Spojitost funkcí více proměnných

Transkript

1 Spojitost funkcí více proměnných Euklidovský metrický prostor etrický prostor, metrika: nožina E 3 prvků z R 3 s metrikou ρ definovanou pro A = (a x, a y, a z ) R 3 a B = (b x, b y, b z ) R 3 vztahem ρ(a, B) = (a x b x ) 2 + (a y b y ) 2 + (a z b z ) 2 se nazývá Euklidovský metrický prostor. Prvky prostoru E 3 budeme nazývat body. Funkce ρ se nazývá Euklidovská metrika. Číslo ρ(a, B) se nazývá Euklidovská vzdálenost bodů A, B. Analogicky je možno definovat metriku v prostoru libovolné konečné dimenze. Okolí: Buď A E n bod z E n a ε > 0 kladné reálné číslo. Epsilonovým okolím bodu X rozumíme množinu označenou O ε (A) skládající se z bodů, jejichž vzdálenost od bodu A je menší než ε, tj. O ε (A) = {X E n : ρ(a, X) < ε}. Ryzím epsilonovým okolím bodu A rozumíme množinu O ε (A) definovanou tj. ε-okolí bodu A, s vyloučením bodu A. O ε (A) = O ε (A) \ {A}, Významné vlastnosti množin v Euklidovském prostoru V následujících definicích je X E n bod a E n podmnožina v Euklidovském prostoru E n (n = 2 nebo 3). Abstraktně je možno s těmtito pojmy pracovat i v prostorech libovolné konečné dimenze. Ohraničená množina: nožina se nazývá ohraničená, jestliže leží v (dostatečně velkém) okolí nějakého bodu Y E n. Vnitřní bod, vnitřek, otevřená množina: Bod X se nazývá vnitřním bodem množiny, jestliže X a existuje nějaké okolí O(X) bodu X ležící celé v množině, tj. O(X). nožina všech vnitřních bodů množiny se nazývá vnitřek množiny a označuje o. Je-li množina totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny vnitřní, říkáme, že množina je otevřená. Hraniční bod, hranice: Bod X se nazývá hraničním bodem množiny, jestliže každé okolí bodu X obsahuje alespoň jeden bod ležící v množině a současně alespoň jeden bod neležící v množině. nožina všech hraničních bodů množiny se nazývá hranice množiny a označuje. Uzávěr, uzavřená množina: Uzávěrem množiny rozumíme množinu definovanou jako sjednocení vnitřku a hranice množiny, tj. = o. Je-li množina totožná se svým uzávěrem (tj. obsahuje-li všechny své hraniční body), nazývá se uzavřená. Souvislá množina: nožina se nazývá souvislá, jestliže každé dva body, ležící v množině lze spojit lomenou čarou, ležící v. Oblast, uzavřená oblast, kompaktní množina: Otevřená souvislá množina se nazývá oblast. Uzavřená souvislá množina se nazývá uzavřená oblast. Uzavřená ohraničená množina se nazývá kompaktní. Spojitost funkce Spojitost skalární funkce: Nechť f : R n R je skalární funkce n proměnných definovaná v nějakém okolí bodu A R n. Řekneme, že funkce f je v bodě A spojitá, pokud pro každé okolí O(f(A)) bodu f(a) existuje okolí O(A) bodu A takové, že obrazy všech bodů z tohoto okolí bodu A leží v okolí bodu O(f(A)), tj. pro všechna X O(A) platí f(x) O(f(A)). Spojitost vektorové funkce: Nechť f : R n R m je vektorová funkce n proměnných definovaná v nějakém okolí bodu A R n. Řekneme, že funkce f je v bodě A spojitá, jestliže je v tomto bodě spojitá každá její komponenta. Elementární funkce: Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické funkce a obecná mocnina se nazývají základní elementární funkce Všechny funkce, které ze základních elementárních funkcí získáme konečným počtem operací sčítání, odečítání, násobení, dělení a skládání těchto funkcí navzájem se nazývají elementární funkce. Věta: Všechny elementární funkce jsou spojité v každém vnitřním bodě svého definičního oboru.

2 Parciální derivace Derivace Derivace je matematický prostředek, který umožňuje sledovat, měřit a porovnávat rychlosti změn fyzikálních veličin. Přirozeně se tak objevuje při formulaci a popisu téměř všech dynamicky probíhajících fyzikálních jevů. (Fyzikální popis světa tak je prezentovaný středoškolskou fyzikou je častou pouze jakousi aproximací ve které jevy probíhají konstantní rychlostí - například bez derivací umíme studovat pouze rovnoměrný nebo rovnoměrně zrychlený pohyb). Poznámka. Všude v následujícím textu budeme předpokládat, že funkce a derivace které zde vystupují jsou dostatečně hladké a rovnosti platí na dostatečně pěkných množinách. V praktických aplikacích bývají tyto předpoklady zpravidla triviálně splněny, proto je pro úsporu místa nebudeme vypisovat. Zájemce najde poučení v odborné literatuře. Obyčejná derivace Derivace funkce y = f(x) je definována vztahem f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Jedná se o veličinu udávající, jak rychle se mění funkční hodnoty funkce při změnách vstupních dat. Alternativní označení je df dx. Derivace f (x) je směrnice tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě [x, f(x)]. Lineární aproximací funkce y = f(x) v bodě x 0 je f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Slovy: funkční hodnota teď (v x) je funkční hodnota před chvílí (v x 0 ) plus celková změna, která je součinem rychlosti změny (f (x 0 )) a času, za který se změna udála (x x 0 ). Parciální derivace Pro funkce dvou proměnných rozlišujeme parciální derivace podle jednotlivých proměnných. f(x, y) x f(x, y) y = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h = lim h 0 f(x, y + h) f(x, y) h Obrázek 1: Parciální derivace funkce f v bodě [2, 2] jsou derivace křivek vzniklých na řezech rovinami x = 2 a y = 2. Jedná se o stejnou veličinu jako u obyčejné derivace, ale vždy jenom vzhledem k jedné proměnné. Parciální derivace xf tedy udává, jak rychle se mění f při změnách veličiny x. V definici a při výpočtu parciální derivace podle x je proměnná y konstantní. Geometricky to je možno interpretovat tak, že studujeme křivku, která vznikne na řezu grafu funkce z = f(x, y) rovinou y = konst. Alternativní označení: f x(x, y), f y(x, y). Aplikace parciálních derivací - základní myšlenky Parciální derivace f x je rychlost změny funkce f(x, y) při změnách veličiny x. Pokud se veličina x změní o x, funkční hodnota se změní o přibližně f x x. Pokud je veličina x známa s chybou x, veličina f je vypočítána s chybou f x x. Pokud je u celková vnitřní energie v jednotkovém objemu tělesa (hustota tepelné energie), je u t rychlost, s jakou se tato energie mění v čase. Pokud ke změně dochází pomocí vedení tepla, je tato derivace rovna tepelnému toku přes hranice. Pokud dochází ke generování tepla v tělese (chemická reakce, elektrický proud), je tato derivace rovna tepelnému výkonu zdroje. V obecném případě se oba faktory sčítají, což vede k odvození rovnice vedení tepla ze zákona zachování. Jednotkou derivace f x je jednotka veličiny f dělená jednotkou veličiny x. Analogická tvrzení jako pro veličinu x platí pro veličinu y.

3 Ve fyzice často pracujeme s funkcemi, které mají spojité parciální derivace. Takové funkce se nazývají hladké funkce. Aplikace parciálních derivací - brzdná dráha Příklad: Brzdná dráha L (v metrech) auta o hmotnosti m (v kilogramech) brzdícího z rychlosti v (v kilometrech za hodinu) je dána vzorcem L = kmv 2, kde k = (m hod 2 )/(kg km 2 ). Pro m = 1100 kg a v = 100 km/hod je brzdná dráha m. Parciální derivace podle m je L m = kv2 a pro zadané hodnoty vychází L m = m/kg. Každý kilogram hmotnosti nad 1100 kg auta jedoucího rychlostí 100 km/hod prodlouží brzdnou dráhu o cca 3.5 cm. Parciální derivace podle v je L v = 2kmv a pro zadané hodnoty vychází L v = m/(km/hod) = hod. Každý kilometr za hodinu nad 100 km/hod u auta vážícího 1100 kg prodlouží brzdnou dráhu o cca 76 cm. Zjednodušený vzorec pro brzdnou dráhu auta s hmotností blízkou 1100 kg a rychlostí blízkou 100 km/hod je L (m 1100) (v 100), kde hmotnost a rychlost se dosazují v kilogramech a kilometrech za hodinu a brzdná dráha vychází v metrech. Z parciální derivace podle v víme, že změna rychlosti o v změní brzdnou dráhu přibližně o L 2kmv v. Nabízí se otázka, proč s touto přibližnou informací pracovat, když změnu umíme určit i přesně, L = km(v + v) 2 k mv 2 = 2kmv v + k m( v) 2. Překvapivě, přibližný vzorec založený na derivacích je skoro vždy jednodušší, než přesný výpočet změny. Tento efekt je možné vidět u druhé mocniny, je výraznější u vyšších mocnin a stane se fatálním u obecných neceločíslených mocnin nebo obecnějších funkcí. Pokud náš výpočet vstupuje do komplexnějších inženýrských modelů, staly by se neřešitelnými. Že s derivací jde jenom o aproximaci vůbec nevadí, protože zapojením důmyslných matematických postupů zapracovaných přímo v definici (limita) srážíme chybu na nulu. Zákon šíření chyb (chyba nepřímo měřené veličiny) V praxi často měříme nepřímo veličinu f tak, že měříme veličiny x 1, x 2,..., x n a hodnotu veličiny f určíme pomocí vzorce f(x 1, x 2,..., x n ). ěření každé z veličin je zatíženo chybou. Je-li chyba veličiny x i rovna x i, způsobí tato odchylka to, že chyba veličiny f bude (v souladu se vzorcem pro lineární aproximaci) přibližně f f x i x i elkovou chybu veličiny f můžeme určit sečtením chyb způsobených jednotlivými veličinami x i. Častěji se však používá následující vzorec f(x 1, x 2,... x n ) označovaný zákon šíření chyb. Zákon šíření chyb - příklad ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f f f x 1 + x x n x 1 x 2 x n Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-chill factor) je W (T, v) = T 11.37v T v 0.16, kde T je teplota (ve stupních elsia) a v je rychlost větru (v km/hod). Teplota byla změřena 11.0 s chybou 0.2 a rychlost 26 km/hod s chybou 5 km/hod. S využítím zákona šíření chyb určíme, jaký vliv mají nepřesnosti v měření na nepřesnost vypočítané veličiny. Dosazením do vzorce dostáváme W ( 11, 26) = Derivováním dostáváme W T (T, v) = v0.16, W v (T, v) = v T v 0.84 a po dosazení W ( 11, 26) = 1.289, T W v ( 11, 26) = hod/km. Za dané teploty a rychlosti větru způsobí nárůst teploty o jeden stupeň nárůst pocitové teploty přibližně o 1.3 stupně. Podobně, zesílení větru o jeden kilometr za hodinu způsobí snížení pocitové teploty přibližně o 0.16 stupně. Ze zákona šíření chyb dostáváme pro chybu pocitové teploty (dosazováno bez jednotek) W = ( ) 2 + ( ) 2 = Pocitová teplota je tedy W = 20.2 ± 0.9.

4 Gradient Gradient je definován pro skalární funkce Gradient funkce dvou proměnných f(x, y): grad f = Gradient funkce tří proměnných f(x, y, z): grad f = ( f x, f ) y ( f x, f y, f ) z Formálně většinou zapisujeme gradient f, kde vystupuje operátor nabla definovaný vztahem ( = x, y, ) z nebo = ( x, ) y (v závislosti na počtu proměnných funkce f). Násobení x chápeme jako parciální derivaci f x. Gradient je v každém bodě kolmý k vrstevnici. Gradient v přírodě a přírodních zákonech s funkcí f přitom V jednorozměrném případě je gradient totéž co derivace. Přesto se někdy z tradičních důvodů respektujících zvyklosti oboru nemluví o derivaci, ale o gradientu. Například mluvíme o gradientu teploty při studiu tepelně izolačních vlastností izolačních materiálů. Pokud máme na mysli vrstvu z jednoho materiálu (a ne například sendvičovou stěnu), je rozložení teploty lineární a dokonce v tomto případě pojmem gradient vlastně označujeme směrnici přímky. S gradientem souvisí majáková navigace při migraci živočichů. Ti sledují určitý chemický podnět a pohybují se ve směru největšího růstu tohoto podnětu (tj. ve směru gradientu). Například žralok ve vodě takto sleduje koncentraci krve. Pokud je mezi žralokem a zdrojem krve proud, který krev unáší, nepopluje žralok rovnou čarou ke zdroji krve, ale koncentrace krve ho povede po delší trase. Pokud se zajímáme nejenom o směr, ale i velikost gradientu, pomůže to k posouzení jak rychle se mění veličina v prostoru (gradient je velký, jsou-li vrstevnice nahusto). Síla ( F ) působící na těleso v silovém poli ve kterém je možno zavést potenciální energii (V ) je gradientem potenciální energie vynásobeným faktorem 1 (záporně vzatý gradient). F = V Pro jednorozměrnou úlohu a těleso v potenciálové jámě (tj. v rovnovážném stavu, kdy je minimum potenciální energie) můžeme potenciál v okolí minima aproximovat pomocí Taylorova rozvoje V (x) V V (0)x 2 + (souřadnice volíme tak, že toto minimum je pro x = 0) a je-li xv (0) V (0), potom F = V = V (0)x = kx. To znamená, že síla je úměrná výchylce, stejně jako u tělesa na pružině. Podobně ve vícerozměrném případě. V homogenním tíhovém poli s osou z svisle nahoru je gravitační potenciál (potenciální energie tělesa o jednotkové hmotnosti) dán vztahem φ(x, y, z) = gz a gradient je konstantní vektor φ = (0, 0, g). Proto je práce přímo úměrná potenciálu a má smysl práci (změnu potenciální energie) považovat jenom za jiné vyjádření výškového rozdílu (změnu souřadnice z) Dokonce je to možné interpretovat jako změnu jednotek. Při proudění vody v půdě nebo v rostlinách hraje roli celá řada různých příspěvků k potenciální energii, jako gravitace, vnější tlak, osmóza, kapilarita. Pro pohodlnou práci někdy všechny tyto faktory přepočítáváme na odpovídající rozdíl výšek vodního sloupce, čímž je dána piezometrická hladina. Je to vlastně celková potenciální energie přepočtená na výšku vodního sloupce. Většina proudění v přírodě je způsobena gradientem veličiny, která je hybatelnou silou tohoto proudění. Například vítr vznikne rozdílem v prostorovém rozložení tlaku (nenulovým gradientem). Často je intenzita proudění úměrná tomuto gradientu (Fickův zákon). Například hustota toku j při difúzi vody ve dřevě je dána vztahem j = D c, kde c je koncentrace vody a D je difúzní konstanta. Lineární aproximace funkce Lineární aproximací funkce z = f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) je f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) x nebo (pomocí gradientu) (x x 0 ) + f(x 0, y 0 ) (y y 0 ) y f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ). Tečná rovina ke grafu funkce z = f(x, y) vedená bodem [x 0, y 0, z 0 ], kde z 0 = f(x 0, y 0 ) má rovnici z = z 0 + f(x 0, y 0 ) x nebo (pomocí gradientu) (x x 0 ) + f(x 0, y 0 ) (y y 0 ), y z = z 0 + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ).

