Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech"

Transkript

1 Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů ze spojitých rozložeí - hodotit shodu aspoň tří ezávislých áhodých výběrů ze spojitých rozložeí a idetifikovat dvojice výzamě odlišých áhodých výběrů Časová zátěž Na prostudováí této kapitoly a splěí úkolů s í spojeých budete potřebovat asi 11 hodi studia 61 Motivace Při používáí t-testů či aalýzy rozptylu by měl být splě předpoklad ormality dat Pro výběry větších rozsahů ( 3) emá míré porušeí ormality závažý dopad a výsledky Někdy se však setkáváme s výběry malých rozsahů, které pocházejí z výrazě eormálích rozložeí Pro práci s imi byly vytvořey tzv eparametrické testy, které evyžadují kokrétí typ rozložeí (apř ormálí), stačí apř předpokládat, že distribučí fukce rozložeí, z ěhož áhodý výběr pochází, je spojitá Tyto eparametrické testy se rověž používají v situacích, kdy zkoumaá data emají itervalový či poměrový charakter, ale pouze ordiálí charakter Ve srováí s klasickými parametrickými testy jsou však eparametrické testy slabší, tz, že epravdivou hypotézu zamítají s meší pravděpodobostí ež testy parametrické V této kapitole se omezíme a ty eparametrické testy, které se týkají mediáů 6 Jedovýběrové testy Jde o eparametrické obdoby jedovýběrového t-testu a párového t-testu 61 amékový test Nechť X1, K, X je áhodý výběr ze spojitého rozložeí Nechť x je mediáem tohoto rozložeí a c je reálá kostata Testujeme hypotézu H : x = c proti oboustraé alterativě H1 : x c (resp proti levostraé alterativě H1 : x < c resp proti pravostraé alterativě H1 : x > c ) amékový test se ejčastěji používá jako párový test, kdy máme áhodý výběr ze X1 X spojitého dvourozměrého rozložeí, K, a testujeme hypotézu o rozdílu mediáů, Y1 Y tj : x y c proti : x y c (resp proti jedostraým alterativám) H,5 = H1,5 Přejdeme k rozdílům 1 = X1 Y 1, K, = X Y a testujeme hypotézu o mediáu těchto rozdílů, tj H : z = c a) Utvoříme rozdíly Yi = X i c, i= 1, K, (Jsou-li ěkteré rozdíly ulové, pak za bereme je počet eulových hodot)

2 b) avedeme statistiku S, která udává počet těch rozdílů, které jsou kladé S je součtem áhodých veliči s alterativím rozložeím (i-tá veličia abývá hodoty 1, když i-tý rozdíl je kladý a hodoty, když je záporý) Platí-li H, pak pravděpodobost kladého i záporého rozdílu je stejá, tedy Bi, vlastostí biomického rozložeí plye, 1 že ( S ), D ( S ) = 4 E = c) Staovíme kritický obor Pro oboustraou alterativu: S ~ ( ) W 1 =,k k,, pro levostraou alterativu: W=,k1, pro pravostraou alterativu: W = k, (Nezáporá celá čísla k 1, k pro oboustraý test i pro jedostraé testy lze ajít ve statistických tabulkách) S d) H zamítáme a hladiě výzamostiα, když W Pro velká (prakticky > ) lze využít asymptotické ormality statistiky S Testo- S E( S ) S vá statistika U = = D( S ) 4 N (,1) má za platosti H asymptoticky rozložeí Kritický obor pro oboustraý test: (, u u ) W= 1 α / 1 α /, Kritický obor pro levostraý test: W = (, u1 α Kritický obor pro pravostraý test: W u1 ) = α, Aproximace rozložeím N(,1) se zlepší, když použijeme tzv korekci a espojitost Testová statistika pak má tvar U 1, přičemž přičteme, když S < a odečteme v opačém případě S = 4 ± 1 6 Příklad U 9 áhodě vybraých maželských párů byl zjiště průměrý ročí příjem (v tisících Kč) číslo páru příjem mažela příjem maželky Na hladiě výzamosti,5 testujte hypotézu, že mediáy příjmů maželů a maželek jsou stejé Řešeí: Jedá se o párový test Vypočteme rozdíly mezi příjmy maželů a maželek, čímž úlohu převedeme a jedovýběrový test Testujeme H : z = proti oboustraé alterativě H1 : z, kde z je mediá rozložeí, z ěhož pochází rozdílový áhodý výběr 1 = X1 Y 1, K, 9 = X 9 Y9 Vypočteé rozdíly x y : i i

