ω m k 1 k 2 Skládání rovnoběžných kmitů

Transkript

1 Skládání rvnběžných kmů Prncpálně s njdná žádný nvý prblém, ať jsu km rvnběžné, nb různběžné vz další kapla, vžd vlasně jd bčjné skládání mchanckých phbů, kré j běžné v chncké prax a čas užívané v šklních příkladch plavc plav přs řku, vrh svslý a škmý, phb p sprál,. Uvědmm s, ž pdl. Nwnva zákna j každý phb důsldkm určé půsbící síl a pdl prncpu suprpzc jsu všchn phb, kré chcm skláda, vzájmně zcla nzávslé. Pr d můžm každý jdnlvý dílčí phb vpčía zcla samsaně, puz z phbvé rvnc s příslušnu slu krá h způsbuj - a závěrm pak všchn dílčí phb v lbvlném přadí slžím sčm. Nní s d přdsavm urču mdlvu suac, kd na jdný hmný bd půsbí dvě nzávslé pružné síl v sjném směru s. Přdpkládjm bcně různé síl, j. s různým knsanam pružns : F F k k Výsldkm samsanéh půsbní každé é síl na hmný bd jsu pm km bcně vzájmně dlšných vlasnsí : Kd pr úhlvé rkvnc plaí sandardní výraz : k m m k V m jdnduchém případě dvu jdnrzměrných phbů v jdné s, získám výsldný phb prsým skalárním sučm bu jdnlvých výchlk hmnéh bdu - a bud pě jdnrzměrný phb v sjné s : Hlavním paramrm, krý rzhdn knkréním výsldku h suču, j rkvnc bu dílčích kmů. Rzlším pr dva zásadní případ :

2 Skládání rvnběžných kmů sjné rkvnc V m případě d bud : Výchzí km jsu pm ppsán rvncm : pr výsldný phb plaí rvnc : Jd zřjmě njjdndušší mžný případ skládání rvnběžných kmů. Jž př dskus phbvé rvnc harmnckéh scláru jsm dšl k závěru, ž sučm dvu usvk sjné rkvnc j pě usvka nzměněné rkvnc má al jnu ampludu a ázvu knsanu. Pužjm d pakvaně sučvé vzrc :. Výpč ak pvrzuj, ž výsldný phb j skučně pě harmnckým phbm sjné rkvnc jak výchzí km. Jh ampluda a ázvá knsana jsu určn dvěma vzah, kré jsm pužl př výpču vz výš : Dsávám dvě rvnc pr dvě nznámé,, jjch vřšní s al nbudm věnva. J zřjmé, ž pužívání gnmrckých unkcí s rálným výchlkam vd k cíl pněkud ěžkpádnu csu. Ukažm s dál, jak napak puží kmplxních unkcí př skládání kmů j vlm jdnduché a lganní : Njprv běma jdnlvým kmům přřadím kmplxní var kmplxní unkc : Pm kmplxní var výsldných kmů bud jjch sučm :

3 Vdím, ž právě sjná rkvnc kmů umžňuj vknuí xpnncl a sční bu kmplxních amplud d výsldnéh kmplxníh čísla - kré pě - jak každé kmplxní čísl - můž bý zapsán v varu kmplxní amplud, bsahující nní skalární ampludu výsldných kmů a jjch ázvu knsanu φ : Vznklý sandardní var kmplxníh zápsu kmů d pakvaně a vlm jdnduš dkazuj, ž výsldné km jsu pě harmncké s sjnu rkvncí jak ba půvdní km. Přm výsldná kmplxní ampluda j sučm bu pčáčních kmplxních amplud : výsldná kmplxní ampluda znamná, ž výsldnu ampludu a ázvu knsanu rlavně jdnduš vpčíám z hdn ěch vlčn u pčáčních výchzích kmů : výsldná kmplxní ampluda Sčíání kmplxních čísl samzřjmě znamná sandardní sční jjch rálných a magnárních čásí. V m případě kmplxních xpnncl j mžn aké s výhdu puží jjch gracké znázrnění a sční jak vkrů, nbť ampluda kmů j absluní hdnu kmplxníh čísla délku úsčk, vkru a ázvá knsana j jh argumnm úhlm, krý vkr svírá s su x : x 3

4 mpludu výsldných kmů j pak mžn jdnduš dčís z grau jak délku výsldnéh vkru, nb j lz aké vpčía pmcí kvé vě : Z vzahu vdím výraznu závsls výsldné amplud na rzdílu ázvých knsan kmů, j. na ázvém rzdílu bu kmů : ázvý rzdíl kmů Puží kmplxních amplud v spjní s gracku mdu umžňuj d vlm rchlé sanvní výsldných paramrů kmů, j. výsldné skalární amplud a výsldné ázvé knsan. Puží kmplxních amplud j aké vlm výhdné pr řšní násldujícíh prblému : Maxmum a mnmum výsldné amplud : Zjména v chnckých aplkacích jsu důlžé xrémní výsldné phbvé sav, j. sav s maxmální, nb mnmální ampludu kmů u mchanckých knsrukcí z h pln maxmální, nb mnmální namáhání marálu, v lkrckých bvdch jd zsílní, nb zslabní výsldnéh sgnálu, j aké prncp čnns mnha nrrnčních a drakčních přísrjů, ad.. Právě z grackéh znázrnění kmplxních amplud j hnd jasné, ž pr maxmální výsldnu ampludu musí bý ba pčáční vkr suhlasně rvnběžné, j. musí pla vz br. : x Nb jnak : 0 Dsávám pdmínku pr ázvý rzdíl bu kmů. Přpusím-l bcně jh lbvlnu vlks, můžm zbcn : 0 ± n π. n 0,,,3 clé čísl Nb v njjdndušším varu : 4