5 Lineární aproximace funkce - příklad Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-chill factor) je W (T, v) = T 11.37v T v 0.16, kde T je teplota (ve stupních elsia) a v je rychlost větru (v km/hod). Teplota byla změřena 11.0 s chybou 0.2 a rychlost 26 km/hod s chybou 5 km/hod. Na předchozích slidech jsme vypočítali W ( 11, 26) = W ( 11, 26) = 1.289, T W v ( 11, 26) = hod/km. Přibližný vzorec pro pocitovou teplotu platný pro teploty blízké 11.0 a rychlosti větru blízké 26 km/hod je Tečna k vrstevnici W (T + 11) 0.163(v 26). Pro z = 0 = z 0 dostáváme z tečné roviny následující: Nechť f(x 0, y 0 ) = 0. Tečna k vrstevnici funkce f(x, y) na úrovni nula, tj. ke křivce 0 = f(x, y), vedená bodem [x 0, y 0 ] má rovnici 0 = f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ). Implicitně definovaná funkce ějme funkci f(x, y) dvou proměnných a její vrstevnici na úrovni f(x, y) =. (1) Tato rovnice za jistých okolností může definovat y jako funkci proměnné x. Věta o implicitní funkci: Uvažujme funkci f(x, y) dvou proměnných, splňující v nějakém bodě (x 0, y 0 ) podmínku f(x 0, y 0 ) = 0 a mající v okolí bodu (x 0, y 0 ) spojité parciální derivace. Rovnice f(x, y) = 0 vrstevnice na úrovni 0 popisuje křivku procházející bodem (x 0, y 0 ). Platí-li f(x 0, y 0 ) 0, y je rovnicí f(x, y) = 0 v okolí bodu (x 0, y 0 ) implicitně určena právě jedna spojitá funkce y = g(x) (tj. vrstevnice je v okolí bodu (x 0, y 0 ) grafem nějaké spojité funkce g). Funkce g z předchozího bodu má v x 0 derivaci f(x 0,y 0) g (x 0 ) = x. f(x 0,y 0) y Lokální extrémy funkce více proměnných Podobně jako pro funkce jedné proměnné definujeme i pro funkce více proměnných lokální extrémy následovně: funkce má v daném bodě lokální minimum, pokud v nějakém okolí tohoto bodu neexistuje bod s menší funkční hodnotou a podobně, funkce má v bodě lokální maximum, pokud v okolí tohoto bodu neexistuje bod s vyšší funkční hodnotou. Věta (Fermatova nutná podmínka pro lokální extrémy): Jestliže funkce více proměnných má v nějakém bodě svůj lokální extrém, pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová. V bodě lokálního extrému hladké funkce je tedy nulový gradient. Složené funkce Derivace složené funkce f(x, y), kde x = x(u, v), y = y(u, v) je f u = f x x u + f ( y x y u = f u, y ). u Derivace složené funkce f(x, y, z), kde x = x(t), y = y(t), z = z(t) (derivace podél křivky): df dt = f dx x dt + f dy y dt + f ( dz dx z dt = f dt, dy dt, dz ). dt Je-li křivkou vrstevnice, je f konstantní podél křivky, derivace je nulová, protože funkční hodnoty se nemění. Skalární součin ( je nulový ) a gradient f je kolmý na dx tečný vektor k vrstevnici, tj. na vektor dt, dy dt, dz dt. Druhá derivace Druhá derivace je derivace první derivace. U funkce dvou proměnných připadají v úvahu čtyři kombinace. x x f, x y f, y x f, y y f.

6 Věta (Schwarzova). Jsou-li smíšené derivace hladké na otevřené množině, jsou zde stejné, tj. platí f x y = f y x. Vzhledem k této větě existují jenom tři druhé parciální derivace. Je tedy bezpečné psát nebo Totální diferenciál 2 x 2 f, 2 x y f, 2 y 2 f, f xx, f xy, f yy. Totálním diferenciálem funkce z = f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) nazýváme výraz df = f(x 0, y 0 ) (dx, dy) = f(x 0, y 0 ) x áme-li vektorové pole resp. máme-li výraz F (x, y) = ((x, y), N(x, y)), (x, y)dx + N(x, y)dy, dx + f(x 0, y 0 ) dy. y Laplaceův operátor Laplaceův operátor, je definován v kartézských souřadnicích a trojrozměrném prostoru vztahem f = 2 ( x) 2 f + 2 ( y) 2 f + 2 ( z) 2 f. V prostorech jiné dimenze postupujeme analogicky, jenom vynecháme nebo přidáme derivace podle dalších proměnných. Označení symbolem je stejné jako změna funkce f a je nutné tyto dva významy symbolu nezaměňovat. hceme-li se vyhnout nedorozumění, je možno pro označení Laplaceova operátoru používat 2 namísto. Laplaceův operátor vystupuje v problémech týkajících se elektrického nebo gravitačního potenciálu, difuze, nebo kmitů a šíření vln. Vlnová rovnice popisující vlnění resp. chvění je rovnice 1 c 2 2 u t 2 = 2 u. Například u kmitání struny nebo membrány je v odvození této rovnice i lineární aproximace sin x x. Vedení tepla v prostředí bez zdrojů nebo spotřebičů tepla je popsáno rovnicí u t = D 2 u. Při ustáleném vedení tepla je derivace podle času nulová a takové vedení tepla je popsáno rovnicí 0 = 2 u. Stejná rovnice popisuje proudění obecně. Například proudění podzemní vody propustnými vrstvami půdy. může nastat otázka, zda k tomuto výrazu existuje totální diferenciál, tj. zda existuje skalární funkce f, jejímž gradientem je vektorové pole F. Toto je důležitá otázka ve fyzice, protože umožňuje rozhodnout, ke kterému silovém poli je možno zavést potenciální energii. Funkce f se v tomto kontextu nazývá skalární potenciál vektorového pole nebo kmenová funkce diferenciálu. Věta (platí za předpokladu dostatečně hladkých funkcí na otevřené množině): Vektor F (x, y) = ((x, y), N(x, y)) je gradientem nějaké funkce f(x, y) právě tehdy když platí (x, y) = N(x, y). y x

7 Vektorová analýza Vektorová analýza Studujeme funkce R 2 R 2 nebo R 3 R 3. Bodům v rovině jsou přiřazeny vektory. ůžeme interpretovat jako rychlostní pole nebo silové pole. 2D: F : R 2 R 2, ve složkách píšeme F = (P, Q) = P i + Q j, kde P a Q jsou (skalární) funkce dvou proměnných. 3D: F : R 3 R 3, ve složkách píšeme F = (P, Q, R) = P i + Q j + R k, kde P, Q a R jsou (skalární) funkce tří proměnných. Příklady vektorových polí v rovině Homogenní pole F 1 = (0, 1) = j. Každý vektor je stejný (směr i velikost). Radiální pole F 2 = (x, y) = x i + y j. Každý vektor směřuje od počátku souřadnic. Rotující pole F 3 = ( y, x) = y i + x j. Je kolmé na radiální pole. Každý vektor je tečný ke kružnici se středem v počátku souřadnic. Radiální pole s konstantní velikostí vektorů F F 4 = 2 (x, y) F = 2 x2 + y = x i + y j 2 x2 + y. 2 Každý vektor směřuje od počátku souřadnic a má jednotkovou délku. Radiální pole ubývající s kvadrátem vzdálenosti od počátku a mířící do středu F F 5 = 4 x 2 + y 2 = x i + y j (x 2 + y 2 ). 3/2 S druhou mocninou ve jmenovateli ubývá například 3D gravitační pole nebo elektrostatické pole generované hmotným bodem nebo koulí. Rychlost při proudění vazké tekutiny ubývá směrem ke stěnám. Tekutinu proudící doprava je možné pro y [0, 1] modelovat vektorovým polem F 6 = (y(1 y), 0) = y(1 y) i. Divergence Pro vektorovou funkci F = (P, Q, R) = P i + Q j + R k, kde P, Q a R jsou funkce tří proměnných x, y a z definujeme divergenci vztahem div F = F = P x + Q y + R z. Pro vektorovou funkci dvou proměnných definujeme divergenci analogicky, pouze chybí třetí člen. Použití: Divergence je tok vektorového pole přes hranici infinitezimálního objemu v daném místě, vztažený na jednotku objemu. Vektorové pole, jehož divergence je rovna nule, se nazývá nezřídlové pole. Siločáry nezřídlového pole nikde nezačínají ani nekončí a jsou to uzavřené křivky. Stacionární magnetické pole je nezřídlové (rozříznutím tyčového magnetu vzniknou dva magnety, nevznikne samostatný jižní pól a severní pól magnetu.) Rovnice kontinuity. ρ t + div j = s Je-li F = f, potom platí div F = 2 f x f y 2 = 2 f, tj. divergence gradientu je Laplaceův operátor.

8 Rotace Pro vektorovou funkci tří proměnných F = P i + Q j + R k definujeme operátor rotace symbolicky vztahem rot F = F i j k = x y z P Q R. Výsledkem rotace je tedy vektor, jehož komponenty jsou ( rot F R = y Q ) ( P i + z z R ) j + x ( Q x P y ) k. Použití: Vektorové pole, jehož rotace je rovna nulovému vektoru se nazývá nevírové pole a ve fyzice má důležité postavení - je v něm možno zavést potenciál a potenciální energii. Faradayův zákon elektromagnetické indukce. rot E = B t Představme si vektorové pole charakterizující rychlost proudící tekutiny. Rotace udává, zda má pole tencenci uvést do rotace objekt unášený tímto prouděním. Nejedná se tedy o to, zda se pole točí či netočí jako u víru při vypouštění umyvadla. Příkladem je přímý tok v řece, kdy rychlost u břehu klesá. V důsledku toho se loďka, která odrazí od břehu kolmo stočí po proudu. imo středovou osu má pole nenulovou rotaci, i když ve všech bodech míří stejným směrem. Pozor: anglický výraz pro rotaci je curl. Rotace významných polí Dostředivé pole ubývající s libovolnou mocninou vzdálenosti má nulovou rotaci. Pro F (x, y) = x i + y j (x 2 + y 2 ) n platí rot F (x, y) = 0. Obrázek 1: Tok kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými stěnami jako pole s nenulovou rotací. Rychlost proudu klesá kvadraticky směrem ke břehům a díky tomu se loďka stáčí po proudu. Rotace pole kolmého na dostředivé pole závisí na mocnině, se kterou toto pole ubývá. Pro F (x, y) = y i + x j (x 2 + y 2 ) n platí rot F 2(n 1) (x, y) = (x 2 + y 2 ) n k. Všechna tato pole rotují (ve smyslu celkového pohybu) proti směru hodinových ručiček, rotace (ve smyslu operátoru rotace) je však jednou kladná a jednou záporná, podle znaménka výrazu n 1. Pokud bychom takovým polem nechali unášet drobný míček, v jednom případě by jej pole otáčelo po směru a v jiném případě proti směru hodinových ručiček. Pro n = 1 by se míček neroztočil okolo vlastní osy vůbec. Rotace gradientu je nulový vektor Buď ϕ(x, y, z) : R 3 R 3 skalární funkce a buď F (x, y, z) = ϕ(x, y, z). Vypočtěte rot F. Řešení. ( ϕ F = x, ϕ y, ϕ ) z rot F i j k = x y z ϕ ϕ ϕ x y z ( ϕ = i y z z ) ( ϕ ϕ + j y z x x ) ϕ + z k ( ϕ x y ) ϕ y x Podle Schwarzovy věty (nezáleží na pořadí derivování) je každá závorka rovna nule. Proto platí rot F = 0.

9 Rotace gradientu je nulový vektor. Později uvidíme, že platí do jisté míry i obrácená vlastnost: pokud je rotace vektorového pole nulová, je toto pole gradientem nějaké skalární veličiny. Pokud při proudění tekutiny má pole rychlosti nulovou rotaci (většinou platí pro relativně malé rychlosti), je možné pro toto pole zavést tzv. rychlostní potenciál (velocity potential). To je na rozdíl od rychlosti veličina, která není vektorová a proto se s ní lépe pracuje. Divergence rotace je nula Buď F : R 3 R 3 hladké vektorové pole. Vypočtěte div(rot F ) Řešení. F = P i + Q j + R k rot F = F i j k = x y z P Q R = ( R y Q ) ( P i+ z z R ) ( Q j+ x x P ) k. y Použijeme definici divergence, větu o derivaci součtu a přeskupíme sčítance. div(rot F ) = ( R x y Q ) + ( P z y z R ) + ( Q x z x P ) y = R x y Q x z + P y z R y x + Q z x P z y = R x y R y x + P y z P z y + Q z x Q x z Podle Schwarzovy věty platí Odsud dostáváme Divergence rotace je nula. R x y = R y x Q x z = Q z x P y z = P z y div(rot F ) = 0. Dá se ukázat, že platí do jisté míry i opačná vlastnost a pro pole s nulovou divergencí se dá často toto pole psát jako rotace nějaké vektorové funkce. Této funkci se říká vektorový potenciál a je dobře známa například u magnetismu. U rovinného proudění tekutin má tento vektorový potenciál nenulovou jenom třetí složku, která se nazývá proudová funkce (stream function) a její vrstevnice jsou proudnice.

10 Křivkový integrál Obrázek 1: Křivkový integrál prvního druhu Obrázek 2: Křivkový integrál druhého druhu Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou přes kterou integrujeme není úsečka, ale křivka. Pro jednoduchost budeme uvažovat dvourozměrnou křivku v rovině x, y. Rozeznáváme dva druhy křivkových integrálů. První z nich používáme, pokud pracujeme se skalárními veličinami, jako například kvadratický moment. Druhý z nich používáme pokud pracujeme ve vektorovém poli, například při výpočtu práce vykonané po křivce. Parametrické rovnice křivky Nejprve představíme matematický aparát pro popis křivek. Rovinné křivky nejčastěji popisujeme vektorovou funkcí jedné proměnné, resp. dvojicí skalárních funkcí. r : R R 2 r(t) = [ϕ(t), ψ(t)] = ϕ(t) i + ψ(t) j, t [α, β] Skalární popis křivky: { x = ϕ(t) = y = ψ(t), t [α, β] Graf křivky dostaneme tak, že pro každé t z intervalu [α, β] kreslíme ve 2D bod [ϕ(t), ψ(t)]. Funkce ϕ(t), ψ(t) nazýváme parametrizace křivky Pro danou křivku v rovině xy, nejsou její parametrické rovnice dány jednoznačně. Parametrizace kružnice, úsečky a grafu funkce jedné proměnné: viz seznam vzorců Křivkový integrál prvního druhu Pokud uvažujeme drát o lineární hustotě f a délce s, je hmotnost drátu rovna součinu m = fs. Uvažujme drát, který není homogenní, leží podél rovinné křivky a jeho specifická hmotnost se mění a bodě (x, y) je dána funkcí f(x, y). elkovou hmotnost můžeme odhadnout takto: yšlenkově rozdělíme drát na malé kousíčky a každém z nich odhadneme lineární hustotu konstantou. ůžeme například použít minimální hodnotu hustoty v tomto kousíčku. Vynásobením délkou každého kousíčku obdržíme jeho hmotnost a sečtením přes všechny kousky dostaneme dolní odhad pro hmotnost drátu. Tento odhad bude tím přesnější, čím jemnější dělení použijeme. Zjemňováním dělení se tyto odhady zpřesňují. V limitním procesu, kdy se délka všech kousíčků blíží k nule, dostáváme objekt, který se nazývá křivkový integrál prvního druhu, označuje f ds

11 Převod na Riemannův integrál (prostorová křivka) Podobně jako v rovině převádíme na Riemannův integrál i křivkový integrál prvního druhu po prostorové křivce Délkový element je a integrál má tvar f ds = : ϕ(t) i + ψ(t) j + ξ(t) k, t [α, β]. β α ds = ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) + ξ 2 (t)dt f(ϕ(t), ψ(t), ξ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) + ξ 2 (t) dt. Obrázek 3: Dvě různé parametrizace jednotkové kružnice a fyzikálně vyjadřuje hmotnost drátu z výše uvažované úlohy. Pokud počáteční a koncový bod křivky splývají, píšeme též f ds a integrál nazýváme integrálem po uzavřené křivce. Převod na Riemannův integrál (rovinná křivka) ějme parametrické rovnice křivky ve vektorovém tvaru r(t) = ϕ(t) i + ψ(t) j, kde t [α, β]. Derivováním křivky dostaneme d r(t) dt = ϕ (t) i + ψ (t) j a výpočtem délky vektoru (a formálním vynásobením výrazem dt) dále ds = d r(t) = (ϕ (t)) 2 + (ψ (t)) 2 dt. Tím se křivkový integrál prvního druhu funkce f(x, y) po křivce transformuje na Riemannův integrál f ds = β α f(ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu Funkce f(x, y) Integrál f ds 1 délka křivky lineární hustota hmotnost m křivky τ(x, y) 1 m [xτ(x, y), yτ(xy)] souřadnice těžiště křivky x 2 τ(x, y) moment setrvačnosti křivky vzhledem k ose y y 2 τ(x, y) moment setrvačnosti křivky vzhledem k ose x ρ 2 (x, y)τ(x, y) moment setrvačnosti křivky vzhledem k obecné ose, kde ρ(x, y) je vzdálenost bodu [x, y] od osy otáčení. Vlastnosti křivkového integrálu prvního druhu Křivkový integrál prvního druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky. Pro různé parametrizace stejné křivky má integrál stejnou hodnotu. Křivkový integrál prvního druhu je lineární vzhledem k funkci a aditivní vzhledem k oboru integrace. Přesněji, pro funkce f a g a konstantu k platí následující. f + g ds = f ds + g ds kf ds = k f ds Je-li křivka rozdělena na dvě disjunktní (až na koncové body) křivky 1 a 2,