3 Testová statistika S = 7Ve statistických tabulkách ajdeme pro = 9 a α =, 5 kritické hodoty k 1 = 1, k = 8 Protože kritický obor W=,1 8, 9 eobsahuje hodotu 7, emůžeme H zamítout a hladiě výzamosti,5 Neprokázaly se tedy výzamé rozdíly v mediáech příjmů maželů a maželek Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme ový datový soubor se dvěma proměými a 9 případy Do proměé X apíšeme příjmy maželů, do proměé Y příjmy maželek Statistiky Neparametrická statistika Porováí dvou závislých vzorků OK 1 sezam proměých X, sezam proměých Y OK amékový test Počet procet Úroveň p Dvojice proměých růzých v < V X & Y 9, 1,333333,184 Vidíme, že eulových hodot = 9 ich záporých je, %, tj Hodota testové statistiky S = 9 = 7 Asymptotická testová statistika U (zde ozačeá jako ) se realizuje hodotou 1, 3 Odpovídající asymptotická p-hodota je,184, tedy a asymptotické hladiě výzamosti,5 ezamítáme hypotézu, že mediáy příjmů maželů a maželek jsou stejé Upozorěí: V tomto případě eí splěa podmíka pro využití asymptotické ormality statistiky S, tj > Je tedy vhodější ajít v tabulkách kritické hodoty pro zamékový test Pro = 9 a α =,5 jsou kritické hodoty k 1 = 1, k = 8 Protože kritický obor W=,1 8,9 eobsahuje hodotu 7, ezamítáme H a hladiě výzamosti,5 Dostáváme týž výsledek jako při použití asymptotického testu 63 Jedovýběrový Wilcoxoův test Nechť X 1,, X je áhodý výběr ze spojitého rozložeí s hustotou φ(x), která je symetrická kolem mediáu x,5, tj φ(x,5 x) = φ(x,5 - x) Nechť c je reálá kostata Testujeme hypotézu H : x,5 = c proti oboustraé alterativě H 1 : x,5 c (resp proti levostraé alterativě H 1 : x,5 < c resp proti pravostraé alterativě H 1 : x,5 > c) a) Utvoříme rozdíly Y i = X i c, i = 1,, (Jsou-li ěkteré rozdíly ulové, pak za bereme je počet eulových hodot) b) Absolutí hodoty Y i uspořádáme vzestupě podle velikosti a spočteme pořadí R i c) avedeme statistiku S W = R i, což je součet pořadí přes kladé hodoty Y i Aalogicky zavedeme statistiku S Y> i W = Y< i R i, což je součet pořadí přes záporé hodoty Y i Přitom platí, že součet S W S W - = (1)/ a platosti H statistika S W má středí hodotu E(S W ) = (1)/4 a rozptyl D(S W ) = (1)(1)/4 d) Určíme testovou statistiku: Testová statistika = mi(s W, S W - ) pro oboustraou alterativu, = S W pro levostraou alterativu, = S W - pro pravostraou alterativu e) H zamítáme a hladiě výzamosti α, když testová statistika je meší ebo rova tabelovaé kritické hodotě

