz. Obr. H Úhly α a β určíme ze vztahů: x F1 y F1 tg( α ) = = tg( β ) = = h h po úpravě: F gz F gl y x = a tedy: y. FgL = x. F tg( β ) tg( α ) gz z toho dostáváme: m L x =. y m Z. Nyní ponoříme lžíc do vody a opět vyrovnáme podle Obr. H. a dosadíme do tvaru: x. F = y. F ; F = F V g gz gl ρ gl gl H O F = gv( ρ ρ ) ; V gl Al H O gm. L F gl =.( ρal ρh O ) ρ xy. po dosazení: ρal =. ρh O. xy x y Všechny velčny x, y,x',y', lze jednoduše a přesně změřt. Al m L = ρ Al Závěr: Ja je vdět, u těchto metod bylo možné dotáhnout řešení do tvaru, de nefguroval objem lžíce, terý část řeštelů zjšťovala ponořováním lžíce do ýblu a měřením změny úrovně hladny. To je př poměru objemů lžíce a ýblu metoda značně nepřesná (avša pravděpodobně jedná možná). Bylo lepší se měření objemu lžíce vyhnout úpravou na tvar, de se objem V nevysytoval. Mre Panoš Obr. I Obr. H A B A F 1 F 1 B E C m Z obr.. D m L F E α x F gz C m Z h m L F gl β D y F / AE/ = / BF / Strana 11
12 Pořadí řeštelů po třetím ole Jméno Příjmení Třída Šola Hand S III. BB PB cap s. 0 Student Plný. MFF UK Praha 100% Rudolf Sýora 3.A G Hejčín 8% Matouš Jrá 3.A G Říčany 87% Jndřch Kolorenč 4.G G Nová Paa 67% Mchal Fabnger 4.E G Nad Alejí Praha 67% Jří Franta 3.A G Příbram 87% Přemysl Kolorenč vnta G Nová Paa 98% Peter Macá 4.A G Jur. Hronca Bratslava 73% Martn Krse 4.A G J.K.Tyla Hradec Králové 77% Pavel Bubá 3.A G tř. pt. Jaroše Brno 86% Martn Hadráve 3.A G Jírovcova Česé 88% Budějovce Zdeňa Brolová vnta G Polča 107% Vlastml Křápe.C G Křenová Brno 98% Davd Nečas 4.A G tř. pt. Jaroše Brno 75% Jaub Mache 3.A G Žďár nad Sázavou 88% Marta Bednářová 4.A G tř. pt. Jaroše Brno 73% Jří Wale 4.B G souromé Havířov 78% Martn Hála vnta G Rumbur 98% Josef Šeda.C G Křenová Brno 99% Davd Stanovsý 4.D G Pardubce 75% Robert Šámal 4.D G Zborovsá Praha 75% Verona Štulíová 3.B G Beroun 89% Mchal Vopálensý 3.D G Jhlava 88% Jaroslav Brzá 3.? G Nový Bydžov 89% Petr Vejchoda 3.A G Brno 88% Martn Vohralí 4.D G Pardubce 78% Mchal Bursa 3.B G Jana Keplera Praha 88% Robert Špale 3.A G Brno 89% Václav Porod vnta G 100% Jan Rychtář 4.C G Strahonce 78% Jan Foretní 3.A G tř. pt. Jaroše Brno 88% Lubomír Zrnečo 4.? G Rumbur 78% Anna Jančaříová 3.C G Zborovsá Praha 87% Martn Čada 4.B G Jesení 79% Davd Bača 3.A G Frýdlant n. O. 89% Pavel Klang 3.A G tř. pt. Jaroše Brno 88% Mare Mášová 3.? G PORG Praha - Lbeň 89% Tomáš Kolsý.C G Zborovsá Praha 99% Jana Koláčová otáva PORG PORG Praha 8 - Lbeň 78% Strana 1
13 38-39 Gabrela Randáová 4.A G Brandýs nad Labem 79% Pavel Kraus vnta G Masaryovo Plzeň 99% Kaml Řezáč vnta G J. Vrchlcého Klatovy 110% Karel Kolář varta G Sušce 119% Tomáš Vojta 4.? G 79% Jří Sulovsý 3.D G F.X.Šaldy Lberec 89% Rudolf Bíle vnta G J. Vrchlcého Klatovy 100% Josef Janovec 4.B SPSt Pelcla Rychnov n. Kn. 79% Krstýna Kupová 4.C G Nad alejí Praha 6 79% Martn Navrátl 4.A G Karlovy Vary 78% Martn Číže 3.? SUSt Sezmovo ústí 90% Jří Smola Q G J. Vrchlcého Klatovy 109% Petr Doube 4.D G Pardubce 78% Jan Horáče 4.A G Valašsé Mezříčí 78% Zdeně Hrnčíř 4.A G Brandýs nad Labem 79% Blana Janoušová 4.A G Na Vítězné plán Praha 4 78% Mroslav Jíle 3.A G Polča 88% Vtore Šlísová vnta G Rumbur 110% Karel Švadlena 4.A G Česé Budějovce 79% Zdeně Žabortsý 4.C G F.M.Pelcla Rychnov n. Kn. 79% Rade Podhajsý 3.A G Maránsé Lázně 89% Mloš Rošot.C G BN Benešov 100% Matěj Lsza 4.A G Frýdecá Česý Těšín 78% Tomáš Belza 3.D 0 F.X.Šaldy Lberec 90% Josef Marcel Q G J. Vrchlcého Klatovy 100% Kateřna Nohavová.C G Jana Keplera Praha 100% Karel Borovča 3.D G F.X.Šaldy Lberec 90% Krstna Bartová 4.C G J.A.Komensého Uh. Brod 79% Matouš Borá 4.C G Čs. Exlu Ostrava - Poruba 80% Tomáš Černoch 4.C G Nad štolou Praha 78% Petr Hladí.A SPSa Mělní 100% Mona Šťástová 4.A G Praha 80% Pavel Krsten varta G Týn n. Vltavou 110% Petr Sedláče.C G Benešov 100% Termín odeslání: 1. větna 1995 Adresa: FKS, KTF MFF UK, V Holešovčách, Praha Strana 13
ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha
ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl
Více6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku
6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyu Úol : Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření..
VíceDYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ
DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceSTEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie
VíceŘešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky
Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
Více( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211
10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí
VícePOTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ
POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2
VíceZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich
MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceA NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.
A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:
Vícef(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =
Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží
VíceNumerické metody optimalizace
Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných
Víceradiační ochrana Státní úřad pro jadernou bezpečnost
Státní úřad pro jadernou bezpečnost radační ochrana DOPORUČENÍ Měření a hodnocení obsahu přírodních radonukldů ve vodě dodávané k veřejnému zásobování ptnou vodou Rev. 1 SÚJB únor 2012 Předmluva Zákon
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VíceOtázky z kapitoly Stereometrie
Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14
VíceMĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY
Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VíceMária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)
Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel
VíceMatematika I: Aplikované úlohy
Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí
VíceELEKTRICKÝ POHON S ASYNCHRONNÍM MOTOREM
4 EEKTCKÝ POHON AYNCHONNÍ OTOE Asynchronní otory (A), zvláště pa s otvou naráto, jsou jž řadu let nejrozšířenější eletrootory na naší planetě. talo se ta díy jejch onstruční jednoduchost, nízé ceně, vysoé
Více2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU
VŠB T Ostrava Faklta elektrotechnky a nformatky Katedra obecné elektrotechnky. ELEKTCKÉ OBVODY STEJNOSMĚNÉHO POD.. Topologe elektrckých obvodů.. Aktvní prvky elektrckého obvod.3. Pasvní prvky elektrckého
VíceJednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B.
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení ANOVA Rozšíením dvouvýbrových test pro stední hodnoty je analýza rozptylu nebol ANOVA, terá umožuje srovnávat nol stedních hodnot nezávslých náhodných výbr. Analýza
VícePříprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz
Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla
VíceTeoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO
rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž
Více(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada
(Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.
Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
VícePro zředěné roztoky za konstantní teploty T je osmotický tlak úměrný molární koncentraci
TRANSPORTNÍ MECHANISMY Transport látek z vnějšího prostředí do buňky a naopak se může uskutečňovat dvěma cestami - aktivním a pasivním transportem. Pasivním transportem rozumíme přenos látek ve směru energetického
VíceNumerická matematika A
Numercká matematka A 5615 A1 Máme dánu soustava lneárních rovnc tvaru AX = B, kde 4 1 A = 1 4 1, B = 1 a Zapíšeme soustavu rovnc AX = B ve tvaru upravíme a následně (L + D + P X = B, DX = (L + P X + B,
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam
VíceObr.94. Tečná reakce T r musí být menší nebo rovna třecí síle F t
7.3 Odpory při valení Valení je definováno tak, že dotykové body valícího se tělesa a podložky jsou v relativním klidu. Je zaručeno příkladně tak, že těleso omotáme dvěma vlákny, která jsou upevněna na
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je
VícePavel Burda Jarmila Doležalová
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceI Mechanika a molekulová fyzika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I Mechanika a molekulová fyzika Úloha č.: XVII Název: Studium otáčení tuhého tělesa Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12
VíceMěření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko.
Úol: Měřeí a trojfázovém trasformátoru aprázdo a aráto. 1. Změřte a areslete charateristiy aprázdo trojfázového trasformátoru 2,, P, cos = f ( 1) v rozmezí 4-1 V. Zdůvoděte průběh charateristi 2 = f (
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
Vícey = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich
Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma
Více9. MĚŘENÍ TEPELNÉ VODIVOSTI
Měřicí potřeby 9. MĚŘENÍ TEPELNÉ VODIVOSTI 1) střídavý zdroj s regulačním autotransformátorem 2) elektromagnetická míchačka 3) skleněná kádinka s olejem 4) zařízení k měření tepelné vodivosti se třemi
VíceKOMPENZACE PŘI KONSTANTNÍM ČINNÉM VÝKONU
OMPENZCE PŘ ONSTNTNÍM ČNNÉM VÝON sin Před ompenzaí Po ompenzai sin (Vr; V, ) ompenzaní výon sin sin (Vr; V, ) Veliost apaity ap C X ap ap C (; V, C (F; Vr, s 1, V) ) OMPENZCE PŘ ONSTNTNÍM ZDÁNLVÉM VÝON
VíceFYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření:.. 00 Úloha 4: Balmerova série vodíku Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek:. ročník,. kroužek, pondělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová
VíceMechanika zemin I 3 Voda v zemině
Mechanika zemin I 3 Voda v zemině 1. Vliv vody na zeminy; kapilarita, bobtnání... 2. Proudění vody 3. Měření hydraulické vodivosti 4. Efektivní napětí MZ1_3 November 9, 2012 1 Vliv vody na zeminy DRUHY
VíceZapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
7. Kruh, kružnice, válec 7. ročník - 7. Kruh, kružnice, válec 7.1 Kruh, kružnice 7.1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed
VíceMĚŘENÍ NAPĚTÍ A PROUDŮ VE STEJNOSMĚRNÝCH OBVODECH.
MĚŘENÍ NAPĚTÍ A PROUDŮ VE STEJNOSMĚRNÝCH OBVODECH. 1. Měření napětí ručkovým voltmetrem. 1.1 Nastavte pomocí ovládacích prvků na ss zdroji napětí 10 V. 1.2 Přepněte voltmetr na rozsah 120 V a připojte
Více4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)
4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk
Více3.3.4 Thaletova věta. Předpoklady:
3.3.4 Thaletova věta Předpolady: 030303 Př. : Narýsuj ružnici ( ;5cm) a její průměr. Na ružnici narýsuj libovolný bod různý od bodů, (bod zvol jina než soused v lavici). Narýsuj trojúhelní. Má nějaou speciální
Více7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ
7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů
VíceŘešení úloh 1. kola 53. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autořiúloh:J.Thomas(1,4,7),M.Jarešová(3),I.ČápSK(2),J.Jírů(5) P.