12 platí f ds = f ds + 1 f ds. 2 Křivkový integrál druhého druhu Pokud působíme na těleso silou F a přemísťujeme toto těleso ve směru působící síly po dráze délky s, konáme práci W = F s. Pokud přemísťování neprobíhá ve směru působící síly a má-li síla směr F a posunutí s, je práce rovna skalárnímu součinu F s. Předpokládejme, že na těleso působí (obecně nekonstantní) síla F a těleso se pohybuje podél křivky určené polohovým vektorem r(t). Pro výpočet práce můžeme použít stejný trik jako u křivkového integrálu prvního druhu. Rozdělíme dráhu na malé kousíčky a v rámci těchto kousíčků považujeme F i r za konstantu. Tato aproximace bude tím přesnější, čím jemnější dělení použijeme. V limitě dostáváme veličinu, která se nazývá křivkový integrál druhého druhu funkce F po křivce a zapisujeme F d r. Je-li F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j, zapisujeme někdy křivkový integrál ve složkách P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Protože při pohybu tělesa po křivce jedním směrem se práce koná a při pohybu opačným směrem spotřebovává, je nutné, aby křivka figurující v křivkovém integrálu druhého druhu byla orientovaná - tj. abychom prohlásili, který bod je počáteční a který koncový. Vždy budeme předpokládat, že křivka je orientovaná v souladu se svým parametrickým vyjádřením, tj. že počáteční bod křivky odpovídá hodnotě parametru t = α a koncový bod odpovídá hodnotě parametru t = β. Převod na Riemannův integrál Známe-li parametrické rovnice r = ϕ(t) i + ψ(t) j, t [α, β], křivky, je možno křivkový integrál druhého druhu funkce F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j po křivce zapsat následovně F d r = β [ P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) ] + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t) dt α Vlastnosti křivkového integrálu druhého druhu Křivkový integrál druhého druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky. Pro různé parametrizace stejné křivky má integrál stejnou hodnotu. Změnou orientace křivky křivkový integrál druhého druhu mění znaménko. Křivkový integrál druhého druhu je lineární vzhledem k funkci a aditivní vzhledem k oboru integrace. Přesněji, pro funkce F a G a konstantu k platí následující. F + G d r = F d r + G d r kf d r = k F d r Je-li křivka rozdělena na dvě disjunktní (až na koncové body) křivky 1 a 2, platí F d r = F d r + F d r. 1 Tato vlastnost je stejná jako u křivkového integrálu prvního druhu. Aplikace křivkového integrálu druhého druhu Integrál F d r vyjadřuje práci kterou vykoná síla F při přemístění tělesa podél orientované křivky. Je-li křivka uzavřená, píšeme F d r. Fyzikálně se jedná o práci kterou vykoná síla F při přemístění tělesa po uzavřené orientované křivce. Tato práce se též nazývá cirkulace vektorového pole po orientované křivce. Pokud je možno v poli zavést potenciální energii a pokud tedy práce závisí jenom na počáteční a koncové poloze, musí tato práce být nulová. To je důsledkem věty kterou si uvedeme později. Při odvození křivkového integrálu druhého druhu jako vykonané práce hraje roli vlastně jenom ta složka silového pole, která při posunu ve směru křivky koná práci, tj. složka, která je tečná ke křivce. Pokud použijeme naopak normálovou komponentu, dostaneme veličinu vyjadřující tok vektorového pole orientovanou křivkou. Výsledný vzorec vyjadřující tok vektorového pole F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j, je Q(x, y)dx + P (x, y)dy. 2

13 Je-li množina Ω dostatečně pěkná (např. souvislá, bez děr, s počástech hladkou hranicí Ω která se nikde neprotíná, detaily uvedeme později u Greenovy věty), potom každý z integrálů xdy a ydx Ω udává (až na případné znaménko) obsah množiny Ω. Na tomto principu fungují planimetry. Shrnutí: vlastnosti křivkových integrálů Oba integrály jsou aditivní vzhledem k oboru integrace. Pokud je nutné při parametrizaci křivku rozdělit na konečný počet navzájem disjunktních částí, můžeme vypočítat integrál na každé části samostatně a výsledky sečíst. Křivkový integrál prvního ani druhého druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky. Křivkový integrál prvního druhu nezávisí na orientaci křivky. Křivkový integrál druhého druhu při změně orientace křivky mění znaménko. Steinerova věta Ω Dále ze zadání vidíme, že prostřední člen je roven nule. V označení výše náš vztah dostává tvar J o = J yt + md 2. Tento vztah se nazývá Steinerova věta. Ukazuje, že moment setrvačnosti je nejmenší vzhledem k ose otáční procházející těžišťěm (člen md 2 je vždy nezáporný) a umožňuje přepočet momentu setrvačnosti pro rovnoběžné osy. Závěrečné informace Parametrizace úsečky Hledáme parametrické rovnice orientované úsečky AB, kde je dán počáteční bod A = [x A, y A ] a koncový bod B = [x B, y B ]. Leží-li bod X na úsečce AB, potom vektor AX má stejný směr (včetně orientace) jako vektor AB a nejvýše stejnou délku. Platí tedy AX = tab pro nějaké t [0, 1], tj. X A = t(b A) a odsud X = A + t(b A). V souřadnicích zapsáno, parametrické rovnice úsečky jsou x = x A + t(x B x A ) y = y A + t(y B y A ), t [0, 1] Pro úsečku v prostoru platí totéž, pouze přibývá třetí souřadnice. Nechť je dána křivka s lineární hustotou τ(x, y). Nechť křivka splňuje xτ(x, y) ds = 0, tj. nechť osa y prochází těžištěm křivky. Určete moment setrvačnosti křivky vhledem k ose o rovnoběžné s y ve vzdálenosti d od osy y. Řešení Podle toho zda osa o je nalevo nebo napravo od osy y dostáváme jednu z následujících variant. J o = (x ± d) 2 τ ds = (x 2 ± 2xd + d 2 )τ ds = x 2 τ ds ± 2d xτ ds + d 2 τ ds. Na pravé straně vidíme, že prvním členem je moment otáčení vzhledem k ose y J yt = x 2 τ ds a ve třetím členu je obsažena hmotnost křivky m = τ ds.

14 Dvojný integrál Dvojný integrál Pro dvojný integrál použijeme podobnou myšlenkovou konstrukci jako u křivkového integrálu prvního druhu, pouze místo drátu s danou lineární hustotou budeme uvažovat rovinnou ohraničenou desku s danou plošnou hustotou. Pokud je hustota desky konstantní, je možno její hmotnost získat jednoduše jako součin plošné hustoty a obsahu. Pokud se hustota desky mění a v obecném bodě (x, y) je dána funkcí f(x, y), můžeme myšlenkově rozdělit desku na malé kousky, v rámci každého malého kousku hustotu aproximovat konstantou, vypočítat hmotnost každého kousku jako součin hustoty a obsahu a všechny hmotnosti sečíst. Získaná veličina je aproximací celkové hmotnosti. V limitním přechodu kdy rozměry všech kousků na něž je deska dělena jde k nule dostáváme dvojný integrál f(x, y)dxdy, Ω kde Ω je oblast v rovině (x, y) definovaná uvažovanou deskou. V aplikacích je častý též zápis f(x, y)da nebo Linearita a aditivita Ω Ω f(x, y)ds. Dvojný integrál je odvozen (tak jako všechny integrály) pro aditivní veličiny a proto se dobře snáší se sčítáním (ať už integrovaných funkcí, nebo integračních oborů) a s násobení integrované funkce konstantnou. Přesněji, platí následující věty. Věta (linearita dvojného integrálu). Buď f 1, f 2 funkce integrovatelné v Ω a c 1, c 2 libovolná reálná čísla. Platí [ c1 f 1 (x, y) + c 2 f 2 (x, y) ] dxdy = c 1 f 1 (x, y)dxdy + c 2 f 2 (x, y)dxdy Ω Věta (aditivita vzhledem k oboru integrace). Nechť je množina Ω rozdělena na dvě oblasti Ω 1 a Ω 2, které mají společné nejvýše hraniční body. Platí f(x, y)dxdy = Ω f(x, y)dxdy + Ω 1 f(x, y)dxdy. Ω 2 Ω Ω Obrázek 1: Oblast mezi funkcemi proměnné x. Výpočet (oblast mezi funkcemi proměnné x) V závislosti na tom, jakými nerovnostmi množinu Ω definujeme, můžeme pro výpočet dvojného integrálu použít následující věty. Tyto věty udávají, jak je možno dvojný integrál přepsat jako dvojnásobný integrál. ají název Fubiniovy věty. Věta: Nechť f je funkce spojitá v uzavřené oblasti Potom Ω = {(x, y) R 2 : a x b a ϕ(x) y ψ(x)}. Ω f(x, y)dxdy = b a [ ψ(x) ϕ(x) ] f(x, y)dy dx. Výpočet (oblast mezi funkcemi proměnné y) Věta: Nechť f je funkce spojitá v uzavřené oblasti Potom Ω = {(x, y) R 2 : a y b a ϕ(y) x ψ(y)}. Ω f(x, y)dxdy = Záměna pořadí integrace b a [ ψ(y) ϕ(y) ] f(x, y)dx dy. Často je možné oblast integrace zapsat pomocí obou možností uvedených na předchozích slidech. Například oblast na obrázku je možno zapsat buď jako 0 x 2 0 y x 2

15 Obrázek 2: Oblast mezi funkcemi proměnné y. Obrázek 4: Integrál přes obdélník. nebo Obrázek 3: Oblast, pro kterou jsou možná obě pořadí integrace. 0 y 4 y x 2. Pro integrál funkce f(x, y) přes takovou množinu tedy máme dvě alternativy: a 4 2 x f(x, y) dy dx y f(x, y) dx dy. Všimněte si, že nestačí prosté prohození integrálů. Je nutno přepočítávat meze a hraniční křivky je nutno vyjádřit jednou jako funkce proměnné x a jednou jako funkce proměnné y. V důsledku tohoto dochází v průběhu výpočtu dvěma různými způsoby k tomu, že pracujeme se dvěma různými integrály. Výsledky jsou stejné, nemusí však být dosažitelné srovnatelnou námahou, jedna z cest může být snazší. Výpočet (obdélníková oblast) Výše uvedené problémy se stanovením a případným přepočítáváním mezí při záměně pořadí integrace se nevyskytují při integrování přes obdélníkovou oblast. Věta: Nechť R = [a, b] [c, d] je uzavřený obdélník v R 2 a f funkce definovaná a spojitá na R. Pak platí b [ d ] f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx R = a d c c [ b Platí-li dokonce rovnost f(x, y) = g(x)h(y), pak b f(x, y)dxdy = g(x)dx R a a ] f(x, y)dx dy. d c h(y)dy. atematické aplikace dvojného integrálu Obsah µ(ω) množiny Ω vypočteme jako integrál µ(ω) = dxdy. Integrální střední hodnota funkce f(x, y) definované na množině Ω je f(x, y)dxdy Ω, µ(ω) kde µ(ω) = dxdy je obsah množiny Ω. Ω Fyzikální aplikace dvojného integrálu Hmotnost množiny je m = Ω σ(x, y)dxdy, kde σ(x, y) je plošná hustota (hmotnost vztažená na jednotku povrchu).

16 Lineární momenty hmotné množiny vzhledem k osám y a x jsou rovny a xσ(x, y)dxdy yσ(x, y)dxdy. oment setrvačnosti hmotné množiny vzhledem k ose je J = ρ 2 (x, y)σ(x, y)dxdy, kde ρ(x, y) je vzdálenost bodu (x, y) od osy otáčení. Například pro osu x je ρ(x, y) = y a pro osu y je ρ(x, y) = x. Pro osu procházející kolmo počátkem je ρ(x, y) = x 2 + y 2. Fyzikální aplikace dvojného integrálu (pokračování) Souřadnice těžiště množiny jsou podílem lineárních momentů a celkové hmotnosti množiny. Kvadratický moment průřezu (což je moment setrvačnosti pro σ(x, y) = 1, anglicky second moment of area) je veličina, která hraje podstatnou roli v mechanice (nábytek, stavby) při dimenzování (polic, nosných tyčí, nosníků). Vzorce pro obsah x-ovou souřadnici těžiště (x 0 ), y-ovou souřadnici těžiště (y 0 ), kvadratický moment vzhledem k ose x (I x ) a kvadratický moment vzhledem k ose y (I y ) (pro množinu s plošnou hustotou 1) jsou x 0 = 1 S y 0 = 1 S xdxdy, I x = ydxdy, I y = y 2 dxdy, x 2 dxdy, kde S = µ() je obsah množiny. Poloha těžiště je tedy střední hodnotou funkcí x a y. Je-li plošná u hustota kinetické energie molekul (což je veličina úměrná termodynamické teplotě), je u dxdy celková kinetická energie částic. Tato energie se může měnit tepelnou výměnou. Rychlost, s jakou se mění část vnitřní energie související s teplotou, je ( ) d u dxdy dt a odsud odvozujeme rovnici vedení tepla. Aplikace dvojného integrálu - tuhost nosníků, stabilita stromů Tuhost (odolnost vůči deformaci) pro nosník obdélníkového průřezu o výšce b a šířce a je dána kvadratickým momentem obdélníkového průřezu vzhledem k vodorovné ose procházející těžištěm. I x = [ a 2, a 2 ] [ b 2, 2] y2 dxdy b = a 2 a 2 dx b 2 b 2 Odsud máme okamžitě několik pozorování [ ] b 1 y 2 2 dy = a 3 y3 = 1 12 ab3 b 2 Pokud šířka vzroste dvakrát, tuhost vzroste také dvakrát. Pokud ale dvakrát vzroste výška, tuhost vzroste dokonce osmkrát. Pro nosník s poměrem stran 1:2 je poměr tuhostí při poloze naplacato a nastojato roven 1:4. Pro nosník čtvercového průřezu (a = b) roste tuhost se čtvrtou mocninou rozměrů. Obsah (a tedy i hmotnost) roste s druhou mocninou. Pokud tedy u nosníku se čtvercovým průřezem zdvojnásobíme množství materiálu, tuhost vzroste čtyřnásobně. Pokud nosník vyrobíme s dutinou tak, že uprostřed čtverce vznikne dutina opět ve tvaru čtverce, vzroste tuhost třikrát oproti situaci, kdy bychom stejné množství materiálu použili na výrobu nosníku čtvercového průřezu. Pro čtvercový průřez roste tuhost se čtvrtou mocninou délky strany. Podobná závislost musí být u každého průřezu jednoparametrického tvaru, například pro kruh. Jako na nosník s kruhovým průřezem můžeme pohlížet i na stromy. Například strom, ve kterém je dutina o velikosti poloviny průměru kmene většinou vyvolá obavy ze stability. I když taková dutina vypadá obrovská, tuhost se sníží o původní tuhost vynásobenou koeficientem (0.5) 4 = %. Vidíme, že i s hrozivě vypadající dutinou má kmen pořád tuhost 94% původní tuhosti (za předpokladu dutiny uprostřed kmene). Pevnost roste jenom s třetí mocninou a proto odolnost vůči zlomení klesne o něco více než tuhost. Aplikace dvojného integrálu - těžiště složeného obrazce Uvažujme množinu s jednotkovou plošnou hustotou, rozdělenou na dvě disjunktní části 1 a 2. Tyto množiny mají x-ovou polohu těžiště v bodě x 0i = 1 x dxdy, S i = dxdy, i = 1, 2. S i i i

