x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3

Transkript

1 I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení : Neeistuje, protože funkce f() ( ) v bodě 4 (,) Příklad. e d a lim f() ±. 4± (+)( 4) neníspojitá Řešení : Integrál eistuje. Funkce f() e sice není spojitá v bodě ( ) e (,), avšak limf() lim sin d cos d sin ano, lim 5. e d ano ne, lim π ± cos ± I.. Newtonova-Leibnizova formule Pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule vypočtěte integrály : Příklad 7. +sin d cos tg π 4 π 4 π 4. + cos cos d ( ) cos d π/4 tg Příklad 8. + d

2 Příklad 9. (+) / d +4 d +4 d 8 (+) / ( ) 8. (ln8 ln4) arctg ln π 8. Příklad d +4 d ln( +4) arctg Řešení : Integrovanou funkci nejdříve rozložíme na parciální zlomky a integrál vypočteme: 5+ + A + B, 5+ A(+)+B( ) + : 6 A A ; : 9 B B 5 ( I + ) 5 d ln +ln+ + ln4+ln7 ln ln4 ln7 ln4 ln 4 4. Pozor! Tentýž integrál na jiném intervalu a, b nemusí eistovat, bude-li a, b obsahovat aspoň jedno z čísel nebo. Příklad. π/ cos d Řešení : Zde využijeme, že funkce f() cos a je sudá, tj. f() d I Příklad. cos d π/ sin d +cos d +sin a π/ Řešení : Nyní využijeme to, že funkce f() sin je lichá, tj. Příklad. π cos d π +. Řešení : Odstraníme absolutní hodnotu: cos pro π,π a cos < pro, π ), takže pro daný integrál platí : π/ ( ) π ( ) I cos d+ cos d sin π/ π 6 + π π 6 + π/ + π 6. a a a f() d. f() d. π + sin π/

3 4.* 6. 4 π +9 d ln 5. e e +e d ln e +e 7. sin +cos d ln d ln 4 I.. Metoda per partes Vypočtěte integrály pomocí metody per partes : Příklad 8. π/ cos d Řešení : Integrovaná funkce je sudá. Tedy I Příklad 9. u, v cos u, v sin e Příklad. e π/ sin ln(+) d u ln(+), v u +, v + + π/ ln(+) d e ln(+) e sind u e, v sin u e, v cos cos d sin d π + cos e e π/ e cos + e cos d π/ π. d (e )lne + e (e lne). e cosd u e, v cos π/ u e, v sin + e sin 4 e sind. Dostali jsme rovnici I +e π 4I, ze které 5I +e π. Výsledek daného příkladu je I 5 (+eπ ). Příklad.* I n Řešení : pro n je I pro n je I pro n je I sin n d d π ; sind sin d π/ cos ; cos d sin π/ π 4 ;

4 pro n je I n sin n d sin n sin d sin n cos cosd π/ sin n ( cos )d u cos, v sin n cos u sin, v n sinn cos sin n I n sin n d. n n Dostaneme rovnici I n I n n I n, ze které vypočteme I n n n I n. Provedeme diskuzi : Pro { n k je In n n I k k n k k... I (k )!! π (k)!! ; n k + je I n n n I n k k k + k... I (k)!! (k +)!!. Tím jsme odvodili tzv. Wallisovy formule. Tentýž výsledek platí i pro cos n d, jelikož sin n d cos n d..* 4.* π sin 7 d cos 6 d arctgd y ln(+y)d, (y > ) 6 5 5π 6 π.* 5.* 7. π/ π/ e /e sin 8 d 5π 8 sin 9 d lnd e y(y +)ln(y +) y lny y I.4. Substituční metoda Vypočtěte integrály substituční metodou : Příklad 9. e +ln d Řešení : Použijeme substituci Příklad. /π /π I +ln t d dt dt 4 dt t t sin d t e t 4 ( ). a dostaneme 4

5 Řešení : Po substituci Příklad. I π + d 4 Řešení : Po substituci Příklad. I t d dt π sint dt π/ t d dt π π sint dt t π t π π cost t t dt +t arctg t π 4 π 8. 4 d Řešení : Použijeme substituci I sint d costdt 4 4sin t cost dt 4 t+ sint π/ Příklad. ( +4) d Řešení : Zvolíme substituci I 5 π π. +4 t d dt π/ obdržíme. získáme t t π/ cos +cost t dt 4 t 5 t 8 dt 8 t ( t 5 8 5) 8. a potom a dostaneme dt / π/ cos sin + d ln 5. arcsin d π sin d / π/ d ( ln) d +4+5 sin 5 cosd r 4r dr d +cos π 4 48 π 9 5