4 U Pro 3 lze využít asymptotické ormality statistiky S W Platí-li H, pak W E( S ) S W W = ( ( W ) 4 ( 1) 4 S = N(,1) Kritický obor pro oboustraou alterativu má 1)( 1) D S tvar: (, u u ) W= α / 1 α /, 1 (Aalogicky pro jedostraé alterativy) H zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti α, když U W Wilcoxoův test se hodí je pro výběr ze symetrického rozložeí Neí-li teto předpoklad splě, lze použít apř zamékový test 64 Příklad U 1 áhodě vybraých zemí bylo zjištěo proceto populace starší 6 let: 4,9 6, 6,9 17,6 4,5 1,3 5,7 5,3 9,6 13,5 15,7 7,7 Na hladiě výzamosti,5 testujte hypotézu, že mediá proceta populace starší 6 let je 1 proti oboustraé alterativě Řešeí: Vypočteme rozdíly pozorovaých hodot od čísla 1: -7,1-6, -5,1 5,6-7,5,3-6,3-6,7 -,4 1,5 3,7-4,3 Absolutí hodoty těchto rozdílů uspořádáme vzestupě podle velikosti Kladé rozdíly přitom ozačíme tučě: usp x i 1,3 1,5,4 3,7 4,3 5,1 5,6 6 6,3 6,7 7,1 7,5 pořadí S W = 14, S W - = 64, = 1, α =,5, tabelovaá kritická hodota = 13, testová statistika = mi(s W, S W - ) = mi(14,64) = 14 Protože 14 > 13, H ezamítáme a hladiě výzamosti,5 ameá to, že a hladiě výzamosti,5 se epodařilo prokázat, že aspoň v poloviě zemí by se podíl populace ad 6 let odlišoval od 1 % Řešeí pomocí systému STATISTICA: Otevřeme ový datový soubor se dvěma proměou a dvaácti případy Prví proměou azveme PROCENTA, druhou KONSTANTA Do proměé PROCENTA apíšeme zjištěá proceta populace starší 6 let:a do proměé KONSTANTA vyplíme čísly 1 (do Dlouhého jméa proměé KONSTANTA apíšeme =1) Statistika Neparametrická statistika Porováí dvou závislých vzorků (proměé) OK Proměé 1 sezam proměých PROCENTA, sezam proměých KONSTANTA, OK, Wilcoxoův párový test Dostaeme tabulku Wilcoxoův párový test (populace_ad_6) Ozačeé testy jsou výzamé a hladiě p <,5 Počet T Úroveň p Dvojice proměých platých proceto & kost 1 14, 1,961161,49861 V této tabulce je symbolem T ozačea testová statistika mi(s W, S W - ), symbolem realizace asymptotické testové statistiky U Uvedeá p-hodota je vypočítáa pro realizaci asymptotické testové statistiky U Protože p,5, hypotézu H : x,5 = 1 zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti,5 Pokud bychom chtěli provést přesý test a ikoliv pouze asymptotický, vyhledali bychom ve statistických tabulkách kritickou hodotu jedovýběrového Wilcoxoova testu pro = 1, α =,5 (viz výše) Protože tato hodota je 13, ulovou hypotézu ezamítáme a hladiě výzamosti,5 65 Párový Wilcoxoův test

5 Nechť (X 1, Y 1 ),, (X Y ) je áhodý výběr ze spojitého dvourozměrého rozložeí Testujeme H : x,5 - y,5 = c proti H 1 : x,5 - y,5 c (resp proti jedostraým alterativám) Utvoříme rozdíly i = X i Y i, i = 1,, a testujeme hypotézu o mediáu z,5, tj H : z,5 = c proti H 1 : z,5 c 66 Příklad K zjištěí ceových rozdílů mezi určitými dvěma druhy zboží bylo áhodě vybráo 15 prodeje a byly zjištěy cey zboží A a cey zboží B: (11,1), (14,11), (11,9), (13,9), (11,9), (1,9), (1,1), (1,8), (1,11), (11,9), (13,1), (14,1), (14,1), (19,15), (14,1) Na hladiě výzamosti,5 je třeba testovat hypotézu, že mediá ceových rozdílů čií 3 Kč Řešeí: Jedá se o párový test Vypočteme rozdíly mezi ceou zboží A a ceou zboží B, čímž úlohu převedeme a jedovýběrový test Výpočty uspořádáme do tabulky: č prodejy cea zboží A cea zboží B rozdíl rozdíl-mediá pořadí , , , , , , , , , ,5 Tučě jsou vytištěa pořadí pro kladé hodoty rozdíl - mediá S W = 16,5, S W - = 74,5, = 13, α =,5, tabelovaá kritická hodota = 17, testová statistika = mi(s W, S W - ) = mi(16,5; 74,5) = 16,5 Protože 16,5 17, H zamítáme a hladiě výzamosti,5, tedy s rizikem omylu ejvýše 5% jsme prokázali, že mediá ceových rozdílů se liší od 3 Kč Řešeí pomocí systému STATISTICA: Otevřeme ový datový soubor se čtyřmi proměými a 15 případy Prví proměou azveme CENA A, druhou CENA B, třetí RODÍL a čtvrtou KONSTANTA Do proměých CEANA A a CENA B zapíšeme cey zboží A a B, do Dlouhého jméa proměé RODÍL apíšeme = v1-v a proměou KONSTANTA vyplíme samými trojkami Nyí provedeme párový Wilcoxoův test: Statistika Neparametrická statistika Porováí dvou závislých vzorků (proměé) OK Proměé 1 sezam proměých RODÍL, sezam proměých KONSTANTA, OK, Wilcoxoův párový test Dostaeme tabulku