17 Poloha těžiště není aditivní veličinou. Dvojný integrál však aditivní veličinou je. Platí x dxdy = x dxdy + 1 x dxdy 2 = S 1 x 01 + S 2 x 02 a těžiště množiny je 1 x 0 = x dxdy S 1 + S 2 1 = (S 1 x 01 + S 2 x 02 ) S 1 + S 2 = S 1x 01 + S 2 x 02 S 1 + S 2. Totéž je možné provést pro y-ovou souřadnici, nebo pro libovolný konečný počet částí. Podobně je možné odvodit vzorec s obecnou nekonstantní plošnou hustotou. Poloha těžiště složeného obrazce je tedy váženým průměrem těžišť jednotlivých složek, kde váha každé složky je určena její hmotností. Protože se jedná o vážený průměr, tj. vlastně o lineární kombinaci bodů, kdy součet koeficientů je roven jedné, okamžitě vidíme, že těžiště složeného obrazce je na úsečce mezi těžištmi jednotlivých částí. Zobecnění výše uvedených myšlenek na množinu rozdělenou na více částí je již snadné. Aplikace dvojného integrálu - Steinerova věta Nechť je dána množina s plošnou hustotou σ(x, y). Ukážeme, že vzhledem k ose procházející těžištěm je nejmenší moment setrvačnosti. Nechť m = σ(x, y) dxdy, y 0 = 1 m yσ(x, y) dxdy a I xt = (y y 0) 2 σ(x, y) dxdy jsou hmotnost, y-ová poloha těžiště a moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm rovnoběžně s osou x. oment setrvačnosti vhledem k ose x je I x0 = y 2 σ(x, y) dxdy. Platí I xt = = = (y y 0 ) 2 σ(x, y) dxdy (y 2 2yy 0 + y0)σ(x, 2 y) dxdy y 2 σ(x, y) dxdy 2y 0 yσ(x, y) dxdy + y0 2 = I x0 2y 0 my 0 + y 2 0m = I x0 my 2 0. σ(x, y) dxdy Odsud dostáváme I x0 = I xt + my 2 0, což lze interpretovat tak, že moment setrvačnosti vhledem k ose o je součtem momentu setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm rovnoběžně s o a momentu setrvačnosti hmotného bodu ležícího v těžišti množiny a o stejné hmotnosti jako je hmotnost množiny vzhledem k ose o. Aplikace dvojného integrálu - tlak na svislou plochu Vzorec pro tlakovou sílu F = ps není možné použít například pro výpočet celkové síly působící na svislou hráz, protože tlak p se mění s hloubkou a není tedy konstantní na celém průřezu o obsahu S. Ukážeme, jak tuto nesnáz překonat. Uvažujme svislou rovinnou hráz. Hrází je přitom myšlena rovinná množina s jednotkovou plošnou hustotou, ne postavený trojrozměrný objekt. Počátek kartézské soustavy souřadnic volíme u hladiny, osa y směřuje dolů, osa x vodorovně. Tlak v hloubce y je roven p = yρg, kde ρ je hustota vody a g tíhové zrychlení. Na plochu o rozměrech S v hloubce y působí tlaková síla F = yρg S. Tato tlaková síla má ve všech bodech hráze stejný směr a celkovou sílu na hráz je možno zjistit sečtením sil v jednotlivých bodech. Podobná myšlenková úvaha jako v úvodu pro hmotnost desky, nebo přesný matematický popis, nás dovedou k tomu, že celková síla na hráz je dána integrálem F = yρg dxdy. Protože g a ρ jsou konstanty, je možno psát F = ρg y dxdy. Využijeme-li vzorec pro y-ovou souřadnici těžiště, má výsledný vztah tvar F = ρgy 0 S, kde S je obsah hráze. Formálně tento vztah odpovídá vzorci F = p 0 S, (H1) kde p 0 = ρgy 0 je tlak v těžišti. Proto v praxi stačí znát těžiště hráze a pro výpočet síly na hráz použít celkovou plochu hráze a tlak v těžišti. Protože jsme pracovali s obecnou množinou, není tento poznatek nijak vázán na konkrétní tvar hráze. usí být však splněna podmínka, že všechny body hráze leží v jedné rovině. Ve výpočtu výše jsme uvažovali svislou rovinu, ale zobecnění na šikmou rovinu je snadné. Stačí opravit vztah pro hloubku, protože když svislou množinu i s kartézskými souřadnicemi pootočíme okolo osy procházející hladinou, hloubka všech bodů

18 se sníží faktorem sin α, kde α je úhel mezi vodorovnou hladinou a rovinou hráze. Formálně tato operace dopadne stejně, jako kdybychom tekutinu nahradili tekutinou s hustotou sin α-krát nižší. Protože však vztah (H1) nezávisí na hustotě, nic se na něm nezmění. Také zobecnění na několik rovin je snadné. Zobecnění na zakřivenou plochu je náročnější a vyžaduje jiný typ integrálu. V předchozím textu jsme proměnnou veličinu popisující tlak na hráz jako funkci hloubky nahradili konstantní veličinou, udávající tlak v těžišti. Výsledný účinek na hráz se nezměnil. To je přesně smysl střední hodnoty. V matematických pojmech je možno říci, že střední hodnota tlaku na svislou hráz je rovna tlaku v těžišti hráze. (Protože hrází myslíme spíše rovinnou plochu, tak by přesnější terminologie měla používat raději pojem geometrický střed. Budeme se však držet ustálené terminologie.) Nikde ve výpočtu jsme nepoužili konkrétní meze pro integraci. Výsledek tedy platí nejenom pro hráz dosahující k hladině, ale například i pro poklop výpusti, který je celý pod vodou. Aplikace dvojného integrálu - působiště tlakové síly Budeme pokračovat v předchozím příkladě a hledat působiště výsledné tlakové síly. Tlaková síla působící na svislou hráz má celkový nulový moment vzhledem k ose proházející působištěm. Je-li hráz definována množinou a je-li y c působiště výsledné tlakové síly, je v hloubce y tlak na plošku o velikosti S roven yρg S a součin (y c y)yρg S je příspěvek k otáčivému momentu vzhledem k ose, procházející vodorovně působištěm tlakové síly. Součet všech těchto příspěvků se nuluje, tedy musí platit (y c y)yρg dxdy = 0. Odsud po vydělení konstantami ρg dostáváme (y c y)y dxdy = 0 a po roznásobení závorky, rozdělení integrálu na dva a vytknutí konstanty y c y dxdy = y 2 dxdy. Nyní již snadno dostaneme výsledný vztah y c = y2 dxdy y dxdy. (H2) Pokud je množina obdélník, je možné ji (po vhodné změně jednotek) brát jako jednotkový čtverec. Protože platí y dxdy = 1 2, y 2 dxdy = 1 3, [0,1] [0,1] [0,1] [0,1] Obrázek 5: Polární souřadnice. dostáváme y c = = 2 3 a působiště na obdélníkovou hráz je v hloubce odpovídající 2 dvěma třetinám celkové hloubky. Formálně vztah pro y c odpovídá vztahu pro těžiště množiny s plošnou hustotou y. Na tomto pozorování a na skutečnosti, že u pravidelných množin umíme těžiště najít geometricky, je založena metoda nalezení působiště tlakové síly pomocí zatěžovacího obrazce. Kvadratický moment v čitateli zlomku (H2) vyjadřujícího y c je často výhodnější rozepsat pomocí Steinerovy věty. Ve jmenovateli je součin obsahu S a y-ové souřadnice těžiště y 0. Tím dostaneme y c = I x0 + Sy 2 0 Sy 0 = I x0 Sy 0 + y 0, kde I x0 je kvadratický moment vzhledem k ose procházející vodorovně těžištěm. Působiště tlakové síly y c je tedy posunuto směrem dolů od těžiště y 0 o hodnotu odpovídající kvadratickému momentu vzhledem k vodorovné ose těžištěm I x0 vyděleném součinem obsahu hráze S a y-ové polohy těžiště y 0. Polární souřadnice Dosud jsme používali pouze kartézské souřadnice: dvojici čísel udávající vzdálenost bodu od osy y a od osy x, která jednoznačně určuje polohu bodu v rovině. V praxi je někdy výhodnější použít i jiný způsob jak pomocí dvojice čísel charakterizovat polohu bodu v rovině - takové souřadnice potom nazýváme křivočaré souřadnice. Z křivočarých souřadnic jsou nejdůležitější polární souřadnice. Při jejich použití polohu bodu A zadáváme tak, že určíme vzdálenost r bodu od počátku soustavy souřadnic O a úhel ϕ, který svírá spojnice bodů O a A s kladnou částí osy x.

19 nožiny s jednoduchým vyjádřením v polárních souřadnicích Nejsnáze se při výpočtu dvojného integrálu pracuje s obdélníkovými množinami, tj. s množinami charakterizovanými nerovnostmi pro jednotlivé proměnné a konstantním omezením pro tyto proměnné. Analogicky se bude snadno pracovat v polárních souřadnicích s množinami, které by se staly obdélníky pro překreslení do souřadné soustavy r a ϕ. Takové množiny jsou zobrazeny na následujících obrázcích. Obrázek Popis v polárních souřadnicích Popis v kartézských souřadnicích Obrázek 6: Element plochy v polárních souřadnicích 0 r 1 0 ϕ 2π 1 r 2 1 x 1 1 x 2 y 1 x 2 Nelze zapsat pomocí jedné dvojice nerovností V diferenciálním počtu polární souřadnice používáme především tam, kde má problém radiální symetrii. Například při studiu ochlazování nebo kmitů kruhových desek či válcovitých součástek. V integrálním počtu tyto souřadnice použijeme zejména v případě, kdy integrujeme přes kružnici nebo její část (např. mezikruží či kruhová výseč). V takovém případě mají totiž integrály které vzniknou po transformaci dvojného integrálu na dvojnásobný pevné meze a výpočet druhého integrálu je zpravidla jednodušší. 0 ϕ π 2 0 r 1 π 4 ϕ π x 2 x y 1 x 2 Dvojný integrál v polárních souřadnicích hceme-li převést dvojný integrál do polárních souřadnic, provádíme v něm vlastně substituci x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Přitom se transformují i diferenciály dx a dy. Při změně úhlu o dϕ a změně vzdálenosti o dr má odpovídající část roviny rozměry dr a rdϕ a její obsah je rdϕdr (viz obrázek). Platí tedy, že obsah elementární oblasti da = dxdy se transformuje na da = rdϕdr. Podíl dϕdr dxdy udává, kolikrát se změní obsah elementární oblasti při změně souřadnic a nazývá se jakobián. V případě polárních souřadnic je jakobián jak vidíme roven r a platí tedy f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr. Ω Ω

20 Základní integrální věty z vektorové analýzy Úvod V následujících větách si ukážeme některé souvislosti mezi studovanými pojmy. Tyto souvislosti existují, pokud objekty se kterými pracujeme jsou dostatečně pěkné - funkce jsou dostatečně hladké, oblasti mají dostatečně hladkou hranici a neobsahují díry apod. Pro úplnost uvedeme nebo zopakujeme potřebné pojmy. Některé pojmy pro názornost uvedeme poněkud volnější interpretací, jejich přesnější zavedení je možno nalézt v literatuře. Vektorové pole F se nazývá potenciálové, pokud existuje skalární funkce ϕ s vlastností ϕ = F. Funkce ϕ se nazývá kmenová funkce vektorového pole. Křivka se nazývá uzavřená, pokud její počáteční a koncový bod splývají. Křivka se nazývá jednoduchá, pokud sama sebe neprotíná (s případnou výjimkou stejného počátečního a koncového bodu u uzavřených křivek). Křivka se nazývá regulární, pokud funkce z jejího parametrického vyjádření jsou hladké (mají spojité derivace) a v každém bodě je aspoň jedna z těchto funkcí nenulová. Pokud platí pro libovolné dvě regulární křivky a 1, které leží v Ω a mají stejné počáteční body a stejné koncové body, platí F d r = F d r, říkáme, že integrál v Ω nezávisí na integrační cestě. Vektorové pole ve kterém křivkový integrál nezávisí na integrační cestě se nazývá konzervativní pole. Oblast se nazývá jednoduše souvislá, pokud je souvislá a neobsahuje otvory. Věta o nezávislosti integrálu na integrační cestě Podle této věty je tedy vektorové pole v prostoru konzervativní právě tehdy, když je jeho rotace nulová a to je právě tehdy, když pro toto pole existuje kmenová funkce a je tedy možno zavést potenciál (záporně vzatá kmenová funkce). 1 Věta (o nezávislosti integrálu na integrační cestě): Uvažujme vektorovou funkci F, křivku a oblast Ω v R 3. Následující výroky jsou ekvivalentní za předpokladu hladkosti funkcí, regulárnosti křivek a jednoduše souvislé oblasti Ω. a. Integrál F d r nezávisí v Ω na integrační cestě. b. Křivkový integrál F d r po libovolné uzavřené křivce v Ω je roven nule. c. Rotace rot F vektorového pole F je v Ω rovna nulovému vektoru. d. Existuje funkce ϕ s vlastností ϕ = F na Ω. Pokud jsou předchozí podmínky splněny (platnost jedné z nich vynutí platnost i všech ostatních), je možno křivkový integrál vypočítat podle vzorce F d r = ϕ(b) ϕ(a) kde A a B jsou počáteční a koncový bod křivky a ϕ je kmenová funkce vektorového pole F. Poznámky k větě o nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě Větu je možno formálně vyslovit i pro jiný než trojrozměrný prostor. Pokud je pole v předchozí větě pouze v rovině, tj. F = (F x, F y ), doplníme třetí komponentu pro výpočet rotace nulou. Protože rot F ( ) F = x y Fy k, x přechází podmínka na nulovost rotace v nám již známou nutnou a postačující podmínku pro to aby výraz F x y = F y x F x dx + F y dy byl totálním diferenciálem. Pokud pracujeme v prostoru vyšší dimenze, podmínka na rotaci je nahrazena jinou, komplikovanější podmínkou. Všechny další body věty o nezávislosti na integrační cestě však zůstávají v platnosti beze změny. Podmínka hladkosti funkcí na jednoduše souvislé oblasti je podstatná. Například pole v = y x 2 +y 2 i + x x 2 +y 2 j má rotaci rovnu nule ve všech bodech, kde je definované, tj. v celém prostoru kromě osy z. Přímým výpočtem je možno ukázat, že křivkový integrál po jednotkové kružnici v rovině z = 0 je roven 2π.

21 Greenova věta Greenova věta: Nechť Ω R 2 je jednoduše souvislá regulární oblast,jejíž hranicí je po částech regulární křivka Ω orientovaná tak, že při obíhání podél křivky Ω je oblast Ω vlevo. Nechť vektorová funkce F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j je hladká uvnitř nějaké oblasti, obsahující množinu Ω a její hranici Ω. Platí ( ) Q(x, y) P (x, y) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = dxdy. Ω Ω x y }{{}}{{} irkulace po hranici Ω [rot(p i+q j)] z Varianta Greenovy věty pro tok křivkou Obrázek 1: Křivkový integrál v nekonzervativním poli (obsahy jsou různé) Nahradíme-li formálně vektorové pole P i + Q j vektorovým polem Q i + P j, dostáváme následující vztah mezi dvojným integrálem divergence vektorového pole přes oblast Ω a křivkovým integrálem vyjadřujícím tok vektorového pole P i + Q j protékající přes hranici Ω. ( ) P (x, y) Q(x, y) Q(x, y)dx + P (x, y)dy = + dxdy Ω Ω x y }{{}}{{} Tok přes hranici Ω div(p i+q j) Výše popsaně dvě varianty Greenovy věty nám dávají možnost najít fyzikální interpretaci operátorů divergence a rotace. Podíl dvojného integrálu funkce f přes oblast Ω a obsahu této oblasti je roven střední hodnotě funkce f na množině Ω. Při limitním přechodu, kdy rozměry množiny Ω jdou k nule, dostaneme přímo funkční hodnotu funkce f. Toto nám umožňuje dostat se do integrandů na pravých stranách vztahů. Rotaci je tedy možno chápat jako limitu podílu cirkulace vektorového pole po uzavřené křivce a obsahu množiny uvnitř této křivky, kdy v limitním procesu stahujeme délku křivky k nule. Zejména pokud je práce po libovolné uzavřené křivce nulová, je nulová i rotace. Podobně divergenci je možno chápat jako limitu podílu toku uzavřenou křivkou a obsahu množiny ohraničené touto křivkou, když rozměry uvažované oblasti jdou k nule. V ustáleném stavu a při absenci zdrojů ani spotřebičů je tok dovnitř křivky stejný jako tok ven (co do uzavřeného prostoru vteče, to i vyteče ven) a divergence je rovna nule. Obrázek 2: Křivkový integrál v konzervativním poli (obsahy jsou stejné)

22 Diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, kde vystupuje neznámá funkce a její derivace. Setkáváme se s ní například všude tam, kde rychlost růstu nebo poklesu veličiny souvisí s její velikostí. Například rychlost s jakou se mění teplota horkého tělesa je funkcí teploty samotné. Rychlost tepelné výměny mezi dvěma tělesy je totiž úměrná rozdílu jejich teplot (Newtonův zákon). Definice. Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručněji též diferenciální rovnicí, DR) s neznámou y rozumíme rovnici tvaru y = ϕ(x, y) (ODE) kde ϕ je funkce dvou proměnných. (anglicky ordinary differential equation, ODE) Další formy zápisu: dy = ϕ(x, y) dx dy = ϕ(x, y)dx dy ϕ(x, y)dx = 0 Příklad: Najděte všechny funkce splňující y = 2xy. auchyova úloha, počáteční podmínka Diferenciální rovnice udává scénář vývoje systému. K jednoznačnému předpovězení budoucího stavu je ovšem nutno znát nejenom, jaký mechanismus ovlivňuje vývoj systému, ale také stav současný. Definice. Nechť x 0, y 0 jsou reálná čísla. Úloha najít řešení rovnice y = ϕ(x, y), které splňuje zadanou počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0 se nazývá počáteční (též auchyova) úloha. (ODE) (I) Řešení auchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice. Graf libovolného partikulárního řešení se nazývá integrální křivka. (anglicky initial condition, I, initial value problem, IVP) Příklad: Najděte všechny funkce splňující y = 2xy a y(0) = 3. Příklad - tepelná výměna Rychlost tepelné výměny mezi dvěma tělesy je úměrná rozdílu jejich teplot (Newtonův zákon). Tento proces je tedy možno modelovat diferenciální rovnicí dt dt = k(t T 0). Rovnice udává, že teplota T horkého tělesa se mění (rychlost změny je derivace) tak, že klesá (znaménko minus) rychlostí úměrnou (konstanta k) teplotnímu rozdílu mezi teplotou tělesa a teplotou okolí T 0 (člen T T 0 ). K rovnici v ideálním případě dodáváme materiálovou charakteristiku (konstantu úměrnosti k) a počáteční teplotu. Řešením rovnice je funkce udávající závislost teploty na čase. Není tedy nutné provádět pokus a čekat na uplynutí požadované doby. Někdy může být vhodné nesledovat teplotu T, ale rozdíl oproti okolní teplotě, τ = T T 0. Rovnice se potom zjednoduší na dτ dt = kτ, tedy na rovnici, kdy rychlost změny je úměrná funkční hodnotě. Příklad - datování pomocí uhlíku Při datování archeologických nálezů pozůstatků živých organismů se využívá toho, že radioaktivní prvky se rozpadají rychlostí, která je úměrná množství dosud nerozpadnutého materiálu. Rychlost, s jakou se mění množství (a tedy i koncentrace y v daném vzorku) nerozpadnutého radioaktivního materiálu je popsána rovnicí dy dt = λy, kde λ je konstanta úměrnosti. Tato rovnice je přirozeným důsledkem toho, že pro daný nestabilní izotop mají všechny atomy stejnou pravděpodobnost, že u nich dojde k rozpadu a tato pravděpodobnost se s časem nemění. Vhodný radioaktivní prvek vybereme podle toho, jak starý vzorek chceme datovat. Nejčastěji měříme množství radioaktivního uhlíku 14 vztažené k množství stabilního 12. Počáteční podmínka je známa (předpokládáme stejný poměr zastoupení jako relativně nedávno, před průmyslovou revolucí) a díky tomu můžeme najít funkci udávající, jak s časem klesá zastoupení radioaktivního uhlíku. Obsah radioaktivního i stabilního uhlíku je možné změřit a tím získáme odhad, kolik procent radioaktivního uhlíku se rozpadlo. Řešení počáteční úlohy poté použijeme pro odhad doby, kdy organismus přestal spotřebovávat uhlík z atmosféry, tj. odhad stáří vzorku.