Řešení úloh. ola 53. ročníu fyziální olympiády. Kategorie B Autořiúloh:J.Thomas(,,7),M.Jarešová(3),I.ČápSK(),J.Jírů(5) P. Šedivý(6).a) Objem V ponořenéčástiválečuje63%objemu V celéhováleču.podle Archimedova
VícePraktikum II Elektřina a magnetismus
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum II Elektřina a magnetismus Úloha č. XI Název: Charakteristiky diod Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 13 dne: 17.10.2008 Odevzdal
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
Více1 Gaussova kvadratura
Cvičení - zadání a řešení úloh Zálady numericé matematiy - NMNM0 Verze z 7. prosince 08 Gaussova vadratura Fat, že pro něterá rovnoměrná rozložení uzlů dostáváme přesnost o stupeň vyšší napovídá, že pro
Více3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru
3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který
VíceBořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM
Posudek vedoucího bakalářské práce Bořka Letla Bolometre na tokamaku GOLEM Vedoucí práce: Ing. Vojtěch Svoboda, CSc Bořek Letl vpracoval svoj bakalářskou prác na tokamaku GOLEM, jehož rozvoj je závslý
VíceAgregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů
Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
Víceplynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu
Úloha 4: Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 2.11.2009 Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 11 Ročník
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VíceTématické celky { kontrolní otázky.
Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
VíceDISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)
DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceZáklady sálavého vytápění Přednáška 8
Faulta strojní Ústav techniy prostředí Zálady sálavého vytápění Přednáša 8 Plynové sálavé vytápění 2.část Ing. Ondřej Hojer, Ph.D. Obsah 4. Plynové sálavé vytápění 4.1 Světlé zářiče cv. 4 4.2 Tmavé vysooteplotní
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceStudent(ka): Písemná část státní závěrečné zkoušky Fyzika (učitelství) červen Bodové hodnocení: Hodnotil(a): Celkové hodnocení testu:
Spránou odpoěď zaroužujte. Celoé hodnocení testu: Úloha 1 (3 body) Mějme ýtah o hmotnosti m, terý je poěšen na laně přes penou ladu. Za druhý onec lana tahá silou F čloě, terý stojí onom ýtahu. Jeho hmotnost
VíceNUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT
NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT J. Tuma Summary: The paper deals wth dfferentaton and ntegraton of sampled tme sgnals n the frequency doman usng the FFT and
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:
Více2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký
VíceMetody operačního výzkumu přednášky
PEF - KOSA - Předměty - MOV4 MOV5syl - všehno předmětu pef.zu.z/osa see Předměty u zoušy - zajímá jí postup, numeré hyby nevadí 2 evdenčníh testů - na záladní vě 2 bodů za dobrovolné domáí úoly (poud bude
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
Více11. Odporový snímač teploty, měřicí systém a bezkontaktní teploměr
Úvod: 11. Odporový snímač teploty, měřicí systém a bezkontaktní teploměr Odporové senzory teploty (například Pt100, Pt1000) použijeme pokud chceme měřit velmi přesně teplotu v rozmezí přibližně 00 až +
VíceFunkční měniče. A. Na předloženém aproximačním funkčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funkci danou tabulkou:
Funční měniče. Zadání: A. Na předloženém aproximačním funčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funci danou tabulou: proveďte: U / V / V a) pomocí oscilosopu měnič nastavte b) změřte na něm jeho
VíceBřetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech
Více3. ročník, 2013/ 2014 Mezinárodní korespondenční seminář iks
Řešení 3. série Úloha C3. Rovnostranný trojúhelník o straně délky n je vyplněný jednotkovou trojúhelníčkovou mřížkou. Uzavřená lomená čára vede podél této mřížky a každý vrchol mřížky potká právě jednou.
VíceŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.
ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i
VíceElektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceDiamantová suma - řešení příkladů 1.kola
Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VícePOHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ
POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje
VíceSvětlo v multimódových optických vláknech
Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý
Více6 Mezní stavy únosnosti
6 Mezní stavy únosnosti U dřevěných onstrucí musíme ověřit jejich mezní stavy, teré se vztahují e zřícení nebo jiným způsobům pošození onstruce, při nichž může být ohrožena bezpečnost lidí. 6. Navrhování
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Více