6 Wilcoxoův párový test (priklad734) Ozačeé testy jsou výzamé a hladiě p <,5 Počet T Úroveň p Dvojice proměých platých rozdíl & kost 15 16,5,6684,4696 Podobě jako v příkladu 64 je symbolem T ozačea testová statistika mi(s W, S W - ), symbolem realizace asymptotické testové statistiky U Uvedeá p-hodota je vypočítáa pro realizaci asymptotické testové statistiky U Protože p,5, hypotézu H : z,5 = 3 zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti,5 Pokud bychom chtěli provést přesý test a ikoliv pouze asymptotický, vyhledali bychom ve statistických tabulkách kritickou hodotu jedovýběrového Wilcoxoova testu pro = 13, α =,5 (viz výše) Protože tato hodota je 17 a testová statistika 16,5, ulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamosti,5 63 Dvouvýběrové pořadové testy Jedá se o eparametrickou obdobu dvouvýběrového t-testu m(m 1) Dvouvýběrový Wilcoxoův test Nechť X 1,, X a Y 1,, Y m jsou dva ezávislé áhodé výběry ze dvou spojitých rozložeí, jejichž distribučí fukce se mohou lišit pouze posuutím Ozačme x,5 mediá prvího rozložeí a y,5 mediá druhého rozložeí Testujeme hypotézu, že distribučí fukce těchto rozložeí jsou shodé eboli mediáy jsou shodé proti alterativě, že jsou rozdílé Všech m hodot X 1,, X a Y 1,, Y m uspořádáme vzestupě podle velikosti jistíme součet pořadí hodot X 1,, X a ozačíme ho T 1 Součet pořadí hodot Y 1,, Y m ozačíme T Vypočteme statistiky U 1 = m (1)/ T 1, U = m m(m1)/ - T Přitom platí U 1 U = m Pokud mi(u 1,U ) tabelovaá kritická hodota (pro daé rozsahy výběrů m, a daé α), pak ulovou hypotézu o totožosti obou distribučích fukcí zamítáme a hladiě výzamosti α V tabulkách se používá ozačeí: = mi{ m, } a m= max{ m,} Pro velká, m (prakticky, m > 3) lze využít asymptotické ormality statistiky U 1 m U1 V případě platosti H má statistika U = asymptoticky rozložeí N(,1) Kritický obor pro oboustraou alterativu má tvar: W = ( u u ), α / 1 α /, 1 (Aalogicky pro jedostraé alterativy) H zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti α, když U W Dvouvýběrový Wilcoxoův test se používá v situacích, kdy distribučí fukce rozložeí, z ichž daé dva ezávislé áhodé výběry pocházejí, se mohou lišit pouze posuutím 63 Příklad Bylo vybráo 1 polí stejé kvality Na čtyřech z ich se zkoušel ový způsob hojeí, zbylých šest bylo ošetřeo starým způsobem Pole byla oseta pšeicí a sledoval se její hektarový výos Je třeba zjistit, zda ový způsob hojeí má týž vliv a průměré hektarové výosy pšeice jako starý způsob hojeí

7 x: starý způsob y: ový způsob Řešeí usp hodoty pořadí x-ových hodot pořadí y-ových hodot T 1 = = 7, T = = 8 U 1 = 46 45/ - 7 = 7, U = 46 67/ - 8 = 17 Kritická hodota pro α =,5, mi(4,6) = 4, max(4,6) = 6 je Protože mi(7,17) >, emůžeme a hladiě výzamosti,5 zamítout hypotézu, že ový způsob hojeí má a hektarové výosy pšeice stejý vliv jako starý způsob Řešeí pomocí systému STATISTICA: Otevřeme ový datový soubor se dvěma proměými VÝNOS a ID a 1 případy Do proměé VÝNOS zapíšeme hektarové výosy pšeice a do proměé ID, která slouží k rozlišeí ového a starého způsobu hojeí, apíšeme 4 krát jedičku a 6 krát dvojku Nyí provedeme dvouvýběrový Wilcoxoův test, který je ve STATISTICE uvede pod ázvem Maův Whiteyův test: Statistika Neparametrická statistika Porováí dvou ezávislých vzorků (skupiy) OK Proměé Sezam závislých proměých VÝNOS, Nezáv (grupov) proměé - ID OK, Ma-Whiteyův U test Dostaeme tabulku Ma-Whiteyův U test (Hojeista) Dle promě id Ozačeé testy jsou výzamé a hladiě p <,5 Sčt poř Sčt poř U p-hod p-hod N plat N plat *1str Proměá skup 1 skup upraveé skup 1 skup přesé p x 7, 8, 7,,95943,337356,95943, ,35381 de je symbolem U ozačea testová statistika mi(u 1,U ) V ašem případě U = 7, odpovídající p-hodotu ajdeme v posledím sloupci pod ozačeím *1 str přesé p Protože,35381 >,5, ezamítáme a hladiě výzamosti,5 ulovou hypotézu Výpočet ještě doplíme krabicovým diagramem Na záložce ákl výsledky vybereme Krabicový graf dle skupi, OK, proměá VÝNOS, OK Dostaeme graf 56 Krabicový graf dle skupi Proměá: výos výos id Mediá 5%-75% Mi-Max