23 Při pokusu o datování kostí dinosaurů klesne množství radioaktivního uhlíku pod měřitelnou úroveň. Proto se v tomto případě používají látky s delším poločasem rozpadu. Příklad - akutní normovolemická hemodiluce Při chirugické operaci dochází ke krvácení. Pacient ztrácí krev s ní i krvinky. Při konstantní intenzitě krvácení to znamená, že pacient ztrácí krvinky rychlostí úměrnou počtu krvinek. Formálně se jedná o stejnou rovnici jako u radioaktivního rozpadu, jenom změníme interpretaci veličin. Pokud očekáváme takový průběh operace, že i po uvedeném poklesu bude pořád množství krvinek nad minimální přípustnou hodnotou, je možné před operací toto množství snížit tím, že se část krve odebere a krev se poté doplní vhodnými roztoky. Protože pacient má už od začátku operace menší počet krvinek, ztrácí tyto krvinky pomaleji a celkový úbytek během operace je menší. Na konci operace se pacientovi vrátí dříve odebraná krev. Výsledkem je, že po operaci v jeho těle koluje více krvinek, než pokud by byl operován s původní krví. etoda akutní normovolemické hemodiluce nachází v současné praxi široké využití v řadě operačních oborů. Poskytuje totiž možnost vyhnout se podání alogenní krevní transfuze a tím eliminovat rizika z ní vyplývající. Současně je tato metoda výrazně finančně levnější a její přínos je tak i ekonomický. (podle Příklad - rovnice samočištění jezer Nechť veličina y udává množství látky, která znečišťuje vodu v jezeře o objemu V. Předpokládejme, že do jezera přitéká čistá voda a stejnou rychlostí odtéká voda s nečistotami (hladina se nemění, je v ustáleném stavu). Nechť veličina r udává, jaký objem vody se v jezeře takto vymění za jeden den. Předpokládejme dále (poněkud nerealisticky), že rozdělení znečišťujících částic v jezeře je rovnoměrné. Úbytek hmotnosti nečistot za časovou jednotku je dán derivací dy dt. Tento úbytek hmotnosti je možno vyjádřit též ve tvaru r V y, kde r V je pro dané jezero kladná konstanta udávající, jak velká část z celkového množství vody se v jezeře vymění za časovou jednotku. Označíme-li tuto konstantu symbolem k, je proces úbytku nečistot v jezeře popsán diferenciální rovnicí dy dt = ky. Výše uvedená rovnice na nazývá rovnice samočištění jezer, ale tento název je čistě formální. Jedná se vlastně o stejnou rovnici, která popisuje radioaktivní rozpad, ztrátu krvinek při operaci nebo změnu rozdílu mezi teplotou horkého nápoje a místnosti při chladnutí nápoje. Stejnou rovnicí je možné popsat nejenom odbourávání nečistot z životního prostředí, ale i odbourávání léků nebo drog z těla. Považujme krevní oběh za jezero a lék nebo drogu za znečišťující látku. V případě, že rychlost odbourávání je úměrná koncentraci (platí pro farmakokinetiku prvního řádu, toto splňuje většina léčiv za běžných koncentrací), řídí se proces odbourávání stejnou diferenciální rovnicí. Příklad - vývoj populace a její ekologický lov Zkoumejme velikost y určité populace, v prostředí s nosnou kapacitou K. Realistickým předpokladem v prostředí s omezenými úživnými vlastnostmi je, že specifická míru růstu populace (rychlost s jakou se velikost populace zvětšuje vztažená na jednotkové množství populace) klesá s tím, jak se velikost populace přibližuje k nosné kapacitě a je modelována funkcí r ( 1 y ) K. Podle velkosti koeficientů v této rovnici dělíme živočichy na r-stratégy a K-stratégy, toto dělení odráží, jak se snaží druh přežít. Za uvedených předpokladů je možno vývoj populace popsat rovnicí dy (1 dt = ry y ). K Pokud lovem snížíme přírůstky populace, můžeme tento proces modelovat rovnicí dy (1 dt = ry y ) h(y), K kde h(y) je intenzita lovu populace o velikosti y. odelování tohoto procesu umožní nalezení ekonomicky výhodné ale trvale udržitelné strategie lovu. Geometrická interpretace ODE Protože derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě, lze rovnici y = ϕ(x, y) (ODE) chápat jako předpis, který každému bodu v rovině přiřadí směrnici tečny k integrální křivce, která tímto bodem prochází. Sestrojíme-li v dostatečném počtu (například i náhodně zvolených) bodů [x, y] v rovině vektory (1, ϕ(x, y)), obdržíme směrové pole diferenciální rovnice systém lineárních elementů, které jsou tečné k integrálním křivkám. Počáteční podmínka y(x 0 ) = y 0 geometricky vyjadřuje skutečnost, že graf příslušného řešení prochází v rovině bodem [x 0, y 0 ]. á-li tato počáteční úloha jediné řešení, neprochází bodem [x 0, y 0 ] žádná další křivka. á-li každá počáteční úloha jediné řešení (což bude pro nás velice častý případ), znamená to, že integrální křivky se nikde neprotínají. Vrstevnice funkce ϕ(x, y) mají tu vlastnost, že derivace integrálních křivek podél každé z vrstevnic je konstantní. Proto tyto křivky nazýváme isokliny.

24 její tečnou. Tím se dostaneme do dalšího bodu, odkud opět integrální křivku aproximujeme tečnou. Směrnici tečny zjistíme z diferenciální rovnice, buď přímo z derivace (Eulerova metoda). Další možnost je použít k aproximaci sečnu tak, že opravíme směrnici tečny podle chování směrového pole. Bereme v úvahu i konvexnost či konkávnost a fakt, že se derivace mění s měnícím se x i y (metoda Runge Kutta). Stačí tedy mít zvolen krok numerické metody (délku intervalu, na kterém aproximaci tečnou použijeme) a výstupem metody bude aproximace integrální křivky pomocí lomené čáry. Iterační schema Eulerovy metody Počáteční úloha: y = ϕ(x, y), y(x 0 ) = y 0 Tečna k řešení v bodě [x 0, y 0 ]: y = y 0 + ϕ(x 0, y 0 )(x x 0 ). Obrázek 1: Směrové pole diferenciálni rovnice, integrální křivky, isokliny Obecné a partikulární řešení Řešení diferenciální rovnice je nekonečně mnoho. Zpravidla je dokážeme zapsat pomocí jediného vzorce, který obsahuje nějakou (alespoň do jisté míry libovolnou) konstantu. Takový vzorec se nazývá obecné řešení rovnice. Pokud není zadána počáteční podmínka a mluvíme o partikulárním řešení, máme tím na mysli jednu libovolnou funkci splňující diferenciální rovnici. Příklad: Obecným řešením diferenciální rovnice je y = 2xy y = e x2, R. Žádná jiná řešení neexistují, všechna řešení se dají zapsat v tomto tvaru pro nějakou vhodnou konstantu. Partikulárním řešením je například y = 5e x2. Řešením počáteční úlohy y = 2xy, y(0) = 3 je Numerické řešení IVP y = 3e x2. Řešení počáteční úlohy lze numericky aproximovat poměrně snadno: začneme v bodě zadaném počáteční podmínkou a v okolí tohoto bodu nahradíme integrální křivku Funkční hodnota v bodě x 0 + h, kde h je krok Eulerovy metody: Iterační formule Eulerovy metody: Vylepšení y(x 0 + h) = y 0 + ϕ(x 0, y 0 )h. x n+1 = x n + h, y n+1 = y n + ϕ(x n, y n )h. zjemnit krok h (buď všude, nebo jenom tam, kde je to potřeba ), použít místo ϕ(x n, y n ) lepší směrnici (etoda Runge Kutta druhého nebo čtvrtého řádu,... ). ODE se separovanými proměnnými Definice. Diferenciální rovnice tvaru y = f(x)g(y) kde f a g jsou funkce spojité na (nějakých) otevřených intervalech se nazývá obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. Příklad: Rovnice y + xy + xy 2 = 0 je rovnicí se separovanými proměnnými, protože je možno ji zapsat ve tvaru y = xy(y + 1). (S)

25 2. Pracujme na intervalech, kde g(y) 0. Formálně nahradíme derivaci y podílem diferenciálů dy dx dy dx = f(x)g(y). 3. Odseparujeme proměnné dy g(y) = f(x)dx. 4. Získanou rovnost integrujeme dy g(y) = f(x)dx Pokud je zadána počáteční podmínka, je možné ji na tomto místě dosadit do obecného řešení a určit hodnotu konstanty. Tuto hodnotu poté dosadíme zpět do obecného řešení a obdržíme řešení partikulární. 6. Pokud je to možné, převedeme řešení (obecné nebo partikulární) do explicitního tvaru (vyjádříme odsud y). Obrázek 2: Eulerova metoda s velmi dlouhým krokem (modrou barvou) zaostává za přesným řešením (šedou barvou). Pro lepší výsledek můžeme zmenšit krok nebo vylepšit metodu. Rovnice y = x 2 y 2 není rovnice se separovatelnými proměnnými. Test separovatelnosti proměnných: Diferenciální rovnice y = ϕ(x, y) je rovnicí se separovanými proměnnými právě tehdy, když existují funkce f(x) a g(y) takové, že ϕ(x, y) = f(x)g(y). Pokud je ϕ nezáporná a dostatečně hladká na nějaké otevřené konvexní množině, je rovnice rovnicí se separovanými proměnnými právě tehdy, když platí ϕ x ϕ = 0. y ϕ 2 x y ϕ Řešení ODE se separovanými proměnnými 1. á-li algebraická rovnice g(y) = 0 řešení k 1, k 2,..., k n, jsou konstantní funkce y k 1, y k 2,..., y k n řešeními rovnice. Existence a jednoznačnost řešení Věta o existenci a jednoznačnosti řešení: Je-li g(y 0 ) 0, je řešení počáteční úlohy y = f(x)g(y), y(x 0 ) = y 0, které obdržíme pomocí postupu z předchozích odstavců, definované a jednoznačně určené v nějakém okolí bodu x 0. Vzorec pro řešení IVP pro rovnici se separovatelnými proměnnými: Partikulární řešení počáteční úlohy y = f(x)g(y), y(x 0 ) = y 0 lze psát též přímo ve tvaru určitého integrálu y y 0 dt g(t) = x x 0 f(t)dt. Diferenciální rovnice růstu vodní kapky odelujme růst kulové kapky. Ta roste tak, že na povrchu kondenzují vodní páry. Kapka proto roste tak, že její objem se zvětšuje rychlostí úměrnou povrchu. Povrch je zase úměrný druhé mocnině poloměru a poloměr je úměrný třetí odmocnině objemu. Platí tedy (po sloučení všech konstant úměrnosti do jedné) dv dt = kv 2/3.

26 fyzikální význam. Plynné skupenství může existovat i pod bodem kondenzace. Takovému jevu se říká přechlazená pára. Aby došlo ke kondenzaci, musí být k dispozici kondenzační jádra, například nečistoty ve vzduchu. Proto ve znečištěném ovzduší dochází častěji ke kondenzaci a tvorbě mlhy. Své by o tom mohli vyprávět obyvatelé Londýna, kteří se proslulých mlh zbavili poté, co se omezilo topení uhlím. y dnes spíše známe přechlazenou tekutinu ve formě hřejících polštářků, kde se po lupnutí plíškem spustí přeměna skupenství na pevné spojená s intenzivním uvolněním tepla. Obrázek 3: Londýnská mlha. Dnes už to není jako za časů Sherloka Holmese. Poslední velká mlha (Pea soup fog) byla v roce Zdroj: Wikipedia. Tato rovnice má konstantní řešení V = 0. Nekonstantní řešení dostaneme po úpravě V 2/3 dv = kdt a po integraci V 2/3 dv = k dt, což dává a tj. V = 3V 1/3 = kt + ( 1 3 kt + 1 ) 3 3, V = (k 0 t + c) 3, kde k 0 = 1 3 k a c = 1 3 jsou konstanta spojená rychlostí kondenzace a integrační konstanta. Všimněte si, že počáteční úloha s počáteční podmínkou V (0) = 0 má konstantní nulové řešení V (t) = 0 a nenulové řešení V (t) = (k 0 t) 3. áme zde tedy nejednoznačnost v řešení počáteční úlohy. Tato nejednoznačnost není v rozporu s větou o existenci a jednoznačnosti řešení, protože pravá strana nemá ohraničnou derivaci podle V. A nejednoznačnost má v tomto případě dokonce

27 Lineární diferenciální rovnice prvního a druhého řádu Lineární operátor Operátorem rozumíme zobrazení, které má na vstupu i na výstupu funkci. Například pro funkce jedné proměnné mohou být operátory derivace, druhá derivace, vynásobení funkce funkcí ln x anebo vnoření zadané funkce do funkce ln x. Tj. pro y = y(x) můžeme uvažovat operátory F 1 [y] = dy dx, F 2[y] = d2 y dx 2, F 3[y](x) = y(x) ln(x), F 4 [y](x) = ln(y(x)). Lineárním operátorem rozumíme zobrazení, které zachovává součet funkcí a násobek konstantou, tj. platí a L[y 1 + y 2 ] = L[y 1 ] + L[y 2 ] L[y 1 ] = L[y 1 ] pro libovolné reálné číslo a libovolné funkce y 1 a y 2 z definičního oboru operátoru L. Příklady lineárních operátorů Operátor derivace, tj. operátor definovaný vztahem L[y] = dy dx je lineární. Buď dána funkce a(x). Operátor násobení funkcí a(x), tj. L[y](x) = a(x)y(x) je lineární. Složení (postupná aplikace) lineárních operátorů je lineární operátor. Například tedy d 2 y dx 2 je lineární operátor. Součet lineárních operátorů je lineární operátor. Buď pevně dána funkce a(x). Lineární operátor L[y] = dy dx + a(x)y se nazývá lineární diferenciální operátor prvního řádu. Buďte pevně dány funkce p(x) a q(x). Lineární operátor L[y] = d2 y dy + p(x) dx2 dx + q(x)y se nazývá lineární diferenciální operátor druhého řádu. Princip superpozice Každý lineární operátor zachovává lineární kombinaci funkcí, tj. platí L[ 1 y y 2 ] = 1 L[y 1 ] + 2 L[y 2 ] vždy, když 1,2 R a y 1,2 jsou funkce z definičního oboru operátoru L. Plyne přímo rozepsáním Operátorové rovnice L[ 1 y y 2 ] = L[ 1 y 1 ] + L[ 2 y 2 ] Operátorovou rovnicí budeme rozumět rovnici = 1 L[y 1 ] + 2 L[y 2 ] L[y] = b(x), kde b(x) je funkce a L operátor. Například pro b(x) = 0 a L[y] = y y má rovnice tvar y y = 0, tj. y = y. Důsledek linearity. Jsou-li funkce y 1 (x) a y 2 (x) po řadě řešeními rovnic Je funkce řešením rovnice L[y] = b 1 (x), L[y] = b 2 (x), y(x) = 1 y 1 (x) + 2 y 2 (x) L[y] = 1 b 1 (x) + 2 b 2 (x). Například pro L[y] = y y a b 1 (x) = b 2 (x) = 0 všechny tři výše uvedené rovnice splynou v y y = 0. Protože y 1 (x) = e x je řešením této rovnice a y 2 (x) = e x je také řešením této rovnice, je řešením této rovnice i každá funkce tvaru kde 1,2 R. y(x) = 1 e x + 2 e x,

