Coordinate system origin position determination

Transkript

1 . Non-symmetri Ctenry Nond-symmetri tenry hs generlly the sme shpe, only ends in points of different heights. To desribe non-symmetri tenry, we will look for suh oordintion system where the eqution of non-symmetri tenry is the sme s for symmetri one: y osh x m Coordinte system origin position determintion Presume tht we know the spn length, the onstnt nd the different of heights of suspension points h. We n thn write two equtions for x-oordintion of suspension points x A nd x (see Fig.1 nd use eqution bove for y A nd y ): - 1 -

2 d h A y A y x A x Fig..1. Position of oordintion system origin x x A x h osh osh x A We n solve this system of equtions for x (nd x A ). At this point we know the horizontl position of xes origin. To get the vertil position we will use gin eqution of tenry to solve y : - -

3 osh x y Now, the position of oordintion system origin reltive to the suspension points positions is defined. Ctenry vertex position Mximl theoretil sg f m is fm y Vertex of the tenry is between suspension points A nd if h osh Vertex of the tenry is in the low suspension point A if h osh Vertex of the tenry is not between suspension points A nd if h osh Length of non-symmetri tenry - 3 -

4 Length of wire between points A nd is Using A A x l 1 y dx 1 y dx x y osh x y sinh x We will get formul for evlution of length of the wire from oordintes x A nd x nd prmeter : x x x xa la osh dx osh dx sinh sinh (m) x A x owever, it is possible to find formul for l A tht uses prmeters independent on the oordinte system (prmeters nd dimensions h nd ). To derive the formul, let s exmine the following expression: - 4 -

5 la h x xa x xa sinh sinh osh osh x x x x x x x xa 4sinh 4sinh A A A osh osh sinh sinh osh We got the enquired formul: l h The expression in brkets is length of wire in se of symmetril tenry l h (for the sme nd ). Therefore: A sinh la h lh I tis lled generlized Pythgoren theorem d l A h A C l h Obr... Generlized Pythgoren theorem - 5 -

6 Sg of non-symmetri tenry Following sgs n be defined: / / l A h A x f k f v C C K V x l h f Obr..3 A V Obr..3b - 6 -

7 Chrteristi sg: in the middle between A nd vertil distne between tenry nd line A. x xa xk Apprent sg: It is vertil distne between line onneting points A nd nd prllel line tngentil to tenry. tg h sinh x v y v yv osh x - 7 -

8 3. Stress in wire - orisontl omponent of stress is onstnt long tenry. - Vertil omponent of stress in point t tenry is equl to the weight of weir between this point nd vertex. - Stress in ny point t tenry hs lwys tngentil diretion to the tenry. Při výpočtu průhybu jsme zjistili, že vodorovná složk nmáhání je v kždém bodě, tedy i v závěsném stejná. Výsledné nmáhání v závěsném bodě leží ve směru tečny k řetězove v tomto bodě. Směr tečny svírá v závěsném bodě s osou x úhel. Pltí tedy (MP) os pro tečnu v libovolném bodě řetězovky pltí - 8 -

9 y tg sinh x v závěsném bodě x úprvou dostneme 1 tg můžeme psát sinh osh os Po doszení dostneme y osh (MP) z rovnie průhybu dostneme fm osh 1 po doszení fm 1 fm z Tím jsme dostli vzth pro nmáhání v závěsném bodě řetězovky, který závisí pro dný vodič jen n průhybu f m. Když vezmeme v úvhu prbolu - 9 -

10 nmáhání f m z 8 8 bude th v závěsném bodě z y osh F S S S fm S y z S F y q1 q Z této rovnie je zřejmé, že th v závěsném bodě se rovná tíze vodiče délky y nebo thu ve vrholu F tíze vodiče délky rovnjíí se průhybu f m. Svislou složku nmáhání v určíme z obr..3. Pltí v závěsném bodě tedy v tg tg tg sinh x sinh - 1 -

11 sinh v kde je podle (.45) délk řetězovky ls sinh Doszením ls ls z ls z v (.61) svislou složku thu určíme z nmáhání sinh F Sv S S ls z ls q1 q q1 q Fv Svislý th v závěsném bodě se rovná tíze poloviční délky vodiče, zvětšené o přídvné ztížení. Všehny tyto vzthy pltí pro řetězovku i prbolu. Jen tehdy, je-li v závěsném bodě vodiče mehniké npětí lespoň o 4 % větší než v bodě průhybové křivky, je nutné uvžovt mehniké npětí v závěsném bodě. Tento přípd nstává u velkýh rozpětí nebo při velkém převýšení závěsů

12 - 1 -

13 4. Odvození stvové rovnie Předhozí výpočty vznikly z předpokldu, že nmáhání npnutého vodiče je konstntní. Ve skutečnosti se všk nmáhání mění vlivem teploty, námrzku větru. Jsme v oblsti konstntního průřezu, tzn. pltí ookův zákon. Nyní uvžujeme dv stvy vedení. Počáteční stv oznčíme indexem nový stv oznčíme indexem 1. Změn délky vodiče l (m) vlivem změny teploty se určí ze vzthu l l l pro činitel délkové tepelné roztžnosti ln ( -1 C ), l - původní délk zvěšeného vodiče (m), -1 - původní teplot vodiče ( C ), nová teplot vodiče ( C ). Změn délky vodiče l (m) vlivem změny nmáhání l l l pro E E - modul pružnosti vodiče (MP),

14 - horizontální složk nmáhání vodiče v původním stvu (MP), 1 - horizontální složk nmáhání vodiče v novém stvu (MP). Celková změn z l n l 1 se určí podle vzore 1 l l l l l l E Délk ln zvěšeného mezi dvěm stožáry při stvu k se vypočte podle vzore 3 k lk 4 k rozpětí (m). 1 - měrná tíh 1 m vodiče ( MP m ). Změn délky vlivem změny nmáhání se vypočte podle vzore 3 1 l l1 l

15 Porovnáním výše uvedenýh rovni dostneme stvovou rovnii l 1 1 E 4 1 Protože lze přibližně uvžovt l = potom lze psát stvovou rovnii ve tvru E 4 1 po úprvě do tvru kubiké rovnie pro výpočet nmáhání nového stvu 1 3 E 1 E 1 1 E Pro prxi se 1 nhrdí pomoí měrné tíhy vodiče v přetížení vodiče s pomoí následujííh rovni 1 v z1 v z potom stvová rovnie přejde n tvr 3 E v z E v 1 1 E 1 z

16 - 16 -