8 Je zřejmé, že mediá hektarových výosů při starém způsobu hojeí je meší ež při ovém způsobu a také vidíme, že variabilita hektarových výosů při starém způsobu hojeí je větší ež při ovém způsobu 633 Dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirovův test Nechť X1, K, X a Y1, K, Ym jsou dva ezávislé áhodé výběry ze dvou spojitých rozložeí, jejichž distribučí fukce se mohou lišit ejeom posuutím, ale také tvarem Testujeme hypotézu, že distribučí fukce těchto rozložeí jsou shodé, tj, že všech m veliči pochází z téhož rozložeí proti alterativě, že distribučí fukce jsou rozdílé Nechť F 1 (x) je empirická distribučí fukce 1 výběru a F (y) je empirická distribučí fukce výběru Jako testová statistika slouží = max F (x) F (x) H zamítáme a hladiě výzamosti α, když D ( α), kde ( α) větší rozsahy D, m D 1 < x<, m lze kritickou hodotu aproximovat vzorcem 634 Příklad Na data z příkladu 63 aplikujte dvouvýběrový K-S test D je tabelovaá kritická hodota Pro,m m l m α Výpočet pomocí systému STATISTICA: Statistiky Neparametrická statistika Porováí dvou ezávislých vzorků OK Proměé Sezam závislých proměých X, Nezáv (grupov) proměá ID OK Kolmogorov- Smirovův -výběrový test Kolmogorov-Smirovův test (Hojeista) Dle promě id Ozačeé testy jsou výzamé a hladiě p <,5 Max záp Max klad p-hod Průměr Průměr Smodch Smodch N plat N plat Proměá rozdíl rozdíl skup 1 skup skup 1 skup skup 1 skup x -,83333,5 p > 1 51,75 49,,5 4, Ve výstupí tabulce pro dvouvýběrový K-S test dostaeme maximálí záporý a maximálí kladý rozdíl mezi hodotami obou výběrových distribučích fukcí, dolí omezeí pro p- hodotu (p >,1), průměry, směrodaté odchylky a rozsahy obou výběrů Jelikož p-hodota převyšuje hladiu výzamosti,5, a této hladiě elze ulovou hypotézu zamítout 64 Kruskalův Wallisův test a mediáový test (eparametrické obdoby aalýzy rozptylu jedoduchého tříděí) 641 Formulace problému Nechť je dáo r 3 ezávislých áhodých výběrů o rozsazích 1,, r Předpokládáme, že tyto výběry pocházejí ze spojitých rozložeí Ozačme = 1 r Chceme testovat hypotézu, že všechy tyto výběry pocházejí z téhož rozložeí 64 Kruskalův Wallisův test Všech hodot seřadíme do rostoucí poslouposti a určíme pořadí každé hodoty Ozačme Tj součet pořadí těch hodot, které patří do j-tého výběru, j = 1,, r (kotrola: musí

9 platit T 1 T r = (1)/) Testová statistika má tvar: Q = 1 ( 1) r j= 1 T j j 3( 1) Platí-li H, má statistika Q asymptoticky rozložeí χ (r-1) H tedy zamíteme a asymptotické hladiě výzamosti α, když Q χ 1-α (r-1) 643 Mediáový test Testová statistika má tvar Q M = 4 r j= 1 P j j, kde P j je počet hodot v j-tém výběru, které jsou větší ebo rovy mediáu vypočteému ze všech hodot Platí-li H, má statistika Q M asymptoticky rozložeí χ (r-1) H tedy zamíteme a asymptotické hladiě výzamosti α, když Q M χ 1-α (r-1) 644 Metody mohoásobého porováváí amíteme-li H, zajímá ás, které dvojice áhodých výběrů se liší a zvoleé hladiě výzamosti a) Neméyiho metoda Používá se v případě, že všechy výběry mají týž rozsah p Je-li T l - T k tabelovaá kritická hodota (pro daé p, r, α ), pak a hladiě výzamosti α zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložeí b) Obecá metoda mohoásobého porováváí Tl Tk Jestliže ( 1) h KW ( α) l k 1 l, pak a hladiě výzamosti α zamítáme k hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložeí Kritickou hodotu h KW (α) ajdeme ve speciálích statistických tabulkách Při větších rozsazích výběrů je možo ji ahradit kvatilem χ 1-α (r-1) 745 Příklad U přijímacích zkoušek a vysokou školu sledujeme počet bodů z matematiky Chceme posoudit, zda výsledky jsou závislé a typu absolvovaé středí školy Náhodě vybereme osm písemých zkoušek studetů každého z uvažovaých tří typů škol: číslo písemky gymázium číslo písemky SEŠ číslo písemky SPŠ Na hladiě výzamosti,5 testujte hypotézu, že výsledky studetů z gymázií, SEŠ a SPŠ se eliší amítete-li ulovou hypotézu, vyšetřete, které dvojice typů škol se od sebe liší a hladiě výzamosti,5