28 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu Definice. Nechť funkce a, b jsou spojité na intervalu I. Rovnice y + a(x)y = b(x) (LDE) se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDE). Je-li navíc b(x) 0 na I, nazývá se rovnice homogenní, v opačném případě nehomogenní. Věta o řešitelnosti LDE. Jsou-li funkce a, b spojité na intervalu I, x 0 I a y 0 R libovolné, má každá počáteční úloha právě jedno řešení definované na celém intervalu I. Definice. Buď dána lineární diferenciální rovnice. Homogenní rovnice, která vznikne z rovnice nahrazením pravé strany nulovou funkcí, tj. rovnice y + a(x)y = 0 se nazývá homogenní rovnice, asociovaná s nehomogenní rovnicí (LDE) Homogenní LDE má vždy (bez ohledu na konkrétní tvar funkce a(x)) konstantní řešení y = 0, jak lze ověřit přímým dosazením. Toto řešení se nazývá triviální řešení. Obecné řešení homogenní LDE Uvažujme homogenní LDE Přepsáním do y + a(x)y = 0. y = a(x)y vidíme, že jedno řešení je možno uhodnout. Je to řešení y p0 = e a(x)dx. Další řešení dostaneme z linearity. Funkce y(x) = y p0 (x) je řešením rovnice (HLDE) pro libovolné. Pro počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0 stačí najít takové, aby platilo y 0 = y p0 (x 0 ) a tuto rovnici je možno vyřešit vzhledem k vždy, protože y p0 (x 0 ) 0. Závěr: Obecné řešení rovnice (HLDE) je y(x) = e a(x)dx. (HLDE) Obecné řešení nehomogenní LDE pomocí partikulárního řešení Je-li y p řešením nehomogenní LDE je obecným řešením této rovnice y + a(x)y = b(x), y(x) = y p0 (x) + y p (x), kde y p0 (x) je obecným řešením asociované homogenní LDE. Závěr: Stačí mít jedno řešení nehomogenní rovnice a jedno nenulové řešení asociované homogenní rovnice. Protože množina všech řešení má pevnou strukturu, dokážeme z těchto informací napsat libovolné řešení. Vskutku, jestliže L[y p ] = b(x) a L[y p0 (x)] = 0, potom L[y] = L[y p0 + y p ] = L[y p0 ] + L[y p ] = 0 + b(x) = b(x). Funkce y(x) tedy je řešením. Pokud potřebujeme splnit libovolnou počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0, kde x 0, y 0 R, stačí vzít řešení y(x) = y 0 y p (x 0 ) y p0 (x) + y p (x), y p0 (x 0 ) Obecné řešení nehomogenní LDE ještě jednou a prakticky Slovně: Všechna řešení homogenní lineární rovnice jsou násobky jednoho libovolného nenulového řešení této rovnice. Součet jednoho libovolného řešení zadané nehomogenní a obecného řešení asociované homogenní lineární rovnice je obecným řešením dané nehomogenní rovnice. Stačí tedy najít dvě (do jisté míry speciální) řešení a z nich snadno sestavíme obecné řešení zadané rovnice. Příklad: Rovnice y + y = 3 (*) má partikulární řešení y = 3 (vidíme hned po dosazení). Asociovaná homogenní rovnice y + y = 0 má obecné řešení y = e x. Obecné řešení rovnice (*) tedy je y = 3 + e x.

29 Nehomogenní LDE metoda integračního faktoru Zůstává otázka, jak najít partikulární řešení nehomogenní rovnice. Protože platí ( ye a(x)dx ) = y e a(x)dx + ya(x)e a(x)dx, je možno rovinci přepsat do tvaru y + a(x)y = b(x) y e a(x)dx + a(x)ye a(x)dx = b(x)e a(x)dx a odsud ( ye a(x)dx ) = b(x)e a(x)dx. Integrací dostáváme ye a(x)dx = b(x)e a(x)dx dx + a explicitní tvar řešení je y = e a(x)dx + e a(x)dx b(x)e a(x)dx dx Pozn: Partikulární řešení nehomogenní rovnice je y p (x) = e a(x)dx b(x)e a(x)dx dx. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Definice. Buďte p, q a f funkce definované a spojité na intervalu I. Diferenciální rovnice y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LDE) se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Řešením rovnice (nebo též integrálem rovnice) na intervalu I rozumíme funkci, která má spojité derivace do řádu 2 na intervalu I a po dosazení identicky splňuje rovnost (LDE) na I. Úloha nalézt řešení rovnice, které splňuje v bodě x 0 I počáteční podmínky { y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0, (I) kde y 0 a y 0 jsou reálná čísla, se nazývá počáteční úloha ( auchyova úloha). Řešení počáteční úlohy se nazývá partikulární řešení rovnice. Zkratky: LDE - lineární diferenciální rovnice, I - počáteční podmínka, IVP - počáteční úloha Příklad - těleso na pružině Kmity tělesa o hmotnosti m pružně připevněného k nehybné podložce spojem tuhosti k jsou popsány diferenciální rovnicí ẍ + k mx = 0. Zde navíc používáme fyzikální úzus označovat derivace podle času pomocí tečky a ne čárky. Symbol ẍ tedy značí druhou derivaci funkce x, kde x bereme jako funkci času. Jednoduchým mechanickým modelem je těleso na pružině. Zde je deformace úměrná působící síle. Analogické situace vedoucí na stejnou rovnici však dostáváme i obecněji. Pokud pro jednoduchost předpokládáme, že těleso s jedním stupněm volnosti se nachází ve stabilním stavu s minimem potenciální energie a energie závisí na poloze x, můžeme v okolí minima x 0 potenciální energii aproximovat Taylorovým rozvojem druhého řádu E(x) E(x 0 ) + E (x 0 )x E (x 0 )x 2. Vzhledem k tomu, že v x 0 je minimum, platí E (x 0 ) = 0. Síla je poté dána vztahem F (x) = x E(x) = E (0)x. Síla F je tedy úměrná výchylce x a vrací těleso do rovnovážné polohy. Situace tedy perfektně koresponduje s kmitáním na pružině i když potenciální energie uvažovaná v tomto odstavci může být jiného charakteru. Řešitelnost LDE druhého řádu y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LDE) Věta o existenci a jednoznačnosti řešení LDE druhého řádu. Každá počáteční úloha pro LDE druhého řádu má řešení, které je určeno jednoznačně a toto řešení je definované na celém intervalu I. Definice (speciální typy LDE druhého řádu). Platí-li v rovnici (LDE) f(x) = 0 pro všechna x I, nazývá se rovnice (LDE) homogenní, v opačném případě nehomogenní. Jsou-li koeficienty p(x) a q(x) na intervalu I konstantní funkce, nazývá se (LDE) rovnice s konstantními koeficienty. Definice (triviální řešení). Funkce y(x) 0 je řešením homogenní LDE druhého řádu vždy, bez ohledu na tvar koeficientů p, q. Toto řešení nazýváme triviální řešení rovnice LDE. Definice (asociovaná homogenní rovnice). Nahradíme-li v nehomogenní LDE pravou stranu (tj. funkci f) nulovou funkcí obdržíme rovnici y + p(x)y + q(x)y = 0.

30 Tato rovnice se nazývá asociovaná homogenní rovnice k rovnici (LDE). Definice (obecné řešení). Všechna řešení LDE druhého řádu lze vyjádřit ve tvaru obsahujícím dvě nezávislé konstanty 1, 2 R. Takovýto předpis se nazývá obecné řešení rovnice (LDE). Důsledky linearity Jako speciální případ vztahu L[ 1 y y 2 ] = 1 L[y 1 ] + 2 L[y 2 ] dostáváme následující. Platí L[y 1 ] = L[y 2 ] = 0 = L[ 1 y y 2 ] = 0, tj. každá lineární kombinace dvou řešení homogenní LDE je opět řešením této rovnice. Pokud se nám navíc podaří volbou konstant 1 a 2 splnit libovolnou počáteční podmínku, je jistota, že máme obecné řešení. Platí L[y 2 ] = 0 a L[y 1 ] = f(x) = L[y 1 + y 2 ] = f(x), tj. součet řešení nehomogenní a asociované homogenní LDE je řešením původní nehomogenní rovnice. Pokud je navíc y 2 obecným řešením homogenní rovnice, je y 1 + y 2 obecným řešením nehomogenní rovnice, protože se podaří splnit libovolnou počáteční podmínku. Důsledky linearity prakticky Vztah L[ 1 y y 2 ] = 1 L[y 1 ] + 2 L[y 2 ] poslouží (podobně jako u lineárních rovnic prvního řádu), abychom popsali strukturu množiny všech řešení rovnice a dokázali tuto množinu vytvořit jenom na základě znalosti několika prvků. Rovnice y + y = x (A) má partikulární řešení y = x. Asociovaná homogenní rovnice je y + y = 0. Tato rovnice má řešení například y = sin x, y = cos x. Z linearity plyne Funkce y = 1 sin x + 2 cos x je řešením rovnice (B) pro libovolná reálná 1, 2. Protože platí y(0) = 2 a y (0) = 1, je možné splnit libovolnou podmínku y(0) = α, y (0) = β volbou 2 = α a 1 = β. Jedná se tedy o obecné řešení. Funkce y = 1 sin x + 2 cos x + x je obecným řešením rovnice (A). (B) Kdy pomocí linearity získáme obecné řešení? Budeme studovat homogenní LDE druhého řádu, tj. rovnici y + p(x)y + q(x)y = 0, kterou můžeme zkráceně zapsat jako L[y] = 0, kde operátor L je lineární diferenciální operátor druhého řádu. otivace. Budeme předpokládat že funkce y 1 (x) a y 2 (x) jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce y(x) = 1 y 1 (x) + 2 y 2 (x) obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme y (x) = 1 y 1(x) + 2 y 2(x) a dosazení počátečních podmínek y(α) = β, y (α) = γ vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými 1, 2 β = 1 y 1 (α) + 2 y 2 (α), γ = 1 y 1(α) + 2 y 2(α). Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení ( pro libovolnou ) y1 (α) y volbu čísel β, γ právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice 2 (α) y 1(α) y 2(α), je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého. Homogenní LDE 2. řádu (wronskián, lineárně nezávislá řešení) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LDE0) Definice (lineární (ne-)závislost funkcí). Buďte y 1 a y 2 funkce definované na intervalu I. Řekneme, že funkce y 1 a y 2 jsou na intervalu I lineárně závislé, jestliže jedna z nich je na intervalu I násobkem druhé, tj. jestliže existuje reálné číslo k R s vlastností y 1 (x) = ky 2 (x) pro všechna x I, nebo y 2 (x) = ky 1 (x) pro všechna x I. V opačném případě říkáme, že funkce y 1, y 2 jsou na intervalu I lineárně nezávislé.

31 Definice (Wronskián). Buďte y 1 (x) a y 2 (x) dvě libovolná řešení homogenní rovnice (LDE0). Wronskiánem funkcí y 1 (x), y 2 (x) rozumíme determinant W [y 1, y 2 ](x) = y 1(x) y 2 (x) y 1(x) y 2(x). Homogenní LDE 2. řádu s konstantními koeficienty Věta o obecném řešení LDE s konstantními koeficienty. Uvažujme LDE y + py + qy = 0, (1) Věta o lineární (ne)závislostí řešení. Buďte y 1 (x) a y 2 (x) dvě řešení rovnice (LDE0) na intervalu I. Tato řešení jsou lineárně nezávislá právě tehdy když je jejich Wronskián různý od nuly na intervalu I. a její charakteristickou rovnici z 2 + pz + q = 0. Homogenní LDE 2. řádu (obecné řešení) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LDE0) Věta (obecné řešení homogenní LDE) Jsou-li y 1 a y 2 dvě netriviální lineárně nezávislá řešení rovnice (LDE0) na intervalu I, pak funkce y definovaná vztahem y(x, 1, 2 ) = 1 y 1 (x) + 2 y 2 (x), kde 1,2 R, je obecným řešením rovnice (LDE0) na intervalu I. Definice (fundamentální systém řešení). Dvojici funkcí y 1 a y 2 z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (LDE0). Homogenní LDE 2. řádu s konstantními koeficienty Budeme studovat rovnici tvaru y + py + qy = 0, kde p, q R. Všimněme si nejprve následujícího faktu: Dosadíme-li do levé strany rovnice y = e zx, kde z je reálné číslo, po výpočtu derivací a po vytknutí faktoru e zx získáváme y + py + qy = e zx (z 2 + pz + q). Protože exponenciální faktor na pravé straně je vždy nenulový, bude výraz na pravé straně roven nule pokud bude splněna podmínka z 2 + pz + q = 0. Pouze v tomto případě bude uvažovaná funkce řešením rovnice (1). Definice (charakteristická rovnice). Kvadratická rovnice z 2 + pz + q = 0 s neznámou z se nazývá charakteristická rovnice pro rovnici y + py + qy = 0. Jsou-li z 1, z 2 R dva různé reálné kořeny charakteristické rovnice, definujme y 1 = e z1x, y 2 = e z2x. Je-li z 1 R dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, definujme y 1 = e z1x, y 2 = xe z1x. Jsou-li z 1,2 = α ± iβ R dva komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice, definujme y 1 (x) = e αx cos(βx), Potom obecné řešení rovnice (1) je y 2 (x) = e αx sin(βx). y(x, 1, 2 ) = 1 y 1 (x) + 2 y 2 (x), 1 R, 2 R. Nehomogenní LDE 2. řádu Věta o obecném řešní nehomogenní LDE. Součet libovolného partikulárního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice a obecného řešení asociované homogenní rovnice je obecným řešením původní nehomogenní rovnice Následující věta udává jednu z metod nalezení partikulárního řešení, pokud je diferenciální rovnice do jisté míry speciální: má konstantní koeficienty a polynomiální pravou stranu. Věta (metoda neurčitých koeficientů). Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu y + py + qy = P n (x), kde p R je konstanta, q R\{0} je nenulová konstanta a P n (x) je polynom stupně n. Existuje polynom stupně n, který je partikulárním řešením této diferenciální rovnice. V praxi polynom který má být řešením napíšeme s neurčitými koeficienty a dosazením do rovnice určíme potřebné hodnoty těchto koeficientů.

32 Dirichletova okrajová úloha, vlastní čísla Někdy je nutné řešit diferenciální rovnice druhého řádu s jinými než počátečními podmínkami. Ukážeme si na jednoduchém příkladě odlišnost od počáteční úlohy. Následující úloha má velké uplatnění při studiu kmitavých pohybů. Pro parametr λ R najděte řešení rovnice splňující podmínky y + λy = 0 (*) y(0) = 0 = y(1). (**) Definice (okrajová úloha). Úloha najít řešení diferenciální rovnice (*), které splňuje podmínky (**) se nazývá (Dirichletova) okrajová úloha. Odlišnost Dirichletovy úlohy od (auchyovy) počáteční úlohy je v tom, že nezadáváme funkční hodnotu a derivaci v jednom bodě, ale funkční hodnotu ve dvou různých bodech. Jedno z řešení Dirichletovy úlohy je triviální řešení y(x) = 0. Ukazuje se, že netriviální řešení existuje jen pro některé hodnoty parametru λ. Definice (vlastní funkce, vlastní hodnota). Hodnota λ, pro kterou existuje netriviální řešení Dirichletovy okrajové úlohy se nazývá vlastní hodnota okrajové úlohy a příslušné řešení se nazývá vlastní funkce okrajové úlohy. Výpočet vlastních hodnot Je-li λ > 0, je řešením rovnice funkce y + λy = 0 (*) y(x) = 1 sin( λx) + 2 cos( λx). Z podmínky y(0) = 0 dostáváme 2 = 0. Tedy Z podmínky y(1) = 0 dostáváme y(x) = 1 sin( λx). 0 = 1 sin( λ), která je splněna pokud 1 = 0, nebo λ = kπ, k Z Okrajová úloha y + λy = 0, má vlastní hodnoty λ = (kπ) 2, k Z y(0) = 0 = y(1) Obrázek 1: Kmitání jednorozměrných objektů je popsáno lineární diferenciální rovnicí druhého řádu. Zdroj: pixabay.com Kmity struny Při kmitání struny délky l upevněné na koncích se ukazuje, že proces je možno modelovat okrajovou úlohou y + λ 2 y = 0, y(0) = 0 = y(l), kde y je amplituda kmitů v místě x a λ souvisí s frekvencí. (Jaká tato souvislost je a jak se v rovnici objeví uvidíme později při řešení vlnové rovnice.) Rovnice má obecné řešení y(x) = 1 sin(λx) + 2 cos(λx) Z podmínky y(0) = 0 dostáváme 2 = 0 a z podmínky y(l) = 0 dostáváme pokud y(x) = 1 sin(λx) λl = kπ (***) a y = 0 jinak. Při podrobnějším popisu (jedna ze závěrečných přednášek semestru) se ukazuje, že λ souvisí s hmotností struny, napětím ve struně a frekvencí, kterou slyšíme. Podmínka (***) určuje spektrum slyšitelných frekvencí, na kterých může struna kmitat, výsledný pohyb (a zvuk) je díky linearitě složením jednotlivých variant. Toho se dá s výhodou vyžívat a stejnou strunu je možné rozeznívat více způsoby a dosahovat různý výsledný zvuk. Vzpěry Předpokládejme, že máme nosník namáhaný na vzpěr. (U příhradových konstrukcí může být dokonce kombinované namáhání, částečně na vzpěr, tj. v ose a částečně kolmo na osu.) Osu x zvolíme podélně v ose vzpěry, osu y kolmo. Při namáhání takového nosníku, který je pevně uchycen na dolním a horním konci, je výchylka dána okrajovou úlohou (A. Požgaj a kol., Štruktúra a vlastnosti dreva, str. 359) d 2 y dx 2 + α2 y = 0, y(0) = y(l) = 0,