5 ± nπ pdmínka maxma Slvně : Fázvý rzdíl bu kmů j rvn sudému násbku čísla π, km jsu d v áz. Sjně lhc vdím z grau pdmínku mnmální amplud - pčáční vkr musí bý nsuhlasně rvnběžné : x π ± n π. d v knčném varu : ± n π pdmínka mnma Slvně : Fázvý rzdíl kmů j rvn lchému násbku čísla π, km jsu d v práz. Pznámka k běma pdmínkám : Znak plus mínus v bu vzazích zdůrazňuj, ž nzálží na kladné, č záprné hdně ázvéh rzdílu. Pkud dnujm čísl n jak clé, kladné záprné, můžm aké n znak vpus, nb lz puží na lvé sraně rvnc absluní hdnu ázvéh rzdílu.. Skládání rvnběžných kmů různé rkvnc Výchzí km mají d různé rkvnc, bcně amplud a ázvé knsan : výsldný phb j pě jjch sučm : 5

6 6 Na rzdíl d přdchzích kmů sjné rkvnc n suč nlz vjádř nějaku harmncku unkcí, nlz h an přvés na jnu analcku unkc, dknc bcně an njví prdčns. a vlasns j u kmů ds závažná, zjsím d v dalších řádcích pdmínk prdčns. Pužjm bcnu mamacku dnc prd unkc jak njmnšíh nrvalu nzávsl prměnné, p krém s vžd pakuj hdna unkc a jjí průběh, vz br. : Jslž d unkc má mí nějaku prdu, musí zřjmě vžd pla : Dsaďm sm naš unkc vvřnu sučm kmů různé rkvnc : Jdná mžns zajšění prdčns u ěch kmplkvaných průběhů j zřjmě rvns usvk sjné rkvnc na bu sranách rvnc, j. : Dsávám rvns unkcí známé prdě π. Rvns prdcké unkc pr dvě hdn nzávsl prměnné všm znamná, ž hdn s lší právě prdu, nb jjí lbvlný násbk. Z h d plnu násldující pdmínk pr áz uvdných usvk : π π n n kd n a n jsu lbvlná clá čísla

7 P úpravě : 0 0 n n π π Čln s rkvncm přvdm na lvu sranu a bě rvnc vdělím : n n π π Vznkn ak jdnduchá pdmínka prdčns : n n pdmínka prdčns Úhlvé rkvnc výchzích kmů musí bý d v pměru lbvlných clých čísl. knsavání můžm samzřjmě vslv pr jjch rkvnc nb prd, nbť plaí známé vzah : π π Zdál b s, ž jsm pr km různé rkvnc včrpal mamacké mžns jjch ppsu. Ukázala s však mžns xakníh řšní násldujícíh spcálníh případu : 3 Skládání rvnběžných kmů blízké rkvnc Zd jd vlasně přdchzí prblém suču kmů různé rkvnc, krý bl v prncpu nřšlný : Pužjm však přídavný přdpklad blízkých rkvncí bu kmů, krý s vlm čas vskuj v chnckých rckých aplkacích vlm zajímavé a prncpální jv vznkají př vzájmném půsbní mírně rzladěných sclárů mchanckých lkrnckých, vzpmň aké na nucné km a zjména pak př nrrnc vlnění blízkých rkvncí vlnvé grup, spkrální analýza :, Vzpmňm jšě na mnulý dsavc, ž suac př skládání kmů různé rkvnc j vlm kmplkvaná a zjdndušm dál n prblém přdpkladm sjných amplud a sjných ázvých knsan, kré v prncpu nmhu změn výsldk půsbní různých rkvncí : 7

8 8 0 Pak ž dsanm jdndušší vzah : nní d prblémm puží klasckých sučvých vzrců pr gnmrcké unkc α β : Jslž značím : Pak lz jdnduš zapsa výsldk : km blízké rkvnc Můžm knsava, ž výsldk skládání dvu kmů blízké rkvnc má slžý průběh mamack njsu harmncké km - al prž zjvně plaí : 0 π lz n výsldk nrprva jak přblžně harmncké km prakck sjné rkvnc jak výchzí km, s vlm pmalu prměnnu usvu ampludu prž prda j vlká ampluda kmů blízké rkvnc d můžm psá : km blízké rkvnc

9 Km lz aké znač jak kvazharmncké. Snusvá ampluda nízké rkvnc vří jakus balvu křvku pr km vské rkvnc vz br.. akvý výsldk dsanm aké v lkrchnc př ampludvé mdulac. Z brázku vdím, ž prdcké změn amplud maxma s pakují s plvční prdu, j. s rkvncí : r r π π π π π Dsávám jdnduchý vzah pr rkvnc prdckých změn amplud, v akusc nazývaných ráz : r rkvnc rázů Vmzní rázů j d vlm přsným ndkárm shd rkvncí dvu kmů. Pr ldské uch bz hudbníh sluchu dbř pzná shdu rkvncí dvu ónů a j d například mžn pdl kalbrvanéh zdrj ladčk dknal nalad srun hudbníh násrj slad dhrmad clý rchsr knc kapl K. Rusňák, vrz 0/005, rv. 05/008 9