10 Řešeí Kruskalův Wallisův test usp hodoty pořadí 1 výběru pořadí výběru pořadí 3 výběru ,5 67 8, , , , , , , Součet pořadí pro jedotlivé výběry: T 1 = 69, T = 87, T 3 = 144, Realizace testové statistiky: Q= 3 5= 7, , Kritický obor W= χ, 95( ), ) = 5,661, ) Protože Q W, H zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti,5 Rozdíly mezi počty bodů u přijímací zkoušky z matematiky u studetů ze sledovaých tří typů středích škol se prokázaly s rizikem omylu ejvýše,5 Mediáový test Mediá všech 4 hodot je 76 V 1 výběru leží ad mediáem 8 hodot, ve výběru hodoty, ve 3 výběru hodoty 1 Realizace testové statistiky: Q M = 4 ( 8 ) 4= 1 8, Kritický obor W= χ, 95( ), ) = 5,661, ) Nulovou hypotézu zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti,5 Řešeí pomocí systému STATISTICA: Otevřeme ový datový soubor se dvěma proměými X a ID a s 1 případy Do proměé X zapíšeme počty bodů, do proměé ID, která slouží jako idetifikátor typu školy, apíšeme 8

11 krát jedičku, 8 krát dvojku a 8 krát trojku Nyí provedeme Kruskalův Wallisův a mediáový test Statistika Neparametrická statistika Porováí více ezávislých vzorků (skupiy) OK Proměé ávisle proměé X, Nezáv (grupov) proměá - ID OK, Shrutí: Kruskal- Wallis ANOVA a mediáový test, Výpočet Pro K-W test dostaeme tabulku ávislá: X gymazium SEŠ SPŠ Kruskal-Wallisova ANOVA založ a poř; X (body_u_zkouskysta) Nezávislá (grupovací) proměá : ID Kruskal-Wallisův test: H (, N= 4) =7, p =,15 Kód Počet Součet platých pořadí , 8 69, , Testová statistika se realizuje hodotou 7,678, počet stupňů volosti je, odpovídající p- hodota =,15, tedy a asymptotické hladiě výzamosti,5 zamítáme hypotézu o shodě mediáů Pro mediáový test máme tabulku Mediáový test, celk mediá = 76,; X (body_u_zkouskysta) Nezávislá (grupovací) proměá : ID ávislá: Chi-Kvadr = 1, sv = p =,5 X gymazium SEŠ SPŠ Celkem <= Mediá: pozorov očekáv poz-oč > Mediá: pozorov očekáv poz-oč Celkem: oček, 6, 6, 1, 4, 4, 4, -4,,, 8,,, 1, 4, 4, 4, 4, -, -, 8, 8, 8, 4, Realizace testové statistiky = 1, počet stupňů volosti =, odpovídající p-hodota =,5, tedy a asymptotické hladiě výzamosti,5 zamítáme hypotézu o shodě mediáů Nyí provedeme mohoásobé porováváí, abychom zjistili, které dvojice typů škol se liší volíme Víceás porováí průměrého pořadí pro vš skupiy ávislá: X gymazium SEŠ SPŠ Víceásobé porováí p hodot (oboustr); X (body_u_zkouskysta) Nezávislá (grupovací) proměá : ID Kruskal-Wallisův test: H (, N= 4) =7, p =,15 gymazium SEŠ SPŠ R:18, R:8,65 R:1,875,43,131634,43 1,, , Tabulka obsahuje p-hodoty pro porováí dvojic skupi Vidíme, že a hladiě výzamosti,5 se liší gymázium a SEŠ