33 Takové podmínky se nazývají Neumannovy podmínky a úloha najít řešení rovnice, které tyto podmínky splňuje se nazývá Neummannova okrajová úloha, též Neumannova úloha. Existují i smíšené úlohy, například při kmitání tělesa s jedním upevněným a jedním volným koncem je přirozené formulovat smíšenou okrajovou podmínku y(a) = 0, y (b) = 0, kde a je upevněný konec a b volný konec. Obrázek 2: Nosníky, ať už samostatné vzpěry, nebo součásti příhradových konstrukcí, je nutné posuzovat i z hlediska axiálního namáhání. Ignorování tohoto způsobu namáhání vedlo v 19. století k pádu několika příhradových železničních mostů a následnému stržení řady chybně dimenzovaných mostů. Zdroj: pixabay.com kde α 2 = F EI je parametr závislý na působící síle, materálu a momentu setrvačnosti průřezu nosníku. (Pro jiné způsoby uchycení se rovnice a okrajové podmínky mohou mírně lišit, rovnice může být například i nehomogenní, zásadní vlastnosti jsou však stejné.) Toto je stejná úloha jako u kmitání struny. Při síle, která se postupně zvětšuje, se nenulové řešení objeví v bodě, kde platí αl = π, (odpovídá základní frekvenci struny) tj. F EI l = π a F = π2 EI l 2. Toto je pro daný nosník kritická síla a ta je pro daný materiál nepřímo úměrná druhé mocnině délky a přímo úměrná tuhosti kvadratickému momentu I. Neumannova a smíšená okrajová úloha Při řešení Dirichletovy úlohy hledáme řešení diferenciální rovnice druhého řádu s předepsanými hodnotami ve dvou různých bodech y(a) = α, y(b) = β. Tento požadavek se uplatní při studiu kmitů struny nebo tyče s pevnými konci. V praxi je možné si představit i jiné podmínky. Například v termodynamice se používají podmínky na hodnotu derivací ve dvou různých bodech y (a) = α, y (b) = β.

34 Rovnice matematické fyziky V této podkapitole se seznámíme se základními diferenciálními rovnicemi používanými v matematické fyzice. Jedná se o rovnice zachycující matematicky děje okolo nás. Protože se bude jednat o rovnice, kde neznámé jsou funkce více proměnných a v rovnicích vystupují i derivace těchto funkcí, patří tyto rovnice do kategorie parciálních diferenciálních rovnic. Naprostá většina fyzikálních zákonů a procesů je matematicky formulována právě pomocí parciálních diferenciálních rovnic nebo jejich integrálních ekvivalentů a vztahy, které známe například ze střední školy, jsou aproximacemi řešení těchto rovnic. Tyto rovnice můžeme uvažovat v jedné dimenzi (například šíření tepla nebo kmitů v tyči), ve dvou dimenzích (šíření tepla v desce, kmity membrány) nebo ve třech dimenzích (šíření tepla nebo kmitů v tělese). Úmluva: Abychom se vyhnuli nedorozuměním v používání symbolu, budeme tímto symbolem v následující kapitole vždy rozumět konečnou změnu. Laplaceův operátor budeme označovat symbolem 2. Pozorování 1: Všechny rovnice, se kterými se setkáme v této kapitole jsou lineární. Jsou tedy zachovány všechny principy, které plynou přímo z linearity. Zejména tedy libovolná lineární kombinace libovolného počtu řešení homogenní rovnice je opět řešením. Pozorování 2: V rovnicích uvedených v následujících podkapitolách figurují vždy parciální derivace a jisté materiálové konstanty, dané povahou problému. Tyto konstanty jsou důležité z fyzikálního hlediska, při matematickém studiu je však budeme pro větší přehlednost v některých podkapitolách vynechávat (položíme je rovny jedné). Toto není na úkor obecnosti, protože číselné velikosti konstant lze měnit vhodnou volbou fyzikálních jednotek. ůžeme například délku měřit v tak obrovských jednotkách, že rychlost světla ve vakuu bude rovna jedné. Že je taková jednotka velmi nepraktická při měření v běžném životě není pro matematické studium povahy problému nijak podstatné. Rovnice kontinuity (bilance množství stavové veličiny) Odvodíme rovnici kontinuity pro dvě proměnné, pro tři proměnné nebo jednu proměnnou je postup analogický. Nechť x, y jsou prostorové proměnné a t čas. Uvažujme skalární stavovou funkci u(x, y, t) charakterizující stav studovaného objektu v daném bodě a čase. Například hustotu plynu v oblasti mezi dvěma rovnými deskami. Pro jednoduchost předpokládejme, že všechny veličiny jsou dostatečně hladké a použijeme poněkud neformální postup bez podrobných důkazů. Nechť je jednoduše souvislá oblast v rovině. Rovnice kontinuity vyjadřuje, že ke změně celkového množství veličiny u v oblasti za jednotku času přispívá tok veličiny přes hranici (dovnitř nebo ven) a případné zdroje nebo spotřebiče uvnitř množiny. Je-li ϕ(x, y, t) vektorová funkce popisující tok prostředí popsaného veličinou u, σ(x, y, t) je hustota zdrojů (je-li σ kladné) a spotřebičů (je-li σ záporné), docházíme k bilanci pro rychlost změny celkového množství veličiny v množině ve tvaru množství veličiny v množině {}}{ d u(x, y, t)dxdy = dt }{{} velikost změny za jednotku času σ(x, y, t)dxdy }{{} celková vydatnost zdrojů uvnitř množiny ϕ 2 (x, y, t)dx + ϕ 1 (x, y, t)dy, } {{ } tok přes hranici množiny kde ϕ 1,2 (x, y, t) jsou jednotlivé komponenty vektoru ϕ(x, y, z). Rovnice kontinuity (integrální tvar) Použijeme-li na rovnici (*) Greenovu větu, dostáváme d u(x, y, t)dxdy = σ(x, y, t)dxdy dt div ϕ(x, y, t)dxdy, Pokud se oblast nemění v čase, je možné na levé straně přesunout časovou derivaci dovnitř integrálu a dostáváme dále rovnici zvanou rovnice kontinuity v integrálním tvaru ( ) u(x, y, t)dxdy = div ϕ(x, y, t) + σ(x, y, t) dxdy. t Rovnice kontinuity (lokální tvar) Z rovnice kontinuity v integrálním tvaru ( ) u(x, y, t)dxdy = div ϕ(x, y, t) + σ(x, y, t) dxdy t plyne (protože rovnost musí platit pro každou množinu ) nutně neboli u t = div ϕ + σ, u + div ϕ = σ, t (*)

35 což je diferenciální tvar rovnice kontinuity, ve kterém jsme pro stručnost vynechali explicitní vypisování nezávislých proměnných. Ve stejném tvaru rovnice platí i v lineárním případě a trojdimenzionálním případě. Z integrálního tvaru a z odvození ihned vidíme, že se vlastně jedná o rovnici vyjadřující zákon zachování veličiny u, kde člen u t vyjadřuje časovou změnu veličiny u, ϕ vyjadřuje hustotu toku veličiny u, div ϕ je divergence této hustoty toku a σ je člen související s přítomností zdrojů nebo spotřebičů. Rovnice kontinuity (speciální případy) Speciálními případy rovnice kontinuity jsou rovnice kontinuity bez zdrojů u + div ϕ = 0, t nebo stacionární rovnice kontinuity pro popis stacionárních jevů div ϕ = σ. Stacionární bezzdrojová rovnice kontinuity div ϕ = 0, má v integrálním tvaru pro ustálené proudění nestlačitelné tekutiny trubicí s proměnným průřezem tvar Sv = konst, který známe ze střední školy. Ten vyjadřuje, že objem nestlačitelné tekutiny, který do trubice na jedné straně vteče je stejný jako objem, který z ní vyteče. Difuzní rovnice (vedení tepla) Difuzní rovnice je kombinací rovnice kontinuity a zákona, který říká, že v označení z předchozí kapitoly směřuje vektor ϕ (difuzní tok, tj. množství veličiny u které projde elementární oblastí za jednotku času) z oblastí s vyšší koncentrací do oblastí s nižší koncentrací a velikost je úměrná gradientu veličiny u. Platí tedy ϕ = D u, kde D je tzv. difuzní koeficient. Tento zákon a veličina D se vyskytují v mnoha různých oblastech zkoumání přírody a mají různé názvy podle konkrétní povahy proudící veličiny (např. Fickův zákon, Darcyho zákon, Fourierův zákon). S využitím tohoto vztahu má rovnice tvar u div(d u) = σ. t Pouze v izotropním prostředí je směr ϕ a u stejný. Proto pouze v izotropním prostředí je možné považovat koeficient D za skalární veličinu. Obecně by to mohlo být jakékoliv zobrazení mezi vektorovými prostory a vzhledem k úměrnosti je možné toto zobrazení reprezentovat maticí. Tato matice má navíc speciální vlastnosti (z fyzikálních důvodů bývá symetrická a z matematických důvodů pro ni platí jistá pravidla při změně souřadnic) a nazývá se tenzor. Difuzní koeficient D je tedy tenzorová veličina. Při studiu pohybu vody nebo tepla ve dřevě neuvažujeme zdroje (σ = 0) a naopak uvažujeme prostředí, které má v každém směru jiné vlastnosti. Difuzní koeficient je tenzor, ale pokud zvolíme soustavy souřadnic v souladu s anatomickými směry dřeva, ukazuje se, že matice D je diagonální a výsledná difuzní rovnice má poté tvar u t ( ) u D x ( ) u D y ( ) u D z = 0. x x y y z z Je-li difuzní koeficient D skalární a konstantní (nezávislý na prostorových souřadnicích a na směru, tj. v případě dřeva například D x = D y = D z = D R), potom má difuzní rovnice vhledem k identitě konečný tvar div ϕ = div(d u) = D div( u) = D 2 u u t D 2 u = σ, (**) kde 2 je Laplaceův operátor. Tuto rovnici je možno najít v literatuře pod názvem rovnice vedení tepla, protože popisuje šíření tepla v prostředí s součinitelem teplotní vodivosti D a hustotou tepelných zdrojů σ. V praxi je dřevo často s jistou přesností homogenní, ale difuzní koeficient dřeva závisí na teplotě a vlhkosti. Proto vztah mezi gradientem u a difuzním tokem ϕ není lineární. Přesto i v tomto případě používáme úměrnost, ovšem složky difuzního koeficientu nepovažujeme za konstanty, ale za veličiny měnící se s u. Ani takovém případě si úpravu na rovnici (**) nemůžeme dovolit. Difuzní rovnice (rozměrová analýza) Odhadnout některé aspekty chování rovnice u t D 2 u = σ je možné i bez znalosti řešení této rovnice, kterou je možno vyřešit pouze v některých speciálních případech. Například z toho, že členy u t a D 2 u musí mít stejné jednotky vidíme, že jednotka difuzního koeficientu D je m 2 s 1. Proto je přirozené očekávat, že průměrná vzdálenost na kterou dodifunduje látka za čas t je úměrná výrazu Dt; průměrný čas za který látka dodifunduje na vzdálenost d je úměrný výrazu d2 D.

36 přepíšeme do tvaru sin(ϕ + ϕ) sin ϕ ϕ ϕ x a v limitě stáhneme velikost uvažovaného elementu k nule, dostáváme výraz známý z definice derivace sin(ϕ) ϕ tj. cos(ϕ) ϕ ϕ x x. Obrázek 1 Potřebujeme nyní vyjádřit výraz ϕ x dostáváme. Ze vztahu tan ϕ = u x 1 ϕ cos 2 ϕ x = 2 u x 2 derivováním podle x a za předpokladu malých výchylek nahradíme v předchozích dvou vzorcích funkci kosinus její lineární aproximací v okolí nuly: Vlnová rovnice (odvození v jedné dimenzi) Vlnová rovnice je rovnice popisující kmity strun (v jednorozměrném případě), membrán (ve dvourozměrném případě) nebo těles (v trojrozměrném případě). Odvodíme rovnici kmitání strun. Na kmitající struně uvažujme v bodě x element o délce x. Výchylku z rovnovážného stavu označme u. Dále označme T sílu, která v tomto bodě napíná strunu - vnitřní napětí ve struně. Tento vektor má podél struny konstantní velikost a směr se mění podle zakřivení struny. Označíme-li ϕ úhel mezi vektorem T a vodorovným směrem, je tan ϕ = u x (derivace je směrnice tečny). Na levý konec působí síla T 1, kterou pro další počítání rozložíme do vodorovného a svislého směru. Doleva působí síla o velikosti T cos ϕ a dolů síla T sin ϕ. Podobně, na pravý konec, kde je směrnice tečny ϕ+ ϕ působí doprava síla T cos(ϕ+ ϕ) a nahoru síla T sin(ϕ+ ϕ). Protože se element pohybuje ve svislém směru, podle Newtonova pohybového zákona platí m 2 u = T sin(ϕ + ϕ) T sin ϕ, t2 kde m je hmotnost uvažovaného elementu. Je-li lineární specifická hmotnost struny ρ a délka elementu v rovnovážné poloze (bez deformace) je přibližně x, je možno vyjádřit hmotnost jako m = ρ x a dostáváme po úpravě vztah ρ T 2 u t 2 sin(ϕ + ϕ) sin ϕ =, x cos(ϕ) cos(0) + (cos(ϕ)) ϕ=0 (ϕ 0) = 1 + sin(ϕ) ϕ = 1. ϕ=0 Tím se pravá strana rovnice zjednoduší na 2 u x 2 Vlnová rovnice Rovnice 2 u t 2 2 u t 2 = T ρ = T ρ 2 u x 2. 2 u x 2 a získáváme rovnici je rovnice popisující kmitavý pohyb struny. Ve vícerozměrném případě je situace obdobná, pouze na pravé straně dostaneme Laplaceův operátor a výsledná rovnice se nazývá vlnová rovnice. 2 u t 2 = T ρ 2 u. Po přeznačení je možno vlnovou rovnici zapsat ve tvaru Pokud pravou stranu rovnice, tj. sin(ϕ + ϕ) sin ϕ x kde c je kladná konstanta. 2 u t 2 = c2 2 u,

37 Rovnice postupné vlny Nechť f je libovolná dvakrát diferencovatelná funkce jedné proměnné a uvažujme jednorozměrnou vlnovou rovnici 2 u t 2 = c2 2 u x 2 a funkci dvou proměnných u(x, t) = f(x ct). Potom platí u x = f (x ct), u t = cf (x ct), 2 u x 2 = f (x ct), 2 u t 2 = c2 f (x ct), odkud snadno vidíme, že funkce u je řešením vlnové rovnice Vrstevnice funkce u(x, t) jsou dány rovnicí x ct = konst, což odpovídá tomu, že bod o dané výchylce se za čas t posune o x = c t. Jedná se tedy o postupnou vlnu, která se šíří rychlostí c doprava. Podobně, funkce v(x, c) = f(x+ct) je řešením této rovnice, které odpovídá postupné vlně, která postupuje rychlostí c doleva. Rovnice popisující podélné kmity kmity tyče modulu pružnosti E a hustotě ρ má stejný tvar, kde c = Eρ je rychlost šíření kmitů. Trojrozměrná analogie této rovnice je vhodná pro popis elastických kmitů (chvění) v tělese. Fourierova metoda (separace proměnných) Jedna z nejjednodušších metod řešení parciálních diferenciálních rovnic spočívá v tom, že se řešení rovnic snažíme najít v nějakém konkrétním tvaru, který nám umožní rovnici redukovat na několik rovnic jednodušších. Uvažujme šíření tepla v tyči jednotkové délky bez vnitřních zdrojů tepelné energie, popsané diferenciální rovnicí u t = 2 u x 2. Pro jednoznačný popis děje je nutno zadat počáteční teplotu ϕ(x) ve všech bodech tyče a podmínky, které udávají, v jakém prostředí se tyč nachází například teplotu konců tyče. Pro jednoduchost uvažujme homogenní okrajové podmínky u(0, t) = 0 = u(1, t) a počáteční podmínku u(x, 0) = ϕ(x). Řešení u budeme hledat ve tvaru funkce u(x, t) = X(x)T (t), kde X a T jsou funkce jedné proměnné. V tomto označení platí u t = X(x)T (t) a 2 u = X (x)t (t) a po dosazení do rovnice a po vydělení faktorem X(x)T (t) x 2 dostaneme T (t) T (t) = X (x) X(x). Fourierova metoda (separace proměnných, pokračování) Protože levá strana rovnice T (t) T (t) = X (x) X(x) závisí pouze na t a pravá strana pouze na x, musí být obě strany rovny stejné konstantě. Tuto konstantu zapíšeme z důvodů které budou patrné později jako λ 2. Z okrajových podmínek naložených na funkci u plyne, že funkce X musí splňovat Funkce X a T tedy musí splňovat rovnice a okrajovou podmínku (*). Rovnice X(0) = 0 = X(1). (*) T = λ 2 T, X + λ 2 X = 0 T = λ 2 T je lineární a její obecné řešení je libovolný násobek funkce T (t) = e λ2t. Úloha najít funkci vyhovující rovnici souvisí s vlastními hodnotami rovnice. X + λ 2 X = 0 Okrajová úloha, vlastní čísla Pro parametr λ řešme rovnici s okrajovými podmínkami X + λ 2 X = 0 X(0) = 0 = X(1). Rovnice je homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu a má (podle toho jaké je řešení charakteristické rovnice) řešení buď exponenciální funkce nebo goniometrické funkce. Podrobným rozborem lze ukázat, že v případě lineární kombinace exponenciálních funkcí se nepodaří splnit podmínky a charakteristická rovnice tedy nesmí mít reálné kořeny. Proto jsme volili konstantu v separaci proměnných ve tvaru λ 2. Nyní jsou totiž řešeními charakteristické rovnice čísla ±iλ a řešením rovnice je tvaru X(x) = 1 sin(λx) + 2 cos(λx). Z podmínky X(0) = 0 dostáváme 2 = 0. Tedy X(x) = 1 sin(λx).