12 Výpočet ještě doplíme krabicovým diagramem Na záložce ákl výsledky vybereme Krabicový graf, proměá X, OK, Typ krabicového grafu Mediá/Kvartily/Rozpětí, OK Dostaeme graf 1 Krabicový graf dle skupi Proměá: X X gymazium SEŠ SPŠ ID Mediá 5%-75% Mi-Max Vidíme, že mediáy se liší velice výrazě, zvláště pro gymázia a SEŠ Variabilita počtu bodů je ejmeší pro gymázia, ejvětší pro SEŠ Shrutí V ěkterých situacích se setkáváme s áhodými výběry malých rozsahů, které pocházejí z výrazě eormálích rozložeí V takových případech elze použít klasické testy založeé a předpokladu ormality, které byly popsáy ve 4, 5 a 6 kapitole Místo ich používáme eparametrické testy, které epotřebují splěí předpokladu ormality, stačí apř předpokládat spojitost distribučí fukce rozložeí, z ěhož daý áhodý výběr pochází Pro testováí hypotézy o mediáu používáme jedovýběrový či párový Wilcoxoův test, což je eparametrická obdoba jedovýběrového či párového ttestu Máme-li testovat hypotézu o shodě mediáů dvou rozložeí, která se mohou lišit je posuutím (tj testujeme hypotézu o shodě těchto dvou rozložeí), aplikujeme dvouvýběrový Wilcoxoův test eparametrickou obdobu dvouvýběrového t-testu Jako eparametrická obdoba aalýzy rozptylu jedoduchého tříděí slouží Kruskalův Wallisův test ebo mediáový test Při zamítutí ulové hypotézy idetifikujeme dvojice odlišých výběrů pomocí metod mohoásobého porováváí, a to buď obecou metodu mohoásobého porováváí ebo Neméiyho metodu Při prováděí eparametrických testů potřebujeme speciálí tabulky kritických hodot Jsou obsažey v příloze A tohoto učebího textu Všechy uvedeé testy jsou implemetováy v systému STATISTICA Kotrolí otázky 1 V jakých situacích používáme eparametrické testy? Jaká je evýhoda eparametrických testů oproti testům parametrickým? 3 Jak vypočítáme pořadí čísla v daé poslouposti čísel? 4 Popište rozdíl mezi jedovýběrovým a párovým Wilcoxoovým testem 5 Jaké podmíky musí být splěy pro dvouvýběrový Wilcoxoův test? 6 K čemu slouží Kruskalův-Wallisův test? 7 Jak provedeme mediáový test? 8 Které metody mohoásobého porováváí záte?

13 Autokorekčí test 1 Máme za úkol zjistit, zda tři ezávislé výběry pocházejí z téhož rozložeí Přitom všechy mají malý rozsah (meší ež 3) a vykazují odchylky od ormálího rozložeí Jaký test použijeme? a) Aalýzu rozptylu jedoduchého tříděí, b) mediáový test, c) Kruskalův-Wallisův test Testujeme hypotézu, že dva ezávislé áhodé výběry pocházejí z téhož rozložeí Oba výběry mají malý rozsah (meší ež 3) a diagostické grafy i testy ormality poukazují a závažější odchylky od ormálího rozložeí Jaký test použijeme? a) Párový Wilcoxoův test, b) dvouvýběrový t-test, c) dvouvýběrový Wilcoxoův test 3 Pomocí K-W testu testujeme a asymptotické hladiě výzamosti,5 hypotézu, že pět ezávislých áhodých výběrů o rozsazích 4, 7, 5, 4, 5 pochází z téhož rozložeí Kritický obor má tvar: a) W = 9,488; ), b) W =,711; ), c) W= ;9,488) 4 Máme dvourozměrý áhodý výběr z dvourozměrého rozložeí, které se výrazě liší od ormálího rozložeí K testováí hypotézy, že mediáy obou složek tohoto rozložeí jsou stejé, použijeme a) jedovýběrový t-test, b) dvouvýběrový Wilcoxoův test, c) párový Wilcoxoův test Správé odpovědi: 1b),c) c) 3a) 4c) Příklady 1 U 1 áhodě vybraých vzorků bezíu byly zjištěy ásledující hodoty oktaového čísla: 98, 96,8 96,3 99,8 96,9 98,6 95,6 97,1 97,7 98, Na hladiě výzamosti,5 testujte hypotézu, že mediá oktaového čísla je 98 proti oboustraé alterativě Výsledek: Použijeme jedovýběrový Wilcoxoův test Testová statistika se realizuje hodotou 1, tabelovaá kritická hodota pro α =,5 a a = 9 je 5 Protože 1 > 5, H ezamítáme a hladiě výzamosti,5 Výrobce určitého výrobku se má rozhodout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je růzými techologiemi Rozhodující je procetí obsah určité látky 1 techologie: 1,5 1,57 1,71 1,34 1,68 techologie: 1,75 1,67 1,56 1,66 1,7 1,79 1,64 1,55 Na hladiě výzamosti,5 posuďte pomocí dvouvýběrového Wilcoxoova testu, zda je oprávěý předpoklad, že obě techologie poskytují stejé proceto účié látky Výsledek:

14 Testová statistika se realizuje hodotou 1, tabelovaá kritická hodota pro α =,5, mi(5,8) = 5, max(5,8) = 8 je 6 Protože mi(8,1) >, emůžeme a hladiě výzamosti,5 zamítout hypotézu, že obě techologie poskytují stejé proceto účié látky 3 Výrobce koláčů v prášku má 4 ové recepty a chce zjistit, zda se jejich kvalita liší Upekl proto 5 koláčů z každého druhu a dal je porotě k ohodoceí recept počet bodů A B C D Na asmptotické hladiě výzamosti,5 testujte hypotézu, že recepty se eliší Výsledek: Použijeme Kruskalův Wallisův test Všech hodot uspořádáme vzestupě podle velikosti a staovíme součet pořadí pro recepty A, B, C, D: T 1 = 3,5, T = 37,5, T 3 = 66, T 4 = 83 Testová statistika: 1 3,5 37, Q= 3 1= 1, , χ,95 (3) = 7,81 Protože Q 7,81, H zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti,5 Neméyiho metoda prokázala, že a hladiě výzamosti,5 se liší recepty A a D 4 U osmi osob byl změře systolický kreví tlak před pokusem a po ěm č osoby tlak před tlak po Na hladiě výzamosti,5 testujte hypotézu, že pokus eovliví systolický kreví tlak Výsledek: Párový Wilcoxoův test poskytl p-hodotu,4995, tedy H zamítáme a hladiě výzamosti,5 5 Majitel obchodu chtěl zjistit, zda velikost ákupů (v dolarech) placeých kreditími kartami Master/EuroCard a Visa jsou přibližě stejé Náhodě vybral 7 ákupů placeých Master/EuroCard a 9 placeých Visou: Master/EuroCard Visa Lze a hladiě výzamosti,5 tvrdit, že mediáy ákupů placeých těmito dvěma typy karet se shodují? Výsledek: Dvouvýběrový Wilcoxoův test poskytl p-hodotu,53, H tedy ezamítáme a hladiě výzamosti,5

15 6 produkce tří podiků vyrábějících televizory bylo vylosováo 1, 8 a 1 kusů Byly získáy ásledující výsledky zjišťováí citlivosti těchto televizorů v mikrovoltech: podik citlivost 1 podik podik podik Ověřte a hladiě výzamosti,5 hypotézu o shodě úrově citlivosti televizorů v jedotlivých podicích Výsledek: K-W test poskytl testovou statistiku 3,43, počet stupňů volosti =, odpovídající p-hodota =,165, tedy H zamítáme a asymptotické hladiě výzamosti,5 Liší se výrobky podiků a 3

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody Neparametrické metody EuroMISE Cetrum Kotakt: Literatura: Obecé iformace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicískéobory I. Vydavatelství Karolium, UK Praha 00 Zvára, K.: Roser, B.: EuroMISE cetrum

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů.

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů. 1. Příklad Hodíme 60krát šestistěou hrací kostkou. Jedotlivé stěy padly v ásledujícím poměru: 7:9:10:6:15:13. Proveďte test a 5% hladiě výzamosti, zda je kostka v pořádku. H 0 : π 1 = 1/6, π = 1/6, π 3

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Kapitola 3.: Úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení

Kapitola 3.: Úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení Kapitola 3.: Úlohy o jedom áhodém výběru z ormálího rozložeí Cíl kapitoly Po protudováí této kapitoly budete - zát vlatoti pivotových tatitik odvozeých z áhodého výběru z ormálího rozložeí a budete je

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Statistické chyby v medicíském výzkumu Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jaa Vrbková

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Cvičení 12: Binární logistická regrese

Cvičení 12: Binární logistická regrese Cvičení 12: Binární logistická regrese Příklad: V roce 2014 konalo státní závěrečné zkoušky bakalářského studia na jisté fakultě 167 studentů. U každého studenta bylo zaznamenáno jeho pohlaví (0 žena,

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2 Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete

Více

FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE

FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT OF MATHEMATICS FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více