38 Z podmínky X(1) = 0 dostáváme 0 = 1 sin(λ). Zajímá nás pouze netriviální řešení a proto nemůžeme připustit 1 = 0. Platí tedy sin(λ) = 0, neboli λ = kπ, kde k je přirozené číslo. Vlastní hodnoty jsou tedy tvaru λ 2 = k 2 π 2 a uvažovaná okrajová úloha pro libovolné přirozené číslo k řešení kde je reálná konstanta. X(x) = sin(k 2 π 2 x), Fourierova metoda (separace proměnných, superpozice řešení) Protože řešení rovnice u t = 2 u x 2. hledáme ve tvaru u(x, t) = X(x)T (t), můžeme výsledky předchozích odstavců shrnout do poznatku, že pro libovolnou konstantu k a libovolné přirozené číslo k je funkce k sin(kπx)e λ2t. Protože rovnice je lineární, je řešením i libovolná lineární kombinace těchto funkcí. Použijeme-li všechny funkce tohoto tvaru, dostáváme řešení u(x, t) = k sin(kπx)e λ2t, k=1 Protože máme zadánu počáteční podmínku u(x, 0) = ϕ(x), potřebujeme najít konstanty k takové, že platí k sin(k πx) = ϕ(x). k=1 Tuto úlohu budeme řešit v dalších odstavcích. může pro konkrétní hodnoty koeficientů a i, b i konvergovat k nějaké funkci f(x) a za jistých podmínek je tato funkce dostatečně pěkná: je spojitá, je možno ji derivovat člen po členu apod. Při řešení rovnic matematické fyziky řešíme opačný problém: pro zadanou funkci f(x) na intervalu [ π, π] chceme nalézt koeficienty a i, b i tak, aby na tomto intervalu platilo f(x) = a (a k cos(kx) + b k sin(kx)). k=1 Koeficienty Fourierova rozvoje Ukazuje se, že tento zápis funkce f pomocí goniometrických funkcí je možný, pokud použijeme následující volbu koeficientů a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π π π π π π π f(x)dx f(x) cos(kx)dx f(x) sin(kx)dx. Tyto vztahy je možno zobecnit i na jiné intervaly než [ π, π] a také pro jiné funkce než goniometrické je možné použít například systém všech vlastních funkcí okrajové úlohy. V našem případě je možné ukázat, že pokud platí potom na intervalu [0, 1] platí k = ϕ(x) sin(kπx)dx, k sin(kπx) = ϕ(x). k=1 áme tedy koeficienty k, které je možno použít pro konečný zápis řešení naší úlohy. Fourierův rozvoj periodické funkce Nekonečná řada goniometrických funkcí tvaru a (a k cos(k x) + b k sin(k x)) k=1 Fourierova metoda (separace proměnných, závěr) Řešení rovnice vedení tepla, které splňuje zadané počíteční a okrajové podmínky je u(x, t) = k sin(kπx)e λ2t, k=1

39 kde k = ϕ(x) sin(kπx)dx. Podobně, kmity struny jednotkové délky, popsané vlnovou rovnicí s okrajovými podmínkami 2 u t 2 = c2 2 u x 2, u(0, t) = 0 = u(1, t) (struna upevněná na koncích) a počátečními podmínkami u u(x, 0) = ϕ(x), (x, 0) = ψ(x). t (počáteční poloha a rychlost všech bodů struny) jsou dány vztahem u(x, t) = (a n cos(kπt) + b n sin(kπt)) sin(kπx), kde a k=1 a k = 2 b k = ϕ(x) sin(kπx)dx ψ(x) cos(kπx)dx. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic Při řešení praktických úloh založených na rovnicích matematické fyziky se málokdy podaří efektivně nalézt obecné řešení v explicitním tvaru. Proto zpravidla hledáme řešení zadané úlohy (rovnice s okrajovými a počátečními podmínkami) numericky. Hlavní myšlenkou je převod modelu na soustavu lineárních rovnic. Jednoduchá metoda, jak toto provést například pro nalezení stacionárního stavu čtvercové desky je zvolit uzolvé body uvnitř desky a teplotu v každém bodě určovat jako průměr teplot v sousedních uzlech. V praxi se však používají více rafinované postupy, které jsou sice založené na hlobokých myšlenkách, ale po dotažení do prakticky použitelného nástroje jsou jednoduché i pro laiky, kteří nemusí do hloubky rozumět celému pozadí výpočtu. Nejpoužívanější metodou pro numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic je metoda konečných prvků. Tato metoda je založena na myšlence vyjádření řešení jako lineární kombinace velice jednoduchých funkcí. ísto goniometrických funkcí, které jsme použili ve Fourierově rozvoji, je možné použít například trojúhelníkové funkce jako na obrázku. Výhodou je obrovský nárůst rychlosti, nevýhodou je, že lineární kombinace několika funkcí složených z lomených čar je lomená čára a řešení je tedy možné obdržet jen přibližně. Na druhou stranu je velice jednoduché najít koeficienty lineární kombinace aproximující nějakou funkci. V místě, kde očekáváme dramatičtější změny funkčních hodnot, je možné volit hustší síť a aproximace potom bude jemnější. Obrázek 2: Trojúhelníkové funkce, ze kterých se skládá aproximace řešení. Červenou křivku je možno snadno aproximovat černou lomenou čarou, protože koeficienty do lineární kombinace jsou právě funkční hodnoty.

40 Rozložení teploty na tepelně vodivé desce Rovnici vedení tepla jsme odvodili ve tvaru Diferenciální rovnice a konečné diference u div(d u) = σ. t Uvažujeme čtvercovou desku bez zdrojů tepla (σ = 0), okraje desky udržujeme na konstantní teplotě a deska je v rovnovážném stavu (teplota se nemění v čase, u t = 0). Deska je homogenní izotropní a koeficient tepelné vodivosti je konstantní skalární veličina (D R). Úloha se tedy redukuje na tj. div( u) = 0 2 u x u y 2 = 0. To je pořád dost komplikovaná úloha, zkusíme tedy něco jednoduchého. Rozložení teploty na tepelně vodivé desce přibližně Desku rozdělíme sítí na 12 uzlových bodů (rohy zanedbáme) jak je uvedeno na obrázku. V uzlových bodech na okraji desky je teplota zadána (okrajová podmínka), zajímá nás rozložení teploty v ostatních uzlových bodech. Učiníme (poměrně realistický) předpoklad, že teplota v každém uzlovém bodě je díky tepelné vodivosti desky ovlivněna sousedními uzlovými body. Každý sousední bod má stejný vliv, proto teplota v uzlovém bodě bude přibližně rovna aritmetickému průměru teplot v sousedních bodech. Kvantitativně zformulováno, platí anebo po úpravě x 1 = 1 4 ( x 2 + x 4 ) x 2 = 1 4 ( x 1 + x 3 ) x 3 = 1 4 ( x 2 + x 4 ) x 4 = 1 4 ( x 1 + x 3 ) 4x 1 x 2 x 4 = 30 x 1 + 4x 2 x 3 = 60 x 2 + 4x 3 x 4 = 70 x 1 x 3 + 4x 4 = 40 (*) Obrázek 1: Rozložení teploty na tepelně vodivé desce je možné přibližně zkoumat metodami lineární algebry. Dostali jsme soustavu lineárních rovnic o čtyřech neznámých. Tuto úlohu je možno zformulovat pomocí maticového násobení x x x 3 = x 4 40 Úloha je tedy převoditelná na úlohu řešení soustavy lineárních rovnic. Pro podrobnější popis použijeme stejnou myšlenku, ale mnohem více uzlových bodů. Postup je stejný, pouze vznikne soustava s více neznámými a více rovnicemi. Poznámka. Rovnice popisující vedení tepla na základě fyzikálních principů je poměrně komplikovaně řešitelná a proto se zpravidla převádí na problém lineární algebry. ůže to znít překvapivě, ale skončíme u něčeho podobného jako v našem jednoduchoučkém modelu. Výše uvedený postup se nazývá metoda konečných diferencí, ale jsou i další metody, například metoda konečných prvků. Společným znakem je rozdělení oblasti našeho zájmu na velké množství bodů a aproximace fyzikálních zákonů pro sledovaný jev v každém bodě pomocí lineární rovnice. Tím vznikne úloha na řešení soustavy rovnic. Používá se k modelování proudění tepla nebo vody, k modelování mechanického namáhání od jednoduchých nosníků po komplikované konstrukce nebo stromy. Soustava vytvořená pomocí takových modelů je velmi řídká, má hodně

41 Ke stejným výsledkům jako je (1) a (2) můžeme dospět pomocí aproximace Taylorovým polynomem druhého řádu f(x + h) f(x) + df dx h + 1 d 2 f 2 dx 2 h2 f(x h) f(x) df dx h + 1 d 2 f 2 dx 2 h2 tak, že výše uvedené vztahy odečteme a vyjádříme první derivaci, nebo odečteme a vyjádříme druhou derivaci. Pro parciální derivace analogicky Obrázek 2: Tramvajový most v Brně Pisárkách z předpjatého betonu. Vede do zatáčky a ve stoupání. Analyticky vyřešit namáhání takového mostu je nereálné, podobné úlohy se řeší převodem na úlohy lineární algebry. Podobné síly mohou vznikat i v dřevěných konstrukcích a to i v případě, že nosníky primárně nekonstruujeme jako předpjaté. Zdroj: nul. Je proto možné ji rychle vyřešit i v případě tisíců rovnic. Poznámka. Velké řídké soustavy typu (*) se řeší iterační metodou. Vyjdeme z libovolného odhadu řešení, dosadíme do pravé strany a získáme vylepšený odhad řešení. Tento postup opakujeme. Konečné diference Při přibližném modelování vynecháváme to nejsložitější, limitní přechod v definici derivace df dx = lim f(x + h) f(x) h 0 h Tedy df f(x + h) f(x). dx h Okamžitá rychlost je nahrazena průměrnou rychlostí na intervalu (x, x + h). Kromě dopředné diference někdy používáme zpětnou diferenci nebo jejich průměr, centrální diferenci df dx df f(x) f(x h) dx h f(x + h) f(x h). (1) 2h Pro druhou derivaci dostáváme podobně pomocí diferencí aproximaci druhé derivace pomocí funkční hodnoty funkce f v daném bodě a v bodech o h doprava a doleva ve tvaru d 2 f(x+h) f(x) f dx 2 = h f(x) f(x h) h h = f(x h) 2f(x) + f(x + h) h 2. (2) f f(x + h, y) f(x h, y), x 2h f f(x, y + h) f(x, y h), y 2h 2 f f(x h, y) 2f(x, y) + f(x + h, y) x2 h 2, 2 f f(x, y h) 2f(x, y) + f(x, y + h) y2 h 2. Laplaceův operátor je například možné aproximovat pomocí vztahu 2 f x f f(x h, y) + f(x, y h) 4f(x, y) + f(x + h, y) + f(x, y + h) y2 h 2 a Laplaceova rovnice popisující rozložení tepla na tepelně vodivé desce bez zdrojů a v ustáleném stavu 2 f x f y 2 = 0 má tvar tj. f(x h, y) + f(x, y h) 4f(x, y) + f(x + h, y) + f(x, y + h) = 0, f(x, y) = 1 4 ( ) f(x h, y) + f(x, y h) + f(x + h, y) + f(x, y + h). Jinými slovy, teplota v uzlovém bodu desky z předchozího slidu je opravdu průměrem teplot v okolních uzlových bodech desky. Proto byl náš postup korektní a zjednodušení, spočívající v nahrazení složité parciální diferenciální rovnice jednoduchou soustavou rovnic, bylo správné. O co víc: podobně je možné postupovat i tam, kde je naše intuice nejistá anebo nedokážeme fyzikálně argumentovat při záměně derivací za algebraické operace. Stačí se řídit odvozenými vztahy.

42 Obrázek 3: Příhradový nosník. Vzpěry jsou namáhány v ose. Teorii vybudoval v 18. století L. Euler, ale začala se dále rozvíjet a využívat až po sérii pádů příhradových železničních mostů v 19. století. Zdroj: Nosník Příklad (podle Autar Kaw et al.: Finite Difference ethod for Ordinary Differential Equations.) Deformace y nosníku délky L podepřeného na koncích, vystaveného vertikálnímu zatížení q a axiálnímu namáhání T je dána rovnicí vlit jemnější dělení tam, kde očekáváme dramatické změny a hrubší dělení tam, kde neočekáváme velké změny v řešení. Jedna z možností, jak se s tímto vyrovnat je metoda konečných prvků. Přesný matematický popis je nepoměrně náročnější, než u metody konečných diferencí, co je však podstatné je že metoda konečných prvků redukuje úlohu modelovanou pomocí diferenciální rovnice na úlohu lineární algebry (soustava rovnic), a že metoda konečných prvků je upravena do tvaru, kdy ji po určitém zaškolení může používat v řadě případů s úspěchem i člověk, který do podstaty úlohy nevidí. Z výše uvedených důvodů a hlavně proto, že tato metoda poskytuje perfektní výsledky, je metoda konečných prvků jedna z nejpoužívanějších metod v matematickém modelování. O alanytické řešení, jak jsme to dělali při separaci proměnných Fourierovou metodou se zpravidla snažíme jenom v nejjednodušších případech, abychom porozuměli problematice a získali zkušenosti a jistý vhled do problematiky. Reálné úlohy řešící statiku mostů či budov nebo komplexní tepelnou výmenu mezi budovou a okolím řešíme numericky, metodou konečných diferencí, konečných prvků nebo dalšími podobnými metodami. d 2 y dx 2 T qx(l x) y =, EI 2EI kde E je materiálová charakteristika a I je veličina související s průřezem nosníku (kvadratický moment průřezu, souvisí s velikostí i s tvarem). Okrajové podmínky jsou y(0) = 0 a y(l) = 0. Po aproximace druhé derivace výrazem s konečnými diferencemi dostáváme y(x h) 2y(x) + y(x + h) h 2 T qx(l x) y(x) =. EI 2EI Pokud délku nosníku L rozdělíme na n částí délky h a pokud označíme x i = ni, y i = y(x i ), rovnice se redukuje na rovnici y i 1 2y i + y i+1 h 2 T EI y i = qx i(l x i ). 2EI To je pro i od i = 1 po i = n 1 celkem n 1 lineárních rovnic. K tomu přidáváme rovnice na koncích podepřeného nosníku, kdy platí y 0 = 0 a y n = 0. elkem tedy máme soustavu n + 1 lineárních rovnic o n + 1 neznámých. Soustava je řešitelná. Protože pro jemné dělení je rovnic obrovské množství, není vhodné se problém snažit zdolat metodami řešení rovnic známými ze střední školy. Existují velmi rychlé iterační metody, které umožní najít řešení pomocí operací, které se dají v počítači realizovat velmi levně. Vylepšení? etoda konečných diferencí má někdy potíže způsobené tím, že mříž je v celém studovaném problému rovnoměrná. To někdy nemusí být optimální, bylo by vhodné